側円術(IV) : 『安子遺稿側円解二条第一』の現代
語直訳
著者名(日)
米山 忠興
雑誌名
東洋大学紀要. 自然科学篇
号
52
ページ
97-116
発行年
2008-03
URL
http://id.nii.ac.jp/1060/00002535/
側 円 術 IV．＊
『安子遺稿側円解二条第一』の現代語直訳 米 山 忠 興＊＊ Ellipse in Japanese Historical Mathematics IV． Literal Translation of‘‘．Ajima’sSolution the lst”into Current Style Tadaoki YoNEYAMA 関流宗統四伝の安島万蔵直円は山形・新庄藩士であった．享保十七年（1732）生，寛政 十年（1798）卒． 安島の和算に関する業績は数多くあるが，幾何学のうち，楕円（側円）に関する問題・ 解答は比較的少ない．安島直円の遺稿を弟子の日下誠嗣が編纂した『不朽算法』上巻［寛 政十一（1799）年刊］の第六間と第十一間に，「側円解」の問題二題が載っている．その 問題の安島自身による解答が，村田恒光編『算法側円詳解』［天保四（1833）年刊］の附 録として，『安子遺稿側円解二条』に収められている．もとの草稿は天明年間（1781−1788） に書かれたものと思われる． ここで今回採りあげるのは，その「側円解二条」のうちの「第一」であり，三角形と側 円短径を与えて，長径を求める問題である．もう少し詳しく言うと， 次頁図1のように，直角三角形とその内接円があり，さらに三角形に内接し， 円に外接する楕円を描く．その長径が底辺（股）に平行なとき，直角三角形と 楕円の短径を与えて長径を求めよ． この間題は，かなりの難問のようなので，今回はまず，「遺稿」を現代語に直訳するこ とで，その全貌を解明する． 和算研究の泰斗：平山諦博士はその著書『学術を中心とした一和算史上の人々』（富士 短期大学出版部：昭和40年刊）の第2章「美しい幾何図形を求めて」の中で，これらの 側円問題について，『安島の計算の中でも最も困難なものである．今日の大学で数学専門 ＊ この研究は、平成18年度および19年度東洋大学特別研究（個人研究）の支援を受けて行なわれた。 ＊＊ 圏m大学自然科学研究室，〒112−8606東京都文京区白山5−28−2098 米 山 忠 興 を修業した人で，これを解き得る人はあるまい，といえるくらいむずかしいものである』 と述べている．数学の専門家は，たぶん，このくらいは何とか解けると思われるので，大 学で数学を専攻した一般の「学部卒業生」のレベルと言うことだろう． 原本の『算法側圓詳解』は，刊本ではあるが天保年間の木版刷り和書であり，それから 起こした平山諦・松岡元久編『安島直円全集』（富士短期大学出版部）の掲載も昭和41年 の刊行であるので，いずれも今となってはふつうにはほとんど見ることは出来ない．そこ で，不朽算法（図1）のあとに木版刷り7頁の複写を掲載する．図3∼図9は，ほぼ原刊 本のサイズである． この原本の閲覧・撮影・掲載に関しては，所蔵している東北大学附属図書館に快く許可 して頂いたことに対して，厚く御礼申し上げる． 『不朽算法』上巻第六間 ［日下貞八郎誠嗣編・安島万蔵直円翻高］
全圓
列股、加弦、内減勾、 径、倍之、名西、 之、得商加西、名南、 名坤、以減南、余乗東、 余平方開之、得商、 法、実如法而一、 答日、 長径↓百四十六寸 二分五厘。 術日、別求弦四百四十九寸 余名東、乗勾、名北、列股、乗短 ルヌ 以減北二段、余乗榔差及短径、平方開 ル 以減北、余名乾、列短径、乗捌和 倍之、以勾除之、得数以減東幕 乗乾、為実。列乾、倍之、加坤、為 得長径、合間。 今有勾股、内如図容全円与 側円、只云、勾二百八十〇 寸、股三百五十一寸、短径 五十六寸八分七厘五毛、問長径幾何
図1
［不朽算法］ ［8倍］→ ［安子遺稿］なお，この問題に関しては，加藤平左工門氏が『和算の研究補遺ll』（名城大学理工学 部数学教室発行：昭和44年11月刊行）の「第六章安島直円の業績ll不朽算法上巻」の（6） で，5ページほどを費やして解説しているが，細大併せて十数カ所もの誤りがある．例えば， 「受玄差」を文字通り「ft 一玄」とすると，和算家の考えている「玄一受」とは符号が異なっ てしまう．また遺稿原文の誤りや不要な部分をそのまま翻訳したり，逆に「舌足らず」な ところも数多く見られる． そこで，解法の遺稿を逐語的に現代語に直訳し，紹介することとした次第である． 勾・股・（弦）・短径と長径の数値は，「不朽算法』（図1）と下の『安子遺稿』（図2・図 3）では，ちょうど1：8の比になっている． 『安島直円全集』の「安子遺稿解題」によれば，「南山安島先生解草綴込帳」に草稿が残 されていて，そこには異なる勾股弦短とそれに対する答としての長径の数値が記されてい るようであるが，誤りであり，あとから「遺稿」で正されたようである． また，加藤平左工門氏の（註）によれば，日本学士院蔵書の「側円一術解安島直円撰述」 という写本に本題一問だけ解いたものがあり，式（V）あたりまでは全く同様という． 実寸を縮尺すると，およそ次の図2のようである． 図2 次ページ以降に，村田恒光編『算法側円詳解』附録「安子遺稿側円解二条』第一の木版 印刷図を転載する．（東北大学附属図書館の撮影・掲載の許可を得た．） ただし「和書」なので，図3∼図9は右からのページ順となっている．
米山忠興
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米山忠興
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米山忠興
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米山忠興
106 んヨノへおや ドユゴび ニリづイ附鋒
安子二遺稿側圓解二僚
’、 C今有勾股再如圓容全圓及側圓鷲檎與勾
・ ↑特宇口朕噺叶⇔哺短径輌鑓恒問長径幾
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、 ， 、 ・ ’（鉤股内全円與側円） 『安子遺稿 側円解二条 A 勾 第一』題図と縮図
安子解
G 卯F E 子 Q B ＼ ！ 図 縮 “ げ 斜 右 短径C
中勾 斜 下 G ド 左斜 P”∴ンーよE 丑ノ⋮ ︶側圓
長径 大斜 辰 才＝ヨ＝寅 （ただし、不要） 受；股図11
C 安島は，この問題を解くときに，問題図を横方向に（短径）／（長径）だけ縮めた縮図 を用いた．それによって，図10及び図11で，ともに三角形の内接円の性質を利用するこ とが出来るからである． 次ページ以降の［現代語直訳】の中で，［：：二］で囲ったところが『安子遺稿』に記述 されている部分である．また，第一矩合から第十一矩合は（1）∼（XI）とし，汎矩合お よび定矩合は（＃），（※）とした． （注意：和算では短径・長径は文字通り「さしわたし」で，半径ではない．）108 米 山 忠興
［現代語直訳］
大＋中＋小＝2CQ＝2 （大＋子） 中七∠」・一天≡三三1才芋三訂だから
（中＋小一大）左一2子左ト2丑小1 また、縮図から ［EIEEFi≡石≡互司 1これに小一ﾝ掛けたもi元と（寄左）○∫亘］ （中＋小一大）左＝（左＋下一右）小 一（大一面左＝（下：万「〒］ 縮図の三角形の面積から左＋右＋下短（中勾）下
×一＝
2 2 2よって ［甦±〒）短一2亘i亙工］
（左寸右）短＋下短＝2（中勾）下 ここでm王三調だから・
匿］（左＋右）長＋短大一・（中勾）大
（寄左≧1 （左＋右）長＝緬＝2 （中勾一短）大1＝2甲大1 ただし、L也二短…互］とする。 （1）∼∼長三］ （大一中）左長＋（下一右）小長＝0 （H）叉丞三］ （左＋右）長小一短大小＝2甲大小 辺々加え合わせて、 （大一中＋小）左長＋小（下長一短大）＝2甲大小 ここで第2項＝0だから（大一中＋小）埜一亘i司
さらに、1大一中＋ノCl三こ］とおくと、 乙左長＝2一亘天元］ 幽垂．ロコ 乙2左2長L’＝4甲2大2小2 ところで、 ：E’G’短 i
G’C’ − ，卯 長’ i 辰
《斗＝斜》 よ 《左に寄す》 短 （1） （H） 長よって、
山＿型亘一ヨ
1（H）×（大一中）⇒1（鞠）・是乙：±卯運乙1三岬㌃認
（大一中）左長＝（下一右）小長 （左⊥右）長（大一中）一短大（大一中） （田） ＝2甲大（大一中）唾ゴ±小）一垂小一短天一体一中）二鯉大（⊇］
（ただし、下長＝短大） さらに変形して、 右長乙一短大小一短大（大一中）＝2甲大（大一中）匡巫≡乞笙木＋2申天．亘］
匝墜E二ζ］先の右2長2を用いると L（−1勾） （m）と L’ @ft L」＋辰矧乙2＝乙鰍2嶽2㌫魎
（IV） （IV）から巴2短2乙2＋乙鰍2＋4乙短大2甲（二㍑㌶還㌫当
乙2短Lt（辰2一卯2）＝乙2短2大2＋4乙短大2甲（大一中） ＋4甲2大2｛（大一中）2一小L）｝ 辰＋卯＝大、 大一中＋小＝乙であり、匡亘≡天ヨとおくと 《丙一2子》
乙2短2大（辰一卯）＝乙2短！大2＋4乙短大2甲（大一中）−4甲L’大2乙丙 乙2短2大（大一辰＋卯）＋4乙短大2甲（大一中）−4甲2大2乙丙＝Ott’iEC−］輌運大甲（͡）一・L7・一一亘
E互」卯繋棚丙（大一中）一甲・丙・一・
一方、 乙丙＝（大一中＋小） （中＋小一大） ＝小2−（大一中）2＝2大中一大2−（中2一小2） ＝2大中一大2−（辰2一卯2） （∵中2一小2＝辰2一卯つ ＝2大中一大（大＋辰一卯） ＝2大中一大・2辰＝2大（中一辰）ここで［≡］とおくと、已2亙i
よって 9哩丁：ttt．fft−Pt（大一中）丙＝0］． （＃）
110 米 山 忠 興 また、［天≡互』迎土辰二由ヒ迎ニエ： ここで、2里丙一（大二中）短 一一 一．（麹」 を考える。この二式を2塞：てコ ｛2甲丙一（大一中）短｝2 ＝4甲2丙2−4甲丙短（大一中）＋短2（大一中）2 くtJいよ 《位寄す》 （＃）叉Z三］ 0＝4卯短2丁一4甲2丙2＋4短甲丙（大一中） よって、この2式から ｛2甲丙＝《大一中）痘∫2＝短2（天一中）2＋丁9薩〒「 ＝短2（卯一丁）2＋4卯短2丁 三短2（卯亘r］
幽馳て、（寄iL7）［一亟
短肥市一2願＝（卯一丁）短］（大一中一卯一丁） 2短卯一2甲丙＝0［輌三亘［司
・二・一甲丙；り亜］ （V） 《洋算では、この2式は重複だが、和算では時々見られる書き方である。》 この y）式に甲＝史勾一短を代△⊥二⊆」 ．卯短＝（中勾二短L□」一㊧亙「＝石可D亙
ただし、 卯＝大一中＋丁 ＋）丙＝中＋小一大 卯＋丙＝丁＋小 を用いた。《安子解には無し》 ≡困1ヨ1（中勾）・長；乙・丙・＋g漏・乙・丙・三甲・大・小三司 だから （中勾）2長2・4大2丁2＋卯2短24大2丁2＝4大2小2卯2短：） ・＃，ti（中勾）・長・丁・一卯・短・（小・一丁・） 区亙］ 〔中勾）2長ラエ1丙＝卯；短：∫小2一丁ス司 上の（中勾）丙を代入して、 乙丙＝2大丁⊂
甲丙＝卯短ここで、次の計算に移る前に、変数の変換をしておく。 まず、もとの図から、 ①［i悪…天王中三小一受＋蚕≡三］
②質一量 ⇒中璽
③（中勾）一
《受＝股》 ④幽二短玄二（中勾）．玄一短玄＝．（（中勾）一短）玄＝甲玄一，⑤丁玄＝（中一辰）玄＝中玄二庄͡≡司
1
⑥誓＋卯i一辰＋卯E⊇ 《斗一斜》
⑦巳！ロー（壁±已≦！肚誓⊃±東一大二週
⑧［㌫三亘L東一2卯一2辰一東一2大一中＋小一大一丙
L −一＿＿迄＿」 一一 一一 一一 一． ⑨東一2．Pt一卯二大一中±∠」L二聖⊥二坐ニエ1112 米 山 忠 興 （再掲） （中勾）長2丁2＝卯2短丙（小一丁） 中’勾長・中2（玄一受）2 玄2 玄 これを計算して、 一卯・短（東一・中一卯）〔東一2卯一2㌢⊃
舗嘉∴㌶：：妻：：191：霞ぎ；訂』額ロ璽笥
《第5項と第8項は 一4卯3中短玄3−2中受卯3短玄2となる。》 （VI） 1卯2＋（中勾）2＝小21から 卯・＋中i∼2−（m一卯一（玄＋9 玄）中⊃2 卯2玄2＋中2（玄2−92）＝東2玄2＋卯2玄2＋中2（玄＋受）2 −2東卯玄2−2東玄中（玄＋受）＋2卯玄中（玄＋曼）ヒ竺・三2東卯玄・口（玄投口｛東玄二亟一矧三司
匝亙］卯短一甲丙
中・勾 一短 だから 甲＝（中勾）一短＝ 玄卯傾中；勾一凱東一2卯一2竪⊃
卯短玄2＝（中・勾一短玄） （東玄一2卯玄一2中曼） （V皿） 中・勾玄（東一2卯）−2中2勾受一束短玄2＋2卯短玄2＋2中短R玄＝卯短玄2 厄玄て東一2卯）＝2中2勾受二更短玄2＋短玄（卯玄＋2中受）＝01（V皿）−−t−
陛二勾二玄短一巳1 ⊂ 匡匡玄≡二て玄工受L至i≡liilll］とおき、 ［…亘二（皿Σ×i『茜三亘司 （2中・勾一玄短）× ［一束2玄2＋2東卯玄2＋2（玄＋受）中｛東玄一卯玄一受中｝］ ＋2｛東玄一（玄＋受）中｝× ［中・勾玄（東一2卯）−2中2勾ft 一束短玄2＋短玄（卯玄＋2申受）］＝0 一2東2玄2中・勾＋東2短玄3＋4東中・勾卯玄2−2東卯短玄3 ＋4東中2勾玄（玄＋受）−2東短中玄2（玄＋9）−4中2勾卯玄（玄＋ft） ＋2短中卯玄2（玄＋受）−4中3勾受（玄＋受）＋2受短中2玄（玄＋受） ＋2東2玄2中・勾一4東中・勾玄2卯一4東玄中2勾ft −2東2玄3短＋2東短卯玄3 ＋4東短中曼玄2−2東中2勾玄（玄＋受）＋4卯中2勾玄（玄＋量） ＋4中3勾受（玄＋受）＋2東中短玄2（玄＋受）−2中短卯玄2（玄＋受）一玄で割って、 睡王2（玄＋受）−LtA／短一互東呈玄中短ニラ衷勾（玄一受）中2＝0］（IX） また、［極三2耳i窒短を亘乗亘］ （東玄短一2中短受）2一束2玄2短2＋4東玄短2中受一4中2短2受2＝0 （寄立）、
［亟亟1ヨ
東2玄2短2＋2（玄＋：Rl）受中2短2−4東受玄中短2−2東勾短（玄一受）中2＝0 この2式を加え合わせて、 −− −ぽ− （東玄短二2一中受短）2三典史2（玄一受）．二2中2短2g−（玄一受）1 ＝2中2短（玄一受） （東勾一受短） 「天可・1L−−
ただし、天2ニ2短（玄二受） （東勾二≦勤置丞旦亘］ 東麹一西麹⊇蓮】
1天＋2受短≡圃とすると 輌＝天中＋2一短中受＝南中1 よって・ 狽狽煤Dk”．1（w）×短玄一
一束2短卯2玄3＋2東卯3短玄3＋2東短中卯2玄2（玄＋受） −2中短卯3玄2（玄＋受）−2受短中2卯2玄（玄＋受）＝0［三面［−
一勾中3長2（玄一受）2＋東2短卯2玄3−3卯3東短玄3−2中（玄＋受）東短卯2玄2 ＋2卯3中短玄3＋4中2受短卯2玄2＋2卯4短玄3＋2中（玄＋受）卯3短玄2＝0 この2式を合わせて、「エ㌶㌶劉凝二：勾中張2（玄一受）］
この式に茜萎掛けた式万ら（WΣ．×…云2短卯3を彊〔翻㌶瀧響纏三㌘，卯、短玄、］・｛東玄一（玄＋受）中｝
一⊂嶽；…獅㌻（（玄＋受玄＋曼））鍵⊃・玄・短卯・一・ さらに計算して、一中×
＋東玄・ m一束卯3玄3短＋2卯2中2短玄受（玄一受）一勾中3長2（玄一受＋2卯3中短玄3＋2卯n短玄3＋東玄3短卯3−2短玄3卯4）］一・114 米 山 忠 興 これをさらに計算して、 （玄＋受）中×｛−2受中2短玄卯2（玄一受）＋勾中3長2（玄一受）2 −2卯3中短玄2（玄一受）｝ ＋東玄｛2卯2中2短玄tQl（玄一受）一勾中3長2（玄一受）2｝ ＋東玄3中短卯3（玄一受）＝0
巨「可で割って1
＿ ＿＿ニー」㌘麟1㌢㌶㌶嵩隠覆壌，90，中短玄、｝一
（注：麗歴㌫霊『㌶t‡鷲）
また、［≡二匝ジ短玄卯三二…］ 東2短玄3卯2−2東短卯3玄3−2東中短玄2卯2（玄＋受） ＋2短中卯3玄2（玄＋9）＋2受短中2卯2玄（玄＋受）＝0 この2式を合わせて、 ココ コE三蓬遮元宴、巖㌫蜘旦」
区亘を掛けた亘と、⑱逐短玄2901−−e’一加え合わ三司
×2西 ⇒ −2勾中2長2（玄一受）西2−2東卯3玄3短｛東玄一（玄＋受）中｝ −4東中玄3短卯2｛東玄一（玄＋受）中｝ ＋2東2玄3短卯2｛東玄一（玄＋受）中｝＝0 （W）×東短玄2卯2⇒一束3短玄4卯2＋2東2短玄4卯3＋2東2短中卯2玄3（玄＋受） −2東短中卯3玄3（玄＋受）−2東短中2受卯2玄2（玄＋受）＝0 その1植墨＿＿．． 1−2勾中2長2（玄一受）一西2−4東’中玄4短卯2干玄4短東3卯テー一一］ L二二2．1玄＋受）量日『・短玄・東卯∫＋4東中・玄・短卯・（玄＋受）＝o： こ翌と一て区）一さ東玄㍉ロ［τ三］ 東玄2卯2｛一束2玄2短一2（玄＋受）受中2短 ＋4東受玄中短＋2東勾（玄一受）中2｝＝0 上の2式を合わせて 一2勾中2長2（玄一受）西2−4東2中短卯2玄3（玄一Q） ＋4東中2短卯2（玄＋受）玄2（玄一量）＋2東2中2勾卯2玄2（玄一受）＝0遮巳．西を変形亘コ
東玄短 ， 西＝東玄一（玄＋受）中 だから、 中＝ 南 東玄 東玄短 東玄 西＝東玄一 （玄＋受）＝ ｛南一（玄＋受）短｝＝一人 南 南 南ただし、ここで、［産玉亘亘とおいた．
よって、 2東2玄3短卯2 2東玄2短卯2（玄＋受） 東玄短 東2玄2 一中長2 人2− ＋ ・ 南 南2 勾 勾 東玄短 ＋東2玄2卯2・ ＝0 南東2玄2で割り、蟹翻け）・左看の辺に坦亘］
中長・人・−C禦＋2短k’玄段）＋東旬玄卯・南
ここで、巨巫二2短2（玄三）＋東；：元］とおき、
勾 ・L＿奎L
＿＿＿＿＿」⊂露議詞とし℃甦平麺くと、：
旺亘勇恒地逓≡』
1（vr）×夏1三］ （X） 一束2玄2短＋2東短卯玄2＋2東短（玄＋受）中玄一2短卯（玄＋曼）中玄 一2短（玄＋受）受中2＝0 東2玄2短＋2（玄＋受）9中2短一4東受玄中短一2東勾（玄一受）中2＝0 この2式を加えて、 2短玄卯｛東玄一（玄＋受）中｝＋2東玄短中（玄一受） −2東勾（玄一受）中2＝0 ここで、 短｛東玄一（玄＋9）中｝＝東玄短一短中（玄＋受） ＝＝南中一短中（玄＋受）＝中｛南一短（玄＋受）｝＝中・人 よって、 2卯玄中人＋2南中2（玄一受）−2東勾（玄一受）中2＝0 《安子解では、ここに「東玄短で割り」とあるが、正しくは「2中で割り」》×☆・卯麹爾些一訪一魎云：受）コt＿−6］ （M）
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116 米 山 忠 興 「三を加えて、U：市で割る。1 ＿＿一＿」
