有限共振原理に基づく偏心構造物の極限応答解析 : 1. モード分離応答解析法

【論　 文】 UDC ：624

．

042

．

7 ：539

．

37 日本 建 築 学 会 構 造 系 論文 報告集 第 394 号

・

昭和 63 年12月

有 限 共 振 原 理

に

基

づ く

偏

心

構 造 物

の

_{極 限応 答}

_解析

（

L

　

モ

ー

ド分 離応 答解 析 法

）

正 会 員 正 会 員 正 会 員 正 会 員

山

河

谷

亜

田

村

明

稔

弟

廣

＊ ＊ 動‡ ＊ ＊

’

n

、

洲

＊ ＊ ＊＊ 　

1．

序 　 論 　構 造 物は_， な るべ く偏心の ない よ うに_設計さ れ る が

，

様々な条 件により偏 心 を 生じる場 合 が 多い

。

偏心構造物 は

，

地震を受け た場 合

，

ね じれ応 答 を生じ

，

単 純な並 進 応 答 と比べ

_，

_{不利 な影響 を 生 じ る} ことは

，

過 去より_多く の研 究 者1，

−

5，_に よ り指摘さ れてき た。 現 実 的に も十 勝 沖 地 震

，

大 分 県 中 部 地 震

，

宮 城 県 沖 地震 の調 査 報 告S｝

−

e｝_な どにおい て

，

ね じ れ による震 害 例が 示 さ れてい る

。

　偏心 を有す る構 造 物の ね じ れ振 動の_問題に_対 して は_， 古くか ら

，

理 論 的

，

実 験 的な研 究が数 多く行わ れ て き た。 既に

，

昭 和九年 棚 橋　諒 博 士1［_{は偏心構 造 物の ね じれ 振} 動問題 を論じて い る

。

1968 年の十 勝沖地震で 八戸市 立 図 書 館

，

むつ 市 庁 舎fi｝の典 型 的な偏心に よ る震害が起こ るまで

，

ね じ れ振 動 系に関 する研究は実験 的には あ まり 行わ れて お らず， 理 論 的に もほ と ん ど弾 性範囲に と ど まっ て い たと言え る

。

十 勝 沖 地 震のね じ れ被害を きっ か けに

，

ね じ れ振 動 系の応 答 性 状の研究が よ う や く活 発 に なっ て き た。 以 後

，

二十 数 年 間コ ン ピュ

ー

タ

ー

の急 速な 発 達と普 及に よ り

，

ね じ れ振 動 系に関 する研 究は

，

理 論 的にも

，

実 験 的に も比 較 的よ く行わ れ る よ うになっ て き た

。

特に最 近

，

志 賀

・

柴田9）

_，

山崎10） ， 鈴 木

・

武 山 ］1｝

_，

坂 本

・

小 浜1z〕

_，

_{尾 崎}

・

_{曽 田}13｝ ， 岩 下

・

山 下 川 等に よ り

，

従来の研 究 成 果が ま と め ら れる と共に_， ね じ れ振 動 系に つ いて の_{応答 性状}

，

耐 震 性 状が

一

層 明らか にされて き た と言え る。 　偏 心 構 造 物のね じれ振 動に対す る既 往の研究は

，

ほ と ん ど が時 刻 歴 数 値 解 析に よっ てい る

。

この時刻歴数 値 解 析 法は_， 構 造 物の偏心の_有無に か か わ らず

，

個々 の特 定 し た構 造 物の動 的応 答 性 状の _評価に_対して

，

_有効な方 法 で ある

。

し か し な が ら

，

入力と しての地 震 動に は不 確 定 要 因が極 めて 多く_， 時 刻 歴 数 値 解 析 法は， 多種 多様な構 造 物の動的応答の全 貌を簡 明に把 握で き る唯

一

の方 法と 　 ＊ 神 戸 大 学 　 教 授

・

工博 　桝 神戸大学　助 教授

・

工博 ＊ ＊＊ _{神 戸 大 学　助手}

・

_工修 ＊ ＊ ＊＊ _{神 戸 大 学 　 大 学 院 生}

・

_工修 　 　 （昭和 63 年 7 月 10 日原 稿 受 理 ） は言え ない

。

そこ で

，

構 造 物 勤 的 応 答 性 状の評 価につ い て は_， 確 定 論 的な時 刻 歴 数 値 解 析 手 法に対 し て， 確率論 的な応 答 評 価 方 法15）

_，

_{また は}

_，

_{耐 震 工 学 的な} 観点に よ り

，

系の吸収エ ネル ギ

ー

を応 答 評 価の指 標とする研究16 ）

”

IS ｝ が_種々_行わ れ る よ うになっ てき た。 　筆 者ら は， 地 震 時に く り 返 し載 荷 条 件 下の構 造 物に対 して

，

地 震 入 力エ ネルギ

ー

と系の_履歴吸 収エ _ネルギ

ー

と の釣 合により_， そ れ に対 応す る有限共振 容量19）_{とい う物} 理 量を明確な制 御 因 子 とし て， 構 造物の動的応 答の基 準 を与え る とい う方 法 を 提 唱して き た19）

−

23）

_。

つ ま り

，

構 造 物の動 的応 答 性 状に対する定 量 的評価を， 地震入力エ ネルギ

ー

と系の履 歴 吸 収エ _ネル ギ

ー

の釣 合いに よ り

，

有 限共 振 容 量 を求 める プロ セ ス におい て行お う と す る もの である。 そ の プロ セ スを有限共 振応答解 析 （有 限 共 振 原 理に基づ く極 限応 答 解 析）と称 し てい る23｝ 。 本 報は

，

有 限 共 振 原 理に基づき

，

有 限 共 振 応 答 解 析 法を偏心構造物 の応 答 解 析に適 用 する ことを目的と してい る。 　 有 限共 振 応 答 解析の解は

，一

質 点 振 動子モ デルの振 動 系で は

，

平 面 曲線で表す有 限 共 振 容 量ス ペ ク トル と地 震 入力スペ ク トル との交 点で表わ さ れ

，

そ れは幾 何 学 的に も 地震入力と系の履 歴エ _ネルギ

ー

吸 収 能との_{釣 合}い _{を 直} 感 的に示 唆 する2］）

_。

_{し か し} ， 連 成 型の ね じれ振動系に は

，

多 方 向より の入力お よ び多 方 向へ の応 答によ り

，

構造物 の有 限 共 振 容 量が多 方 向ベ ク トルとな り

，

有限共振容雙 ス ペ ク トル は

，

入 力 方 向に合わ せ

，

n 次元空 間 （n≧

2

） で表さ れ る もの と な る

。

し た がっ て

，

多 自由 度の連成型 ね じ れ振 動 系に対して_{， 多}方 向の_有限共振ベ ク トルおよ び有 限 共 振 容 量ス ペ _{ク トル に よ る応答解析}の表 現 を説 明 する必 要が あ る

。

　筆 者らの研 究 室で は_{， 有}限共振 応答 解 析 法による偏 心 構 造 物 応 答 解析の応 用Sl｝ を試み たが

，

そ の研究に おいて は

，

連 立 運動 方 程 式を各 方 向ご と に完 全に独 立させてお り

，

各 方向の連 成 振 動 お よ び 振動 合 成 性にっい て は考 慮 が 払わ れ てい な かっ た

。

他方

，

連 成 型 偏 心 構 造 物とよく 似た連 成 型多層構造物につ い て は

，

モ

ー

ドの影 響の検 討 や解 析 簡 略 化の た め， 運立運 動 方程 式に対して， 弾 性 領

一 66 一

域の モ

ー

ダル ア ナ リ シス14）の みな らず

，

弾 塑 性 領 域にお い て も応 答 解析を自由 度 別やモ

ー

ド別 等に分 離さ せ る方 法25）

・

26）_{が多く試み ら れ てい る}

_。

_{筆 者ら}は_， 有 限 共 振 原 理 に よる_極限 応答解析では

，

系が定 常 共 振 状 態にあり， 且 つ _{等 価 線}形 固有周 期 を系の固有周 期 と 見な す と仮 定す る。 本 報は

，

この仮定を基に， 連成型 ね じ れ振 動 系に対 し て

，

有限共 振容量ベ ク トル

，

有 限 共 振ス ペ ク トル およ び解 析アプロ

ー

チ をモ

ー

ド別に分離し て行う手 法 を提 示 し ようと す る も の で あ る

。

　

2．

有限 共 振 応 答 解 析 　2

−1

　 仮 定21 ） 　

1

）振 動 系は_， Fig

．

1の よ うな

一

質 点 振 動 子とする。 　2） 応 答は

，

原 点 対 称 振 幅の

Cyclic

な もの で， そ の 復 元 力ル

ー

プは

Fig．

2に示す履歴 型 と す る

。

　3） 地 震 動は

，

Fig

．

3の よ うに

，

正 負定常ラン ダム_波 と し， その ス ペ ク トル特 性は台形で確 定 論的に与え ら れ る とする27）

1zs

）。 　2

−

2 有 限 共 振 原 理による応 答 特 性22）

　

系は

，

定 常 共 振 状 態に ある と想 定し

，

上述の_{前 提条件} に基づ き

，

そ の応 答 特 性 を 次の ように記述 する。 　 応 答の共 振 性 　地 震スペ ク トル が比 較 的 平 坦と見な せ る領 域におい て

，

応 答 共 振が完 全で

，

かつ 選_択入力 波が 正 弦 波な らば

，

共振 応 答 倍 率 β。と減衰定数

h

（

h

《1）の 関 係は次の ように近 似 的に表され る。

　

　

　

fi

。一

露

一

畠

縲鶚

讎貔

プ

…・

…・

・

……

（1・） 　共 振の 有 限性 　

h ±・

Oの 時は_{， β}。

＝

。 。 と なる理 想 状 態 で あ る。 実 際は

，h

＝

0

の場合で も

，

応 答 S

。

。が有 限 値 に と ど ま る。 そこで， 応答倍 率βは減 衰 定 数

h

｛

h

《1） と地 動継 続時 間 tとの関 数で近 似 的に与え られ る。

　

　

　

β

一

壼

（

1−

e

−

・

・

ω

・

り

・

・

……・

一 ・

………・

（lb ＞ 　 筆 者ら は

，

応答倍 率βを有限値と して_， 近 似 的に次 の ように単 純な減 衰 定 数 んの_{代 数 関 数}と する22〕

_。

m 質

．

量

f

（

X

） 復 元 力 　Xg　x 一 　 　 　 　蔚 　 　　　 　地震 波 　 　 　 宀 Fig

_．

₁

一

_質点 振 動 子

　

　

β

一

識

、。

一 ・

……・

・

………・

…・

………

_（・） 粘弾 性 減衰と履 歴 減 衰の等 価 性　地 震 時t 塑 性 変 形 を 伴う履 歴系に おい ては

，

履 歴 吸 収エ _ネル ギ

ー

による応 答 減衰効 果 を考慮する た め

，

等 価 粘 性 減 衰 定 数 h

。

は Fig

．

2に示 す 履 歴 面 積に よ り， 式 （3 ）で与え ら れ る zy）

_。

　　　 　　 1　 んα（ル

ー

プ面 積 ） 　　　 　　 　　　 　　　 　　　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（3 ）

　　　

九・

；

τア

゜

△

OBC

鹸 　し た がっ て

，

履 歴 系において は

，

式 （1） と式 （2） の

h

は heで置き換え る こ とがで き るもの とする

。

　2

−3

　有 限共振 容量19〕

−

23｝ 　履歴系で は， 等価 線形 振動論に よ れ ば

，

等価線形固有踊

Te−

・・

黯

一 一 ・

・

（・） 応 答変儼 翫

一

敵

籌

…・

……・

・

一 一

（・_） で表さ れ る か ら_， 式 （2 ）， （3 ）， （4 ）を式 （

5

）に代 入 して

，

有 限共 振 （速 度）容 量

　

　

　

・

lv

一

億

一

轟

嶽

・

券

厄 　 　 　 　

…・

・

………・

・

…t・

・

…・

…・

……

（6） が得ら れ る

。

　2

−

4　有限共 振 応答解析22）

−

z3 ） 　入 力スペ _{ク ト}ル応 答倍率

fl

・

−1

を与え る

h

にお け る 応 答ス ペ ク トル22 〕

・

2T ｝を台 形 近 似 化して

，

入力スペ _{ク ト}ル f（x） Fxa

B

履

齲

檳、 丶

1lc

　

x

一

_Xa

₀

Xa

一

Fxa Xa ； _{変 位 振 幅} Fxa ： 復 元 力 振 巾 Fig

_．

_{2 定常}共 振 履 歴丿レ

ー

プ

　　

Tg

　　　　

Tc

』

Fig3 地震 動ス ペ ク トル特 性 ）

一

₆₇

一

と 見な す

。

共振状態を想 定し て い る ことか ら，

Fig．

3の よ うに入 力スペ ク トルを周 期 Teの 関 数と し て_表すこと が で き る

。

　

有限共振容量 ス ベ ク トル



式 （4）

，

（

6

）に よ り

，

系 の_{等 価 弾 性}固有 周 期の関 数とし て_{， 有 限共振 容}量 が決め ら れ， そ の関 数 関 係はス ペ ク トル と し て表さ れ るので

，

幾 何 学 的には

，Fig，

4の 曲線の ように な る

。

その曲 線関 係 を， 有限共 振 容量スペ ク トルと称する こと と する

。

　解 析 方 法と応答解　有限 共 振 容 量ス ペ ク トル と入 力ス ペ ク トル の交 点

P

（

Fig．

4 ）は

，

入 力 と応 答の釣 合 う点 とな る

。

交 点 P に おけ る

Xa

は共振 応答 解と な る。 そ の_{解 析 方 法 を}Fig

．

5の フロ

ー

チャ

ー

トに簡 単に示 す。

Sv

（109） 有 限 共 振 容 量スベ _{ク トル}

　　　　　　　　＼

　　　　

v

・

ce…

（

／ ．　

P

‘

fi

常蜥 点）

ジ



_／

転

入力スペ _{ク ト ル} 　 　　　 　　 Te　

Go9

）

　

Tg

　　　　

Tc Fig

．

4　ス ペ ク トルと応 答 解 系の初 期 条 件 サ イ ク ル履 歴 　 振 幅 想 定 有 限 共 振 容 量 スペ ク トル 入 力スペ _{ク ト}ル 　 　 交 点 　 応 答 解＝ 團AX｛応 答 振 幅｝ Fig

_．

_{5　有 限}共 振 応 答解析 フロ

ー

チャ

ー

ト 　

3，

ね じれ振 動 系の有 限 共 振 応答性 状 　 3

−

1　ね じ れ振 動の表現 　 地 動に よ り建 物に生 ずる慣 性 力の作 用 点 （重 心

CM

） と抵 抗 要 素の抵 抗 合 力の作 用 点 （剛 心

CR

）が

一

致 し な い場 合

，

それら に よる偶 力が， 建 物に ね じ れ振 動 を起こ す。ね じれを伴 う振 動は平 面 振 動 と立 体 振 動 とが あ るが， 本 論で は

，一

層 建 物の平 面 内の ね じれ振 動の み考 察 対 象 と す る

。

　基本仮定 　 1） 建 物 各 部の 質量 は

，

全て_床版に集 中す る。 　2 ） 床版の_変形を無 視 し， 剛 体と見な す。 　

−

68

一

1

跳r

＼

CRM

剛心 _δ 躍 1_δ

」

鶤

！ 　　　重心 　　　

Y

志

⊥

δ，

i

θ

　　 　

1

δ 　　 　　　 　　 　　　 　輔 　　 　　　 　　 　　　 　1 　　　　　／

’

。

_{働　 　 　／}

c

”

ド

1

_．



1 _{部 材}

　

　

　

　

　

＼

Fig

．

6　偏 心 構造物の平 面 図 δ xi1

一sJ

L 　3） 柱， 壁な どの抵 抗要素の軸 方向の変形を無視し

，

床 版は

，

平 面 内に の み動き得る

。

　4） 要 素の ね じ れ剛性を 無 視 す る

。

　5） 要 素の 二軸 作 用 を 無 視する

。

　Fig

．

6に示 す よ うに

，

重 心 を原 点 とし

，

剛性主軸と平 行す る

X −Y

を座 標系と する。 建 物の応 答 変 位は， 重心 に おける並 進 を

，X

，

，

　

M

。で表 し

，

ねじ れ の 回転 を， 反 時 計 方 向 を正と す る θ。で表す と

，i

部 材の X

，

　 Y 方 向 の変 位薩1

，

δyt は

，

式 （7 ）の よ うに そ れ ぞ れ重心の応 答変位とね じ れ回 転 角で表せ る

。

　　　醇‘

＝

Xc

−

tttt

・

θ

，

，

　δyi

＝Yc

十

IXt

・

θc

・

・

…・

・

…

　

…

（7） 　 運 動 方 程 式 　 　 　 Nx

　M ・

ぽ

。＋

2

。）＋Σノ』‘（X、

，

θ

。

）

＝

O 　 　 　 t

＝

1 　 　 　 Ny

　

M ・

（

乳

＋

Y

。）＋

Zf

』t（Y、

，

ec）

；

O 　 　 　 ltt

　

J・

（

b

’

c

−

←　

b

’

9）

一

当

ノ』、（

Xc，

e

．）

．

ly

、＋

S

艶

f

” 、（y。

，

e，）

．

1

．

，

1

＿

o 　 　 　 t

＝

l　　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　 t

＝

1 　　　 　　　 　　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t・

一一・

・

・

…

　

一・

（

8

）

　

式 （

8

）の_変数の ディメンジョ ンを統

一

する た めに

，

　 　 　Zc＝　i。

・

e

．

，

　

lli

＝　

lxt

／　

i

。 　　　

Zg＝

　

io・

eo，　　t多i

＝

　lyt／

io

と置け ば

，

式 （8）は次 式 とな る

。

　 　 　 N

＝

　Fx　（

Xc，

Zc

）＝

Xf

．i（Xc

．

Zc） 　 　 　 tnl 　 　 　 Ny 　Fy（Yc

，

Zc）

＝

Σ

fv

‘〈Yc，

Zc

） 　 　 　 ‘

＝

且 　 　 　 Ny 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　Nx

　F

。〔

X

，

，

y

，

，

Z

、）＝ Σん （Yc

，

Z、）

・

妊、

一

Σ

fmi

（

X

。

，

Z

∂

・

ll

、 　 　 　 t

＝

1　 　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 1

＝

1 　　　 　　　 　　 　　

・

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

9

） こ こに

，

　

io

：構造物の回転 半径 　 　 　 　M

，

∫ ：構 造 物の質 量

，

回 転二 次モ

ー

メ ン ト 　　　鑑

，

1V

ジ

X ，

　

Y

_{方 向 抵 抗 要 素}の _数

　 　 　

fxt

，

　

fVi

：ゴ要素の

X ，

　

Y

方 向抵 抗 力 成 分 　

Fx，

　

Fy，

　

Fz

：_{構 造物}の X_，　Y，　Z 方 向 抵 抗 力成 分

　

Atg

，島，

2

、 ：

X ，

　

Y

，　

Z

方 向の地 動 加 速 度 成 分

　　　

娠

，

tyi

：

i

要 素の

X ，

　

Y

方 向重心まで の距離 とすれば， 式 （8 ）は， 次の ようになる

。

　　　

M ・

Xc

十凡 （

Xc，

　　　

Z

∂

＝− M ・

Xg

　　　

M ・

f

｝ C十

Fy

（

　　

yc

，　Zc｝

＝−

M

・

yg

　

……・

_（10）

　　　M ・

2c

＋

F

。（

Xc，

　

yc，

　

z

∂

＝−

M

・

Zg

　ま た

，

各要素が弾性領域にある場 合は

，

運 動 方 程 式は 次の よ う なマ トリックスの形 式で書ける

。

MXcycZc 亀 銑 銑 亀 鞠 κ

一

　 ’ 銑

OK

．

3 　 　 κ 　 　 鞠 1 　 　

．

κ o 亀 　 　

一

ー

　 十 Ce σ XyZ 但し，

　 Kx，

　

Ky，

　

K

。 ：建 物の

X ，

　

Y ，

　

Z

方 向の剛性

．

　 　 　 　 　e

。

：偏 心と弾 力 半 径に よ る係 数 　

3−

2　 定 常 共 振 状 態にお ける応 答 特 性 　2章に述べ _{た有 限 共 振 原 理}に基づ き

，

ね じれ振動系は 定 常 共 振 状 態にある と想 定し

，

そ の状 態にお け る応答特 性を記述 する

。

壁

　 1） 系は

，

X

，

　 Y

，

　Z 三方 向におい て

，

いずれ も定 常 共 振 状 態にある と仮定す る。 　

2

）地震入力 波は

X

，

y

，　

Z

方 向の い ずれ も系の 固 有振 動 数 （3つ の固 有 円振 動 数の 1つ ）と等しい 円振 動 数 ω を持つ 正弦波と す る

。

　　　瓦＝

。、，

・

COS 　（ω

・

　

t

＋　

il

．

）

　　　

V

。＝ a。

・

COS （ω

・

t＋φ。）

…・

…・

………・

…

（12・）

　　　

2

。

＝

r，。

’

c。s（ω

・

t

＋φ。） 　 　a＝

，

・ay

，

α。：

X ，

　

Y

，　

Z

方 向 地 震 加 速 度 振 幅 　 　φエ

，

φy

，

φ2 ：

X ，Y ，

　

Z

方 向 地 動 加 速 度 位 相 差 　3 ） 応 答変位

Xc

，　

y

。，　

Z

，はい ずれ も ω を円振動 数と する正 弦 波とな る

。

　 　 　

Xc

＝

Xca・

sin （ω

・

t

十ψ

冨

）

　　　yc＝yca’

sin〔ω

’

t

＋ψン）

　

tttt

’

鹽

’

ttt

”t’

’

’

”鹽

’

・

（

12

　

b

） 　 　 　Zc

＝

Zca

・

sin （ω

・

t十ψ2） X，a

，

　Y。a

，

　Z。a ：X

，

　 Y

，

　Z 方向応 答変位振 幅 　 　妬

，

吻

，

ψ。：

x ，y ，

　

z

方向応 答変位位相 差

・

　

4

） 系の_{粘 性}減 衰の影 響 を無 視 する

。

　 5） 系の

X ，Y，

　

Z

方 向に おい て

，

合 力凡

，

　

Fy，

　

F

。 （式 （

9

））の_{履 歴}ル

ー

プは_， Fx

− X

_，，　F 。

−

_Y

_。

_，

_F 。

−

_Zc 平 面へ の投 影がいずれも

Fig，

2の よ う なル

ー

_プとする。 　 共振応答特性 　 1｝ 地 震 動 正 弦 波の_{振 動 数}は系の_{応 答}正弦波振 動 数と 　 　 　 　Xg ＝・

− M 　

Yg

・

・

………・

・

………・

…………・

（11 ） 　 　 　 　

Zg

e

．

，

ey：建 物の X

，

　 y _{方 向}の _偏心率 等 しい

。

　2） 地 震 動正弦 波と系の応 答 正 弦 波との位 相 差は π／2 である。 　3） 系の応 答は

，

変 位と加 速 度 正 弦 波の位 相 差が 0で ある

。

　以 上の条 件と特 性 を基に し て_， さ らに

，

ね じれ多 自 由 度 振 動 系の定 常 共 振に お い て は モ

ー

ド

・

シ フ トが起こ ら な いと すると， 系は， 応 答の振 幅に至っ た時 刻に は， 地 動 成 分 と 応 答 成 分 との位 相 差 が π／2 とい う共 振 特 性に より

，

地 動 成 分が 0とな る

。

そ の時 刻に は

，

式 （10）の 運 動 方 程 式は式 （13）と なる。 　 　 　M

・

X。a十

F

エ（X。a

，

　 　 　

Z

。a）

＝

0 　 　 　血「

・

ycα十Fy（　　　｝「ca

，

　Zc∂

＝

0 　

…………

（13 ） 　 　 　M

・

Zca

十

F

τ（Xca

，

　

Yca，

　

Zca

）＝ O

Xca，

　

Y

。a

，

　

Zca

：

X ，

　

Y ，

　

Z

方 向応答 加 速度の振幅

FXa，

　

Fsa，

　

F

_。a ：

X

_。a

，

　

Y

_。a

，

　

Z

_{。 。}応答変 位振幅に達 し た時 　 　 　 の復 元力の振幅 す な わ ち，

− M ・

ω 2

・

_Xca

十

F ＝

a

＝0

　 　 　 　　

− M ・

ω！

・

Yca

十

Fyaニ0

　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（14） 　 　 　 　　

− M ・

ω 2

・

_Z

、。＋

F

。a＝

0

つ ま り， 運 成 偏心構造物は， 定常共 振 状 態に おいては

　

　

　

轟

。

一

轟

。

一

。

毎

。

−

_wz

……冒

・

…・

_（・5・） あるい は

，

　 　 　 　 　

M ・

x

。 。 　 　 　

M ・

　

Y

。a 　 　 　

M ・

z

。a

　　　

2

・

F

。a ＝ 2π

一

F

，。 ＝ 2・

F2a

＝

T・

　 　 　 　　 　 　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

ttt

・

tttt

・

・

（15b ） が得ら れ る

。

こ れ は， 振 動 系が

X

，

y

，　

Z

三方 向と も ω を 円振 動 数と して振 動す る場 合

，Xc，

　

Yc，2c

三つ の 応 答が同 時に 自己の極 値 （振 幅 ）に至るこ と を意 味す る。 　

3−

3　ね じれ振 動 系の有 限共振 容 量 　有 限 共 振 原 理に基づ き

，

くり返し ル

ー

プを描く ね じ れ 振 動 系は定 常 化 共 振 状 態にあると想 定し て

，

そ の有 限 共 振 容 量ベ ク トル を定 義し

，

その特 性を 述べ _る 。 　サイク ル ご との吸 収エ _ネルギ

ー

　

ね じ れ振 動 系に おいては_，

One−

cycle の履 歴ル

ー

プに よる総 吸 収エ _ネル ギ

ー

％ は

，

各 要 素の吸収エ _ネル ギ

ー

の和の形で表せ る

。

　　

　

W

・

−

f

Σ

f

。、

’

d

・。t・

∫

Σ ん

・

d

・。i

……一

（16・） 　式 （7 ）に より

，

式 （16a ）は次の よ うにな る

。

w・

−

f

Σ

f

。

・・d（Xc

−

1；・

’

z・）＋

〆

Σん

・

d

（Vc＋

1

：・・

’

z・）

　　

一

_∫

_Σ

_f

_・

_…

_{X ・}

・

f

Σん

・

礁

　　　

・

f

Σ（

fyi

，

t

を‘Tfxi

●

‘

9

‘）

・

dZc …・

一………

（16b ） そ して_， 式 （9 ）に より

，

　　　

w・F

∫

・

F

。

・

dXc

＋

fF

。

・

dYc

＋

．

vCF

．

・

dz

．

一

₆₉

一

と な る。 こ こでは，

　

　

　

砺

一

舟

・

蹉

　　　

A。

・

一

．

」

C

・。

’

dYc

　　　

・

昇

凡

・

dZc

・

・

…



『

・

・

・

・

・

・

・

・

・



・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（

_16c

_）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_{（16d ）} とすると， ん

。

， ん

。

， ん

。

は

，

系の Fx

−

_X

_。

，　F。

一

_Y

_。

_，

F。

−

Zc の

One ．

cycle の投 影 履 歴 面 積を与え る

。

　 等 価 減 衰 定 数 と応 答 倍 率 　 式 （

8

＞

〜

（10）の運 動 方 程 式を基に

，

方 向別に

，X ，

Y

，

Z に対 して

，

　 One

−

cycle の_{線 積}分 を と れ ば

，

加 速度 項 あ 慣 性 力に よ る

One ・

cycle の_仕事が

0

と な る か ら

，

連 立 方程式の_線積分 式は次の よ う に な る

。

Y

−

F．

・

dXc 一

イ

M

・

x

。

・

dXc

fF

，

’

dYc

− −

Y

’

M ・

Yg

・

dYc

拠

・

_d

_島

一一

fM

’

1

、

・

dZc

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（

_17a

_＞ 　これ より_， 正弦 波の地 動 加 速 度Xe， 均，　Zgに対 し て， 時 間 原 点 を適 当に取り，

オ

g，

島

，

2

、と

Xc

，　

Yc

，　

Z

。の 位 相 差 を0とすると

，

式 （17a）の右 辺は式 （17b ）に な る。

一

∫

醜

・

dXc−

… 。a

・

M ・

αx

−

．

sCM

　

・

　

v

．

・

dVc−

・

’

・

Y

。a

’

M

’

ay

−

_JCM

’

_2g

・

_dZ

。＝ ＝・

・

z

、 。

・

M ’

az

・

・

・

・

・

・

・

…

_{（ユ7b ）} 　 　 　

Axc

＝ π

・

X

。α

・

M ・

ax 　 　　ん、＝ π

・M

、 。

・

M ・

ay 　

・

一 …………・

……

（

17c

） 　 　 　 ん。

＝

π

・

z

。a

・

M ・

ax 　

一

方

，

ね じれ振 動系は

，X ，

　

y ，

　

Z

_三方向振動に_対し て

，

その等価 履 歴 減衰定

tw

　

he

_＝

，

　

h

，g

，

　

h

。z に は方 向の相 互 影 響 を 考 慮 し ない と して

，X

。a

，

　

Y

。a

，

　

Z

。。で定 量 的に 表せば

，

式 （16d ）に示す各々 の履 歴 面 積とそ れ らの最 大 弾 性ひずみエ _ネル ギ

ー

を もっ て

，

方 向 別に式 （18a ） の よ う に記述 さ れ る。 　 　 　1　　

Axc

h

・x

＝

_万

_F

、 、

．

x

。a 　 　 　 ん

‘

　 　 　1 んey

＝

EIF



Z

，

・

r

、α 　 　 　 　 　

、

42c 　 　 　

l

九ez 茜 _万 凡c

・

ZC。

…・

一 ・

………

_（18a） 　ま た， 式 （

17c

）を式 （

18a

）に代入 し て， 変形す る と， 　 　 　1／2ん。x＝ _凡 。／

M ・

α x 　 　　

l

／2hey＝

Fyc

_／

M ・

ay　

・

・

・

・

・

…

　

t・

・

tt・

・

・

・

・

・

…

　

t…

　（

18

　

b

_） 　 　 　

1

／

2hez＝1

 c／

M ，

α z が得ら れ る

。

2章に述べ た履 歴 減 衰と弾 性 粘 性 減 衰の等 価 性に よ り， 式 （18b ）の左 辺は式 （1a ）に示 した 共

一

₇₀

一

振 倍 率と考えて よい

。

つ ま り

，

式 （18b ）は式 （18c） に書き直せ る_。 　 　 　 β。x

＝

＝

　

F

』a／

M ・

ax 　 　 　

fiOv

＝

FydM ・

ay

・

・

……・

・

…・

………・

・

_（18c_） 　 　 　 β。2

＝Fza

／

M ・

α₂ 　β。x

，

　

fi

。y

，

β。尾 は

，

各 方向の応 答 倍 率で あ る

。

　 有限共 振容 量

　

有限共 振の_場合で は

，

式 （18c ）の _βoτ

，

　

fioy

，

　

flOt

に 対し て

，

そ れ ぞ れ等 価履 歴減衰定数

he＝，

　

h。

_y

，

　

h。

_t の代 数 関 数 （式 （2））で表す有限値の応 答倍 率を 入 れ換え

，

そ し て_， 等 価 履 歴 減 衰 定 数

hex

，　

h

。y，　

h

。 。を

，

それ ぞ れ

X

， 。

，Y

。 。

，

　

Z

。 。 に よる各々 の履 歴 面 積と最 大弾 性ひずみ エ _ネル ギ

ー

（式 （18　a_））で表 示すれ ば

_，

次の よ うに

，

有 限 共 振 （加 速度 ）容量 が得ら れ る

。

c

灸一 一 甑

÷

無

・

券

  ・鳧・−

M ・

偽

÷

争

ll

・

蓋

翫

c

各一

一M ・

偽

÷

髪

・

島

恥 そ して

，

地 動 速 度 振 幅：

iv

｝

＝

1

α

V

ω 　　 　　地動変 位振 幅 ：圈

＝

i

α

l

／ω’

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（19）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・



…

_（20） に より

，

有 限 共 振 速 度 容 量と有 限 共 振 変 位 容 量 もそ れ ぞ れ表 現で き る

。

　以 上よ り

，一

自由 度 振 動 系と 同様に

，

ね じれ振動系に お い て は

，

有 限 共 振 容 量は

，

次の特 性を有する

。

　1） 有 限 共 振 容 量は

，

系の履 歴 吸 収エ _ネルギ

ー

と入力 エ _ネルギ

ー

と の釣 合いを表 現 する物 理 量である。 　2） 有限共振容量は

，

そ の対 応す る方 向の入力の存 在 に より評 価さ れ るもの で

，

つ _まり

，

_それ に対 応す る入力 と同様な方向の みに意 味 を もつ 。 　3） 有限 共 振 容 量は方 向を持 ち

，

X

，

　 y

，

　 Z 三方 向の 有 限 共 振 容 量に対 し て， 次の よ う なベ ク トル の形で表せ る。 （e

，

g

．

有 限 共 振 加 速 度 容 量ベ ク トル ） 　 　 　

C

艇 　　　

lC

金．

1

＝

　C 籀 　

・

・

………・

………・

……・

…・

・

…

（21 ） 　 　 　

CAan

　

4

．

有 限 共 振モ

ー

ド分 離 応答解析 法 　4

−

1　ス ペ ク トル空 間と解ベ ク トル 　入力ス ペ ク トル 　建築構造物の耐震 設計用入力地震 動は

，

震 源か ら建 設 地 盤 まで の物 理 的メカニ ズム に立脚 し た ス ペ ク トル で与 え られ る_{。 筆者}らは

_，

_{極 限 地 震 応 答 解 析}お_よび_{極 限 耐 震} 設計用の入力 地 震 動を 地震 動 最 大 振 幅の台 形 化ス ペ ク ト ル で与え たz7）

・

28〕

_。

そ れ に基づ き

，

あ る特 定 方 向におい て は

，

有限共振応答 解 析 用の ス ペ ク トル化 入 力 地 震 動 が必 要かつ 十 分と な る

。

　実 際に は_， 構 造 物に加わ る地 震 波は表面波 （平面波 ）

お よ び実 体 波 （立 体 波 ）であ る。 その構 造 物に加わ る平 面 波あ るい は実体波に対して

，

あ ら ゆ る方向におい て

，

Fig．

3

の よ う なス ペ ク トル を と れ ば

，

平 面入力 或い は立 体入力のスペ _{ク ト}ル_{空 間}と な る わ けであ る。 例えば

，X ，

Y ，Z

三方 向入力 地 震 動に対して は

，

周期

Te

軸を加え て_， 次 式で表され る

。

　 　　φ（

S。

x ，　

S。

y，　

S。

。；

T。

）

＝Cons

い

……一 …

（

2Z

・a） 　そ れは_， 四次 元の入 力スペ ク トル曲 面にな り

，

視 覚 的 に は と らえ難い もの で ある

。

だ が_， X _，　 Y 二 方向入力 に対 して は_， 式 （22a ＞が 式 （22b ＞に な り， その三次 元 入 力ス ペ ク トル空 間 曲 面 （第

一

象 限の み）は

Fig．

7 の よ うになる_。 　 　　φ（

Sur

，　

Sv

’

y，　

Te

）；

Const．・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

22

　

b

） 　

X −Y

平 面 上で の任 意 指 定 方 向 （xl ＋ _yブ）の ベ ク トル と周 期 Te軸か ら なる_平面と その入力ス ペ ク トル 空間曲 面 との交 線は_， その指 定し た方 向 （xl ＋y7）の

一

方 向 入力の入力ス ペ ク トル と なる

。

　 有 限共 振容量ス ペ ク トル 　多自 由度の ね じ れ振 動系に_対して は

，

文 献

20

）に述 べ _{た有限共振 原理 に従}い

，

系が

Xty ，Z

三方 向に お い て い ずれ も定常共振 状 態に あ る と 想 定 し

，

前 節の有 限 共 振 応 答特性の_記述に_従っ て， 各方向の応答が同様な 円 振 動数ω で振 動 し

，

同様な時刻に そ れ ぞ れ の振幅に達 する と す る と

，

系の

X ， y，

　

Z

三方 向振 動に対し て

，

前述 の 式 （

14

）と式 （

15

）よ り， 各方向の振 動に対し て， 同様な等価 線形固有周期 Te （或いは 円振 動数ω）で表 一 Fig

．

7ス ペ ク トル空 間 定 常共振状態の応 答変 位 振幅 　 　（竃

c■

PYc

昌

・

Zo

巳

レ　マ

／

δ

各 方 向 復元 力 閲 数

＼

　 　 　 丁日　 　 　 　スペク_トル_{有 限 共 振 容 量}ベク ト ル 　 等 価線形固有 周期　　　　　　IC 恥

冨

，

C 轟

．

ソ

，

C 』v

：

｝T Fig

．

8 等 価 線 形 固有周期と有限 共 振 容 量ベ _{ク トル の関係} 現 することに なる。 　

一

方

，

式 （18）か ら式 （21｝ まで の誘 導か ら見れ ば_， 有 限 共 振 容 量ベ ク トル は_， 等 価 線 形固有周期

Te

（或い は円 振 動 数ω） と 次の よ うな関 係 が ある

。

す な わ ち，

Fig．

8

に表さ れ た有 限 共 振 容 量ベ ク トル と振 動 周 期との 関 係 か ら

，

復元 力関数 が 与 えられた な らば_， 定 常 共 振 変 位振幅ベ _{ク ト}ル に よ り

，

式 （

21

）で表 され た有 限 共 振 容 量ベ _{ク トルは}

_，

_{定常 共 振点の振 動 周 期 （履 歴ル}

ー

_{プに よ} り決定 さ れ る等価線形 固有周期 ）か ら唯

一

的に定まる。 そ して

，

その_関係は

，

次のような空 間 曲 線で表さ れ る。 　　 　

r

（

C

各リェ

，

C

鳧” シ

，

　

C

灸”z

，

　

Te

）

‘Ck ・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

−t

（23　a） 　式 （

23a

）で表さ れ た曲 線は

，

有 限 共 振 （速 度 ） 容 量 スペ ク トル曲線と称 すること がで きる。 　 有限共振容量ス ペ ク トル曲線は

，

各 方 向に おける 入力 とバ ラン ス を とっ た構造物全体と して の応 答 変 位

，

変 形 エ _ネル ギ

ー

吸 収 能 等の_{応 答 性 状}を表してい る。 　

X −y

二 方 向入力の場 合において は

，

式 （

23a

）が式 （23b ）と な り

，

その有限共 振 （速 度 ）容量ス ペ ク トル 曲 線の

一

例をFig

，

7に示す

。

　 　 　

L

（

C

聾vx

，

　

C

灸ワヨ

，

　Te）

＝

C各

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（22　

b

） た だ し

，

こ こ で の r（r

＝

1

，

2

，

3 ＞は後 述す る ように

，

モ

ー

ドの次 数を表す。 　ス ペ ク トル空 間と応 答 解 　入力ス ペ ク トル_曲面お よび共 振 容 量

，

有 限 共 振 容 量 曲 線を表す た めの座標 系は

，Sux，

　

S

_。y

，

　

S 。

。

とT_。の 4軸よ り構 成さ れ た4次 元 空 間 をス ペ クトル空 間 と 定 義 する。 　そこで

，

ス ペ ク トル空間におい て は

，

選 択 共 振 応 答 原 理に よ る と

，

式 （23）の_{有 限 共}振容量ス ペ ク トル曲 線と 式 （

22

）の 入力スペ _{ク トル曲面との交 点は}

_，

_{ね じれ振 動}

．

系の履 歴吸 収エ ネルギ

ー

と 入 力エ ネル ギ

ー

と釣 合う定 常 共 振 点であ り

，

その点に おける応 答は ね じれ振 動 系の有 限 共 振 応 答 解 析の解ベ ク トル

i

δ_」

；

（

x

。。，

y

。。 ，　

Z

。。＞ T と な るΩ 　x

−

y 平 面入力の場 合は

，

そ の応 答 解は

，

Fig

．

7に示 すように

，

有 限 共 振 容 量ス ペ ク トル曲線 と入 力スペ ク ト ル曲面と の交点 （

P

．点 ）と な る。 　 したがっ て

，

有 限共 振 原 理に よるね じ れ振 動 系の応 答 解 析は

，

その Pr 点に あたる応 答 変 位 振 幅， 復 元 力振 幅 および定 常ル

ー

_{プ履 歴}エ _ネル ギ

ー

等 を 求める こ と と な るQ 　 4

−

2　モ

ー

ド分 離 応 答 解 析の _プロ セス 　モ

ー

ド別の等 価 固有 周 期 　有限共 振原 理に基づ く応答解 析は

，

等 価 線 形 振 動 論に よ り， サ イ クル ごとの定常共 振の応答 （変位 振 幅

，

入力 エ _ネル ギ

ー

）に着目 し， 構 造物の等価固有周期と

一

対

一

の対 応関係 をもつ有限共 振 容 量

，

い わゆ る

，

有限共 振 容 量ス ペ ク トル を解 析のベ

ー

スとし て

，

静 的な解 析 手 法で 定 常 共 振 点 P。（

Fig．

7＞ を求め る。

一 71

』

一

　ここで は

，3−2

節 に引 続き

，

X

，

　Y

，

　Z 三方 向と も

，

サ イクル ご と の等価線形パ _ラメ

ー

タを次の よ うに定 義 す る。 　

i

要素の等 価 剛 性 　 　 　X 方 向 ：K。xs

＝Frat

／δxat 　　 　　　 　　　 　　　 　　 　

・

・

・

・

…

　

t・

・

・

・

・

・

・

・

…

　 （24a ） 　 　 　

Y

方 向 ：

K

。Vt

＝F

。 。t／δ，at 　 構 造の等 価 剛 性 　 　 　 N＝ 　

x

方 向 ：κ。x

＝

Σ

Ke

＝i

　　　　　　　

i

＝

1

　　　・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（24b ） 　 　 　 Ny 　

Y

方 向 ：

K 。

_y

＝

ΣKeyi 　 　 　 t

＝

1 　構造の等 価 偏心率 　 　 　 N＝　　 　　　 　　　 　 N

コ

　

X

方 向 ：e。x

＝

Σ］

K

。xi

・

塩ノΣ

KeXi

　　 　　　 　　 t

−

1　　　　　　1

■

1　　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

一

・

（24c）

　

Y

方 向 二 e。y

＝

Sli

　

K

．yi

・

塩／

SEKey

、 　 　 　 t

＝

1　 　 　　 　 　　 t

＝

1 　よっ て

，

式 （ll＞のマ ト リッ ク ス形 式の運 動 方 程式は 以 上の等 価 線 形パ _ラメ

ー

タで記 述 すれ ば

，

次の ように な る

。

−

lii

・

［

　　　　

Kex

O　　　　　　　　Keg

O

　　　　　

− Kex・

Kev・

eeye召工

一

_K

_。

x

・

e

。

uK

。

y

・

ε。x 　 κ。。

・

e。 。

］

　 　 　 　

Xca

　 　 　 　Yca　＝ O

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（25＞ 　 　 　 　Zca 　

K

。。 ， e。。 は式 （24 ＞の等 価 線 形パ ラ メ

ー

_{タによ る}

₂

方 向等 価 剛 性 と定 数である。 　 そ して

，

（Xea

，

　 YcaZca_）τ≠0か ら Ker

一

ハf

・

ω2 0

一Kex・

eey が_得られ る

。

　 　0　　　　　

− Ken・

eey κ。ザ M

・

ω2 　

K

。y

・

e。工 　

冨o

K

，ガ eex 　κ。。

・

e。。

−

M

・

ω 蓼 　　

・

…・

・

…・

…・

……・

………

（

26

） 　式 （26 ）を3次 等 価 固 有 値 方 程 式と考えて よい。 これ よ り

，

’

ね じれ振 動 系の等 価 線 形 固 有 周 期

Te

（或いは 円 振 動数ω）は モ

ー

ド別に与えられ る。

　　　Te；2・

π／r ω

　

（モ

ー

ド： r ＝ 1

，

2

，

3＞

………

（

27

） 　モ

ー

ド別の 応 答解ベ ク トル

　

モ

ー

ド別の等 価 固有周期に_対し_て， 式 （19）

一

_（20）に より

，

式 〔

21

＞の有限共 振 （速 度 ） 容 量ベ ク トルも次の よ うに モ

ー

ド別に表され る

。

　 　 　 　CR

。

x

　　　

r｛

CRv

｝

＝　　

CRvy

　　　

（r

＝1，

2

，

3）

・

噛

曁

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

（

28

） 　 　 　 　

CR

。z した がっ て

，

有 限共 振 容 量ス ペ ク トル曲線は， 等 価 固 有 周 期の選 定に よ り

，

モ

ー

ド別に与え ら れ

，Fig．

7の ス ペ ク トル空 間に お い て

，

モ

ー

ド別に表さ れ るa こ れ に より

，

r 次モ

ー

ドの有 限 共 振 容 量ス ペ ク トル曲

ec

　

r

_。と_{入 力}ス

一 72 一

ド o r 次モ

ー

ド固 定 偏 心構 造物 初期 線 形パラ メ

ー

タ

I

l

n司 臆 方鹹 歴覦 想定

_コ

試 囗

＝

n＋1 行 錯 誤 （n

−

等₁

轍 糖 醐

亟］

等 価 線 形 パラ メ

ー

タ モ

ー

ド別の各 方 向 変位 振幅 各 方 向 変 位 振 幅 ｛δa

剄

MO ｛δa｝‘答「｛δa｝‘n 〉 YεS r

＝

r←1 等価線 形 固有 周 期

コ

　 モ

ー

ド別 有 限 共 振 容 量ス ペ ク 卜。

コ

入 力スベ _{クト ル交 点} ￥ES モ

ー

ドアツ 　 　 　 NO 　 モ

ー

ド別 最 大 応 答 振 幅

］

Fig

，

9　モ

ー

ド分離応答解 析フロ

ー

_チャ

ー

_ト ペ ク トル 曲面 との交 点

Pr

（r

＝

1

，

2

，

3）は

，

　 r 次モ

ー

ド 応 答の解ベ _{ク ト}ル と なる。

　　　

rlfia ｝

＝

r（Xcα

，

　Yca

，

　

Zca

）

T

　

（r

＝1，2，3

）

・

・

……・

（

29

） 　モ

ー

ド分 離 応 答 解 析フロ

ー

チャ

ー

ト 　以 上により

，

多 自 由度の_{連 成}型ね じれ振 動 系に対し て は

，

有 限共振応 答解析をモ

ー

ド分 離で行 うこと ができ る。 そ の流れの 概 略 を

Fig．

9の フ ロ

ー

チャ

ー

トに示 す。 　た だ し

，

式 （26 ）の_等価線形 固有値 方 程 式に おい ては

，

行 列 式の等価線形パ ラメ

ー

タ が式 （24a）

，

（24b ）

，

（

24c

） で_表さ れ た よ うに

，

要 素の応 答 変 位 邑‘

，

　Ouiに よ り決め ら れ

，

言い替え れば

，

等価線形パ ラメ

ー

タ が応 答 変 位 振 幅

X

。。

，Y

。a

，

Z

、a と 互 い に影 響しあう た め， 式 （26） を 解くに は

，

試 行 錯 誤法を適 用す る

。

　

5．

モ

ー

ド分離 応 答 解 析 例お よ び考察 　 5

−

1　解 析 対象偏心構 造 物 　解 析は

，Fig．

10に示す よ うに

，

平 面 対 称

，

す な わ ち 重心 が平 面図 心と合 致する壁 偏 在の 3×2ス バ ン の

一・

軸 偏心三 階 建て の構 造 物を対 象と す る

。

　

な お， 対 象 構 造 物は

，

質量 を

一

_層柱頂の_床板に集 中し

，

構 造 物は 二 階 以上

一

体と して振 動 すると仮 定する

。

　抵 抗 要 素の復 元 力特性

　

各 柱は

，

同

一

寸法

，

同

一

強 度の長 柱 とし， その復 元力

特 性は

Fig，

11a ＞

，

　

b

）に示 す よ うな完 全 弾 塑 性 型と仮 定する

。

　壁は_， は り間 方 向

’

（Y 方 向 ）の 抵 抗 力の み を持つ と 考え

，

その復 元 力 特 性は

Fig．

12に示 す よ うな完全弾 塑 性 型と仮 定 する。 な お

，

壁の剛 性は

，

柱三本分の剛性の 1

．

O

，

2

．

0

，

3

．

O

，

5

．

0

，

7

．

5

，

10 _倍とい う六 つ の _{場 合}に分 けて考え る。 た だ し

，

壁剛性 率

＝LO

の 場合は

，

構 造 物 を無偏心の フ レ

ー

ム とす る

。

　対 象 構 造 物の_{壁 剛性 率 （}

Rkw

_{）， 降伏}力比 （R！．）， 初 期

X

方向偏心率 （ex_）， 初 期 弾 性 固 有 周 期 （

Te

）お よ び固有振 動モ

ー

ド

・

ブロ ック図など を

，Table

　lに示 す

。

▼

一

  　

  　

＠ 　

 

　 　 　 　Fig

．

10　 解 析 対 象 偏 心 構造 物

f

_と

_ifci

一

δ

と

_i

_δC1 δ

と

_i

一f

_と

i a_{） 履}歴ル

ー

プ

f

_弖

_cifyci ム。、：柱x ゐ。、：柱 y

、

Ho λ 図 唱 1

fxc1

・

一 o 》

 

κ 網

一

_f

_う

_ci

fx

。t：柱X 方 向復 元 力

fy

。t ：柱 Y方向復元力 　 　 b）降伏 関 数 Fig

．

11 柱の復 元 力特 性 　5

−

2　 解 析 用 地 震 入 力

　応 答 解 析 に は_，

El

　

Centro，

　

Cal．

　

U ．

S ．

A ．，May

　

18，

1940の

NS

成 分3°1_の

加 速 度記録デ

ー

タ を 地震入力と し て用い る

。

な お

，

解析 法に よ り

，

以 下の 二種 類の応 答 解

析 地 震入力 形 式を用い る

。

　A

．

Runge

・

Kutta法 時 刻 歴 応 答 解 析 （R

．

　K

．

_{》用 入力} 　 解 析 結 果の比 較の た め

，

4次 精 度の

Runge−Kutta

数 値 積分方法を用いた。 そ の解 析に は

，

地 動継 続 時 間 を

，

主 要 動 時 間と見ら れ る10秒 間

，

積 分 時 間 間 隔 をOl　002_秒 と取るD （

Fig．13

　a）） 　

B ，

有限共 振 応 答解析 （

FRRA

）用入力

　y

方 向の

一

_{方向入 力}に対 して

，

Fig

．

』

7の入 力ス ペ ク トル曲 面は Fig

．

13

　

b

_）の よ うな平 面 台 形ス ペ ク トル 曲 線27｝

・

28｝_{と なる} 。 そ の主 要 動 継 続 時 間は

’

4

，

5　_sec22｝_とする

。

　5

−3

解 析 結 果 　上 述の方 法と条 件に従い

，

時 刻 歴 応 答 解 析および有 限 共 振モ

ー

ド分離 応 答 解 析をそれぞれ行っ た。 ただし

，

有 限共 振モ

ー

ド分離応答 解 析 結 果は

_，

_{応 答 変 位}お よ び累 積 吸 収エ _ネルギ

ー

をモ

ー

ド別に 分 け て示す

。

累積吸収エ ネ ルギ

ー

鴎

。

は次の よ うに定 義す る

。

賑

一

鶏

脇 ・・一

覊鬻黷

1

）

………一

_（3・） 　 　nc ；応 答 総 サ イク ル数 　 　 ノ：_{サ イ}クル数 　 　晩 ：構 造 物 サ イク ル ご との吸収エ _ネルギ

ー

（式 （16）） 　

一

方， それら の結 果と比 較する ために，

Runge−Kutta

構 造 物の特 性 ： 質 量　 　 　 　M ＝ 1

．

080t

・

sec2／cm 回転 半 径　 　i。

＝

757

．

667cm 柱 降 伏 力　 　

f

ぎi

＝

83

．

680t 柱降伏変位 δぎ、

＃

1

．

060cm 壁 降 伏 変 位 　 醒尸 1

，

876cm

f

_峯

_N

fs

曾

一

δ

_｛

_w δs甘 δ

_峯

_u

一f

_峯

_甘 Fig

．

12 壁の復元力特 性

1

一 73 一

Table　1 _{対象構造物}の初期 値 及び固 有 振 勤モ

ー

ド K圃

一

ra馳 Rk臀コ て

．

00 R  ； 2

．

00 R 

呂

3

．

00 R 

＝

5

．

00 R 

羃

ア

，

50 R 司0

．

00 F図

一

ra ヒeRF 脚

＝

LOO RFげ 3

，

54 RF脚

＝

5

．

31 R舮 8

．

85 R舮 13

．

2ア RF炉 1ア

．

ア0 百翼／b e冨

＝0．

00

eと30

．

27

e_寛

＝0，46

e_誕

＝0．

70

e_{炉 口}

．

86

ex

＝0．96

Ie吋】

，

3575【3eo｝ Tび03日43【関c， 丁日

国

0

．

切87【3麗， τ「0

，

4529‘閑 唱［ τro

，

497515861 τ04〕

，

5333‘8巴d MO口E

−

1

』

＝ ＝ ＝ ＝

　

．

一

　　　 「

　　

一 1

　　

．

一

一 一

　一

’

＝ ＝

　　

．

一

一 一

　一

Ie

＝

o

．

oo口ol3ed Te

・

0

，

26ε913巴じ1 丁e

＝

0

．

Z527〔3  翼 τ6

＝

02跖813ec， T6

＝

0226915ec， T巳

コ

0

，

22141理蟾 】

団

00E− 2

』

−

₁

− 』

＼ Σ 丶　　 Σ

・

1

丶 　　　こ ： 丶 こ

・

’

、 　 　　こ

・

4

．

03

，

02

，

0t

．

DO

．

0

−

₁

_、

₀

−

₂

_，

₀

−

3

．

0

−

₄

_，

₀ EICo門しro　d81

．

USA陏

、

　kyIB

，

1940 tCsec） ユo Svy（109） 　 　 　 リ＝23kl匚1e 　 　 　 び

　　　　　　 葱

♂



_h

＝

_O

．

5

　 　 　EI　Centro　Ca1

．

　usA

　 　 　 NS

．

　May　18

，

　1940 Tg

＝

0

．

4Dl　　　　Tc＝4

．

1〜0 「_e（log_〕 O

．

0　1

．

0　2

．

0　3

．

0　4

．

0　5

．

0　6

．

0　7

．

O　B

．

0　9

．

0　10

．

0 a）　 実測地震 加速 度 波 o

．

1 LO 10

．

O b）　

一

方 向入 力ス ペ ク トル Fig

．

13　解 析 用地震 入力 法による無 偏 心 構 造 物 （

Rkw・

＝

1

．

0）の応 答 結 果 を基準に

_，

解 析の最 大 応 答 変位およ び最 大吸収エ _ネルギ

ー

を次の よ うに無 次 元 化して

，

Fig

．

14

−

Fig

．

18に示す

。

最大 重心並進変位率 最大ね じれ変位率 　 　 　 端柱 最大

Y

方 向変位率 　　 偏在壁 最 大 Y 方 向 変 位 率 端 柱 最 大

y

方 向 変 位 率ね じれ成分 　　構造 最 大 吸 収エ ネルギ

ー

率 　 　 　 　 yc隅 　 　 　 　y』m

……

（31a ）

’

_＝ 　 　 　

Ycm

。（

R ．

KJ

Z

・ ・

’

_一

論

。」

……

_{（31b ）} 齢

謙

。

．

）

・

一 …

（

31

・）

Sys・

’

一

謙

。

．

）

・

・

……

_（

₃₁

_d

_） ・…

’

_一

鑑

i

識

）

…一 ・

_（31・_）

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

暇

一

論

_。

_．

_）

……・

…

（

31

・_） 　 Table　2は解 析 法に分 けて_{， 最}大 応答お よ び最 大 応 答 変 位による構 造 物の平 面ブロ ッ ク図 を 示す

。

　

Table

　

3

_{は無 偏心構造物 （壁 剛 性 率} RittV

，

1

．

0_）の応 答 変 位

Y

， m

。

と 吸 収エ ネルギ

ー

賑 。の解 析 値を示す。

　

Figs．

14− Fig．18

に示す解析結果は

，

　

Runge

−Kutta

_数

値 積 分 法 （

R ．

K ．

） を実線， 有限共 振 応答解析

一

次モ

ー

ド （FRRA

−

1） を破 線， 二 次モ

ー

ド （

FRRA −2

）を二

』

点 鎖 線で表す

。

　5

−

4　 解 析 結 果につ い て の考 察 　 1） 最 大 並 進 応 答変位 ：

Fig．14

に示 す よ うに

，

偏 心 率の増 大につ れ て，

FRRA

の

一

次モ

ー

ドと 二次モ

ー

ド （負方向 ）の最 大重心並 進変位 ｝7 羸 とも， R

．

K ．

法に よ る結 果と 同様に

，

大き くなる

。

_同じ く

，

Fig

．

ユ8 に示 すよ うに_，

FRRA

の

一

次モ

ー

ドと二次モ

ー

ド （負 方 向 ） に よる端 柱

C1

の 応 答変_位 δyCi

’

は

，

　

R ．

　

K ，

_{法に よ る結} 果と同様に

，

偏心率 増大に 伴っ て

，

増 大する

。

しか し_，

Fig．

　

18

に おい て

，

偏 在 壁

SW

の応 答 変 位 ・  _ω ’ は

_，

FRRA

の

一

次モ

ー

ドと二_次モ

ー

ドとも

，

端 柱

Cl

の応 答 変 位 δUCI と反す る傾 向を 示 し た

。

一

₇₄

一