総研大恒星進化概要.dvi

The Structure and Evolution of Stars

I.

Basic Equations

1.

球 対 称 ＋ 静 水 平 衡 ∂Mr ∂r = 4πr 2 ρ (1) ∂P ∂r =− GMrρ r2 . (2) こ こ で 、r: 球 殻 の 半 径 、 Mr: 球 殻 内 の 質 量 、P and ρ: 圧 力 と 密 度 、G: 重 力 定 数 。こ れ ら の 方 程 式 は 、そ れ ぞ れ 、連 続 方 程 式 お よ び 運 動 量 方 程 式 に 対 応 す る 。質 量 座 標 Mr を 独 立 変 数 と し 、Lagrange 描 像 で も 書 け る 。 ∂r ∂Mr = 1 4πr2_rho (1
) ∂P ∂Mr =− GMr 4πr4. (2
₎ ガ ス 球 内 部 の エ ン ト ロ ピ ーs(ρ, P ) の 分 布 が 与 え ら れ る と 、こ れ ら の 方 程 式 は 閉 じ た 系 を な し 、ガ ス 球 の 力 学 的 な 構 造 が 決 ま る 。 ガ ス 球 の エ ン ト ロ ピ ー 分 布 s(ρ, P )、す な わ ち 熱 的 な 構 造 は エ ネ ル ギ ー 保 存 か ら き ま る 。半 径 r の 球 殻 を 通 過 す る エ ネ ル ギ ー 流 速 を Lr で 現 す と 、エ ネ ル ギ ー の 保 存 則 は T∂s ∂t =− ∂Lr ∂Mr + εN − εν (3). こ こ で 、εN とεν は 核 反 応 に よ る エ ネ ル ギ ー 発 生 率 と ニュー ト リ ノ に よ る エ ネ ル ギ ー 損 失 率 で あ る 。通 常 、ニュー ト リ ノ は 、恒 星 内 部 で 発 生 す る と ガ ス と 相 互 作 用 す る こ と な く 飛 散 す る と さ れ る 。恒 星 内 の エ ネ ル ギ ー・フ ラック ス と し て は 、radiation、 conduction、convection の ３ 過 程 が あ り、熱 伝 達 率 を λ (= λrad+ λcond+ λconv, た だ し 、λrad、λcond、λconv は 、

そ れ ぞ れ 、輻 射 、伝 導 、滞 留 に よ る 熱 伝 達 率 ）と す る と Lr =−λ∂T ∂r =−λrad ∂T ∂r − λcond ∂T ∂r − λconv ∂T ∂r. (4) と 書 け る 。こ の 式 で 最 右 辺 の 項 は 、そ れ ぞ れ 、放 射 に よ る 熱 流 束Lr,rad、 伝 導 に よ る 熱 流 束 Lr,cond、対 流 に よ る 熱 流 束 Lr,conv、で あ る 。熱 伝 達 率 の 代 わ り に 吸 収 係 数κ を 用 い 、静 水 平 衡 の 式 を 使 う と 、 Lr =−4πGcMr κ 4aT4_/3 P ∂ log T ∂ log P. (4
₎

こ こ で 、a と c は 輻 射 定 数 と 光 速 。た だ し 、 λ = 4πr 2 ρκ 4 3acT 3 , (5)

1/κ = 1/κrad+ 1/κcond+ +1/κconv (6)

に 注 意 。

2.

初 期 値 境 界 値 問 題 方 程 式 系 eqs. (1)-(4) は 独 立 変 数 を Mr に と る と 、P 、ρ、T 、r、Lr に つ い て 解 く こ と に な る 。従 属 変 数 は 5 個 な の で 、方 程 式 4 個 に 状 態 方 程 式 を 加 え て 閉 じ た 系 と な る 。 ○ 境 界 条 件 中 心 条 件：Mr = 0 で r = Lr = 0 (7)

表 面 条 件：Mr = 0 で P = ρ = 0( radiative zero boundary condition), or (8)

τ =
_∞ R κρdr = 2/3 で P =
_∞ R ρdr, and T = Teff (≡ L 4πR2_σ) 1/4 . (9) こ こ で 、R と L は 、そ れ ぞ れ 、ガ ス 球 の 半 径 と 光 度（luminosity）、σ (= ac/4)

Stephan-Boltzmann 定 数 で あ り、有 効 温 度 （Teff、 effective temperature）と

L = 4πR2σTeff4 (10) の 関 係 が あ る 。

II.

静 水 平 衡 の 力 学 構 造

1.

ポ リ ト ロ ー プ P = Kρ1+1/N (K, N と も 定 数) (11) を 仮 定 す る と 、eqs. (1)、(2) は 閉 じ る 。中 心 密 度 と 圧 力 を そ れ ぞ れ ρc と Pc と し 、 ξ = r/R0, ϕ = Mr/M0,  = P/Pc, θ = ρ/ρc (12) と お い て 方 程 式 を 無 次 元 化 す る こ と が で き る 。 R0 = ( 1 4πG Pc ρc) 1/2 , M0 = ( 1 4πG3 P3 c ρ4 c )1/2 と お く と 、静 水 平 衡 の 方 程 式 は dϕ dξ = ξ 2 θ, d dξ =− ϕθ ξ2,  = θ 1+1/N (13)

さ ら に ξ
= ξ/√1 + N 、θ
= θ1/N と お く と 、２ 階 の 常 微 分 方 程 式 1 ξ
2 d dξ
(ξ
2dθ
ξ
) =−θ
N _(13
).

eq. (13) あ る い は eq. (13
) を Lane-Emden 方 程 式 と い う。

2.

Lane-Emden

解

Lane-Emden 方 程 式 は 、polytropic index, N , が 0 ≤ N ≤ 5 の 範 囲 に あ る と き 、表 面 で 密 度 が ゼ ロ (θ1 = 0) に な る 境 界 条 件 を 満 た す 解 が 存 在 す る 。（ も う ひ と つ の 境 界 条 件 は dθ
/dξ = 0 at ξ = 0: 定 義 に よ り 中 心 で は θ = 1 で あ る こ と に 留 意 ）。こ れ を Lane-Emden 解 と い う。特 に 、N = 0、1、 5 の 場 合 に は 、解 析 的 に 書 け る 。 ⎧ ⎨ ⎩  = 1 − ξ2/6 N = 0 の 場 合 θ = sin(ξ/√2)/(ξ/√2) _{N = 1 の 場 合} θ = [1 + ξ2/18]−5/4 N = 5 の 場 合. こ の 解 を Lane-Emden 解 と い う*。ポ リ ト ロ ー プ ガ ス 球 の 特 性 を 表 1 に 示 し た 。ガ ス 球 の 無 次 元 半 径 、ξ1、無 次 元 質 量, ϕ1, は 、N = 0 す な わ ち 、密 度 一 定 の 非 圧 縮 性 流 体 の と き 最 も 小 さ く、N の 増 加 、す な わ ち 、状 態 方 程 式 が soft（ 密 度 が 変 動 し て も 圧 力 の 変 動 が 小 さ い ）に な る と と も に 、増 加 す る 。増 加 の 割 合 は 、半 径 の 方 が 、質 量 よ り の 大 き い 。こ の た め 、中 心 密 度 と 平 均 密 度 の 比 ρc/ρ (= 3ξ13/ϕ1) は N の 単 調 増 加 関 数 と な る 。 特 に 、N = 5 の 場 合 は 、質 量 ϕ1 は 有 限 で あ る が 、半 径 は ξ1 は 無 限 大 に な る 特 異 な 解 を 与 え る*。 N ξ1 ϕ1 ρc/ρ 0 2.449 4.899 1.0 1 4.442 8.886 3.290 1.5 5.777 10.73 5.991 3.0 13.79 16.14 54.18 5.0 ∞ 25.56 ∞ ○ 中 心 密 度 と 温 度 Lane-Emden 解 よ り、恒 星 の 質 量 M と 半 径 R は 中 心 密 度 ρc、中 心 圧 力 Pc の 関 数 と し て 、 M = [ 1 4πG3 Pc3 ρ4 c ]1/2_ϕ1, R = [ 1 4πG Pc ρ2 c ]1/2_ξ1, (14) * N = 5 の 場 合 は 、t = − log ξ
、z =√2ξ
θ
の 変 数 変 換 を し て 積 分 す る 。 * N = 5 の 分 布 は stellar dynamics で は Plummer モ デ ル と も 呼 ば れ る 。

で 与 え ら れ 、こ れ を 書 き 直 す と 、質 量 M 、半 径 R の 恒 星 の 中 心 密 度 ρc、 中 心 圧 力 Pc は 、 Pc ρc = ( ξ1 ϕ1 )GM R , ρc = ( ξ13 ϕ1 ) M 4πR3 (14) で な る 。ポ リ ト ロ ー プ の 意 味 す る と こ ろ は 、 (d log P/d log r) (d log ρ/d log r) = N + 1 N (11
₎ で あ り、太 陽 の よ う な 中 心 部 が 輻 射 平 衡 に あ る 恒 星 の 場 合 、N  3 が 成 り 立って い る 。理 想 気 体 の 状 態 方 程 式 P = k µmaρT (15)

(µ、ma、k は 平 均 分 子 量 、atomic mass unit、Boltzmann 定 数) を 代 入 す る と 、

式 (14
) の 第 一 式 よ り、太 陽 の 中 心 温 度 と 密 度 の 推 定 値 は Tc = µma k Pc ρc  1.2 × 10 7 K, ρc  77 g cm−1 と な る 。（M = 1.99 × 1033 g and R = 6.95 × 1010 cm） ま た 、式（ 14）の ２ 関 係 式 か ら 、質 量 が 与 え ら れ た ガ ス 球 は 、静 水 平 衡 の 下 で 、半 径R へ の 依 存 性 、Tc ∝ R−1、ρc ∝ R−3 を 示 す こ と に な る 。 半 径 を 消 去 す る と Tc3/ρc = (µma/k)3(Pc3/ρ4c) = (µma/k)34πG3(M/ϕ1)2 (16) と な り、中 心 の 温 度 と 密 度 は 、Tc ∝ ρ1c/3 に 沿って 変 化 す る こ と に な る 。 ま た 、中 心 密 度 が 同 じ で あ れ ば 、Tc ∝ M2/3で 質 量 が 大 き い ほ ど 中 心 温 度 は 高 い こ と に な る 。あ る い は 、中 心 温 度 が 同 じ で あ れ ば 、ρc ∝ M−2 と な り 大 質 量 星 ほ ど 密 度 が 小 さ い こ と に な る 。 ○ 輻 射 の 寄 与 と 質 量・光 度 関 係 式 (16) が 示 す よ う に 、質 量 が 大 き く な る と 、密 度 に 比 し て 温 度 が 高 く な り、輻 射 の 効 果 が 重 要 に なって く る 。こ の 場 合 、状 態 方 程 式 は 、 式 (14) の 代 わ り に P = Pg+ Prad= k µmaρT + a 3T 4 (14
) と な る 。輻 射 を 考 慮 し て も 、上 記 の Tc ∝ R−1、ρc ∝ R−3 の 関 係 は 成 り 立 つ こ と に 留 意 。全 圧 力 に 占 め る ガ ス 圧 の 割 合 を β で 定 義 、す な わ ち 、 β = Pg/P = kρT /µmaP, 1− β = Prad/P = aT4/3P (17) と し て 、式 (14) を 書 き 直 す と 、 1− β_c β4 c = (µma k ) 4a 34πG 3 (M ϕ1 )2_. (18)

し た がって 、1− βc は ガ ス 球 の 質 量 M の 増 加 関 数 で あ る 。太 陽 の 場 合 は 、1− β  4 × 10−4 と ガ ス 圧 が 優 勢 で あ る が 、M > 10M の よ う な 大 質 量 の 恒 星 で は 、輻 射 圧 が 無 視 で き な く な る 。 式（4
）で 、表 面 近 く を 考 え て Mr  M と お く と 、光 度（luminosity）L は L  LEdd(κel/κ)(1 − β) (19) こ こ で 、κel は 電 子 散 乱 に よ る 吸 収 係 数 で 、 LEdd ≡ 4πGcM/κel (20) は Eddington の 限 界 光 度 と 呼 ば れ 、こ れ 以 上 で は 、電 子 散 乱 に よ る 輻 射 圧 が 重 力 を 上 回 り、静 的 な 平 衡 形 状 が 保 持 で き な い と い う 静 水 平 衡 に あ る 恒 星 の 光 度 の 上 限 値 で あ る 。水 素 燃 焼 段 階 の 大 質 量 星 で も 、 β  1 の た め 、中 心 部 に 発 生 す る 対 流 領 域 で d log P/d log ρ  (∂ log P/∂ log ρ)ad =

32− 24β − 3β2 3(8− β)  4/3 (21) と な る た め (た だ し γ = 5/3 と し た)、内 部 構 造 は N = 3 ポ リ ト ロ ー プ で 近 似 で き る 。 N = 3 の 場 合 は 、ガ ス 球 内 部 で β が 一 定 で あ る の で 、中 心 部 の 値 で 置 き 換 え る こ と が で き る 。上 式 の 1− β に 中 心 で の 値 (18) を 代 入 す る と 、太 陽 の よ う な 低 質 量 の 恒 星 で は 、β  1 な の で 、 1− β ∝ M2_{and hence L ∝ M}3_(κel/κ) (22) と な り、恒 星 の 光 度 は 、質 量 と と も に 急 激 に 増 加 す る 。一 方 、M > 10M の 大 質 量 星 で は 、β  1 と な る た め 、 L  LEdd ∝ M (23) と な り、光 度 の 質 量 依 存 性 は 弱 く 小 さ く な る 。*。

III.

自 己 重 力 系 の 熱 力 学

1.

Virial

定 理 と「 負 の 比 熱 」 理 想 気 体 の 単 位 質 量 あ た り の 内 部 エ ネ ル ギ ー u は 断 熱 指 数 を γ と す る と u = 1/(γ − 1) 1 µmakT = 1/(γ − 1)（P/ρ） (24) * Lane-Emden 解 が 適 用 で き る の は 、均 一 な 組 成 の ガ ス 球 で あ り、こ こ で 導 い た 質 量 光 度 関 係 は 成 り 立 つ の は 、水 素 燃 焼 段 階 の 主 系 列 星 の 場 合 に 限 ら れ る 。

で 与 え ら れ 、ガ ス 球 の 内 部 エ ネ ル ギ ー ET と 重 力 エ ネ ル ギ ー EG は 静 水 平 衡 を 仮 定 す る と (γ − 1)ET =
M 0 P ρdMr =
R 0 P 4πr2dr = [4πr 3 P 3 ] R 0 −
(4πr 3 3 ) dP dr dr =−1 3
_M 0 −GMr r dMr=− 1 3EG (25) と な る（Virial 定 理 ）。し た がって 、ガ ス 球 の 全 エ ネ ル ギ ー E は 、 E = ET + EG =−(3γ − 4)ET = 3γ − 4 3γ − 3EG. (26) こ の 式 は ガ ス 球 の 全 エ ネ ル ギ ー と 内 部 エ ネ ル ギ ー の 増 減 が 逆 符 合 に なって い て 、自 己 重 力 が 支 配 す る ガ ス 球 の 熱 的 な 振 る 舞 い が 通 常 の 系 と 異 な る こ と を 示 し て い る 。す な わ ち 、系 が エ ネ ル ギ ー を 失 う と 内 部 エ ネ ル ギ ー は 増 加 し て 、温 度 が 上 昇 し 、逆 に 、エ ネ ル ギ ー を 得 る と 、内 部 エ ネ ル ギ ー は 減 少 し て 、温 度 が 下 が る こ と に な る 。つ ま り、 ガ ス 球 は あ た か も 比 熱 が 負 で あ る か の よ う に 振 舞 う こ と に な る 。 ガ ス 球 へ の 熱 の 出 入 り、内 部 エ ネ ル ギ ー と 重 力 エ ネ ル ギ ー の 増 減 を 、そ れ ぞ れ 、∆E、∆ET、∆EGと す る と 、断 熱 指 数 が γ = 5/3 の 単 原 子 分 子 の 場 合 、

∆E = ∆ET + ∆EG =−∆ET = 1

2∆EG (27) と な る 。全 エ ネ ル ギ ー の 変 化 量 に 対 し 、内 部 エ ネ ル ギ ー は 同 じ 量 だ け 逆 の 方 向 に 変 化 し 、重 力 エ ネ ル ギ ー の 変 化 量 は 両 方 の 合 計 で ２ 倍 に なって い る 。こ れ は 、全 エ ネ ル ギ ー の 変 動 に 伴 い 、ガ ス 球 は 膨 張 あ る い は 収 縮 し て 静 水 平 衡 を 回 復 しょう と す る が 、こ れ に 要 す る 仕 事 の 結 果 で あ る 重 力 エ ネ ル ギ ー の 変 動 は 、全 エ ネ ル ギ ー の 変 化 量 を 上 回 り、そ の 差 を 内 部 エ ネ ル ギ ー か ら ま か な う こ と に な る た め で あ る 。 こ の 過 程 は 分 解 す る と 次 の よ う に 考 え ら れ る 。す な わ ち 、ガ ス に 熱 を 加 え る（ 奪 う ）と 圧 力 が 上 昇（ 下 降 ） ⇒ 重 力 と の 釣 り 合 い を 回 復 す る た め ガ ス は 膨 張（ 収 縮 ） ⇒ 圧 力 が 元 の 値 に 復 元 し た と き 、重 力 は 小 さ く（ 大 き く ）なって い る た め さ ら に 膨 張（ 収 縮 ） ⇒ 膨 張（ 収 縮 ） に 伴 う 仕 事 が 加 え た（ 奪った ）熱 量 を 上 回 る 。 系 の 比 熱（ 熱 容 量 ）を 考 え る と き は 、熱 の 出 入 り に 伴 う 仕 事 を 考 慮 し な け れ ば な ら ず、自 己 重 力 系 の 場 合 に 比 熱 が 負 に な る の は 、自 己 重 力 系 の 静 水 平 衡 形 状 の 調 整 に 要 す る 重 力 エ ネ ル ギ ー の 変 化 を 含 む た め で あ る 。

2.

準 静 的 な 進 化

「 負 の 比 熱 」が 、自 己 重 力 系 の 準 静 的 な 進 化 を 特 徴 付 け る こ と に な る 。準 静 的 と い う こ と の 意 味 は 、熱 の 移 動 の timescale が 動 的 な 調 整 に 要 す る 時 間 尺 度 、free-fall timescale τff (= 1/ √ 4πGρ) よ り も 長 く、構 造 の 変 化 す る 間 、静 水 平 衡 が 保 た れ る と い う こ と で あ る 。ガ ス 球 は 表 面 温 度 が 周 囲 の 宇 宙 空 間 よ り も 高 け れ ば 、表 面 か ら の 放 射 に よって エ ネ ル ギ ー を 失 う。そ の 結 果 、ガ ス 球 は 収 縮 し 、中 心 密 度 と と も に 温 度 が 上 昇 す る こ と に な る 。こ の と き 変 化 は 、式（ 16）で 与 え た よ う に 、 Tc ∝ ρ1c/3 ∝ R−1 に 従 う こ と に な る 。 中 心 温 度 が 上 昇 し Tc  106 を 超 え る と 恒 星 の 中 心 部 で は 核 融 合 反 応 が 始 ま る 。こ の と き 、全 エ ネ ル ギ ー の 収 支 は 、表 面 か ら の エ ネ ル ギ ー 放 出 率 L と 中 心 部 で の 核 反 応 に よ る エ ネ ル ギ ー 発 生 率 LN の 釣 り 合 い で 決 ま る こ と に な る 。も し ∆E/∆t = −L + LN < 0 で あ れ ば 、中 心 温 度 が 上 昇 す る こ と に な る 。こ の 温 度 の 上 昇 に 伴 い 、核 反 応 が 速 く な り、エ ネ ル ギ ー 発 生 率 が さ ら に 大 き く な る 。一 方 、∆E/∆t = −L + LN > 0 で あ れ ば 、中 心 温 度 が 下 降 し 、核 反 応 が 遅 く な り、エ ネ ル ギ ー 発 生 率 が 小 さ く な る 。こ の 負 の フィー ド ・バック が 働 く た め 、自 己 重 力 に 支 配 さ れ た ガ ス 球 で は 、核 反 応 が 起 き る と 、LN = L の 定 常 的 な 状 態 が 実 現 し 、安 定 に 保 た れ る こ と に な る 。* 核 反 応 過 程 で は 、原 子 核 間 に 電 気 的 な 反 発 力（ ク ー ロ ン 障 壁 ）が 働 く た め 、原 子 番 号 の 大 き い 核 同 士 の 反 応 は 高 温 を 要 す る こ と に な る 。こ の た め 、恒 星 の 定 常 的 な 核 燃 焼 で は 、最 も ク ー ロ ン 障 壁 の 小 さ い 水 素 が 融 合 し て ヘ リ ウ ム を 合 成 す る 反 応 が 最 初 に 起 き る こ と に な り、そ れ 以 外 の ク ー ロ ン 障 壁 の 大 き な 元 素 同 士 の 核 反 応 は 同 時 に は 起 き な い 。こ の 核 燃 焼 段 階 は 、水 素 核 反 応 に よ る エ ネ ル ギ ー 供 給 が 続 く 限 り 維 持 さ れ る ** 。核 燃 料 が 燃 え 尽 き る と 、ガ ス 球 は 、再 び 、重 力 収 縮 段 階 に 入 る こ と に な り、こ の 重 力 収 縮 の 結 果 、中 心 温 度 が 上 昇 し 、次 に ク ー ロ ン 障 壁 の 小 さ い 原 子 同 士 の 核 反 応 の 段 階 が 始 ま る ま で 続 く こ と に な る 。こ の よ う に 、ガ ス 球 は 、重 力 収 縮 と 定 常 的 な 核 燃 焼 の 段 階 を 繰 り 返 し な が ら 、進 化 す る こ と に な る 。

IV.

準 静 的 進 化 の 限 界

=

恒 星 の 終 末 ガ ス 球 の 準 静 的 な 進 化 が 続 く 条 件 は 、ガ ス 球 の 静 水 平 衡 が 保 た れ る こ と と 、ま た 、理 想 気 体 の 状 態 方 程 式 は 適 用 さ れ る こ と で あ る 。こ の ２ つ の 条 件 が や ぶ れ る と 、恒 星 は そ の 寿 命 を 終 え る 。中 低 質 量 の 恒 星 は 、電 子 縮 退 が 始 ま る と 比 熱 が 正 と な り、ま た 、大 質 量 星 は 、動 的 な 不 安 定 を 起 こ し て 恒 星 は 終 末 を 迎 え る こ と に な る 。 * 実 際 に は 、表 面 か ら の エ ネ ル ギ ー 放 出 率 と も 温 度 に 依 存 し 、そ れ と の 競 合 で 決 ま る の で 、フィー ド ・バック が 働 く の は 、エ ネ ル ギ ー 発 生 率 の 温 度 依 存 性 が 、強 い 場 合 の み で あ る 。 ** 実 際 に は 、核 反 応 に 伴 い 中 心 部 の 平 均 分 子 量 が 増 加 す る た め 、中 心 温 度 は 上 昇 の 傾 向 を 示 す こ と に な る 。

1.

電 子 縮 退 に よ る 終 末 ガ ス 球 の 質 量 が 小 さ く な る ほ ど 、中 心 密 度 に 比 し て 中 心 温 度 が 低 く、 重 力 収 縮 し て 中 心 密 度 が 高 く な る と 、電 子 が 縮 退 を 起 こ す。電 子 は Fermi-Dirac 統 計 に 従 う。電 子 の 科 学 ポ テ ン シャル を ΨkT と お く と 、 ne =
∞ 0 1 exp(/kT − Ψ) + 1 8πp2 h3 dp, (28) Pe = 1 3
_∞ 0 p∂ ∂p 1 exp(/kT − Ψ) + 1 8πp2 h3 dp, (29) た だ し 、 = (m2ec4+ p2c2)1/2− mc2。非 縮 退 、非 縮 退 の 場 合 、電 子 の 数 密 度 と 化 学 ポ テ ン シャル の 関 係 は ne = eΨ2(2πmekT /h2)3/2 (30) と な り、電 子 縮 退 の 条 件 Ψ∼ 0 は> ρ∼ µ> ema· 2(2πmekT /h2)3/2 = 8.1µeT63/2 (31) (µe は 電 子 一 個 あ た り の 平 均 核 子 数 、T6 = T /106 K)。 縮 退 が 強 い 場 合 に は 、圧 力 は 温 度 の よ ら ず 電 子 密 度 だ け で 決 ま る よ う に な る 。完 全 縮 退 の 下 で は 、電 子 の 数 密 度 と 圧 力 は, Fermi 運 動 量 pF を 用 い て 、 ne = 8π 3 ( mec h ) 3 ( pF mec) 3 (32) Pe=  _π 3( mec h )3mec2 85( pF mec) 5 _(N.R.) π 3( mec h )3mec22(mpFec) 4 _(E.R.) で 与 え ら れ る 。圧 力 は 非 相 対 論 的 な 場 合（ 上 式 ）と 相 対 論 的 な 場 合 （ 下 式 ）で 、こ の 境 界 を 、Fermi エ ネ ル ギ ーF = (m2ec4+ p2Fc2)1/2−mc2  2kT と お く と ρ > µema64π 3 ( mec h ) 3 = 7.8 × 106µe g cm−3 (33) で 、相 対 論 的 な 取 り 扱 い が 必 要 と な る 。そ れ ぞ れ 、電 子 圧 は 密 度 の 関 数 と し て Pe=  ₄ 5π3 2/3 (_mh ec) 2_m ec2(_µeρ_ma)5/3 (N.R.) π 3 2/3 (_mh ec)mec 2₍ ρ µema) 4/3 _(E.R.) (34) 非 相 対 論 的 な 場 合 は 、N = 1.5、相 対 論 的 な 場 合 は 、N = 3 の ポ リ ト ロ ー プ と な る 。 ○ 核 爆 弾 と し て の 終 末 - 不 発 弾 か 超 新 星 爆 発 電 子 が 強 く 縮 退 す る と 、理 想 気 体 の ガ ス 球 の 場 合 と は 振 る 舞 い が 異 な る 。電 子 圧 が イ オ ン や 輻 射 の 圧 力 を 上 回 り（Pe Pi）、圧 力 の 温 度

依 存 性 が 無 視 で き る よ う に な る の で 、温 度 が 変 化 し て も 圧 力 が 変 わ ら な い 。こ の た め 、熱 の 出 入 り に 対 し て 、重 力 エ ネ ル ギ ー の 変 動 は 無 視 で き る よ う に な り、∆E  ∆ET、|∆EG/∆ET|  1、す な わ ち 、ガ ス 球 の

比 熱 が 正 と な る 。こ の た め 、恒 星 は ま さ に 核 爆 弾 そ の も の と な る が 、 爆 弾 の 命 運 は 、起 爆 装 置 が 作 動 す る か ど う か で 分 岐 す る 。 I 恒 星 は 表 面 か ら の 放 射 に よって エ ネ ル ギ ー を 失 う。比 熱 が 正 の も と で は 、こ の 輻 射 に よ る 熱 損 失 と と も に 、恒 星 は 冷 却 し て い く こ と に な る の で 、核 反 応 に は 点 火 せ ず、い わ ば ガ ス 球 は 不 発 弾 と な る 。こ の 電 子 の 縮 退 圧 で 支 え ら れ た 恒 星 が 白 色 矮 星 で あ る 。 II 電 子 縮 退 の も と で も 、縮 退 領 域 が 圧 縮 さ れ る と 、そ れ に 伴って 温 度 が 上 昇 し 、電 子 が 縮 退 し た 領 域 で 核 反 応 に 点 火 す る こ と が あ る 。こ の 場 合 、核 反 応 に よ る エ ネ ル ギ ー 発 生 率 が 表 面 か ら の エ ネ ル ギ ー 放 出 率 を 上 回 る と 、「 負 の 比 熱 」の 場 合 と 異 な り、膨 張 を 伴 わ な い の で 内 部 エ ネ ル ギ ー の 増 加 と なって 温 度 が 上 昇 し 、そ の 結 果 、核 反 応 が 盛 ん に な り、さ ら に エ ネ ル ギ ー 発 生 率 が 増 加 、温 度 が 上 昇 し と 、温 度 上 昇 と エ ネ ル ギ ー 発 生 率 が 加 速 さ れ て い く。つ ま り、一 旦 発 火 の 条 件（∆E > 0）が 満 た さ れ る と 、正 の フィー ド・バッ ク が 働 き 、核 反 応 は 暴 走 す る こ と に な る 。こ の 暴 走 は 、温 度 が 上 昇 し て 、縮 退 の 条 件（ 31）が 破 れ 、電 子 縮 退 が 解 け る ま で 続 く こ と に な る 。縮 退 が 解 け る と 、温 度 の 上 昇 と と も に 圧 力 も 増 加 す る よ う に な り、ガ ス 球 は 膨 張 を 始 め る が 、そ の 後 の 進 化 は 、こ の 膨 張 の 速 さ に 依 存 す る こ と に な る 。膨 張 の 速 さ は 、温 度 の 上 昇 の 時 間 尺 度 τexp = cPT /εN（cP は ガ ス の 定 圧 比 熱 ）で 与 え ら れ 、こ れ と 系 の 動 力 学 的 な 時 間 尺 度 τff = 1/ √ 4πGρ と の 比 較 で 、結 末 が こ と な る 。 (a) τexp > τff の 場 合 、ガ ス 球 は 静 水 平 衡 を 保 ち な が ら 膨 張 す る こ と に な り、「 負 の 比 熱 」の 重 力 熱 力 学 的 な 状 態 を 回 復 す る 。そ の 結 果 、エ ネ ル ギ ー の 増 加 と と も に 、膨 張 し 、温 度 が 下 が り、 核 反 応 も 遅 く なって 暴 走 が 収 ま り、LN = L の 安 定 な 核 燃 焼 段 階 に 落 ち 着 く こ と に な る 。 (b) τexp < τff と な る 場 合 は 、縮 退 が 解 け て も 系 の 膨 張 が 、エ ネ ル ギ ー の 増 加 に 追 い つ か な い た め 、圧 力 が 下 が ら ず、衝 撃 波 が 発 生 し 、暴 走 が 続 く こ と に な る 。こ の 結 果 、発 生 す る 核 エ ネ ル ギ ー が ガ ス 球 の 束 縛 エ ネ ル ギ ー（−E = −E_T/EG）を 上 回 り、ガ ス 球 全 体 が 吹 き 飛 び 、超 新 星 爆 発 に 至 る 。 電 子 縮 退 の 下 で は 、温 度 が 上 がって も 、密 度 、圧 力 は 殆 ど 変 化 し な い の で 、縮 退 が 解 け る と き の 温 度 は 縮 退 の 条 件 か ら 、暴 走 に 点 火 し た 時 の 密 度 の 関 数 と な る 。し た がって 、こ の と き の 核 反 応 に よ る エ ネ ル ギ ー の 発 生 率 は 、点 火 時 の 密 度 、す な わ ち 、縮 退 の 強 さ で 決 ま る こ と に な る 。近 接 連 星 系 に 属 す る 白 色 矮 星 に 伴 星 か ら 質 量 が 流 入 し て 降 着 す る と 、圧 縮 に よって 温 度 が 上 が る 。そ の 結 果 、中 心 で 炭 素 燃 焼 に 点 火 し た 場 合 は 、密 度 が 高 い の で 、(b) の 場 合 の 進 化 を た ど る こ と に な る 。こ れ が 、 Ia 型 超 新 星 爆 発 の 機 構 で あ る 。一 方 、表 面 近 く で 、

水 素 燃 焼 に 点 火 し た 場 合 は 、(a) の 場 合 に あ た り、核 反 応 の 暴 走 は 準 静 的 に 進 行 し 、縮 退 が 解 け た あ と は 、温 度 が 下 が り、安 定 な 核 燃 焼 段 階 に お さ ま る こ と に な る 。こ の と き も 、動 力 学 的 時 間 尺 度 が 長 い 表 面 近 く で は 膨 張 に つ い て い け ず 衝 撃 波 が た ち 、ガ ス が 放 出 さ れ る 。 こ れ が 新 星 爆 発 の 機 構 と 考 え ら れ て い る 。 ○ 恒 星 の 下 限 質 量 と 褐 色 矮 星 ガ ス 球 の 進 化 は Tc ∝ ρ1c/3M2/3 に 沿 う。一 方 、縮 退 の 条 件 は Tc ∝ ρ2c/3 で 与 え ら れ る 。し た がって 、電 子 縮 退 は 、恒 星 ほ ど 早 く（ 低 密 度 、低 温 度 で ）起 き る こ と に な る 。縮 退 す る と 中 心 温 度 は 下 が る の で 、式 (18)、 (31) の ２ 条 件 の 交 差 す る 温 度 は 、ガ ス 球 が 到 達 で き る 最 高 温 度 を 与 え る 。密 度 を 消 去 し て 、縮 退 が 始 ま る 温 度 Tdeg は 、 Tdeg = 2π(8πµema )2/3_µ2_m2_ameG2 h2_k ( M ϕ1 )4/3 (35) で 与 え ら れ 、polytropic index をN = 1.5 と お い て こ の 式 を 質 量 に つ い て 解 く と 、 M = 0.023M(µ3µe)−1/2T63/4 (36) こ こ で 、水 素 核 反 応 に 必 要 な 温 度 と し て T  2 × 06 K を 代 入 す る（ µ = 0.61、µe = 1.2）と 、主 系 列 星 の 下 限 質 量 が M  0.08M が 求 ま る 。 質 量 が 0.08M 以 下 の ガ ス 球 で は 、中 心 で 水 素 核 燃 焼 に 点 火 す る 前 に 電 子 の 縮 退 が 始 ま り、そ の ま ま 、温 度 が 冷 え て 、白 色 矮 星 へ と 進 化 す る こ と に な る 。こ れ ら の 恒 星 の 冷 却 は 、Kelvin-Helmholtz の 時 間 尺 度 τKH≡ (GM2/R)/L  3 × 107(M/M)2(R/R)−1(L/L)−1 yr (37) で 進 む が 、低 質 量 星 は 、光 度 が 低 い (L ∝ M3∼4_{) た め に 、∼ 1 Gyr の オ ー} ダ ー で ゆっく り と 冷 え て ゆ く こ と に な り、褐 色 矮 星 と し て 観 測 さ れ る 。 こ れ 以 上 の 質 量 の 恒 星 は 、水 素 燃 焼 を 経 る こ と に な り、主 系 列 に 落 ち 着 く こ と に な る 。こ の 間 殆 ん ど 光 度 は 変 わ ら な い の で 、主 系 列 段 階 の 恒 星 の 寿 命 は 、核 燃 料 の 備 蓄 と 消 費 量 で 決 ま る こ と に な る 。 た だ し 、核 反 応 は 中 心 部 の 温 度 の 高 い と こ ろ で し か 起 こ ら な い の で 、 主 系 列 段 階 で 消 費 で き る 水 素 の 量 をf と す る と 、 τ = M XEHf L = 6.8 × 10 9 ( M M)( X 0.7)( L L) −1₍ EH 6× 1018_{erg g}−1)( f 0.1)yr (38) （X 、 EH は そ れ ぞ れ 、水 素 の 初 期 組 成 、水 素 は ヘ リ ウ ム に 変 換 す る と き 単 位 質 量 か ら 解 放 さ れ る 核 エ ネ ル ギ ー ）。太 陽 の 現 在 の 高 度 は 、初 期 に 比 べ て ４ ６ 億 年 の 間 に ２ 倍 く ら い に 増 え た こ と を 考 慮 す る と 、 太 陽 質 量 の 恒 星 の 寿 命 は 100 億 年 と い う こ と に な る 。低 質 量 星 で は 、 光 度 は L ∝ M3∼4 な の で 、寿 命 は 、質 量 の 増 加 と と も に 2 ∼ 3 乗 に 反 比

例 し て 急 激 に 減 少 す る こ と に な る 。大 質 量 星 で は 、光 度 は LEdd で 与 え ら れ る の で 、 τ = 7.2 × 106f (LEdd L )yr (39) と な り、f  1 に 近 く な る の で 、寿 命 は 質 量 に よ ら ず ほ ぼ 数 百 万 年 で 一 定 に な る 。 質 量 が 2.5M よ り 小 さ い 恒 星 は 、水 素 が 燃 え 尽 き た 段 階 で 、ヘ リ ウ ム の 中 心 核 で 電 子 の 縮 退 が 始 ま り、8M ま で の 星 は 、中 心 で ヘ リ ウ ム が 燃 え 尽 き 、炭 素 と 酸 素 の 中 心 核 で 、8∼ 11M の 恒 星 は 、炭 素 燃 焼 を 終 え 、酸 素 、ネ オ ン 、マ グ ネ シ ウ ム の 中 心 核 が で き た 段 階 で 電 子 縮 退 が お き る こ と に な る 。12M の 恒 星 は 、そ の 後 、酸 素・ネ オ ン 燃 焼 、 さ ら に は 、マ グ ネ シ ウ ム・シ リ コ ン 燃 焼 を 経 て 鉄 の 中 心 核 が で き る ま で 進 化 す る 。鉄 は 束 縛 エ ネ ル ギ ー が 最 も 大 き い の で 、核 エ ネ ル ギ ー を 使 い 尽 く し た こ と に な る 。 ○ 白 色 矮 星 ＝ 電 子 の 縮 退 圧 で 支 え ら れ る 星 縮 退 ガ ス の 状 態 方 程 式 は 、ポ リ ト ロ ー プ で 近 似 で き る の で 、質 量 と 半 径 は Lane-Emden 解 で 、中 心 密 度 の 関 数 と し て 求 め ら れ る 。電 子 の Fermi エ ネ ル ギ ー が 非 相 対 論 的 な 場 合 は 、N = 1.5 な の で 、そ れ ぞ れ 、 R = [ h 2 4πGme 1 5( 3 8π) 2/3 1 µema 5/3 ]1/2_{5.777 ρ}−1/6_c M = [ 3h 6 32π2_G3_m3 e 1 53( 1 µema) 5 ]1/2_{10.73 ρ}1_c/2 (40) と な る 。つ ま り、白 色 矮 星 の 質 量 は 中 心 密 度 の 増 加 関 数 で は あ る が 、 半 径 は 、中 心 密 度 が 増 加 す る と 減 少 す る 。こ れ か ら 、質 量 − 半 径 関 係 は RM1/3 = 1 5( 3 32π2_µ ema) 2/3 h2 Gµemameξ1ϕ 1/3 1 = 0.040( 1 µe) 5/3 RM1/3 (41) ヘ リ ウ ム や 炭 素・酸 素 (µ = 2) か ら な る 白 色 矮 星 で は 、半 径 は 、∼ 0.01R、 太 陽 の 1/100 程 度 と な る 。 電 子 の Fermi エ ネ ル ギ ー が 相 対 論 的 に な る と 、P ∝ ρ4/3, N = 3 と な り、質 量 は M = Mcrit= [ 3 32π2( hc 4Gma) 3 1 ma] 1/2 µ−216.14 = 1.42M( 2 µe) 2 (42) と な り、質 量 は 中 心 密 度 に よ ら ず、一 意 的 に き ま る 。Mcrit を Chan-drasekhar 限 界 質 量 と い う、電 子 の 縮 退 圧 で 支 え る こ と の で き る 質 量 の 上 限 を 与 え る 。半 径 は 、 R = [ hc 4πGma( 3 8πma) 1/3 ]1/2( 1 µe) 2/3 13.79 ρ−1/3c = 0.011( 1 µe) 2/3 ρ−1/3c,6 R (43)

(ρc,6 = ρc/106g cm−3) で 、中 心 密 度 と と も に 半 径 は 減 少 す る こ と に な る 。 し た がって 、近 接 連 星 で の 質 量 流 入 で 白 色 矮 星 の 質 量 が 増 加 す る と 、 中 心 密 度 は ρc ∝ M2 で 増 加 し 、半 径 は 、R ∝ M−1/3 で 収 縮 し て い く。 質 量 が Mcrit 近 づ く と 、中 心 密 度 の 減 少 が 急 激 に な り、そ れ に 応 じ て 半 径 も 小 さ く なって い き 、つ い に は 、密 度 無 限 大 、半 径 が ゼ ロ に 収 斂 す る 。

2.

動 力 学 的 な 不 安 定

–

中 性 子 星 、ブ ラック・ホ ー ル ポ リ ト ロ ー プ の 静 水 平 衡 か ら M ∝ ρ(3c −N)/2N と な る 。こ れ は 、ポ リ ト ロ ー プ の ガ ス 球 で は 、homologous （ 一 様 な ）な 膨 張/圧 縮 に 対 し て 、 N = 3、あ る い は 、Γ ≡ 1 + 1/N = 4/3 を 境 に 安 定 性 が 交 替 す る こ と を 意 味 し て い る 。 1. N < 3 （Γ > 4/3）の 場 合: 静 水 平 衡 で 支 え ら れ る 質 量 M は 中 心 密 度 の 増 加 関 数 な の で 、膨 張/圧 縮 に 対 し て 、元 に 復 元 す る す る 力 が 働 く。 2. N = 3 （Γ = 4/3）の 場 合: 前 節 白 色 矮 星 の と こ ろ で も 見 た よ う に 、M は 中 心 密 度 に よ ら な い た め 、圧 縮/膨 張 に 対 し て 中 立 で 、そ の ま ま と ど ま る 。 3. N > 3 （Γ < 4/3）の 場 合: M は ρc の 減 少 関 数 な の で 、不 安 定 で あ る 、 圧 縮 す る と そ の ま ま つ ぶ れ て し ま う こ と に な る 。 理 想 気 体 で は 、断 熱 指 数 γ = (∂ log P/∂ logρ)ad = 5/3 > 4/3 (一 原 子 分 子 の 場 合) で あ り、動 力 学 的 に は 安 定 で あ る が 、電 離 な ど 相 転 移 が 起 き る 場 合 に は 、断 熱 指 数 は 小 さ く な り γ < 4/3 に な り う る 。H → p + e の 反 応 が お き る と 、圧 縮 し て 密 度 を 上 げ て も 、仕 事 が 電 離 の エ ネ ル ギ ー に 使 わ れ て 温 度 が 上 が ら な い の で 圧 力 の 増 加 は 小 さ く な る 。し た がって 、内 部 で 相 転 移 が 起 き る と 、ガ ス 球 は 動 力 学 的 に 不 安 定 に な り 得 る 。電 離 の 場 合 に は 、す べ て の 原 子 が 電 離 、あ る い は 、再 結 合 し た 段 階 で 、断 熱 指 数 が 通 常 の 値 に 復 し 、ガ ス 球 は 安 定 化 す る 。こ の 場 合 、膨 張/収 縮 は 反 跳 し 、収 縮/膨 張 に 転 じ る 。こ れ が 、セ ファイ ド な ど の 脈 動 星 の 原 理 で あ る 。 こ れ に 対 し て 、109 K を 超 え る 高 温 で は 、鉄 の 分 解 や 電 子 対 発 生 が お き 、断 熱 指 数 が γ < 4/3 に な り、ガ ス 球 の 重 力 崩 壊 が 起 き る 。鉄 の 分 解 は 、恒 星 の 準 静 的 な 進 化 の 最 後 に 起 き る 。M > 12M の 恒 星 は 、密 度 の 割 り に 温 度 が 高 い た め 、中 心 部 は 、電 子 が 縮 退 す る こ と な く、鉄 の 合 成 に ま で 進 む 。し か し 、鉄 は 最 も 結 合 エ ネ ル ギ ー が 大 き い た め 、 中 心 部 で 鉄 が 形 成 さ れ る と 、核 エ ネ ル ギ ー を 使 い 果 た し た こ と に な り、そ れ 以 降 は 、ガ ス 球 は もっぱ ら 重 力 崩 収 縮 を 続 け る こ と に な る 。そ の 結 果 、高 温 に な り、つ い に は 、熱 運 動 の エ ネ ル ギ ー が 核 子 の 結 合 エ ネ ル ギ ー を 上 回 る よ う に なった 段 階 で 、鉄 の 分 解 が 始 ま る 。 56_{Fe −→ 13}4 He + 4n + 124.4Mev (44) り、動 力 学 的 な 不 安 定 性 が 誘 起 さ れ る 。中 心 部 の 崩 壊 は 、原 子 核 が 分 解 し て 、核 子 間 に 反 発 力 が 働 く よ う に な る と 一 旦 崩 壊 は 止 ま る（ 減

速 さ れ る ）こ と に な る 。後 か ら 崩 落 し て き た 外 層 は こ の 中 心 核 に 止 め ら れ て 、反 跳 し 、崩 壊 か ら 膨 張 に 転 じ て 超 新 星 爆 発 を 起 こ す と 考 え ら れ て い る 。M ∼ 30M<  の 比 較 的 軽 い 恒 星 の 場 合 は 、中 心 部 に 残 さ れ た 質 量 が 小 さ い（∼ 2M< _）の で 、中 性 子 星 が 形 成 さ れ る こ と に な る 。 M ∼ 30M>  の 重 い 恒 星 の 場 合 は 、中 心 核 に 残 さ れ た 質 量 が 大 き く、そ の 重 力 を 核 力 で は 支 え ら れ ず、ブ ラック・ホ ー ル が 残 さ れ る こ と に な る と 考 え ら れ て い る 。こ れ が 、鉄 崩 壊 型 超 新 星 爆 発 の 機 構 で あ り、II 型 超 新 星 爆 発 の モ デ ル で あ る 。 温 度 が T > 109に な る と 、熱 ガ ン マ 線 の エ ネ ル ギ ー が 電 子 の 静 止 エ ネ ル ギ ー を 上 回 り、電 子 対 の 発 生 が 起 き る 。 2γ ←→ e−+ e+ (45) こ れ ら の 熱 容 量 へ の 寄 与 は 、輻 射 と 同 程 度 で あ る が 、ガ ス の 寄 与 が 非 常 に 小 さ く な る 大 質 量 星 で は 、こ の た め に 、断 熱 指 数 が γ < 4/3 と な り、動 的 に 不 安 定 に な る 。こ れ ら の 大 質 量 星 で は 、温 度 が 、109 _{K を} 超 え た 段 階 で 重 力 崩 壊 を 起 こ す。こ の 崩 壊 は 、中 心 部 の 温 度 、密 度 の 上 昇 と と も に 核 反 応 に よ る エ ネ ル ギ ー の 発 生 が 大 き く な る と 、膨 張 に 転 じ る こ と に な り、こ の 核 エ ネ ル ギ ー に よって 、恒 星 全 体 が 飛 び 散 る こ と に な る 。こ れ が 、電 子 対 超 新 星 爆 発 で あ る 。核 反 応 に よ る 反 跳 が 起 き る 前 に 鉄 の 分 解 領 域 に 突 入 し た 場 合 は 、反 跳 は 起 こ ら ず、星 全 体 が ブ ラック・ホ ー ル に な る こ と に な る 。

3.

動 力 学 的 な 安 定 性 の 解 析

IV.

殻 燃 焼