関数（ｙ＝ａｘ²）

第３学年○組 数学科学習指導案

１ 単元 関数（ｙ＝ａｘ²） ２ 指導観 ○ 本単元では、具体的な事象の中から二つの数量を取り出し、それらの変化や対応を調べることを通し て、関数ｙ＝ａｘ²について理解するとともに、関数関係を見いだし表現し考察する能力を伸ばすことが ねらいである。これまでの一次関数の学習をさらに発展させ、生徒が日常生活で経験する具体的な事象 の中から、比例、反比例、一次関数以外の代表的なものとして関数ｙ＝ａｘ²を取り扱う。その際、表、 式、グラフを相互に関連付けながら、変化の割合やグラフの特徴など関数の理解を一層深めることにな る。関数ｙ＝ａｘ²の活用については、関数ｙ＝ａｘ²を用いて具体的な事象をとらえ説明できるように する。そのために、具体的な事象を式で表現することによって、それが関数ｙ＝ａｘ²であると考えられ るかどうかを判断したり、具体的な事象に関する観察や実験の結果を関数ｙ＝ａｘ²とみなすことによっ て、未知の状況を予測したりすることが大切である。その際、判断の根拠や予測が可能である理由を他 者に説明することができるようにする。また、事象の中には既習の関数ではとらえられない関数関係が あることについて取り扱う。これらの学習を通して、一意対応としての関数の意味を明確にするととも に、後の学習の素地となるようにする。 ○ 本学級の生徒は、授業態度は真面目で、落ち着いた雰囲気で学習に取り組んでおり、わからない問題は 教えあう場面も多い。発言は少ないが、発表には意欲的で、７割近くの生徒が積極的に発表を行う。学習 内容としては、第１学年では、具体的な事象における二つの数量の変化や対応を調べ、関数関係について 理解し、比例、反比例を関数としてとらえ直した。そこでは、変数と変域や座標について理解するととも に、比例、反比例を用いて具体的な事象をとらえ説明することを学習している。第２学年では、一次関数 を学び、第１学年と同様に具体的な事象における二つの数量の変化や対応を調べることを通して、関数関 係を見いだし表現し考察する能力を高めてきている。しかしながら、関数の分野を苦手としている生徒が 多く、式を求めたり、グラフを書いたりはできるが、関数の概念を理解することが不十分である。平成２ ９年度全国学力・学習状況調査において、学習指導要領の関数分野の本校の平均正答率(A:○・B:○)は全 国平均正答率(A:57.4・B50.8)とほぼ同じ値である。４つの領域の中では、関数分野の平均正答率は低いほ うになっている。 ○ 指導にあたっては、表、式、グラフを相互に関連付けながら、比例、反比例、一次関数以外の代表的 なものとして関数ｙ＝ａｘ²を取り扱い、変化の割合やグラフの特徴など関数の理解を一層深めていく。 既習の関数関係を振り返らせて、比例、反比例、一次関数との共通点や相違点を確認しながら進めてい く。第一次では、関数ｙ＝ａｘ²についてｙはｘの２乗に比例することの意味や既習の関数では表せない 関数があることを理解させたい。そのために、具体的な事象の中から二つの数量を取り出し、それらの 変化や対応を調べることを通して、既習と違う関数関係の存在に気づかせ、それがｙ＝ａｘ²という式で 表されることを見いださせる。第二次では、関数ｙ＝ａｘ²について、表、式、グラフを相互に関連付け て理解させたい。そのために、これまでの関数の学習同様に、表において関数の変化の様子をつかみ、 グラフによって関数の変化や対応の特徴をとらえさせる。また、式から表をつくり、その表を基にして グラフをかくというように、表、式、グラフを関連付けて進めていく。さらに、関数ｙ＝ａｘ²では、変 化の割合が一定ではないので、表やグラフによって既習の関数と比べることによってそのことの理解を 深めていく。第三次では、身のまわりの事象を関数ｙ＝ａｘ²としてとらえ、変化の様子を説明すること を通して、関数関係を見いだし表現し考察する能力を伸ばしたい。そのために、車の制動距離が時速の ２乗に比例するとみなし、与えられた速度の停止距離を予測し、その理由を説明する活動を設定する。 第四次では、比例、反比例、一次関数、関数ｙ＝ａｘ²とは異なる関数を取り上げ、「ともなって変わる 二つの数量の一方の値を決めれば他方の値がただ一つに決まる」という関数関係についての理解を深め たい。そのために、タクシー運賃や宅急便の料金など、グラフが階段状になる関数を用いて、一つの式 では表せなくても関数であるものも取り扱う。

３ 単元目標 ○ 事象の中には既習の関数では表せない関数があることに関心をもち、関数ｙ＝ａｘ²の特徴を知り、そ れを活用しようとする。 （数学への関心・意欲・態度） ○ 関数ｙ＝ａｘ²を用いて具体的な事象をとらえ、表、式、グラフを用いて考察することができる。 （数学的な見方・考え方） ○ 関数ｙ＝ａｘ²の式や変域、変化の割合を求めたり、グラフをかいたりすることができる。 （数学的な技能） ○ 関数ｙ＝ａｘ²について、表、式、グラフを相互に関連付けて理解することができる。いろいろな事象 の中に、関数関係があることを理解することができる。 （知識・理解） ４ 単元計画（１４時間） 配時 学習内容 めあて 評価基準 第 一 次 1 既習の関数とは異なる 関数を見いだし、その 新しい関数を考察する こと 段数を決めると決まるものを みつけ、その関係を考えよう。 既習の関数で表せない関係があるこ とに関心をもち、その特徴を見いだ すことができる。 第 二 次 1 与えられた条件から関 数ｙ＝ａｘ²の式を求 めること 与えられた条件から関数ｙ＝ ａｘ²の式を求めよう。 与えられた条件から関数ｙ＝ａｘ² の式に表すことができる。 1 関数ｙ＝ａｘ²のグラ フとその特徴 関数ｙ＝ａｘ²をグラフに表 し、その特徴を調べよう。 関数ｙ＝ａｘ²のグラフの特徴をと らえることができる。 1 関数ｙ＝ａｘ²の(x,y) を点に表し、グラフを かくこと 関数ｙ＝ａｘ²の(x,y)を点に 表し、グラフをかこう。 関数ｙ＝ａｘ²のグラフをかくこと ができる。 1 関数ｙ＝ａｘ²のグラ フと a の値との関係、 放物線、放物線の軸、 放物線の頂点 関数ｙ＝ａｘ²のグラフと a の値との関係について考え よう。 関数ｙ＝ａｘ²のグラフとａの値と の関係からグラフの特徴を見出し、 ａの値から特徴をまとめることがで きる。 1 関数ｙ＝ａｘ²の値の 増減と変域 グラフから関数ｙ＝ａｘ²の ｙの値の増減を調べよう。 関数ｙ＝ａｘ²についてｙの値の増 減を調べ、変化の様子をまとめるこ とができる。 1 ｘの変域からｙの変域 を求めること 関数ｙ＝ａｘ²でχの変域が あるとき、ｙの変域を調べよ う。 関数ｙ＝ａｘ²についてｘの変域が 与えられているとき、ｙの変域を求 めることができる。 2 関数ｙ＝ａｘ²の変化 の割合 関数ｙ＝ａｘ²の変化の割合 について調べよう。 関数ｙ＝ａｘ²の変化の様子を表や グラフで観察し、変化の割合が一定 でないことを見出すとともに、変化 の割合を求めることができる。 1 関数ｙ＝ａｘ²と１次 関数の変化の割合の違 い 関数ｙ＝ａｘ²と１次関数の 変化の割合について調べよ う。 関数ｙ＝ａｘ²と一次関数変化の割 合について、その特徴や違いを説明 することができる。 第 三 次 1 身のまわりの関数ｙ＝ ａｘ² 身のまわりの関数ｙ＝ａｘ² と関わりの深い事象につい て調べよう。 身のまわりの事象からｙ＝ａｘ²の 関係を見出し、その関係を利用して 問題を解決することができる。 第 四 次 1 これまでに学んだ関数 とは異なる関数 これまでに学んだ関数とは 違う関数を考えよう 身の回りの事象の中には、既習の関 数ではとらえられない関数があるこ とを説明することができる。 2 基本の確かめ 章末問題 関数ｙ＝ａｘ²の学習内容を 振り返ろう 関数ｙ＝ａｘ²の問題を解くことが できる。

５ 本時の主眼 ２つの数量ｘ、ｙについて、既習と違う関数関係の存在に気づき、それがｙ＝ａｘ²という式で表され ることを見いだすことができる。 ６ 本時の展開 （平成２９年○月○日（○）３校時 ３年○組教室） 学習段階 生徒の学習活動・内容 指導の工夫（教師の支援） 形態 配時 導 入 １ 既習の関数について振り返る。 ２ 本時の課題とめあてを把握する。 ・関数の定義と比例、反比例、一次関 数の特徴を確認させる。 全体 全体 ５分 ５分 展 開 ３ 段数と関数関係になっている数量 をみつけ、表や式に表し、特徴を見 出す。 (1)個人思考を行う。 ・段数と関数関係になっているもの をみつけ、表をつくる。 (2)小集団で自分が発見した関数関係を 交流する。 (3)全体で段数と関数関係になっている ものを確認する。 ・比例、一次関数、ｙ＝ａｘ²となる ものを確認する。 ・決めるものは段数であることを確認 する。 ・関数関係になるものを見出させるた めに、関数の定義を想起させる。 ・ｙ＝ａｘ²と表せる関数を見出させる ために、机間指導により着眼点を与 える。 ・ｙ＝ａｘ²になるものを表出させるた めに、意図的指名を行う。 個人 小集団 全体 １０分 １０分 １０分 ま と め ４ ｙ＝ａｘ²についてまとめる。 ・枚数と面積はｙはｘの２乗に比例し ていることを確認する。 ５ 本時のまとめを行う。 ・ｙはｘの２乗に比例していることを 確認させるために、面積の式を一般 化し、比例の場合と比較させる。 全体 全体 ５分 ５分 問題 １辺が２cm の正方形の紙を１段、２段、３段・・・と図のように並べていく。 段数が増えるにつれてともなって変わる量について考えてみよう。 めあて 段数を決めると決まるものをみつけ、その関係を調べよう。 まとめ ｙはｘの２乗に比例する関数が存在し、ｙ＝ａｘ²で表ことができる。

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1段 2段 3段 4段 ・段数と関数関係にあるもの

高さ(y=2x) 周の長さ(y=12x-4) 下段の枚数(y=2x-1) 枚数(y=x²) 面積(y=4x²)