０
半導体量子井戸構造・超格子の物理（基礎理論編）
大阪市立大学大学院工学研究科 電子情報系専攻電子・物理工学講座 中山正昭 １．量子井戸構造・超格子のバンド構造 1-1. 半導体ヘテロ接合の概念 1-2. 量子井戸におけるサブバンド構造 1-3. 超格子におけるミニバンド構造 1-4. 任意の多重量子井戸系のサブバンド状態に関する計算方法 1-5. 正孔サブバンドに対する厳密な解析（Luttinger ハミルトニアン） 1-6. 格子歪み効果（歪み量子井戸・超格子） 1-7. 電場効果：量子閉じ込め Stark 効果と Wannier-Stark 局在 1-8. 励起子状態 ２．光学遷移の量子論 2-1. 光と物質の相互作用の量子論 2-2. 量子井戸構造におけるバンド間遷移 2-3. 量子井戸構造におけるサブバンド間遷移１ 1-1. 半導体ヘテロ接合(semiconductor heterojunction)の概念 点近傍のバンド構造 （立方晶系） バンド不連続性の形態 量子井戸構造：超格子は理想的には無限積層繰り返し系（実際は有限系） k E 伝導帯 Conduction Band 価電子帯
Valence Band 重い正孔 Heavy Hole
軽い正孔 Light Hole スプリットオフ正孔 Split-Off Hole Eg Type-II C.B. C.B. V.B. V.B. Type-I C.B. V.B. Type-II Type-II Type-I
２
バンド不連続性（band discontinuity）を決定する要因 (a) 電子親和力(electron affinity)： 物質固有の物理量
電子親和力の差だけでは、バンド不連続性を解釈できない。
(b) 界面双極子(interface dipole)の形成
ヘテロ接合によって、界面を介して電荷移動が生じて界面双極子が形成され、 それによってバンド接続(band lineup)の再構成が生じる。
最初の理論的指摘： J. Tersoff, Phys. Rev. B 30, 4874 (1984).
系統的な第一原理計算： N.E. Christensen, Phys. Rev. B 37, 4528 (1988).
(c) 格子不整合歪みによるバンド構造の変化（1-6 で述べる）
Vacuum
A
BCB
ACB
BVB
AVB
BE
g,AE
g,B ++ + --CB
AVB
ACB
BVB
B３ 1-2. 量子井戸におけるサブバンド(subband)構造 （有効質量近似） Schrödinger 方程式
p2 /2m0 V(r)VQW(z)
j,k,n(r) Ej,k,nj,k,n(r) 0m
:自由電子質量,p
(
/
i
)
：運動量演算子, V(r)：結晶ポテンシャル)
(z
V
QW ：量子井戸ポテンシャル, j：バンド指標, k：波数ベクトル, n；サブバンド量子数0
)
(
z
V
QW の場合（バルク結晶）：
j,k(
r
)
u
j,k(
r
)
exp(
i
k
r
)
)
(
,kr
ju
：基底関数,u
j,k(
r
R
)
u
j,k(
r
)
R：格子ベクトル GaAs などの閃亜鉛鉱(zincblende)構造の k=0（点）における基底関数 電子： s 型波動関数s
, s , ↑Up スピン ↓Down スピン 正孔： p 型波動関数 重い正孔(heavy hole, HH) J , mJ = 3/2,3/2 2 / 3 , 2 / 3 =1
/
2
(
X
iY
)
, 3/2,3/2 =1/ 2 (X iY) 軽い正孔(light hole, LH) J , mJ = 3/2, 1/2 2 / 1 , 2 / 3 =1/ 6 2Z (X iY) 2 / 1 , 2 / 3 =1/ 6 2Z (X iY) スプリットオフ正孔(split-off hole, SO) J , mJ = 1/2, 1/2 2 / 1 , 2 / 1 =1/ 3 Z (X iY) 2 / 1 , 2 / 1 =1/ 3 Z (X iY)
４
0
)
(
z
V
QW の場合（量子井戸構造）： (x,y)面内は平面波伝播、z 方向はV
QW(z
)
の束縛を受ける。)
(
)
exp(
)
(
)
(
, , , nu
ji
nz
j
kr
kr
k
r
,)
(z
n
: 包絡関数(envelope function),k
(
k
x,
k
y)
,r
(
x
,
y
)
バンド間の基底関数混成が無視できると仮定する。価電子バンドでは、厳密 には正しくない（後述）。 包絡関数に対する Schrödinger 方程式：有効質量近似)
(
)
(
)
(
2
2 2 * 2z
E
z
z
V
dz
d
m
j QW
n
n
n
,E
n:量子化エネルギー)]
(
exp[
)]
(
exp[
2
2 2 2 2 * 2y
k
x
k
i
E
y
k
x
k
i
dy
d
dx
d
m
j x y x y
k バルク結晶のバンド構造の特性（基底関数項）は、有効質量 mｊ*に繰り込まれ る（有効質量近似 effective-mass approximation）。 サブバンドエネルギー： En(kx,ky) En 2(kx2 ky2)/2m* 無限深さ量子井戸の場合： 量子井戸内での定在波)
/
sin(
/
2
)
(
z
L
n
z
L
n
,E
n
(
n
)
2/
2
m
*L
2 価電子帯：立方晶では、点における HH と LH バンドの縮退が有効質量 (m
HH
m
LH)の違いにより解ける（HH、LH サブバンドの形成） 2 * 22
/
)
(
n
m
L
E
n
HH ,E
n
(
n
)
2/
2
m
LH*L
2 :E
n,HH
E
n,LH５ 有限深さ量子井戸構造におけるサブバンド状態 Schödinger 方程式
)
(
)
(
2
2 2 * 2z
E
z
V
dz
d
m
j
n
n
n
： z L/2, z L/2)
(
)
(
2
2 2 * 2z
E
z
dz
d
m
j
n
n
n
：
L
/
2
z
L
/
2
包絡関数2
/
:
)
exp(
)
(
z
Bq
Bz
z
L
B n
,
nB(
z
)
Bexp(
q
Bz
)
:
z
L
/
2
n=odd
nA(
z
)
Acos(
q
Az
)
:
L
/
2
z
L
/
2
n=even
nA(
z
)
Asin(
q
Az
)
:
L
/
2
z
L
/
2
2qB2 /2mB* V E qB 2mB*(V E)/ 2qA2 /2mA* E qA 2mA*E / 境界条件： A/B 界面（z
z
i）での包絡関数接続条件)
(
)
(
, , i B k n i A k n zz
zz
, i z i z z z B k n B z z A k n Az
dz
d
m
z
dz
d
m
(
)
1
)
(
1
, * , *微分接続における有効質量補正：G.Bastard, Phys. Rev. B 24, 5693 (1981)
B z -L/2 0 L/2 E V A B
６ n=odd：
z
L
/
2
界面での波動関数接続)
2
/
exp(
)
2
/
cos(
q
AL
Bq
BL
A
)
2
/
exp(
)
/
(
)
2
/
sin(
)
/
(
Aq
Am
*Aq
AL
Bq
Bm
*B
q
BL
n=odd の固有値方程式0
)
/
(
)
2
/
tan(
)
/
(
q
Am
*Aq
AL
q
Bm
*B
n=even の固有値方程式0
)
/
(
)
2
/
cot(
)
/
(
q
Am
*Aq
AL
q
Bm
*B
L=20.0nm、V=100 meV における GaAs 量子井戸の固有状態の計算結果 （m
*A
m
*B
0
.
067
m
0）７
有効質量不整合(effective-mass mismatch)の効果
GaAs(10.0nm)単一量子井戸の計算結果（
m
*A
0
.
067
m
0）８ サブバンド構造の状態密度（２次元状態密度） 長さ L の正方形における２次元状態 電子（正孔）波数ベクトルの最小値:
k
min
2
/
L
波数（運動量）空間における最小面積:S
min
(
2
/
L
)
2 波数ベクトルの大きさが 0～k までの状態数
2
2
/(
2
/
)
/
2
)
(
2 2 2 0k
dk
L
L
k
k
N
k 電子の面内運動エネルギー：E
2k
2/
2
m
*
k
2
2
m
*E
/
2 エネルギー単位での状態総数:N
E
L
m
E
2 * 2)
(
状態密度（L→1）: 2 *)
(
)
(
m
dE
E
N
d
E
D
エネルギーに対して一定L
L
E1
E2
E
k
xyE
E
D(E)
９
1-3. 超格子のミニバンド構造：ABAB---という z 方向への周期積層構造 包絡関数が z 方向へ伝播する→
k
zが良い量子数(good quantum number)包絡関数に対する Schrödinger 方程式
)
(
)
(
)
(
2
2 , , 2 * 2z
E
z
z
V
dz
d
m
j SL
n kz
n
n kz
A 層（層厚d
A）：有効質量m
A*,V
SL(
z
)
0
（量子井戸層）)
exp(
)
exp(
) ( , Aiq
Az
Aiq
Az
A z k n z
2qA2 /2mA* E qA 2mA*E / B 層（層厚d
B）：有効質量m
B*,V
SL(
z
)
V
（障壁層） ) exp( ) exp( ) ( , z B qBz B qBz B k n z 2qB2 /2mB* V E qB 2mB*(V E)/ 境界条件：１．A/B 界面（z
z
i）での包絡関数接続条件:)
(
)
(
, , i B k n i A k n zz
zz
, i z i z z z B k n B z z A k n Az
dz
d
m
z
dz
d
m
(
)
1
)
(
1
, * , * 境界条件：２．超格子周期 D に対する周期境界条件: Bloch 条件),
exp(
)
(
)
(
,, , ,z
D
z
iik
zD
B A k n i B A k n z
z
ミニバンド分散関係：)
sinh(
)
sin(
2
1
)
cosh(
)
cos(
)
cos(
* * * * B B A A B A A B A B B A B B A A zd
q
d
q
q
m
q
m
q
m
q
m
d
q
d
q
D
k
１０
１１ 1-4. 任意の多重量子井戸系のサブバンド状態に関する計算方法 伝達マトリックス(Transfer-Matrix)法 上図の２重量子井戸を対象に説明する。尚、数式表現の煩雑さを防ぐために、 井戸層と障壁層の有効質量をそれぞれ
m
w*とm
b*、ポテンシャルを 0 と V とす るが、各層で有効質量、ポテンシャルが変わっても取り扱いは同じ。 井戸層の包絡関数：
j(
z
)
a
jsin(
q
wz
)
b
jcos(
q
wz
)
障壁層の包絡関数：
j(
z
)
a
jexp(
q
bz
)
b
jexp(
q
bz
)
井戸層の波数ベクトル：qw 2m*wE / 障壁層の波数ベクトル：qb 2mb*(V E)/ 界面での包絡関数接続条件：
j(z
)
と(1/m*j)dj(z)/dzの連続性 z=0 界面： j=0 層と j=1 層の接続 1 0 0b
b
a
1 * 0 0 *)
/
(
)
(
)
/
(
q
bm
ba
b
q
wm
wa
1 1 * 0 0 * *0
/
1
0
/
/
1
1
b
a
m
q
b
a
m
q
m
q
b b b b w w
1 1 1 0 0 0]
[
]
[
b
a
M
b
a
M
1 1 1 1 0 0 0]
[
]
[
b
a
M
M
b
a
z=0 z1 z2 z3 0 1 2 3 4１２ z=z1界面： j=1 層と j=2 層の接続
)
exp(
)
exp(
)
cos(
)
sin(
1 1 1 2 1 2 1 1q
z
b
q
z
a
q
z
b
q
z
a
w
w
b
b)
exp(
)
exp(
)[
/
(
)
cos(
)
cos(
)[
/
(
q
wm
w*a
1q
wz
1
b
1q
wz
1
q
bm
b*a
2q
bz
1
b
2
q
bz
1
2 2 1 * 1 * 1 1 1 1 1 * 1 * 1 1)
exp(
)
/
(
)
exp(
)
/
(
)
exp(
)
exp(
)
cos(
)
/
(
)
cos(
)
/
(
)
cos(
)
sin(
b
a
z
q
m
q
z
q
m
q
z
q
z
q
b
a
z
q
m
q
z
q
m
q
z
q
z
q
b b b b b b b b w w w w w w w w
2 2 3 1 1 2]
[
]
[
b
a
M
b
a
M
2 2 3 1 2 1 1]
[
]
[
b
a
M
M
b
a
z=z2界面： j=2 層と j=3 層の接続 同様に
3 3 5 2 2 4]
[
]
[
b
a
M
b
a
M
3 3 5 1 4 2 2]
[
]
[
b
a
M
M
b
a
z=z3界面： j=3 層と j=4 層の接続 同様に
4 4 7 3 3 6]
[
]
[
b
a
M
b
a
M
4 4 7 1 6 3 3]
[
]
[
b
a
M
M
b
a
全ての界面でのマトリックスをつなぐ（伝達マトリックス）。
4 4 4 4 7 1 6 5 1 4 3 1 2 1 1 0 0 0]
[
]
[
]
][
[
]
][
[
]
][
[
]
[
b
a
M
b
a
M
M
M
M
M
M
M
M
b
a
4 22 4 21 0 4 12 4 11 0)
(
)
(
)
(
)
(
b
E
M
a
E
M
b
b
E
M
a
E
M
a
境界条件： 包絡関数の発散を防ぐ→b
0
0
,
a
4
0
固有値の決定条件：M
22(
E
)
0
を満足するエネルギーE 包絡関数： 固有値を伝達マトリックスに代入して各層の(aj, bj)を計算する。１３ ２重量子井戸構造の計算例
Al0.2Ga0.8As/GaAs(6.0 nm)/ Al0.2Ga0.8As(db nm)/ GaAs(6.0 nm)/ Al0.2Ga0.8As
サブバンドエネルギーの障壁層厚(db)依存性
１４ 1-5. 正孔サブバンドに対する厳密な解析：（Luttinger ハミルトニアン） HH J, mJ 3/2, 3/2 , LH 3/2,1/2 , SO 1/2, 1/2 HH+ LH+ LH- HH- SO+ SO- ' ,
H
=
P
S
Q
S
R
P
R
S
Q
S
S
R
Q
P
S
R
Q
S
S
Q
P
R
S
Q
R
Q
P
S
R
S
R
S
Q
P
0
2
/
2
2
/
3
2
0
2
2
/
3
2
2
/
2
/
2
0
2
2
/
3
0
2
/
3
2
0
2
2
/
0
* * * * * * * * * * * *)
(
2
2 2 2 1 0 2 z y xk
k
k
m
P
,(
2
)
2
2 2 2 2 0 2 z y xk
k
k
m
Q
]
2
)
(
[
2
3
3 2 2 2 0 2 y x y xk
i
k
k
k
m
R
,k
xik
yk
zm
S
3
3(
)
0 2
有効質量の逆転(effective-mass reversal) z 方向（量子化方向）：m
HH,z
m
0/(
1
2
2)
,m
LH,z
m
0/(
1
2
2)
xy 方向（量子面内）:m
HH,
m
0/(
1
2)
,m
LH,
m
0/(
1
2)
GaAs の場合：
1=6.85,
2=2.01,
3=2.90
（, Luttinger パラメータ） z 方向（量子化方向）：m
HH,z=0.35 m
0, m
LH,z=0.092 m
0 xy 方向（量子井戸面内）:m
HH,⊥=0.10 m
0, m
LH,⊥=0.21 m
0 HH LH E k z kxy HH LH E１５ 正孔サブバンドの面内(kx,y)分散関係
GaAs(7.8 nm)/Al0.2Ga0.8As 量子井戸の計算結果：
L.C. Andreani et al., Phys. Rev. B 36, 5887 (1987)
HH と LH バンドの混成により、非常に複雑な分散関係となる。 * HH と LH バンドの反交差(anticrossing)
１６
1-6. 格子歪み効果： 歪みヘテロ接合(Strained heterojunctions)
GaAs/AlxGA1-xAs 系以外のほとんどのヘテロ接合系では、格子定数の差に
より格子不整合歪みが生じる。
→ 積極的な応用→ 歪み量子井戸・超格子（strained QW, strained SL） 概念の提案: G.C. Osbourn, Phys. Rev. B 24, 5126 (1983)
弾性歪み：立方晶系における歪みテンソル(Strain tensor)
xy zx yz zz yy xx xy zx yz zz yy xxC
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
44 44 44 11 12 12 12 11 12 12 12 110
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
成長方向 z=[001], 面内方向 x=[100], y=[010] 等方的な面内２軸性応力：
xx
yy
||,
zz
xy
yz
zx
0
歪み成分：
xx
yy
||,
zz
(
2
C
12/
C
11)
||基板
エピタキシャル層の 正方晶変形１７
歪みへテロ接合における臨界膜厚 (Critical layer thickness)
層厚が臨界膜厚よりも薄い場合、格子不整合は均一な弾性歪みにより緩和 され（Preudomorphic 成長）、格子不整合転移の無い高品位のエピタキシーが 可能となる。臨界膜厚よりも厚い場合は、転移が界面に発生し、結晶性が著 しく低下する。
InGaAs/GaAs 系と SiGe/Si 系の臨界膜厚：
１８ 点価電子バンドに対する格子歪み効果
kp 摂動論(バルク結晶)：F. H. Pollak, Surf. Sci. 37, 836 (1973) M. Chandrasekhar & F.H. Pollak, Phys. Rev. B 15, 2127(1977) 歪みハミルトニアン：
H
st
H
1
H
2]
c.p
)
[(
3
]
c.p.
)
3
/
[(
3
)
(
1 2 2 1 1 1
xy x y y x xx x zz yy xxL
L
L
L
d
L
b
a
H
L
]
c.p
)
[(
3
]
c.p.
)
3
/
[(
3
)
)(
(
2 2 2 2
xy x y y x xx x x zz yy xxL
L
d
L
b
a
H
L
σ
Lσ
a:静水圧変形ポテンシャル(hydrostatic deformation potential)
b:正方晶(tetragonal)変形ポテンシャル, d:斜方晶(trigonal)変形ポテンシャル
L: 角軌道運動量演算子(angular momentum operator) : スピン演算子(spin operator) (x,y)面内の等方的２軸性歪みにおける歪みハミルトニアンの固有値 HH |3/2,±3/2> LH |3/2,±1/2> SO |1/2,±1/2>
0
'
2
/
'
0
2
/
'
2
/
0
0
0
2
/
H T T T H T HE
E
E
E
E
E
E
)
)(
(
1 2 xx yy zz Ha
a
E
,
E
H'
(
a
1
a
2)(
xx
yy
zz)
)
)(
2
(
2
1 2 zz xx Tb
b
E
,
E
T'
2
(
b
1
2
b
2)(
zz
xx)
2 1 , 2 1 a a b b b a v →
E
H
E
H'
,
E
T
E
T'
１９ || 11 12 11
)
/
]
[(
2
)
(
E
Ha
v xx yy zza
vC
C
C
|| 11 12 112
)
/
]
[(
2
)
(
E
Tb
zz xxb
C
C
C
各正孔バンドの歪みエネルギーシフト：HH と LH バンドの分裂2
/
T H HHE
E
E
4
/
9
4
4
2
/
4
/
2 T T2 T H LHE
E
E
E
E
E
H
E
T/
2
E
T2/(
2
)
4
/
9
4
4
2
/
4
/
2 T T2 T H SOE
E
E
E
E
E
H
E
T2/(
2
)
点伝導バンドに対する格子歪み効果 s 型基底関数(L=0) → 静水圧変形ポテンシャル項のみの寄与)
(
,H c xx yy zz ca
E
点 Eg に対する格子歪み効果 HH バンドギャップ：
E
g,HH
E
c,H
E
H
E
T/
2
LH バンドギャップ：Eg,LH Ec,H EH ET /2ET2 /2 実験的には、
E
H項に関しては、伝導バンドと価電子バンドの寄与の和が観 測され、一般に、a
a
c
a
vが静水圧変形ポテンシャルと呼ばれる。 第一原理計算によって、a
c
a
vが示されている。C.G. Van de Walle and R.M. Martin, Phys. Rev. B 35, 8154 (1987) GaAs の場合：a= 8.9eV, b= 1.7eV, =0.34 eV a, b の誤差は±20%程度 C11=11.9x1011 dyn/cm2, C12=5.38x1011 dyn/cm2
２０ 伝導バンド端（点）と価電子バンド端（点）に対する歪み効果の概略 z 方向が量子化質量、xy 方向が状態密度質量
Compressive strain
LH
HH
CB
VB(HH & LH)
Unstrained
LH |3/2, +1/2>
HH |3/2, +3/2>
HH |3/2, +3/2>
LH |3/2, +1/2>
E
HTensile strain
E
H
E
TE
E
k
zk
xyE
k
zk
xyHH
LH
HH
LH
２１ 量子井戸ポテンシャルに対する歪み効果の概略 VB(HH & LH) VB(HH & LH) CB Tensile strain inQW LH HH CB Compressive strain inQW HH LH VB(HH & LH) CB Compressive strain in QW LH(type-II) HH(type-I) Shallow VB
２２
量子井戸の正孔サブバンド分散に対する歪み効果 (a) GaAs(8.0nm)/Al0.2Ga0.8As 量子井戸（無歪み）
(b) In0.2Ga0.8As(8.0nm)/Al0.2Ga0.8A 量子井戸（InGaAs 層に 1.4%の圧縮歪み）
J.P. Loehr, “Physics of Strained QW Lasers” (Kluwer, 1998) Chap.3.
２３ 1-7.電場効果
量子閉じ込めシュタルク効果(quantum-confined Stark effects: QCSE)
Schrödinger 方程式
)
(
)
(
)
(
2
2 2 * 2z
E
z
qFz
z
V
dz
d
m
j QW
n
n
n
q: 電荷（電子の場合e, 正孔の場合+e）、F: 電場強度 ２次の摂動計算から解が得られる。 １次摂動
E
1(1)
1|
qFz
|
1
0
摂動の条件（弱電場条件）：eFL
2
2/(
2
m
*L
2)
) ( (0) (0) 2 ) 2 (|
|
n m n m n m nE
E
qFz
E
m*e2F 2L4 Stark シフトの重要な特徴： 有効質量に比例、 電場強度の２乗に比例 層厚の４乗に比例 Electro-optic 素子（光変調器、光スイッチング）への応用 無限深さ量子井戸のサブバンドエネルギーに関する解析解T. Lukes et al., Physica 84A, 421 (1976).
2 4 2 2 * 4 4 2 2
/
]
24
/
)
15
[(
n
n
m
e
F
L
E
n
L２４ 電場効果の厳密な計算方法
D.C. Hutchings, Appl. Phys. Lett. 55, 1082 (1989).
I. Tanaka, M. Nakayama et al., Phys. Rev. B 46, 7656 (1992).
Schrödinger 方程式の z 座標を無次元座標系(Zj)へ変数変換
)
(
]
)
/(
2
[
m
*e
F
2 1/3V
qFz
E
Z
j
j
j
Schrödinger 方程式は次式（Airy 方程式）に変換される。0
)
(
)
(
2 2
n j j n j jZ
Z
Z
Z
d
d
一般解：
n(
Z
j)
a
jAi
(
Z
j)
b
jBi
(
Z
j)
, Ai, Bi は Airy 関数 界面での包絡関数接続条件（
j(z
)
と(1/m*j)dj(z)/dzの連続性）から、1-4 で述べた伝達マトリックス法に基づいて計算を行う。
1 1 1 3 / 2 * 1 1 3 / 2 * 1 1 1 3 / 2 * 3 / 2 *)
(
Bi'
)
(
Ai'
)
(
Bi
)
(
Ai
)
(
Bi'
)
(
Ai'
)
(
Bi
)
(
Ai
j j j j j j j j j j j j j j j jb
a
Z
m
Z
m
Z
Z
b
a
Z
m
Z
m
Z
Z
境界条件：z での発散を防ぐ。 最終層での Bi 振幅(Bi は発散関数)を ゼロとする。(
a
f,
b
f)
(
1
,
0
)
固有値の決定条件：上記の境界条件より、第１層の振幅を伝達マトリックスに より計算し、次式の透過率のエネルギー依存性を求める。 ) /( 1 ) /( ) ( ) (E a 2 b 2 a02 b02 a02 b02 T f f T(E)のピークエネルギーが束縛状態固有値に相当する。２５
QCSE の計算例： GaAs(10 nm)/AlAs 単一量子井戸構造のサブバンド状態
30 kV/cm
100 kV/cm
200 kV/cm
E
n
er
g
y
(
m
eV
)
Electric Field (kV/cm)
n=1
n=2
GaAs(10 nm)/AlAs SQW
0
50
100
150
200
50
100
150
200
２６
超格子におけるワニエ・シュタルク局在 (Wannier-Stark localization)
ミニバンド状態の包絡関数は、各量子井戸間の波動関数共鳴によって超格 子空間全体に広がっている (extended envelope function)。
超格子（周期 D）に電場 F が印加される → 量子井戸間に eFD のポテンシャル差 → 波動関数共鳴条件を破綻する → 波動関数の局在化 (Wannier-Stark localization) ミニバンドの分裂: eFD のエネルギー間隔を有するシュタルク階段状態 (Stark-ladder state) バルク結晶の Bloch 電子を対象として予言された。
G.H. Wannier, Phys. Rev. 117, 432 (1960).
超格子において実験的に初めて検証された。
２７
GaAs(3.2 nm)/AlAs(0.9 nm)超格子における包絡関数形状の電場強度依存 性に関する計算結果（TM 法）
M. Nakayama, “Optical Properties of Low-Dimensional Materials” (World Scientific, 1995) Chap.3.
２８
GaAs(3.2 nm)/AlAs(0.9 nm)超格子における固有エネルギーの電場強度依存 性に関する計算結果（TM 法）
２９ Wannier-Stark 局在状態の近似解析： P. Feuer, Phys. Rev. 88, 92 (1952)
J. Bleuse et al., Phys. Rev. Lett. 60, 220 (1988).
最近接強結合近似（first-nearest neighbor tight-binding model） 周期数(2N+1)の超格子（周期 D） 超格子の包絡関数
(z
)
z k
を孤立量子井戸の包絡関数
(z
)
の重ね合わせで 表現する。
mN N m nk kzz
c
zz
mD
)
(
)
(
, m: QW index 無電場条件：F=0 ミニバンドの形成)
1
2
0
(
1
2
),
cos(
2
)
(
0
m
N
N
m
D
k
D
k
E
k
E
z z z
: ミニバンド幅 強電場条件 ：NeFD
ミニバンドが Stark-ladder 状態に分裂する。N
N
eFD
E
E
0
,
包絡関数振幅：Bessel 関数で表現される。)
/
(
)
2
/
(
)
2
/
(
eFD
J
eFD
J
L
D
J
c
n
n
m
mL
/( eF
2
)
：局在長 ある量子井戸（局在中心）から m 周期離れた井戸での波動関数存在確率 2 ) 2 / ( eFD Jm m ３０ Wannier-Stark 局在状態における波動関数存在確率の計算結果 完全局在状態：
J
02
1
,
J
m20
0
局在化の大まかな条件：eFD
/
1
超格子周期 D=5.0 nm、ミニバンド幅 =50 meV → F=100 kV/cm バルク結晶の場合 格子定数 a=0.5 nm、バンド幅 2 eV → F=40 MV/cm （非現実的） WS 局在の意義 * 電場による波動関数の局在性の制御 ⇒次元性の制御： ミニバンド(３次元)⇔量子井戸局在（２次元） * 電場による固有エネルギーの制御：E
E
0
m
eFD
,
m
0
,
1
,
2
,
m=0 m=+1 m=+22eFD/
J
m(
/2
eF
D
)
2 0 0.5 1 1.5 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1３１ 1-8．励起子状態 (Exciton states) 伝導帯の電子と価電子帯の正孔がクーロン引力によって束縛された準粒子。 物質の光励起状態の代表的なもので、多様な光機能性の主要因。 ［Wannier 励起子］ 電子と正孔が格子定数に比して十分離れている（半導体の場合）。 ［Frenkel 励起子］ 電子と正孔が同一の単位胞に存在する（分子性結晶の場合） バルク結晶における Wannier 励起子 伝導帯エネルギー： 2 2 e c 2 ) ( E m Ec k k , me：電子有効質量 価電子帯エネルギー： 2 2 h v v( ) E 2m E k k , mh：正孔有効質量 バンドギャップエネルギー：Eg Ec Ev 電子-正孔相対座標：r re rh 電子-正孔重心座標： h e h h e e m m m m r r R 重心質量：M me mh、換算質量：1/ 1/me 1/mh 励起子有効質量 Schrödinger 方程式： は物質の背景誘電率 ) , ( ) , ( 4 2 2 0 2 2 2 2 2 g R r F R r EF R r r e M E
包絡関数(envelope function)： (R,r) 1 exp(iKR)(r)
N F
３２ R 項： ( ) ( ) 2 2 2 R R R ER M ： (R) 1 exp(iKR) N 並進運動エネルギー M ER 2 2 2 K r 項： ( ) ( ) 4 2 0 2 2 2 r r r Er r e ) , ( ) ( ) ( nlm r Rnl r Ylm , Rnl(r)：動径波動関数,Ylm(,)：球面調和関数 励起子状態(n, l, m)： 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, ---, ∞ １光子励起の場合、s 励起子のみが光と相互作用する（量子論で述べる） 1s 励起子束縛エネルギー(有効 Rydberg エネルギー) 0 2 2 2 4 2 0 1 6 . 13 2 ) 4 ( 1 m e Ry [eV] s 励起子の総エネルギー： M Ry n E En 2 1 2 2 g K 電子-正孔相対運動の固有関数(n=1, l=0)： B 3 B 1 ( ) exp a r a V r R s 有効 Bohr 半径： 0 2 0 2 B 0.053 4 m e a [nm] Wannier 励起子の束縛エネルギーと Bohr 半径 Eg at 300K [eV] Ry [meV] aB [nm] ZnO 3.436 59 1.4 CdS 2.582 28 2.7 ZnSe 2.795 20 4.5 GaAs 1.428 4.5 13 GaSb 0.70 1.6 23
３３ Wannier 励起子の実空間の概念図 Wannier 励起子のエネルギー分散関係
E
K
連続状態：解離した 電子・正孔状態 励起子束縛 エネルギー 基底状態 バンドギャップ エネルギー n=1 励起子 n=2 励起子 h e３４ 量子井戸構造における励起子 ２次元極限における励起子：束縛エネルギーはバルク結晶の４倍 励起子有効質量 Schrödinger 方程式（相対運動項）
)
,
(
)
,
(
4
)
,
(
)
,
(
2
0 2 2 2 2 2 2y
x
E
y
x
r
e
y
y
x
x
y
x
2 2 y x r r r x x r r x 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 21
1
r
r
x
r
r
x
r
r
x
r
r
r
x
r
x
r
r
x
r
r
r
r
x
x
x
2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 21
2
r
r
r
r
r
y
x
r
r
y
x
r
r
y
x
上記の励起子有効質量 Schrödinger 方程式の２次元極座標表示0
)
(
4
2
)
(
)
(
1
0 2 2 2 2
r
r
e
E
r
r
r
r
r
水素原子型波動関数を仮定する：
Da
r
r
2exp
)
(
a2D: ２次元励起子 Bohr 半径３５
0
1
4
2
1
2
1
2 0 2 2 2 2 2
D Da
e
r
E
a
r⊥は任意の値をとりうる。したがって、r⊥→0 の極限において、上記の方程式 が発散しないためには、左辺第２項の括弧内がゼロでなければならない。0
1
4
2
2 0 2 2
Da
e
２次元励起子 Bohr 半径：2
2
4
3 2 0 2 2D Da
e
a
バルク(3D)結晶の Bohr 半径の 1/2 に収縮 ２次元励起子束縛エネルギー： Ry2D0
2
1
2 2 2 2
D DRy
a
D DRy
e
Ry
3 2 2 4 2 0 24
2
)
4
(
1
4
バルク(3D)結晶の励起子束縛エネルギーの４倍に増大 ２次元化（低次元化）による励起子状態の安定化：量子井戸構造の物性と機 能性における大きな特徴 ２次元励起子の総エネルギー：M
Ry
n
E
E
n D2
)
2
/
1
(
1
2 3 2 gK
３６ 量子井戸構造における励起子（有限のポテンシャルと層厚） 電子と正孔に対する量子井戸ポテンシャル
[V
e(z
e), V
h(z
h)]
をハミルトニアンに 繰り込まなければならない。 位置座標の設定 閉じ込め方向の電子と正孔の座標：z
e,z
h 電子と正孔の相対座標：r
r
e
r
h 電子と正孔の量子井戸(x,y)面内相対座標：ρ
r
e
r
h 総ハミルトニアン
(
,
,
)
2
)
,
,
(
2 2 h e g h e eh h ez
z
M
K
E
E
z
z
H
H
H
ρ
ρ
電子ハミルトニアン：(
)
2
2 2 2 e e e ez
V
z
m
正孔ハミルトニアン：(
)
2
2 2 2 h h h hz
V
z
m
励起子相互作用ハミルトニアン：r
e
y x
0 2 2 2 2 2 24
2
励起子束縛エネルギー：Ry
QW
H
e
H
h
H
eh
変分原理による数値計算を行い、束縛エネルギーを求める。３７
GaAs/AlxGa1-xAs 量子井戸構造における励起子束縛エネルギーと Bohr 半径
