【
論文 】 UDC ：
550
．
34．
03 ：517．
5 日本建築学会 構造 系 論 文 報告集 第390
号・
昭和 63 年8
月地
震
動
の
因数 分 解
に
関
す
る
基 礎
的研 究
正 会 員 正 会 員 正 会 員和
勝
大
泉
倉
野
正
哲
＊裕
＊ ＊ 並 ＊＊ ＊ 日1．
はじ
め に地 震
動記録
はフー
リエ解
析 を す
る こと
によ り
，
時 間 領
域 と周 波 数 領 域
に おい て，振幅
と位相
の情 報
とに分 離
す る こと ができ る。 さ ら に 因果
性
の条 件 を考 慮 す
ると，
最
小 位 相 推 移 関
数 （
Minimum ・
phase
−
shift ：以 下
MPS
と略 述 ） と全 域 通 過 関 数
（
All−
pass
：以
下
AP
と略 述
）
に分 離 す
ること が可 能
と な る。 こ こで，前 者
は振 幅
の み の情 報
に基
づ く因 果 関 数
，
後
者
は位 相
か ら振 幅
に依 存
す る部 分 を 除
い て定 義
で き る因 果 関 数
であ り， こ のよう
な分
解 を本 論 文
では因 数 分
解
と呼
ぶ。
本 論
文
は，因 数 分 解
の考
え方
を ま と め，
簡
単
な数値
計 算 例
に基
づいて，
因 数 分
解
お よ び分 離
さ れ た各 成 分
の意 味
を示
す と と もに，実 際
に実 地 震 動 記 録
に対
して因数
分解
を行
い，実 記 録
の因 数
分解 特 性
を考 察
し た もの であ る。
な
お，
MPS
に関
して は，
文
献
1 ）
，2）
などで考 察
さ れて い る が，
本 論 文
で は，
こ れ らを
FFT
（
高 速
フー
リ
エ変 換 ）
を用
い る こと を前提
に展開
した。
2．
地 震 動
の因 数 分 解
2
．
1
地 震 動
の フー
リエ解 析
は じ め に地
震 動
のFFT
を用
い たフー
リ
エ解 析
につい て簡 単
に整 理
してお く。実 因 果 関 数
と し て の地
震 動
x
（
t
）
に対
し てフー
リ
エ解
析
を適 用
す る と，Fig．
1
の フ ロー
チャー
ト
に従
い，
2
つ の実 因 果 関 数
x
（
t
）
，X
（
ω）
と，共 役対
称
で実 部
と虚 部
がHilbert
変 換
の関 係
に あ る2
つ の複
素
数 値 関 数
f
（
t
）
，
F
（
ω）
が定 義
で き る（
FFT
はフー
リエ変 換
，41FFT
は4
倍
して フー
リ
エ逆 変 換
す ること を意 味
する）
。
F
〔
ω）
とf
｛
t
）
が複 素 数 値 関 数
で あ り振 幅
と位 相
で と らえ る こと がで き る の で，
地
震 動
x
（
t）
の フー
リ
エ解 析
におい て は，
周 波 数 領 域
の み な らず
時
間
領域
に お い ても振 幅
と位 相
が定 義
で き，
振
幅
と位相
に関
す る フー
リ
エ解 析
に おけ
る対
称
性
の存在
が 理解
でき る。
とこ ろで，
複
素
数 値 関 数
ノ
（
t
｝
，
F
（
ω）
は，
x
（
t
）
，
X
（
ω）
を
偶関
数
に し た関 数
のHilbert
変 換
を含
むComplex
e皿一
率 東北 大 学
教授
・
工博 脚 東 北 大学助 教 授
・
工 博 （現清 水 建 設 大 崎 研 究 室） ＃ ＊ 東 北 大 学 大 学 院 生 （現 鹿 島 建 設 技 術 研 究 所 ） （昭 和 62 年 9 月 9日原稿 受 理 ｝ velope と なっ て い ることに
注 意
が要
る。 す な わ ち，
特
別
の場 合
を除
き4 ），
関 数
のHilbert
変 換 や
Complex
en・
velope の計 算
は，
FFT
で容
易に評 価
で き る ことに な る。
例
え ば，x
（
t
）
のHilbert
変換 叙
診｝
は，
Fig．1
に示
し た関
係 を見
ても 明
ら か なよ う
に，
x（
t
）
をFFT
で フー
リエ変
換
して符号 関
数
sgn
ω を掛
け，
FFT
で フー
リェ逆変 換
す るだ
けの操 作
で容 易
に計 算 す
ること がで き る3） 。2
．
2
因数 分 解
因
数 分 解
は， こめ
よう
に して得
ら れ る複 素
数値
関 数
，f
（
t
）
と
F
〔
ω）
の振 幅
の情 報
に基
づ き実 行
す ること がで き る。Fig．
2
に因 数 分 解 す
る と きの フロー
チ ャー
トを示
し た。Fig．
2
に従
っ てMPS
とAP
を定
め た場 合
，
f
｛
t
）
＝
fme
（
t
）
fa
｛
t
）
F
（
ω）
＝F
觚（
ω）
F
、（
ω｝
の よ うに，f
（
t）
とF
「
（
ω）
は2
つ の関 数
の積
に分 解
さ れ る（
指標
m
，
αで時 間領 域
の複 素 数 値 関 数
か ら求
め ら れ るMPS ，
AP
を表
し，
M ，
A
で周 波 数 領 域
の複
素
数
値
関
数
か ら求
め られ るMPS
，AP
を表 す
ことにす る）
。本 論
文 では， こ の よ う な分 解 を 因数 分 解
とよ
ぶ ことにす る。 な お， これ らの複 素 数 値 関 数
の振 幅
に関
してlfm
（
t
）
1
ニ
1f
（
t
）
1
，
lf
。（
t
）
i
＝
1
1F
。（
・・｝
1
・
1F
（
ω｝
1
，
1F
、（
ω）
ト
1
の関 係 が成 立
する。
また，一
般
に，F
”（
ω｝
，
F
。（
ω）
は時 間
領
域
で 因果 関 数
であ
り，fm
（
t
）
，fa
（
t
｝
は周 波 数 領 域
で因果
関
数
で あ ること
， さ らに，MPS
は以 下
の性 質 を
持
っ て い るこ と が誘 導
で きる4 ）。
da
（
9t
）
《Ct
（
8
）
ds
−
ds
こ の こと よ り，MPS
は同
じ振 幅 を持
つ因 果 関 数
のう ち
，
重
心 が原 点
に最
も近
い関
数
で ある ことが わ か るS ）。
また， 因数
分解
さ れ た関
数
に関
し て も，Fig．
1
の フロー
チャー
トに従
い ，次
の よう
な関 数
が導 入
でき
る。
Xm
（
t
）
，fn
（
t
）
，
Xm
（
a，）
，
Fm
（
ω）
x。
〈
t
｝
，
f
。（
t
）
，
Xa
（
ω）
，
F
。（
ω）
x．
（
tLf
．（
t
）
，X
．（
ω）
，F
。（
ω）
CA
（
t
）
，．
ムω
，
XA
（
ω〉
，
F
、（
ω）
ま た
，
当然
，
これ らの複 素数値 関
数 を
さ らに因 数 分 解
す ること も で き， す なわ ち，fM
（
t
）
＝ ‘fim
（
t
）
fMa
｛
t
）
，
fm
（
t
｝
＝fmth
（
t
）
fVLa
（
t
）
fA
（
t
）
＝
fAm
（
t
）
fAa
（
t
）
。
fa
（
t
）
＝
fm
。
｛
t
｝
faa
〈
t
＞
Fm
（
ωト F
駲（
ω）
Fm
、（
ω）
，F
。（
ω）
＝
＝
FMM
（
ω）
F
． ，（
ω）
Fa
（
ω）
；FaAt
（
ω〕
F
．（
ω）
， F
，（
ω）
＝FAM
（
ω）
F
：A．（
ω｝
の よ うな分 解 を 考
えること ができ る。
な お，
因 数 分解
の性 質 を考
え ると，プ
論 ω
＝
f
”｛
t
）
，
fan
（
t
）
＝1
，FNM
（
ω）
＝＝FM
（
ω）
，
F
、N（
ω）
＝1
，
の関 係
が誘 導
でき る。
ノ
L
，。ω
；1
ん
ω ＝ん （
t
＞
F
崩（
ω）
＝1
F
川（
ω）
＝F
、（
ω）
さ ら に，
例
え ば x”（
t
）
を時 間 軸
上でCN
（
t
）
＝XNL
（
t
）
＊XMff
（
t）
と 分 け るこ と もでき る。 こ こにx・ ・
（
・）
一
階
）
1
二
1
≦t
° で あ る。
この よ うに して得
ら れ るx
κL（
t
）
の フー
リエ変
換
の絶 対 値
IF
肌（
ω）
1
は，
IF
（
ω）
1
のMPS
に基
づく平 滑
化
と み な すこと ができ る。
3．
単 純
な関 数
の因 数 分 解
地 震 動
の因 数 分 解
の特 性
を考
え る前
に，
単純
な関 数
の因 数 分 解
F
（
ω）
二
凡 （
ω）
F4
（
ω）を求 め
て みる。
な お
，
フー
リエ解 析
の対 称 性 よ
り， こ こ で述
べ られ る ことは， ω とt
とを 交 換
し て考
え れ ば，
因 数 分 解
ノ
（
t
）
＝
・
fnt
（
t
）
fa
（
t
）
に関
して も同 様
に成 立 す
る。
Fig
．
3
は因 数 分 解 例
で あり，
時 間 関 数
x（
t
）
と フー
リ エ振 幅
が等
しい次
の場 合
のMPS
はす
べ て等 し
い こと
に な る。
1 ＞
時 間 推 移
x
（
t− t
。）
2
｝
x
（
− t
）
3 ＞
−
X
（
t
）
4 ＞
Hilbert
変換
命（
t
）
こ こで，（
a＞
，（
b
）
は1
）
− 3
）
に，tc
）
は4
＞
に対
応
し て い る（
Fig．
4
（
a）
を
参
照
｝
。
x
（
t
）
か らMPS
が構
成
さ れ ると きに は，一
般
に こ れ ら4
つの変換
を
受
けて， フー
リ エ振 幅
が一
定
のま ま
，因 果性
の条 件 を満
た しつ つ重
心 が巨
回
f
（しレ緇
；
鯔
二
轡
［
羽
FFT
41FFT
由
「
繭
芻
；
鵬
躡
，劫也
Fig
．
1
Four
functions
in
theFourier
ana1yses of rea 且 causal
functions
・
g
… （t
｝／・一
・激
・）一
素∫
二
鬻
・・・
g
… 〔・）一
渕一
｛∫
隅
吻σ（ ）：
Step
function
，
sgn ：Sign
function
一 28 一
最 小
と な る よ うに構 成
さ れ る ことに な る。
こ の構 成
の さ れ方
に は周 波 数 特 性
が存 在 す
るの が普 通
であ
る。
1
）
の時
間
推移
に関
して周 波 数
特
性
を示
し たの が，
（
d
）
，
（
e）
で あ る。
（
d
＞
の よ う に 固有
周
期
の等
しい2
つ のイ
ン パ ル ス応答
のMPS
は も との関 数
と等
しい が，
（
c）
のよ う
に異
な る 固有
周期
の2
つ の イン パ ル ス応
答
のMPS
は，
t
＝10sec
に存 在
す るイ
ン パ ル ス応
答
の成
分
だ け が原
点
に移 動
し て，ゆ が ん だ関 数
になっ て し まう
こ と が わ か る。つ い で，
周
波
数 領 域
に お け るフ ィ ル タに因数 分 解
を適
用
す る。
地 震 波
の特性
を調
べ たいと き な ど，
周 波 数 領 域
で重
み関 数
を掛
け
て得
ら れ る時 間 関 数 を見
ること
があ
る が，一
般
に振 幅
の みで構 成
さ れ る重
み関 数
は因果 関 数
で は ない の で，
振 幅
の重
み の み を掛
けて得
ら れ る時 間 関 数
の因 果 性
は崩
れて し まう
。 これに対
して，
重
み関 数
のMPS
を用
いれ ば，
因 果 性 が 崩
れ ない よ うに重
み を掛
け ること が可 能
である。
こ の ことを示
し たのが，
Fig
．
4
，
5
で あ る。Fig
．
4
（
a）
は，周 波 数
領域
に お け る矩 形
パ ル ス，
（
b
）
はQ
フ ィ ル タの場 合 を 示
し たも
の で ある。（
a）
の場
合
，
有 限 帯 域
の矩 形
パル ス の振 幅
は 因果 性
の条 件
を満
た さ ない4）ため
， パ ル ス の逆
Fourier
変換
を帯域
制 限
と す ることによ
り，
パ ル ス の振 幅 を滑
ら か に補
正 し，
その関 数
に因 数 分 解
を適 用
し てい る。
この と きのMPS
は，
FAM
（
ω）を 有 限
の周 波 数 帯 域
で と ら え た も の とも 解
釈
で き，
周 波 数 帯 域 を
1
ω1
→
。 。と
す る に従
い，
1
に（
したがっ て時 間 領 域
で は δ関 数
に〉収 束
し てい く。
Fig
．
5
は，
因 果 性
を有 す
る地 震 動
に，単
に重
み関数
を掛
け た場 合
と そ の重
み関 数
のMPS
を掛 け
た場 合
の時 間 関 数 を示
して いる。MPS
を掛
けた場 合
に は，
重
心 は多
少
ず
れ る が，
明
らかに因 果 性 を 満 足
する時 間 関 数
が得
ら れ ている。 こ の よ うに，
因 果 性
を満
たす関 数
の評 価
が可 能
で あ ること が，
MPS
を用
い る ことの利 点
の1
つ で あ る。
な お，
Q
フ ィ ルタ
に関
して は，因 果 性 を
満
た す よ う な関 数 も
示
さ れて い る5〕が，
関 数 形
が導
け な くと
も数
値 的
に因 果
性
を満
たす
フ ィ ル タ が計 算
で き る とい うのが，本
手 法の特
長 であ
ろう
。f
（
t
）
F
（
ω）
Deconvolution
f
（
t
）
＝
fm （
し）
fa
（
t
）
F
（
ω）
．
・
FM
（
ω）
FA
（
ω）
a
（
S）
＋i
θ（
S）
；
−
lnf
（
S
）
or（
s）
＋i
θ（
s）
＝
−
1nF
（
s）
α（
s
）
1 θ（
s）
fm
（
t
）
fa
（
し）
FM （
ω）
FA （
w
）
fm
（
s
）
ヨexp［
一
で
玄（
s）］
fa
（
s）
＝
exp［
−
i
θo（
s）
］
FM
（
s）
＝
exp［
一
石匚
（
5）】
FA
（
s
）
昌
exp
［
−
i
θo（
s）］
石「（S）＝
α
（
S）
十i
＆（
S）
、θ。（S）＝
i
θ（S）−
i
＆
（S） す （s）i
θ。
（s）
Fig
．
2
Deconvolution
of ∫（幻，
F
（ω｝α（3｝十
ie
（ε）＝
凌（8）十 ‘6
も（8）F
飼，
ノ』：MPS
，
F
，，
fa
：AP
一
1
o
-]
1
o
-1
1.5
e.
-1.S
s
o-6
9
o
-9
O
5
IO x(t)1.5
o.
-1.5
-10
O
20
W(t)o
-20
-t
o
1
Q(w)
o
-l
-4
-2
o
2
q(t)
o
-2
-L
O
90
3Tgo
-90
O10
20
(a)
Reetangular
pulse
1
100(a)
=o"o
-1
-1OO
11
(b)
='o"o
-1
-]
1.S15
(c)
=o.+o
-].5
-IS
6
]OO
{d)
=o ceo-6
-100
9
100(e)
'
=o -o-9
-100
O
5
IO
15
{see)
l5
(sec)
XM(t)Fig.3
Deconvolution
of simple tirnefunctions
1.5
L.S
XM(tu)o.
･
-1.S
IO<Hz)
-10
O
IO
(Hz)
20
XM(t)･
o
-20
l
{sec)
-1
O1
(set)
(a)
Rectangular
pulse
W(u))
l
XM(W)
.
o
-1
4
(Hz)
-4
-2
O
2
4{Hz)
2
XM(t)o
-2
1
{sec)
-]
O
t
(see)
(b)
Q-filter
Q(u])
(q(u))=exp[-aus])
Fig.4
Uncausal
and causaltime
filters
35
99.82S
W(w)2
QeT3s
-3S
30
{see)
(e.'-lo.Hz)
(b)
Fig.5
e
lo
2o
3o
Re[tangular
pulse
<O.2-O
Causality
offiitered
seismic(sec).4Hz)waves
o.-1.5
20o
-20
1
e
-]
2
o
-2
]s
3Tls
-IS
sgnwW(di)O
,S
10LS
(see)
XA(t)-10
O tO<Hz)
o(t)
.
-l
O
1(sec)
sentuQ(tu)-
-2
'O
2
4(Hz)
q(t)
-1
'O
l(sec)
O
10 20 10(sec)
4．
地震
動
の因数 分 解 特 性
以 上
に示
さ れ た因 数 分 解 を
，
実 際
の地 震
記
録
に適 用
し てMPS
やAP
の特
性
にっ い て考 察
してみ る。
な お，
こ こで は，
周波
数
領
域
で の因 数 分 解
F
（
ω）
＝
凡（
ω）
凡（
ω）
に つ い て検 討
し， 地震 記 録
は，
全
エネ
ルギ
ー
が1・
000
に な る よ う に すべ て規 準
化
して扱
っ て いる。
4
・
1
震 源
が ほ ぼ同
じ12 個の
地 震 記 録
の 因数
分解
最 初
に，福 島 県 沖
を震 源
とす
る12
個
の地 震
の ア レー
記 録
に関
し て検 討
を加
え る。Fig
．
6
は，地 中
一
27
m（
G2 −27
）
，
地
中
一
1m
（
G2
−
1）
，
建 物
1
階 （
B −
1
）
，建
物 4 階 （
B −
4
）
で観 測 さ
れた 地 震 加 速 度 記 録 （
No ．17
：1987
’
2
’
6
）
の因 数 分 解 例
を示
し たも
の であ
る（
地 震
の観
測 点
に関
して は，Fig．
7
を参 照 ）
。
Mps
は建 物
の応 答
の特性
が付 加
さ れて観 測 点
ご とに異
なるが，AP
は すべ ての観
測
点
で類似
し た変
動
と なっ て いる こと が
わ か る。
この傾 向
は，
ほ かの11
個
の地 震 記 録
でも 同様
で ある。
MPS
やAP
の特
性
を調
べ るため
に，
12
個
すべ てにつ35
；35
日 く 写350T35一
350
60
；60
＝ ；60T60
一
’
60
1530
45
（sec ）0
x（t ） い て，
観 測 点 間
の コ ヒー
レ ン スを
求
めた のが，Fig．
7
であ
る。 コヒー
レ ン ス の傾 向
は，
も
との地 震 記 録
，MPS ，
AP
でほ ぼ類
似
して い るが，
MPS
の コ ヒー
レン ス は多
少 大
き く，AP
の コ ヒー
レ ン スは多 少 小
さくなっ て い る。
．
コ ヒー
レンス が観 測
点
間
の線 形 性
の尺 度
であ
ると考
える と，MPS
のみ な らず
AP
までが，
も との地 震 記 録
とほ ぼ 同様
の線 形 性
に関 す る情 報
を有
して い る こ と が わか る。
な お，AP
の フー
リエ振幅
スペ ク トル は1
であ り
，
AP
は，Wiener
の最
適
フ ィ ル タの問
題 ではイ
ノベー
シ ョ ンと呼 ばれ る もの に相
当 して い る6）。
Fig
，
8
は，
12
個
の地 震 を
さ ら に地 震 規
模 別
に3
つ に分 け
，MPS
の平 均
， フー
リ
エ振 幅
ス ペ ク トルの平均
のMPS
，
そ の フー
リエ振 幅
スペ ク トル， を 示 し た もの で ある。 な お，
フー
リ
エ振
幅
スペ ク トル に関
してはMPS
に基
づい て平 滑 化 し
たも
の（
1
」（
ω）
D
を示
す。MPS
の平 均
の結 果
は，
平 均 化
の過 程
でエネ
ルギ
ー
が減 少
して し まう
た めに値
が小
さ く なっ て い るが， フー
リエ振 幅
スペ4T4
艇 ；4T4
一
4
15
30
45
（sec ｝o
XM（匸）Fig
．
6 Deconvolution
of array eartllquake records（
No
，
17
＞
1530
45
（sec ） XA（し） 〔釦9
。
9
GL
＿
1
．
0
B
−
4
z） B−
⊥0
一
Z7』B
−
4
／G2
−
27
0
2
4
6
8 （Hz ）0
24
6
8
2
−
1
レ
27
。，， 。 ． ．a 、・．。
。 ・n・ 。002
4
6
8
〔Ht）Fig
．
7
Coherences
fol
waves，
MPS
andAP
functions
of array records（
FUKUSHIMA
KEN
−
OKI
earヒhquake
爬 colds （12
samplesD0
o （Hz 》 G2−
1
！G2
−
27
OO2
46
8
z） （Hz ）一 30 一
一
Qo
120
60
o
-60
XM(t>i'
lt/t
tt
Lt
'.iL,,/,../t
tttlttttttt'
･----
M=6.----
MeS.
Me4.4-6.5-6.6-S.jttt
7o1
tttt.t.tt.
,,./';tt:';:J;:-tt:,,,..--'
O
O.4
O.8
'
Averaged
MPS
functiens
Fig.S
Ayeraged
MPS,
"<e(sec)
and120
60
o
-60
i":ti:ic.:;.
L',/li-,L',,.t.
x-../..
,.
N.,,,,,･tt
't･.
I't,
'･L'v.
/' XM(t)..
.t;:t"l.'ny
i:.T;-･･-･"
(a)
8?ae
16
12e
4
Ll'x
////t:JtV
! f/i t/.L ,///yi "//t.X, /-//
1/+･,,t
t-
..
-t
/-ttt
y,,,
s ,i
x..,loe
(b)
MPS
IFlrL(u)1
o
o.a
o.s(see}
eo
MPS
functions
of averaged(e)
Fourier
spectrafunctions
of averagedFourier
spectra..:J.;:.T:r･T.:7,]:;･-.
.ttttxl.:.t:t:.::::,
soghoo
-so-100
20
LStl
10o
5
o
A ¢ es
40
T40 T4e-40
40 T40 ;40-40
246
AveragedFourier
(o.
for
magnitude ranks
75
IS.Ose
v o7.S m el m o7i2S
k
"e eo.
-1.5
-2S
O
O.t
O.2
O.3
<Hi)
O
O.1
O.2O.3
(Hz)
o
30
2.0
1.S
2o
g
3,.,
IO
o.s
O
ls
3o
4s
6o
(see)
Oe
IS
30
45
60
(sec)
O.o
ls
(a)
Wave
(b)
MPS
'
Fig.9
Time
envelopes of waves,MPS
andAP
functions
fer
array records{No.17)
40
8･
T40 T8 " T40 18 es
lo
is
(sec)
-40
o
s
io
is
(see)
-8
o
X(t> XM(t}(a)
SniITOMO
SEIMEI
BUILblNG
(18F,
9F,
B2F)
70
S
T7D F8 tt T70 l8o
s lo ls(sec)
-70
O
s
lo
ls
(sec>
-S
o
X(t) XM(t)
(b)
SUMIroMO
SEIMET
B2F(SU2B),
BANK
77
BIF(B71B).
JR
BIF(jRIB)
Fig.
10
Decenvolution
of1978
MIYAGI
KEN-OKI
earthquake records8'
.(Hz)
spectra-O.6SEC)O.]
O.2O.3(Hz)
30
4S
<c)
AP
{O.
-O.2
Hz)
60(sec)
5
IOXA(t)IS{see}
s
ioXA(t)IS(see)
3
40
T40 ；40
一
40
0
AP
：18F
八P：9F
AP
：B2F
5
10
MPS
：18F
盟
O40
￥40
；40
且5
（sec ｝
駻
40
0
AP
：18F
AP
：9F
AP
：B2F
5
10
MPS‘9F
40
“01e
’
T40一
40
15
（sec ） MPS ： B2F．
ee）〔a）
SU
卜IITOMOSEIMEI
BUILDING
（18F，
9F
，
B2F
）日 く O
40
T40 T40一
40
0
建 O40
；40
T405
10
且
5
（。ecジ
4° 。MPS
：SU2B
51QMPS
； B71B 日 く O40
T40 T40 ■5
（… ）
’
40
0
（
b
）SUMITOMO
SEIMEI
B2F
（SU2B
），
BANK
7
フBIF
（B71B
），
JR
BlF
（JRIB
）Fig
．
11
Synthesized
seis皿ic
waves wi しh
the
sameMPS
lunctions
5
iO
l5
（sec ）MPS
：JR
工B
ク トル の平 均
のMPS
と ほ ぼ同
じ傾 向 を 示
している。
地
震 規 模
との関 係
では，
地
震規模
が大
き くな る につ れ て，長 周 期 成 分
が卓
越 す る よ う に な ること が， これ らの図
か ら読
み取
れ る。
Fig
．
9
は，
AP
の類 似 性
を検討
す る た めに，No ．
17
の地 震
につ い て観 測
点
ご と に，Xm
（
ω）
，
XMT
：（
ω｝
，XATI
（
ω）と
， こ れ ら に基
づい て平 滑 化
し た振 幅 （
包 絡 線 ）
とを比 較
し て示
して いる。x
（
t
）
，
XM
（
t
）
の包 絡
線
に比べ て，XA
（
t
｝
の包 絡 線
は すべ て の観 測
点
で似
た性
質 を有
し てい ること が
わ か る。 こ の よ うに，AP
に関
し ては， フー
リ
エ振 幅
は1
であ り
，
さ らに包 絡 線
もほぼ同
一
で ある こ と により，全 体
と して非 常
に よ く似
た もの で あ ること
が理 解
で き る。
な お，
ほかの地 震
記
録
の解 析 結 果 も 同様
であ
り，
さら
に異
な る地 震
に対
し て も，震 源
がほ ぼ同
じ地 震 動
のAP
の包絡
線
は お お む ね よ く似
る結 果
が得
られ て いる。4
．
2 1978 年
宮 城 県 沖 地 震 記 録
の因 数 分 解
1978
年 宮 城 県 沖
地震
の と きに仙
台 市
の住 友 生 命
，
七十
七銀 行
，JR
東
日本
の ビルで記 録
され た地 震 加 速 度 記
録
に つ い て因 数 分 解
し た結 果
を示
す。 この場 合
に は，
同一
の地 震
に対
する因 数 分 解
の特 性
の考 察
と な る。
Fig
．
10
（
a）
は，
住 友 生 命
ビルB2F
，9F
，18F
の結 果
を比 較
して示 し た もの で あ る。
こ の場 合
にも
，
地 震 記 録
x
（t
）やMPS
に比ぺ て，
．
AP
はすべ て の記 録
．
で よく似
て い る。
（
b
）
は，
住 友
生命
B2F
，
七・
i．
．
t
：銀 行BlF
，
JR
東 日本
BIF
の地 震記
録の因数
分解 例 を比 較
し て示
し た もの であ
る。
こ の場 合
に は，
x
（
t
）
，
翻
の，
XA
（
t
）の そ れ ぞ れが よ く似
た結 果
を与
えて い る。
Fig．
ll
〔
a
）
，
（
b
）
は，
Fig．
10
のMPS
とAP
を
交換
し て得
られる合 成 波
を示
し た もの であ る。
各 図において，MPS
は同
じも
の を用
い，
AP
の み を変
え て得
られ る合
成 波
を示
して いる。MPS
が 同 じ で あ るの で，
各 図
の合
成 波
の フー
リ
エ振 幅
ス ペク トル は完
全 に一
致
してい る。
したが
っ て，各 図
におけ
る合 成 波
が似
てい ないと するな ら ば，
そ れはAP
の違
い に起 因 す るこ と に な る が，
合
成 波
は お お むね似
て い る といえ よ う。
4
．
3
地 震 動
の因 数 分 解
特
性
のま と め以
上の地 震 記 録
あ
因 数 分
解 結
果
を ま と め る と，次
の よ うな こと が言
える。
1
） 同
じ地 震
につ い て，
隣接
す る観
測 点
で観 測
さ．
れ た地 震 記 録
のAP
は，
非常
に よ く似
てい る。
これは，
記
．
録
か ら振 幅
の情 報
を 取 り 除 くことに よ り，
波 形
に食
い違
いを与
えて いる観 測 点 近 傍
の応 答
の成 分
が取
り除
かれ て し ま うことに起因
す る も ので あ ろ う。
ま た，
震 源 が
ほ ぼ同
じ な らば，
異
な る 地震
に対
して も，AP
は似
た もの に な る傾 向
が あ る。 し たが っ て ， 振幅
の情 報
をMPS
と い う 因果 関 数
で 取 り除
い て し まっ たAP
の特 性 を 整 理
し て行 くことに よ り，
震 源 過 程
・
伝 播 過 程
・
応 答 過 程
に固
有
の地 震 動
の非 定 常 性
が評 価
でき る可 能 性
が あ る。
これ ら は，
多 少 異
な る が，
文 献
1
）
で も言 及
さ れて いる考
え方
で ある。2
）MPS
に関し て は，
基 本 的
に は地 震記
録の フー
リ エ振 幅
と等 価
な情 報
で あ り，当
然 な が ら， 震 源で発生
し、
た地 震 動
が観 測
さ れ るま
での振 幅 形 成
に関 与
するす
べ て のも
の に影 響
を受
けて いる。 こ の よ う な 振幅
形 成の要
因一 32 一
一
を
考 慮
しな が ら多
くの地 震 記 録
につ い て因 数 分 解
を行
い，
MPS
特 性
を整 理 す
ることによ
り，
震 源
か ら観
測点
ま
でに固 有
の フー
リ
エ振 幅 特 性
が評 価
でき
る可 能 性
があ
る。
（
例
え ば，Fig、
8
の結 果
は，
震 源
か ら観 測 点
まで の伝 播 経 路
に おける増 幅 特 性
がほ ぼ同
じであ
ると
み な せる な らば，
震 源
にお け る振 幅
のマ グニ チュー
ド依 存 性
を表
すも
の と解 釈
で き る）
。
3
） す
な わち
，
地 震 動
x
（
t
）を
その ま まの形
では な く，
2
つ の因 果 関 数
，
XM（
t
）
と XA（
t
）
に分 離
して扱 う
ことによ り，
x（
t
）
の み の考 察
で は得
ら れ な い情 報
が抽 出
で き る。
この情 報
は，
因 果 性
に基
づ くも
の であ
り，
振 幅
・
位 相
か ら得
ら れ る情 報
に比
べれ ば，
よ り大
き な物 理 的 制 約
を受
け た もの で あ る。
し た がっ て，
こ の よ う な物
理的制約
を受
け た情 報
を整
理 して，
さ らに合 成
す ることに よ り，
こ れ ら の情報 特質
を考慮
し た模 擬地
震
動
の作
成
が可 能
と な る。
この よ う な地 震 動
の分離
・
整
理・
合成
が可 能
で あ る こと が因 数 分 解
を行
うことの大
き な特
長
で あ ろう
。5．
ま と め本論文
では，
地 震 動
の因数
分
解
の考
え方
を示
し，
簡
単
な数 値
計
算 例
に基
づ い て因 数 分 解
の意 味
を示
し，
実 際
に実
地 震 動 記 録
の因数 分
解
の特性
を考
察
し た。因 数 分 解
は，
振 幅
に基
づいて複
素
数 値
関
数
を 分離
す る手
法
であり，
因果
性
を満
足 す る地 震
動
か ら，
因 果 性
という物 理 的 制 約
を満
足 す る2
つ の関 数
MPS
とAP
が得
ら れ る。従 来
の フー
リ
エ解 析
で は，
地 震 動 を
「
振
幅
と位相」
と に分離
し て考
え ること が多
いが，
因 果性
の制 約 下
ではこ れ らは完 全
に独 立
で はあ
り え ない。
そ れ に対
し て， 因数
分 解
は地 震 動 を 「
振 幅
の み に依 存
す る 因果 関 数
と，
位相
か ら振 幅
に依 存
す る部 分 を除
いて定 義
で き る因果 関 数 」
とに分離
す る とい う立
場 で あ り，これ か ら，
「
振幅
と位相」
で は抽 出
す ること の で き ない新
しい情 報
が抽 出
で き る可
能性
を有
して いる。
地震
動
の特性
が 必ず
し も明
ら かに さ れて い ない現 在
におい て は， 地震 動
に つ いての因 数 分 解
特性
，
す な わ ちMPS
とAP
の特 性
，
を整
理 す ること も，重
要
な課
題
と言
え よ う。
謝 辞
本 論 文
で用いた地 震 記 録
の一
部
は，
東 北 大 学
・
清 水 建
設
の共 同 研 究 「
免 震 構 法
の研 究 」
で得
ら れ たも
のであ
る。
関 係 各位
に感 謝 す
る。
参 考 文 献1
） 辰 巳 安 良・
佐藤忠信 ：地 震 波の因果 性を用いた19791m
−
perial
Vaney
地 震の 多重 震 源 解 析，
土 木学会 論 文 集，
第380
号，
pp
．
475
−
484
，
1987
．
4
2
） 壇
一
男・
渡 辺孝
英・
神 田順 ：
Wiener
・
Lee
変 換 を用い て地 震 動 波 形の
Feurier
振幅
か ら原波
形を再 現す る試
み， 日本 建 築 学 会 構 造 系 論 文 報 告 集，
pp
．
15
−
25
，1987
．
9
3
｝
H
．
Katukura
，
T
．
Watanabe
，
andM
．
Izumi
：AStudy
onthe
FQurier
Analysis
ofNonstationary
Seismic
Waves
，
8th
WCEE
，
1984
4
）
A
．
パポー
リス ：ア ナロ グと ディジ タル の信 号 解 析，
現 代工 学 社，
1982
5
｝K
．
Aki
andP
．
G
．
Richards
；ΩuantltativeSelsmelogy
Theory
andMethods
，
W
．
H
．
Freeman
跚d
Company
，
］9806
｝ 片 山
徹 ：応 用 カルマ ン フィ ル タ
，
朝 倉 書 店，1983
SYNOPSIS
UDC ：550
．
34、
03 ；51Z5ASTUDY
OF
DECONVOLUTION
ON
SE
匪SMIC
WAVES
by
D
【．
MASANORI
lZUMI
，
Professor
of
TohQku
Univ
．
，
Dr
．
HlROSHI
KATUKURA
，
Associa
ヒeProfessor
ofTohQ
−
ku
Univ
．
，
and
SUSUMU
OHNO
，
Graduate
Student
of
