【論 文】 UDC ；624
．
131．
55 ；624．
i5 ；624．
e42．
7 日本建築学会構造系論文報告集 第 369 号・
昭 和 61 年11月正 弦 加 力 を受
け
る
基 礎
の
浮 上
り
と地 下 逸
散
減
衰
の
関係
に
つい
て
一
半無 限弾性 地 盤
上 の基 礎
の浮
上 りを伴 う動 的挙 動
に関
す る研究
その1
一
正 会 員 正 会 員下 村 幸
男＊田
治
見
宏
＊ ＊1．
は じ め に 剛な構造物は一
般に加速度応答倍率が大き く， 大地震 時に は転 倒モー
メン トに よっ て基 礎 底 面に浮 上り を生 ず る こ と が予想され て いる。
原子炉建屋の よ う な重要構造 物で は高 度な各 種 耐 震 安 全 性の確 保が要求さ れ て お り， 想 定 し得る最 大 級の地 震に対し ても建 屋のみ な らず設備 機 器 等の耐 震 安 全 性の検 討が必要となる。
こ の よ う な背 景か ら， 近 年 激 震 時に予 想さ れ る基 礎 底 面と地 盤との剥 離 現 象 を考 慮 したい わ ゆる基 礎の浮 上りに伴う非稼
形 振 動に関する研究が精力的に行わ れ てお り， 数 多くの知見 が得られ て いる1｝−
11〕。
ところで，
原 子 炉 建 屋の よ うな剛 構 造 物は構 造 物一
地 盤の動 的 相 互 作 用 効 果が強く現れ る た め， 地 下 逸散減衰 な どを定 量 的に評 価 する事が耐 震 設 計 上 無 視し得ない事 項と な る。 基 礎の浮上 り現 象に よっ て生 ずる幾 何 学 的 非 線 形 性は こ の動 的 相 互 作 用 効 果の面か ら 見 れば， 地 盤 ば ねの剛 性および地 下 逸 散 減 衰 量の変 化 とし てとら え ら れ る。 浮上り問 題に対す る実 用 的な解 析で は地 盤係数法を適 用 する場 合が多いが，
特に地 盤の半 無 限 性 を 考 慮す る場 合は地 盤 係 数 を接 地 面 積に よっ て変 化さ せ てい る2L5］。
し か し， 地 下 逸 散 減 衰は接 地 状 況の み な らず 加振振動数 に も強く依 存して い る に もか か わ らず， その評 価が難し いた め，
減 衰 係 数 自体 を一
定にする か減 衰 定 数が接 地 率 には依 存し ない とし て減 衰 係 数を算 定する か の どち らか を採 用し てい る例が多い 。 ま た，
地 盤の半無 限 性を考 慮して基 礎の浮 上りによる 地下 逸 散減衰 効 果の 変 動を評 価した研 究fi｝−
9 ）で も， 厳 密 な取り扱いが難しい た め，
安全側の仮定を設 定 〔時々刻々 変化す る接 地領 域をその最 小領域で評 価す る な ど）し，
線形時の定 常解 を 重 ね 合 わ せて解 析し てい る例が多い。 こ れ らの研 究で は， 周波 数領 域で定 義さ れ る振 動ア ド ミッ タン ス理 論 ある い はグ ラ ウン ド・
コ ン プラ イ アン ス 本 報の一
部は昭 和58 年 学 会 大 会11〕お よび昭和61年関東支 部 研19｝・
eo）で発表。
， 日 本大学 助手 ＊＊ 日本大 学 名 誉教授・
工博 （昭 和61年3月31日原 稿 受 理 ｝ 理 論な どを適 用し て い る。
しか し，
本 来，
非 線 形 現 象である浮 上り時の実 現 象 を 逐 次把 握す るた め に は，
こうし た周 波 数 領 域で定 義され る基 本 解に よ らず， 直 接， 時間領域で の解析が必 要で あ る。 そこ で本 研 究は時 間 遅れ影 響 係 数 法 1°〕 の精 度を高め た修正時間遅れ影 響 係 数 法］］）によ っ て， 基 礎の浮 上り挙 動 を 逐 次 時 刻 歴 とし てとらえ， 浮 上り に伴う非線形挙動 につ い て論 じ るもの である。
な お， 時間遅 れ影響係数法 は時間 領域で求め た基 本 解 を簡 略化 して採用 し た一
種の Green 関 数 法に付 けられた名 称である。
本報 （そ の1
） では，
先 ず修 正 時 間 遅 れ 影 響 係 数 法に よ る解析 手法を提 案し，
次に こ の手 法 を適 用し た解 析 結果 に 基づ い て，
基 礎の浮 上り と地 盤ば ねの剛 性お よび 地 下 逸散減衰の関係 につ い て論じ，
ば ね一
ダッ シュ ポッ ト・
モ デル に適 用し 得る近 似 評 価 式を提 案する。
2．
解 析 手 法2．1
解 析 仮 定および解 析に用い た諸 定 数 本報で取り扱 う解析は基 礎の浮 上りに伴う 地盤 ばねの 剛 性および地 下 逸 散 減 衰の幾 何学的非線形性の抽 出を目 的と す る た め以 下の仮 定 を設 定し た。
地 盤は半無 限 均 質 弾 性 地 盤と し，
引張には抵抗 し ない ものと する。 基 礎は埋 込みの ない無 質量 の 正方形 剛基礎 と し．
地 表 面との接 触 面におい て局部 的な滑りは ないも の とす る。 さ ら に上 下力に よ る水平変 位，
水 平 力に よ る 上下 変 位は無 視 する。 な お， 解 析 例に用い た諸定数は 以 下の と お りで あ る。 地 盤 横 波 速 度 ：V，＝
200m ／s， ボア ソ ン比 ：v＝
』
0，
45
せ ん断 弾 性 係 数 ：G
＝
8000t／m2 yQx
→ Pr xQx Z r θ V 図一
1 座標 系 θ r uUx一 87 一
基 礎
IX ・
1
＝ 10mxlom の正方 形 無 質 量 剛 基 礎 加振振動数 ：O〜10
Hz な お，
設定し た諸 定 数は無 次元振 動数 ：α。；
wl ／Vr
で みれ ばO一
π に相当す る。
ま た，
基 礎底面 図心位 置に P。＝
1 OOO tの鉛直力が常 時作用してい るものと し た。2．
2
基本解 半無限弾性地盤 上の原 点に時 間につ い て ス テ ップ関 数 の点 加 力が作 用 し た時の地表面 〔r，
θ）に おける変 位 解 は，
上 下 点加 力につ い て はC ．
L ，
Pekeris
の 文 献IZI お よ びJ
．
D ．
Achenbach
の成書13｝に詳 録さ れて い る。
また，
水 平 点 加 力につ い ては C．
C，
Chaoi4［がポァ ソ ン比 ン＝
1／4の場 合につ い て求 めて いる が，
こ こ で も同 様の手 法 に よっ て誘 導し た付N＃照。 （i
）齟
上 下 点 加 力P丿H（t）の と きの上下 変 位 地 表 面 （r，
θ）における上 下変位w は （1
）式で示さ れる。
rくγ の と き w；O
γ≦ τ≦1
の とき．
Px
G、（T） w＝一
πtGr lくτの ときPx
ω＝一
π：Gr
臨 ω十G
，〔τ）｝…………・
…・
（1 ） こ こ で，
H（t）：Heaviside
unit関 数，
τ は無 次 元 時 刻で，
τ＝
VTt／r， γ≡
VT／ VL， VL：縦 波の伝 播 速 度 であ る。 さらにG
，…一∬
賂 プ牲
響
煮 書8
・一 ・
；・
……・
……・
………
（2 ）・脚
f
ζ（窰
；
・差
，驛
广…
…・
・
… こ こで，
F
，（ζ）； （1− 2
ζ t｝，十16
ζ4（ζ2一
γi）（1一
ζ：）・
・
・
…
（4＞F
，（ζ）＝
（1− 2
ζ 2 ）：− 4
ζ： V〆ξ
可：：57
『V西
一
一・
・
（5）F
，（ζ）はRayleigh
関 数と呼ば れ，
実 根9
，＝
V，／ V， （VR
：Rayleigh
波の伝 播 速 度 ） を もっ て いる。 ζ，は ンの 関 数で1よ り若 干 大 きな値であり，
（3） 式の被 積 分 関数は こ こ で極・ な る ため主 値を とる ・と・なる．記 号 ・f
は主 値 を とること を示して いる。 （ii
） 水 平 x 方 向点加 力Q
．H
（t
）の と きの x 方 向 変 位 地表 面 （r，
のにお ける x 方 向 変 位 u＝
は （6）式で示 さ れ る。 Ur＝
Ucost θ一
Vsin ！ θ………・
・
…・
………
（6） さ らに U，
V は τ〈γの と き u＝ v＝O
一 88 一
ア≦ r≦1
のときQx
H
，（τ） 勉；−
2π℃rQx
H
，（τ｝ V；、
−
2
π2Gr 1＜τ の ときQx
u＝−
2
π2GrQx
Qx
IH
，（1）＋Hs
（τ）1
−
（τ一1
） 2πGrv
− 一
，。 、。臙 ）・齡 ）｝・ 、髭
。 ・…………一 一 ・
一 ……一 ・
（7 ） こ こ で，
H
，（・）∫
駈 ｝
一一
∫
F
，（ζ）・ζ
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
s■
・
…
J・
…
一
・
（9 ）H
，…− P
∬
2（92
一
臨
一
転
・
一
・11
・購 ・
ズ
2（92一
蛮
、ぎ
一
転
凾
…・
…11・ 上 記の積 分は レ≡
o，
1／4等につ い て は解 析 的に求ま り，
（1），
（7）式は無 理 関 数で表 現さ れ て い る。
し か し， こ こ で は数 値 積 分によっ て求 めることになる。
こ こで以 後の記述の簡便の た め （1 ），
（6 ）式 を書き直して お く。
w 〔r，
t）・
＝
Pzw訊r）W（r｝一 …・
…・
…・
…・
……
（12
） Ux （r，
θ，
t）；
Qx
［U．（r）U
（T）cost θ一
（1−
v）Vs（r）V（τ）sint θ］・
・
…
（13） 蝋 の，
蝋 の，
Vs〔r）は単 位 力に対す る静 的 変位で あ り蝋 ・）一
缶計
，
鞠〔← v“r）一
，｝
、÷
……
」・
…………・
…・
………・
・
（14｝ 10 oo一
1010 00−
0510 00一
1D T8 1 1 ζ（1一
ζり（ζ：一
γ：）trZ （τ2一
ζ2）−
vFI（ζ）
dζ
一 ・
・
…・
…・
……・
………
（8
） T8 ζ（1一
ζ2）（ζ2一
γ2）臺（τ2一
ζ2声
W
（
τ）
u
（
τ）
1、
V
（
τ）
i
o r lk 2 1．
O oo一
101．
O OO−
051．
0H
嵩
。H
昌
m OO−
05H
昌
m 図一
2 W （τ），
U｛τ），
V（τ）およ び H鞄 （M＝
10の場 合 〉また
W
（τ）， σ（τ），V
（τ）は y，
τ の み の関 数で τ≧Te・＝
＝
v
，／v
，で常に1
と な る。
図一2
にv＝o．
45の場合を示す。 2．
3
修正時 間遅れ影 響 係 数一
般に系のインディ シャ ルア ド ミッ タン スをA
（t），
任意の入力 をF
（t）と す る と，
その 出力x（t）はx（
t
）− F
（t
）A
（o
）＋．
ズ
F
（置一t
＊ ）4
爰
睾
学
｝dt
＊・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（15＞ い ま，
F （t），
A （t）を時間 間 隔At の階 段 関 数で近 似す る と t＜0の と き，F
（t）＝A
（t）・＝Oで あ る か ら n Xn＝ π（n△t
）＝＝F 。
A
。＋ ΣFn．
鵬
［A
ボA
鷹一
1］ MEI・
一 ………・
………
（16
） 時間 遅れ影響係数 法で は， 単位入力に対する静的出力を Xs と す る と0
（肌 〈r／V
，At
）・
一
・
・
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
（17
）Am
＝
Xs （m ≧ r ／v詮At ） よっ て Xn＝
XsFn−
M （M ＝
r／V
，A
t
）…………・
……
（18
） す な わ ち， （12 ＞， （13 ）両 式に おい てRayleigh
波の影 響の み評価し たことになるが， こ こ で は実 体 波の影 響 も 考憲
し （16 ）式 をその まま利用す る。 た だ し，一
般にA
智＝
ん＋
1＝…
rXe で あ るこ と よ り N H Xn；F
』、4
。＋ ΣFn一
簡
［A 蹴一A
耐 ］＝ コじ。Σ 」一
誘H
柵 碍＝
1廻±
O…
r・
・
…
r・
・
・
・
・
…
r・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
鹽
（19
） こ こ で， ΣH
”m＝1 ……・
・
………・
…一 ………・
……・
（20
） 働＝
o 適 当な M を定めて， （19 ＞式に よっ て変 位を求め る こ とにな る。 ところで図一
2に はM
＝・10
の場合につ い て Am／Xs （（12｝，
（13） 式の W ， σ，
V
）お よ びH
． を 併わ せ て示し た。
上付き添 字 W ，U
，V
は基本解W ，
U ，V
に対 応 する項 を示 す。 なお， 時 間 遅れ影 響 係 数 法 は （19 ）式の特 別な場 合と考え られ る た め， （19
）式に 基 づ く解 析 手 法を修正時 間遅れ影 響 係 数 法と呼ぶ ことに し た。 2．
4 基 礎の上 下 変 位 ttrtお よ び 回転 角 砺の算 定法 基 礎 底 面 図心位 置に鉛直力 P』（t
）， x 軸回り回転モー
メ ン トMx
（t）が作 用 して い るとす る。
地 表 面の垂直応 力 を aAx，
y，
t），
上下変位を wS（x，
y，
t）と し全地表面 をr ，
基礎との接 触 領 域を r，とする と 領 域r
，内でω8（x
，
y，t
）＝ wfl（x，
3ノ，
t｝＝
ω！十y
θ1
・
一・
・
・
・
…
（21 ） 領 域F
−
r，で σz（x，y，t
〕＝0 …………・
…・
…・
・
（22） よっ て地 表 面の上 下 変 位 げ は （12） 式よ りげ （x・・y
・
・t
）−f
， ・・（ξ，
・，
t）嘘 ）w （・｝d
鋤・
以
砺（e
，
・，
t−
t・）Ws （・）誰
∠
ト L r xcc ） C y y 図一
3 基 礎 底 面と地 盤の接 触 領域 図一
4 メッシュ 分 割・
w
（
VTti
『）
飆 ・・
…・
…・
一
（23） こ こ で， r； （工一
ξY
十（Y一
η｝t 今 後 上 付き添字s，f
は地表 面お よ び基礎 底 面の量 を表 すことにする。
ただし，
添字は混 同の おそれ がな いとき は省略す る。 底面 中心位置で評 価 し た合 地 反 力は 几呵
砺（ξ・… 聞 ・…・
……・
・
…・
…一
（24 ） 酬一
五
・a2（ξ・… 徽・
・
………
（・・） （21
）一
（25
）式 を 用いて基 礎の変 位 ガ （置）， θ‘（t
）を求め る ことになるが， 底 面の浮 上りを生じ ない線 形 時でも解 析的に求める の は困難な ため， 基礎 底面と地表面の静 的 接 触 面r
。をメ ッシュ 分 割し変 位・
応 力 を 各要素中心位 置で離 散 的に評 価 する。
今メ ッ シュ 分 割 数 をN
×N ！
NN とすれ ば ノ要素中 心 位置の地 表 面 上下 変位は （23 ） 式 より媛ω
一
葛
既 （r）［
・kpUtt ）w
｛・） こ こ で，
・μ
卜嬬
．畷
写
串）
d
・・・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一…
守
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（26 ）嗣
ll
驃
繼 嬲
1
到
さ らに時 間につ い て も離散的に評 価 し （19 ）式 を適用す れ ば NN M ω，。＝
Σ ω。ω ［ε鳶P肋 嘱＋ Σρ版一
飛1
肱一Wm −
1｝］ 酵＝
1 瓰＝
1 一嵩
砺 ・・［
εkPtaHma ＋Σ P鵬 雌 。 襦＃
1］
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
マ
・
・
・
・
…
髄
・
・
（27
） な お解 析は自 重の影 響 を考慮して行 うことにな り， 加 振 力 作 用 以 前に も剛 分布の場合の静的地 反 力が存 在す る。
添字j
，h
は要 素 番 号 を， n， m は時 刻 番 号を示 す。 また，
M
は加 力 要 素k
と受 力 要 素j
の中心間距離の関 数と な り全 要 素 間 を整 数と す ること は不 可 能な ため以下の 操作 を行う。
（18）式よ り，
M＝
r〃k
ム置＝ （x 厂 コCs）2＋（y厂 YDi／VaA t・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
《28＞一
89
一
今，
L ＝
［M
｝（［ ］は ガウス記 号で ［ ］内を越え ない 最 大の整 数 をと る）と し，
（29
）式でM
を整数 化し て近 似 算 定した。
．
c”
MAt ＝
1
〔1一
β）L
十β（L
十1）｝A
置・
…・
・
…………
（29 ） ただし， β＝M − L …・・
…・
………・
・
……
∴…………
（30
） ところで 」＝le
の とき は その ま ま 算 出す るこ とは不 可 能 な た め，
一
面積の等価な 円形要素を仮 想 し， これに等分 布 力が作 用し たときの 中心変位を もっ て w。JJ を評 価 す れ ば．
ω。，尸
1
／hv
’
…・
一 ………
∴・
……・
一 ・
一 一 ・
（31 ） こ こ で，kv＝
；rG ro／（1−
y）i ro＝
1／ハJGさ らに， 亠 般に
W
（ωばゼロで あ ること と演算時 間の 短 縮 を考え簡 略 化の た め に下 記の仮 定を導入 す る。（
i
） ゴキh
め とき，「
p肋 に よるj
要 素 変 位は同 時 刻 に は起 ；ら ない。
（il
）」＝ic
の とき， PJnに よ るノ要 素 変 位は時 間 遅 れ な しに起こ る。
（1
）， （ii
）の仮定は厳 密に は同時に成 立し得ないが 下記の操 作 を行えば 容 認で き．
よ う。
近 接 要素間以 外では一
般にH
監諞 oと な る ため （i
）の仮 定は妥 当であるが，
ボア ソン比 が0．
5
に近いときの隣 接 要素間で は加 力か ら の 時間遅れがAt
より早 くにP
波 伝 播に より変 位が
生し
ずる た め，．
基 本 解の 補 正が 必要と な る。
（ゴ7 ＞式の W はA
τ＝V
，At
／．
r 間 隔の離 散 値 嘱，W
，，…
と し て評 価す るこ とに な る た め，
k
キノの場 合にはWe＝O
とし てH
島 を補正 す れば良い ことにな る。
ま た （ii
＞の仮 定は時 間 間 隔At
を大き く す ればその妥当性は確 保さ れ る が， 計 算精度お よび応 答 計 算の安 定の たあ
（32）式 を満 足 する 範囲で で き る だ けAt
を小さ く とる ことに し た。
ro／v
身At
〈1
／2 ・
…・
一 ・
・
…・
……・
…・
・
…・
……
（32
） 以上の簡 略 化 を行えば （27）式は （33 ）式に書き直さ れ る。
ω羣。＝ P丿。／砺 ＋wfn…・
…・
一 ・
………・
・
一 ・
…
（33） 上付き添 字ρ．
は過 去の応 力の みに起 因 する量 を 表 す。 具 体 的に記せ ば，
tVJenは時 刻 nAt
以 前にj
要 素 以 外の 要素に作用 し た力の伝 播に よ るj
要 素の nAt に おける 変位量 を 示し，
既 知 量で あり （34
）式で与えられ る。鯣 一
菖
（1−
・ ・D
・V・・h［
意
・…1
（・一
β）臨・β瑚 ・ 隔
晶
砒司
………
岡 こ こ で，Di
tCは クロ ネ、
ッカー
のデル タを示
す。
（33 ）式 を 接触領 域 厂i内の要素につ い てのみ重ね今
わせ るとltvsln
＝ ［av］1pln
十ltt
プ” ｝n（on
i「
1）”・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（
35
）．
こ こ で ［…］一
去
［・］ （［・弾位
行列〉』
．
逆に1
ρ｝。＝
［h
，］〔団 バ1
’
aflJ
需
［醐1
ωs｝バ1P
〔Qnn
）．
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（36 ）一
90
一
こ こで［hv
］＝
［嗣一
1＝h
｛1
］ 領 域r，内では （21）式が成 り立っ か ら読
」
［fi
…］．
胤
一
胤
・
・
…・
・
……
（・・） こ こ で，．
，
・K
− ・ 一［
Kn
K
” Kθ2 Kθθ］
一
・
・
…・
…乱一 ・
…・
・38
・NN
＿
−
NNKzx＝kv
Σ e」，
Kze・
”K
θz”hv
Σ SJ’
yJ j＝
1 ’＝
1＿
NNKee＝kv
Σε，・
yi，
ノ＝
1・
…
4−・
・
・
・
・
・
…
−t・
…
4■
・
・
4−・
・
・
・
・
・
…
（39） NN NN．
Pゑ＝
kvΣ eJ・
wfn，
M 翫冨
砺 Σε丿・
9，・
蜴 J扁
1 」＝
1・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
（40
） （37 ）式は外 力 Pmm，
Mxn が与え ら れ れば，
接触領域r
、 を 仮 定し（例え ば前 時 問ステップでのr
，）各 時 間ステッ プにお唾てその領域r
，，
地 屎力，
変位の収束 計算に よっ て求め ることに な る。 特に浮上り を生じ ない線形時に はr
，＝r
。と な り，
基 礎 底 面の対 称 性か らKte’
＝Kei
＝O
，KZt＝
NN・
たv＝K
．＿
．
NN
＿
・
・
・
・
…
（41）
Kee
ニkv
Σ Yi＝ K． 」＝
L とな り，
［K
．］は対角 行列と なる。
』
こ の時は （37） 式は 収 束 計 算に よ・
らず直接 的に求め ること ができる。 とこ ろ で （41） 式の κn，Ke
。は通 常の静 的 剛 性と は異な り瞬 時に反 応 する変 位の み に対応するもの で， こ こ で は擬 似 静 的 剛性と呼ぶこと に す る。
当然，
擬 似 静 的 剛 性は線形・
非
線 形を問わず静 的剛性よ り大 きな値と な る。キ
ト
2．
5 基 礎の水 平変位 妬の算 定 法 基 礎底面の局部 的な滑りはない ため，
水 平 加 力に よ る 水 平変位も（33 ），
（34
）式 と 同様に表 現でき る。
y 方向水 平加 力Qs
（t
）が作 用した時の地 表 面j
要素の時 刻 nAt にお け る加 力 方 向 変位 磁ηはu夛Jn
＝
q丿n／h
．一
←u；」n・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一…
一・
・
一・
・
・
…
（
42
）＝
こ こで，k
，・
4itlgfbG
． 「°，
Q
“t）−
Q
。一
慧
・パ・
・
…一 ・
（43
） NN L u”yJn＝
X
（1
一
aJDUStk
COS2 eX
1
（1−
li
）H
：mh
＝
1 M＝
1 NN ＋βH9
＋i．lqta
一
區
一
（1一
ソ）Σユ（1−
a」iC）VSJh h；
1 L・
sinZ θΣ1
（1一
β）躍溝＋βHI
＋ 、mlq 、e。
．
m m＃
1 NN 十Σ （1一
δ」D
βIu
ε」kcOS2 θH9＋ 1L＋ 1 k−
1
−
（1−
v）VSik sini θHと付 L＋Aqm
−
【乙 ＋1）・
・
・
・
・
・
・
…
t・
・
・
…
一
・
噛
・
−9・
…
一・
・
…
（44）θ＝ tan
−
i［（XJ−
thlt）／（yJ−
yt）］………・
…
（45 ） 鉱翻 は上 下 加 力 時の ω
fn
同様に既 知 量で ある。
領域r
， 内で は協
π
； 焔………一 ・
…・
・
…・
…・
∵一 ・
………
（46
） よっ て基 礎の加 力 方向変位は （35）〜
（40 ）式と同様な手 順に よっ て導か れ る （47 ）式に よっ て求ま る。
Qyn
＝
κκ冠撫一
Q
銑・
………一 …………・
…・
…
（47 ） こ こで，
−
NN NNKH
＝hH
Σε」，
（強＝
臨 Σ ε，・
暘 パ……・
…・
（48） J＝
l J！
：
1 領 域r
，はQyn
に は依 存せず 上 下 力Pzn
お よ び回 転モー
メ ン トMxn
に よっ て決定さ れる。
さ らに線形時には K ，＝N
ハ厂・
h
．＝K
．一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
一
・
−4・
・
・
・
・
…
（49
） 2．
6
解 析手法の検討 （i
） メ ッシュ 分 割数の検討本手 法で は地 反 力および接 地 状 況 を離散 的に評 価 する ため， メ ッシュ 分割数に よ る誤 差の検 討 を行っ た。
一
般 に 剛 基 礎の剛 性はメ ッシュ 分 割 数 を 増すに従っ て漸 増 し，一
定値に収束す る17〕 。 浮 上り判 定は各要 素中心位 置 で評 価するた め， 仮に メッ シュ 分 割 数 が 増しても剛性が 不変とすれ ば分 割 数が増すに従っ て小さ な加力モー
メン トに よっ て浮 上り を生 ずることにな る。
本研究の主 目 的 は浮 上り に よ る地盤の剛 性と地 下 逸 散 減 衰 効 果の変動を 見ることにあるの で，
メ ッ シュ分
割 数に よ る浮上 り限 界 時の 回 転 加 力モー
メ ン トM。の変 化につ いて検 討 を行っ た。浮 上り限 界 時の 回転 加力モ
ー
メ ン トM
。は鉛 直 力Pz お よ び底 面辺長1
に比 例し，
地 反 力 を三角分布 （ウィ ン クラー・
．
モデル ）と仮 定し た と きは （50 ＞式で示せ る。Mc
＝：Pzl
／6・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（50） これ をN 個の離散ばねで近 似 す れ ば
Me
＝
：
Pxl
（1
十1
／N
）／6・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（51 ） 図
一5
に本 手 法お よ び 三角 分 布の場 合につ い て分 割 数 N とM ，
の関 係を示す。 三角 分 布の場合N ＝
20の 時と1V
→ 。。 の時のM
。の比がほ ぼ 1．
05
で あ ること と本 手 法に お け るN ＝10，20
の と きのMc
を勘 案す れ ば，
本 手 法 における分 割 数 を無限に し た時の浮 上り 限界の回 転モー
メ ン トは安全側で評 価 すれ ば （52
）式で 近似で きよ う。
Mc
＝Pzl
／5…………・
……・
…………・
・
……・
・
（52） 1．
5 上者
P・1 1．
00
．
0し＿−
L− 一
・
一
＿一
＿ 2 4 6 810 20 N 図一
5 メッ シュ 分 割 数と浮上 り限 界モー
メ ン トの関 係 翫0
回 転 複 素 嗣 性（
規 準 化o ・
f｛HM0
5
t
O
水 甼 複 素 剛 性｛
胡 準 化o ・
06
図t 規準 化 回転 複 素 剛 性 （線 図一
7 形 時， v’
＝
O．
45，
1V‘
10｝ 510
fCHn
規 準 化 水平複素剛性 （線 形 時，
v＝
O．
45，N ＝
10）ま た
，
応答 計 算の ための メッシュ 分割 数は演 算 時 間 を 考慮し，N
・＝10 と し た。N ＝10
の時， 分 割 数の打 切り に よ る誤差は 上記 より1割 以 下で あ る といえよう。
（ii
） 線形時の複素 剛 性提案し た計 算 手 法の精 度の検討は浮上り時につ いて は 比較し得る材料が見 当ら ない た め
，
浮 上り を生じ な い線 形 時 を対 象に，
振動ア ドミッ タン ス理論18）に よ っ て求め た静 的剛性および複 素 剛 性 を用い て， 本手 法に よる近 似 解法の精度の検 討 を行っ た。
2，
1
で記し たモ デル に対し， 時 間 間隔 Atニ
1／200 sec と し， 加 振 振動 数をO−
IOHz
と し た。 これは無 次 元 振 動数a，t
／VT
で 0一
π とな る。
図一6，7
に回 転 お よ び 水 平 複素剛性をそ れ ぞ れ静 的剛 性で除し た規 準 化 複 素 剛 性の形で示し た。 破 線は点 加 振 解を用い た精 算 値 を， 1点鎖線は時間 遅れ影 響 係 数 法に よ る近似解を，
実 線は本 手 法による近 似 解 を示す。
メ ッ シュ 分割数はいずれ もN ・
＝10であ る 。 回 転 複 素 剛 性の 高振 動 数におけ る近 似度が若干低下 するもの の本 手 法に よ る近 似 解は点 加 振 解に よ る精算値と全 体 的に良い一
致 をみて い る。
特に水 平 複 素剛 性では時 間 遅れ影 響係 数法 に比して，
本 手 法の近 似度の良い こと が分か る。
3．
解 析 結 果 お よ び考察 3．
1 静 的 加 力 時の解 析 結 果と その考 察静 的 剛 性の浮 上り に よ る幾 何 学 的 非 線 形 性 を定量的に 把 握する ために
，
計 算 手 法の特異な使 用 例と して， 静 的 加 力に対す る基 礎の変位 を計算し た。 基 礎の底 面中心位 置にQy
＝
1 tの 水平力 を与え，伺 時に 回転モー
メ ン トMx
を静 的に漸 増 させ，
浮 上り に伴う 地盤 剛 性の 変化 と 接 地率 η の関 係につ い て調べ た。
こ こで い う 接 地 率は （53 ＞式で定 義さ れ る量である。
NN NN NNη
＝
Σ ε，／Σ 1；
Σ ε∫／IVN…・
………
〔53） J！
1 j＝
1 i＝
t（
i
） 回転 加 力モー
メ ン トM
と接 地率ηの関 係図
一8
に加 力モー
メ ン トM と接 地率ηの関 係を示す。
縦 軸は浮 上り限 界モー
メ ン トMc で除して無 次 元化して 示 した。 図 中の丸 印は数値計 算 結 果を示し，
特に大きい一
91
−一
zo
O
CM1
32M
箭
述 1O，
0
00．
0
0．
5 1．
O
O、
00．
5
1．
0 η 図一
8 回転加 力モー
メン トと 接 地率の関 係n
図一
9 回 転 加 力モー
メ ン トと 接 地率の関係 丸は数値計 算 上， 接 地 領 域が長 方 形と な る場合で ある。
な お，
図 中の実 線は最 小 自乗法に よ る近似 式である。
さ ら に， 図一
9に は縦軸を ウィ ンク ラー ・
モ デル の場合の 浮上り限界モー
メ ン トで除して無 次 元 化し て示し た。
実 線は図一8
に示し た最 小 自乗 法に よ る近 似式 を 分割数 （N
＝10
）の打切 りに よる誤 差を勘 案して修正 し た提案 近 似 式であり，
破線は ウィ ンク ラー ・
モデル の場 合の関 係 式である。
MIMc 〈2では加力モー
メン トが等しい時，
本 手法 （剛 板 分 布 ）の方が ウ ィンク ラー ・
モ デル に比し，
接 地 率は大き く な る。 （i
の 静 的 回 転 剛 性Ke
と接地率η の関 係 浮 上り時の回 転 剛性の評価は通常 （54 ）式ま た ば （55） 式で行われて い る。K
＃は割線 剛性，K
ちは接 線 剛 性と 呼ばれ てい る。
K
書＝M
／θ・
■
■
・
・
s■
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
■
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
一
・
（54）K3 ＝
dM
／d
θ・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
−
t・
・
・
・
・
・
・
…
『
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（55＞ 1
．
α5驫
1驫
。 ゜・
°η
n
図一
10 接 地 率と静的回転 剛性 図一
11 接地率と静的回転 剛 性 （割線 剛 性 ）の関 係 （接 線 剛性 ）の関 係 1．
o 血KHO
O．
5
0．
0
0、
O O．
5 1．
O
η 図一
12 接 地 率と静 的 水 平 剛 性の関 係一
92
一
図一10
にK2
を線 形 時の 回転 剛 性 Ke。で除し た Kg ／Ke。 と η の関係 を示し， 図一
11は Kら／K ． とηの 関 係を示 し ている。 いずれも，
実 線は剛 板 分 布と し た と き の提案 近 似 式で ある。
剛 板 分 布と見な せ る場合は接地率 η の 低 下に伴う剛性 低 下は ウィンク ラー ・
モデル仮定ほどは 著 しく ない。 （i
の 静 的 水 平 剛tt
K
．と接地率ηの 関係本解 析で は水 平
・
回 転の連 成効果は 無 視 して お り， 接 地 率は水 平 力には依 存せず，
回転 力と鉛 直力の み に よっ て決 定され る。
また，
底面の局部 的な滑り が ない た め， 水平剛 性K
。は接地率のみの関数 と な り水平力にも依 存 し ない。 図一
12はKh
と全底面接地時の剛性K
． の比 と η の 関 係を示す。
図中の実 線・
破線は図一10，11
と 同 じく提 案 近 似 式 等を示す。
ま た，一
点 鎖 線は地 盤係 数が 接 地 面 積の平 方 根に逆 比例す る場合の関係式K
。／K
，．＝
ぜ万
を示す。 浮上り に伴い接地面積の み な らず， その接 地 領 域の形 状が変化す る た め，
剛板分布の場 合， η の低 下による輪 の低 下は 》万よ り緩慢である。
表一
1に接 地 率 ηと静的剛性，
変位の関係 を ま と めて 示す。
表 中の e． は浮上 り限 界の 回転 角を表し， ω。は線 形 時の上 下 変 位 を表す。 図は省略し た が， 浮 上り に伴 う 上 下 変 位 w も ウィ ン クラー ・
モデル仮 定ほどは著 しく は な い こと が分か る。 3．
2 正 弦 加 力 時の解 析結果と その考察浮
上
り に伴う地 下 逸散減衰の非 線 形 性 を定 性 的かつ定 量 的に把 握す る目的で．
こ こ で は正 弦 加 力 時につ い て の 検 討 を行 う。 図一
3の よ うに，
基 礎図心位 置に 鉛 直 力P
。＝
1000t お よ び回 転モー
メ ン ト雌 （t）＝M
肇H
（t
）sin a，t
とy
方 向 水 平 力Q
粛）＝
＝
Q
夛H
（t
）sin tut を同時に作用 させ， 定 常 状 態に移 行 後の変位波形に基づ いて，
浮 上りを伴 う調 和 加振 時の 基 礎の 動 特 性 を評 価 し た。
た だ し，
醒西
M
塗／H
（H＝
10m ）と し た。 動的加 力 時に は （53
）式で 示され る η は時々刻々変化す る た め， その定 常 応 答 中 の η の最 少 値 殉n を もっ て 接 地率と呼ぶ こ と にする。 また， 静 的 加 力 時につ いてのM
／M
。〜
η関 係 が調 和 加 振 表一
1 接地率と静 的 剛 性・
変 位の関 係一
7
ウィン ク ラー
モァル 本 解 析 M じ 吉P、β吉
P遥 Mレ制 、 3−
2η 号一薯
η θ／θ・ η z η一
τ5 W ／W 。 η一
鷁（2 η一
1〕 η一
1
＋ ηi1
η一
斗 K盞／K， 。 η 2 （3−
2 η） η牙（睾一
…η ） Kl／K、。
η 3 £ η4 KH ／K日。 η 2 ητ時に ど う変化す る か を見る ため，
M
を一
定に し て加振 振 動 数 を変 化さ せ，
各加 振 振 動 数に対す る 伽 、 を算 定 し，
その結 果を図一
13に示し た。 図に は加 振 振 動 数が 5Hz お よ び10
Hz
の 場合につ い て，
各 加 振レ ベ ル につ い ての最 小接 地 領 域 も合わ せて示した。
こ れ らか ら接地 領 域が長 方 形 もし く は長 方 形に近い と き は，
加 振 振 動 数 に よ るza。t。の差 異は ほ とんどない こと が分か る。 し か し実 際のηが最 少の と きの接 地領域は図一
3の よ うに浮 上り側の 中央が長 円形状に くびれ た形となり，
線 形 時以 外では接 触 領 域が長 方 形 とは な り得ない。 これ は離 散 化 に起 因す るもの で，
分 割 数 を増 加す れ ば接 触 領 域は図一
4
の よ うに階 段 状に な る。
しか し，
最 小 接 触 領 域 が 長 方 形の方が浮上 りに伴 う非線形性の評価が しや すい こと も あり，
分割数はN ＝
10の ま ま とし た。
図
一14，
15に応 答 波 形 例と して 加振 振 動 数 ∫≡
5Hz にっ いて，
η＝
0．
8お よ び0．
4
の場合の変位および図一
4 M／Mc ＝∴
1
；
；
il
；
；
li
三
〇．
5 1，
76晶
鬮
闘
鬨
鬮
ZOO
l
コ
1
■
5HZ
10HZO，
O
O 5 10
最 少 接地領 域 例f
侶Z） 図一
13 最 少 接 地 率の加 振 振 動 数に よ る変化 4ロOOtm ・陪
・マ
ヱ ロ qxlo m ・階
・ ・醴
一
・ ・P2iiY
i
上下塊反 力 SOton 50ten≒
妻
聖
n ホ ＋ a カ ヱロセon ・ド
畢
20ten ・ド
；
L
−一 一
10tenc卜
一 。懸
2
．』
識
窪
二 ＝
s。
et 図一
14 応 答 波 形 例 （za。ln＝
O．
8，
5Hz） ・龍
・ …A
酵
・嘩
・Fva
− 一
・臨
一 ・醴
△ ・ 蜘・
蓉
＿ △ o2xlo
’
2m ・吟
ゾ
、。
P
隔
，、eP．
F
：
；
：
一
・
“ ・一一
．、。e［ OL
−一
一
一
」
＿
＿
＿
亠
＿
＿
＿
−
OL＿
＿
＿
＿
亠＿
＿
＿
−L−一
一
」
O 図一
15 応答 波 形 例 （zani。
＝
O．
4，
5Hz ） に示す代表 要素A
− D
の地 反 力を 示 す。
線 形 時は当然， 変位・
地反 力とも正 弦 波で あ り， 浮上り が少 ない範 囲で は変位は ほ ぼ正 弦 波 と見な せ，
上 下地反 力は頭 打し た正 弦波と見なせ よ う。
し か し，
接 触 面で の摩 擦係 数を無限 大 と して い る た め， 水平地 反 力は接 地・
剥 離 時 点で急変 す る波形と な る。 η富0．4
で は変位波形の ひずみ が大き く な り，
上下 変 位 も顕 著と なっ て く る。 さ らに水平地 反 力 は高 周 波 成 分 を有す る波形と な る。 な お， 図中の破線 は鉛 直力のみの場 合の静的地 反力を示 す。
こ れ らの応答 波形に基づい て浮 上り時の基礎の動 特 性の 評価を行っ た。
（
1
）等 価 線 形 系 とし て の基礎の動 特 性の評価
定常調和加 振 を受けてい る弾塑性 系の動 特性は
一
周 期 間の トー
タルな量 とし て等価な ば ね と等 価 粘 性 減衰定数 と して評 価 することが ある。 こ の評 価 法の代 表 的なものと して
Dynamic
Stiffness
Methodi5〕と呼ば れ る手法と エ ネル ギ
ー
法と呼ば れ る手法がある。 前 者は相互作用 問 題で多 用 される複素剛性を求め ることに相 当し，
こ こで は複 素 剛 性 法と呼ぶ。
ま た，
後 者は損 失エ ネルギー
とポ テン シ ャ ル・
エ ネルギー
の比 より等価粘性減 衰定数 を推 定する手 法である。
これ らの手 法 を適 用して，
浮上り に よ る基礎の動 特 性の変動を大 局 的に評価す る。 （a ） 複素剛性法によ る動 特 性の評 価各 接 地 率につ い ての回転複 素 剛 性 を 図
一16
に示す 。 当然 η の低 下に伴い実 部・
虚部とも低 下す る が， 浮 上 り が あ まり大き く ない 範囲内で は周 波 数 増 加に伴う実部 （x （x0
，
1
1
、1
°・
1
性 。、
性1゜
・
図一
16 fuan 浮上り時の回 転 複素 剛性 つ 」【
∠ 1 0 0 θO
h 0・
065
10 f〔HZ） 図
一17
浮 上り時の回 転 等 価 枯 性 減衰定数の推 定 （複 素 剛性 法によ る） ゜・
図一
18O．
hP・
0 ．
゜・
f
（HZ｝ 浮上 り時の水 平 複素 剛性 図一
19 浮 上 り時の水 平 等 価 粘 性 減 衰定 数 の推 定 （複素 剛性 法によ る）一
93
一
の低下お よび 虚 部の増 大の度 合は ηに か か わ らずほ ぼ 等しい
