(1)影で、虚数を図示する考え方(その3) : 影を研究中に、付随して考えた事項

(1)

Tokyo University of Science

NII-Electronic Library Service Tokyo _Unlverslty of _Solenoe

鬮

　　

影

で

、

虚数

を

図示

す

る

考

え

方

一 _{一影を研究申に、付随}_し_て_考_{えた}_事_項（その

3

）田中成

和

　

これまでの（その

1

），（その

2

）では、影の基本事項とその応用を扱ってきた。今回の（その

3

）では、それらに付随して解決しなけれオまなちなかった事噴を記述する。 12．　嫐〜て『蠍〃）翔更し、 ◆ まず、現行の数学で行われている扱いについてふれてみよう。例としてとりあげる関数は、単純な

2

次関数とする。すなわち、

　　　　

従属変数＝（独立変数）2

　

，記号では_ア＝ κ2 ，

　

W ＝ z2

　

などとする。複素変数廃数論における

1

つの特徴は、変数の表現を

Gauss

平面（複素数平面）に拠っていることである。すべての虚数を、その平面上の個々の点と

1

対

1

に対応させることができる。このこと自体が、長所・短所を共にもつことになると私は考える。長所は

1

対

1

の対応と、De　M ・ivreの計算公式にあるといえる。短所は、

1

対

1

を守るために従属変数において時に複数枚の Gauss 平面を連結してつ _くった Riemann 面を用意しなければなちないことや、放物線

_y

＝ X2 とか球κ2 ＋ _ア2 ＋Z2 ＝

1

などの図形を描けないことである。上の

2

次関数で、独立変数が円領域の実なる直径

QOR

を動いたとき、その関数値は実の_{線分 oN} になる。独立変数の Gauss 平面麟一_1Q o

P

． ’ R1 実軸しかし、W ＝ Z2 _の_{放物線（図形）}_を_描けな_い　　　

QOR

上の_{実数}は ORt になってしまう　　　（図 100 ）　　　　（図99）

　

Gauss

平面について、いま

1

つふれておきたいことがある。虚数の計算処理にはきわめて便利であるけれども、平面そのものについて、私はあらためて問いなおしをしたいのである。

　

すなわち、

Gauss

平面が正しいとする。このとき、実軸てない_虚数領域に実数を定めることはできないし、実軸上に虚数を定めることもできない．しかし、その原点 0 には実数と虚数の

2

つの特性が同時に付与されている。ところで、私たちは原点0 をこの宇宙空間の_任意の_点に_設定することができるから、任意の点がその

2

つの特性を同時にあわせもつことになる。しかるに、Gau ・・平面は実軸によって実軸と虚の領域とに分けられて、

2

つの特性を同時にあわせもつことと違背する。不（図101）合理といわざるを得ない。よって、この宇宙空間全体は、同時に実と虚をもつ空間と考えることのほうが自然であると私は主張する。 ◆ 私は、実と虚の同時共存を前提とするこの

3

次元空間において、実像にたいする影を導入して、虚数を影で図示することをしてきた。実の X，

y

，　Z軸は直線であることかち、影も自身に重なる直線になる。また、虚数a ＋

bi

＝ ’

1

−

_2i

_は_そ_の_{まま}_合算_して_よ_い_{が、見かけ一}

₁₁

＝略記一

1

の記法を採用した_。一

₁₀₃

一 N工工一Eleotronlo _Llbrary

(2)

　虚数をそのまま合算すること_を復習してみよう。〔例46 〕次の

2

次方程式の解を図示せよ。

　　

（

1

）

　　

x2 ＝

2x

＋

3 　

…

　

黝）駘

　　

（

2

＞

　　

x2 ＝

2x

−

5 　

…

　

壇飜（解）（

1

）この実数解の場合は、次の虚数解の場合と比較するためにあえて例示することにした。 x の解は、与式からx2 −

2x

−

3

＝

O

として

　　　　

2

±

Vi

；

ii

　　x ＝　　　　　　　；

1

±

2

＝

3

，　 −

₁

2

対する関数値

_y

は、与式の左右どちらかの式を用いる。

　

左辺：

y

＝

（

1

±

2）

2 ＝

5

±

4

＝

9

，

　

1

これより

2

点 A

_（

3

，

9 ）

，

B ←

1

，

1 ）

を得る。右図の

2

点 A， Bで従来どうりに図示される。（

2

）虚数解の_場合も、計算は従来どうり行う。　　　　x2 −

2x

＋

5

＝

0 （

x −

1 _）

2 ＋

4

＝

0 　

∴

x ＝

1

±

2i

＝見力斗ナ

31

，

　

−

₁

，＝

3

，

　

−

₁

また、アは与式の同じく左辺を用いて

　

左辺：

y

；

（

1

±

2i）

2 ＝ −

3

±

4i

　　　　　

＝見力tsCナ

1

_＿ 3，

　

−

₇

_＿ 3 ＝

1

，

　

−

7

これより

2

点

　　

P

（

1

＋

2

’， −

₃

_＋

₄

_」

_）

，

　

Q

（

1

−

_2i

， −

₃

−

_4i）

を得る。虚数表示のこの

2

点は、右図の影における共有点 P，

Q

で図示される、　＊ _影について復習＊　

2

次方程式（放物線，直線）で、重解点θに対する図形上の_．_点でそれぞれの_図形を点対称移動した図を具現化影と称し、原式へ_{虚数 θ}_＋

ti

_{を代入し} てそのまま描いた図を真影と称した。その結果 tzx2 ＋

bx

＋c ＝

0

が与式（各辺

Yi

，　

Y2

）なら真影；_ア_i

_（

8

＋

_の

，

　

ア2

（

θ＋

の

具現化影；

　　　

Y

，＝ −aM2 ＋

bX

＋c−

2a

θ

（

θ一

2X

）

　　　

Y

，＝

0 　

（直線の影は、自身に重なる〉真影の見かけと、具現化影との州致を試みる。ン

9

　・　　　

A

実像 ’ 　　　ら　　幽界

　や

’ 　〃　　　　鹽へ・　　　・寸十　，い

1

＿

21

1

　

Nl

　　　　　　　

い

5

裡＋

2

∴．！轟 o ・　　 2y ＝ x ， ₃ ・ c _， _{実像} 凸 1 ’　 i！｛丶 1

　　

匁

　　

＼

M 　

・

　　

丶

　

影

B

1 _i

’

、P 一1 1’

i2

　　

₃

＼

’’’”く　　　　　　　　κ 0

／

θ

　

楚

　　

＼

／　

ゆ

　　

・ ’　　　〃 ’

_へ

_等

一2　・　　　　　　・十笛 o11 −

₂

_’

₁

　　 ’ 　　 ’ ．_，・

1 吻

丶 _． l 　　 N2

ム

． 1 ’

！

．実虚数も

数

1

±そ

2

のと同様まま合算に会 ’ L _’ _一5　・_虚数は影_で_図示_で_き_る ’ ∬ ．’ ．ー

〃

ノ

Q

1

　　

点 c ア＝

（

1

＋’

_）

2 ．7

点

R ア＝（

1

＋

の

2 （図102）放物線について：

Y1

（

θ＋

ti）

　＝ a

（

θ 2 ₋

t2

_）

＋

b

θ＋c ＋

_（

2a

θ＋

b

）

ti

＝ _そ_の見かけ数一一一一一一

1 Y

，

（

θ・

り

一 _・

（

θ2　− tZ

）

_・

be

・_・＋

（

2

_・θ・

b

）

t − 一働 _き・_{励徴} 一一」直線について：（略す）

　

方程式（

2

）x2 ＝

2x

−

5

に_ついての影は、重解点 θ＝

1

より、具現化麟ま次の式となる。実像

Yi

＝ x2

　　

→

　　

Y

，＝ −

X2

_＋

0

_＋

O

−

2

・

1

・

1 （

1

−

2X

）

，

　

∴ 実像_ア2 ＝

2x

−

5

→

　　　

・

　　　

（自身に重なる）

∴ 　実像

2

つの真影については、記述を省略する。｝

_て

＝ −

X2

_＋

4X

−

2 Y

_，　＝

2X

−

5

(3)

一₁_＋_{3f 離} Gauss 平面 3」

q

R2 ’ ．　・・． ■_， ■ 　．　F ’ 　唖●畠 s1 ＋’ 肋け 2

丶

　　　　 P _・ 7 　斷．．₁ 0

園

f

2 辱

9

・．実軸一_〜 o・_．　　　， T3 −’ 独立変数X ＝ a ＋

bi

のとき重解点θ＝ a で実像から影へ潜りこむ　　　　見haナ2

密

＿＿＿．．＿．；

la

．

2

．．．．．

　　　　

→ 影へ _{潜り}こむ

一

广

一一 _・　　　　　　　 0 　　　1 見かけ2 − 一一一一一 N 　　　　　3iQ O見かけ2 0 0 ； S2P （図 103）一一一 “wwL ’一’_−Pt − 一一 x （図 104｝見かけ2　　　 3 　　　 −・1 　虚数について、従来の Gauss 平面は；『1っの虚数には、　Gauss平面上の_塑 ‘ _そ_の_つ _ど1_対1_に_対応す_る_』のように扱ったe 　これを、新しく次のように言いなおして、虚数の扱い方と図示の方法とする。　新しい扱い方；『1つの虚数には、虚実力洞時共存する数直線ヒで⊥：

2

盤蓄そのつど

1

対1に対応ケるa 本来この_扱い方は、研究の初めである（その

1

）で記述しておかなければい_けないことであった。しかし、その当時、記述したい気持ちはあっても、もの凄い山に立ち向かうような不安を覚えて言葉にならなかった。　どこかで自分の態度をきっちりと述べなければいけないと思いつつ、時がたった。今がその最後の機会と考えて上のように記述した。　さて、（図 103 ）の点 P と

R

，S，

T

を示す数について

y

＝

f

（

x

）

＝ X2 による関数値を計算して図示してみよう。・_点

_P

_y

＝

ノ（

2 ）

＝

22

＝

4 　　　　　　　

実像上の点・_点_R ア＝

ノ（

0

＋

2i

）

＝

（

0

＋

2i

）

2 ； −

4

影上の点・_点_S ア＝

f

（

1

＋

i）

＝

（

1

＋

2

） 2 ＝

2i

　　

〃・_点_Ty ＝

ノ（

3

−

i

）

＝

（

3

−’

）

2 ＝

8

−

6i

　

〃・_点

_Q

_は_{、数値が（}_{図 lo5 ）}_{をはみだ}_す_の_{て省略}_し_た。

　

y

が虚数であるときは、X と同様に潜行させる。以上のように虚数を扱うことで、実像と共に描く影の中で虚数を図示することが可能であるといえる。練習30 ，関数

y

＝

f

（

x

）

＝ x2 において、κ ＝

2

− ’による影の点は、（図 105 ｝の中の点

A

の位置になることを確かめよ。

　

また、重解点x 二 θ＝

2

による真影

y

＝

ノ

（

θ_＋ti

）

は

4

−

_t2

_＋

₄

_”_に_なる_こ_とを確_{かめよ} 。

　

さらに、θ＝

2

のときの具現化影

Y

＝

F

（

X

）

を求め、

X

＝ θ＋

t

を代入した式が、真影の見かけに一致することを確かめよ。一

₁₀₅

(4)

　以上、前ページまでに述べたことは、実数による_実像上の_具体的な点と_実のグラフ、そして_虚数による影上の具体的な点と影のグラフ（真影・具現化影）であった。すなわち（ア）

y

＝ _κ 2 で、（図 105 ｝のなかの、例えば点 P

（

2

，

4 ）

と実の放物線ン＝ x2 を描いた（イ）

_r

＝ x2 で、（図 105）のなかの、例えば点 S

（

1

_＋

i

，

2i

）

と影の放物線

y

ニ

（

1

_＋ti

）

2 を櫛、_た

　

ここから先きは、Gauss 平面上の領域 D。main

（

D

）

を関数_ア＝

ノ（

x

）

で剛平面上に描くこと

（

D

’

）

を考えようとしてい_る_。 _そ_れでもなお

Dt

を示そうとするなら、その境界線となる影のグラフを描けることが大切となる。 Gauss 平面上の領域自体さまざまな形そして変域がある。いま、基本的と愚われる領域をいくつか選んで、園数_）に

ノ（

x）による影のグラフを描いてみよう。（ウ）関数_ン＝

ノ（

x

）

_で、境界線となる影_のグ_{ラファ}＝

ノ（

θ_＋のを描く

Y

＝ x2 と実数の線型領域 OA 　左；Gauss 平面　虚軸　　　　　　　実数の嬲ま　

0

≦x _≦

1

とする。　　　　　　これは易しい、実像の放物線（部分）になる。　　　　　　後の虚数のために、笑数による座標の計算を下に示した。　　　　鶏　　（図 106）

_y

＝ X2 と虚数の線型領域

OB

麟。

E

，　　　 1 　　　鶏 0 見かけ　（図107 ） x0 ．12 ．3 ．4 ．5 ．6 ．7 ．8 ．91 　　　 2 ア＝κ 0 ．01 、04 ．

09

_ユ6 ．25 ．

3649

．64 ．811 虚数の領域は　

0

から

i

　までとする。虚数による座標の計算を下に示した．　（真影） κ 0 ，1．．2’ ．3’ ．4’ ．5’ ．6’ ．7’ ．8∫ ．9’ 1 　　　 2 ア≡x0rO1 「 04 一．09 一．

16

一

25

「 36 一．49r64 「

81

一

1

これも易しい。影の放物線（部分）になる。

_Y

＝ x2 と虚数の線型領域

AC

虚

i　

C 　　　　 1＋ti 　　　 l 　　　 A 見かけ 0 　（図 108）　　　虚数の_領域は　

1

から

1

＋

i

ま_でとする，　　　少し面倒。　　　固定の θ＝

1

， x ＝

1

十tiJ　

O

≦t ≦

1 y

＝

（

1

＋

ti）

2 ；

1

− t2＋

2ti

　　　

（真韻彡の

Ji

）

　　　　　　　　　

；見力尋ナ

1

− t2 ＋

2t

実

t＝

O

_→ 点At

（

1

，

1）

　　　

t＝

1

→ 点 C

て

1

＋

i

，

2i

）

＝見魁ナ（

Y

（

2

，

2 ）

　　　影の_赦物線（部分）になる。

　

_y

＝ X2 と線型側或

BC

虚 2i B_・ ’ C 0

　　　

1見かけ2 実　（図 109 ）右；_{型平面}

y

1 すべて実像 O　　　 l 　（図106’ ） O 一

₁

原点のみ実像　 1

丶

、」

　　

、 B’ （図 107t ）虚数の領域は　

i

から

1

＋

i

　までとする。少し面倒。変動の θ＝ t ， x ＝ _{’ ＋}

i

，

0

≦

t

≦

1

ア＝（

t

＋

i

）

2 ；〆−

1

_＋

2ti

x，．

y

の

fi

」

b

・_け

X

＝

t

_＋

1

，

Y

・

t2

”

1

＋

2t

　

6

から媒介変数を消去すれば　　　

Y

＝

X2

−

2

影の放物線（部分）になる。．

（図109！）−2

y2

（図 108’_｝

數

_ρ

．．

ノ

9

　　　！ひ〆 θ≡レ　　 ’ 　　 ’　　　　 θ・t，．，！〆

’

_メ

、． ’

6

・． ’

／

’2

　　

1 爭

(5)

NII-Electronic Library Service Tokyo _University of _Soienoe

_Y

； X2 と虚数の線型領域 OC 　　　　　　　　　　　虚数の領域は　虚実（図 110）　　　　　　

0

から

1

＋

i

までとする。少し面倒。変動の θ＝

t

， x ＝

t

＋

ti

，

0

≦

t

≦

1

ア＝

（

t

＋

ti）

2 ＝

2

〆’

　　　　　　　　

（真影_のア） x，

y

の見かけ

X

＝

2t

，　

Y

＝

2t2

から媒介変数黼去すれば

r

．

1X

・を得る。　　　

2

重解点がθ＝ _’の形で変動するかち、重解点が異なる無数の影を考慮しなければならない_。 ’二〇→ 点0

（

0

，

0 ）

t；

1

→ 点 C

て

1

＋

i

_，

2

」

_）

＝見かけ（

f

（

2

，

2）

_y

＝ X2 と線型領域

BA

虚 B ’

鬼

ノ 1 0 A （図 111）実虚数の領域は　

i

から

1

　までとする。少し面倒。変動の θ＝

t

， x ＝

t

_十（

1

−

t

）

i

，

0

≦

t

≦

1

ア・

｛

t

・（

1

− ’

）

i

｝

2 　・　

2t

−

1

_・

2t

（

1

− t

）

i

x，

y

の見かけは

X

＝

1

，　

Y

＝　−

2t2

＋

4t

−

1

よって、点

（

」

Y

_，】

っ

による線は、線分

9A

’ となる。

Ji

＝ X2 と線型領域 OH 　　虚　　　　　　虚数の領域は　　　　 1 0

　　　　　

実一’

匆

（図 112 ＞　　　　　　

0

から

1

−

i

　までとする。少し面倒e 固定の θ＝

1

， x ； t −　

ti

，

0

≦

t

≦

1

アニ

（

t

− ti

）

2 ＝ −

2t2i

至

潔

鷺懸

£諭

7 蘓

。H’，なる。（図 110’ ）点

nf

のみ実像（図 111t ）　　　原点のみ実像＿，

k

，

4 L

− ． 0 _卜・・ ₁

f

∫

斗

聖

（図 112つ以上の基本を組み合わせるなら、

Gauss

平面上の第

1

象限相当で

1

辺が

1

の正方形領域

OACB

を考えだすこともできる。次は、それを応用した領域へ _と_{話しを移す}_．

_Y

＝ X2 と下図のような線型領域　　　　　　　　　　　　　　　　（線上のみとする。内部はあとで）虚線上のみ．・内部を含まず B ’ _C 見がナ見力肴　　　．1 1　　 2 D 0A G F 記号間を移動す漏（図 113 ）単独とすれば面倒。上の基本を利用すれば容易。　左図の_各_頂点を、右の砂平面上へ関数で移し、点をつなぐ。右図のような線の図となる。 → _記号間（図 113’ ）一

₁₀₇

一 N工工一Eleotronio _Library

(6)

Y

＝ X2 と下図のような線型領域　　　虚　　　居見力縄ナ　　　4 ・_線上のみ B ’ 　　見かけ　　　　

1A

H 　　　D　　　O 　　　　　 F （図 114）実（線上のみとする）基本を利用する。各頂点をつ_なぐ，ノ．　呷　　P 　　，　」　　． 2　　　　　．一・，_・び　　　塵　　．　 Al・ 1 ’ 、 ’ 　　　　 ’

・

1

_ノ（o 　　・　／　、

　　

〆

く

＼

　’　　　　 ∫ ）な 1

　

2

’_＼，

1 ＞

ガ

　　　　＼

、　　　　．2丶（図 114’）　 H’・　　　， ’　　！ ’ ／！ ’ ゴ下の_図は、線型領域と内部を含んだ逓常の領域との遡、を、参考ま_でに_{示したも}のである。咽

〜

_曇

濃

_舞

挈

諾

　　　・“ ． ∵呷・γ・，・．”『’・・

縫馨

…

i

飄

（図117）　線上のみ．内部を含まない 1「．∵・∵「’t：¶〉・：_∵_ゴ・’∴ ：ご、．（図 11s ）

　

内部を　　　　含む領域　影の考えと計算に従うとき

攤

攤羈

剿

　 ’、

康

嬉，領

彎

墨

讐

／

＝ _・

f

（

_・

）

　　当初の境界と

ノ（

％

騨

購

鑼

嚇，図

瀞

蔓

ン

_Ji

＝ x2 と下図のような線型領域　　　虚線上のみ E B ’ _C 見削ナ見酬ナ・2 ．₁ ₁₂ 実 D 0 A G F H 記号間を（図120＞（線上のみとする）基本を利用する。各頂点をつ _なぐ。記号間を移動すれば→ 　　　　　 → _記_号_間_の

(7)

y

＝x2_．と下図のような領域

嬲

費

。

婆

_葺

：

難

ま

蟻

、

韈

　

牙ご・：美三

i

；

1

；：：

ミ

〜

甓

G （内部を含んだ領域）基本を利用する。

塑

端

　実嬲

ド

恥

謙

儷

誕

熊

裏

韓鞳

_）

　　　（図 121）各頂点のほかに、内部の点についても調べる。 DOA は→ D’OAt_（_{実像＞} FOB は→ FtOBt_（_{影）} GOC は→ x ＝ t_十

ti

， −

₁

≦

t

≦

1

ン；

（

t＋ ti

）

2 ＝　

2t2i

から、見かけ

X

；

2t

，　

Y

；

2t2

．・．

y

＝

1x2

2

を得て、（

YOC

’_と_な_る。他は省略する．（図121’ ）練習 31 ．下の（図 122 ＞のような領域を独立変数X が動くとき、関数_ア＝

ノ（

X

）

＝ X2 による像の領域を、右側め方眼紙を使って図示せよ。虚　　　　　　　P 　　　　　　2：！　　　　　　　 ’ 見脳ナ　　．1 B　　　 C ” ：な_冫

1

：　・¶ ，：’鹽・こ∴ ・　鹽 ■_・_丶 ■ ；’噸・」　　　見創ナ 1　　　2 　　o 　　噛一_’ 　　　　　，・：’・’・’7 ノ ∴ _ゴ・’・

薫

∫

1A

H F 実ア＝ X2 _のン． ◎ ₂ 艦「繦．， ₁ ，　　　　　　・．2・・1o 1　　　 2 」」一₁ ，．呷・₂ 幽 ■ 　　　　　　　　　（図 122 ）

_Y

＝ x3 と下図のような線型領域　　　（線上のみとする）

　　　　　　　　

虚

_{媒介変数一}

₁

_{≦t ≦}

1

として、各線上を独立変数x が動くこと　　　　　　を考える。　　　　　　・HAC のとき；x ＝

1

＋

ti

_と表して、関数へ _代入すれば

　　　　　　

Y

＝ x3 ＝

（

1

＋

ti）

3

　　　　　　

＝

1

＋

3

〃＋

3（の

2 ＋

_（

_の

3

　　　　　　

；

1

−

3t2

＋

（

3t

−

t3）

i

　　　　　　影では、実数と同様に虚数もそのまま加減することに留意して

　　　　　　

点

Ht

＝ −

1

，

（

1

−

_i

， −

₂

　一　

2i

）

＝見かけ

（

O

， −

₄

_）

　　　　　　

点At ＝

O

，

　

（

1

，

1 ）

＝実質で

（

1

，

1 ）

　　　　　　

点 Ct ＝

1

，

（

1

＋

i

， −

₂

_＋

_2i

_）

＝見かけ

（

2

，

0 ）

　　　　　　よって_、線分

HAC

は→ ・H懲

y

に移される。なお、HAC 全体を見かけでみれば

X

＝

1

＋

t

，　

Y

＝

1

−

3t2

_＋

（

3t

− t3

）

から、次の式を得る。

　　　　　　

y

＝ −

X3

＋

6

丿

r

−

4

，

　　　

0

≦ 丿

r

≦

2

E　　　B 線上のみ　　 C 見力勢

謨

　　見力斗テ 1　　 2 D G 0 _A

　　

実　　　　　 F （図123） H 一

₁₀₉

(8)

・EBC のとき；X ＝

t

_＋

i

と表して、関数へ _{代入すれば}

　　

y

＝

（

t

＋

i）

3 　　　＝ t3_＋

3t2i

＋

3

’．’ 2 ＋’3

　　　

＝

t3

　−

3t

_＋

（

3tl

−

1 ）

i

点

E 　t

ニー

1

，

　

（ −

₁

_＋

_i

，

2

＋

2

ノ

）

＝見力1け

（

0

，

4 ）

点

Bt

＝

O

，

　

（

i

， −

_i

_）＝実質で（

1

， −

₁

_）

点 C

t＝

1

，

　　　（

1

＋ ’， −

₂

_＋

₂

_’

_）

；見力、

C

_ナ

（

2

，

　0）

よって、線分EBC は→

E

’

Btct

に移される。　なお、

EBC

全体を見力

9

ナでみれば

　　　　

X

＝

t

＋

1

，

y

＝

t3

−

3t

＋

（

3t2

−

1 ）

から、媒介変数を消去して、次の具現化影を得る。

　　　　

y

＝

X3

−

6X

_＋

4

，

　　　

0

≦丿

r

≦

2

　線分 GDE ，　 GFH についても同様にして　　　 GDE は→ _（γD厂E／　　　 GFH は→ GtFtH 「へ _移_{される}ことがわかる、結果、右の（図 123 ’ 〉のような線による領域を得る。ア　　 3 ア＝ _κ _{による} 線型領域図ゴ ’ 4

、

ノ

_、

’ 、 ’ 覧 ’

！

’

（

　

1

，

　

、F！’ 　　丶

1

　　、’ 　．1V

、

、 _！ ll 、

ア

　、’1 A

　＼

　丶

12 ．（ゴ_、

　丶

　、

　　

乂

ノ

ハ

！

が

丶

　　、 o

　

ハ　 ’ 、 4

！

・

＼

’

　

1

4

げ

　

κ

丶

_ノ

、 ’ 、 ’ 監’ 、_’ 、’ 庄（図 123り

　

_Y

＝ X3 と下図のような領域　　　虚 E B 見がナ

も

C 　 ’− Qi：：；N・’ド　 ’匸　．’i　、置一　 ∵R　　｛．∵ _、ト・

　

讐、翆

肄

” 貫　 tt　 Sv　　きロ　．．．・『_孝・蚤S剤　 ’璽_1・　・・∴　讐．・／一． G_F 　　見かけ

←

4

実（図 124）上のを利用する。また・DOA は→ D’OA「・FOB は→

Fb

_正ずと容易にわかる。 H

記号間を移動すれば→ → 記号間さらに、

y

＝ x3 と具現化影

y

＝

X3

−

6X

＋

4

との交点をP とすれば　　　　　 x3 ＝ x3 −

6x

_＋

4

より・

く

謝

・得・・同…

く

号

・

調

これは、当初の_境界・（図 123’）よりも広い領域になる点を目印として示したつ _もり_で_あ_る_。実_数_の_図_{における}内部と、虚数を影で図示するときの内部とでは差異がある。（図 124 つ

(9)

練習

32

．虚　 P2i

扶

0 下図のような線型領域を独立変数X が動くものと_する。関数をン＝ X2 とするとき、与えられ　　　　　　　　　　　　た領域はどのような影に移るか　　　　　　を示せ。

4

頂点 A ，B ，

Q

，Pの影の　　　

Q

　　　　　　　点を

Af

，

B

〜（

1

_，

Pt

として右の方眼　　　　　　紙に記入し、影の _図を完成せよ。 B 　　　見h9ナ　　　実 1　　　2　　　3　　　4 （図 125 ）（参考までに）・独立変数の標記の仕方は

0

≦

t

≦

1

として AP 　 x ＝

0

＋ ti BQ x ＝

2

_＋

ti

次に、

0

≦

t

≦

2

として AB 　 X ＝

t

＋

i

PQ x ＝ t_＋

2i

・線分

PQ

の影の式を求めてみる。　x ＝

t

＋

2i

を関数へ代入すれば丿1＝ x2 ＝

（

’＋

2

’

）

2 　　　＝

t2

−

4

_＋

4ti

　　…　真影

　

この真影の座標（

t

＋

2i

_，〆−

4

＋

4 の

のままでもよいのだが、形をつかみにくい。そこで、実数と同じく虚数もそのまま加算するから

　　　　　

見力擁ナ

X

＝

t

_＋

2

，｝厂＝

t2

−

4

＋

4t

になおして媒介変数を消去すれば、次の放物線の式を得る。

　　　　　

7

＝丿

r2

−

8

，

　　

2

≦丿

r

≦

4

・他の線分については計算を省略する。

y

8 ，噌 ’f 7

_／

_’

41

’ 4_’ 　　　 2 _’

〃

1

　　1 ” ” ” 　 0 − 1 −

₂₁

：

《

2

1 丁

門 κ 　、　 ’ 、　 ’ 、 ’ 一4

v

一8 　 ‘ 「次は、

Gauss

平面上で領域の形を円にして考えることにしよう。その領域を独立変数X が動くとき、関数による影がどのようになるかを扱ってみたい。 _ア＝ X2 と単位円の線型領域

　　

。＿緬

　

整

岡・一・・．・・’

寿

　

（図126｝媒介変数’を角度と考えて、独立変数 X

．、。、t．，、、。

t

で表せば、従属変数・関数

y

は、ド・モアブルの公式により・

　＼

y

＝ cos2t _＋

isin

2t

となる。この関係からとりあげる角度を

45

°の半角

22

．

5

°＝ _α とその

k

倍角とする。点

（

X，

y

）

を計算して、点を結んで影とする。さて、、、。 α

」

而

。、

38

2

、。，α

」

翫

。。

92

2

であるから、この数値を利用すれば

k

倍角の場合も計算しやすい。一

₁₁₁

(10)

点 A

（

x ＝ cosO ° 十’sinO°＝

1 y

＝　cosO ° ＋’sin　

O

° ＝

1 　　　　

_∴

　（

1

，．

1 ）

膿

蠶

筆

霈

諜器

E

）

点

℃

灘

纏

誰

獣

1 　　　

．

_（

伽

　　　　　　　

VE

：

G

_．

v57

_万

輪

に畿慧

_畜

_傷

『

畆

＝酬

。

_）

点

B

（

x ＝ cos4 _{α ＋}’sin　

4

_α ＝

i

＝見_{かけ}

1

ン＝ cos8 _α _＋

isin

8

_α ＝ −

1 　　　　　　

∴

_（

1

，

　

−

₁

_）

上のように他の点についても計算

_す

ればよいが、（図 126 ）を利用しても関数による見かけの数値を求められる。次の点 P4 なち、角

5

α ，

10

α の見かけで

（

0

．

54

， −

_」

_）

_と_{すぐ}_{にわかる} 。下の表にした。角 AO °　　 22，5° 　　　45° B 　　　　67．5° 　　　　90ゆ 112．5° 135’ 　　　　遅157．5’　　 180°　 … タ 0°　　 α

2

α

3

α　　

4

α

5

α

6

α　　　

7

α

8

α　 … x1

13 _万

B

1

_α

₅₄

₀

−

054

一

₁

2

角 o° 　

2

α

4

α 　　

6

α 　　

8

α

10

α

12

α　　　

14

α

16

α 　… ア

1 _万

1

0

　　 −

1

一

》

｝

一

1

0

1

　一ばならない、

　

ア＝ x2 と単位円全体の領域・実軸 ArOA を独立変数が動くときやさしい→ 実像の放物線ア＝ κ2_， −

1

_≦κ _≦

1

・虚軸】

yOB

を独立変数が動くときの領域では、円の内部がどうなるかを調べなけれやさしい → 影の放物線｝ 7 ＝一丿

r2

， −

₁

≦

X

≦

1

一2 　　（図 126リ　　　ノ円凋上のみを動くとき　　 P冒

ハ

4 　　脚　　　、　　 1　　　　、　　1　　　、　　L　　　　　、　　1 _、

　　

1 　

＼　　　、　　　　 0 2　　　　・　ン＝ズの _影の觸或　　　　 P匸

f

。

グ

、

馬　　　ノ　　1 　　／　

1

　　 ’　　　　　　　1 　　 ’　　　　　1 　　！　且

1

、雇　 2

轟

　　　虚

擁

趣

剛　　　　 P‘ 2 hl

　

恥

＼

　、　　　＼　、　　　　　　　、　丶　　　＼・る_、

　

畦

　　丶　　　’ 　　、　　　　　　！　　　、、や’！　ノPI冨　　　’PB 　 ” 　 ” 　 ” 　 ” ノ　　　　　　　　’ ノ　　　　　　　　’ ” 、P5 ノ彈B 、、　　　　　　！　、　　　　　ノ　、岬’ 　．°°’°卩゜°隔”胃 ’：凾∵

鰹

_羅

・

鴇

：　 P、 ’：：_ぐ’∵ ・9 　　　トゴ A

　　　　　

実＼　　 P踞 u Plo 　 P4 −₂ （図 127 ）． − 一

ー

記号問を移動すれば　　　丶

(11)

・

_PsOPII

_を_独_立_{変数}_{力働くとき} 　　　

1

x ＝ s “s’ ・ −

E

≦ s ≦

万

と表して

　　

ア＝ x2 ＝

（

s− si

）

2 ＝ −

2s2i

で示される影を描く。見かけで式を示せば

　　

丿

r

＝

0

，

　　

Y

； −

2s2

となって、

y

軸上を影でP5→ 0→ Ptl_の道_のり_で動く。・P4P12を独立変数が動くとき → （図 126 ）計算は面倒なので省略する。動きの途中で虚軸と実軸を通過するから、関数による像も影の放物線と実の放物線と出会って

P12

に達する。・PsOP2 を独立変数力勸くとき　　　

1

x ；湘 _…

万

≦ s ≦

万

と矧ま

　　

ア＝ x2 ＝

（

s_＋si

）

2 ＝

2s2i

　

具現イ匕すれ‘ま

Y

＝ X3 と単位円の線型領域　　　盧軸　　　　 3 　　　 α ＝15°　 Pi

　

Gauss

平面

1

　 y ニ x 鶏ノ円全体が領域のとき ₂ 　動さの_例1つ　　　　・ → 記号周_の動きとなる P5ゆ 0 →・P_塵肛　　　 P7 　　　外

　　

，．砂》

　　　臥

1

，

　

騾

硬一₂ 　　 ∵：でが：糠響　・畜

　　ゑ

　　　　！：’ ； ’ “ 1

御

゜爵

馨灘

．、

　

P

鰺懸

．，

繍

_：

毳

　　　　

冤ソ

灘

欝

言

3

』

li

聡

1 》

B

　

．＼_織

_シ

　丶」↓／ P10 P4 実像の放物縁と麟噛，一₂ ・　　　」（図 127’ ）・一

圭

x2

_・

_凶

_・

」

ン円周上のみを動くとき 2　　　　・，ア露 X3 _の _影_の_領域唱　　 PI5　　　　　　　　P嵶ノ

（　　

_／

P・・

1

ピ吋

昌／

hl

　

丶

乱

π 　　　P・、　　　，へ、＼

丶

。

懲

恥　　、　　 ’　 1

＼

目

　

、

4

_鱒

1

恥．剛　，　　　　PIρ ’竃　　　　　O

　

l

　　　 μ 　　　　　ハ　　　　　，　　　、　　　　　’　　、　　　　 ’　　　、　1　〜　　丶

黙

ノ｛「

_＼

　　、℃ノ　　　　　　　丶

強

鬥

姦

　　

1 　

＼

1 ノ

》

2 ‘ Pl卩　　　　　　　　 P田 Pb ■ o ，，独立変数をX ＝ cost 十

isint

で表せば、関数は

　　　　　　

（図 126t ＞

　　　　　

丿ノ＝ x3

　

＝ cos3t _＋

isin

3t

この関係からとりあげる角度を

45

°の

3

分の

1

である角

15

°＝ _α とその

k

倍角とする_。

　　　　　

．

　

拓

一

」

　　　　布

＋，

匝

　　　　　

sln α ＝

　

4

・ c°sα ＝

4

であるから、この数値を利用す

液

ば他の角も計算しやすい、点

Pl

だけ計算して、他の角は省略する。・・ _… _α _＋

i

_・・_…

擘

・

i

・

布

i

彑

聰

亭

・

÷

・・

お

・

舮

一

₁₁₃

(12)

（図 12st）を描くための手順が入れかわったが、与えられた条件下で、いくつかの代表点について計算した。それらの見かけの数で点の座標を下に示した。これをもとに、（図128 ！＞

t

を描いた。点と角’ AO° Pll5’ P230° P3459P460 ° P575 ’ B90 ° 105° 120° 7．． κ 180° ■， B ’ 270° 智冒「 360° ■，噛独立変数芳 11 ．22L37 _厄 1．371 ．₂₂₁₀ _，₇₁₀ _．₃₇ 一₁ 一₁ ₁ 従属奕数ン 1 嬉 10 ・1 ＿240 1 ．1 1 1

ア＝ _κ 3 と単位円全体の領域・円周上の独立変数は、x ＝ cost _＋

isint

とおく。・円の内部の点については、周上の

2

点を結ぶ直線を利用して、独立変数を直線上の点で表現する。

　

その独立変数x を関数

_Y

＝ x3 で計算し、見かけの数で影の_領域を撫、た_のが _（_{図 129}！_）_で_ある。　　　虚 P6ゴB　　　　　α ＝15’ P8 　丶・．：N ・　，鹽・°触　　鹽　・　　雪　．■ ．で’〜．・．巳　　

1

霪∴’．　　．　恕　鹽鹽　　，「．鹽鹽篭　　 P1

／

1　　　2 　　　ぎ図 129 ）一 ∵・・o ’_，∴ ；　「．　　二_：：丶；・_貼

i

ヤ：

_〉

_ジ．．¶ ぢ A 万

＼

　　 P20 _ア＝ X4 と単位円の線型領域実

_Y

＝ _κ 4 と単位円全体の領域次の表はのものである．）ノ＝

（

cost ＋

isin

t

）

4 ＝ cos4 ’＋

isin4t

から角_α ＝ 11 ．25°を利用する。ここでは、独立変数の_領域を示す

Gauss

平面の図は省いた。闘数による影の図を下に描いた。点と角’ A　P且

0

°α ゜22．5° P2　　 P3　　P4　　P5　　P6 　　　3α ゜ ₄₅° ₅ α ゜ ₆₇_．5’ P7　　 B　　　　　　　A ’ 7α ゜ 90° … 　　　 B 135°…180◎四・ 225°… 　270°− 315°…360◎　… 独立変数 X1 　 t2L3 　　　　1，4　　　2　　　L4　　　L31 ．2　　1　　　 0　　　・11 ．3　　 −1　　 0　　　1 従属変数ン 1 π 1　 0　，1 一滬　．10 　　 1　　　 −1　　　 1 ．1　　　1　　 −1　　 1 円周上のみを動くとき　 _＝　 4y x の影の領域

　　ハ

　　 8　　）　　 jA ’ φ 　　 1ガ凸　　 1 ハ

　　

1

’ 　　 1　　「一_万；　　　　ン　，ハ、、！　、　　＼　　　

ハ

1

、

　　　　」

　　　　 Ph α語11．25’ 歪　ハ！綴鬮　　ノ、_ハ・　〆　婆・

1 ／

韻

な

ん

い

。、　　　ン

蕪

． 2 拒

　　

《

｝

《

L

鏃

、　　　　　 P唱臼

け

llll げ　〜、° 　、　　、　、　　　　、　、　　　　馬　、　　　　、　、　　、・　　、　　、　　　　’ 　　、　　　　’ 　　」　　　’ 　　、　　　詭　　　 x 　 ” il

l

　 l　 ll

！

　

！

　

li

！_ノ _ロー1 ’　・　卜書

▽ 　　

V

己　　　（図 130つ

　　　　

β

1 鴇

・

褓

い’ 　　　　 1：：F _と「：・_∵，マ

l

　

l

驚

　　　一万（図 131ノ〉

鬚

臠！

嫉

ノ

　

宿丶_毒_ノ _リ

(13)

独立変数が、これまでは（図 121 ）や（図 127 ）のように_、原_点

O

を_中心にした_対称性のあるきれいな領域に“あった。次は、原点 0 から領域がずれていった場合を調べてみた。 _ン＝ X2 と内部を含んだ下のような領域独立変数は、領域の上でいくつもの_直線として表現すれば関数は処理しやすい。　 o ’ F_{なら}_ば x ・＝

t

_＋

ti

，

　

ン＝ x2 ＝

2t2i

，

　

0

≦t≦

ll

　　　虚 c ’　　 F B ・₁ ₀ 丶’ ・’・・¶」・「 ’．箋・：し唱_潟_：” いでミミこ、ご：・三ミ2 見かけ 3 _：_迩 _：

N

_．・．・．’ ∵_・∵ ’∴ ₁．遅：・，」’・一_∴ ：・， A 実記号間　　 D 従属変数

y

　　 7 　　 5 　　 4 　　 2 　　 1 ・₁ ₀ 一_’_G 　　　　．；・了　　　．’

1

：7

　　　瓣

　　

・

簿

1

・

　

・’

鯛

　

．：

f

：’・

：

・

ノ

　．馳i．：’∴ゾ　・：ユ・．廴・” ．モ’ 　 E 　 ‘ ；’ 　孟’・’

罅

：

1

　・．・’ ｝∵・’ 2 　（図132 ）　　　　ア　　　，舮　，　　　，　　．　　 ¶ B

｝

　

記

　冴

／

ノ

だ

1 　

3

　　　

4X → 　　 ∠ ・　ノ兇鹽・：・．　！．・、’，・び

_く

　・鹽∵ ．₁’ 　，，．」．　、　け　∵．　＼：：_：　　＼・、　　・2 ・：〉_〜

_ξ響

1

．_∴・_感ジ．

1

　・71 ：ツで∴_・ノ 7 ’ ！ G’ 　独立変数（図 132り独立変数

Ji

＝ X2 と内部を含んだ下のような領域これは独立変数を X ＝

1

＋cost ＋

（

i

sint

）

と表現しても、関数は処理しにくい．そこで直接に具体的な数値を代入して表にまとめた。　　　虚 Gsuss平面 c 1− 」　　 0 記号間を移動すればア； x ．₁ D ’F_B 　ロく ”v．

侭

戛

1 _そ

き建

2　　 3 記号間を動く xy 平面

演

ぐ

_翼

§

A

_塩

_講

　　・1・L馳：¶鹽一_’ G

　

鹽_E （図、33＞実従属変数ア・■褊r　． P亀 7 B　陰ノ 5 ！

動

4

囓

｝

yl

・i幽・’ 皆．’「．・_レ’ 膠_考₁ ．广ご．i’ 2

鮮

_ガ・’∴二’ ．1・・ノ・₁ 1 0 N’_．．

耀

．

i

瀞

’ 、

緲

2 3 4x り

　云

　置’・．・

_畔

_桑

　

ヤ

：

こ ∵ _φ ∵ ” 一．

7

：

嚇

、

騨

　　

哲竝蠍：_∵∵

1

　　唖

　　　

c

宮

＼「『・ノ・_2G ’ （図 133’

1 ノ

点と角∫ AO ’30° P45° 60° F90° 120°

Q135

° 150° 0180° 210° R225° 240° G　　　　　S 270°　300◎315°　330°　360° 独立変数κ 2　2．41 ＋　22 ．41 ＋_ゴ 21 ．410 ．60 　・0．41 ．π ．0．41 ．_∫ 0　　　0．6　　1　　　1．4　　2 従贓ツ 4　5ユ 4，84 ．12 ’ 20 ．40 一〇．10 　　・0．4 ・0．8　．L4 一2’ ・2　　　−1．1　0　　　L4　　4 一

₁₁₅

(14)

　

Ji

＝ X2 と下のような円の領域　　虚 2j C 　 ’ 　　　H 　　　 P5

警

鱗

・、

※

灘鶏

：

覆

P， 9_∵馴：・・P、，2 3 見斛ナ 0 _1N _A 2＋五（図 134 ）　　　左のような領域で、独立変数を表現するには

2

つの方法を考　　　えられる。　　　

1

つは円周上の点に対して

　　　　

X ＝

1

_＋cost _＋

（

i

_＋

i

sint）　　　もう

1

つは、円の内部の点に対してであるが実

　　　

直線による表現；例えば

P

，

FP

，、は

　

x ＝

t

＋

（

2i

一

の

　　これちの独立変数をそのまま関数へ_代入しても、式としてまと　　まった椅麗な結果を得られない。そこで、変数や囃数へ数値を直接代入することで表をつくり、関数の影の領域を図示した。点と角 B　_°PIO 30° 45°60°H90°120°P5135°150°C180°210°225’240° 壇 270°300 PH315°Pl2330°360° 独立変数 3　3．42 ＋23 ．432 ．42L61 　 0．63220 ．631 　　 1，622 ．4　 3 嫐 7　6．85 ．84 ．41 ．1．4 ・L8 ．1．8 ・₁　・0．10 、20 ，41 　　 2．63 ．85 ．1　 7 　計算例を

1

つ

2

つ_示してみよう。円周上の 1 点

Pl

_ならば、　t＝

30

° にとったから

　　

x ＝

1

_＋cos30 ° ＋

（

i

＋

isin30

°

_）

　　　　　蒋　　　

1 　　　

＝

1

_＋一 _＋

（

i

_＋

i

・一

）

2

　　　＝

187

＋

1

．

5i

　　　＝見かけ

34

これより関数値は

　　

ア＝ x2 ＝

（

187

＋

1

．

5i

）

2 　　　＝

35

_＋

55

∫−

2

．

3

　　　＝

1

．

25

＋

55i

　　　　　＝見かけ

6

。

8

　次に、内部の点に対しては直線上の点として_扱う。上に示した

pmFPii

で考えよう。　　　　

1

x ＝ t＋

（

2

−

t

）

’_” −

G

≦

t

≦

1

＋

E

　　

y

− _・ 2 −

｛

t

・

（

2

−

t

）

i

｝

2

　　　　　

＝

4 （

t

−

1 ）

_＋

2t

（

2

− _’

）

i

これらを見かけの数で表現すれば

　　　　　　　

（図 134’）

　　　　

X

「＝

2

，

　

y

＝ −

2t2

＋

8t

−

4

となって_、影は F’を通って

y

軸に平行な影の直線（_部分〉になることがわかる。独立変数の領域でその内部の_すべ_ての_点に対しても、同様に傾き一

1

の_平行直線を利用することで、表現可能となるe 恥ーーー 1

ー

ーー　　　　　　　　　　　　　　　　　　ノ

あ

長

薗

揮

阿

M4

ゴ

罪

ゐ

　　　 p 　　　　．　　　　_曾　　鹽影

　

−

　

た

_．．・_．魑，．．』．丶，．・_，斷且馬の　　　　　 p 　　 ’ 2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ’ 戸

　

恥

ノ

蛋

・　　　　げ ‘ 4 κ 拒舒》ノー薮゜ガ_． ∴ ワ

／

u ペパ ∴ ，」

ジ

．

流

、

虻

、に v

訳

晒

y

　　　 7 　　　　　　 5 　　 4 　　　　　　 2 　　 1 0 　　 4 　　　・

(15)

一般に_{、独立変数}x の変域として、

Gauss

平面上に或る

1

つの領域

D

が設定されたとする。その領域

趨

轗

＼

。

tl

＄

YPn

＼． o 　　　実_見h9_ナ_a_見_{羽ナ}

b

（図 135）

y

＝ x2 と下のような領域　　　虚で独立変数の動き方はさまざまであり、自由である。主な動き方を列挙するなちば

：

繍

：

擶離懃

（3）傾き一1の_平_行線上を動く

：

1 ：

黝譏

、動く　鞴

iii

_箏

融

三

　

： “こ

駄

幾

．

蕊

臨

礬

などがある。（3）は

1

つの直線

ln

上のすべての点が一（影へ潜り込む実の点はそれぞれ異なるものの）一_同_じ

1

つの見かけの数で表現されるかち便利である。　　　　　　　　　　 A’

rN

　　　（図 136り　　　　　31 　120° 　　　°P535 　　　　　　・，∴ B ・・_1辱_霎」、　90° P4

P360 °

蟄

1 も

● C _〜 _R 　　　　　夜見羽 _ナ州　．1　　 0 1　　　 2 3 実（図 136） A

_（

2

．

4

，

38 ）

また途中にある点 Pnの見かけの数を示すと Pl

_（

29

，

2

．

8 ）

P・

（

3

，

　

1 ）

P3_（

2

．

9

，　 −

₁

_．

₃

_） P4

_（

2

．

4

_，

−

5

．

8 _）

p5

_（

15

，

　

−

₇

_、

_6）

他の

2

_点

B

、Cについても、その真影の数値を計算しておいてから見かけの数になおして、方眼紙上に点をとればよい。結果は右の図のような領域となる。線分CP4 を関

lkY

　・ _κ 2 で変換したとき、具現化影の式がどうなるかを調べてみよう。まず、真影について

　

CP4の独立変数は x ＝

0

_＋

ti

，

　

1

≦

t

≦

V

歹

　　

θ ＝

0

関数側ま

ア＝ x2　．

（

〇_＋

の

2 ＝一〆を得る。これを見かけになおして

　

x

＝

t

，

Y

；一〆

　　

．・．　

Y

＝ −

x2

_{倶現化影）} （注意）　この具現化影は、以前の公式1でも求めちれる。練習

33

．右のような領域を関数

_y

＝ −X2 で変換したときの結果を図で示せ。　　　（図137）領域を関数で変換することについては、これで終わる．虚

　　　　

1 ＼

　　　　「　　覧

　　　

1 　

ヤP・　　　 ’　　　 l 　　 rt’　　亀　　　 ρ　　　　1 　　　 ’　　　　　匸　　　，　　　　 1 　　 ’　　　　 1 　　 ’　　　　　1 　　 ’ ・　　

iP2

　　 ’　　　　　 1 　　

1

　　　 1 　 ’　　　　1 ←一_一 _「x

f

・ ° ’

縫

含ん

1

−・₂ ”

i

轡

　　　

嵐

1

’Lt，

　

1

一5 噂₇ S 聖_・耳一　　　「・

冒

　

ノ

み

　 ’

颪

ノ

　

丶

イ

、 3庁 C 2’ G _． F D， ’ 　’5 で：_ミ　：『；’ミ・° こご掃「B ， H ．’：、・’E 見力嚇 0 _1A2 ₃ 実一

₁₁₇

(16)

13 ．虚係数をもつ_方程式の_解を図示

　

方程式

_ノ（

X

_）

＝

g

（

X

）

、そしてこれかちつくられる関数

y

＝

ノ（

X

）

，

　

y

＝

g

（

X

）

といえば、通常はどれも実係数をもつものであった。そして、その実係数の場合の虚数解を図示することをこれまでずうっと扱ってきた。この項では虚係数の場合の解を図示しようと考えている。すなわち

　

・x2 ＝　

2x

と関数なち、解_の点は

　　　　

2

点（

0

，

0

），

　

（

2

，

4

） → 当然、図示可能

　

・x2 ＝

2

_エー

2

と『冪数なち、解の熱ま

　　

2

点

（

1

−

i

， −

_2i

_）

，

（

1

＋

i

，

2i

）

→ _影_{によ}_{り図示可能}

　

。 x2 ＝

2

’と関数なら、解の点は

　　　

2

点

（

−

₁

−

_i

，

2i

）

，

（

1

＋

i

，

2i

）

　

一夢_{図昶ま}_ど_うな_るか _？　さて、数直線には実数と虚数が同時に共存するとしたから、変数と関数でどのような図（実像・r影）ができるかを次にまとめよう。〈実係数の場合〉　　　　← _ここ_の_影_には、_影_L_の_また影₂_も_あった

　　　　　　　　　

これは従来から図示可能

」

l

　　　　　

L

図示可能にした

　

★

_実係数の_直線

y

； mx _＋n _{では}、変数_が蠍 _でも虚数_でも動きに変化なく、実像と影とは重なる直線になった。〈虚係数の_場合〉関数＼変数黝歔実係数の関数実像影（a ）　　　　この影を図示しようとしている　☆　虚係数である直線について …具体例で話しをすすめよう。（1） x −

（

1

＋

2i

_）

＝

0

とする。関数は

y

＝ x −

（

1

＋

2i

）

，　

y

＝

e

で示される_。点は、　P

（

1

＋

2i

_，

0 _）

この影の図を求めるには、変数が実数のとき

1

_，と、虚数x ＝ θ_＋tiのとき

1

。とに分けて描くことになる。　虚係数の関数に数値を代入して右の表と図を得る。解は図の

le

上の点

P

で図示される。関数＼変数鐓麟虚係数の関数影 φ）影（o）この影（注）

　

解は虚数だから、影の直線

1

_、幽だけでよいのだが、

lb

も図示してみた．後に示す

2

次窃ま両方とも謁べ_る_必要がでてくるので、1次で練習した。影の瞰 _へ影の直腺 ’。

y2

_ノ σ エは実数 _ン rl_{墟数} _ア θ＝1 「．：三 … … 1 3，！’ 1 一　〇一2 − 2ゴー1− 2’ 量一2∫

1

−_’ 一

₄

_ゴー

₃₁

0 　／！ ’ ！ P 　】＋2’ κ 1 一₂ゴ

1

一2∫ ’

2

1

−

₂

_’

₁

_＋_ゴ _づ

ら

／

3 　　＝．

2

− 2ノ三

（

1＋勿 o

）

… 〆！（図 138）（2 ）

ix

−

（

1

＋

2i

_）

；

O

とする。蠍は

｛

1 ：

ぎ

一

_圃

解の_点は

Q

_（

2

−

i

_，

0 _）

　

ここでも

lb

，　

lc

の

2

つの場合に分けて調べた。結果、右の表と図を得た。解の点は、図の

1

。上の点

Q

で示される。影の直_瑚影の直級 ’_、エは実数ン ∫は虚数 _ン … … … 1 0 一i− 2’ 2 − 2ゴ 1

1

一1−∫

（

2

−’ 。

_）

2．一1 2 一1

3

一

₁

_＋_’

₂

_＋_∫ _r2 4 一1＋2’ 2÷2∫ 一3 … _三 _… _… ア　 2 噛　！　／！！　 θ＝2_／　　 2　3／

Q

’・・_！ 2−’）_＜．　／ R ’・・_，ノ！／／

_lb

／

　　　　

li

．（図139）　 c 一