電磁波の物理

電磁気学 Ⅱ

Electromagnetics Ⅱ

山田 博仁

電磁波の物理

2021 年 ( 令和 3 年 ) 度 5 セメ

講師紹介

　東北大学　大学院工学研究科　通信工学専攻　教授　山田 博仁 略歴　出身 : 岐阜市　 ( 現在の自宅は茨城県 守谷市にあり、仙台には単身赴任 ) 　 1981 年　金沢大学 工学部 電子工学科卒

　 1987 年　東北大学 大学院工学研究科 電子工学専攻　博士課程修了

　同年、 NEC 入社。光エレクトロニクス研究所にて通信用半導体レーザの研究開発 に従事

　 1991 年　関西エレクトロニクス研究所 ( 大津 ) に異動

　 1997 年～ 1998 年　 NEC 北米研究所 ( プリンストン ) に出向

　 1998 年　光･超高周波デバイス研究所 ( 筑波 ) に異動。マネージャーとして研究 マネージメ

　ントに従事。その後、基礎･環境研究所 ( 筑波 ) に異動。主任研究員としてフォト ニック結晶

　や Si 細線光導波路素子の研究に従事

　 2006 年 6 月に NEC を退社。同 7 月から、東北大学 大学院工学研究科 電気･通 信工学専　攻 教授に着任、現在に至る

趣味　ギター演奏、旅行、電子工作、アマチュア無線、オーディオ、写真　等 スポーツ　山歩き、スキー、テニス　等

1.　 目的 :　 古典的な電磁場や Maxwell 方程式について理解を深め、さらに そこから導かれる電磁波の性質を理解し、電磁気学の素養を身に付 けること

2. 内容

　　 -　Maxwell 方程式の意味、定常状態での Maxwell 方程式の扱い

　　 -　 波動方程式の導出と電磁波

　　 -　 平面電磁波の性質（伝搬速度、偏波、運動量、エネルギー）

　　 -　 誘電体中の電磁波（伝搬速度、インピーダンス、分散、異方性）

　　 -　 電磁波の反射、屈折、透過、回折、散乱現象 　　 -　 導波路中の電磁波伝搬

　　 -　 電磁ポテンシャルとゲージ変換

　　 -　 遅延ポテンシャルと先進ポテンシャル 　　 -　 電気双極子による電磁波の放射

3. 成績評価

3 回のレポートと定期試験 ( コロナ感染拡大状況に依る ) で成績を評価 4. 参考書

　　宇野亨 / 白井宏著、電磁気学　コロナ社 　　砂川重信著、理論電磁気学、紀伊国屋書店

　　日本語訳　ファインマン物理学Ⅲ、Ⅳ　岩波書店など

再試は行わないつもりです

授業につい

て

・ 4/13( 火 )( 初回 ) 授業について、遠隔作用と近接作 用、 Maxwell の方程式

・ 4/20( 火 )( 第 2 回目 )　電磁場とは ?

・ 4/27( 火 )( 第 3 回目 ) 静電場、静磁場での基本方程式　 (第 1 回レポート 出題 )

・ 5/11( 火 )( 第 4 回目 ) 磁場の不思議

・ 5/18( 火 )( 第 5 回目 ) 電磁場のエネルギー、波動方程式　 (第 1 回レポー ト〆切 )

・ 5/25( 火 )( 第 6 回目 ) 電磁波の性質

・ 6/1( 火 )( 第 7 回目 ) 電磁場の運動量　 (第 2 回レポート出題 )

・ 6/8( 火 )( 第 8 回目 ) 物質中での Maxwell 方程式

・ 6/15( 火 )( 第 9 回目 ) 電磁波の反射と透過　 (第 2 回レポート〆切 )

・ 6/22( 火 )( 第 10 回目 ) 電磁波の偏り

・ 6/29( 火 )( 第 11 回目 ) 共振器と導波路、光共振器　 (第 3 回レ

ポート出題 )

・ 7/6( 火 )　 (第 12 回目 ) 電磁ポテンシャルとゲージ変換

・ 7/13( 火 )( 第 13 回目 ) 電気双極子による電磁波の放射　 (第 3 回

レポート〆切 )

・ 7/20( 火 )( 第 14 回目 ) 点電荷による電磁波の放射

・ 7/27( 火 )( 第 15 回目 )　 定期試験 ?

Youtube 動画配信によるオンデマンド講義

授業につい

て

http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe/

授業に関する連絡および

Youtube

　　　　　　　または

ご質問、ご相談等

E-mail: [email protected]

オフィスアワー

:

:

2

2

202

TEL: 022-795-7101

授業に関する質問や講義資 料

http://www.ecei.tohoku.ac.jp/yamada /Lecture/yamada/index.htm

ただし、マスク着用等、コロナ感染防止にご協力ください

遠隔作用と近接作

Coulomb の法則

用

遠隔作用 +q +Q

2

4 0

1 d

Q F q

 

d +Q +q

2

4 0

) 1

( r

r Q

E  

qE F  電荷 電荷

力 力

F F

電場 ( 電界 )

遠隔作用→近接作用 近接作用

0

) ) (

(

div 

 x x

E  ^e ) ( )

(x E x

F  q 力

F

F r

_e(x) は位置 x で の電荷密度

電場に関す る Gauss の 法則

両電荷間の距離 r が残っているという 意味において、これでもまだ遠隔作用的 な考え方

遠隔作用と近接作

クラシックコンサート

用

距離 : d

演奏が始まるぞ ! 遠隔作用

演奏が始まるぞ !

近接作用 周りが静かになった

前の席の人が大きくて指揮者が見えない 席が悪くて指揮者が見えない

タクトが上がった

あなたは、その「場」

の雰囲気を感じ取って 遠隔作用では、 いる

「場」という概念は 必要ない

Maxwell の方程 式

0 ) , ( div

) , ( )

, ( div

) , ) (

, ( )

, ( rot

) , ) (

, ( rot







 









t

t t

t t t

t

t t t

e e

x B

x x

D

x x D

i x

H

x x B

E



ファラデーの電磁誘導則

アンペール・マクスウェルの法則 電場に関するガウスの法則

磁場に関するガウスの法則

0 ) , (

) , ( )

, (

) , ) (

, ( )

, (

) , ) (

, (















 









 







t

t t

t t t

t

t t t

e e

x B

x x

D

x x D

i x

H

x x B

E



E(x, t): 電界 or 電場　 (V/m)

有理 MKSA or (SI) 国際単位系

H(x, t): 磁界 or 磁場の強さ (A/m) D(x, t): 電束密度 (C/m²)

B(x, t): 磁束密度 or 磁場　 (Wb/m²) i_e(x, t): 伝導電流密度 (A/m²)

_e(x, t): 真電荷密度 (C/m³) 物質中の電磁場を規定する基本法則

変位電流

スカラー量とベクトル量とを区別すること　 !

Maxwell 方程式とそれを使いこなす極 意

電磁気学の諸問題を扱うのに、非常にシンプルかつ便利な道具である

空間のどんな場所でも成り立つ微分形式で記述されているため、具体的な問題 を扱う場合には、それを対象物で空間積分することにより、あらゆる問題に対 応できる

従って、工学の問題を解く場合には、　 Maxwell 方程式の中から必要な項だ けを取り出して カスタマイズすることにより、よりシンプルに扱うことが できる

即ち、 Maxwell 方程式は近接作用の立場に基づいた微分形式で記述されてい

るので オールマイティである。それを対象物で積分することであらゆる問題 に適用可能

従って、まずは Maxwell 方程式を正しく覚えて、その道具を手にしよう 次に、その意味を正しく理解し、道具の使い方を覚えよう

Maxwell 方程式は、電磁気学の諸法則 ( クーロンの法則、ガウスの法則、アン

ペールの法則、ファラデーの電磁誘導則など ) を統合した一連の方程式系であ る

しかし、そのままの形では、実際には考慮する必要の無い現象まで全て盛 り込まれているために、オーバースペックでもある

Maxwell 方程式の意 味

t t t





 ( , ) )

, (

rot B x

x E

1. ファラデーの電磁誘導則

磁場 ( 磁束密度 ) の時間的減少が、その周りに電場の渦を右ネジ方向に作る

変化する磁場の周りの電界は、そこに導線 ( コイル ) が有る無しに関わらず生じる たまたま導線が有ると、導線内の自由電子

が電界により動き、電流 I が流れる I

コイル B(x, t₂)

E(x, t₂)

B(x, t₃)

E(x, t₃) B(x, t₁)

E(x, t₁)

( 微分形式 )

Maxwell 方程式の意

2. アンペール・マクスウェルの法則

味

さらに、電場 ( 電束密度 ) の時間的増加が、その周りに磁場の渦を右ネジ方向に作る t

t t

t _e



 

 ( , )

) , ( )

, (

rot D x

x i x

H

定常電流が、その周りに磁場の渦を右ネジ方向に作る

i_e(x, t)

H(x, t)

E(x, t₁)

H(x, t₁)

E(x, t₂)

H(x, t₂)

E(x, t₃)

H(x, t₃) ( 微分形式 )

変位電流

Maxwell 方程式の意

3. 電場に関するガウスの法則

味

4. 磁場に関するガウスの法則

電荷密度が電場 ( 電束密度 ) の発散を引き起こす )

, ( )

, (

div D x t  _e x t

0 ) , (

div B x t 

磁場 ( 磁束密度 ) の発散源 ( 磁荷 ) は存在しない

D(x)

_e(x)

B(x)

_m(x) ( 微分形式 )

( 微分形式 )

その他の関係 式

t

t ^e t

e 

 





 ( , )

) ,

( x

x

i 

( 電流連続の式 ) )]

, ( )

, ( [ )

,

( t t _ex t

e x E x E x

i   オームの法則 )

(E v B

F  q   ローレンツ力 電荷保存則

( 構造関係式 ) 媒質中での扱い

) , (

) , (

) , ( ) 1

(

) , ( )

, (

) , ( )

, ( )

, (

0 0

0 0

0

t t

t

t t

t t

t

r

e

e

x E

x E

x E

x E x

E

x P x

E x

D



































) , (

) , (

) , ( ) 1

(

) , ( )

, (

)}

, ( )

, ( { )

, (

0 0

0 0

0

t t

t

t t

t t

t

s m

m

x H

x H

x H

x H x

H

x M x

H x

B



































_e: 電気 ( 比 ) 感受率 P(x, t): 分極ベクトル

 : 誘電率

_r : 比誘電率

₀ : 真空の誘電率

_m: 磁化率 ( 磁気感受率 ) M(x, t): 磁化ベクトル

 : 透磁率

_s : 比透磁率

₀ : 真空の透磁率

古典 ( ニュートン ) 力学の

ニュートンの運動法則

復習

（第一法則）　慣性の法則

外力が働かなければ、静止している物体はいつまでも静止を続 け、運動している物体はいつまでも等速直線運動を続ける

物体 A がB に力 F （作用）を働かせてると、 B は A に同じ大き さで逆向きの力 -F （反作用）を同一作用線上で働き返す

物体に外力が働くとき、物体には外力と同じ向きの加速度が生じる。

その加速度の大きさ a は、働いている外力の大きさ F に比例し、

物体の質量 m に反比例する。つまり、 F = ma

[m と m’ は二質点の質量、 r は両者の間の距離、 G は重力定数 ] 万有引力の法則

（第二法則）　運動の法則

（第三法則）　作用反作用の 法則

r2

' m G m

F 

古典物理学の法則総決

Maxwell 方程式

算

c t

t

e e



 





























E B i

B E B E

0 2

0

0







電荷の保存則

( ファインマン物理学第Ⅲ巻第 18 章 )

t

e

e 

 





 

i

力の法則 ( ローレンツ力 ) )

(E v B

F  q   運動の法則

2 2 / , 1

)

( v c

m dt

d

 

 v

p F

p

万有引力

r r

m

G m e

F   ¹₂ ² 電

磁 気 学 の 法 則ニ ュ ー ト ン 力 学 の 法 則

← ニュートン力学と電磁気学を関係付ける式

電磁場とは何 か ?

場とは、空間の歪み

重力場 : 空間の重力的な歪み ? 電磁場 : 空間の電気的な歪み ?

よくこんな図を見かけるが、、、

一体何が歪むのか ?

ゴムシートの上に重い球を乗せると、シートが窪む この場合、歪む「もの」が実体としてある

しかし電磁場の場合、或いは重力場の場合、そのような歪む「物質」が実体と してある訳ではない

ゴムの分子

そのような物質をエーテル (ether) と称して、 19 世紀の末に Michelson と Morl ey が実験的に検出しようとした ( マイケルソン・モーリーの実験 ) が、結局見 つからなかった。

そのことが、アインシュタインが特殊相対性理論を着想するきっかけとなった。

導線 導線

ローレンツ

)

力

(E v B

F  q   ローレンツ力

x

y

z v

F +q

B

電流

I F B F I

同一方向に流れる電流には引力が働く

B I v

フレミングの右手の法則

フレミング の左手の法 則

B v 電子

-e F

I

これらは全てローレンツ力で説明できる アンペールの法則

( 右ねじの法則 )

B v

電子

F -eI E = 0 なら

Maxwell 方程式で考えてみよ

[1]

う

B

一様な磁場 v

一様な磁場の中を速度 v で移動しているコイルに 電流は流れるか ?

コイル

速度 v で移動

1) 図の方向に流れる

2) 図と反対方向に流れる 3) 流れない

I ?

[ 答 ]

コイルによって囲まれる面 S に対 してファラデーの電磁誘導則を面 積分





一様な磁場 B S

C





t r B x S

x

E( , ) ( , ) ストークスの定理

dS dr

t t





 (x, )

 0 コイルに生じる電圧

E n

ファラデーの単極誘

[2] 起電力は発生するのか ?

導

一様な磁場

1) 図の方向に電圧が発生する

2) 図と反対方向に電圧が発生する 3) 発生しない

[ 答 ] ω

回転する導体円板 B

参 ) 大田昭男著　新しい電磁気学 　　　 p.120 　例題 8.1 参照

V + -

単極誘導

導体円板内部には自由電子が存在

) (v B F  e 

個々の自由電子に働くローレンツ 力を考えると

全ての自由電子には円板の中心に 向かう力が働く

ω -e

B

-e F -ev

v v

磁場の本質と は ?

[3] [2] で、円板は固定して、磁場

の方を回転させたらどうなるか ?

1) 図の方向に電圧が発生する

2) 図と反対方向に電圧が発生する 3) 発生しない

[ 答 ]

回転する一様な磁場

V

ω

静止した導体円板 B

- + ^V

B

- +

S N

ω 回転する磁石

静止した導体円板

磁場の本質と は ?

V

B

- +

S N

ω

回転する磁石 静止した導体円板

両者は等価

V

B

- +

ω I

コイル

電流 I が流れてい るコイルを回転す る

静止した導体円板

ファラデーの単極誘導と単極誘導 モータ

回転する導体円盤

V

B

- +

S N



回転する磁石

 [4] 起電力は発生するのか ?

1) 図の方向に電圧が発生する

2) 図と反対方向に電圧が発生する 3) 発生しない

[ 答 ]

http://www.youtube.com/watch?

v=7CiEFsQstsI

単極誘導モータに関しては、以下の

URL を参照

[5] 単極誘導モータ

http://sysplan.nams.kyushu-u.ac.jp/

gen/hobby/elec/Motor/UniMotor.html - +



S N

永久磁石と円盤が一体になっていても回る

B_z

q+

E=0

-v

x’

y’

z’

K’

x y

z K

v

F

’ = q v×B

F_y’

座標系 K に対して静止している 荷電粒子 q を考える

電場が無く、 z 方向の磁場 B_z しか存在しない場合

粒子はいつまでも静止し続ける )

(E v B

F  q  

ところが、座標系 K に対して – x 方向に速度 v で運動をしている座標系 K’

から見ると、荷電粒子 q は +x 方向に速度 v で運動をしていることになる それなら、粒子にはローレン ツ力が作用するのか ?

ローレンツ力と相対運 動

0 0 0

F = q v B

x

y

z 一様な磁場 B₀ +q v

v

F v = 0

荷電粒子と同じ速度で運動している観測 者から見ると v = 0

ローレンツ力が働き

、粒子はこちらに近 づいて来る

x

y

z 一様な磁場 B₀

v F

+q

従って、ローレンツ力 F は働かず、粒 子はこちらには近づいて来ない。本当 か ?

磁場中を運動している荷電粒子のパラドクス [6]

ローレンツ力と相対運

動

より本質的な量としてのベクトルポテン シャル

この問題は、磁場 B で考えると分からなくなる。何故なら、一様な静磁場 B(x, t) = B₀ は

互いに等速度運動をするどの座標系から見ても B₀ だからである。

しかし、ベクトルポテンシャル A(x, t) には違い がある。

従って、ベクトルポテンシャル A(x, t) で考えると理 解できる。

ベクトルポテンシャル A は磁場 B よりも本質的な物理量 である !!

一様な磁場 B

ベクトルポテンシャル A

より本質的な量としてのベクトルポテン シャル

一様な磁場 B を作っている根源 ( 例えば電流の流れているコイルのような もの ) がロケットの中にある場合、同じロケットに乗っている観測者から見 るとベクトルポテンシャルは時間的に変化しない。つまり、∂ A/∂ t = 0

x

y

z 一様な磁場 B₀

+q v v

ベクトルポテンシャル A F

この場合、荷電粒子に力 F は働かない

より本質的な量としてのベクトルポテン シャル

ところが、一様な磁場 B を作っている根源 ( 電流の流れているコイル ) が ロケットの外にある場合、ロケットに乗っている観測者から見るとベクト ルポテンシャルは時間的に変化している。つまり、∂ A/∂ t ≠ 0

x

y

z +q v

v

一様な磁場 B₀

ベクトルポテンシャル A この場合、荷電粒子に力 F が働く

F

種明か し

) 2 ( )

, ( rot )

, (

) 1 ( )

, ( ) grad

, ) (

, (



 t

t

t t t t

x A x

B

x x x A

E



 



 

電場や磁場は座標系によって見え方が変わる

ベクトルポテンシャルが時間的に変化する場合、電場 E が見えてくる。

砂川重信著　電磁気学 岩波書店 p.162参照

座標系 K

B_z 座標系 K’

電磁場 B_z’

E_y’

この場合の電磁場は、座標系 K から見ると 磁場 B_z に見える。

ところが、別の座標系 K’ から見ると 磁場 B_z’ と電場 E_y’ に見える

先のケースでは、座標系 K においては電場が無いと言っているから、ベクト ルポテンシャルは時間的に変化していない。つまり、∂ A/∂ t = 0 。 ( 電荷も無い として、従って ϕ = 0 としている ) しかし、座標系 K に対して等速度運動し ている座標系 K’ から見ると、 ∂ A/∂ t ≠ 0 ために、式 (1) より、電場 E が存在 することになる。この電場が F_y’ を打ち消す方向に作用するために、座標系 K’ から見ても粒子はこちらには近づいては来ない。

電場や磁場は座標系によって見え方が変わる。

普遍的なのは電磁場 !!

ベクトル解析の復 習

E E

E E

H E

E H

H E

E E

E E

















































































) (

) (

rot rot

rot rot

) (

div

ベクトル場) (

) (

スカラー場) (

) ( grad

div

0 ) (

rot div

ゼロベクトル) (

) ( grad

rot

2 







 0

ガウスの定理





ストークスの定理





dS F

V S n

dS

F S

C dr n 重要なベクトル恒等式

ガウスの定理の意味するも の

従って、右辺の







F

 は、ベクトル場 F の局所的な湧き出し

一方、左辺の



F F F F V

dS F

S n

は、領域 V を取り囲む面 S から流れ出るベクトル場 F の総量

つまり、洞窟の中に泉がいくつかあるとすると、その泉から湧き出してくる水の総量は、

洞窟の外に流れ出る水の総量に等しいということを言っているだけ。

ストークスの定理の意味する もの

つまり、台風の中では風が複雑に渦巻いているが、台風の縁の方では、台風を取 り巻くように大きな風の流れがあるだけであるということを言っている。

dS S





F

 は、ベクトル場 F の局所的な渦

F

F F F

従って、右辺の



面に対して反時計回りに渦巻いている量を求めるため

一方、左辺の



C dr

ベクトル解析の復 習



 







 



 



 













 















 



2 2 2

2 2

2

, ,

z y

x z y

x

演算子∇ ( ナブラ ) と ララララララの意味

勾配 (gradient) 　 ‥　スカラー量に作用して、ベクトル量を導く演算子

z y

x y z

x z

y

x x e

x e x e

x x

x x

x 

 



 



 



 















 



 ( ) ( ) ( ) ( )

), , (

) ) (

( )

(

grad       

発散 (divergence) 　 ‥　ベクトル量に作用して、スカラー量を導く演算子

z E y

E x

Ex y _z



 



 



 





 ( ) ( ) ( )

) ( )

(

div x x x

x E x

E

ナブラ∇と E(x) のスカラー積

スカラー積 ( 内積 ) AB  A^xB^x  A^yB^y  A^zB^z ( ベクトルと見なせる )

( スカラーと見なせる )