一般化三角関数に対する Mitrinovi´c-Adamovi´c 不等式

一般化三角関数に対する Mitrinovi´c-Adamovi´c ^不等式

Mitrinovi´c-Adamovi´c’s inequalities for the generalized trigonometric functions

シ ス テ ム 理 工 学 専 攻 MF15013

お お ば

大場 

^たかのり

孝 則

非 線 形 解 析 研 究 指導教員 竹内 慎吾

1 ^{研究背景と目的}

三角関数は

,

数学のみならず物理学や工学など様々 な場面で登場する重要な道具である. 一方, 一般化され た三角関数に関する研究は未だ十分に進んでいない

.

 研究の起点となったのは, 次の非斉次固有値問題

{

(|u^′|^p−2u^′)^′+λ|u|^q−2u= 0, 0< x < L, u(0) =u(L) = 0

である

.

この固有値問題の解の存在自体は

Otani(1984)ˆ

により示されていた. その結果を受けて, D´

rabek- Man´asevich(1999)

は一般化三角関数

sinp,qx

の導入に より, 固有値と固有関数の組に対し具体的な表示を与え ることに成功した. 結果として

sin_p,qx

と

n∈N, R∈ R\{0}

を用いて, 固有値

λn,R

と固有関数

un,R

は次の ように表される：

λn,R=(p−1)q p

(nπp,q

L )p

|R|^p−q, u_n,R=Rsin_p,q

(nπ_p,q

L x

) .

 一般化三角関数を応用したこのような研究は多数存 在する. しかし, それらは主に

p =q

の場合の研究で あって

, p̸=q

の場合についてはまだ応用の余地があ ると思われる

([1],[3]

などを参照). よって, 研究が進ん でいない部分も多くある

sin_p,qx

自体の性質を求める ことに, 十分な意義があると考えられる.

 本研究ではその一環として, 三角関数に対して知ら れている

Mitrinovi´c-Adamovi´c

不等式を一般化し

,

さ らに従来の研究では得られていなかった評価式を導く.

 以下では, 1

< p <∞, 1< q <∞

とする.

2 一般化三角関数

一般化三角関数の導入の準備として, 関数

Fp,q(x)

を 次のように定義する：

F_p,q(x) :=

∫ x 0

1

(1−t^q)^1/pdt, 0≤x≤1.

区間

[0, π_p,q]

上の非線形

Dirichlet

問題：

{

(|u^′|^p−2u^′)^′+|u|^q−2u= 0,

u(0) =u(πp,q) = 0 (1)

について考える.

πp,q

は次の値とする：

πp,q:= 2Fp,q(1) = 2

∫ 1 0

1 (1−t^q)^1/pdt.

式

(1)

を満たす解

u(x)

を一般化三角関数

sinp,qx

とし て定義すると, sin

_p,qx

は

Fp,q(x)

の逆関数と一致する.

すなわち,

sin_p,qx=F_p,q⁻¹(x).

 

p=q= 2

のとき, sin

_p,qx

と

π_p,q

はそれぞれ

sinx

と

π

と一致する

.

また

p=q

のときは

, sinp,px

を

sinpx

として,

πp,p

を

πp

として表記する.

3 ^{一般化三角関数の性質}

関数

cosp,qx

を以下のように定義する：

cos_p,qx:= d

dxsin_p,qx, 0< x < π_p,q 2 .

逆関数の微分により,

cos_p,qx= (1−(sin_p,qx)^q)^1/p

となるので次の関係式が導ける.

定理

3.1 (一般化三角関数の相互関係式).

cos^p_p,qx+ sin^q_p,qx= 1.

p=q= 2

の場合, よく知られた

cos²x+ sin²x= 1

という等式と一致する

.

 また, それぞれの微分について確認する.

定理

3.2 (一般化三角関数の微分).

(sinp,qx)^′= cosp,qx,

(cosp,qx)^′ =−^q_psin^q_p,q⁻¹x·cos²_p,q^−px, (cos^p_p,q⁻¹x)^′ =−^q(p_p⁻¹⁾sin^q_p,q⁻¹x.

通常の三角関数を扱う場合と異なり

, cosp,qx

の微

分で余計な項が出現するため計算が複雑になる場合が

多い.

4 Mitrinovi´ c-Adamovi´ c 不等式

Mitrinovi´c-Adamovi´c(1965)

は次の定理を示した.

定理

4.1 (Mitrinovi´c-Adamovi´c

不等式

). a≤3

のと き, 任意の

x∈(0, π/2)

に対して,

cosx <

(sinx x

)a

.

a >3

のとき,

a

により決まる

ξ∈(0, π/2)

が存在して,











cosx >(^sin_x^x)^a, 0< x < ξ, cosξ= (^sin_ξ^ξ)^a,

cosx <(^sin_x^x)^a, ξ < x <^π₂.

Kl´en-Vuorinen-Zhang[2]

は

sinpx, cospx

について

,

定理

4.1

に対応する結果を得ている. 彼らの結果では, 境目の

a = 3

に対応する値が

a= 1 +p

であり

,

特に

a >1 +p

のとき,

a, p

により決まる

ξ∈(0, πp/2)

が存 在して, 上記と同様に大小が反転することがわかって いる

.

 本研究では, 一般の

sin_p,qx, cos_p,qx

について定理

4.1

に対応する次の結果を得た

. p=q

の場合は

[2]

の 結果と一致することに注意しておく.

定理

4.2 (

一般化

Mitrinovi´c-Adamovi´c

不等式

). a≤ 1 +q

のとき, 任意の

x∈(0, πp,q/2)

に対して,

cos_p,qx <

(sinp,qx x

)a

. (2)

a >1 +q

のとき,

a, p, q

により決まる

ξ∈(0, π_p,q/2)

が存在して,











cosp,qx >(^sinp,q_x ^x)^a, 0< x < ξ, cosp,qξ= (^sinp,q_ξ ^ξ)^a,

cosp,qx <(^sinp,q_x ^x)^a, ξ < x < ^πp,q₂ .

(3)

証明の概要を述べる.

f(x)

を以下のように定義する：

f(x) :=x−sinp,qx·(cosp,qx)^−1/a.

特に

a= 1 +q

とすると,

f^′′(x)<0

が示せて, かつ

f^′′(x)<0⇒f^′(x)< f^′(0) = 0⇒f(x)< f(0) = 0.

のような順序で,

cosp,qx <

(sinp,qx x

)1+q

が導ける. さらに

(0, πp,q/2)

区間では

0<sinp,qx/x <

1

であるので,

a≤1 +q

に対して

(2)

を得る.

 一方,

a >1 +q

のとき,

f^′′(x)

の符号が

cos^p_p,q(ζ)− (1−a+ap)q

(a−1)(ap−q)

の符号と一致することがわかる. いま,

0< (1−a+ap)q

(a−1)(ap−q)<1

であるので, cos

^p_p,qx

の単調性から,

cos^p_p,q(ζ) = (1−a+ap)q

(a−1)(ap−q) (4)

となるような

ζ ∈(0, πp,q/2)

が一意に存在する

.

これ を受けて

f^′′(x)

の符号が定まり, 各範囲で以下の通り となる.







f^′′(x)>0, 0< x < ζ, f^′′(ζ) = 0,

f^′′(x)<0, ζ < x < ^πp,q₂ .

 さらにこの結果により,

f^′(x)

は

f^′(0) = 0

から

f^′(ζ)

まで増加して, それ以降は

f^′(πp,q/2−0) =−∞

まで単 調に減少する. このとき

f^′(x)

の零点を

η∈(ζ, π_p,q/2)

とすると

,

各範囲での

f(x)

の傾きが判明する

.

同様に して,

f(x)

は

f(0) = 0

から

f(η)

まで増加して, それ 以降は

f(π_p,q/2−0) = −∞

まで単調に減少する. こ のとき

f(x)

の零点を

ξ∈(η, πp,q/2)

として, 各範囲で 変形を行うと

(3)

の結果を得ることができる.

 定理

4.2

の結果から

, cosp,qx

と

(sinp,qx/x)^a

の大 小関係が反転する境目は

a= 1 +q

であり, 2 個のパ ラメータ

{p, q}

のうち

q

のみによって定められること が判明した. このことで

Kl´en-Vuorinen-Zhang[2]

の境 目

a= 1 +p

に現れる

p

が, パラメータ

{p, p}

におけ る 後

˙

者の

˙ p

であることがわかった. これは従来の研究 ではわからなかった興味深い結果である.

 定理

4.2

の

ξ

の評価に関する考察は

, p=q= 2

の ときでさえも明記されている文献は見当たらなかった.

これについて,

ζ < ξ < π_p,q/2

であることと

(4)

から, 次の評価を得る.

命題

4.1 (ξ

の評価式).

a >1 +q

のとき,

∫ ((a−1)(ap−q)^{ap(a−1−q)} )^1/q

0

dt

(1−t^q)^1/p < ξ <π_p,q 2 .

参考文献

[1] D.E. Edmunds, P. Gurka and J. Lang,Properties of generalized trigonometric functions, J. Approx.

Theory 164 (2012), 47–56.

[2] R. Kl´en, M. Vuorinen and X. Zhang,Inequalities for the generalized trigonometry and hyperbolic functions, J. Math. Anal. Appl. 409 (2014) , 521–

529.

[3] S. Takeuchi, Multiple-angle formulas of general- ized trigonometric functions with two parameters, J. Math. Anal. Appl. 444 (2016) , 1000–1014.