中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年
１ 式 の 展 開 と 因 数 分 解
[知 識 ・ 技 能 の 習 得 を 図 る 問 題 ]
中 学 校
年 組 号 氏 名
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■練習問題①
１ 次 の (1)か ら (4)ま で の 式 を 計 算 し な さ い 。
(1) ３ x (x＋２ y ) (2) －６ a (a－２b )
【 解 答 】 【 解 答 】
(3) ( ９ a b－６ a )÷(－３a ) (4) ( １ ２ x２ y－ ８ x y２)÷２ x y ３
【 解 答 】 【 解 答 】
２ 次 の (1)か ら (4)ま で の 式 を 展 開 し な さ い 。
(1) (a－ b) (c－ d ) (2) ( ５x－３y ) ( ４x－y )
【 解 答 】 【 解 答 】
(3) (x＋ ２) ( x＋ ５) (4) (x＋ ５) ( x－ ７)
【 解 答 】 【 解 答 】
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■練習問題②
１ 次 の (1)か ら (4)ま で の 式 を 展 開 し な さ い 。
(1) (x＋９)２ (2) a－１
２
２
【 解 答 】 【 解 答 】
(3) (x＋ ５) (x－ ５) (4) (２ x＋y) (２ x－ y)
【 解 答 】 【 解 答 】
２ 次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に 答 え な さ い 。
(1) (x＋２)２－(x＋ ２) (x＋ ５)を 簡 単 に し な さ い 。
【 解 答 】
(2) １ ０ ２ × ９ ８を 展 開 の 公 式 を 利 用 し て ， 計 算 し な さ い 。 (途 中 の 計 算 も 書 き な さ い 。 )
【 解 答 】
(3) x＝３ ６の と き ， 次 の 式 の 値 を 求 め な さ い 。
x (x＋ ４)－(x－ １) (x＋ ４)
【 解 答 】
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■練習問題③
１ 次 の (1)， (2)の 各 問 い に 答 え な さ い 。 (1) １ ４ ４を 素 因 数 分 解 し な さ い 。
【 解 答 】
(2) ４ ５に で き る だ け 小 さ い 自 然 数 を か け て ， あ る 自 然 数 の ２ 乗 に す る に は ， ど の よ う な 自 然 数 を か け れ ば よ い か 求 め な さ い 。
【 解 答 】
２ 次 の (1)か ら (6)ま で の 式 を 因 数 分 解 し な さ い 。
(1) ４ a b－ ８ b２ (2) ３x－６x２
【 解 答 】 【 解 答 】
(3) － １ ２ a２－ １ ８a b＋ ６ a (4) x２－ ９ y２
【 解 答 】 【 解 答 】
(5) １ －４ ９ a２ (6) １ ６ x２－ １
９
【 解 答 】 【 解 答 】
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■練習問題④
１ 次 のアか らウの 中 に あ て は ま る 正 の 数 を そ れ ぞ れ 答 え な さ い 。
９ x２＋ １ ２ x y＋ y ２ ＝ （ x＋ y）２
【 解 答 】
ア＝ イ＝ ウ＝
２ 次 の (1)か ら (6)ま で の 式 を 因 数 分 解 し な さ い 。
(1) x２＋ １ ２ x＋３ ６ (2) １－６ x＋９ x２
【 解 答 】 【 解 答 】
(3) x２－x＋ １ (4) x２－ ９ x＋１ ８ ４
【 解 答 】 【 解 答 】
(5) x２－８ x－９ (6) ３a x２－２ ７ a
【 解 答 】 【 解 答 】
３ 因 数 分 解 を 利 用 し て ， 次 の 式 の 値 を 求 め な さ い 。 (途 中 の 計 算 も 書 き な さ い 。 ) x＝２ ０ ２の と き ，x２－４ x＋４の 値
【 解 答 】
ア イ ウ
中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年
１ 式 の 展 開 と 因 数 分 解
［ 知 識 ・ 技 能 の 習 得 を 図 る 問 題 ］
[解 答 例 ]
中 学 校
年 組 号 氏 名
■知識・技能の習得を図る問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題①
１
【 ポ イ ン ト 】
(1) ３ x（x＋２y） 分 配 の 法 則 a (x＋ y )＝a x＋ a y を 使 っ て 計 算 し よ う 。
＝３ x２＋６ x y
(2)の 計 算 は ，(－６a ) ×a ＋ (－６a )×（－２ b） (2) －６ a（ a－２ b）
＝ －６a２＋１ ２ a b －６ a２ ＋１ ２ a b
と な り ， 符 号 に 注 意 す る 必 要 が あ る ね 。
(3) （ ９ a b－６ a ）÷（ － ３ a ） 【 ポ イ ン ト 】
＝９ a b÷（ － ３ a）＋（ － ６ a ）÷（ － ３a） ９ a b，－ ６ aを そ れ ぞ れ－ ３ aで わ ろ う 。
＝－ ３ b＋ ２ ９ a b
＋ － ６ a
２ － ３ a － ３ a
(4) （ １ ２ x２ y－８ x y２）÷ x y ３
【 ポ イ ン ト 】
３ ２ ３
＝（ １ ２ x２ y－ ８ x y２）× x y の 逆 数 を か け る と い い ね 。
２x y ３ ２ x y
６ ３ ４ ３
＝１ ２ x２ y× ＋ （－ ８ x y ２) ×
２ x y ２ x y
１ １
＝１ ８ x －１ ２ y ２
(1) (a－b ) (c－d )
＝a (c－d )－ b (c－ d )
＝a c－ a d －b c＋ b d (2) （ ５ x－３ y) ( ４x－y)
＝ ５ x ( ４ x－ y)－３y ( ４x－y )
＝ ２ ０ x２－５ x y －１ ２ x y＋３y２ 【 ポ イ ン ト 】
＝ ２ ０ x２－１ ７ x y＋３ y２ 同 類 項 は ま と め て お く こ と が 必 要 だ ね 。 (3) (x＋ ２ )(x＋ ５ )
＝x２＋７ x ＋１ ０ 【 ポ イ ン ト 】
公 式 (x＋a ) (x＋b ) ＝x２＋(a＋ b )x ＋a b を 利 用 す る と い い ね 。
(4) (x＋ ５) ( x－ ７) (7)に つ い て は ，x の 係 数 は ２ と ５ の 和 で ７ ， 数 の 項 は
＝x２－ ２ x －３ ５ ２ と ５ の 積 で１ ０と な る ね 。
(8)に つ い て は ，x の 係 数 は ５ と － ７ の 和 で － ２ ， 数 の 項 は ５ と － ７ の 積 で－ ３ ５と な る ね 。
■知識・技能の習得を図る問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題②
１
(1) (x＋ ９)２ 【 ポ イ ン ト 】
＝x ２＋１ ８ x ＋８ １ 公 式 （ a＋ b）２＝ a２＋２a b＋ b２ を 利 用 し よ う 。 x をa， ９ を bと 考 え ， 公 式 に あ て は め る と ， １ x２＋ ２ × x× ９ ＋ ９２と な る ね 。
(2) a－
２
２
１ 【 ポ イ ン ト 】
＝a２－a＋ 公 式 （ a－ b）２ ＝ a２－２a b＋ b２ を 利 用 し よ う 。
４ １
をbと 考 え ， 公 式 に あ て は め る と ， ２
a２－ ２ × a× １
＋ １ ２
と な る ね 。
２ ２
(3) (x＋ ５) (x－ ５) 【 ポ イ ン ト 】
＝x２－２ ５ 公 式 (a＋ b) (a－b)＝a２－b２ を 利 用 し よ う 。 (3)は ，x を a， ５ を bと 考 え る と い い ね 。
(4)は ，２ xをa，yをbと 考 え ， 公 式 に あ て は め る と ， (4) (２ x＋ y) (２ x－y) (２ x)２－y２と な る ね 。
＝ ４x２－y２
２
(1) (x＋ ２)２－(x＋ ２) (x＋ ５) 【 ポ イ ン ト 】
＝(x２＋ ４ x ＋ ４)－(x２＋７ x ＋１ ０ ) 次 の 順 序 で 計 算 を す る と い い ね 。
＝x２＋ ４ x ＋ ４ － x２－７x －１ ０ ① そ れ ぞ れ 展 開 し て ，か っ こ を つ け る 。
＝x２－x２＋ ４ x－７ x＋ ４ －１ ０ ② 符 号 に 注 意 し て か っ こ を は ず す 。
＝ －３ x － ６ ③ 同 類 項 を ま と め る 。
(2) １ ０ ２×９ ８
＝（ １ ０ ０ ＋ ２ ) (１ ０ ０ － ２ ） 【 ポ イ ン ト 】
＝１ ０ ０２－２２ 公 式 (a＋ b) (a＋ b)＝ a２－ b２ を 利 用 し て
＝１ ０ ０ ０ ０－ ４ 計 算 し よ う 。
＝９ ９ ９ ６
(3) x(x＋４ )－(x－１ ) ( x＋４ ) 【 ポ イ ン ト 】
＝x２＋４ x－ (x２＋３ x－４ ) 下 の よ う に ， 最 初 の 式 に ，x＝３ ６を 代 入 し て ，
＝x２＋４ x－x２－３ x＋４ 計 算 す る こ と も で き る ね 。
＝x＋４ ３ ６ (３ ６＋ ４)－(３ ６－ １) (３ ６＋ ４)
x＝３ ６を 代 入 し て ， ＝３ ６×４ ０－３ ５×４ ０ ３ ６＋ ４ ＝４ ０ ＝ (３ ６－３ ５)×４ ０
＝ １ ×４ ０
＝４ ０
■知識・技能の習得を図る問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題③
１
(1) ２４×３２ 【 ポ イ ン ト 】 同 じ 数 の 積 は 指 数 を 使 っ て 表 そ う 。 求 め 方 に は ， 主 に 次 の よ う な ２ つ の 方 法 が あ る よ 。
(求 め 方 ① ) (求 め 方 ② )
右 の よ う に ２ ）１ ４ ４ 気 付 い た も の か ら ４ ２ 素 数 で 次 々 ２ ） ７ ２ 積 の 形 に 分 解 し て １ ２ ２ に わ っ て い ２ ） ３ ６ い き ， す べ て 素 数 １ ４ ４ ３
く 。 ２ ） １ ８ の 積 に な る ま で ， １ ２ ４ ２
３ ） ９ 分 解 す る 。 ２
３ ３
(2) ５ 【 ポ イ ン ト 】
４ ５を 素 因 数 分 解 す る と３２× ５ で あ る 。 だ か ら ，３２× ５ に ５ を か け る と ，
（ ３２× ５）× ５ ＝３２×５２
＝（３ × ５）２
と な り ， 自 然 数１ ５の ２ 乗 に な る こ と が わ か る ね 。 ２
(1) ４ a b－８b２ 【 ポ イ ン ト 】
＝４ b（a－２b ） ４ a b－８b２＝４ b ×a－４ b ×２b だ か ら ， 共 通 因 数 は４bだ ね 。
(2) ３ x－６ x２
＝３ x（１ －２x） 【 ポ イ ン ト 】
－６aを 共 通 因 数 と し て 出 せ ば ，( )の (3) －１ ２ a２－１ ８ a b＋６a 中 の 各 項 の 符 号 が 変 わ る ね 。
＝ －６ a（ a＋３ b－ ２） ６a（ － a－３b＋ ２） と 答 え て も い い よ 。
(4) x２－９ y２ 【 ポ イ ン ト 】
＝（ x＋３ y） （x－３y） 公 式 a２－b２＝（ a＋b） （a－ b） を 利 用 し よ う 。 (4)は ，x２－９ y２＝ x２－（ ３ y）２だ か ら ，
x を a，３ yをbに あ て は め て 考 え る と い い ね 。 (5) １ －４ ９ a２
＝（１ ＋７ a） （１ －７ a） (5)は ，１－４ ９ y２＝１２－（ ７ y）２だ か ら ，
１ を a，７aを bに あ て は め て 考 え る と い い ね 。
１ １ １
(6) １ ６ x２－ (6)は ，１ ６ x２－ ＝(４ x)２－ ２だ か ら ， ９
１
９ ３
＝ ４ x＋１
４x－１ ４ x を a， を b に あ て は め て 考 え る と い い ね 。
３ ３ ３
■知識・技能の習得を図る問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題④
１
ア＝ ４ ，イ＝ ３ ，ウ＝ ２ 【 ポ イ ン ト 】
公 式 a２＋２a b＋b２＝（ a＋b）２ と 比 べ て 考 え よ う 。
９x２ ＋ １ ２ x y ＋ y ２ ＝ （ x＋ y）２
（ ３ x）２ ２ × ３ x× ２ y
９x２＝（ ３ x）２ だ か ら ，イは ３ と な る ね 。
１ ２ x y＝ ２ × ３ x× ２ yだ か ら ，ウは ２ と な る ね 。 公 式 の b２の 部 分 は(２ y)２と な り ，アは ４ と な る ね 。 ２
(1) （ x ＋ ６）２ 【 ポ イ ン ト 】
公 式 a２＋２a b＋ b２＝（a＋ b）２ を 利 用 し よ う 。
x２＋ １ ２ x ＋ ３ ６ ＝ x２＋２× x× ６ ＋ ６２だ か ら ，aは x，bは ６ だ ね 。 (2) （１ －３ x）２ 【 ポ イ ン ト 】
公 式 a２－２a b＋ b２＝（a－ b）２ を 利 用 し よ う 。
(2)は ，１２－ ２ × １ ×３ x＋(３ x)２ だ か ら ，aは １ ，bは３xだ ね 。 １ －６x＋９x２＝９x２－６ x＋ １ ＝（ ３ x－ １）２と 答 え て も い い よ 。 (3) x － １ ２ (3)は ，x２－x＋１
＝ x２－ ２ × x× １
＋ １ ２
と な る か ら ， ２
１
４ ２ ２
aは x，bは と 考 え る と い い ね 。 ２
(4) （ x－ ３） （x－ ６） 【 ポ イ ン ト 】
公 式 x２＋（a＋b） x＋a b＝（x ＋ a） （x＋b）を 利 用 し よ う 。 (4)は ，x２－９ x＋１ ８だ か ら ， 和 が－ ９， 積 が１ ８と な る ２ 数 を (5) （ x＋ １） （x－ ９） を 見 つ け よ う (－ ３ と － ６ )。
(5)は ， 和 が－ ８， 積 が－ ９と な る ２ 数 だ ね (＋ １ と － ９ )。
(6) ３ a（x ＋ ３） （x － ３） 【 ポ イ ン ト 】
共 通 因 数 を 取 り 出 し て ， さ ら に( )の 中 が 因 数 分 解 で き な い か を 考 え よ う 。３a x２－２ ７ a＝３a（ x２－ ９）
＝３a（ x ＋ ３） （ x － ３）
３ ４ ０ ０ ０ ０ 【 ポ イ ン ト 】
公 式 a２－２a b＋ b２＝（a－ b）２ を 利 用 す る と ，
x２－４x＋ ４ ＝（ x－ ２）２と な り ， こ こ で x＝２ ０ ２を 代 入 す れ ば ， (２ ０ ２－ ２)２＝２ ０ ０２＝４ ０ ０ ０ ０ と 計 算 が 簡 単 に な る ね 。
イ
ア ウ
中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年
１ 式 の 展 開 と 因 数 分 解
[思 考 力 ・ 判 断 力 ・ 表 現 力 を 育 む 問 題 ]
中 学 校
年 組 号 氏 名
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名
■練習問題①
１ 偶 数 や 奇 数 に つ い て い ろ い ろ と 調 べ て い た 太 郎 さ ん は ，「 偶 数 を ２ 乗 し た 数 か ら １ を 引 い た 数 は ， も と の 偶 数 の 前 後 の 奇 数 の 積 に な る 」 と い う こ と に 気 付 き ま し た 。 そ し て ， こ の こ と を 下 の よ う に 表 し ま し た 。 あ と の (1)， (2)の 各 問 い に 答 え な さ い 。
偶 数 ２ ４ ６ ８ ・ ・ ・ ・
２ 乗 す る
２ 乗 し た 数 ４ １ ６
１ を 引 く
１ を 引 い た 数 ３
２ 数 の 積 に す る
奇 数 の 数 １ × ３ × × ×
(1) 上 の に あ て は ま る 数 を そ れ ぞ れ 書 き 入 れ な さ い 。
(2) 太 郎 さ ん は ，２ 以 上 の す べ て の 偶 数 に つ い て ，「 偶 数 を ２ 乗 し た 数 か ら １ を 引 い た 数 は ， も と の 偶 数 の 前 後 の 奇 数 の 積 に な る 」 と い う こ と を ， 文 字 の 式 と こ と ば を 使 っ て 次 の よ う に 説 明 し ま し た 。
(太 郎 さ ん の 説 明 )
自 然 数nを 使 っ て ， ２ 以 上 の 偶 数 は２ nと 表 さ れ る 。
(２ n)２－ １ ＝(２ n ＋ １) (２ n － １)と な る か ら ， 偶 数２ n を ２ 乗 し た 数 か ら １ を 引 い た 数 は ， も と の 偶 数２nの 前 後 の 奇 数 ２ n－ １ と２ n＋ １ の 積 に な る 。
(太 郎 さ ん の 説 明 )を 参 考 に し て ， １ 以 上 の す べ て の 奇 数 に つ い て ，「 奇 数 を ２ 乗 し た 数 か ら １ を 引 い た 数 は ， も と の 奇 数 の 前 後 の 偶 数 の 積 に な る 」 と い う こ と を ， 文 字 の 式 と こ と ば を 使 っ て 説 明 し な さ い 。 ※ こ の 場 合 の 偶 数 は ， ０ を 含 む も の と し て 考 え ま す 。
【 解 答 】
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名
■練習問題②
１ 次 の よ う なＡ，Ｂ，Ｃの ３ 種 類 の 板 が あ り ま す 。 こ の ３ 種 類 の 板 を 何 枚 か 組 み 合 わ せ て ， い ろ い ろ な 形 を つ く り ま す 。
あ と の (1)， (2)の 各 問 い に 答 え な さ い 。
Ａ １ 辺 の 長 さ がxｃ ｍの 正 方 形 Ｂ ２ 辺 の 長 さ が そ れ ぞ れ xｃ ｍ と
１ ｃ ｍで あ る 長 方 形
Ｃ １ 辺 の 長 さ が１ ｃ ｍの 正 方 形
(1) Ａを １ 枚 ，Ｂを ２ 枚 ，Ｃを １ 枚 組 み 合 わ せ る と ， 右 の 図 の よ う に １ 辺 の 長 さ がx＋ １ｃ ｍと な る 正 方 形 を つ く る こ と が で き ま す 。 こ の こ と は ， 式 と こ と ば を 使 っ て 下 の よ う に 説 明 す る こ と が で き ま す 。
(説 明 )
Ａの 面 積 は x２ｃ ｍ２，Ｂの 面 積 は xｃ ｍ２，Ｃの 面 積 は １ｃ ｍ２で あ る 。 だ か ら ，Ａ１ 枚 ，Ｂ２ 枚 ，Ｃ１ 枚 の 面 積 を た す と ，x２＋２ x＋ １ ＝(x＋ １)２ と な る の で ， １ 辺 の 長 さ が x ＋ １ｃ ｍと な る 正 方 形 を つ く る こ と が で き る 。
Ａを １ 枚 ，Ｂを ５ 枚 ，Ｃを ６ 枚 を 組 み 合 わ せ て ， 長 方 形 を つ く る と し た ら ， ど の よ う な 長 方 形 が で き ま す か 。 上 の (説 明 )を 参 考 に し て ， 式 と こ と ば を 使 っ て 説 明 し な さ い 。
【 解 答 】
(2) １ 辺 の 長 さ が ２ x ＋ ３ｃ ｍ と な る よ う な 正 方 形 を ５ 枚 つ く る に は ，Ａ～Ｃの 板 が そ れ ぞ れ 何 枚 必 要 で す か 。
【 解 答 】
Ａ Ｂ Ｃ
xｃｍ
xｃｍ
Ａ xｃｍ
１ｃｍ Ｂ
１ｃｍ
１ｃｍ Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｂ
Ｃ x＋１ｃｍ
x＋１ｃｍ
枚 枚
枚
中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年
１ 式 の 展 開 と 因 数 分 解
[思 考 力 ・ 判 断 力 ・ 表 現 力 を 育 む 問 題 ]
[解 答 例 ]
中 学 校
年 組 号 氏 名
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題［解答］
年 組 号 氏名
■練習問題①
１ (1)
偶 数 ２ ４ ６ ８ ・ ・ ・ ・
２ 乗 す る
２ 乗 し た 数 ４ １ ６
１ を 引 く
１ を 引 い た 数 ３
２ 数 の 積 に す る
奇 数 の 数 １ × ３ × × ×
(2) (解 答 例 １ )
自 然 数 nを 使 っ て ， 奇 数 は２ n－ １ と 表 さ れ る 。 (２ n－ １ )２－ １ ＝ ４n２－４n＋ １ － １
＝ ４n２－４ n
＝ ２n(２ n－２)
と な る か ら ， 奇 数２ n－ １ を ２ 乗 し た 数 か ら １ を 引 い た 数 は ， も と の 奇 数２ n－ １ の 前 後 の 偶 数２ n－ ２ と２ nの 積 に な る 。
【 ポ イ ン ト 】
奇 数 で あ る２ n－ １ の 前 後 の 偶 数 は ，
(２ n－ １)－ １ ＝２n － ２ ，(２ n－ １)＋ １ ＝２ n だ か ら ， ２ n－ ２ と２ n だ ね 。
４ n２－４ n ＝２ n ×２ n －２ n×２ だ か ら ， 共 通 因 数２n を と り 出 す こ と で ，２ n－ ２ と２ n の 積 の 形 に で き る ね 。
(解 答 例 ２ )
０ 以 上 の 整 数 を nと す る と ， 奇 数 は２n＋ １ と 表 さ れ る 。 (２ n＋ １ )２－ １ ＝ ４n２＋４n＋ １ － １
＝ ４n２＋４ n
＝ ２n( ２n＋ ２ )
と な る か ら ， 奇 数２ n＋ １ を ２ 乗 し た 数 か ら １ を 引 い た 数 は ， も と の 奇 数２ n＋ １ の 前 後 の 偶 数２ nと２ n＋ ２ の 積 に な る 。
【 ポ イ ン ト 】
nを 自 然 数 と す る と ，
２ n＋１ ＝ ３ ， ５ ， ７ ， ９ ・ ・ ・ ・ ・ と な り ， 奇 数 １ を 表 す こ と が で き な い 。
だ か ら ， こ の 場 合 は ，nを ０ 以 上 の 整 数 と し た 方 が い い ね 。
１５
３ ５
３６
３５
５ ７
６４
６３
９
７
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題［解答］
年 組 号 氏名
■練習問題②
１ (1)
Ａの 面 積 は x２ｃ ｍ２，Ｂの 面 積 は xｃ ｍ２，Ｃの 面 積 は １ｃ ｍ２で あ る 。 だ か ら ，Ａ１ 枚 ，Ｂ５ 枚 ，Ｃ６ 枚 の 面 積 を た す と ，
x２＋５ x＋ ６ ＝ (x＋ ２ ) (x＋ ３ ) と な り ，
２ 辺 の 長 さ がx＋ ２ ｃ ｍとx＋ ３ ｃ ｍで あ る 長 方 形 を つ く る こ と が で き る 。
【 ポ イ ン ト 】
右 の よ う な 長 方 形 に な る ね 。 (1)の 問 い は ，「 正 方 形 の (説 明 )に な ら っ て ， 式 と こ と ば を 使 っ て 説 明 し な さ い 。」 と な っ て い る の で ， 上 の よ う な 説 明 に な る ね 。
(2) Ａ ２ ０枚 Ｂ ６ ０枚 Ｃ ４ ５枚
【 ポ イ ン ト 】
１ 辺 の 長 さ が２x＋ ３ ｃ ｍと な る 正 方 形 は ， 下 の よ う に な る 。 そ し て ， こ の 正 方 形 ５ 枚 の 合 計 の 面 積 を 計 算 す る と ，
５ ( ２ x＋ ３)２ ＝ ５ (４ x２＋１ ２ x＋９ )
＝ ２ ０ x２＋６ ０ x＋４ ５ と な る 。
Ａの 面 積 はx２ｃ ｍ２，Ｂの 面 積 は xｃ ｍ２，Ｃの 面 積 は １ｃ ｍ２だ か ら ，Ａは２ ０枚 ，Ｂは６ ０枚 ，Ｃは４ ５枚 必 要 に な る ね 。
こ の 正 方 形 が ５ 枚
Ｂ
Ｃ Ａ
Ｂ
Ｂ
Ｃ Ｂ
Ｂ
Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ x＋２ ｃｍ
x＋３ ｃｍ
Ａ Ａ
Ａ Ａ
Ｂ
Ｂ Ｂ Ｂ
Ｂ Ｂ Ｂ
Ｂ
Ｂ
Ｂ Ｂ
Ｂ Ｃ Ｃ Ｃ
Ｃ ＣＣ Ｃ
Ｃ Ｃ ２x＋３ｃｍ
２x＋３ｃｍ
中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年
２ 平 方 根
[知 識 ・ 技 能 の 習 得 を 図 る 問 題 ]
中 学 校
年 組 号 氏 名
a
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■練習問題①
１ 次 の (1)～ (3)の 下 線 部 が 正 し い 場 合 は ○ を か き な さ い 。 ま た ， 正 し く な い 場 合 は ， 誤 り を な お し て 正 し く し な さ い 。
(1) ２ ５の 平 方 根 は ５ で あ る 。 (2) は ±２ ０で あ る 。 (3) (－ ７ )２ は ７ で あ る 。
【 解 答 】 【 解 答 】 【 解 答 】
２ 次 の 数 を ， 小 さ い 方 か ら 順 に 並 べ な さ い 。
０ ， ， ， ２ ， ，
【 解 答 】
３ ＜ ３ と な る 自 然 数aを ， す べ て 求 め な さ い 。
【 解 答 】
４ 次 の 大 小 関 係 に あ て は ま る 自 然 数 aを ， す べ て 求 め な さ い 。
(1) ３ ＜ ＜ ４ (2) ８ ＜ ＜８ .２
【 解 答 】 【 解 答 】
５ の 値 が 自 然 数 と な る よ う な 自 然 数 aの う ち ，も っ と も 小 さ い も の を 求 め な さ い 。
【 解 答 】 ４ ０ ０
５ ４×a
－ ５ ２ － ３ ６
a a
９ ５ ３ ０
４ ５
３ ０ ３ ０
２ ５ ３ ６
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■練習問題②
１ ＝ ２ ， ＝ ３ だ か ら ， ２ ＜ ＜ ３ と な り ， の 整 数 部 分 は ２ と 分 か り ま す 。 同 じ よ う な 考 え で ， の 整 数 部 分 を 求 め ま す 。 下 の に あ て は ま る 数 を そ れ ぞ れ 書 き 入 れ な さ い 。
＝ ， ＝ だ か ら ， ＜ ＜ と な り ， の
整 数 部 分 は ， と 分 か る 。
２ 次 の ① ～ ③ の 中 か ら ， ３ .７ の 値 に も っ と も 近 い も の を 選 び ， 番 号 で 答 え な さ い 。
① ０ .６ ② １ .８ ③ １ .９
【 解 答 】
３ 面 積 が３ ０ ｍ２で あ る 正 方 形 の 形 を し た 花 だ ん を 作 ろ う と 思 い ま す 。 １ 辺 の 長 さ を 何ｍに す れ ば よ い で し ょ う か 。 小 数 第 １ 位 の 数 ま で 求 め な さ い 。 (電 卓 を 使 用 し て も よ い 。 )
花 だ ん
３ ０ ｍ２
【 解 答 】
ｍ ４ 次 の 数 の 中 で ， 無 理 数 で あ る 数 を す べ て か き な さ い 。
８ , , , ,
【 解 答 】
－ ５ －５
９
３
７ ０.０９
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■練習問題③
１ 次 の 計 算 を し な さ い 。
(1) (2)
【 解 答 】 【 解 答 】
(3) (4)
【 解 答 】 【 解 答 】
２ 次 の 数 を 変 形 し て ， の 中 を で き る だ け 簡 単 な 数 に し な さ い 。
(1) (2)
【 解 答 】 【 解 答 】
３ 次 の 数 を ， 分 母 に を 含 ま な い 形 に 変 形 し な さ い 。
(1) (2)
【 解 答 】 【 解 答 】
４ と し て ， 次 の 値 を 求 め な さ い 。
( 1 ) (2)
【 解 答 】 【 解 答 】
３ ０ ０
４ ２ ÷ ６
１ ８ × １ ２
６ ５
１ ８ ９
３ ＝ １ ．７ ３ ２
３ ６
４ ２× ２ ６
９ ８ １ ０ ８
５× (－ ３)
３ － ２
５ ３
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■練習問題④
１ 次 の 計 算 を し な さ い 。
( 1) (2)
【 解 答 】 【 解 答 】
( 3 ) (4)
【 解 答 】 【 解 答 】
２ 次 の 計 算 を し な さ い 。
(1) ( ＋ ３) ( ＋ ２) (2) ( )２
【 解 答 】 【 解 答 】
３ ３
２ ＋
３ ５
３ ５ －２ ５ － ３ ５ ０ ＋ １ ８
３ ２ ０ ＋ ４ ５
中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年
２ 平 方 根
［ 知 識 ・ 技 能 の 習 得 を 図 る 問 題 ］
[解 答 例 ]
中 学 校
年 組 号 氏 名
４ ０ ０
－ ５ － ３ ２ ６
２ ６
a ４ ９
a b
４
９
２ ６
６ ４
６ ４ a ６７．２４
a
■知識・技能の習得を図る問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題①
１ (1) ± ５ 【 ポ イ ン ト 】
２ ５の 平 方 根 は ， ２ 乗 し た ら２ ５に な る 数 な の で ， ５ と － ５ と な る ね 。
(2) ２ ０ 【 ポ イ ン ト 】
４ ０ ０の 平 方 根 の 正 の 方 を 表 し て い る の で ， は２ ０と な る ね 。
(3) ○ 【 ポ イ ン ト 】
は だ か ら ， ７ と な る ね 。
２ ， ， ０ ， ， ２ ， 【 ポ イ ン ト 】
正 の 数 a，bに つ い て ，
a＜b な ら ば ， ＜ で あ る 。 だ か ら ， ＜ ＜ と な る の で ， ＜ ２ ＜ と な る ね 。
３ １ ， ２ ， ３ ， ４ ， ５ ， ６ ， ７ ， ８
【 ポ イ ン ト 】
＜ ３ な の で ， ＜ で あ る 。 よ っ て ，a は ９ よ り 小 さ い 自 然 数 と な る ね 。
４ (1) １ ０，１ １，１ ２，１ ３，１ ４，１ ５
【 ポ イ ン ト 】
(2) ６ ５，６ ６，６ ７ ８ ＝ ，８ .２＝ (８ .２ )２ ＝ ６ ７ .２ ４ だ か ら ，
＜ ＜ と な る 。
よ っ て ，aは６ ４よ り 大 き く６ ７ .２ ４よ り 小 さ い 整 数 と な る ね 。
５ ６ 【 ポ イ ン ト 】
の 値 が 自 然 数 と な る た め に は ， ２ と な れ ば よ い 。 そ こ で ，５ ４ a＝ ２に な る こ と を 考 え る 。
５ ４ × a ＝３２×３×２× aだ か ら ，a ＝ ３ × ２ と す れ ば ， ５ ４ × a＝３２× ３ × ２ × ３ × ２＝(３ × ３ × ２ )２＝１ ８２と な る 。 よ っ て ，a ＝ ６ で あ る 。
(－７)２
－ ５
３ ０
３ ５ ４
－ ５ ３ ０.０９ ７
３ ０ ３ ０
２ ５ ３ ６
■知識・技能の習得を図る問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題②
１
＝ ， ＝ だ か ら ， ＜ ＜ と な り ， の
整 数 部 分 は ， と 分 か る 。
２ ③
【 ポ イ ン ト 】
３ .７を ２ 乗 す る と ，３ .７に な る か ら ， ① か ら ③ ま で の 数 を そ れ ぞ れ ２ 乗 し て ，３ .７に 一 番 近 い 数 を 探 せ ば い い ね 。
① (０ .６ )２＝ ０ .３ ６ ② (１ .８ )２＝３ .２ ４ ③ (１ .９ )２＝３ .６ １ よ っ て ，３ .７に 一 番 近 い 数 は ， ③ と な る ね 。
３ ５ .５（ ｍ ）
【 ポ イ ン ト 】
正 方 形 の 面 積 は ， 正 方 形 の １ 辺 の 長 さ を ２ 乗 し た ら 求 め ら れ る の で ， 面 積 が３ ０ｍ２の 場 合 の １ 辺 の 長 さ は ｍ と い う こ と に な る ね 。
＝ ５ .４ ７ ７ ・ ・ ・ ・ ・だ か ら ， 小 数 第 ２ 位 を 四 捨 五 入 す る と ， 正 方 形 の １ 辺 の 長 さ は ，５ .５ｍ と な る ね 。
４ ，
【 ポ イ ン ト 】
有 理 数 ・ ・ ・ 整 数m と ， ０ で な い 整 数 n を 使 っ て ， 分 数 m の 形 に 表 さ れ る 数 。 n
無 理 数 ・ ・ ・ 有 理 数 で な い 数 。
例 え ば ， は ， 整 数 ２ で あ る か ら ， 有 理 数 だ ね 。 や な ど は ， 整 数 で は な く ， 分 数 m
の 形 に 表 す こ と も で き な い の で ， 無 理 数 だ ね 。 n
＝０ .３ ＝３
１ ０ だ か ら有 理 数 と な り ， と は 無 理 数 と な る ね 。
３ ７
３ ０
５ ６ ５ ６
５
６ ６
７ ２
２
１０ ０
３
２ ３ ２ ３
６
■知識・技能の習得を図る問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題③
１
(1) (2) 【 ポ イ ン ト 】
＝
＝ ＝
(3) 【 ポ イ ン ト 】 (4)
３
＝ ２ ＝ 【 ポ イ ン ト 】
＝ ３ × ２ × × ３ × ２ × × ＝ と 変 形 で き る こ と に
気 付 こ う 。
＝ ６ ＝
２
(1) 【 ポ イ ン ト 】 (2) 【 ポ イ ン ト 】
積 の 形 が 分 か ら な い と １ ０ ８ ＝ ３ ６ × ３で あ る
＝ き は ， 素 因 数 分 解 を す ＝ こ と に 気 付 け た ら ，
る と い い ね 。 い い ね 。
＝ ２ ) ９ ８ ＝
７ ) ４ ９
３ ７
(1)
(2)
＝ ＝
＝ ＝
【 ポ イ ン ト 】
分 母 に を ふ く む 数 ＝ が あ る 場 合 ， 分 母 と
分 子 に 同 じ 数 を か け て 分 母 に を ふ く ま な い 形 に し よ う 。
４
(1) 【 ポ イ ン ト 】 (2) 【 ポ イ ン ト 】
＝１ ０だ か ら ， 分 母 に を ふ く ま な い 形
＝ の 中 の 数 を ， ＝ に し て か ら ， 与 え ら れ た
１ ０ ０× □ の よ う な 積 値 を 代 入 し た 方 が い い ね 。
＝ １ ０×１ .７ ３ ２ の 形 に す る こ と が ， ＝
必 要 だ ね 。 ＝ ２ ×１ .７ ３ ２
＝ １ ７ .３ ２ ＝ ３ .４ ６ ４
３ ０ ０ ３
６ ６
５
１ ８ ９
４ ２ ÷ ６
１ ８ × １ ２ ４ ２× ２ ６
９ ８ １ ０ ８
５× (－ ３)
３ ２× ２ ３
－ １ ５ ７
８ １ ２ ８ × ２ ３ １ ６ ３
７２× ２ ２２× ３２× ３
６ ３
６× ６ ５× ６ ５ ６
６
３ ２ ９
２ ３
３ ２ ２
６ ３ ３ ２ ３ １ ０ ３
３
４２ ６
４２ ６
１２ ２ ３
１ ８ １２
５ ＋３ ３ ＋２
２ ６ ２ ６
５ ０ ５２× ２ ５ ２
３ ２ ０ ３× ２ ５ ６ ５
３ ２
１ ８ ３ ２× ２
２
４ ５ ３２× ５
５
５ ＋３ ３ ＋２
■知識・技能の習得を図る問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題④
１
(1) (2） 【 ポ イ ン ト 】
＝ ＝ ＝
＝
＝
【 ポ イ ン ト 】
と の よ う に の ＝
中 の 数 が 同 じ も の は ， ま と め る こ と ＝ ３
が で き る ね 。
【 ポ イ ン ト 】 分 母 と 分 子 に 同
(3) (4) ＝ じ 数 を か け て ，
【 ポ イ ン ト 】 分 母 に を ふ
＝ ＝ く ま な い 形 に し
＝ よ う 。
＝ ＝ ＝
【 ポ イ ン ト 】
＝ ＝
分 数 の 分 母 の 数
＝ ３ が 違 っ て い る の
で ， 通 分 が 必 要 だ ね 。
２
（ 1) ( ) ( ) (2)
＝ ＝ － ＋
＝ ３ － ＋ ２
【 ポ イ ン ト 】
下 の よ う に ， 順 に か け あ わ せ て ＝ ５ － 計 算 を し よ う 。
【 ポ イ ン ト 】
( ) ( ) 公 式 ( a－ b )２＝a２－ ２ a b＋b２が 利 用 で き る ね 。aを ，bを と 考 え て 計 算 す る と い い ね 。 は ，
こ れ 以 上 計 算 す る こ と が で き な い の で ， こ れ が 答 え と な る ね 。
３ ３
２ ＋
３ ５
３ ５ －２ ５ － ３ ５ ０ ＋ １ ８
３ ２ ０ ＋ ４ ５
( ３ － ２)２
５ － ３ ５ ２ ＋３ ２
８ ２
６ ５ ＋３ ５ ９ ５
３ ３
２ ＋５ ３ ３ ９ ３
６ ＋１ ０ ３ ６
１ ９ ３
６
１ ５ ＋２ ５ ＋３ ３ ＋６ ( ３)２ ２× ３× ２ ( ２)２
３ ５ －２ ５
１ ５ ＋２ ５ ＋３ ３ ＋６
①
②
③ ④
中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年
２ 平 方 根
[思 考 力 ・ 判 断 力 ・ 表 現 力 を 育 む 問 題 ]
中 学 校
年 組 号 氏 名
１ ３
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名
■練習問題①
１ 次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に 答 え な さ い 。
(1) 下 の 図 の 色 を つ け た 正 方 形 の 面 積 は ５ｃ ｍ２ に な り ま す 。 こ の こ と を ， 式 と 言 葉 を 使 っ て 説 明 し な さ い 。
【 解 答 】
(2) (1)の 図 の 色 を つ け た 正 方 形 の １ 辺 の 長 さ を ， を 使 っ て 答 え な さ い 。
【 解 答 】
ｃ ｍ
(3) 右 の 図 に お い て ， 面 積 が１ ３ ｃ ｍ２と な る 正 方 形 を か き な さ い 。 ま た ， 長 さ が ｃ ｍと な る 線 分 を 太 線 ( )と 「 → 」 を 使 っ て ， １ つ 示 し な さ い 。
１ｃｍ １ｃｍ
１ｃｍ １ｃｍ
中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年
２ 平 方 根
[思 考 力 ・ 判 断 力 ・ 表 現 力 を 育 む 問 題 ]
[解 答 例 ]
中 学 校
年 組 号 氏 名
１ ３
１ ３
５ ５
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題
［解答］年 組 号 氏名
■練習問題①
１
(1) （ 解 答 例 ① ）
大 き い 正 方 形 の 面 積 は ， ３ × ３ ＝ ９ (ｃ ｍ２)で あ る 。 ま た ， 色 の つ い た 正 方 形 の 外 側 に あ る ４ つ の 三 角 形 の 面 積 は ， (２ × １ ÷ ２ )× ４ ＝ ４ (ｃ ｍ２)で あ る 。
よ っ て ， 色 の つ い た 正 方 形 の 面 積 は ， ９ － ４ ＝ ５ (ｃ ｍ２) で あ る 。
（ 解 答 例 ② ）
斜 線 部 の １ つ の 三 角 形 の 面 積 は ， １ 辺 の 長 さ が １ｃ ｍ の 正 方 形 の 面 積 と 同 じ に な る 。 同 じ よ う な 三 角 形 が ４ つ あ り ， ま ん 中 に あ る 正 方 形 の 面 積 を 合 わ せ る と ， ５ｃ ｍ２ で あ る 。
１ ｃ ｍ２
(2) (ｃ ｍ ) 【 ポ イ ン ト 】
正 方 形 の 面 積 は ， そ の 正 方 形 の １ 辺 の 長 さ を ２ 乗 し た ら 求 め ら れ る ね 。 だ か ら ， 色 を つ け た 正 方 形 の １ 辺 の 長 さ を ２ 乗 す る と ５ に な る は ず だ か ら ，
１ 辺 の 長 さ は ｃ ｍ と い う こ と に な る ね 。
(3)
(解 答 例 )
【 ポ イ ン ト 】
問 題 １ の (解 答 例 ① )の 考 え 方 を 使 う と ， 大 き い 正 方 形 の 面 積 は ，
５ × ５ ＝２ ５ (ｃ ｍ２)
色 の つ い た 正 方 形 の 外 側 に あ る ４ つ の 三 角 形 の 面 積 は ，
(２ × ３ ÷ ２ )× ４ ＝１ ２ (ｃ ｍ２) よ っ て ， 色 の つ い た 正 方 形 の 面 積 は ，２ ５－１ ２＝１ ３ (ｃ ｍ２) と な り ， こ の 正 方 形 の １ 辺 の 長 さ が ， ｃ ｍと な る ね 。
ｃ ｍ
１ｃｍ
１ｃｍ
１ｃｍ １ｃｍ
２ｃｍ
１ｃｍ
１ｃｍ １ｃｍ
中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年
３ 二 次 方 程 式
[知 識 ・ 技 能 の 習 得 を 図 る 問 題 ]
中 学 校
年 組 号 氏 名
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■練習問題①
１ 次 の (1)か ら (5)ま で の 方 程 式 を 解 き な さ い 。
(1) x２＝４ ９ (2) x２－１ ８＝ ０ (3) ９x２－４＝ ０
【 解 答 】 【 解 答 】 【 解 答 】
(4) (x－ ３)２ ＝１ ６ (5) (x＋ １)２－２ ０＝ ０
【 解 答 】 【 解 答 】
２ 次 の (1)と (2)の 方 程 式 を (x－m)２ ＝n の 形 に 変 形 し て 解 き な さ い 。
(1) x２－４ x ＝ 1０ (2) x２＋６x ＋ １ ＝ ０
【 解 答 】 【 解 答 】
x ＝
x ＝ x ＝
x ＝ x ＝
x ＝ x ＝
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■練習問題②
１ 次 の (1)か ら (8)ま で の 方 程 式 を 解 き な さ い 。
(1) (x＋ １) (x－ ３)＝ ０ (2) x２＋ x －１ ２ ＝ ０
【 解 答 】 【 解 答 】
(3) x２＋６ x ＝ ０ (4) x２－１ １ x ＝ －２ ８
【 解 答 】 【 解 答 】
(5) x２－１ ０ x ＋２ ５＝ ０ (6) ３x２ ＝ ４ x
【 解 答 】 【 解 答 】
１ １
(7) x２＋ x ＋ ＝ ０ (8) x (x＋ ４)＝ ５
２ １ ６
【 解 答 】 【 解 答 】
x ＝ x ＝
x ＝ x ＝
x ＝ x ＝
x ＝ x ＝
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■練習問題③
１ 次 の (1)か ら (4)ま で 方 程 式 を 解 の 公 式 を 使 っ て 解 き な さ い 。
(1) ２ x２＋７ x ＋ １ ＝ ０ (2) x２＋５ x － ３ ＝ ０
【 解 答 】 【 解 答 】
(3) ３ x２－７ x ＋ ２ ＝ ０ (4) ２ x２－６x － １ ＝ ０
【 解 答 】 【 解 答 】
２ 次 の (1)か ら (4)ま で の 方 程 式 を 解 き な さ い 。
(1) x２＋x ＝４ x＋１ ８ (2) x (x＋ ７) ＝x － ９
【 解 答 】 【 解 答 】
(3) ２ x２－１ ６ x ＋２ ４＝ ０ (4) (x＋ ２) (x＋ ４)＝ ６(x＋ ２)
【 解 答 】 【 解 答 】
x ＝ x ＝
x ＝ x ＝
x ＝ x ＝
x ＝ x ＝
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■練習問題④
１ 次 のアか らエま で の 二 次 方 程 式 の 中 で ， 解 の １ つ が － ３ で あ る も の は ど れ で す か 。 そ の 記 号 を 答 え な さ い 。
ア x２＋ ３ ＝ ０ イ x２＋ ３ x ＝ ０ ウ x２－ ４ x －２ １＝ ０ エ (x＋ ３)２ ＝ ９
【 解 答 】
２ 二 次 方 程 式 x２＋ a x －１ ８＝ ０ の 解 の １ つ が ２ で あ る と き ，aの 値 を 求 め な さ い 。 ま た ， 他 の 解 を 求 め な さ い 。
【 解 答 】
３ あ る 自 然 数 x を ， ２ 乗 し な け れ ば な ら な い と こ ろ を ， ま ち が え て ２ 倍 し た た め ， 計 算 の 結 果 は８ ０だ け 小 さ く な り ま し た 。
x に つ い て の 方 程 式 を つ く り ， 答 え を 求 め る ま で の 過 程 を す べ て 書 い て ， こ の 自 然 数 x を 求 め な さ い 。
【 解 答 】
（ 答 え ）
a
