プ レーオフに勝利するとして, 4連勝で勝つ確率を求めよ

確率論 I ^練習問題 http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/˜nishioka/ 2015/01/21,西岡

1 ^確率空間, ^{条件付き確率}, ^{ベイズの定理}

問題 1.1. ある銀行への融資申し込みは 40 %が優良企業である. 優良企業からの申し込みは 90 %の確率,そ うでない企業からの申し込みは20 %の確率で審査を通る. この銀行の審査を通過した企業が優良である確率を 求めよ.

問題1.2. 勝つ確率がpのチームを相手に7 回戦制のプレーオフを行う. 4回勝てばプレーオフに勝利する. プ レーオフに勝利するとして, 4連勝で勝つ確率を求めよ.

問題1.3. 毎週1000万円が確率pで当たるクジがある. 当たりが出ないときは賞金は次週に繰り越す. 10週間 で当たりが1回しかでなかったという条件の下で, 10週間後の繰り越し賞金額をX とするとき,X のとる値と その確率を求めよ.

問題1.4 (1999年アクチュアリー,難問). 1家族に子供がn人いる確率は (1−p)pⁿ (

n >0, 0< p <1) で ある. 子供が男である確率および女である確率は,ともに1/2 とする. 有る家庭に男の子供が k人いる確率を求 めよ. ⋄

2 確率変数の平均, 分散, 共分散

問題2.1. 次の確率変数X にたいし,E[X], σ²[X], E[2^X], σ²[2^X],を計算せよ.

確率 2/6 1/6 2/6 1/6

X の値 0 1 2 3

問題2.2. 不良品発生率10%の製品がある. その中から,サンプルを四つ取り出す. k回目に取り出したサンプ ルにたいし,

Xk ≡

{ 1 サンプルが不良品

0 サンプルが良品, k= 1,· · · ,4

とおく. (i) 確率変数X₁ の平均と分散を求めよ. (ii) 確率変数X₂の平均と分散を求めよ. (iii) 確率変 数S≡X₁+· · ·+X₄ の平均と分散を求めよ. (ヒント: X₁,· · · , X₄ は, それぞれ独立なベルヌイ試行.) ⋄ 問題2.3 (2006年公認会計士試験). 表が出る確率がp,裏が出る確率1−pのコインをn 回投げた. このとき, 表が出た回数をS_n とする.

(i) 確率変数S_n の平均 E[S_n]および分散 σ²[S_n]を求めよ.

(ii) p= 0.5 であるコインを10回投げ,各回毎に表が出れば1歩前に進み,裏が出れば1 歩後ろに進む. 10回 投げ終わったときに元の位置にいる確率を求めよ.

(iii) p= 0.5であるコインを10回投げたとき, 6歩以上前進している確率を求めよ.

問題2.4. 2つの株式A, B の1期当たりの収益率( 1単位当たり)を,それぞれRA,RB とする. 更に固定金利 2%の国債がある. RA, RB は確率変数で, E[RA] = 0.05, E[RB] = 0.1, σ²[RA] = 4, σ²[RB] = 16,, 両 者の相関係数は-0.5である.

このとき,株式Aにx単位,B にy 単位,国債に z単位,投資する.

(i) 1期当たりの平均収益額が6 単位となるポートフォリオI(z)をz で表せ. ただし

x+y+z= 100単位. (ii) このポートフォリオI(z)のリスクが最少となるz を求めよ. ⋄

1

3 解答

[問題1.1 解答] 優良企業の申し込み件数をx,それ以外の企業からの申込件数をy とする. 審査を通過した企 業の数z はz= 0.9x+ 0.2y. 一方 y/x= (1−0.4)/0.4 = 1.5. これより

審査を通過した企業が優良である確率= 0.9x

z = 0.9x

0.9x+ 0.2y = 0.9x

0.9x+ 0.2·1.5·x= 0.75. 2 [問題1.2 解答] W をプレーオフで自チームが勝利することとする. すると

W =∪⁷k=4A_k, ここでA_k を“k回ゲームを行って,プレーオフに勝つ” とする, k= 4,· · ·,7.

次にAk, k= 4,· · ·,7,の確率を求める.

1. k= 4 のとき,開幕4連勝でプレーオフに勝利 ⇒P[A4] = (1−p)⁴, 2. k= 5 のとき, 5試合目は勝利,その前の4試合は “ 3勝1敗”

⇒P[A5] =4C1p(1−p)³·(1−p) = 4p(1−p)⁴,

3. k= 6 のとき, 6試合目は勝利,その前の5試合は “ 3勝2敗”

⇒P[A6] =5C2p²(1−p)³·(1−p) = 10p²(1−p)⁴,

4. k= 7 のとき, 7試合目は勝利,その前の6試合は “ 3勝3敗”

⇒P[A₇] =₆C₃p³(1−p)³·(1−p) = 20p³(1−p)⁴, Ak, k = 4,· · · ,7,は互いに排反事象なので, P[W] =∑7

k=4P[Ak] = (1−p)⁴{

1 + 4p+ 10p²+ 20p³} . 次に,Bkを“自チームがk回戦目から4 連勝”,k= 1,· · ·,4,とすると,

P[Bk] =p^k−1(1−p)⁴ ⇒

∑4

k=1

P[Bk] = (1−p)⁴{

1 +p+p²+p³} .

k= 1,2,3 ならBk⊂W なので, ベイズの定理より 求める確率=P[∪⁴k=1BkW] = P[∪⁴k=1Bk∩W]

P[W] =P[∪⁴k=1Bk]

P[W] = 1 +p+p²+p³

1 + 4p+ 10p²+ 20p³. 2 [問題 1.3 解答] “ 10 週の中でただ一つの当たりが出る” を A, “ 10 週の中で最初の当たりが出る週” を N とする. すると P[{N = k} ∩A] = (1−p)^k−1p(1−p)^10−k = p(1−p)⁹, k = 1,2,· · ·,10.

⇒ P[A] =

∑10

k=1

P[{N =k} ∩A] = 10p(1−p)⁹.

さらに,a= 1000万円とすると, k週目に只一つの当たりがでるとき, 繰り越された金額 X =a(10−k)は (N =k ⇔ X=a(10−k) ). よって {X =a(10−k)} ⊂Aとなり

P[X=a(10−k)A] = P[{N=k)} ∩A]

P[A] = p(1−p)⁹ 10p(1−p)⁹ = 1

10, k= 1,· · ·,10. 2 [問題1.4 解答](難問) Step 1. n人子供がいて,男の子が k人で有る確率Q(k, n)は

Q(k, n) = (1−p)pⁿnCk (1 2)^k(1

2)^n−k = (1−p)nCk (p

2)ⁿ, n≥k.

よって,男の子供が k人いる確率は

∑∞ n=k

Q(k, n) =

∑n

n=k

(1−p)nCk (p

2)ⁿ この和は直接計算できない! Step 2. 母関数を使う. |s|<1なる実数 sにたいし,

R(s)≡

∑n

k=0

s^k ∑

n≥k

Q(k, n) =

∑∞ n=0

∑n

k=0

Q(k, n)s^k

=

∑∞ n=0

∑n

k=0

(1−p) (p

2)ⁿ nCk s^k = (1−p)

∑∞ n=0

(p

2)ⁿ (1 +s)ⁿ= 1−p 1−p(1 +s)/2. 2

となり,

∑∞ n=k

Q(k, n) = 1 k!

d^kR(s) d s^k

s=0

を計算すればよい. Step 3. d^k

d x^k 1

1−x = k!

(1−x)^{k+1 だから} 1 k!

d^k

d s^kR(s) = 1

k! (1−p) k! (p/2)^k (1−p(1 +s)/2)k+1.

⇒ ∑^∞

n=k

Q(k, n) = 1 k!

d^kR(s) d s^k

s=0= (1−p) (p/2)^k (1−p/2)^k+1 . 2

[問題2.1 解答] X の分布表より 確率 2/6 1/6 2/6 1/6

X の値 0 1 2 3

X²の値 0 1² 2² 3² E[X] = 0·2

6 + 1·1 6 + 2· 2

6+ 3·1 6 =8

6. σ²[X] =E[X²]−(

E[X])2

= 0²·2

6 + 1²·1

6 + 2²· 2

6+ 3²·1 6 −(8

6)²= 11 9 . 2^X はX から作られた新しい確率変数で,その確率分布は以下の通り:

確率 2/6 1/6 2/6 1/6

X の値 0 1 2 3

2^X の値 2⁰= 1 2¹= 2 2²= 4 2³= 8

E[ 2^X] = 2⁰·2

6 + 2¹·1

6 + 2²· 2

6+ 2³·1 6 = 10

3 σ²[ 2^X] =E[ 2^2X]−(

E[ 2^X])2

= 2^2·0· 2

6+ 2^2·1·1

6 + 2^2·2·2

6 + 2^2·3·1 6 −(10

3 )²= 17−100 9 =53

9 . 2 [問題2.2 解答] ベルヌイ試行Y が P[Y = 1] =p, P[Y = 0] = 1−p とすると,

(3.1) E[Y] = 1·p+ 0·(1−p) =p, σ²[Y] = 1²·p+ 0²·(1−p)−p²=p(1−p).

(i) X1 はベルヌイ試行で, (3.1)でp= 0.1. つまり

E[X₁] =p= 0.1, σ²[X₁] =p(1−p) = 0.1(1−0.01) = 0.09.

(ii) X2 もX1 と同じ確率分布をもつから, E[X2] = 0.1, σ²[X2] = 0.09.

(iii) X1,· · ·, X4 は独立で同分布. 「平均値/分散の計算ツール」から E[S] =E[X₁] +· · ·+E[X₄] = 4·0.1 = 0.4,

σ²[S] =σ²[X1] +· · ·+σ²[X1] = 4·0.09 = 0.36. 2 [問題2.3 解答] 確率変数Xk を

Xk=

{ 1 k回目のコイン投げで表がでた時 0 k回目のコイン投げで裏がでた時 とおく. すると S_n=X₁+X₂+· · ·+X_n であり, ‘勝率pの２項分布’に従う:

P[Sn=k] =nC_k p^k (1−p)^n−k, k= 0,1,· · ·, n.

3

(i) S_n の平均と分散を2項分布から求めるのは面倒. S_n は独立, 同分布の確率変数の和だから E[Xk] = 1·p+ 0·(1−p) =p, σ²[Xk] = 1²·p+ 0²·(1−p)−p²=p(1−p).

これより

E[S_n] =n p, σ²[S_n] =n p(1−p).

(ii) 10回投げて元の位置にいるから,表が出た回数は5 回. P[S₁₀= 5] =₁₀C₅(1

2)⁵ (1

2)⁵= 10!

5! 5! (1

2)¹⁰= 252

1024 ≃0.247. . . (iii) 10回投げて6 歩以上前進しているから,表が出た回数は8 回以上.

P[S₁₀≥8] =P[S₁₀= 8] +P[S₁₀= 9] +P[S₁₀= 10]

=10C₈(1 2)⁵ (1

2)⁵+10C₉ (1 2)⁵ (1

2)⁵+10C₁₀ (1 2)⁵ (1

2)⁵= (45 + 10 + 1) (1 2)¹⁰

= 56

1024 ≃0.0547. . . 2 [問題2.4 解答] (i) 次の連立方程式の解:

x+y+z= 100, 0.05·x+ 0.1·y+ 0.02·z= 6,

⇒x= 80−1.6z, y= 20 + 0.6z.

(3.2)

(ii) I(z)のリスクは分散σ²[Iz]で評価できる. (3.2)を使って,

σ²[I(z)] =σ²[x·R_A] +σ²[y·R_B]−2 Cov[x·R_A, y·R_B]

=x²·4 +y²·16−2xy·0.5·√ 4·16

= 4x²−8xy+ 16y²= 4(x−y)²+ 12y²=592

25 z²−768z+ 19200

=592 25

(z− 25 592 ·768

2 )2

+ 19200− 25 592 ·(768

2 )²=592 25

(z−600 37

)2

+48×10⁴ 37 . よって,z= 600

37 ^のときσ²[I(z)]は最低. (0≤z≤50でないと,xが負になるがこの条件はOK. ) 2

4