多 体 問題 とグ リー ン関数 との 関係 の研 究 一 グ リー ン 関数 と多 体 問題(22
23
0
0
全文
(2) 近 畿 大 学 工 学 部研 究 報 告No.45. L50. §47.イ. トが 強磁 性 を形 成 して い る。即 ち、これ 等 の 磁 性 原 子 、. ジ ン グ(Isinピ)模 型 の 定 義. 磁 性 イ オ ンの磁 気 モ ー メ ン トの 間 に 交換 相 互作 用 が働. こ の 節(§)の 議 論 は 、K.Huang著"Statistical 回echanics"の. 第1版(旧. 版 〉と 第2版(新. 版)と に 負 う. も十 分低 温 で磁 気 モ ー メ ン トが 一 方 向 に揃 い 自発磁 化. 所 が 多 い。 」(久. を 形 成 して 強磁 性 が 生 じる の で あ る 。 希 土 類 物 質 の キ. 岩波書. ュ リー 温 度 は ガ ド リウム(Gd)を 除 い て 、 い ず れ も低 温. 「 物理学辞典. 縮 刷 版 」(物 理 学 辞 典 編. で あ り、 強磁 性 は極 低 温 で の み 生 ず る 。 強 磁 性 の物 質. 培 風 館1986年)か. ら抜 き 出 して ま と め て. は 低 温 よ りキ ュ リー 温 度 へ 向 け て 温 度 が 上 昇 す るにっ. 最初 に必要な事項 を 「 岩 波 理 化 学 辞 典 第4版 保亮 五 、 永 倉 三 郎 、 井 口洋 夫 、江 沢 洋 店1987年)と 集委 員 会 編. き 、 この 正 の 交換 相 互 作 用 に よ っ て キ ュ リー温 度 よ り. 編 集. れ て 、熱 優 乱 に よっ て 自発 磁 化 を減 少 しキ ュ リー温 度. お く。 固体 物 理 学 に お け る最 も興 味 あ る 現 象 の 一 つ は強 磁. で 自発磁 化 は0と な り、 キ ュ リー 温 度 よ り も上 で ス ピ. 性 で あ る 。強 磁 性 を 示 す 元 素 の 内 、鉄 族 原 子 の 鉄(Fe)、. ン共 は 無 秩 序 に 配 向 し、 正 味 の磁 場 を生 じず 物 質 は 常. コ バ ル ト(Co>、 ニ ッ ケ ル(Ni)の. 磁 性 とな る。 温 度 の 高 低 両側 か らそ の 金 属 の キ ュ リー. 基底 状 態 に あ る 中性 原. 温 度 へ 向 けて 近 付 い た とき 、 そ の 金 属 の 比 熱 は 無 限 大. 子 の 電 子 配 置 と キ ュ リー 温 度 は 、 そ れ ぞ れ 、 (キ ュ リー 温 度1043K)26Fe(3d)6(4s)2. に 近 付 く。 強磁 性 体 は 磁 区構 造 を持 つ 。 各 磁 区 は有 限. (キ ュ リー 温 度1388K)27Co(3d)7(4s)2. の 厚 さ300〜500Aの. (キ ュ リー ミ 温度631K)28Ni(3d)8(4s)2. mm程. で あ る 。 い ず れ も 、3d電. 子 が 原 子 の 不 完 全 殻 電 子 とな. 厚 さの 磁 壁 で 囲 まれ た0.1〜10需6. 度 の 大 き さの 小 領 域 で あ って 、 そ の小 区 域 内 で. は ス ピ ンが 揃 って い て 自発 磁 化 は 一 定 方 向 を 向 い て い. っ て お り 、3d電 子 の ス ピ ン 磁 気 モ ー メ ン トが 強 磁 性 を. る が、 隣 の磁 区 と は 自発 磁 化 の 方 向 は90° 又 は180°. 形 成 し て い る 。鉄 、 コ バ ル ト、 ニ ッ ケ ル の3d電. 子は比. 違 っ てい る。 故 に、 強 磁 性 体 の 外 部 に現 れ る磁 化 の 強. 子 に よ るエ ネ ル ギ ーバ ン. さ は 自発 磁 化 そ の も の よ り もず っ と小 さい。 隣 り合 う. ド)を 形 成 す る 伝 導 電 子 で あ る 。故 に 、こ の 伝 導 電 子 共. 磁 区 の 間 の磁 壁 内 で は ス ピ ンの 方 向 は徐 々 に変 化 して. は1つ. 動 し て 結 晶 中 を 動 き ま わ る 遍 歴 電 子 と な っ て い る。 そ. 行 く。 外 部 磁 場 が掛 か っ た と き に は磁 壁 は移 動 し、外 部 磁 場 が大 き い とき に は最 終 的 に強 磁 性 体 は 飽 和磁 化. して 、 こ の伝 導 電 子 の 間 の 正 の 交 換 相 互 作 用 に よっ て. に達 す る。. 較 的 狭 い エ ネ ル ギ ー 帯(3d電. の 原 子 の3d軌. 道 か ら 隣 の 原 子 の3d軌. 道 へ と移. 3d電 子 の ス ピ ン 磁 気 モ ー メ ン ト共 が 方 向 を 揃 え 、 自 発. 結 晶 格 子 の 各 格 子 点'上 に 電 子 の ス ピ ン磁 気 モ ー メ. 磁化 を形 成 して 強 磁 性 を示 す の で あ る。 これ 等 の 金 属. ン トを 固 定 して 、そ の ス ピ ン磁 気 モ ー メ ン トを各 格 子. の キ ュ リー 温 度 は い ず れ も高 く室 温 で 強 磁 性 体 で あ る。. 点'翻. の 上に局在 した ス ピン演 算 子s、一(警罵 の. 他方 、 同 じ強 磁 性 を示 す 元 素 の 内 、 希 土 類 元 素 の ガ ド リニ ウ ム(Gd)、 テ ル ビ ウ ム(Tb)、 ジ ス プ ロ ピ ウ ム(Dy)、. で代 表 させ て 固 体 の磁 気 的 諸 性 質 を 取 り扱 う模 型 を局. ホ ル ミ ウ ム(Ho)、. 在 ス ピン模 型 と言 う。1928年. エ ル ビ ウ ム(Er)、. ツ リ ウ ム(Tm)の. 基. 耽KHeisenbergが. 強磁. 底 状 態 に お け る 中 性 原 子 の 電 子 配 置 と キ ュ リー 温 度 は 、. 性 を説 明す る た め に そ の 様 な模 型 を 提 唱 した 。 我 々 は. それ ぞ れ 、 次 の 様 で あ る。. 今 、 ゴ番 目の格 子 点 と ノ番 目 の 格 子 点 上 の原 子 の ス ピ. (キ ュ リー 温 度293K) 64Gd(4f)7(5s)2(5p)6(5d)1(6s)2. ン 間 に働 く交換 積 分 に 相 当す る と こ ろの 交 換 相 互 作 用 係 数 を ん と し、磁 性 体 の 全 系 の ハ ミル トニ ア ンHと. (キ ュ リー 温 度218K) 65Tb(4f)9(5s)2(5p)6(6s)2 (キ ュ リー 温 度90K). H=一. 66Dy(4f)10(5s)2(5p)6(6s)2 (キ ュ リー 温 度20K) 67Ho. 〈の. ・S、‑9β. ΣS、 ・H. (3830). ゴ. こ こで こ く の は相 互 作 用 す る総 て の ス ピ ン対 につ い て. (4f)12(5s)2(5p)6(6s)2. の 和 を取 る事 を意 味 して い る。 右 辺 の第2項 ー メ ン トgβ3[Wb・ 司 の 外 部 磁 場H[A/m]に. は磁 気 モ よ るゼ. ー マ ン ・エ ネ ル ギー で あ る。 全 系 のエ ネ ル ギー ハ ミル. (キ ュ リ ー 温 度22K) 69Tm. Σ 刀"S、. (4f)11(5s)2(5p)6(6s)2. (キ ュ リ ー 温 度20K) 68Er. し て 、 次 の ハ ミ ル トニ ア ン を 仮 定 す る 。. (4f)13(5s)2(5p)6(6s)2. トニ ア ン1∫ が(3830)式 で 表 わ され る と ころ の 、も し く. 上記 か ら分 か る様 に 、希 土類 元素 の 中性 原 子 共 とそれ. は 右 辺 の 第1項. 等 の イ オ ン共 は4f電. ベ ル グ模 型 と言 う。 こ こで 、 単位 を確 認 して お こ う。. 子 の 不完 全 殻 を持 っ て お り、4f. 電子 の ス ピ ン磁 気 モ ー メ ン トの ほ か軌 道 磁 気 モ ー メ ン. で表 わ され る とこ ろ の模 型 をハ イゼ ン.
(3) 多 体 問 題 とグ リー ン 関数 との 関 係 の研 究 一 グ リ ー ン関 数 と多 体 問 題(22)一. 交 換 積 分 」〃の 単 位 は レ〃1=jouleで. あ る 。 据[J・s]. 元 、 η=2が2次. 〈 量 子 統 計 力 学14>. 元 、 η=3が3次. 151. 元 の)η 次 元周 期 格 子. を 作 る と こ ろ の 格 子 点 と呼 ば れ る 万 個 の 固 定 点 の 並 が ス ピ ン で あ る の で 、 同=無. 単位. で あ る 。gはg因. 子 で あ っ て 、 軌 道 磁 気 モ ー メ ン トの 場 合 は1、. ス ピン. 磁 気 モ ー メ ン トの場 合 は2で あ る。 【g1=無 単位. び で あ る。 そ して 、 ス ピン 変 数 亀(以 後 、 添 字 のzを 省 略 して81と 記 す 。)が 各 々 の 格 子 点 と結 び 付 い て い. であ. て 、 そ の他 の 変 数 は な い 。 ハ イ ゼ ンベル グ はイ ジ ン グ. る。 β は電 子 の 軌 道 運 動 に 由来 す る磁 気 モ ー メ ン トの. 模 型 を 計 算 す るた め に 次 の仮 定 を置 い た。(ブ ァ ン ・ブ. 量 子 力 学 的 単位 の ボ ー ア 磁 子 で あ っ て 、. レ ッ ク著. β一禦[制. である・磁場Hの 鞠. で あ る 。Wb=V・sで. あ る の で 、. ま回 一Aん. 神 戸謙次郎共訳 ①. 【gβS・H]=Wb・. m×A/m=V's°m'A/m=W°s=J/s・s=jouleと. κ,ア,2の3方. 吉岡書店. 与 え られ た1個. 訂 正版. 小谷 正雄、. 参 照). の原 子 は 最 近 接 原 子 共 との み 交 換. 相 互 作 用 を す る。 故 に、(3832)式 中 の 記 号 く の は. な る。. ハ イ ゼ ン ベ ル グ模 型 は 本 来 等 方 的 で あ る 。 即 ち 、 交 換 相 互 作 用 係 数%が. 物 質 の電 気 分 極 と磁 性. ス ピ ン共 の 最 近 接 対 を表 示 す る。 そ し て 、 〈 の と. 向 に 対 して 等 しい 〈 ノ'ゴ 〉の 間 に 区 別 は な い 。こ う し て 、(3832)式. 値 を持 っ 。 しか し、 こ こで 、 異 方性 を持 っ 一般 化 した ハ イ ゼ ンベ ル グ模 型 を考 え る。 異 方 性 を持 つ 一 般 化 し. に渡る求和幕 は押. の項を甑. の く の. 圭は同じ. た ハ イ ゼ ンベ ル グ模 型 で は 系 の ハ ミル トニ ア ン を次 の 様 に仮 定す る。. 最 近 接 対 を2回 和 に 取 り込 む 事 を避 け る た め で あ. H=‑2Σ(ン. 体3㍑8#+」 伽馬s〃+」. る。 我 々 は与 え られ た 原 子 は最 近 接 隣接 原 子 を そ. 脚3轟). (の. れ か ら等 距 離 に γ個 持 っ も の と仮 定 して い る。 故 に、例 えば、. 一9躍 Σ3拡(3831). f イ ジ ン グ 模 型(Isingmode1) (3831)式. で. ゐ.=%=0,」. 〃、≠0の. 」汐3。∫バ9躍. 元 方 形 格 子 と3次 元 方 表 面 格 子). γ=6(3次. 元 単 純 立 方 格 子). 7=8(3次. 元 体 心 立 方 格 子). γ=12(3次. Σ ⑤,(3832). 〈 の. 元 格 子). γ=4(2次 γ=正. と き 、 この 系. のハ ミル トニ ア ンは H=‑2Σ. γ=2(1次. 元 面 心 立 方 格 子). ま. (3834). と な る 。 こ の ハ ミ ル トニ ア ン で 表 わ さ れ る 模 型 を 特 に. で あ る。. イ ジ ン グ 模 型(Isingmodel)と. ②. 言 う。. 各 格 子 点 上 に あ る原 子 共 の価 電 子 は み な 同 じ様 な 状 態 に あ る。故 に 、%の. XY模. 値 は γ個 の 最近 接 隣 接 原. 型(XYmodel). 次 に 、(3831)式. で. 」㌍=0,」. 的=%簑. 」〃⊥ の と き 、. 子 間 で は総 て 同 じ値 で あ る。 故 に 、. (3835). 」〃≡ 」. こ の 系 の ハ ミル トニ ア ンは H=‑2Σ. 」,⊥(3駕 ε芦+馬3か)‑9耀 (の. Σ 亀(3833) ゴ. と な る 。 こ の ハ ミ ル トニ ア ン で 表 わ され る 模 型 を 特 に XY模. 型(XYmodel)と. 言 う。. と置 け る 。 (3832)式 の ハ ミル トニ ア ン 中の 原 子 間 の ス ピ ン結 合 を含 む 部 分 H'=‑2」. ΣS、 ・S、. 〈 グ〉=隣 接 原 子(3836). 〈 の イ ジ ン グ模型 は 自然 界 の強 磁 性 物 質 の構 造 を真 似 る (シ ミュ レー トす る)た め の粗 い試 み で あ る。 イ ジ ン グ. で 、隣接 す る原 子 共 の2つ の 価 電 子 聞 の 交換 積 分 」 は 、 」12=∫ … ∫甥. 、 Ψ。⑩2. 模 型 の 長所 は 、2次 元 イ ジ ン グ模 型 が 統 計 力 学 にお け る正 確 な 取 り扱 い を与 え る事 が で き る と言 う事 実 に あ る。 そ れ は 数 学 的 に 極 め て厳 密 に計 算 で き る と こ ろ の 相 転 移 に つ い て の 唯 一 の 非 凡 な例 で あ る。 イ ジ ン グ模 型 で は 、 考 察 して い る 系 は(η=1が1次. (3837). で あ る 。 但 し、 こ こ で 、 Ψ1=Ψ. 、(κ1,ア1,Z1)Ψ. 。(κ、,ア、,・、). Ψ 、 一 Ψ 、(κ2,♪ρ2,Z2)Ψ 。(・、,ン、,・、). (3838) (3839).
(4) 近 畿 大 学 工 学 部研 究 報 告No.45. 152. で あ る 。 Ψ斥,Ψ 蹴は ポ テ ン シ ャ ルFを. 受 け て い る1個. 玲 が2電 子 間 の クー ロン 相 互 作 用 の ポ テ ン シ ャル エ. の 電 子 に 対す る シ ュ レデ ィ ンガ ー 方 程 式 の 解 で あ る。. ネル ギーだ けで ある場合 は交換相 互作 用 」 は常 に正. そ し て 、玲 は2電. に な り、 ε>0で あ る。. 子 の 相 互 作 用 の ポ テ ン シ ャル エ ネ ル. ギ ー で あ っ て 、 そ れ は 座 標(㍉y1,Z1)と(κ2,ア2,22)に. つ. 子 ク ー ロン相 互 作 用 の ポテ ンシ ャル. の外 に 、核 との相 互 作用 に起 因す る1電 子 ポ テ ン シャ. い て 対 称 で あ る。 (3832)式. 他 方 、%が2電. ル を含 む とき に は 、交 換 積 分 」 の 値 は 負 と な る。 総 じ. を も う一 度 書 こ う。. Hニ ー2》. 購. て言 え ぱ 、交 換 相 互 作用 の機 構 に よ っ て 」 は 正 に も負. 一9餌 駆[(3832)式]. に もな る事 が で き る。ε<0の とき 、隣接 原 子 の ス ピ ン (3840) S躍は ス ピ ン 演 算 子 薦[J・s]のz成. 、ニ+1,εノ=‑1〈. の=隣. 接 原 子)で. 方 向 で あ る の で 、 そ れ を念 頭 に. あ れ ば 、 全 系 の ハ イ ゼ ンベ ル グ相 互 作 用 エ ネ ル ギ ー 雪 Σ ⑤場 が 最 も低 くな る.こ れ は 隣 り合 っ た 格 子 点 上 〈 の. 等方 的な相互作用 であ るので 、 〈 の=隣 接 原 子 て 、(3840)式. の 向 き が 反 平 行(3. 向. 省 略 す る 。 仮 定 ① と② よ り 明 ら か に. は 外 部 磁 場H[A/m]の 置 い て 添 字 のzを. 分 で あ る 。z方. とし の ス ピ ン が反 平行 に並 ん で全 体 と して の 系 の 磁 化 が0 とな った 状 態 で あ り反 強 磁 性 に 対 応 して い る。. は. π=‑2」碁 鍋. 一9照 》. (3841). 我 々 は これ か ら ε>0の 強磁 性の 場 合 の み を 考 察 す る。 我 々 は考 察 す る系 が部 分 系 で あ る と して 、 そ れ が. と書 け る・⑤ 諺. な ら翻. の 格子 位 置1ま上 向 き ス. ピン 魯pi・・p)を持 ち ・ ⑤=一 圭 ス ピ ン(・pi・d・wn)を瓶. な らば そ れ は 下 向 き. 我 々は ⑤=± 去 の 圭 を消 す. ために上式 を改 めて. 儀 嬬. 温 度7の. 大 き な外 系 で あ る とこ ろの 熱 浴 に 接 して、熱. 浴 とエ ネ ル ギ ー の 遣 り取 りを しな が ら 温 度7の. 衡 に あ る も の とす る。 こ の とき、 考 察 下 の 系(部 分 系) は 混 合 状 態(mixedstate,nonpurestate)で そ れ は 添 字 ∫で 区別 され る孤 立 部 分 系(第2の. 力 学 系). 粒 子 数(今 の 場 合 は 格 子 点 の 数)N、 体 積Fの. 沢 山 の純. 粋状態べ 外. ルiΦω〉の ・統 計 的 重 み ρ(f)を持 っ た 、イ. ン コ ヒ ー レ ン ト(incoherent)に した 。. で 新 た に 定 義 さ れ た ス ピ ン 変 数5、. ￠=1,2,…,N)は. 改 め て+1又. 取 り 、 ε,=+1な (spinup)、. あ っ て、. ⑤場一曝(3842). の 様 に 書 き 換 え る 。 電 子 で あ る の でg=2と (3842)式. 熱平. は 一1の い ず れ か の 数 値 を. ら ば'番 の 格 子 位 置 は 上 向 き ス ピ ン. そ し て 、 も し も 、3、=‑1な. 下 向 き ス ピ ン(spindown)を. らば そ れ は. 子 統 計力 学 的 に記 述 され る事 とな る。 こ う して 、我 々 の 考 察 下 の 系(部 分 系)は 量 子 統 計 力 学 の 正 準 集 団(カ ノニカル. ア ン サ ン ブ ル)を 構 成 す る 。正 準 集 団 の 量 子. 力 学 的 分 配 関 数(partitionfunction,状 states)Z(7,1V,7)は. 態 和sumover. 次 式 で 定 義 され た 。. 持 つ 事 とな る。. 数 値{∫,}の与 え られ た1組. 重 な っ た 状 態 と して量. 一孟. が全 系 の 配 置 を指 定す る。. z￠N,り=Σ. ・ た・ 「. [(613)式](3845). 紅}に よっ て 指 定 され た配 置 のそ の系 の持 つ エ ネ ル ギ ー は. 系 の エ ネ ル ギ ー が(3843)式 で表 わ され る こ の 正 準集. 、. 砲 ト ・Σ⑤恥 躍 Σ8、. (3843>. 団 の 量 子 力 学 的分 配 関数 は 、 次 の様 で あ る。. 〈 の'. .廻 Σ … Σ ・ ㌔「. z(κ,r)=Σ. で あ る。 但 し 、 こ こ で 、. (3846). 称323〃. 1 ε ≡‑」 2. (3844). と 置 い て い る。. ε>0の. る 。 故 に 、(3846)式. と き 、総 て の 格 子 点 上 で ス ピ ン が 平 行 に 揃 い 、. ⑤=+1ρ=1,2,…,N)な. 互 作 用 エ ネ ル ギ ー 一ε騨. こ こ で 、ス ピ ン 変 数3、 は そ の 各 々 が 独 立 に3、=±1に. らば 全 系 の ハ イ ゼ ンベ ル グ相. が 最 も低 くな る・ こ れ は. の 和 中 に は2N個. の 項 が あ る。分 配. 関数 が得 られ る と系 の熱 力 学 的 諸 関数 が総 て 得 られ る。 ヘ ル ム ホ ル ツ の 自由 エ ネ ル ギ ー との 関係 が 基 本 とな る。 ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由エ ネ ル ギ ー F似7)=%71・9。Z(H,7▼)[(623)式](3847). 自発 磁 化 を持 つ 強 磁 性 に 対 応 して い る。(3837)式 中の. 渡. 内部 エ ネ ル ギー.
(5) 多 体 問 題 とグ リー ン 関数 との 関 係 の研 究 一 グ リ ー ン関 数 と多 体 問 題(22)一. 〈 量 子 統 計 力 学14>. よ っ て 指 定 され た数 値 の1組 σ伽. レげ. 〔∂Io9σZ・ 甘,1▼ ∂7)L. 153. 紅}が 系 の 配 置 を指 定 す. る。そ して、そ の 配 置 の 系 の 持 つ エ ネ ル ギー 値E紅}が (3843)式 で 決 ま る。 しか し、そ れ ぞ れ 独 立 に ⑤=±1の 値 を取 るN個. [(624)式]〈3848). の 数 値 畠,82,…,鼻 の 別 の1組. 紅}も 又. 上 と同 じエ ネ ル ギー 値 を取 る事 が で き る。 そ して 、そ. 圖 音際)〕L [(3847)式. の事 を明 白 にす る た め に 、 我 々 は(3843)式 を も う1っ 別 の 形 で 書 く。. 今 、格子の任意の与 えられた配置 絢}に おいて、. ∂lo9.Z(厚,7). 」V.=上 向 き ス ピ ン の全 数(3857)*. ∂F. r. 脚)畷. の様 な 数 値 の組 ⑱}が 幾 つ も存 在 す る。 即 ち 、 エ ネ ル ギー 値(3843)式 は 一般 的 に縮 退 して い る。 そ して 、 こ. を 使 っ た 。]. ⊃. 圧力. (3849). π.=1V‑1V.=下. とす る。各 々 の格 子 点 に とっ て 、そ の 最 近 接 対 は(←+),. [(625)式](3850) エ ン トロ ピー. ε僻. 向 き ス ピ ン の全 数(3858). ← 一),又 は(ト)の3つ の 型 の 内の1つ で あ る 。 こ こ で(+一)と ←+)は 区別 しな い 。 そ して 、 そ の様 な 対 の. ちT〔∂109.Z(θ',7 瓠)いb翫z似7). そ れ ぞれ の 数 を1V.、,1し,1V. 数 の1V.、,酒L,1V+一. [(626)式. =く禦1. 】(3851). 一で 表 わ す 。 これ 等 の. は 互 い に独 立 で は な い 。 又 、 こ. れ 等 の 数 の1V.、,1V‑一,1V..は1V.と1V. .に も独 立 で は. な い 。 これ 等 の数 の 間 の 関係 は 、 次 の様 に して 見 出す. .. [(2658)式](3852). 事 が で き る。 上 向 き ス ピン を持 っ1個. 定積熱 容量. の特 別 の格 子 位 置 を選 ぶ 。. そ し て 、 それ を総 て の そ の最 近 接 格 子 位 置 へ 結 び 付 け る1本 の線 を 引 く。 全 部 で7本 の線 が 引 か れ る は ず で. 卿 レ〔 禦1. (3853). .. あ る。 次 に 、上 向 き ス ピン を持 つ も う1つ 別 の 格 子 位 置 に 対 して こ の手 続 き を繰 り返 す。 そ して 、 上 向 き ス. 磁化. ピ ン を持 つ 総 て の格 子 位 置 に これ が な され 尽 くす まで 、. 脚 畷 禦}. この 手 続 き を続 け る。 そ の 手続 き が 完成 した と き に は 引 か れ た線 の 総 数 は メV.本 で あ る。 図1に は2次 元 方 形 格 子 レ=4)に 対 して 上 の 手続 き を 実行 した と き得 ら. [(2659)式1(3854). れ る作 図 が 示 され て い る。. 畷 詣㎏響 「)工 [(2661)式](3855). ニナ礁. ⑤〉. (3856). (3857). +2β 〈 薯8>酬. こ こで 、 〈〉は 集 団 平 均 を 、即 ち 縞}の あ りとあ ら ゆ る 組 に つ い て 取 っ た 平 均 を 表 わ して い る。 κ=0の のM(q7)【Wb・mlm3】. 又 は 【Wblm21は. とき. 自発磁 化 で あ. 図1. っ て 、 も しも それ が0で な い な らば 、 そ の 系 は 強磁 性 で あ る。. 引 か れ た 線 の 総 数 の 卿 、は各(榊)対. (3843)式 の 直 ぐ上 で 述 べ た 様 に 、 それ ぞ れ 独 立 に 8ニ ±1の値 を 取 る と こ ろ のN個. の 数 値 畠,32,…,鼻 に. の線 が あ り、 各(+一)対 の 間 に は1本. の 間 に は2本 の線 が あ り、 各. (一一)対の 間 に は線 が ない 、と言 う事 を注 意 す る事 に よ っ て も又 数 え る事 が で き る。 故 に 、 次式 が 成 り立 っ 。.
(6) 近 畿 大 学 工 学 部研 究 報 告No.45. 154. フ 〃+=2ハr+++1ゾ+̲(3859) 次 に 、 我 々 が 上 述 の 議 論 を+と. 一 を互 い に交 換 して. 次 に、Σ 場 の値 を計 算 しょ う.上 向 き ス ピン ⑤=+1 に. 行 っ た と して も、 こ の 関係 は そ の ま ま留 ま る。 故 に 、. の 数 が1V.個. 我 々 は 関係 式 の 次 の一 組 を持 つ 。. 故 に、. 卿+=21V+++1V。. 、下 向 き ス ピ ン ⑤=‑1の. 一[(3859)式](3860) Σ 畠 零1・ 万.+←1)・. 姻̲=21V̲̲+ハ1+̲(3861>. =:1ゾ+一 ハ「̲(3870) =21ゾ+‑N(3871). の 関係 式 よ り、我 々 は 直 ち に 次式 を持 つ 。 2V+ 一=メV.‑2ハ1+、. (3863). ハ1=ハr‑1v ‑十. (3864). N=工. π 2噂2+一. 丼 一(3869). '謬1. ハr++1ザ̲=ムr(3862) こ の1組. 数 が1史 個 で あ る 。. [(3862)式 で あ る。 (3868)式. 一三N. を 利 用 し た 。]. と(3871)式. を(3843)式. へ 代 入 して 、 次 式 を. 得 る。. =髪 箇)一. 圭帆. 躍髪万+凡. 一2凡). 一成. 砲}=一 ・蕩 鍋 。躍 琴 旦. 一軌. (3865). 共 中 で 我 々 は5個. 鋤. 伽) 一〔 圭鐸一坤. を消 去 す る事 が で き る。. 初 めに・ 評 接原子. 一蝋+2侮. の 変 数1V+ノV .,1V..ノV,.,1V.,の 内 か ら. 万. .,1V.,1V̲の3個. 一2以+髪 吻. 〔. そ して 、 これ 等 の 関係 式 を用 い て 、 これ か ら以後 の 式. [(3843)式](3872). (3873). の値 を計算 しょう・但 し・ 〈 の鱗. であった。. =雄. .,万..)(3874) こ う して 、系 の 配置{$}は 万 の 数 値 に 依 存 す る け れ ど も、状 態 の エ ネ ル ギーE縞}=E@.,1V..)は2個. の 変数. 万.と1V.、 の数 値 の み に依 存 す る 。 ←+)の. 対 に 由 来 す る ⑤ 動 の 値 は 、5潮=(←1)×(+1)=1. ← 一)の 対 に 由 来 す る 廟 窮 の 値 は 、畠3ノ零←1)x←1)=1. 分 配 関数(正 準 集 団 の 量 子 力 学 的分 配 関 数)Z佃,7) [(3846)式]は. 又 、次 の 様 に 書 か れ る 事 が で き る 。(3847). 式 と(3846)式. よ り、 1. ← → の 対 に 由 来す る 畠動 の 値 は 、. z似7)=評. 対 の 数 は1V..本. =Σ Σ …Σ ・ 鳶'. で あ る 。 ← 一)の 対 の. の 剛 簡. ラ. 追. 奴 碑. 侮 穆 軸 脚. モ橘. (3878) へ. 4. ‑篭. Σ 馬. 碑 晩. (3879). 餌 匪 ⊥械. ♂ ・Σ 脚 勾. ーナ2. 穫. (3867). ⊥擢 詔. 一2成+勤. 箆. 一双 〕一帆 一2凡). (3877). ノ ・ Σ 脚 ラ卵. ⊥解. 38. 一4凡. C‑一2. 万+一を 消 去 す る 。 計 算 は 次 の 様 に 続 く。. 一凡+〔 髪肌. 8. を 代 入 し て1V..と. ー爾. と(3865)式. =. で あ る 。 これ へ(3863)式. Σ 馬 ・ Σ 脚. 凡+1・ 疋+←1)・ 凡. =ハ 疋 +++万̲̲‑1ゾ+̲(3866). 鰍. =. に 、. 17 e. で あ る 。 ひ 一)の 対 の 数 は1V. 一本 で あ る 。 故. 蕩 鍋=1×. [(3846)式](3876). s重323κ. Σ 馬 〃 Σ 脚. 数 は1V̲本. [(3847)式](3875). 」墾. 畠ξ 臨(÷1)x←1)=‑1 そ し て 、 ひ+)の. 卿). ユ. Σ ・9《 亙.ノ覧.ジ 彫 喝 ハ1軸. 故 に 、 我 々 は 結 局 、 次 式 を得 た。. (3880). 幕鍋=凡+疋 =4凡. 一凡 一2威+勤. こ こ で 、g(込1.ノV++)は 値(犀 、,1V..)の1つ. (3868). 組 を 持 っ と こ ろ の 配 置 絢}の 数 で あ る.和. の 与 え られ た Σ'は. 丼 個.
(7) 多 体 問 題 と グ リー ン 関数 との 関 係 の研 究 一 グ リ ー ン関 数 と多 体 問 題(22)一. の ス ピン が 有 り、 そ の 内 のN.個. 155. が 上 向 き ス ピン で あ. る 事 実 と 両 立 す る と こ ろ の(++)対. の 数1V..の. 値 に 渡 っ て 広 が っ て い る 。g(IV.,1V++)は あ る の で 、(3880)式. 〈 量 子 統 計 力 学14>. ベ ト撫 騨 一. 総 ての. 複雑 な関数で. は 実 際 の 計 算 に 対 し て(3846)式. か. を持 っ 、2体 ポ テ ン シ ャ ル ・1鴨一ち1の 相 互 作 用 をす る. ら期 待 され る ほ ど単 純 で は な い 。 気 体 の 、 ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー と 等 価 で あ る。 今 、 §48イ. ジ ン グ模 型 の 他 の 模型 共 に 対 す る等 価 性. こ の 節(§)の Mechanics"の. N=格. 議 論 は 、KHuang著"Statistical 第1版(旧. 版)と 第2版(新. 版)と. 子 点(格 子 位 置)の 全 数. ⊃1、=原 子 共 の 全 数(3882) の負 う. N。、=原 子 共 の 最 近 接 対 の 全 数 と す る 。添 字 α はatomを. 所 が多い。 EIsing(Z。Phys.31253(1925))に. よ って導入 さ. 表 わ す 。格 子 気 体 の 全 エ ネ ル. ギー は E。=一 ε。 凡 、(3883). れ た と こ ろの 、 自然 界 の 強磁 性 物 質 中の 磁 区構 造 を 真 似 る(シ ミ ュ レ ー トす る)た め の 粗 い 試 み で あ る イ ジ ン. で あ る 。 添 字Gはgasを. グ(Ising)模. の 量 子 力 学 的 分 配 関 数)Z、(1V4,7)は. 型 は 、そ の 名 称 を 変 え る 事 に よ っ て 強 磁 性. 表 わ す 。 分 配 関 数(正 準 集 団 次 の様 で あ る。. 以 外 の 系 共 を 真 似 る(シ ミ ュ レー トす る)様 に す る 事 が で き る 。 格 子 気 体 と2元. 礁r瑞. 合 金 が こ れ 等 の 内 に 入 る。. 》景. (3884). α. 格 子 気 体(LatticeGas). 一詣 】 ψ 眺. 最 初 に格 子 気 体 を議 論 す る。 格 子 気 体 とは そ れ を 構 成 す る 原 子 共 の位 置 が 離 散 的値 の み を取 る事 が で き る 様 な そ う言 う原 子 共 の 集 合 で あ る。 そ して 、 これ 等 の 離 散 的値 は 空 間 に幾 何 学 的 格 子 を作 っ てお り、 各格 子. (3885). α. で ある。 ここで、和 牙. はN個. の 格 子 点 共 に渡 っ て. 点 は い ず れ も皆 γ個 の 最 近 接 格 子 点 を持 っ て い る。 そ. N、 個 の識 別 可 能 な 原 子 共(古 典 的 粒 子 共)を 配 置 す る. して 、 各 々 の 格 子 点(格 子 位 置)は1個. 総 て の仕 方 に渡 っ て 和 を取 る事 を意 味 して い る。 式 に. の 原 子 に よっ て. 占 め られ て い るか 、 も し くは 空位 で あ る。 図2に2次 元 格 子 気 体 の 或 る1つ の 配 置 が 示 され て い る。 黒 丸 は. ⊥ が掛 か っ て い るの は 、系 の原 子 共(粒 子 共)は 本 来 ハ「 。1. 原 子 共 を表 わ し、 白丸 は 空 格 子位 置 を表 わ して い る。. 量 子 力 学 的 で あ っ て 、 そ れ は本 質 的 に識 別 不 可 能 で あ っ て系 の粒 子 の交 換 は 波 動 関 数 の符 号 に影 響 して も、 そ の 系 の新 しい状 態 を何 も 生 じな い。 古 典 的 に は識 別. OO●O. 可 能 な粒 子 共 の 並 べ 替 え(順 列 の組 合 せ)の 数 がN、!個 あ る の で 、 量 子 力 学 的 に識 別 不 可 能 な1V、個 の粒 子 か. O● ●. ●O ●O●. ら成 る 系 に つ い て は ハr ⊥ 培 して お か な け れ ば 正 しい 。! 微 視 的 状 態 を数 え た 事 に は な らな い か らで あ る。 この 当 りの議 論 に っ い て は 以 前 の節 「§16ギ. ブスのパ ラ. ド ッ ク ス 」 「正 し い ボ ル ツ マ ン 係 数 法correct. o●oo. Boltzmanncounting」. を参 照 す る と 良い 。. も し も格 子 の 単 位 胞 の 体 積 が1と 選 ば れ る な らば 図2. Nは. そ の 系 の 体 積7で. あ る。 故 に、'. F=2V(3886) 我 々 は 今 、 原 子 の 持 っ 運 動 エ ネ ル ギ ー を無 視 す る。 そ. 量 子 統 計 力 学 の 大 正 準集 団(グ ラ ン ドカ ノニ カル. して 、 最 近 接 原 子 対 に対 す る相 互 作 用 エ ネ ル ギ ー が 定. ア ンサ ン ブ ル)の 議 論 は 以 前 の節(§)10で. 数 の 一ε。で あ る と仮 定 す る。 この 様 に仮 定す る と、 考. る 。考 察 して い る系 は 一 定 温 度7を. な され て い. え て い る 系 の ポ テ ン シ ャル エ ネ ル ギー は 、 系 中 の 原 子. つ粒 子源 で もあ る外 界 と接 触 し、エ ネ ル ギー と粒 子 を. 共 が格 子 点 上 にの み 位 置 し、 次 の 値. 交 換 しな が ら外 界 と熱 平 衡 状 態 に あ る も の とす る。 こ. 持 つ 熱 浴 で あ り且. う して 、 考 察 して い る 系 で は外 界 とのエ ネ ル ギー と粒 子 数 の 授 受 に よ っ て 、粒 子 数 が或 る平 衡状 態 の ま わ り.
(8) 近 畿 大 学 工 学 部研 究 報 告No.45. 156. で揺 らい で い る。節(§)10で. の議 論 は粒 子種 が 多種 類. 配 関 数Zσ(2v。,7)は. 在 る場 合 で あ った 。 今 、 こ こ で は 、我 々 の議 論 は粒 子. 礁 の=詣》 艶. 種 が1種 類 の揚 合 を考 察 してい る。大 分 配 関数(量 子 統 計 力 学 の 大 正 準 集 団 の 大 分 配 関 数)Eσ(z,1V,7)は 分 配. 曜 ⊥解. 曾. 朴. 帆,7). ". 曹 9. の. 冨。(姻,7)=Σ2凡z。. ン. @. を 利 用 して 、 次 の 様 で あ る 。. Σ 賑. 関 数(3885)式. [(3885)式](3894). 4. (3895). ハ「 σ=0. [(1573>式. 、(1903)式](3887). こ こ で 、 関 数g(欲,ハ ⇔. と和 Σ ゜は(3880)式 に現 れ た. 系 の 状 態 方 程 式 は 、 既 出 の 次 式 に よ っ て 与 え られ る 。. 〃++. も の と 同 一 で あ る 。 大 分 配 関 数EG(z,.2V,7)は. 器1・ 鵠@7). る。. 甲 ⊥解. 粁. (3896). [最初 の 等 号 ←)に つ い て は(3892)式 参 照]. (3890). (3896)式 と(3880)式 を比 較 しょ う。 そ の とき 、 次 の 対 応 表 を 得 る。 そ れ 故 に、 イ ジ ン グ模 型 の 解 は 直 ち に 格 子 気 体 の 解 で あ るべ く書 き替 え られ る事 が で き る。. で あ る。 故 に、 ll2V2V. ロ. 対応表. (3891). ム. v77ハ 2vα. 弄. イ ジ ン グ模 型. 格 子 気 体. ハ1+←. 系 の状 態 方 程 式 は 、 次 の 様 に も書 け る。. (3892). ・ ←〉. ハ「‑2v. ⇔. εo. 対 応 さ せ 、空 の 位 置 を 下 向 き ス. 一1に 対 応 させ る 。 こ の と き に はN 、砂1V.の. の 数 の1組. 餐1,ε2,…,5.}は1つ の 配 置 を一 義 的 に 定 義 す る。他 方 、. z. 台. 曾. 1 一V. の 対 応 を確 立 し ょ う。 そ し て 、 そ の 為 に 、 格. 台. ⊃ 卵 ー. 輌. 消 去 す る と真. 鳶'. 曇矩. (3893). イ ジ ン グ 模 型(Ising. 対 応 に な る 。 イ ジ ン グ 模 型 で はN個. α. 2・⊥(岬 一鋤. 子 点(格 子 位 置)の 内 、 原 子 に よ っ て 占拠 さ れ た 位 置 を 上 向 き ス ピ ン51=+1に. ハr、. 4ε. θ. の 状 態 方 程 式 が 得 られ る。 格 子 気 体(LatticeGas)と. 〉. ハ「 一. Fア 気 C. 樽:留. 上 式 か ら フ ユ ー ガ サ テ ィ(fugacity)2を. ピ ン3声. ン. 、(1924)式](3889). 当 りの 体 積(比 体 積)vは. 7 ソニニ ハz σ. ModeDと. り. [(1923)式 で あ る 。 粒 子1個. 9. 凡=・ ￡1・翫E・@の. Σ賑 必. ・・Σ 姻. !. ト. 冒℃ =. 仏. 、(1918)式](3888). 鴨. 、(1570)式. ⊥︒ ・. [(1114)式. 次式であ. 以 下 の 文 章 は 、K.Huang著"Statistical Mechanics"第2版(新. 版)のp346の. 直 訳 で あ る。. 格 子 気 体 は 天 然 に あ る如 何 な る実 際 の 系 とも直 接 関 係 しな い 。 しか しな が ら、 我 々 が 格 子 定 数 が0に 近 づ く事 を許 し、 そ して 、 次 に 、得 られ た 状 態 方 程 式 へ 理 想 気 体 の 圧 力 を加 え る な らば 、 そ の 模型 は0距 離 ポテ ン シ ャル を通 して互 い に相 互 作 用 して い る原 子 共 の実. 格 子 気 体 にお い て は 或 る1つ の 占拠 され た位 置 共 の組 の枚 挙 は1つ の配 置 を決 定 す るの で は な くて 、1V "!個. 在気 体 に 対 応 す る。 こ う して、 格 子 気 体 の 相 転 移 を研. の 配置 を決 定す る。 これ は識 別 可能 な 原 子 共 が位 置 か. 格 子 気 体 は又 、結 晶 の融 解 に対 す る1つ の 模 型 と し. 究 す る事 は 興 味 あ る事 か も しれ な い。. ら位 置 へ と動 く事 が で き る と想 像 され 、 そ の 為 に 生ず. て使 わ れ て 来 た。 しか しな が ら、格 子 模 型 が そ の様 に. る識 別 可 能 な 原子 共 の 並 べ 替 え(順 列 の組 合 せ)の 数 が. 使 わ れ る とき 、格 子 定数 は有 限 に保 た れ な けれ ば な ら. み1。1個 あ るか らで あ る。 しか しな が ら、配 置 の 数 の こ. な い 。 結 晶 格 子 中 の原 子 共 の運 動 エ ネ ル ギー は多 少 当. の違いは⊥. 面 の 問 題 に 限 る仕 方 で付 加 され る。 しか しな が ら、 そ. を 乗 じた 「正 し い ボ ル ツ マ ン 計 数 法. ハ「。1. の様 な 模 型 は数 学 的 興 味 が あ る だ け で あ る。 何 故 な ら. (correctBoltzmanncounting)」(§10ギ ド ッ ク ス 参 照)の. ブ ス の パ ラ. 採 用 に よ っ て 取 り 除 か れ る 。 故 に 、分. ば 、 そ の 模 型 が融 解 を記 述 す る事 が 明瞭 で な い か らで あ る。.
(9) 多 体 問 題 と グ リー ン 関数 との 関 係 の研 究 一 グ リ ー ン関 数 と多 体 問 題(22)一. 2元 合 金(BinaryAlloy). 面 の1組. 2元 合 金 に対 す る模 型 を 導 入 す る前 に 、 代 表 的2元 合 金 で あ る黄 銅(brass)を 眺 め てみ よ う。黄 銅 は 真鍮 と も呼 ば れ銅(Cu)と 亜 鉛(Zn)の 合 金 で あ る。 亜鉛 の濃 度. 〈 量 子 統 計 力 学14>. 157. のみ が あ るか らで あ る。 温 度 が 臨 界 温 度 の 高. 低 両 側 か ら臨 界 温 度 へ と近 付 く とき 、 結 晶 の 定 圧 比 熱 Opが 無 限 大 に 近 づ く事 が 実験 的 に観 測 され る。 次 に 、2元 合 金 に 対す る模 型 を 考 察 す る 。1と2で. が45%の 範 囲 で使 われ るが 、亜鉛 の 濃 度 が35%ま で は 面. 区 別 され る2種 類 の 原 子 共 が あ る。1の. 心 立 方構 造 の α 相 黄 銅(α 一brass)、亜鉛 の 濃 度 が45%. が1VI個 、2の 種 類 の 原 子 共 が1V2個 あ る。 そ れ ぞ れ の. で は 体 心 立 方構 造 の β 相 黄 銅(β 一brass)、中間 の 亜鉛. 原 子 は 各 々1つ の 与 え られ た格 子 の格 子 位 置(格 子 点). の濃 度 が40%で は α+β 黄 銅((α+β)‑brass)で. 上 に1個. あ る。. のみ 固 定 され て お り、 い ず れ の 原 子 も格 子 位. 工 業 的 に最 も広 く用 い られ る の は α 黄 銅 で 、加 工性 に. 置 上 の7個. 富 ん で い る 。α+β. 黄銅 は α 黄銅 よ りも硬 く、鋳 物 、. 格 子 位 置(格 子 点)の 全数Nは. 板 、棒 材 と して使 用 され る。以上 は 「 岩 波 理 化 学 辞 典(第. π ・=1V'1+ハr2(3897). 4版)」 か らの抜 粋 で あ る。. 種 類の原子 共. の最 近接 原 子 共 を持 っ て い る も の とす る。 、. で あ る。 最 近 接 対 に は3つ の 型 が あ る。(11)と(22)と 02)で あ る。 但 し、 対 血2)と対(21)は 区 別 を しな い 。 系 が 、 今 、或 る配 置 を して い る もの とす る。 そ の 配 置 は 最 近 接 対 の 各 々 の型 の数 が 、そ れ ぞ れ 瓦 、、N22、 N12で あ る と こ ろ の そ の様 な もの で あ っ た とす る 。 原 子 共 の 運 動 エ ネル ギ ー は無 視 す る。 又 、 第2近. 接原子. 間 、 第3近 接 原 子 間 、 等 々 、及 び3体 原 子 間相 互 作 用 等 の 相 互 作 用 は 無視 す る。 そ して 、 我 々 は 最 近 接 原 子 間2体 相 互 作 用 の み を考 え る。 この と き、 こ の 系 の エ ネ ル ギ ー は 次 の様 で あ る。 E。(π1、,1V22,1V、2)一 ・、N11+ε、N22+ε1、N12(3898) ハ㌃1,1v22/v】2が決 ま っ て も 系 の 配 置 は 一 義 的 に 決 ま ら. ○‑Zn. な い の で 、 系 の エ ネ ル ギ ー 馬 は 一 般 的 に 明 ら か に縮. ●=Cu. 退 し て い る 。 添 字 オ は 合 金(Alloy)を. 図3. 表 わす 。 数 値. 瓦1,1V22,1V12は 互 い に 独 立 で は な い 。(3860)式[(3859) 式]と(3861)式. 図3は 完 全 に秩 序 だ っ た 状 態 に あ る β 相 黄銅. と(3862)式. を導 き 出 した と き と 同様 に. 考 え る 事 が で き る 。 即 ち 、 原 子 種1の. 原 子 の1個. の特. (β一brass)の 格 子 の 単位 胞 を示 して い る。 こ の様 に秩. 別 の 格 子 位 置 を 選 ぶ 。 そ して 、 そ れ を 総 て の そ の 最 近. 序 だ った 状 態 は絶 対OKに. 接 格 子 位 置 上 の 原 子 へ 結 び 付 け る1本. の 白丸 はZn原. お い て の み 存 在 す る。 図 中. 子 を 表 わ し、黒 丸 はCu原 子 を表 わ して. い る。. の 原 子 の も う1つ. β 黄 銅 の 温 度 が絶 対OKか つ か のZn原. ら上 昇 す る にっ れ て 、幾. の 線 を 引 く。 全. 部 で γ 本 の 線 が 引 か れ る は ず で あ る 。 次 に 、 原 子 種1 別 の 格 子位 置 上 に あ る も の を 選 び こ. の 手 続 き を 繰 り返 す 。 そ し て 、 原 子 種1の. 総 ての原子. 子 共 はCu原 子 共 とそ の 位 置 を交 換 す る。. 共 の 格 子 位 置 に つ い て これ が な され 尽 くす ま で 、 この. しか し、本 来在 るべ き 「正 しい 」位 置 にZn原 子 を見 出. 手 続 き を 続 け る 。 こ の 手 続 き が 完 成 した と き に は 引 か れ た 線 の 総 数 は 四,本 で あ る 。. す 確 率 は ユ よ りも大 き い。 しか し、臨 界 温度 が あ って 、 2 742Kの. 臨界 温 度 よ り上 で はZn原 子 とCu原 子 は完 全 に. 混 ざ り合 う。 こ う して 、 「 正 しい」 位 置 にZn原 子 を見 出す 確 率 は 厳 密 に1に 2. な る 。 この(秩 序 一 無 秩 序)相 転. 移 は β 黄 銅 結 晶 か らの 、X線. 引 か れ た線 の 総 数 の 凧 線 が 有 り、各02)対. は 各 ￠1)対 の 間 に は2本. の 間 に は1本. の. の 線 が あ り 、各(22)対. の 間 に は 線 が な い 、 と 言 う事 を 注 意 す る 事 に よ っ て も 又 数 え る 事 が き る 。 故 に 、 次 式 が 成 り立 っ 。 ガV=2ハ111+.ハ 「12(3899). の ブ ラ ック反 射(Bragg. 次 に 、 我 々 が 上 述 の 議 論 を1と2を. 互 い に交 換 して 行. reflection)を 通 して 実 験 的 に発 見 す る事 が で き る。秩. っ た と し て も 、こ の 関 係 は そ の ま ま 留 ま る 。故 に 、我 々. 序 だ っ た 状 態 にお い て はX線 反 射 は 間 隔4を 持 つ 原 子. は 関 係 式 の 次 の 一 組 を持 つ 。. 面 の2組 が あ る事 を明 らか に す る。 他 方 、 完 全 に混 じ り合 っ た 無 秩 序 状 態 に お い て は 間 隔 亘 を 持 っ た 原 子 2. 烈1=21V11+瓦2[(3899)式](3900) フ ハr2=2ハr22+ハr12(3901).
(10) 近 畿 大 学 工 学 部研 究 報 告No.45. 158. Mechanics"の. 私+1V2=1V[(3897)式](3902) そ して 、 こ れ よ り直 ち に 我 々 は 次 式 を 得 る 。. 嵩去四+塩. 版)と 第2版(新. 以 前 の 節(§47)中. の(3843)式. E{ミ}=一 εΣ 鍋. 一以(39・4). を も う一 度 書 こ う。. 一躍 Σ ⑤. 〈 の'. 次 に 、 こ の 式 を エ ネ ル ギ ー の 式 の(3898)式. へ代入 しょ. う。. [(3843)式](3907) 我 々 は イ ジ ン グ 模 型(Isingmodel)を. ろ幅. 紛 一職+弔. 隅. 学騨. 例 妬+{7幅. 地+糾 (3905). 故 に 、 エ ネ ル ギ ーE濯(κ11,1V22,1V12)は1個. の 変 数1V1,に. あ る 。3,('=1,2,…. っ て+1又. 」)は. は 一1を 取 る 。 そ し て 、3汗+1な. の 格 子 位 置 は 上 向 き ス ピ ン(spinup)、. え られ た1組. (3906) の原 子 種 の原 子 数 で あ る。対01)の. 数 瓦1は 配 置 に よ っ て決 ま る数 値 で あ る。括 弧 共0と. ス ピ ン変 数 で あ ら ば'番. 目. も し も 、5,=‑1. 持つ。 〈 のは. が 全 系 の 配 置 を 指 定 す る 。(3907)式. [(3843>式]は 或 る 紅}に よ っ て指 定 され た 配 置 の そ の 系 の 持 つ エ ネ ル ギ ー で あ る。 Hニ0の. 外 部 磁 場 が な い と き を考 え る 。 この ときイ. ジ ン グ模 型 の エ ネ ル ギー の(3907)式 は 次 の 様 に な る。. {}中 の 数 値 は定 数 で あ る。 2種 類 の 原 子 種1と2か. 2溺. [Wb・m]で. 隣 接 原 子 間 の み を考 慮 す る もの とす る。 数 値{ミ}の 与. 一鵡 炉}. と書 け る。万 は2元 合 金 の2種 類 の 原 子 の総 原 子 数 で あ り、1V,は 第1種. 位 の ボ ー ア磁 子 で あ っ て 、 β一角(嶺. な らば そ れ は 下 向 き ス ピ ン(spindom)を. の み 依 存 す る。 故 に系 の エ ネ ル ギ ー は 、. 鴫 レ幅%瓦+{7魁. 考 察 してい る。β. は 電 子 の 軌 道 運 動 に 由 来 す る 磁 気 モ ー メ ン トの 量 子 力. 一以). +・1、(ガV「21㌦). =幅. 版)と に 負 う所. が 多 い。. ハr12=烈1‑2ハrH(3093). ㌔. 第1版(旧. E{ミ}=一. ら成 る2元 合 金 と前 述 の原. 、'(3908). 〈 〃〉. 子(atom)が 占拠 した 格 子 位 置 と空位 の 格 子 位 置 か ら成 る格 子 気 体 との 間 の対 応 関係 は 、2元 合 金 の1の 種 類 の 原 子 共 の数 瓦 と格 子 気 体 の 格 子 位 置 を 占 め る原 子. εΣS∫. 但 し、. 〈 の=隣. 接 原 子 のみ 。. こ こで 、 我 々 は系 の総 て の ス ピ ン共 を一 斉 に8̀→‑5」. 共 の全 数1V、を 同一(醜 ⇔1v、)と 看 倣 す 事 に よ っ て 確. の様 に符 号 を逆 に して み よ う。 こ の とき、 全 系 のエ ネ. 立 さ れ る 。 そ し て 、 そ れ は 又 、(3896>式. ル ギー は不 変 で あ る。 即 ち、. の直 ぐ下 に 記. し た イ ジ ン グ 模 型 と の 対 応 表1V、 ⇔ ・1V、 に よ り 、上 向 き ス ピ ン の 全 数1V.と (3906)式. 同 一 と され る 。. と(3896)式. 礁}=E← で あ る。H=0の. 中 の幕 の 比 較 は次 表 の対 応 に導. く。. 3声+1を. ⑤}(3909) 場 合 、'番 目の格 子 位 置 上 の ス ピン が. 取 る確 率 も3汗 一1を取 る確 率 も同 等 で あ る。. (3856)式 を も う一度 書 こ う。 対応表. M卿. 2元 合 金. 格子気 体 格 子 位 置 占拠 原 子 全 数 2v、. 第1種. ←》. 格 子 位 置 空 位 の全 数. 第2種. ハr‑2v、. 原子全 数 瓦. 括 弧 の 〈〉は 集 団 平 均(ensembleaverage)を. ⇔ ・1v2=1v‑1v1. い る 。 即 ち 、 総 て の 組{3、}に つ い て の 平 均 を 表 わ し て. 第1種. エ ネ ル ギー. 子 相 互 作 用 エ ネ ル ギー 0. Helmholtzfreeenergy〈. 〈→・ →・. 表 わ して. 原子全 数. 最近接原子対相 互作用. 一ε. レか2β〈 Σ畠 [(3856)式](3910) '翼1〉. 原 子 と 第2種. ε1+ε2‑2ε12. い る 。 こ う して 、 あ ら ゆ る ス ピ ン の 配 置 紅}共. の 寄与. は ←5}}の 寄 与 に よ っ て 打 ち 消 さ れ る 。 故 に 、(3910) 式 に よ る 集 団 平 均 と し て の 磁 化M(π=0,7▼)は. 常 に0. である。. Helmholtzfreeenergy. +{γ 魁 ゆ1構. 原. 尋. そ して 、上 述 の議 論 の 数 学 的 正 し さは反 論 で き な い。 しか し、 我 々 は そ れ が現 実 の 自然 界 に於 い て は 悪 い答 え で あ る事 を知 っ て い る。 何 故 な らば、 自然 界 に は 天. §49自. 発 磁 化(1次. 元 に お け る 自 発 磁 化 の 不 在). こ の 節(§)の 議 論 は 、K.Huang著"Statistical. 然 に強 磁 性 磁 石 が あ る か らで あ る。そ して 、これ は 「系 の 対 称 性 の 自発 的 破 れ 」 に 起 因す る 自発磁 化 の 発 現 を.
(11) 多 体 問 題 と グ リー ン 関数 との 関 係 の研 究 一 グ リ ー ン関 数 と多 体 問 題(22)一. 示 唆 してい る。. く 量 子 統 計 力 学14>. 159. で、 3=0(3913). 自発 的 対 称 性 の破 れ の場 合 で あ る と こ ろ の 自発 磁 化 を計 算 す るた めの 正 しい方 法 は 、 任 意 に決 め た小 さ な. で あ る。 故 に 、 系 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー. 地 場Hの. 罵=E‑Z∫. 存 在 下 で(3910)式 の 熱 力 学 的 極 限(グ → 。 。). を取 り、次 に、H→0と. す る事 で あ る。. は、. 罵=一(N‑1》(3914) で あ る 。 罵 の 添 字 の0は. 噸'髪. 乃・ θ解. 藷}剛. 我 々 が これ か ら考 察 す る予 定 で あ るイ ジ ン グ模 型 で は、 自発 磁 化 の存 在 が 、 系 が1次 元 で あ る か 、2次 元. 次 に 、 図4(b)を. 磁 壁 が な い事 を表 わ して い る。. 眺 め よ う。 これ は 上 述 の ス ピ ン 配 置. に 対 し て 、 今 、 或 る 位 置 を 境 に そ れ よ り右 に あ る 総 て の ス ピ ン 共 を 素 早 く 反 転(3」=+1→3f=‑1)さ に よ っ て そ こに. 「 磁 壁 」 を 作 っ た も の で あ る。 こ の と. き 、 全 系 の エ ネ ル ギ ー は(3908)式. で あ る か 、3次 元 で あ るか 、 の 次 元 に依 存 す る事 を示. E㌍. せ る事. によって、. 、}=一(遅 一2》+・(3915) =一(N‑1》+2・(3916). す。. で あ る 。 系 の エ ン ト ロ ピ ー3=たBlqg,rは の にN‑1通. ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑. ア=0. で あ る 。 故 に、 エ ン トロ ピー は 3=ん. 。1・9,(κ 一1)(3917). で あ る。 故 に、1個 の磁 壁 の創 生 と結 び 付 い た 全 系 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 自由 エ ネ ル ギーF=E‑Z∫ は. 図4(a). E=一(N‑1》+2・. モ Eの. ↑↑↑1↓ ↓↓↓↓↓↓し. ア=1. 磁 壁 を置 く. りの 選 び 方 が あ る の で 、状 態 数 はr=N‑1. 添 字 の1は. こ う して 、1個. で あ る 事 を表 わ して い る 。. の 磁 壁 を 創 生 した 事 に よ る 系 の ヘ ル ム. ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー の 変 化 △召=月. }. 岨=E一. 図4(b). 一た。71・9,(1V‑1)(3918>. 磁 壁 が1個. 瑞=2・. 一瑞 は. 一ん。71・9,(1v‑1)(3919). で あ る 。 有 限 温 度7'>0で. 、1次. 元 結 晶 が 十 分 に大 き. い と き(ハr→ 。。) 129. △E<0(3920). 11. とな り、 全 系 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー は 低 下. ↑↑鵬 ↑↑↑↑↑↑. ア=2. 1. 次 に 、 図4(c)を. 眺 め よ う。 こ れ は 磁 壁 が2個. 常 に 新 た に 創 生 した 磁 壁 よ り も右 に あ る 総 て の ス ピ ン 共 を素 早 く反 転 させ る もの とす る。 以 下磁 壁 の挿 入 は. 職 ↑↑↑↑↑↑↑↑ 監. こ の 規 則 で 行 う も の とす る。 全 系 の エ ネ ル ギ ー は (3908)式. に よって、. 確,ト(N‑3》+2・(3921) 富 一(解1》+4・(3922). 図4(c). で あ る 。 全 系 の エ ン ト ロ ピ ー ∫=ん βlog,rは. 初 め に、1次 元 系 で は 自発磁 化 は存 在 しな い事 を示 そ う。 図4(a)は. あ る場. 合 の 図 で あ る。 こ の とき 、 ど こに磁 壁 を創 生 し ょ うと. ぞ 畜 7=2. す る。. くのに 幽. 磁壁 を置. 通 りの選び方 があるので、状態数. 2. 総 て の ス ピ ン が 上 向 き8f=+1 はr=伽)瞬)と. ￠=1,2,…,1V)に. 整 列 して い る図 で あ る。 全 系 の エ ネ ル. ギ ー は(3908)式. に 従 っ て 絶 対 極 小 で あ る。 そ して 、 そ. の エ ネ ル ギー は 、 砲=+1ト(κ. 一1》(3912). で あ る 。 次 に 、 系 の エ ン ト ロ ピ ー3=㌔log,rは. その. エ ネ ル ギ ー に お け る そ の 系 の 状 態 数 がr=1で. あ るの. 3蜘. 2. な る.故. 伽. に 、 エ ン ト。 ピ̲は. 聖 一2)(3923). で あ る。 故 に 、2個 の 磁 壁 の創 生 と結 び 付 い た 全 系 の ヘ ル ム ホル ツ の 自 由エ ネ ル ギ ー 鑑=E‑∬ は.
(12) 近 畿 大 学 工 学 部研 究 報 告No.45. 160. ヘ ル ム ホ ル ツ の 自由 エ ネ ル ギー 罵=E‑∬. 鑑=一伽. 擁. 蜘. 脇伽. は. 聖 一2)(3924). とな る。場 の 添 字 の2は 磁 壁 力弐2個 で あ る事 を表 わ し. 軸. 一1》 伽. 鋼. 艦"繰(3938). て い る。 こ う して 、2個 の磁 壁 を創 生 した 事 に よ る 全. とな る。 罵 の 添字 の アは磁 壁 が7個 で あ る事 を表 わ し. 系 のヘル ムホル ツ の 自由エネ ル ギー の変 化. て い る。 こ う して 、7個 の磁 壁 を創 生 した事 に よ る全. △尾=罵. 系 のヘ ル ムホル ツ の 自由エ ネル ギー の変化. 一罵 は. 榊. 仙. 翫伽. ::28一 たβrlqg. 照=君. 聖 鱒2)(3924)・. 岨 蝋. 、(ハr‑1). +2ε 一」 ヒ β7109,(ハ1‑2)+ゐB7▼ ㎏,2(3925) =△E+2ε. 一1を βTlo9. 鵠. く胡. で あ る 。(3939)式. ￠(ハ τ 一2)+1ヒう7豆09￠2(3926). で あ る 。 再 び 、 結 晶 が 有 限 温 度7>0で1次 十 分 に 大 き い と き@→. 一1もは. 元結 晶が. れ 、7=2な. 刀艦 茄 で ア=1な. ら ば(3924)式. 砦)(3939>. ら ば(3919>式. の 鵠. の 胡. が得 ら. が得 られ る の は も ち ろ. ん で あ る 。 そ して 、 も ち ろ ん △尾 く△E<0[(3927)式1(3940). 。 。)に は 、. く0(3927). 又 、(3938)式. 又 は、. よ りNが. 十 分 大 き い と き@→. 。 。). 尾 くE<罵[(3928)式](3941) 1込くE<1も(3928). と な り 、 磁 壁 が1個. で あ る 。 しか し 、 我 々 は ア=1V一 董を 代 入 し た と き に は. の と き よ り も2個. 取 っ た 組 を η個 の も の の7組. 合 せ と言 い 、 そ の 数 を表. す の に 記 号 。C.を 用 い る と 、 そ の 数 は. 4. ン. 稔. ↓. 篇 =. (3931). 。C。㍉Co=1. @. 鞠. (3930). を 眺 め て 比較 し. コ 式 の 91 ⑬ 紅. て も、. 轄哺. η!. で あ っ て、 全 系 のヘ ル ム ホル ツの 自 由エ ネ ル ギー は増. レ衿 恥 ↓4 革姻 継 く. ;桐. 昭v̲1>0(3943). 加 し て い る 。 或 い は 又 、 直 接(3938)式. (3929). 閣1聖≡≡ll禦+'). とな り、. 罵 瑠. 君=雄. △1㍉̲1=2(1V‑1)ε(3942). の とき の方 が 全. 系 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー が よ り低 く な る 。 一 般 的 に考 え よ う 。 η 個 の 異 な る も の か ら7個 ず つ. (3945). で あ り、. で あ る。. (3946). 罵 く1㌃ 一1. ハ1個の 原 子 の 並 び か ら な る1次 元 結 晶 に は1V‑1個 の原 子 間 間 隙 が あ る。 そ の 間 隙 に ア個 の磁 壁 を 挿 入 す る組 合 せ の数 川C.は 匪1)(亙 胴(し=1.2.3. 一2>・・(N‑1‑・+1) ̲7. 匪1). (3932) (3933). ノ!(酔D). と な る 。 こ の磁 壁 が ア個 あ る場 合 の全 系 の エ ネ ル ギー は(3908)式. によって、. r=1V‑1の. で あ る。. この 場 合 の 系 は 物 性 物 理 学 的 に は. 反 強磁 性 体 で あ る。状 態 数 はr=1で 全 系 の エ ン トロ ピ ー は ∫嵩0で あ る。 即 ち 再 び 系 は ス ピン の 上 向 き 、 下 向 き が 交 互 に 並 ぶ秩 序 あ る状 態 に戻 っ た の で あ る。 注 意 事 項 が あ る。 こ こ で は議 論 の 筋 道 上 ε>0で あ るが 、 純粋 な反 強磁 性 体 の 理 論 で は ε<0で あ る。この 件 に 付 い て は 以 前 の節(§47)の(3844)式. の 下12行. 目辺 りか. ら数行 の 文 章 を読 み 返 す と 良 い。 熱 力 学 に よ る と等 温 等 積 の も とで の 系 の 平 衡 の 条件. 左{畠}=一(2ゾ. ー7‑1)8+7ε. 一(κ. 一1)8+27ε. で あ る 。 全 系 の エ ン ト ロ ピ ー3=た 挿 入 す る の に 桐C,通. (3944). (3934) (3935) βlqg、rは 、 磁 壁 を. りの 選 び 方 が あ る の で 、 状 態 数. は 、 系 の ヘ ル ム ホ ル ツの 自 由エ ネ ル ギ ー が 極 小 で あ る 事 で あ る。 今 、系 の温 度 はr、 系 の 体積 は構 成 原 子 数 で 表 わ し てNで. あ る。系 の ヘ ル ム ホル ツ の 自 由エ ネ ル ギ ー を極. 小 にす る磁 壁 の 数rの 値 は. は. @‑1ン r!(κ 一レ7). (3936)r㍉ 一!Cア 雛. で あ り、 エ ン トロ ピー は. 必=0(3947) 〃 か ら 求 ま る 。 計 算 に は 〃 が 大 き い と き に 成 り立 っ ス タ ー リン グの 公 式. 3=鵜. 月縞(3937) log。〃!零η109θη一η(3948). で あ る。 故 に 、7個 の磁 壁 の創 生 と結 び 付 い た 全 系 の. を 利 用 す る 。 我 々 は 今 、Nは. 巨 視 的1次. 元結晶の大 き.
(13) 多 体 問 題 とグ リー ン 関数 との 関 係 の研 究 一 グ リ ー ン関 数 と多 体 問 題(22)一. め て み よ う。rの. 細. →・ ・)であ り・磯. の数 ・も略. 大 き な 数 で あ る と 考 え る 。(3938)式. 尺=一伽 》+嫉rb翫 =一(亙. 一1》+2・. た。野+縮r(亙. 一た 87(2v‑1一. 度の+分. でlog。rで. 最 大 値 は10g,rの. 考 察 す る 。そ し て 、3=秘10g.rで. を 求 め る 事 で も あ る。(3936)式. 昏). 161. 最 大 値 で も あ るの. こ の 考 察 は 全 系 の エ ン トロ ピ ー8を. よ り. 茄. ・ 一た。r(N‑1)1・9. +た 。野1・9。 ト. 等. 〈 量 子 統 計 力 学14>. あ る ので. 最 大 に す る7の. 数. よ り、. 1・9。r=1・9。(κ一1)一豆 ・9。・‑1・9。(酔1イ) =匪1)1・9. ,(κ 一1)+た 、7(κ 一1). ,(1v‑1)一(亙 一1)一・1・g,+・. 一(ハr‑1‑7)10g. 一1‑・)1・9。(lV‑1‑7). ,(ハ1‑1‑7)+(ハF‑1‑r)(3959). で あ る 。 ス タ ー リ ン グ の 公 式 の(3948)式. ア)(3949). で あ る。 故 に 、. を使 っ た。 故. に、. 誓=2・+ちTl・. 島 ・+ゆ. 一ちrl・&伽. ・÷一り. 一・+4伽. 葺. 一・ト 詩. +(亙. 一r. (3950). +た β7=0. 一1・ 島 ・一・・÷+1+1・ 飢 伽. ‑1・9. 七=・. 一.‑1=0. ,・+1・9。(亙. (3961). 一1‑・=0. 故に、. ㌔71099(ハr‑1‑7)=0(3951). 故 に、. 2・+ち71・ 賊. 1(3960). 一1‑・)・ 桐. 故に、. 故に、 2ε+1ヒBrlo987一. 一・). (3952). 故に、. 1㎎ ￠ア=1099(ハ1‑1‑7). (3962). 7=1V‑1‑7. (3963). 27=ハ1‑1. (3964). 故 に 、. 故 に 、 72ε. 1° 脇. +,=一. (3953). π. 認. 7. 飴耀. 故に、. こ うして 、 7=弼. ハr‑12v. (3965). 一. 22. (3954>. を 得 る 。 こ れ は(3958)式. ハr‑1‑7. と同一 で あ る 。. こ う して 、高 温 にお い て は全 系 の 状 態 数rが 最 大数. 故 に、. 7=(κ. ̲互 鳶'. 一1‑7ン. r=伽. (3955). 一. 欄. 伽). 一今一〔 ㌻')〔N ‑1」 ㌻'}. 故に、. 一. 伺. 伽)(3966). (3956). 一 僻 青. (㌻1)〔㌻1〕! の と き 、即 ち 、 系 の 無 秩 序 性 が 最 大 の とき に 、 略 、 系. 故 に、. のヘ ル ム ホ ル ツ の 自由 エ ネ ル ギ ー が 極 小 とな り系 は 平. ̲聖.̲主L. ,」 越 1+θ. 竺 弼地 耀= 互. 28一. 鳶盈rl+θ. 〔 〕. 鳶'e鳶. を得 る。 こ う して 、 系 の 温度7が. 鉱. (3957). 盈 「+1. 衡 状 態 に な る事 が 分 か る。 この とき の全 系 の エ ン トロ ピー は 3=1をB1098r=1ヒ. 匪1ン. β109,. 大 き い とき に は. ,認(3958) 2. 〔 ㌻')〔㌻')! =ち{@‑1)1・9,(κ. とな る。. 備. こ う して 、 系 が 熱 平 衡 状 態 に あ る と き、 系 の磁 壁 の. 次 に 、 全 系 の状 態 数rの 最 大 値 を 与 え る7の 数 を求. 2v‑12V‑1ハr‑1 21°9・2+2. 」㌻11・ 跨1+㌻1}. 数 は(3957)式 が 与 え る値 の 近 辺 の 整 数 で あ り、略 亙 で 2 あ る。. 一1)一(亙一1). =ち 細. 一1)1・9,(1v‑1)一(N‑1) 一(ハr‑1)1・9 ,(N‑1)+(桐)1・9,2+(N‑1)}.
(14) 近 畿 大 学 工 学 部研 究 報 告No.45. 162. =ハ な 一1ヒ 、BZIVlO9,ハ1+1ヒ. =ゐ 。(κ 一1)1・9。2 =0. .6931ヒ8(ハr‑1)=0.6931ヒBハ. 「(3967). βrl㎎,1ゾ+」. ヒBZハ1‑一 ・ をβ7. ハr2v2vハr. +彦・7°す1°9う 一一た・7°7+彦. ・7°写1・陀. とな る。 又 、 こ の とき の全 系 のヘ ル ム ホル ツ の 自由 エ ネ ル ギ ー は 、(3938>式 【(3949)式]へ7=亙. 2. 2V2V 一彦 ・71°翫7一 た・「 °デ. を代 入 して 得 =1V8一. られ る。 故 に 、. ㌃. 塑. 一1》+2・髪 一 卿. +即. 一齢. 一1)+幅7・髪1・嵯. β7109、 ハr+ちrlo9.2. =帆r1・. 一秘7・髪. 嚇<・(3969). 2)瞭. 一1一 髪)一秘7〔万一1一 髪〕. 一1)1・ 島 伽)+秘r・. お い て は 、 略 ア鐸亙 付 近 で極 小 値 を取 り、 全 系 はそ の 2. 誓1・磯. 点 で 熱 平 衡 状 態 に な る 。[(3957)式. 畷. +ち7・ 髪1・ 嵯 一1をβ17Vlo9. ,1V+1を. ‑・1を β1フゾlo9. 一ゆ. る 。[(3965)式 と(3966)式. 一1をβ7109. =・+ち71・. σ2」V+々. 嵯 β1フVIo9、. 2. が 作 られ る が この 数 は 大 き く、そ れ 故 に1つ ピ ン共 は 不 ぞ ろ い に な る。 こ うして 、1次 ハ1. い て は7>0で. の系のス. 元模 型 にお. 自発 磁 化 は存 在 で きな い 事 が 分 か る。. 次 に、1次 元 系 で は 反 強 磁 性 的 自発 磁 化 も存 在 しな. ,2‑1ヒ7109,1V+たB7109,2. β7童09,2. 元反磁 性模型 におい. て ス ピ ンが 互 い 違 い に配 置 され た 磁 化 は 有 る事 が で き な い 事 を論 ず る。. 翫 2嘉. く・(3968). 1次 元 結 晶 の 隣 り合 っ た 原 子 の 磁 気 モ ー メ ン トが負. で あ る 。 例 え ば 、 こ こ で 、 仮 に1V=1000と 1. 最 大 数 とな. 参 照 】 系 に は7膨 亙 個 の 磁 壁. い 事 を示 す 。 即 ち 、r>0で1次 =ε. 参 照】 そ. 2. 髪1・ 島ぎ. βτ「IQ9,ハ1+1ヒ. 、(3958)式. し て 、 又 、 こ の7鐸 亙 で 全 系 の 状 態 数rも. 誓一1〕b翫 〔 一 一12〕. 一ε一ち7@‑1)1・島 鵬r・. =ε. 四 ゾlqg ,ハ「. 全 系 のヘ ル ム ホル ツ の 自 由エ ネ ル ギー 舜 は 、高温 に. +ち7〔1v‑1‑‑ =・ 一即. 毒βZム「lo9,1ゾ+たB71098ハr+秘 一た 87109.2"‑1を. 一1). た・7. は大 きな負数に なる. してみ る と. の 交 換 相 互 作 用 」<0を. 持 つ とす る。 こ の と き には 、. 。塁 」<0【(3844)式 2. 。 実 際 の 巨 視 的 結 晶 で109 ￠2100凹. 参 照】(3970). で 、ε〈0で あ る。 この と き 、隣 り合 っ た 原 子 の ス ピン. は 万 は も っ と も っ と大 き な 数 で あ る 。. の 向 き が反 平 行 で あれ ば 、即 ち 、ス ピ ン共 が交 互 に ±1 次 に 、同 じ事 で あ る が 、(3939)式 へ γ=亙 を 代 入 し 、 2 △Fκ=F"一 ρ゜;一. 罵 を 計 算 し て み よ う。 アき 一22. で あれ ば 、全 系 のハ イ ゼ ンベ ル グ相 互作 用 の エ ネ ル ギ ー 、 そ して 、今 の場 合 、1次 元 イ ジ ン グ模 型 の エ ネル ギー. 机ギ肋惚 織 争蠣 多〔 職). 砲}=一. ・評. 【(39°8)式 】(3971>. 〈 の=隣 接原子 が 最 も低 くな る 。. =醗. 一た。7(1V‑1)1・9. 。(胴)+た. +擢1鰐!帥 一 ハ疋 ε 一左87(ハr‑1)109. 一ち7・誓+確. 最 初 に 直 感 的 に 説 明 し ょ う。我 々 はN個. 。r(桐). 島修 一1〕!. の磁 性 原 子. か ら成 る1次 元 の 反 磁 性 イ ジ ン グ模 型 を考 え る。 そ し て 、 そ れ を一 方 の 格 子 は1つ 置 き の ス ピ ン共3声+1 重=1,3,5,・・)か ら成 り 、 も う一 方 の 格 子 は1つ. 81V+ち7『(Ar‑1)+迄B11●. 争09̲髪. 一1〕1・ 翫〔 誓 一1〕 一幅7〔す 一1〕. 残 り の ス ピ ン 共5=‑1ρ22,4,6,・. 置 きの. ・)か ら 成 っ て い る. 2つ の 互 い に 貫 入 し合 う副 格 子 へ と分 離 し て 考 え る 。 ス ピ ン が互 い 違 い に配 置 され た磁 化 は 、各 々 の 副格 子 が そ れ ぞ れ 自発 的 に 磁 化 さ れ て い る 事 を 意 味 し て い る 。.
(15) 多 体 問 題 とグ リー ン 関数 との 関 係 の研 究 一 グ リ ー ン関 数 と多 体 問 題(22)一. これ は7>0に. 対 して 不 可 能 で あ る。何 故 な ら ば 、我 々. 〈 量 子 統 計 力 学14>. ス ピン 共 を 素 早 く反 転 させ る事 に よ っ て 、 そ こ に 「 領. が 既 に上 で1次 元 強磁 性 イ ジ ン グ模 型 に 対 して 与 えた. 域 境 界 壁(domainwaH)」. 証 明 が 各 々 の副 格 子 に 単独 で 当 て は ま るか らで あ る。. き 、 全 系 の エネ ル ギ ー は(3971)式 に よっ て. 次 に、 こ の 問題 を数 式 的 に議 論 して み よ う。 図5(a)は. 万 個 の磁 性 原 子 が らな る1次. イ ジ ン グ模 型 で あ る。r>0で. を 作 った もの で あ る。 この と. E一 一・騨=一. ・伽. ン ←1)一ε・奴 ←1). 元の反磁性 ニ ε(ハr‑2)一ε=(ハ 「‑1〕 匠一2ε(3975). 隣 り合 っ た ス ピン 共 は. 交 互 に ±1で あ る。 ε<0で あ る。 全 系 の エ ネ ル ギ ー は. で あ る 。 全 系 の エ ン ト ロ ピ ー3或31qg.rは 壁(domainwan)を. ↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑ 図5(a). 領 域境界. 置 く の に 万 一1通 りの 選 び 方 が あ る. の で 、 状 態 数 はr=1V‑1で. r=0. 163. あ る 。 故 に 、 エ ン ト ロ ピー. は 8=1ヒBlo9,(1V‑1)(3976) で あ る 。 故 に 、1個. の 領 域 境 界 壁(domainwaH)の. 創 生. と結 び 付 い た 全 系 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー F富E‑2雪. }. 珂=(ハ1‑1)ε 一2ε一」 ヒB7109,(西r‑1)(3977) で あ る 。Eの. ↑↓↑1↑ ↓↑↓↑↓↑↓. ア=1. は、. 添 字 の1は. 領 域 境 界 壁(domainwan)が. 1個 で あ る 事 を 表 わ し て い る 。 こ う して 、1個 境 界 壁(domainwalDを. の 領域. 創 生 した 事 に よ る系 の ヘ ル ム. 図5(b). ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー の 変 化 △珂=疏. 12. で あ る 。 ε<0と. △1竃・=E‑1も=‑2ε. 一瑞 は. 一1をB71098(ハ「‑1)(3978). は 錐 も 有 限 温 度7>0で1次. 元結晶が. 11. 十 分 大 き い と き@→. ↑↓↑汁↓↑↓し↑↓↑. ア=2. とな り、全 系 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由エ ネ ル ギー は 低 下 す る 。 そ して 、 等 温 等 積 の 下 で の 系 の 状 態 変 化 は ヘ ル. 2 2!1. ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー が 低 い 方 向 へ と移 行 す る 。. {{ ア=2. σ 。). △1{<0(3979). 次 に 、図5(c)を. ↑1↑ ↓1↓ ↑↓↑↓↑↓↑. waH)を. 更 に1個. 眺 め よ う。こ れ は 領 域 境 界 壁(domahl 増 し 、2個. に し た 揚 合 で あ る。 こ の と. き 、 こ こ で も 、新 た に ど こ に 領 域 境 界 壁(domainwa①. 量. を挿 入 し ょ う と も 、 常 に新 た に 挿 入 し た領 域 境 界 壁. 図5(c). (domainwaU)よ. りも右 に 既 に あ る総 て の ス ピ ン共 は. 素 早 く反 転 さ せ る も の と す る 。 以 下 新 た な 領 域 境 界 壁. (3971)式 に従 っ て絶 対 極 小 で あ る。 そ し て 、 そ の エ ネ. (domainwa1Dの. ル ギー は. す る 。 全 系 の エ ネ ル ギ ー は(3971)式. E=一 ・騨=一 =(1V‑1〕. ・伽. ン ←'). E…. あ. るの で 、 ∫=0(3973) 故 に 、 全 系 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー F=E‑∬. 騨. 寓一・伽. は. 1も:=(ハ1‑1)6<0(3974) で あ る 。 瑞 の 添 字 の0は 領 域 境 界 壁(domainwalDが な い 事 を 表 わ して い る。 次 に 、図5(b)を 眺 め よ う。 これ は 上 述 の ス ピ ン配 置 に対 して 或 る位 置 を境 に、 そ れ よ りも右 に あ る総 て の. に従 っ て. レ ←1)一 ε・み ←1). =8(κ 一3)‑2ε=(1v‑1)膣. 匿<0(3972>. で あ る 。 全 系 の エ ン トロ ピ ー34Blog。rはr=1で. 挿 入 は 総 て こ の 規 則 で行 な うも の と. 一4ε(3980). で あ る 。 全 系 の エ ン ト ロ ピ ー34810g,rは. 壁0。㎜ 血wamを. 置 くの に 幽. 方が あるので、状 徽. 2. はr一 伽)@‑2)と 2. 領域境界. 遡. の選び な る.故. に 、 エ ン トロ ピー は. 3蜘. 伽. 聖 一2)(398・). で あ る。故 に 、2個 の 領 域 境 界 壁(domainwan)の. 創生. と結 び 付 い た 全 系 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー.
(16) 近 畿 大 学 工 学 部研 究 報 告No.45. 164. 尾=E‑Z∫. は. 即. 君軸%糊. 一1》 一螂1・. 翫攣(3982). 回認)(3993). とな る。罵 の 添 字 アは領 域 境 界壁(doma重nwaB)が. ア個. とな る。場 の 添字 の2は 領 域 境 界 壁(doma血waU)が2. で あ る事 を表 わ して い る。 こ う して 、 ア個 の領 域 境界. 個 で あ る事 を表 わ して い る。 こ うして 、2個 の 領 域 壁. 壁(domainwaH)を 創 生 した 事 に よ る全 系 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エネ ル ギ ー の 変 化 岨=君 一瓦 は. (domainwamを. 創 生 した 事 に よ る全 系 の ヘ ル ム ホ ル. ツの 自 由エ ネ ル ギー の変 化 △尾=尾. 鵠=融. 蜘. =‑2ε. 誕. 一罵 は 、. 配 一伽 糎. 弊)(3983). で あ る 。(3994)式. 一たβ71qg8(ハr‑1). れ 、7=2な. ‑2ε 一彦 β71098(ハ1‑2)+ゐ =△ 珂 一2ε 一」 ヒ3rio9θ(ハ1‑2)+孟. 結 晶 が 十 分 に 大 き い と き@→. で7=1な. ら ば(3983)式. ら ば(3978)式. の 昭. の △凡 が 得 ら れ る の は も ち ろ. 、1次. 細 ら く△1{<0【(3986>式](3995) 元. 。。)には 、. で あ る 。 又 、(3993)式 @→. △1らく△E<0(3986). よ り万 が 十 分 に大 きい とき. ・ 。) 尾 く君 く0【(3987)式. 又は、. 】(3996). で あ る 。 し か し 、 我 々 は7=1V‑1と. (3987). 尾 く1竃く0. とな り、領 域 境 界 壁(domainwaH)が1個. が得 ら. ん で あ る。 そ して 、 も ち ろん. 「 β7109￠2(3984) 「 βr1㎎ ￠2(3985). で あ る 。 こ う して 、 結 晶 が 有 限 温 度7>0で. 刈繰)(3994). の とき よ りも 、. 岨. した と き に は. 同=‑2(ハr‑1)喧(3997). と な り 、 ε<0な. ので、. △1弓v4>0(3998). 2個 の と この方 が全 系 のヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由エ ネ ル ギ ー が よ り低 くな る。 こ う して 、等 温 等 積 の 下 で は系 は. で あ っ て 、全 系 の ヘ ル ム ホル ツ の 自 由エ ネ ル ギ ー は増. 君 よ りも よ りヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー の 低 い. 加 し て い る 。 或 い は 又 、 直 接(3993)式 1も=(2V‑1)ε(3999). 罵 の 方 へ移 行 す る。 次 に 、一般 的 に 考 え よ う。 丼 個 の 原 子 の 並 び か ら成 る1次 元 結 晶 に は1V‑1個. ㌦=(N‑1レ2(N‑1》 =,̲(ハr̲1〕b(4000). の原 子 間 間 隙 那 あ る。そ の 間. 隙 に ア個 の 領 域 境 界 壁(domainwalDを. 挿 入 す る組 合. で あ り、 ε<0な の で 、. せ の数 桐C.は 、. 論. 1る<1弓ゾ ̲1(4001>. 伽. 総. 霧1. で あ る。. ')(3988). 我 々 は(3979)式 の 直 ぐ下4行. ン(3989). い て 、新 た に どこ に領 域 境 界壁(domainwalDを. と な る 。 こ の 領 域 境 界 壁(domainwamカ の 全 系 の エ ネ ル ギ ー は(3971)式. ヤ 個 あ る場 合. に よ っ て、. =ε(ハ1‑1)‑7ε 一甜 =(ハr‑1〕6‑27ε(3990). 挿 入 す る の に 桐C.通. 領域境界 りの選 び 方 あ. 誓(399・. 〉. で あ り、 エ ン トロ ピー は. 3一鴨. 転 させ る と言 う規 則 で 領 域 境 界 壁(domainwalDを. 挿. 入 す る も の とす れ ば 、 図2(a)か ら 出発 して1V‑1個. の. た 結 果 は 、 総 て の ス ピ ン 共 が ∫=+1の. 挿入し. 上 向きス ピン. (寧pinup)を 持 っ1次 元 強 磁 性 体 が得 られ る。 この とき に は 状 態 数 はr=1で. るので、状態数は. 耶=渋. りも 右 に 既 に在 る総 て の ス ピ ン共 を 素 早 く反. 総 て の 原 子 間 隙 へ 領 域 境 界 壁(domainwamを. で あ る 。 全 系 の エ ン ト ロ ピ ー‑84β10g,rは. 挿入 し. ょ う と も 、 常 に 新 た に挿 入 し た 領 域 境 界 壁(doma血 wamよ. ε(亙イ ー1)x←1)一 甜 ×(←1). 壁(domainwaU)を. 目辺 りか ら説 明 した様. に 、N個 の磁 性 原 子 共 か ら成 る1次 元 反 磁 性 結 晶 に お. 一 冠畏. E=一. を眺めて も. 、 全 系 のエ ン トロ ピー は3=oで. あ る 。 即 ち、 系 は総 て の ス ピ ンが 上 を向 く秩 序 あ る状 態 に 再 び 戻 っ た事 とな る。 尚、 実 際 の 強磁 性 体 の 理 論 で は ε>0で 、(3912)式 で 全 系 のエ ネ ル ギー は絶 対 極 小 と成 る。. 縞(3992). 熱 力 学 に よれ ば 、 等 温 等 積 の 下 で の 系 の 熱 平 衡 の 条 で あ る 。 故 に 、 ア個 の 領 域 境 界 壁(domainwaU)の. 創 生. と結 び 付 い た 全 系 のヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー 瓦=.E‑Z∫. は、. 件 は 系 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 自由エ ネ ル ギー が 極 小 で あ る 事 で あ る。 系 の 温 度 は7、 系 の 体 積 は構 成 原 子 数 で 表 わ して1V で あ る。 系 のヘ ル ム ホ ル ツ の 自由エ ネ ル ギー を極 小 に.
関連したドキュメント
[Publications] M.Tsuchiya: "Some analytical aspecl of diflusion processes with obligue reflection" Japan-Russion Symposium on Probability Theory and.
Naka jima, Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac-Moody algebras ,
複雑性・多様性を有する健康問題の解決を図り、保健師の使命を全うするに は、地域の人々や関係者・関係機関との
（問5-3）検体検査管理加算に係る機能評価係数Ⅰは検体検査を実施していない月も医療機関別係数に合算することができる か。
[Co] Coleman, R., On the Frobenius matrices of Fermat curves, \mathrm{p} ‐adic analysis, Springer. Lecture Notes in
”, The Japan Chronicle, Sept.
Amount of Remuneration, etc. The Company does not pay to Directors who concurrently serve as Executive Officer the remuneration paid to Directors. Therefore, “Number of Persons”
は，医師による生命に対する犯罪が問題である。医師の職責から派生する このような関係は，それ自体としては
