三角比三角比

(1)

三角比三角比

三角比三角比 [P.36] [P.36] [P.36] [P.36]

年次組番・氏名ノート

図のような直角三角形では、各辺の長さの比は同じである。

a : b : c = a’ : b’ : c’

例えば、小さい三角形の辺の長さが a=1、b=2 のとき、次のように表せる。

a : b = 1 : 2 (=a’ : b’) 大きい三角形の辺a’=3のとき、b’の長さは次の式で求まる。

a : b = a’ : b’ → 1 : 2 = 3 : b’ → 1/2 = 3/b’ → b’ = 3*2 → b’ = 6

このように、直角三角形で残りの角の大きさが同じ相似の三角形であるとき、角度によって辺の比が決まる。角Aに注目したとき、次のように表す。

高さa

= sin A サイン

正弦

せいげん

斜辺c 底辺b

= cos A コサイン

余弦

よげん

斜辺c 高さa

= tan A タンジェント

正接

せいせつ

底辺b

例えば、辺aの長さを求めたいとする。角Aと辺cの長さがわかればa = c*sinA で求まり、角Aと辺bの長さがわかればa = b*tanA で求まる。

逆三角関数

tanθ=xでxの値(高さa／底辺b)がわかっているとき、θ=tan^-1xで角度θが求められる。tan^-1はアークタンジェントという。

同じように、sinθ= x のときはθ = sin^-1x、cosθ= x のときはθ = cos^-1xで求められる。

それぞれ、アークサイン、アークコサインという。

sinθ= x ⇔ θ = sin^-1x cosθ= x ⇔ θ = cos^-1x tanθ=x ⇔ θ=tan^-1x

逆関数は逆数ではないので注意が必要である。逆数との混乱を避けるために、逆正弦関数 sin⁻¹x をarcsin x と書くこともある。

(2)

三角比1 年次組番・氏名

【1】次の直角三角形について、各設問に四捨五入で小数第2位まで求めよ。

c

）θ

a

b

① c=50cm、θ=35゜のとき、辺aの長さを求めよ。

a=50.0*sin35=28.678 28.68 cm

② c=50cm、θ=28゜のとき、辺bの長さを求めよ。

b=50.0*cos28=44.147 44.15 cm

③ a=30cm、θ=48゜のとき、辺bの長さを求めよ。

b=30/tan48=27.012 27.01 cm

④ a=30cm、θ=50゜のとき、辺cの長さを求めよ。

c=30/sin50=39.162 39.16 cm

⑤ b=40cm、θ=22゜のとき、辺cの長さを求めよ。

c=40/cos22=43.141 43.14 cm

【2】次のビルの高さを求めよ。答えは四捨五入で小数第2位まで求めよ。

H=(h+1.5), h=30*tan30

∴H=30*tan30+1.5=18.820

) 30ﾟ ← 30m → 1.5m

18.82 m

【3】次の点AP間の距離を四捨五入で小数第2位まで求めよ。

A P

80cm Q

①∠PAQが2ﾟのとき 0.8/tan2=22.909 22.91 m

②∠PAQが4ﾟのとき 0.8/tan4=11.440 11.44 m

③∠AQPが86ﾟのとき 0.8*tan86=11.440 11.44 m

(3)

【4】次の高い方のビルの高さを求めよ。答えは四捨五入で小数第2まで求めよ。

h1=57*tan16=16.344, h2=17*tan31=10.214 H=h1+h2=26.559

）16ﾟ← 57m →

← 17m → 31ﾟ（

26.56 m

【5】傾斜角が6度の坂道を150m移動した。このとき、移動した高さを求めよ。答えは四捨五入で小数第2まで求めよ。

h/150=sin6, h=150*sin6=15.679 15.68 m

【6】登山口から山頂まで一直線の登山道がある。山の高さが860m、登山道の傾斜角が8 度のとき、登山道の距離を求めよ。答えは四捨五入で小数第2まで求めよ。

860/L=sin8, L=860/sin8=6179.355 6.18 km

【7】登山口から山頂まで一直線の登山道がある。地図で調べると、登山口から山頂までの直線距離は 5500m、山頂の高さは 1127mであった。登山道の距離を求めよ。答えは四捨五入で小数第2まで求めよ。

√(5500²+1127²)=5614.279 5614.28 m

(4)

【8】前問【7】で登山道の傾斜角は何度か求めよ。答えは四捨五入で小数第2位まで求めよ。（登山口から山頂までの直線距離は5500m、山頂の高さは1127mである。）

tan^-1 1127/5500 = 11.580 11.58度

②求めた角度と直線距離5500mから高さを求めよ。

5500*tan(11.58)=1126.987 1126.99 m

③求めた角度と山頂の高さ1127mから直線距離を求めよ。

1127/tan(11.58)=5500.062 5500.06 m

【9】図aのような階段について、設問に答えよ。答えは四捨五入で小数第2位まで求めよ。

幅

幅(奥行き) 27cm 高さ

高さ17cm

階段の図a 階段の図b 図の階段の段数は3段である。

① 1階と2階の間に図の階段が24段ある。一番下から一番上までの高さを求めよ。

17cm*24段=408 4.08 m

② 1階と2階の間に図の階段が24段ある。1段目から24段目までの幅を求めよ。

27cm*24段=648 6.48 m

③図bのように24段の階段に板を渡して傾斜を作った。この板の傾斜角を求めよ。

tan^-1 (17/27)=32.195 32.20度

④この24段の階段を12秒で登った。平均の速さを求めよ。

ヒント：移動距離は斜めに渡した板と同じ長さと考えてよい。

4.08/sin32.20=7.656m (6.48/cos32.20=7.657m)

7.66m/12s=0.638m/s, 0.64*3600/1000=2.304km/h 0.64 m/s = 2.30 km/h

vy=4.08/12

(m/s) v=④の答え vx=6.48/12(m/s)

上方向に移動する速さと右方向に移動する速さ、それぞれ方向を持つので速度といい、その量をベクトルという。

④の答えは、ベクトルの和^→v = vx^→ + vy^→が答えとなる。

(5)

【10】次の建物の高さを求める。各設問に答えよ。答えは四捨五入で小数第2位まで求めよ。_(H21年度センター入試工業数理基礎より)

① 角度A=25°、y=50m、z=1.5mのとき、建物の高さhを求めよ。

(h-z)/y=tanA, h=y*tanA+z, 50*tan25+1.5=24.8153 24.82 m

② 障害物があり、yの距離が測れない場合を考える。点 Pから点 Qまでの距離は x(m) であり、点Qにおける角度はB度であったとする。高さhを求める式は次の2つが考えられる。

ℎ = × tan ° + ⋯① ℎ = − × tan ° + ⋯②

この2つの式から測れないyの距離を計算によって求める。すなわち、yについての式に変形することになる。①=②から式を変形して、yを求める式にせよ。

× tan ° + = − × tan ° + tan ° = tan ° − tan ° tan ° = tan ° − tan ° tan ° − tan ° = tan °

= tan °

tan ° − tan °

③ 障害物があり、y の距離が測れない場合を考える。前の設問で y の距離が計算で求められた。このyを式①に代入すると式①がyを含まない式になる。

角度A=25°、角度B=27.39°、x=5m、z=1.5mのとき、建物の高さhを求めよ。

ℎ = tan ° tan °

tan ° − tan ° + z =5 × tan 25° × tan 27.39°

tan 27.39° − tan 25° + 1.5 = 24.8114

24.81 m

(6)

【11】地点Pから船までの距離を求める。答えは四捨五入で小数第2位まで求めよ。

① 図面上でP-R間を

L

1(m)、Q-R間を

L

2(m)とすると、距離

h

^は次の2つの式が考えられる。

ℎ = × tan ° ⋯① ℎ = × tan ° ⋯②

地点Rが特定できないため、

L

1と

L

2を測ることはできないが、地点PからQまでの直線距離を

L

(m)とすると、

= + ⋯③

であるから、式①と②をそれぞれ

L

1と

L

2についての式に変形し、式③に代入すると

L

についての式ができる。式を答えよ。

= ℎ

tan ° …①’ = ℎ

tan ° …②’

= ℎ

tan ° + ℎ

tan ° …③’

② 地点PからQまでの直線距離

L

、角度AとBは測定できる。式③' を

h

についての式に変形すれば、これらの値から

h

を求めることができる。式を答えよ。

= ℎ

tan ° + ℎ

tan ° = ℎ × 1

tan ° + 1

tan ° = ℎ × tan °

tan ° tan ° + tan ° tan ° tan °

= ℎ ×tan ° + tan °

tan ° tan ° より ℎ = × tan ° tan °

tan ° + tan °

③ 地点PからQまでの直線距離

L

=5400m、角度A=75.1°、B=70.2°のとき、地点P から船までの直線距離を求めよ。

ℎ = 5400 ×tan 75.1 × tan 70.2

tan 75.1 + tan 70.2 = 8624.798, ^%=8624.798

sin 57.1 = 8924.887

8924.89 m

三角比 三角比