繰り返し型最適点探索方式による制御系設計法に関 する研究

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Kyushu University Institutional Repository

繰り返し型最適点探索方式による制御系設計法に関 する研究

大林, 正直

https://doi.org/10.11501/3123165

出版情報：Kyushu University, 1996, 博士（工学）, 論文博士 バージョン：

権利関係：

o a o R n o

一 O

﹃ の

0 コ q

o ‑ R

E O O

苔 コ

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g コ

46

=o さ

o a ω R o a

︑ v ω

C T  

~

M 

ω 

切

の

繰り返し型最適点探索方式による 制御系設計法に関する研究

大 林 正 直

1996 年 1 1 月

目次

1 序論 1 

1.1 研究の背景 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 1  1.2 従来の研究状況.• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 2 

1.3 本研究の位置付け.• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 4  1.4 本論文の構成 .• • • • • • • • • . • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • •• 6 

2 極指定による線形制御系の設計法 8 

2.1 序 .• . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • •• 8 

2.2  問題の定式化 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 9  2.3  フィードバック制御則の設計法.• • • • • • • • . • • • • • • • • . • • • •• 10 

2.3.1  システムの変換.• . • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • . • • • .• 10  2.3.2  評価関数の変換 • . • • • • • • • • • • • • • . • • • . • • • • • • .• 13  2.3.3  扇状領域極配置のためのフィードバック制御則 • • • • • . • • • .• 15  2.4  数 値 例 .• • . • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • . • • .• 17  2.5  結 論 .• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 22 

3 線形分割近似による非線形制御系の設計法 27 

3.1 序 .• • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • . • • .• 27  3.2  制御対象と準備 .• • • • • . • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 28  3.3  制御仕様の別表現 • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • •• 30  3.4  最適化問題 • • • • . • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • . • • • • • • • •• 31  3.4.1  評価関数 • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • . • • • •• 31 

3.4.2  最適フィードパックゲインKの 決 定 法 .. • • . . • • • • • • . . •. 32  3.5  非線形クレーンシステムへの適用.• • • • . • • . • • • • . • • • • • . • •. 35  3.5.1  非線形制御系の線形分割近似 • • . • • • • • • • • • • • • • • • •• 35  3.5.2  補 償 器 .• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 37  3.5.3  最適フィードバックゲイン

K

1，

K

2の決定法 • • • • . • • • • • • .• 37  3.6  結 論 .• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 45 

4 

フォワードプロパゲーション一般化学習ネットワーク輔

FPULN

ーを用いた非線

形制御系設計法 47 

4.1序 .• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 47  4.2  フォワードプロパゲーション一般化学習ネットワーク理論.• • • . • • .• 49  4.2.1 序 .• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 49  4.2.2  マルチブランチ一般化学習ネットワーク • • • • • • • • • • . • • •• 49  4.2.3  1次微分の計算 [Williams90]  ...  50  4.2.4  2次 微 分 の 言 博 .• • . • • • • • • • • • . • • . • • • • • • • • • • •• 54  4.2.5  n次 微 分 の 言 明 .• • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 55  4.2.6  フォワード及びパックワード学習方式の計算量の比較.. • • • • •• 58  4.2.7  結 論 .• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 60  4.3  状態初期値変動に強い非線形制御系の設計法.• • • • . • . • • • • • • • ^.，  61  4.3.1 序 .• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 61  4.3.2  状態、初期値変動に対するシステム動揺抑制評価指標.• • • • • • •• 62  4.3.3  学習アルゴリズム.• • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • . • • 64  4.3.4  数値例 .• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 66  4.3.5  結 論 .• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 77  4.4  システムパラメータ変動に強い非線形制御系の設計法.• • • • • • • • • • • 78  4.4.1 序 .• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 78  4.4.2  システムパラメータ変動に対するシステム動揺抑制評価指標 • •• 78  4.4.3  学習アルゴリズム .• • • • • • • • • • • • • • • • • • . . • • • • • •• 79 

III 

4.4.4  数値例 .• • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • •• 81 

4.4.5  結論 87 

4.5  外部入力変動に強い非線形制御系の設計法 .• • . • • • • • • • . . • • • • • 88  4.5.1  外部入力変動に対するシステム動揺抑制評価指標 88  4.5.2  学習アルゴリズム .. . • . • • • . • • • . • • • . • • . • • • • • • • • 88  4.5.3  数値例 .• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 90 

4.5.4  結論 97 

4.6 結論 98 

5 

機能局在型学習ネットワーク

‑ LPN

ーを用いた非線形制御系の設計法 99  5.1 序 .• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 99  5.2 Learning PeもriNetworkの基本構成 . • • . • • . • • . • • • . • . • • . • • 100  5.3 トランジションの発火則 .• . • • • • . • • • • • . • • • • • • • • • • • . • • 101  5.4  学習アルゴリズム .. • . . • . . • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • 104  5.5 クレーンシステムの制御問題 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • 104  5.6 非線形クレーンシステムの制御系の設計.• • • • • • • • • • . • . • • • • • 107  5.7  非線形クレーンシステムのシミュレーション.• • • • . • . • • • • • • • • • 110  5.7.1 偏差あり制御系のシミュレーション結果 .• • • • • . • • • • • • • • 112  5.7.2  切替信号付き制御系のシミュレーション結果 .• • . . • • • • • • • • 116  5.8  結論 .• • • • . • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • 120 

6 結論 121 

謝辞 129 

1 

第 1 章 序論

1 . 1   研究の背景

近年，制御の対象となるシステム，プラントはますます複雑なものとなりつつある.

それに伴って，対象に関するわれわれの知識や情報は不完全さを増すばかりであるにもか かわらず，制御の機能や性能は今まで以上に高いものが要求されてきている.こうした傾 向に，研究者の興味は，制御文橡として，線形システムから非線形システムへ，制御器の 設計は，線形制御器の設計から非線形制御器の設計へと移行しているように思われる.実 際，近年，非線形制御理論に関する研究が，非常に盛んになっている.

本研究は， このような流れのなかで，制御対象は，主に非線形システムを，また，制 御システムが，

I

速応性・口バスト (安定，性能)性・高機能・高性能の内司いずれか，

もしくは複数色特徴的に備えていること

J

を目的とした研究内容の結果をまとめたもの で，次の3項目に大別される.

研究1.速応性と安定性を考慮したロバスト極配置とその非線形システムへの応用に関す る研究

研究 2.高次微分機能を有したフォワードプロパゲーション一般化学習ネットワークの開 発とその非線形システムの口バスト制御への応用に関する研究

研究 3.脳をモデルとした機能局在型学習ネットワークとその非線形制御への応用に関す る研究

1 . 2   ^{従来の研究状況}

^工m

研究1.の「速応性と安定性を考慮した口バスト極配置とその非線形システムの応用」

に関して.

線形制御の分野では，速応性と安定性を考慮した極配置の手段として最も知られてい るのが最適レギュレータによる制御系設計法である.本設計法は，あまりにも有名である

Re 

。

が， これにより設計された制御系が，数々の優れた性質を持ちながら，実際にあまり用い _α 

られないのは，その速応性と安定性を指定する極配置と，設計者が与える 2次形式評価関 数の状態及び入力重みとの関係が明確でないことが，その一因と思える.例えば， ^{フ イ ー} ドバックループにより構成される閉ループ極の s領域での望ましい領域は， Fig. 1.1に 示した領域 Q とされる. しかしながら，閉ループの全ての極を， ここへ配置するための

状態及び入力重みの値が，試行錯誤によっては容易に見つからない. そのため， この重 ^Fig. 1.1 A desired pole assignmenもregion みの指定と極配置との関係を明確にする研究がこれまで幾つか報告されている.例えば，

これら

研究 2.の「高次微分機能を有したフォワードプロパゲーション一般化学習ネットワー [川崎?他 79][早勢 80][Kawaβakiぅ抗al83][Furuta，etal 87] 

1 [

11崎?他 88]等，がある.

は，ある正定行列の非線形代数リカツチ方程式を解くことによって指定する領域へ配置す

クの開発とその非線形システムの口バスト制御への応用

J

に関して.

るフィードパックゲイン，及び， その時の重みが求められる.

学習ネットワークと言えば，ニューラルネットワークがその代表であるが，高次微分に わずかに [Cun，etal89]が，簡潔なネットワーク構成を 関する研究は，殆ど見当たらない.

モデル化誤差を含まないとし て提案されたものであり，本研究でのモデル化誤差を考慮したロバスト極配置手法，及ぴ

しかしながら，以上の極配置手法は，対象システムが，

目的とし削除すべきブランチを選択するための尺度として Backw^訂 d方式により評価関 それを非線形システムへ応用した提案は見当たらない.

数のブランチの重みパラメータに関する 2次微分を求める計算方法について，又， [Xiao 

96]が，評価関数の学習係数に関する 4次微分までを用い， 学習の収束性を改善するアル ゴリズムを提案している. しかしながら， これらは階層型での非ダイナミックネットワー クシステムについての検討であり，ダイナミック(:リカレント)ネットワークシステム についての検討はなされていない.

一方，本論文で提案している，高次微分の言↑算は， リカレントネットワークシステム について導出しており， また， その計算方法も l次微分の入れ子構造により計算するた め， 1次微分の計算と同様容易に計算可能である.

当然ながら，高次微分を制御におけるロバスト安定性に応用したものはないと思わ れる.

4 

研究3.の「脳をモデルとした機能局在型学習ネットワークとその非線形制御への応 用」に関して.

制御の究極の手本は，人間の脳といわれる.脳は，様々な状況での経験を記憶し，同 じような状況に遭遇したとき，それまでの経験と照らし合せて最善の行動を選ぶ(学習機

能). また，脳科学の最新の知見[湾口 92]によれば，

r

知性には，数学的知性，音楽の知 性，運動の知性等があるが，それら個々の知性が働くとき脳の異なる部位が活動する」と

いうことが知られている(脳の機能局在). 

ニューラルネットワークは，これらの内，学習機能に着目したもので，その研究は数 多くある.研究2の一般化学習ネットワークもこれに分類される.後者の機能局在性を意 図した研究は， [Fukusima 75][Grossberg 76][Kohonen 82]らが，自己組織化機能を実現す る中で機能局在を実現し，パターン認識問題に応用されその能力が生かされている.一 方、機能局在を全く新たな方法で実現しているのが、[平津，他 96d，95b，95c，95d，94b]が 提案している学習ペトリネットワーク (Le組、ningPetri Network:L.P.N.)である.これは，

局在的経路が実現可能ながらも学習機能を有しない「ペトリネット

J

と，学習機能を有し ながらも局在的経路を有しない「ニューラルネットワーク」を融合したものである.自己 組織化ニューラルネットワークと L.P.N.の基本的な違いは，前者がネットワークの学習 をネットワーク内総ての重みについて行うのに対し，後者は'情報が通った経路の重みの みを学習して機能局在を実現している点にある.機能局在性実現についての両者の方法 を パターン分類問題や非線形不連続関数の写像問題等を例にとって比較し L.P.N.が 優れていることが示されている[平津，他 96d].

しかしながら，機能局在性の応用分野として制御を取り上げた研究例は著者の知る 限り見当たらないようである.

1 . 3   本研究の位置付け

研究1.速応性と安定性を考慮したロバスト極配置とその非線形システムへの応用に 関する研究の位置付けについて.

制御のために同定されたシステムは，モデル化誤差を含んでいると考えるのが自然で

5 

あり，かつ，大半の実システムが非線形システムであることを考慮すると，対象システム が非線形かっモデル化誤差を含むとする本研究は有用であると考えられる.

研究2.高次微分機能を有したフォワードプロパゲーション一般化学習ネットワーク の開発とその非線形システムの口バスト制御への応用に関する研究の位置付けについて.

研究1.は，非線形システムを複数の線形システムに分割し，これに線形制御理論を適 用することにより非線形制御システムを構成した.しかしながら，線形制御の方法では 制御の有効範囲やその対象分野も限られたものになる.従って，非線形システムをより正 確に制御する場合や制御の有効範囲を広げようとすれば，制御も非線形制御にて行う必要 がある.そこで，非線形制御を行うべく，学習ネットワークに関して行った研究が，研究 2.，3.である.

その学習ネットワークの代表的存在である，ニューラルネットワークを制御に用いた 研究例は多い. [Hunt，etal 92]の制御システムのためのニューラルネットワークサーベイ によれば，種々の制御方法の提案がこれまでなされている.しかしながら，これまで提案 されているニューラルネットワークによる制御は，制御目的を達成するために設定された 評価関数を最小にするように制御パラメータを学習するのみで，制御系の安定性に関する 考慮はほとんどなされていない.従って，ニューラルネットワークが産業界で，実際に 用いられている例は少ない.

従って，学習ネットワークによる制御系設計時，安定性を考慮した評価の導入を可能 にした技法(一般化学習ネットワーク)の開発とそのロバスト制御への応用の提案は，今 後の学習ネットワークによる制御の展開に有効な手段となることが期待できる.

研究 3.脳をモデルとした機能局在型学習ネットワークとその非線形制御への応用に関 する研究の位置付けについて.

最近，システムの大規模化・複雑化，さらには制御への要求仕様も高度になってきてい る.こうしたことから，高度な制御レベルを維持している人間の脳の働きが，制御の世界 でも注目を浴びてきている.本研究はこうした流れを考慮し，最近の脳科学の知見を取り

入れた，これまでにない新しい制御器の開発を目指したものである.

前節でも述べたように，脳の情報処理に注目すると，これまであまり利用されていな い有用な機能，即ち，

r

脳機能の局在性」がある.脳の2大重要機能である学習能力，機能 局在，これを実現したのが機能局在型学習ネットワーク ‑Learning Petri Networkーで ある.本論文では，通常の L.P.N.すなはちこれまで提案されているパターン認識問題 等に対して開発されてきている L.P.N.を，制御器として制御系設計へ適用した場合の問 題点を明らかにし，その問題点を機能局在性を生かしながら解決を図る.そして，機能 局在を持たないニューラルネットワークコントローラによる制御より，良好な制御性能を 実現している.

1 . 4   本論文の構成

第2章は，研究1.の速応性と安定性を考慮した極配置設計法について述べた章であ り，線形システムを対象として，ある一定程度以上の速応性を満たすべく，閉ループ極を 指定された領域に配置するとともに， 2次形式評価関数を最小化するフィードノてックゲイ ンを求める方法について，実現の容易な方法を提案している.数値例により，任意の評価 関数重みに対し，閉ループ極が指定領域に配置されることを確認している.

第3章も，研究1.に対応するが，第2章での提案が，対象システムがモデル化誤差が ないとした極配置設計法であるのに対し，本章では，モデル化誤差を含むシステムについ ての極配置(:ロバスト極配置)設計法を提案している.本提案の非線形システム制御へ の応用は，非線形システムを線形分割されたシステムの集まりとみなし，各線形システム が平衡点から離れた境界領域にモデル化誤差を持つとする.そして，各システムへロバス ト極配置法を適用することにより，全体として，非線形制御器を構成する.非線形クレー ンシステムの制御の数値例により，本提案法が良く知られている標準最適サーボ制御系 設計法と比較し制御系の安定性，制御性能とも優れていることを検証している.

第4章は，研究 2.に対応する.第3章が非線形システムの制御器を線形制御器の集合 で構成したのに対し，本章では，非線形制御器を学習ネットワークで直接的に構成する方 法について述べる.先ず， 4.1節では，本章での中心的役割を果たす，高次微分機能を有し

たフォワードプロパゲーション一般化学習ネットワーク (ForwardPropagation Universal  Le紅 ningNetwork:FPULN)について， 1次微分， 2次微分，・・・， n次微分を導出する.

その後、本ネットワークの2次微分を利用したロバスト制御系の設計法について記述す る.本章で構成する制御器は，制御システムに，ロバスト(安定・性能)牲をもたせるよ

うに構成する.但し、本論文における口バスト性とは，学習ネットワークにて，制御器を 構成する場合，学習時のシステム環境と学習後の制御時のシステム環境が異なることは 十分考えられるが，そのような場合でも司安定性を確保し，かつ良好な制御性能を維持す ることと定義する.このようなシステム環境の変化として，システム状態初期値，シス テムパラメータ変動，外部入力変動等がある.4.2節では，初期値変動の場合について，

4.3節では，システムパラメータ変動の場合について， 4.4節では，外部入力変動の場合 について提案する.それぞれの場合について，数値例により提案法が，通常のニューラ ルネットワークによる制御より遥かに良好な制御を行い，ロバスト(安定・性能)性を 実現していることを示している.

第5章は，研究3.に対応する.最初に，学習機能・機能局在を実現するネットワーク

r 

^{Learning Petri N eもworkJ}における学習方式，及び，機能局在の実現方法について述べ，

次に非線形クレーン制御問題へ適用したときの問題点およびその解決方法について述べ る.本制御問題にて機能局在が実現され，ニューラルネットワークによる通常の制御よ

り高性能を実現していることを示している.

第6章は，結論であり，第2章から第5章までの検討結果を総括している.

8 

第 2 章

極指定による線形制御系の設計法

2 . 1 序

制御系に対する一定の速応性，安定性の要求を満たす設計法として，閉ループ極を指 定領域に設定することで実現する極配置設計法がある. 1章序論でも述べたように，最近 では，単に，極配置単独の設計でなく， 2次形式評価関数の最小化をも同時に実現しよう

という多目的制御系設計法の研究例がいくつか報告されている.

本章での提案は，これまで報告されている固有値，固有ベクトルを利用した設計方法 でなく，これらと少し異なった視点、から， 2次形式評価関数の最小化と極配置を同時に実 現する設計法を提案する.

具体的には，虚軸の平行移動と複素平面の回転により新たな座標平面を設定し，原シ ステムを新座標平面で成立する 2倍の次元の拡大システムへと変換する.このような拡大 システムを考えることによりう希望領域への複数個の極配置が一度で非常に容易に行える ことを示す.

さらに?上記変換を用いて得られた拡大システムに対し， 2次形式評価関数を設定し，

これを最小化するフィードノてックゲインを求める L Q問題として領域極配置問題を捉え る.この時，拡大システムの評価関数を最小化するとともに拡大システムの閉ループ極を 安定とするフィードパックゲインを容易に求めることができる.これは?変換前の極配置 問題では，希望領域へ極配置するという拘束の下で，変換システムで設定した評価関数を 逆変換した関数の最小化問題を解いたことになる.

2つの数値例により本手法の有効性を確認する.

2 . 2   問題の定式化

制御対象は，次式であらわされる定係数線形システムを考える.

x ( t )   =  A a ( t )   +  B u ( t )  

y(t) 

= 

^a(t) 

ただし，

a ε

Rn，u

ε

Rm，A

ε

Rnx

η

う

B ε R η

xm，y

ε

Rnで，

また

， ( A ， B )

は可制御対とする.このとき?次の状態フィードバック制御 u =  -K~ε

9 

(2.1) 

(2.2) 

によって構成される閉ループ系の極がFig.2.1のQ内に配置され，かっ¹このゲイン Kによって，後に述べる変換システムの評価関数(2.9)式を最小とする L Q問題を考える.

ここで考える Fig.2.1の領域Qは，極が実軸の正の方向へα以上移動して初めて不安 定になるという意味での安定度αを持ち，さらに減衰率((=sinB)以上の減衰を保証する 望ましい領域になっている.

工m

。

，

一 α10

Fig.  2.1 A desired region for pole assignment 

2 . 3   フィードバック制御則の設計法

2 . 3 . 1   システムの変換

本節では?閉ループ極を扇状領域に設定するための前段階としてまず，複素平面(8)に おける虚軸を一定値(α(>0))だけ実軸の正の方向へ平行移動し?その後，座標平面を時計 方向に Oだけ回転させた座標平面

( v )

を構成する.そして?この座標平面上で原問題を表 現し，解くことを考える.

Fig.  2.2はりの左半平面と sの考慮している左半平面の関係を表している.まず，(2.1) 式で示されるシステム(以下原システムと呼ぶ)を変換座標系で表現する(以後変換シス テムと呼ぶ).原システムの伝達関数は次式で表される.

G(s) 

= 

(sI ‑A)‑l B  (2.3) 

また⁷原システムでの座標平面を sとし，変換システムでの座標平面を uとしたとき?

両者の関係は次式となる.

s = eJOv^ー α

ところでう変換(2.4)を行なった場合?変換後の伝達関数を G(υ)とすると

G(υ)  = {(eJOv‑α)1 ‑A} ‑1 B 

= {eJO[vI ‑e‑J8(A +α

I ) ] }  

‑1 B 

= {vI‑e‑JO(A+αI)} ‑le‑J8 B 

と表される.すなわち?原システムの A

，

B行列を

A → e‑JO(A 

+

αI)  B → e‑JOB 

へと変換することと等価である.従って，これを原システム (2.1)式へ適用すると

( 2

.4) 

(2.5) 

(2.6) 

i :

 

= e‑JO(A +αI)

x  + 

e‑JoBu 

( 2 . 7 )  

となる.また，変換システムにおける制御則及び評価関数として次式を設定し，

色

=

‑Kx  (2.8) 

J 

= 

fooo[X*Q1X 

+

口 1心]dt (2.9) 

Q1 = 

Q f

^{と0εRnXn ， R 1 = Rf} 

^> 

^{0εRm×m，ホ:共役転置}

を最小とするゲイン Kを求める問題を考える.原システムでの評価関数は(2.9)式を逆 変換したものである.

( 2 . 7 )

式は複素係数の方程式なのでこのままでは扱いにくい.そのため?ここでは実部 と虚部を独立させる.表現を簡単にするために，

( 2 . 7 )

式においてう

A_{ll  一} (A +αI) cos e  A12  = (A+αI) sin e  Bll  ⁼ Bcose 

B12  ‑ Bsin e 

とおくと，

( 2 . 7 )

式の係数行列は次式で表せる.

A_ll 

+ 

j A₁₂  ^‑ e‑JO(A +α1) 

B_ll 

+ 

jB₁₂ ^二 e‑JOB (2.10) 

さらに， (2.7) 式の解￡は変換後は公→ X1^•

+ 

jXi"入力負は心→ Ur

+ 

jUiと し た し た がって，変換システムの状態変数を

X=127

，

z T l T

，入力変数を

u= [ U λ u T f

^{と定義し?}

12 

これらの定義式を (2.7)式へ代入しぅ両辺の実部，虚部をそれぞれ等しいとおくことにより 次式を得る.

X 

= 

A^取X+B*U ^(2.11 ) 

ただし

A^{本 =}

r 

All  A¹²  1 . B^{市 =}

I  B~l ~12 I 

一

I‑

A12  ^All 

I 

，~

I  ‑

_{B12  B}ll 

J 

ここでXεRh^×11UεR2m^×l，A本巴RhX2n，B放ξR2nx2mである.また，フィードパック則につ いては，原システムでの状態値の K倍は，変換後のそれぞれの状態変数Xr，XiのK倍とな るので?次式の様にプロック対角行列で構成される.

U = ‑[12 Q9 K]X  ^(2.12) 

但しう③はクロネッカー積を表している[児玉?他 78]

以上の座標変換により?原システムと等価なシステム方程式および制御則がう変換座 標系において (2.11)，(2.12)式にて表された

1m  1m 

. 0 

Re  Re 

s

平面 _V平面

Fig.  2.2 The relation be七weenthe desired region in s and the left half in v 

13 

2 . 3 . 2   評価関数の変換

前節で変換システム，及び変換システムに対する制御則が求まったが，(2.12)式からも 分かるように変換システムのフィードバックゲインは特殊な形をしており，標準のレギユ

レータではゲイン Kは求まらない.従ってここでは， [Levine，etal 70]等の方法を利用すべ く，評価関数(2.9)式を変換システム (2.11)の閉ループ系の遷移行列を用いて表し，拘束条 件のない評価関数のゲイン Kに関する最適化問題へと導く.

(2.12)式を (2.11)式へ代入して，変換システムにおける閉ループシステムが次式のよ う求まる.

X 

= 

[A^車 ‑ B本[ん③K]]X

= [A^{本 ‑} BIKM1 ‑B2K M2]X  (2.13) 

= =  

A X  

ここで，

A

は，

I 

(A+α1 ‑B K) cos  () ( A十α1‑BK)sin() 

I 

A^二 I

， ‑ ‑ '   ‑ ‑

‑:̲‑̲J̲.‑‑‑‑

， ‑ ‑ ‑ ‑ ‑ = ̲ ̲ ̲ ̲ : ‑ ‑ ‑ ‑ ‑

I 

I 

‑(A+αI‑BK)sin() (A+α1 ‑BK) cos() 

I 

(2.14) 

で

，

Bl

，

B2はそれぞれうB*の第l列ブロック，第2列ブロックであり，また

，

Ml

，

M2行列を次 の様に定義している.

M1

= [ ι0π] 

^{， 同 =[ On ん}

l

(2.15) 

ここで注意すべきはう変換システムにおける閉ループ系の固有値

( A

の固有値)が安定?

即ち υ平面の左半平面に存在すれば?原システムの閉ループ系の固有値がs平面のQに配 置されていることを (2.14)式は示していることである.即ち

，

S平面での領域極配置問題が

U平面での単なる安定化問題に変換できたことになる.Aが安定であれば

，

A +α1‑BKの 固有値は Fig.2.1のQ内にあることは次のく補題2.1>から確認できる.

く補題2.1>[Davison70] 

Aの固有値 ん(A)，(i = 1，・・"n)がFig.1のQ内に存在するための必要十分条件は

Re[ん

( A

本)]::; 0，  (i = 1

，

2γ・

， .

2n) (H1) 

となることである.ここで，

e

は，0::; 

e  : ;   :

~で

A紘 一

r

(~.+α1)ω e (A+ αかin~

I 

‑ l 

‑(A 

+

α1) sin 

e 

(A 

+

α1) cos 

e  J 

^(H2) 

(2.13)式の解は遷移行列φ(t

，

s)を用いて次の様に表せる.

X(t) 

= 

<T(t

，

O)X(O) 

φ

( t ，

O) 

= 

exp{[A旗 ‑ B₁K M1 ‑B2K M2

] t }  

^(2.16) 

また?FQl公=XTQ X，u*R1u 

= 

UTRU， 

但し

，

Q

= 

[12 Q9 Q1

  ， ]

R 

= 

[12 Q9 RI]であるからFこれらを用いて (2.9)式の評価関数Jは 次の様に変換される.

J ^ニ

1 0

⁰⁰[XT Q X 

+ 

UT RU] dt 

= XT(

吋 ∞

^φT(t

^， 仰

(t

，

O)dtX(O)

但し

， Q

= Q +Mr~R1KM1 +MJ~九 KM2

(2.16)式によって (2.13)式の条件が (2.17)式の評価に組み込まれp領域極配置の拘束 条件っき最小化問題が，拘束条件のない?単にAを安定とする評価関数(2.17)のKに関す

る最小化問題に帰着された

(2.17) 

ここで，評価関数はゲイン KとX(O)の関数であるが，すべての X(O)についての Jを 最小にする Kを見つける問題のかわりに，ここでは平均的な意味で最適なフィードノてック ゲイン Kとなる最小化問題を考える.この場合，評価関数(2.17)は次式となる

︑︾

﹄

ふ' U

JU @ 

︽ ハ

MVT φ ∞ f

ー ん

r︐ ︑

tr A

み し  

♀ 一 一

︐

J  (2.18) 

また，遷移行列を用いない場合の評価関数Jが最適化の手法の違いで

J

と違って来てい るが最小とするゲイン Kは一致する事が知られている[小郷，他82].従って， (2.17)式を最 小化するゲイン Kは(2.17)式と等価な (2.9)式を最小化する.

2 . 3 . 3   扇状領域極配置のためのフィードバック制御則

本節では扇状領域へ極配置するためのフィードノてックゲイン K が満足すべき必要条 件を導く.これは?フィードパックゲインKが変換システムの評価関数(2.18)を最適化す

るための必要条件と一致する.

何故なら?フィードバックゲインKが評価関数(2.18)を最適化するための必要条件はK に関する停留条件となる.この停留条件を満足する Kは，そのKに対して評価関数(2.18) が停留値を持つう即ち積分値を持つには被積分関数が時刻無限大で零，即ち，変換システム の閉ループシステム (2.13)が安定固有値を持つ事を保証する.

一方?扇状領域へ極配置するためのフィードバックゲイン Kが満足すべき必要十分条 件は?く補題2.1>より変換システムにおける閉ループシステム (2.13)が安定固有値をも つことであり両者は一致する.

これまでの議論で?領域極配置の拘束条件っきの Kに関する最小化問題が?変換システ ムにおける拘束条件のない評価関数(2.18)を停留とするゲイン Kを求める問題に帰着さ れた.

次に?評価関数(2.18)のフィードパックゲイン K に関する停留条件を導出する.

く 停 留 条 件 >

(2.20)式の Aが安定であるとしたとき?フィードパックゲイン K が原システムの閉 ループ固有値を Fig. 2.1のQ内へ配置し，評価関数 (2.18)を最小化するための必要条件 は(2.18)式を Kに関して微分することにより次式で構成される.

則ち?求めるゲイン Kはう

16 

K 

= 

Ri1{

乞

[BTH L Mr]} { [M1M2][L 

o 

I2][M1M2]T}‑1  (2.19) 

i=1 

で構成される.ここでA

，

H

，

Lは下記である.

A = [A* ‑B₁K M1 ‑B2K M2]  (2.20)  H  = 

1 0

⁰⁰

^州

^(2.21 ) 

L = 

1 0

⁰⁰

^州

^(2.22) 

また

，

H

，

Lはそれぞれ(2.23)，(2.24)式の半正定?正定行列解として求められる.

o 

= HA+ATH + Q   (2.23) 

o 

= LAT 

+ 

AL 

+ 

1  (2.24) 

(導出の詳細はく付録2.1>参照)

従って?最適ゲイン

KO

を求めるアルゴリズムは次のようになる.

step.O回転角。=8₀，安定度α=αoを与える.

step.l  (2.20)式の

A

を安定にする Ki'(i  = 0)を求める. step.2 Kiを(2.20)へ代入して (2.23)式を Hについて解く step.3 (2.24)式を Lについて解く.

step.4 H

， 

Lを(2.19)へ代入してKi+1を求める.

step.5ゲイン Ki+1が収束していなければ，i= i 

+ 

1として，step.2へ.収束が得られれば?

最適ゲイン

KO

ニ

K

i+lである.

ぐ注意>(2.23)の唯一の半正定解Hの存在性は Q> 0とし

A

が安定であれば?リアプノフ の安定定理より明らか.Lについても同様に明らかである.また，本アルゴリズムの収束性 に関しては，今後の課題である.

17 

2.4  数値例

この節では，前節で与えたフィードパック制御則の設計法が簡単でかつ有効であるこ とを 2つの数値例によって示す.く数値例 2.1>は，閉ループ極のうち，目標領域外の極が 少ない場合で?領域外の極のみが移動する例である.く数値例2.2>は?領域外の極が多い 場合で，全ての極が領域内へ移動する例である.

く数値例2.1

> 

次のような状態方程式で表される 9次2入力タービン発電機の制御問題を考える[J 11 崎，他 79].

土

( t ) A x ( t )   +  B u ( t )   y ( t )  

_一

x ( t )  

ここで，

‑2.27  ‑3.07  2.98 

。

26.8  ‑61.5  0.524 

。

30

。 。 。

.0  ‑15.5  ‑32.3  ‑27

。

.7  A=I 

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。

‑22344G .0. 0 

。 。 。 。

‑‑4789..88  

B 

=  I  0  0 

0 

o 

^{0  0  5.0  0 0} 

。

1.0 

。

。

0.176 

。

。 。

G 

。 。 。

‑100.0 

。 。

‑3，

。 。 。 。 。 。 。

875.0  ‑100.3  ‑555

。

..40  

。

‑0.0

。

923 

‑0.

。 。 。

0828 

‑0.35  1.0 

‑0.599 

‑32.1 

‑15.6 

‑5

。 。 。

.32 

‑22

。

2.0 

(2.25)  (2.26) 

(2.27) 

(2.28) 

ここで?前節で与えた設計手順に従って?状態フィードパックを構成する.まずシステ ム行列Aの固有値を求めると?入(A)= ‑106.9土j15.89

，

‑33.88土j10.21

，

ー0.101土j10.47 と‑13.57，‑29.68， ‑5.00の9個である.これによると，‑0.101士j10.47という極めて虚軸 に近い固有値があり?閉ループシステムの応答はかなり振動的となることが予想される.

そこで，システムの応答を改善するために，これまで述べた方法を用いて閉ループ極配置 を行う.数値例では?α=0の場合う回転角は減衰率を(とした場合(= sin 8の関係があるか ら，sin8 = 0.05^ぅ0.1，0.3に対応する3通りの回転についてう入力重み R₁はIに固定し?状態

値重み Qlを変化させて行った Table2.1は最適レギユレータおよび資案法による極配 置で重みQlを変化させたときの結果である.提案法で回転角()，安定度αとも零とした場合

と最適レギユレータの結果は一致した.

Table 2.2はう提案法において?重みQlを0.011とし?回転角を変化させた場合の閉ルー プ極と閉ループ極を比較したもので，これによると，虚軸に極めて近い極ー0.101土j10.47 のみ移動し?他の極は殆ど移動していない.更に，回転角を大きくするに従って?当該極は 実軸の負の方向に移動していることがわかる.これらは適当な初期ゲイン Koにより十数 回の繰り返しで収束した

く数値例2.2

> 

次のような双曲型分布定数系で表される一端固定，他端自由の片持ち梁を対象とする.

ω(X

， 

t)で 点 丸 時 刻 tでの梁の振動の変位を表すと?変位に関する方程式は次式と なる.

勺 ^，

^t

L + 2 ヴ ^UL+ 勺 : ! l ‑ 会 ^{( x ) 8 ( x‑X j ) ん}

^{(t) (0く Z く 1)}

境界条件:

:ω(0

， 

t) 

= 勾ヂ=

0 (固定端)

:年戸

= q p = 0 (自由端)

(2.29) 

(2.30) 

ここで?滅衰係数は(

= 

^O.OOl

^，

^b(x)は入力影響関数であるが?ここでは b(x)ニ lとす る.ん

( t )

^は点

X j

^{での入力を表す}. Mは入力点の個数で7ここでは M =1とする .

X j

は入力 点で

X j

= 0.95とする

. 8 ( x ‑ X j )

^{はデルタ関数である.}

最初に，く数値例 2.2>は分布定数系であり空間および時間に関して無限次元であるの で，提案手法が適用できるよう?固有関数展開法により有限次元近似を行い?対象システム (2.29)，(2.30)を時間関数のみの集中定数システムで表す.

(2.29)rv(2.30)式の解を

N 

ω(X，

t )  

=

乞叫 ( t )

仇(X) ^(2.31) 

で表す.ここで Nは近似項数で，固有関数仇(X)は境界条件(2.30)を満足するように定 める.

Table 2.1最適レギユレータ及び提案法による極配置(α=( )= 0)  閉ループ極

関ループ極 Ql = 0.011  Ql = 0.11  Ql = I 

ー106.9 ‑106.9  ー107.0 ‑108.0  士j15.89 士j15.88 土j15.84 士j15.38

‑33.88  ‑33.89  ‑33.96  ‑34.64  土j10.21  土j10.21  土j10.15 土j9.56

‑0.101  ‑1.15  ^一3.59 ‑9.90  土j10.47 土j10.51  土j10.83 土j13.25

‑29.68  ‑29.68  ‑29.65  ‑29.43 

‑13.57  ー13.56 ‑13.43  ー12.44

‑5.00  ‑4.94  ‑4.50  ‑3.17 

Table 2.2提案法による極配置 (Ql二 O.OlI) 閉ループ極

関ループ極 sin )  =0.05  s( in ()  =0.1  sin   =0.3 ()

‑106.9  ‑106.9  ‑106.9  ‑106.9  士j15.89 士j15.89 士j15.89  土j15.89

‑33.88  ‑33.88  ^ー33.88 ‑33.99  士j10.21 士j10.21  ::!: j10.21  士j10.22 

‑0.101  ‑1.53  ‑2.24  ‑5.50  士j10.47 士j10.46 士j10.32  土j8.79

‑29.68  ‑29.70  ‑29.72  ‑29.52 

‑13.57  ‑13.55  ‑13.54  ‑13.49 

‑5.00  ‑4.89  ‑4.84  ‑4.48 

この時，同(t)と叫(t)の各 N個を要素とする 2N次元ベクトルω(t)を状態変数ベクト ルjを入力とする集中定数系の状態空間モデルが次のように求まる

切N(t)= AN^切 N(t)十BNf(t) (2.32)  ただし

A N = [ L ‑ L ! ? B N^二

l ^ょ l

20 

I N  

はN次元の単位行列

. A N ， BN

は定数行列.詳細はく付録2.2>参照

(2.32)式の系に対し，レギユレータおよび濃案手法により閉ループ制御系の極配置の数値 例を示す.近似項数はN = 4とした.対象とする片持梁は通常減衰係数は非常に小さい.数値 例でも(=0.001としているため非常に振動的となる.このことは

，

N = 4に対する (2.32)の 閉ループ極8個が，‑0.0035土3.5160，‑0.0617士61.697，‑0.0220士22.034，‑0.1209土120.90

と全て虚軸に非常に接近していることからもわかる.

従って3閉ループを構成するにあたり?この減衰率を大きくする必要がある.ここでは Fig.  2.1の領域として，安定度αを0，3の2通り，回転角。については?減衰率にほぼ相当 する sin{}ニ 0.05，0.1，0.3をそれぞれ満足するように3通り設定した入力重み

R

1はlに 固定している.

Fig. 2.3は比較のために行ったレギ、ユレータ極配置である. レギ、ユレータによる極配 置では Q1を大きくすることで閉ループ極は左へ平行移動しているが?目標とする扇状領域 へ極を移動させるには Q1を非常に大きくするか，試行錯誤で Q1を設定せねばならない.

Fig. 2.4は安定度α =0，回転角は(減衰率:sin{) = 0.05)に対応させて設定し?評価関 数の状態値重み Q1を変化させたときの極配置である. この図から，閉ループ極は Q1の値 によらず，目標領域内に配置され，減衰率を十分満足していることがわかる.また Q1を大 きくしていった場合，極が左方向に若干移動している.この移動の仕方はレギ、ユレータの 重みQ1を大きくしていった場合と同様である

• 01 =0.011  .01...0.11 

• 01=1 

"'01=101 

+ Q1=1001 

1m 

令

4ト

ReL」‑4tI I I I I I I I I I I I I I 守 ‑

・20 ^・15 ^・10 ‑5 

+ 

Fig. 2.3 Pole assignmenもsby the optimal re♂llator in a canもileverSystem 

Re 

• Q1=0.011 

• 01 =0.11 

・

⁰¹⁼¹

+01=101 

• 01 =1001 

ー20

1m 

;.:  ~

100 

。事

、p帽

令輔

るe

‑100 

'. 

. 

(sin 

e 

=0.05，α=0) 

Fig.  2.4 Pole assignments by the proposed method in a canもileversystem 

21 

Fig. 2.5は安定度α =0，回転角を sinB = 0.05，0.1，0.3の

3

通りに対応して変化させ た場合の極配置で，減衰率を大きくしていくにつれて極配置が変化していく様子がわかる.

Fig. 2.6は回転角を sin{ }

= 

0.1として，安定度αを0，3で比較したものである.これに よると減衰率sin{} 

= 

^0.1を満足させる極配置が安定度分平行移動していることが伺える.

いずれのケースも適当な初期ゲイン Koにより十数回の繰り返しで収束した

1m 

Re 

(01=1，α=0) 

Fig.  2.5 Pole ωsignments by七heproposed method in a cantilever system 

1m 

仇く

;00 

つぐ

‑α=0 

。α=3 _らく

JSz  Re  ‑20 

'く

ー100

Gく

(01=1， sin 8 =0.;) 

Fig. 

2 . 6  

Pole assignments by the proposed meもhodin a cantilever system 

2 . 5   結論

時間応答改善を目的とした，閉ループ極を扇状領域へ配置し，評価関数を最小とする フィードバックゲイン決定についての実現の容易な方法を提案した

数値例によると?複素平面を回転しない場合，もしくは回転が小さい場合，提案法によ る極配置と最適レギユレータによる極配置と一致したこれは原システムと座標変換で等

価的な変換システムが得られたことを示している.

提案法による極配置は回転角を設定したとき，その希望領域内に存在しない極が主に 移動し，すでに領域に入っている他の極は殆ど影響を受けない.したがって，移動すべき極 が少ないく数値例2.1>のような場合には[川崎，他88]の方法も有効である.しかしうく数 値例2.2>で見られるように，本提案法は，領域外の極は全て領域内へ一度に移動可能で あるので，移動させる必要のある極が多くなるにつれて本提案法の有効性，適用性は増す

と思われる.

本提案法により求められた制御則は座標変換により求めたため，通常の最適レギユレー タが持つ性質は議論しにくいが，扇状極配置領域の指定で，一定の指数安定度と減衰率を 持つ点で良い性質を持つといえる.

本文では触れていないが，通常の極配置法と比較すると，通常の極配置法は，正確に 極の位置を指定できるものの評価関数を考慮に入れておらず，更に，多変数系の極配置は 複雑となる.また，実際には極の位置はその範囲を指定すれば十分な場合が多い点を考慮

すると，本提案法は通常の極配置法と比較しても有用である.

付録

く付録2.1>停留条件の導出について [Levine，eもa170]

先ず?評価関数

J

について，ゲインKに対する微分を評価するために次式にてεの1次 の項まで

J ( K

十εム

K )

を展開する.即ち，

J(K 

+

εムK)

一吋∞{仰 ( A‑

ε(BlムK M1

+ 

_B2ムK同 ))T

t 

.(Q 

+ 

M[(K +εムK)TR1(K +εムK)M1 +Mi(K +εムK)TR1(K+εムK)M2)・

exp(A ‑E(B1ムK M1

+ 

B₂ムK M2

) ) t } d t ]

次にJ(K

+ f

ムK)の展開でεの1次の係数を求める.!!Pち， J(K 

+

εムK)‑J(K) 

= 

^f tr{

1 o

^{OO 2{Ml exp(A}

向

(ATt)(M[ KT R1)ムK

+ 

^M2 exp(At) exp(AT t)(Mi KT RI)ムK

‑ 1 0 t  

M

I{仰(お)

exp(AT

仲

x

州

^tー σ)). B1dσ}ムK

‑ 1 0 t ぬ{ほ

p(AO")exp(AT

仲

24 

( A l )  

(A2) 

従って?下記のく付録補題>及び?積分j関亨の変更?変数変換等を行い，最終的に次の結

果が得られる.

8J/8K 

二

f き

^R1

^{叫 叫 内 向 州}

^M

^{r J}

^dt

‑ 1 0

⁰⁰

同 町 休 刊 叫 ぽ 愉 r ^仰は

^σ

^{〕 州}

^Eσ)M[dσ

‑ 1 0

⁰⁰ 

Bf 

exp(λ

町

従って

，

(A3)

= 

⁰より停留条件が得られる.

くイ寸録補題>[Levine，etal 70] 

ε→0としたとき⁷

もr[F(X

+ 

fムX)]ーもr[F(X)]

= 

^f . tr[M(X)ムX]

が成立するならば，そのとき，

θもr[F(X)]/δX= MT(X) 

(A3) 

(A4) 

が成立する.ここでM(X)

ε

^Rnxr

，

XξRrxη

，

F(X)はRrxn→ Rnxnへの写像で連続微分 可能とする.

25 

く付録2.2>分布定数系の集中定数系への変換について.

作用素TをT =訟で定義すると Tは自己新交，正定であり

，

Tの固有値は正で対応 する固有関数は直交系を作る.いま次の仮定を行う.

仮定1)固有値入zは0三入1:::;入2・

対応する固有関数を仇とすると，

T仇=入^t仇 仮 定2)固有関数は正規直交.即ち，

1 0

¹仇(司令(x)dx

ニ ム

j(Krone伽 の デ ル タ ) とする.ここで(2.26)^rv (2.29)式の解を

ω(x

， t )   = 乞同 ( t )

^仇(x)

k=l 

(A5) 

(A6) 

(A7) 

で表す.ここでNは近似項数で，仇(x)は境界条件(2.29)および(A5)

，

(A6)を満足するよう に次のように定める [Wylie61] 

仇(x)

= 

[cosh(

ぷ

x)

一 ∞

s(

ぷ

x)

一

^li{sinh(

ぷ

x)‑

州ぷ

x)}] 7

ー∞

s(

ぷ)十∞

sh(

釘)

一 叫 ぶ )

+ 

sinh(

ぷ)

(A8)  このときp仇

( x )

を(2.26)式の両辺にかけてzの定義域，即ち，0から lまでzについ て積分し

，

(A5)^rv (A7)式の性質を用いると (2.26)式は?

W(t) 

+ 

2(A' W(t) 

+ 

AW(t) 

= 

^{B f(t)  (A9)} 

となる.但し?

[W]i 

=

叫(t)

，

[A]ij

寸九 [ f L = 肌

[A']ij= 

Óij~，

^{[B]ij = b(xj)}

^{州 )}

ここで，次のような変数を定義する

町 二 [WT_，WT]T，ただし [W]

= 

[ω1

， 

W2，...，  WN]T 

従って， 2N次元の集中定数系の状態空間モデルが次のように求まる.

WN(t) 

= 

^{AN切 N(t)}

+ 

^{BNf(t)  (2.29)} 

A‑lo 

^{IN  l n N}

^一 I ~ I 

N

一 I

‑A_N  -2(A~

J  ' 

~r; ^‑

l 

^{B N}  

J  I N

はN次元の単位行列.

第 3 章

線形分割近似による非線形制御系の設計法

3 . 1 序

制御系を実システムに適用する場合?設計に使用した制御対象の数学モデル(以下ノ ミナルシステム)と実システムが異なる，即ち?モデル化誤差が含まれる可能性がある.こ れについては，たとえ，モデル化誤差が存在しでも，安定(ロバスト安定)で，一定の

F

ぷ を 保 証 す る 閥 系 地 ま れ る 更 に 一 定 の 応 答 を 保 証 し た 上 で ， な ん ら か の 評 価 関 約 一 小にする制御系か望まれることも多い

最近?このように要求される仕様が多様化し3多数の仕様を同時に満足する多目的同 時最適化制御系設計法が注目を浴びてきたこれを実現する手法の一つにラグランジ、エ関 数法がある このラグランジ、エ関数法を用いてフイ一ドパツクゲインを求めた例としぶ

[

伊

B帥 叩ta

叫叫

l

ス，そして一定の応応、答を得るため領域極配置を考慮し?これらを同時に満足するフィード ノてツクゲインを求めている.しかしながら?そこで求められているのはノミナルシステム に対しての領域極配置で、あって，モデル化誤差ぅ物理パラメータの変動等のシステムの不 確かさを考慮に入れた極配置はなされていない.また?そこで提案されている最適フィー

ドパックゲインを求めるアルゴリズムはゲインに関する最適性の必要条件から.設定した 初期ゲインをもとに最急降下法を用いた繰り返しアルゴリズムとなっているしか;なが ら，求められたゲインによる閉ループ極が領域外へ出ないようにステップ幅を十分小さく とる必要があるため，繰り返し回数は多くなる

ところが?指定極配置領域が円や放物線のような 2次曲線で区別される領域である場

29 

28 

ただし

，

Ap= An 

+

^ムA

，

Bp = Bn 

+

^ムBで

，

X

ε

Rn

，

u

ε

Rm

，

はそれぞれ，状態，制御入 合は最急降下法を用いないで最適性の必要条件からゲインを求めることができる.実用上

力，ムA

，

ムBは不確かさを表す行列 もこのような形状の極指定領域を考慮すれば十分と考えられる.そこで上記のような指定

領域について，パラメータ変動も考慮し?その変動の有無に係わらず閉ループ極が指定領

(3.3)  ムB

ニ エ ^{b i F i}

ム

A= 乞

^α

i E i ，

域内に収束しヲ且つ?ノミナル・変動両システムでの2次形式評価関数を最小化する最急降 下法を用いない最適フィードパックゲインの決定法を提案する.

で

， E i ， F i

は変動の構造を表す?要素が0または lの行列Fαi，

b i

^{は変動の大きさを表す}

次に，提案する方法を非線形システムへ適用する.ここでは，その適用をクレーンシス

スカラー値であり?その最大値は既知とする.制御則は テムの制御を例にとって説明する.クレーンでは荷を吊り下げているロープ長が，台車系

のダイナミックスに影響を与えるため?荷の巻き上げと台車の位置の制御を同時に行なう

(3.4) 

Up(t) = ‑Kxp(t)  Un(t) = ‑Kxn(t)

， 

と非線形システムとなる.このため従来は?荷の巻き上げ・台車の移動が独立して行われる 線形制御の範震で取り扱われてきた非線形を考慮した例としては，ファジイ理論で制御

とし?η:ノミナル)p:変動を示す.ここで，以下に使用する補題を示す を行った報告例[佐久本ぅ他 92]が見受けられる程度である.

極指定領域Qを?

く補題3.1>[Gutman90]  具体的には?非線形システムをパラメータ変動を伴う区分的線形システムの集合とと

らえこれらパラメータ変動を伴う各線形システムに対し，前述した手法を適用すること

(3.5) 

︑ ︑

︐

J

nU  

くw u u

z   

r μ  

日 乞 同

T

乞

同

一 一

Uu z rJ 

Uu 

z 

+ 

d. ︒ ︐

rJ BL  

Q  一 一

により?非線形のシステムに対して?一定の望ましい応答を得る制御系の設計を可能にし

と定義した時?行列Aの固有値がQ内に存在する為の必要十分条件は クレーン制御の数値例により本方法の有効なことを確認する.

制御対象と準備

た.更に，

(3.6)  T:転置

M M‑l 

L 乞

γt

バ

^iX(AT)j

= 

‑Q 

3 . 2  

次のような構造的不確かさを持つ制御対象を考える.

ノミナルシステム

なるリアプノフ方程式にて，VQ= QT 

> 

0に対しうX=XT>oが存在することである.

Anxn(t) 

+ 

Bnun(t)  一一

Xn(t) 

ここで 2

， ， )

rは非負の整数である.

(3.1 )  CXn(t) 

ν

η( t )  

_く補題3.1>の十分性が成立するか否かは，ある一つのQに対してXの正定性を調 べることでチェックできる [G山 nω81] 但し，以降

ι ε

^。は

^{Z Z o z h t}

^{を表現したも}

のとする. Mは整数，γijεCは極指定領域に依存する定数である.特に

，

^r= 2即ちQの境 一

ただし

，

(C

，

An

，

Bn)は可観測?可制御とする 変動システム

界が2次曲線である場合M = 2となる [Gutman81]. 

制御則 (3.4)式のフィードパックゲイン Kを次の仕様を満たすように決定する.

Apxp(t) 

+ 

Bpup(t) 

く 制 御 仕 様 >

(3.2)  CXp(t) 

Xp(t)  Yp(t)