状態初期値変動に強い非線形制御系の設計法

4 . 3 . 1 序

前節では，一般的にマルチプランチ一般化学習ネットワークを取り扱ったが，本節以 降では，簡単化のため，シングルプランチの一般化学習ネットワークにより制御系を設計 する.すなはち，ブランチに関する乞すなはち，

L .

pEJKは不要となり，また，遅れ時間 もDij(p)が Dりとなる.このとき，評価関数のパラメータに関する 1次微分及び2次微 分は次式のように簡単化される.

1次微分

但し，

/ θ E θ↑h(Tr

， 

S)¥ 

一 一 二 乞 乞 (

_δ

)+一一

入l(tO) ^r仇 sdovh(TLs)δ入l(tO)ノ θ入l(tO)

f δh(T^k，  t)  ^{n 1 m .J.}  n  ¥ 1.J.  ¥ ¥ 1 δh(九，t)  P1(T^k，  t

，

入l(tO))

=

_j

乞

_ξJlδ￨ P 1 ( 7 7 J ‑ D j b_h(Tj

_，

_t ‑Djkf  入l(to))1

+ 

l¥‑jlv  ~J II:'''j_ \VUJJJ'

a

入l(tO)

Pl(Tj

， 

to  ‑1，入l(tO))= 0 

。↑九(九¹

t )  

P1(Tk

， 

t

，

入l(tO))= 

δ入1(tO) 

k 

= 

1，2， ・・・・・

，

R t 

= 

1

，

2ぅ・・・・・

， T

j = 1

，

2

， ・ … . ，

R

2次微分

( 4 . 1 8 )  

(  4 . 1 9 )  

( 4.20) 

( 4 . 2 1  ) 

δ↑2E 

fd(# 可)仇

(Tr

，

s) δE 

a

^t2h(Tr，  s)  ₁ 

= 

L ε I   ^{F ? + !}  

δ入l(tO)δ入2(tO) _{T目 。 託}Solθ^入2(tO) ^δ入l(tO) ^δh(Tr，s)δ入₁(to)δ入2(tO)J + δ

↑ ( 請 が

。

入

_2(tO) ^( 4.22) 

P 2 ( T

j

，  t o   ‑

1，入l(tO)，入

2 ( t O ) ) = 

0  ( 4.24) 

を強化したものといえる.また，新たに付加した動揺抑制指標は，あるシステムノード出 力の制御パラメータに関する微分を含むため，制御パラメータの学習時，評価指標の 2次 微分の言博が必要となる.

ところで，学習時と制御時の動作条件の違いとしてシステムの初期値変動，システム パラメータ変動，参照入力(外部入力)変動等が考えられる.本節では，これらの内，シ ステムの初期値変動について考察する.

非線形システムの軌道は，初期値依存性が強く，学習時用いた初期値と異なる初期値 を用いて制御を行った場合，その違いが大きくなると制御性能の劣化やシステムの不安 定動作を引き起こす.そこで，その初期値変動に対してロバストな制御系の構成法を提案 する.

θ↑θ(

必 E 3 3 k )

P2(

7 i

川 ん(to)A200))=Zl

W

^{ザ )P1(1t‑D}

^川

^l(t

ω

jεJ  ~""\-U

+ δh(Tk

， 

t) 九(T_j

，

t ‑_Djk

， 

A₁

( t O ) ，

入2(句))1 θh(Tj

， t‑

Djk)^.I.  ~\""}l V ~JIC''' J. \-U I' ''''\-V /l J

+θ

↑(摂ず)

θ入

2 ( t O )

^( 4.23) 

k 

= 

1，2， …・・

，

R

t 

= 1，2， ・・・・・

，

T

j 

= 

1，2，・…・

， R

但し，

P

₂₍1]川 l(

制 点

0))= ぷ 問 。 ) で あ る

[動揺抑制評価指標] システムを制御するための評価指標 E((4.2)式)にノード出力(: 

状態初期値を含む一般的表現)変動よるシステムの動揺を抑制するための評価指標 EHを 付加し，システム全体の新たな評価指標 Lを次式とする.

4 . 3 . 2   状態初期値変動に対するシステム動揺抑制評価指標

一般化学習ネットワーク

( U . L . N . )

による制御器の設計は学習により行うため，通常

のニューラルネットワーク

( N . N . )

で得られる制御器と同様に汎化能力を持つ.従って，

制御時の動作条件が学習時と異なっても，制御器はある程度，学習時の制御性能を維持で

きる.しかしながら，制御時の動作条件が，学習時の条件と大きく異なってくると，制御 性能が劣化したり，システムが安定に動作しなくなるという問題が生ずる.

本論文では，以上のことを考慮し，ロバスト制御系色学習時と異る条件(:システ ム環境の変化)下においても司安定，かつ良好な制御性能を保つよう学習によって制御器

を構成することと定義する.

上記ロバスト制御を実現するための基本的なアイデアは，以下のとおりである.すな はち，システムパラメータ等システム環境が，学習時設定された値から制御時に変動した 場合，その変動がシステム全体のノードに及ぼす影響を抑えるための評価項目を通常の 評価指標に付加する.この新たな評価項目(以下動揺抑制指標)を加味した全体の評価 指標を最小化するように制御器のパラメータの学習を行なう.このことにより学習時と 制御時の条件の違いに対するシステムの動揺を抑制する.これは，

N . N .

の持つ汎化能力

H E 

+ 

E 

T 一 一

L  ( 4.25) 

θ↑h(Tr

， 

S)^Lfrn.L ¥¥2 

EH ニ C_H

乞乞(乞

^{?ムh(Ti，tl))~}

s

εSN εrRs εiRpδh(Tⁱ

，

t1) 

( 4.26) 

ここで，

Rs  R _P  SN 

C

H 

> 

0 

動揺抑制ノードの添字の集合 変動ノードの添字の集合 出力変動抑制評価時刻の集合 重み係数

従って，

組制(九 ^t

^1)は

^t

¹時 刻 何 処 理 ノ ー ド 出 力 山

( T

i

， t

1)変動した場 合の s時刻における T_rノードの出力 h(T_r

，

s)の変動を示している.(4.26)式はそれらの

2乗和である.(Fig.4.4参照)

従って， (4.25)式の指標の最小化は tl時刻にノード出力に変動が発生しても，その変 動のシステム全体への景簿を抑えるとともに，本来の評価の最小化を図る事となっている.

64 

65 

↑h(Tr，  s) δ↑2h(T_r， s) 

2 C H S E E a l ( 五丸山

一

( 4.28)  と な る の で ， 也_θh(T

ω

_;，tI) 

，

θh山(T; ，(TtI)θ^r，3)入m を求めることにより註与を言噂できる~ ~."..." ‑QO，I' ‑ ‑ ，.‑̲̲.."  8入m

1 1 1 4 5 ぞれ時

4.3.1節の l次微分において

，

E=h(T_r

， 

s)

，

入l(to)=h(Tj

，

t₁₎とおけば，次式が得られる.

a normal system orbit 

t = tf  h(Tk，t) 

︑ ︐

J&冒もT 

hu  ・J ' 1

θ↑h(Tr，  s) 

= Pl (T_r 

， 

s， h(Tj， h))  δh(Tj

， 

tl) 

Fig.4.4 Perturbation of system output by node ou七putschanges at tl 

( 4.29) 

て...rδh(Tk

，

t)  n (fTl.J.  n  l.(fTl.J. ¥¥1  ah(Tk，  t) 

P₁(Tk

，

t

，

h(Tj

，

t₁₎₎ 

= 会 ヤ￨

7Lθh(Tj，t‑Djkr P1J.¥‑)1‑(

勾 ぅ

t‑Djbh(Z‑ JfIO，'W¥‑"‑

，

tJl.//jδ))￨+ 九(T_i，^? t₁) (430) 

学習アルゴリズム

一般化学習ネットワークの最適化のための学習とは， (4.25)式が最小となるパラメー

4 . 3 . 3  

[2] 

;3引はの静

タ変数入m を求めることである.(以降パラメータ変数は時不変とする. ) 

の最適化のための学習は，勾配法を用いて ( 4.25)式を最小化するパラメータ変数入m

下記の式にて行う. E = h(T_r

， 

s)

，

入l(tO)= h(Tj

， 

t1)

，

入2(tO)

=

入mとおけば，

(4.31 ) 

( 4.32) 

E r _I  ^{d t(}

_θ^鮎(凡

^{g "}

^，) 

飢h

で 2 公 r

^{，Jt叫 心k!..!..P1(勾丸引}

^，

^{t 一 Dj片k，}

^刈

^hh(

^{7 i ，} 刈

^tt

り

¹¹¹⁾

jεJ 

θh(Tk

， 

t)  TJ I m .J.  n  L ( m  .J.  ¥  ¥  ¥ 1  乃(Tj

，

t ‑Djk

， 

h(

7 i ，  

t

， ) I

入m)1 h(

巧 ，

t ̲ D j k) ‑k ¥ ‑J 1 W  ‑ J "" . W  ¥ ‑ "  W J. /) . '11> / j 

M ( 線対)

θ入m

九(Tr

，

s

， 

h(

i ，   T

tI)，入m)

P2(Tk

， 

t

， 

h(Tj

， 

t1)

，

入m) 4.3.1節の2次微分において，

+ 

一 次式が得られる.

J

^2h(Tr

， 

s)  δh(Ti

， 

tI)θ入m

( 4.27) 

なお，

i ; f ? 梨

^{ιの言憐は， 4.3伽 1次， 2}次微分を活用して持することができる く 容 の 計 算 >

3 ! ?

^立入1(tO) 

=

んとおき， (4

削凶)(

4.20)式 よ り 持 で き る く 生^Lの計算>

δ↑L  入m 一γ一一一

δ入m

θ↑L θ↑E θ↑

EH 

一 一 一

_{δ入m δ入m δ入m}

γ >  0:勾配法の学習係数

やーー

但し，

入m

+ 

な

ω

^お， (4ω

幻削

^ω32

印品

J ぷ l 3 J 目 叫

^jμωkρ)E 

= 鍛 う 詰 : 3 i

と凶おくにこと以によ川り， (4

同

^(4.19)(4.20)式 に て 容 易 に 持 で き る ( 4.26)式より，

δ↑

EH 

δ入m ここで，提案法における学習アルゴリズムをまとめると次のようになる.

stepl:学習パラメータ入mの初期値，対象システムおよびコントローラのノード出力の

初期時刻での値を与える.また，外部入力変数(参照入力)r m' (t)を制御全時刻に ついて与える.

step2: (4.1)式のダイナミックスを全ノードについて計算する.

step3: Pl(九

，

t

，

h(Ti

， 

h))，九(九

，

t

，

h(Ti

， 

tl)

，

入m) ー(4.30)(4.32)式ーを計算する.

step4: (4.27)式を計算する.

(step2 I"'OJ step4の計算が一回の学習計:算に対応し，これを必要回数繰り返すことに

なる.) 

4 . 3 . 4   数値例

[対象システム] Fig.  4.5にて示される非線形クレーンシステムを対象とする.台車の 位置，荷の振れ角，荷の巻き上げ位置を x

，

B

， 

1とすると非線形クレーンシステムは，次 式にて記述できる.

d2z  mgA  D + G  dztGU 

五 2 " ‑ ‑

M ^V  M  dt  I M ~U

~B M 十m ̲ D+Gdx  G 

二 一一一一~gB 一一一一一 + ^{‑;‑;‑;:Ud} 

dt2  ‑ lM ^:Jv  lM  dt  . lM  ^( 4.33) 

~l

C

+Gm dl  . Gm 

dt2 ‑ ‑ m  dt  ^I  m LUm 

但し，Ud，Um は横走行モータ，巻き上げモータの入力電圧で，

C :巻き上げ摩擦係数 [kgjsec] M :台車の質量[kg] G :電圧・トルク変換係数[NjV] m  :荷の質量[kg]

D : 横走行摩擦係数[kgjsec] g : 重力加速度[mjsec²] 

ここで，

Fig.  4.5 Structure of nonlinear crane control system 

九(T1

，

t) 

= 

x(t)  h(T2

， 

t) 

= 

x(t)  h(T3

， 

t) 

= 

B(t)  h(T41  t) 

= 

B(t)  h(T5

， 

t) 

= 

l(t)  h(T6

， 

t) 

= 

l(t)  とし， (4.33)式を離散表現すると，

h(T1

， 

t) 

=

αl1h(T1

， 

t)  +α21h(T2

，

t) 

h(T21 t) 

=

^α22h(T2， i) +α32h(T3， i) 

+ 

b1 ^Ud( i)  h(T3

， 

t) 

h (

九¹

t )  

h(T₅

， 

t) 

=α33h(T3

， 

i) +α43h(九¹i)  h(T21 i)  ， ̲ h(九

，

i) 

= 

α24一一ーァh(T5

，

t)  . +α34‑‑U"一一一^:+h(T5

，

t)  . α-..._，-~，44h(九

，

t-/ )十一三' h(T5L

，

^ァi) ud(i)

二 α55h(T5，i) +α65h(T61 i)  h(T6

， 

t)  = α66h(7ふi)

+ 

b2^um(i) 

但し，

t

= 

t  ‑

1 

( 4.34) 

となる . Ud

，

Um を各々 2個の制御ノード(線形処理ノード 1個，内部にシグモイド関数 を持つ非線形処理ノード 1個)で制御系を実現する場合の U.L.N.で構成したリカレント 型フィードパック制御系を Fig.4.6に示す. (但し，遅れ時間はすべて lサンプル遅れと

した. ) 

68 

j N ￨ i  

crane  system 

Xref 

r a h ‑

mm  

a

駒 内 川

町

∞

sI EE 'E I︑ ︐

SF at as a u v   '

m u u

e  a   uv 

JG

 

門u n

n H 

n v  

m a 

a u  

‑‑

‑

Fig.  4.6 Recurrent type feedback control system of  a nonlinear crane system using U. L. N. 

[評価指標] 数値例として， M 

= 

40[kg]

， 

D^二 300[kg/ sec]

， 

G 

= 

700[N /V] ，m 

= 

2[kg] ， g =  9.8[m/ sec2]

， 

G_m = 0.98[N/V ，]Cニ 0.42[kg / sec]を用い，クレーンの横走行の目標位置 付吋)を 1m，荷の巻き上げ目標位置

( l

ref)を0.5mとし，学習時のシステム出力の初期 値は

h(凡 0)

= 

l(O)ニ1.0，h(Ti

， O )   = 

0.0 (iニ1，2，3，4，6)

とする.本数値例では，ノードの出力変動として，荷の巻き上げの初期時刻(t1ニ

0 )

の変 動 ムh(T₅

，

0)

=

ムl(O)を考える.

また，システムの所期の目標，及び，巻き上げ位置の変動によるシステムの動揺抑制 を達成するための評価指標 E，EHをそれぞれ，次のように設定する.

E = 

~[I: {Q山ref

^‑h(T1

^， 

^s) )2} 

+ 

^Q12( h(T2

， 

T))2 

白 sεS。

+乞

{Q

ぱ

h(T

3 ^， S ) ) 2   + 

^Q14(h(T

4 ^，  S ) ) 2 }  

sεS。

十

2 :

^{Q日(lreJ‑h(T₅

， 

s) )2} 

+ 

^Q16(h(九 T))2

sεS。

+乞 {

Rl(h(凡

S ) ) 2 + 

R

2

^(h(Tg

^， 

^s))

叫

^( 4.35) 

sεS。

但し，右辺最終項は制御入力の評価項で h(T₇，s‑1)

=ω

(s)，h(九，sー 1)

= 

um(s)の関 係がある.(Fig. 4.6参照)

また，So 制御全時刻，T:制御最終時刻とし?重みは Ql1 rv  Q16 

= 

l.O， Rl rv R² 

= 

0.001とした.

69 

システム動揺抑制指標 EHについては

て...(δ↑h(T^r，s) 

^ t .

^{(rn  n¥¥} 

EH 

= 

CH ~

( ム

h(九 0))

TUJδ

h (

九 0) ノ ( 4.36)  とした.

ここで，Rs 

= 

{1， 2， 3，・・.，6}，CH 

= 

100，ムh(九 0)=ムl(O)ニ1.0とし， (4.36)式の 出力変動抑制評価時刻は s= 1.0[sec]である.また，学習回数は5000とした.

これらの値を用いて評価指標Eのみを用いた場合 (cαseE)と本論文提案の評価指標 L = E 

+ 

^{EHを用いた場合}(cαseL)のそれぞれについて学習を行った.尚， αcseEの場合 が通常のリカレントニューラルネットワーク制御に対応する.

[シミュレーション結果] Fig.  4.7に学習回数と評価値

E ， L

の関係(学習曲線)を示 す.図では， αcseE

，

cαseLともコントローラのパラメータ変数入m の初期値を 4ケース 乱数で変化させて学習を行った結果を示している.収束状態では

，

EHが最小化されf ほ

~1 L ~ Eとなっている.

制御時のシミュレーションは学習回数が 5000回の時に得られたパラメータ変数を用 いて，巻き上げ位置初期値 l(O)を変化させて行った.

この非線形クレーンシステムでは， (4.33)式からわかるように荷の巻き上げ位置l(t)

が零に近くなれば，システムは不安定になる.このシミュレーション結果を示したのが，

Fig.  4.8の3角形のシステム安定動作範囲である.αcseLで、は，lref 

= 

0.5とし，l(O)の値 が0.02から 39.0まで変化させてもシステムは安定に動作したことを示している.αcseE 

とαcseLの安定範囲を比較すると αcseLの方がはるかに広く，動揺抑制指標EHを付加し た効果が明確に現れている.

Table 4.3はその結果の詳細である .1(0)が零かもしくは小さい場合， αcseEの評価 値 EがαcseLのそれより若干よい.しかしながら，l(O) 

= 

15のように変動が大きくな ると， αcseLのEの値がαcseEのEよりはるかに良い.そして，動揺抑制を評価した時刻 s 

= 

l[sec]でのシステム動揺値 Sp(学習時のシステムの軌道と制御時のシステムの軌道 との差の

2

乗の全システムノードについての和)の平均値は，動揺抑制評価を付加した c

αseLの方がl桁から 2桁小さい.なお， Fig.4.8， Table 4.1  は上記4ケースの平均

値を示している.Fig.  4.9から Fig.4.16までは，l(O) 

= 

15のように初期変動が大きい 場合の制御結果である.Fig.  4.9およr.JFig. 4.10は台車位置の制御結果であり， αcseE  では大きくオーバーシュートしているがαcseLでは，抑制されていることがわかる.Fig.  4.11とFig. 4.12は荷の振れ角の制御結果であるが，これも αcseEでは，振れがおおき

く

， αcseLではそれがよく抑えられている.Fig.  4.13とFig. 4.14は荷の巻き上げ位置 の制御結果であるが， αcseEではl(t)がαcseLのそれより，システムの不安定動作を引き 起こす零の値に近いことがわかる.このことがFig.4.8における安定動作範囲の違いと なって現れてきている.Fig.  4.15とFig. 4.16は制御入力の大きさを比較している.

Figureより， αcseLの入力値がαcseEのそれより抑制されていることがわかる.

B∞ 

: t   l 

^{ー‑一̲.一.一..一…・・・: E randoml E random2} 

知

I

t  ^一一一‑_{一一ー一時} ^: _: ^E random3 _E random4 

凶 4∞ 

A 

どr~

^{z∞  一一'一:嶋一一一 : : L randoml L L random3 L random4 random2} 

。

^{2ぽ)() 4α)()} 

Lear旭国gNwnber (問

Fig.  4.7 Values of criterion fuctions L

，

E 

荷の位置の初期値

(4ケースの平均値)

39.0 

荷の位置の初期値

(4ケースの平均値)

荷の位置の目標値 荷の位置の目標値

1.

0 

0.5  0.5 

c a s e  

E 

c a s e  

L 

:学習条件

i~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~J :システムの安定動作範囲

Fig 4.8 System stable operation area 

( O

ドキュメント内 繰り返し型最適点探索方式による制御系設計法に関 する研究 (ページ 35-41)