著者 古尾谷 泉

発散のないmodelの試作(14)

著者 古尾谷 泉

出版者 法政大学多摩研究報告編集委員会

雑誌名 法政大学多摩研究報告

巻 27

ページ 51‑56

発行年 2012‑05‑30

URL http://doi.org/10.15002/00008725

発散のないmodel の試作（XIV）

古尾谷 泉

An attempt toward a non-divergent model (XIV)

Izumi FURUOYA

Neutrino には何故

o

Rが存在しないのか

Neutrinoは、理論的には、Spinに関してleft-handed hericity oLとright-handed hericity o^Rとの 2 つの状態が許される。

しかし、実験では、oLしか測定にかからない。この世には、oRは存在しないのである。このナゾは今でも解明され ていない。Neutrinoは、現在では実験でneutrino振動の存在が確かめられ、小さな質量を持つとされている。我々の

modelでは、もし、neutrion がこの様な質量をもてば、このナゾがうまく説明出来そうである。この論文では、この

ことについて報告する。

まず、従来の理論で、この問題の概要について述べよう。（素粒子物理学（武田暁、宮沢弘成著（しょう華房））か ら文章を引用。）

Dirac equationはc-matrix の適当な表示を用いて

(E-vp)u=mv, （1）

(E+vp)v=mu, （2）

とかける。ここで、質量mが0の粒子に対しては、

(E-vp)u=0 （3）

(E+vp)v=0 （4）

となるが、u, vは相互に無関係な式とみなすことが出来るので、uまたはvのみが存在し、他方が常に0である解が 存在しうる。 uY=0 で、 v=0 のときは、hericity h=vp/E は E= p に対しては、h= +1,また、 E= - p に対 しては h= -1 である。すなわち、正energy の解に対しては常に正のhericity,負energy の解は常に負のhericityとな る。一方、 u=0 で vY=0 の解では E＞0 に対しては負のhericity, E＜0 に対しては正のhericityをもつ。負

energyの解は正energyの反粒子をあらわすと考えられるので、これらをまとめると

uはhericity正の粒子とhericity負の反粒子を、また、

vはhericity負の粒子とhericity正の反粒子をあらわす

となる。

ところで、実験では、neutrinoは常に負のherictyを持っていることが確かめられている。正のhericity をもつ

neutrinoは測定にかからない。従って、その波動関数は 4 成分uとvとを持つかわりに、ただ、2 成分vのみで記述で

きる。

もし、neutrinoの従う方程式が空間反転に対して、不変ならば、 v=Y0 、u=0 の解に対して、 v=0 、 uY=0 の 解も存在しなければならない。しかし、neutrinoの関与する現象では、空間反転に対して不変性の破れていることが 知られており、 uY=0 の解は必要としないようにみえる。

上述の議論を我々のmodelでおこなおう。我々のmodel spaceに拡張されたEq.(1)および、Eq.(2)に対するDirac equationは、それぞれ

(q⁰-vq)(1+(vq-Hiq^p)/(q⁰+Hn z)) =H(n-iq^p)(1-(vq-Hiq^p)/(q⁰+Hn z)) , （5）

(q⁰+vq)(1-(vq-Hiq^p)/(q⁰+Hn z)) =H(n+iq^p)(1+(vq-Hiq^p)/(q⁰+Hn z)) , （6）

である(Eq.(A-17)およびEq.(A-18) in Appendix)。ここで、H=exp( / )pa であり、H(n+iq^p) は我々のmodelにおけ る質量をあらわす。また、q⁰はenergy、qは 3 次元momentum、pとq^pとは、我々のmodel space におけるextra な 座標とそのconjugate なmomentum である。zはspin の上向き、および、下向きの 2 つの状態をあらわし、それらを、

それぞれ

( ) 1 ( ) + = 0

z p および ( ) 0 ( ) ,

- = 1

z p （7）

であらわすことにしよう。カッコの中のpはzはpの関数であることを表す。

ここで、neutrinoは小さな質量を持っていると仮定しよう。このことから、HnやHq^pはq⁰やqに比べて小さいと 考えられるから、Eq.(5)とEq.(6)では、以下のように近似しよう。

( q)/q⁰]( q Hiq )/(q⁰ H ),

= v v - + n

R ^p （8）

この近似のもとで、Eq.(5) とEq.(6) とは、それぞれ

(q⁰-vq)(1+R)z=H(n-iq^p)(1-R)z, （9）

(q⁰+vq)(1-R)z=H(n+iq^p)(1+R)z, （10）

とかける。今、粒子の進行方向をz軸にとると、 1 q q 0

0 1

0 0

= -

R となるので

q⁰＞ のとき0

(1-R)z( )+ =0, (1-R)z( )- =2z( )- （11）

(1+R)z( )+ =2z( ),+ (1+R)z( )- =0 （12）

q⁰＜ のとき0

(1-R)z( )+ =2z( ),+ (1-R)z( )- =0 （13）

(1+R)z( )+ =0, (1+R)z( )- =2z( )- （14）

が成立する。上の結果とEq.(9) とから以下の表がえられる。

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z (1+R)z (1-R)z

q⁰＞0 z( )+ z( )+ 0 (q⁰-vq)z( )+ =0, （15）

( )-

z 0 z( )- (n-iq^p)z( )- =0, （16）

q⁰＜0 z( )+ 0 z( )+ (n-iq^p)z( )+ =0, （17）

( )-

z z( )- 0 (q⁰-vq)z( )- =0, （18）

同様にして、Eq.(10) から

z (1-R)z (1+R)z

q⁰＞0 z( )+ 0 z( )+ (n+iq^p)z( )+ =0, （19）

( )-

z z( )- 0 (q⁰+vq)z( )- =0, （20）

q⁰＜0 z( )+ z( )+ 0 (q⁰+vq)z( )+ =0, （21）

( )-

z 0 z( )- (n+iq^p)z( )- =0, （22）

以上の結果から、q^p"-i2^p と置き換えて

, ,

q⁰＞0 q⁰＜0 のいずれに対しても、Eq.(9) からは

(n-iq^p)z( )! =(n-2^p)z( )! =0 （23）

をうるが、これを解いて

( )! = 0( )! exp(+ )

z z np （24）

をうる。また、Eq.(10) からは

(n+iq^p)z( )! =(n+2^p)z( )! =0 （25）

をうるが、これを解いて

( )! = 0( )! exp(- )

z z np （26）

をうる。

これらの結果から、Eq.(5) の方程式からは 波動関数 zは、pの値が増大すると、すなわち、相互作用が大きく なると、いくらでも大きくなってしまうので、これは物理的にはうけいれられない。これに反して、Eq.(6) のzの値 は、Eq.(26) から有限であることが分かる。

我々のmodel space は 5 次元なのだからDirac equationを表すには 5 個の

c

-matrix が必要になる。したがって、4 次 元のMinkowski space における、通常の 4 個の

c

-matrix、すなはち、c0, ci, i=1, 2 3, ,の他に、新たに、p成分

の

c

-matrix、これをc^pと書いた、を探さなければならない。このc^pは4#4行列であって、Eq.(A-9) のanti-

comutation relation を満たさなければならない。これらの条件を満たす行列としては c5= -ic c c c1 2 3 0 がある。しか し、このc⁵をそのまま使用するわけにはいかない。Eq.(A-4)におけるq⁰がenergy であるためには、c^pはanti-

hermitianでなければならない。これらの条件を満たすためには

i ^{5 1 2 3 0},

= =

c^p c c c c c （27）

と置けばよい。Eq.(A-7) の特殊な表示のc^pは、その前の 2 つのc⁰とcⁱの具体的な表示から求めたものである。

我々のmodel における、p方向の量子化では、momentum qⁱ, i=1, 2, 3, の量子化と同様な形

q^p " -i2^p, （28）

と置き換をした。しかし、我々のmodel 内には、微分operator の前の符号を決める条件は何もないようである。この 符号が異なると、すなわち、+i2^pとすると、事態は逆になる。すなわち、oRは存在するが、oLは存在しなくなっ てしまう。

我々のmodel では、neutrinoの質量を、mとするとあるp が存在して

( / ) ,

exp

m²= 2p a n² （29）

と書ける。このことから

p＞p ならばn²＞exp(-2p/ )a m², （30）

となる。Eq.(A-4)で、m²=q⁰²-qⁱ² を代入し、更に、q^pにEq.(28) の置き換えをおこなうと

( ) ( exp( 2 / )a m ) ( ) ,

2 2 2

2^p z p = n - - p z p （31）

をうる。ここで、Eq.(30)より、Eq.(31) の右辺のカッコ内は正であり、m²項を無視しても、その符号は変わらないか ら、その項を無視すれば

(2^p2-n²)z p( )=0,すなわち、(2^p-n)(2^p+n z p) ( )=0, （32）

をうる。Eq.(32) の解は

( ), exp N

= -

z np および、z=Nexp(np) , （33）

である。

Appendix

我々の物理空間は 5 次元超曲面であり、この超曲面上の座礁を (x⁰ xⁱ p) . i=1. 2. 3. で表す。また、不変線素は

( / )( ) , , , ,

exp

ds²= -2pa dx⁰²-dxⁱ² -dp² i=1 2 3 （A-1）

ある。したがって、この超曲面上のmetric tensor は

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( )

( / )

( / )

( / )

( / )

, exp

exp

exp

exp g

a

a

a

a 2

2

2

2

1

= -

- -

- -

- -

- p

p

p

p

mn

R

T SS SS S SS S

V

X WW WW W WW W

（A-2）

ここで、m, n=0, 1, 2, 3, p, となる。我々のmodel space におけるenergy momentum を以下のように定義する

( / ) , ( / ) , , , , ( / ) ,

q⁰=n dx⁰ ds qⁱ=n dx dsⁱ i=1 2 3 q^p=n pd ds （A-3）

ここで、nは質量の次元を持つ量である。q^pはmodel spaceに新しく導入されたextra な座標pにconjugate な momentum である。Eq.(A-1) とEq.(A-3)とから、これらのenergy momentum は

( / )( ) ,

exp 2 a q qⁱ q

2 02 2 2

= - - -

n p ^p （A-4）

を満たさなければならない。我々のmodel space におけるDirac equation を導出するためにEq.(A-4) をq⁰, qⁱおよ びq^pの線形の和の二乗の形に表さなければならない、nを

q iqi q ,

0 0

= + +

n ct ct ctp p （A-5）

とおく。ここで、

( / ) , ( / ) , , , ,

exp a i exp a i i 1 2 3

0= - 0 = - =

ct p c ct p c および ctp=cp, （A-6）

である。c0, ciおよびcpは以下の具体的な表示を採用しよう

, , ,

I

I iI

iI 0

0 0

0

0

i 0

0=

- =

- =

c c

v

v cp （A-7）

c0はhermitian, ci , i=1, 2, 3 およびcpはanti-hermitian である。

すなわち、

, _i i

0= 0 = -

c⁺ c c⁺ c および c⁺_p= -cp, （A-8）

また、これらは、hmnを 5 次元Minkowski space におけるmetric tensor として

, , , , , ,

2 0 1 2 3

= =

c c_{m n} h_mn m n p

8 B

ただし、 hmn=sign

6

1 -1 -1 -1 -1

@

, （A-9）

をみたす。この表示でEq.(A-5)のnを具体的にあらわすと、Iを2#2行列として

( / ) ( / )( )

( / )( )

( / ) ,

exp exp

exp exp I

I

a q I a q iq I

a q iq I a q I

0

= - 0

- - -

- +

- -

n n

p p v

p v

p p

p

（A-10）

となる。これより、我々のmodel space に拡張したDirac equation は

( ( / ) )

( ) ( / )

( ) ( / )

( ( / ) ) ,

exp exp

exp exp

q a I

q a iq I

q a iq I

q a I u 0

0

0

-

- +

+

- - =

p n

v p

v p

p n

p

p

（A-11）

となる。これを書き直すと、u= z | として

(q⁰+nexp( / ))p a I|= -( )((vq)-exp( / )(p a iq I^p ))z,

(q⁰-nexp( / ))p a Iz= -( )((vq)+exp( / )(pa iq I^p ))|, （A-12）

をうる。Eq.(A-12)の解は、第 1 式から

( / ) ( )(( ) ( / )( ))

exp , x exp

q a

q a iq I

= 0

+

- -

n p

v p

z

p

（A-13）

を得るが、これより

( / )

( )(( ) ( / )( ) , ,

exp

u N exp

q a

q a iq I

0

= =

+

- -

z |

z n p

v p

z

p （A-14）

となる。

しかし、Eq.(A-12) は、従来の理論におけるDirac equation Eq.(1)に対応しない。それはc-行列の表示が異なるか らである。Eq.(A-7)の表示を以下の表示で表さなければならない。

, ,

I 0 I

0

0

i 0

0= = -

c c

v

v （A-15）

そのためには、Eq.(1)をUnitary 変換

( / ) ,

S 1 2 1

1 1

1

/

= 1 2

- （A-16）

を用いて、Eq.(A-12) と、その解Eq.(A-14) とを変換しよう。このようにして、Eq.(1) に対応する、我々のmodelにお けるDirac equationは

(q I⁰ +(vq))z=exp( / )(pa n+iq^p)I|,

(q I⁰ +(vq))|=exp( / )(p a n-iq^p)Iz, （A-17）

であり、また、その解は

( / )

U=Su= 1 2 (I-((vq)-exp( / )(pa iq I^p ))/(q⁰+nexp( / )))p a z

(I+((vq)-exp( / )(p a iq I^p ))/(q⁰+nexp( / )))p a z, （A-18）

となる。

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