極小曲面 dvi
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(2) 目次. 1 極小曲面論の歴史 — 古典的 Plateau 問題を中心に — 1.1 Plateau 問題とは何か．古典的 Plateau 問題誕生前後の歴史 1.2 古典的 Plateau 問題の解の存在 1.3 古典的 Plateau 問題の解の一意性 1.4 解の安定性（面積極小か否か） 1.5 安定な極小曲面の個数 1.6 平均曲率一定曲面に対する Plateau 問題 1.7 一般化 2 平面曲線の曲率 3 R3 内の曲面の曲率 3.1 第 1 基本形式 3.2 第 2 基本形式 3.3 第 1，第 2 基本形式の図形的意味 3.4 曲面の曲率 3.5 例 (回転面) 4 極小曲面の定義と変分問題の解としての特徴付け 4.1 極小曲面の変分問題の解としての特徴付け 4.2 Plateau 問題 5 極小曲面の等温座標表示 5.1 等温座標 5.2 Gauss 写像 5.3 調和関数 6 Weierstarss-Enneper の表現公式 6.1 正則座標 6.2 Weierstrass-Enneper の表現公式 6.3 随伴極小曲面 6.4 極小曲面に対する鏡像の原理とその応用 6.5 極小曲面の Gauss 写像と Gauss 曲率についての補足 7 面積の第 2 変分公式と安定性 7.1 面積の第 2 変分公式 7.2 極小曲面の安定性 7.3 Gauss 写像の像と安定性 8 最大値原理と非存在定理への応用 8.1 極小曲面に対する最大値原理 2.
(3) 8.2 極小曲面の非存在について 9 おわりに 参考文献. 1. 極小曲面論の歴史 — 古典的 Plateau 問題を中心に —. 1.1. Plateau 問題とは何か．古典的 Plateau 問題誕生前後の歴史. 針金を使って閉じた曲線を作り，石鹸液の中にひたしてからそっと引き上げてみよう．す ると，針金の枠に石鹸の膜が張るのが見られる．このような，石鹸膜がモデルとなるよ うな数学的概念を極小曲面と言う．また，シャボン玉 (空気を包む石鹸膜) がモデルとな るような数学的概念は，平均曲率一定曲面と呼ばれている．石鹸膜は非常に薄いのでそ の重さを無視すれば，表面張力の作用により，それ自身に近い曲面と比べてできるだけ 面積が小さい形になる．つまり，面積極小になる．. 同じ針金枠を張る 2 種類の石鹸膜 (どちらも向き付け可能). 同じ針金枠を張る石鹸膜 (左：向き付け可能，右：メビウスの帯型．向き付け不可能) さて，空間の中に与えられた閉曲線 Γ に対し，Γ で張られる (Γ を境界にもつ) 曲面 全体の成す集合を S とおこう．S は無限次元である．S に含まれる曲面 X に対し，X の面積を A(X) で表そう．すると，A は S から 0 以上の実数の成す集合 R+ への写像で ある．このような「無限次元空間上で定義された『関数』」を汎関数という．A : S → R は面積汎関数と呼ばれる．汎関数に対しても， 「微分」を定義することができる．面積汎. 3.
(4) 関数 A の微分が X で 0 になるとき，X を極小曲面という．(極小曲面の厳密な定義は 第 3 節で与える∗ ．) このような概念が初めて文献に現れたのは，1762 年にフランスの数学者 J. L. La-. grange が彼の論文∗ の中に「与えられた閉曲線を境界にもつ曲面全体の中で面積最小の ものをみつけたい」と書いた時である．Lagrange は，(x, y) 平面の領域上で定義された 関数 f (x, y) のグラフ z = f (x, y) の形で表されている曲面が極小曲面であるために関数. f が満たすべき条件 fx fy ∂ ∂ + =0 ∂x ∂y 1 + fx2 + fy2 1 + fx2 + fy2. (1). を導き† ，例として平面をあげた‡ ．一方，L.Euler は懸垂曲面. . x2 + y 2 =. a z/a e + e−z/a , (a > 0) 2. が面積最小曲面の例であることを証明した．. 1776 年に J.B.M.C.Meusnier は (1) と同値な式 1 + fy2 fxx − 2fx fy fxy + 1 + fx2 fyy = 0. (2). を導いた．これは今日，極小曲面の方程式と呼ばれており，極小曲面論において基本的 なものである．また彼は，(2) が，曲面 z = f (x, y) の平均曲率§ が 0 であることと同値 であることを示し，この事実により，その後，平均曲率が至るところ 0 であるような曲 面が極小曲面と呼ばれるようになった．さらに，常螺旋面. y = tan(az), x. (a = 0). が (2) をみたすことを示した．. 懸垂曲面（左），常螺旋面（右） ∗. 「面積汎関数 A の微分が曲面 X ∈ S で 0 になる」という性質は，平均曲率と呼ばれる曲面の曲が. 「平均曲率が至るところ 0 であ り具合を表す量が 0 であるということと同値であることがわかる．実は， る」という性質を満たす曲面を極小曲面と定義するのである．一方， 「平均曲率が至るところ一定である」 という性質を満たす曲面を平均曲率一定曲面という． ∗. Essai d’une nouvelle m´ethode pour d´eterminer les maxima et les minima des formules int´egrales ind´efinies † f の右下の添字は当該の変数での偏微分を表す． ‡ 全平面で定義されたグラフ z = f (x, y) で極小曲面であるものは，平面のみである． § 平均曲率の定義は第 3 節で与える．. 4.
(5) このころ，極小曲面を関数として具体的に表すことや，新しい例をみつけるための研 究が盛んになされたようである．あるいは，Lagrange が与えた「与えられた閉曲線を境界 にもつ曲面全体の中で面積最小のものをみつけたい」という問題を解こうとしたのかも知 れない．G.Monge が 1784 年に，次いで A. Legendre が 1787 年に，後に S.F.Lacroix，. A.M.Amp´ere，その他の数学者達が，(1) を積分することにより，極小曲面を複素解析関 数を用いて表す公式を得たが，これらは新しい極小曲面を得るのには有効ではなかった し，Lagrange の問題を解決するのにも有効ではなかった．1816 年に J.D.Gergonne. ¶. が次のような具体的な問題を提起し，それは数学者達の極小曲面に対する関心を高めた．. (i) ２つの同じ半径の円柱の交わりで張られる曲面の中で面積最小のものを求めよ． (ii) 空間の四辺形で張られる曲面の中で面積最小のものを求めよ． (iii) 与えられた２つの円を通る曲面の中で面積最小のものを求めよ． 19 世紀に極小曲面を求めるための道具として知られていたのは複素解析的な方法だけ であり，与える境界としては直線，円，多角形等だけしか扱うことができなかったので ある．. 1832 年，1835 年に H.F.Scherk が. . z = loge. cos y cos x. . を含む 5 つの新しい極小曲面の例を得た．1855 年頃から極小曲面の研究は非常に盛んに なり，O.Bonnet，J.A.Serret，B.Riemann，K.Weierstrass，A.Enneper，H.A.Schwarz 他の数学者により，多くの新しい結果を得た．彼らは，極小曲面の例の構成，表現公式 の導出，与えられた直線や円や多角形を境界にもつ極小曲面の構成やその性質の研究な ど，多くの新しい結果が得られた．. Scherk の極小曲面（左），Enneper の極小曲面（右）. ¶. Questions propos´ees, Ann. Math´em. p. appl. 7 (1816). 5.
(6) たとえば，Riemann は，前述の問題 (iii) の研究から，現在 Riemann の極小曲面と 呼ばれている曲面の族を発見した．なお，円の族によって構成される曲面（管状曲面と いう）で極小曲面であるものは，懸垂面と Riemann の極小曲面だけである．. Riemann の極小曲面 ところで，Lagrange の問題「与えられた閉曲線を境界にもつ曲面全体の中で面積最 小のものをみつけたい」についてはどうなったのであろう? Riemann は，空間内の特別 な等辺四辺形で張られる極小曲面の存在を証明することに成功し (1865 年頃)，さらに，. Schwarz は一般の空間四辺形で張られる面積最小曲面の存在証明に成功した (1867 年)． これらの証明はいずれも極小曲面を具体的に構成することによって与えられた．Riemann と Schwarz によって構成された極小曲面は，(u, v) 平面上の関数 x(u, v), y(u, v), z(u, v) を成分とする点 (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) の集合として，次のように表される．. . w 1 2 Re w0 2 (1 − g(ζ) )f (ζ) dζ. w √−1 2 Re w0 2 (1 + g(ζ) )f (ζ) dζ. w Re w0 f (ζ)g(ζ) dζ. ⎛. ⎛. ⎞. ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ y(u, v) ⎠ = ⎜ ⎜ ⎜ z(u, v) ⎝ x(u, v). ただしここで，w = (u, v) = u + と g(w) は複素変数 w = u +. √. √. ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠. (3). −1v であり∗ ，w0 は (u, v) 平面上の定点である．f (w). −1v の関数. f (w) = (1 − 14w4 + w8 )−1/2 ,. g(w) = w. で，(3) の右辺の積分は，複素積分である． なお，この曲面を滑らかに拡張して得られる三重周期をもつ曲面は，Schwarz D 曲 面と呼ばれている．ダイヤモンドと同じ対称性をもち，ナノスケールやミクロスケール のソフトマターなどの自然現象にしばしば現れる曲面として，物理学，化学，工学その 他の分野の研究にもしばしば登場する．(例 6.3.2 参照．). ∗. 2 つの実数の組 (u, v) と複素数 u +. √. −1v を同一視する．. 6.
(7) Schwarz D 曲面の基本領域 (左図) と，それを拡張した三重周期極小曲面の一部 (右図) (図の出典：岡山大学・藤森祥一氏の HP http://www.fukuoka-edu.ac.jp/˜fujimori/min surf/index.html) (3) は，Enneper(1864 年) と Weierstrass(1866 年) によって独立に導き出され， Weierstrass-Enneper の表現公式と呼ばれている (第 6 節で詳しく述べる)．なお，この 公式の最も簡単な応用例は，(3) に f (w) = 2, g(w) = w を代入して得られる曲面. x=u−. u3 v3 + uv 2 , y = −v + − u2 v, z = u2 − v 2 3 3. で，Enneper の極小曲面と呼ばれる． さて，Lagrange の問題への解答を数学的に与えたのは，19 世紀末までの時点では， 上述の Riemann，Schwarz による，空間四辺形で張られる面積最小曲面の存在証明のみ であった．一方，19 世紀後半に，ベルギーの物理学者 Plateau は，石鹸膜の実験を行う ことにより極小曲面の性質を調べた．このことにちなんで，与えられた枠で張られる極 小曲面について調べるという問題は Plateau 問題と呼ばれるようになった．. 1.2. 古典的 Plateau 問題の解の存在. さて，Plateau 問題についての第一の課題は，与えられた閉曲線で張られる極小曲面が 「存在するかどうか」であろう．このことを初めて数学的に証明したのは，J.Douglas と. T.Rad´o で，1930 年のことであった．Lagrange が問題を提出した 1762 年以来，1930 年 までずいぶん長くかかったのには，大きく分けて次のような 2 つの理由がある．. (I) 具体的に解を表現することなしに，単に「解が存在する」ということだけを証明 するという非常に抽象的な概念が，19 世紀までにはなかった．. (II) 数学が 1762 年から 1930 年までの間に発展し，有用な道具がそろってきた． Douglas はこの研究により，第 1 回のフィールズ賞∗ を受賞した．Douglas の方法は，高 次元空間内の曲面に対しても適用できるし，また，複数の閉曲線より成る枠を張る曲面 に対しても適用可能である． ∗. 40 歳以下の極めて優れた数学上の研究業績をあげた者に授与される権威ある賞．. 7.
(8) その後，Courant ([1]) は，Douglas の方法を改良し，より理解しやすい証明法を考 案した．ここでは Courant による証明の概要を述べよう．まず，基本的なアイデアを述 べる．Γ を 3 次元ユークリッド空間 R3 内の閉曲線とする．Γ を張る円板型曲面† 全体 S を考え，その面積の最小値を A0 とする．すると，S に属する曲面の列 {Xn }n=1,2,··· で. lim A(Xn ) = A0 となるものが存在する． lim Xn を X とおけば，X の面積は A0 であ. n→∞. n→∞. り，この X は Γ を張る面積最小曲面となっている．故に，X は Γ を張る円板型極小曲 面である．この方法は最小化法と呼ばれ，変分問題（無限次元空間上の極値問題）の解 の存在証明の方法として基本的なものである． この最小化法で難しい点は，極限 lim Xn が存在するかどうかという点である． n→∞. Douglas-Courant は，次のようにしてこの困難を克服した． Γ 上に異なる 3 点 Q1 , Q2 , Q3 をとる．2 次元ユークリッド空間 R2 の点 w = (u, v) √ を複素数 u + −1v と見なすことにより，R2 を複素平面 C と同一視する．R2 = C の 単位円 C = {(u, v) | u2 + v 2 = 1} 上に異なる 3 点 P1 , P2 , P3 をとる．C が囲む閉円板を. B とする．B = {(u, v) | u2 + v 2 ≤ 1} である．B から R3 への 2 階連続的微分可能な写 像で，C を Γ の上に 1 対 1 に写すもの全体を S とおく．X ∈ S に対し，B から B への. ˜ := X ◦ ϕ をとる（つまり，曲面の形を変えないで，表示 滑らかな全単射 ϕ との合成 X の仕方のみ変える）ことにより，. ˜ j ) = Qj j = 1, 2, 3 (i) X(P ˜ ∂X ˜ ˜ ˜ ∂X = , ∂ X · ∂ X = 0 (ii) ∂u ∂v ∂u ∂v ˜ で (i), (ii) をみたすもの全体の成す集 をみたすようにできる∗ ．故に，S に属する写像 X 合を S˜ とおくと，S˜ もまた，Γ を張る円板型曲面全体の集合となっている．さて今，S˜. ˜ は非負の最小値 A0 をもつ． に属する曲面 X の面積 A(X) の成す集合 {A(X) | X ∈ S} ˜ (n = 1, 2, 3, · · · ), で，面積が A0 このとき，曲面の一助変数族 Xn = (x1n , x2n , x3n ) ∈ S,. † ∗. 円板から R3 への滑らかな写像によって与えられる曲面． ˜ の等温パラメータであるという． 条件 (ii) が成り立つとき，(u, v) は曲面 X. 8.
(9) に収束する，すなわち lim A(Xn ) = A0 なるものが存在する．条件 (ii) を使うと， n→∞. ∂Xn ∂Xn ∂Xn ∂Xn dudv = × A(Xn ) = ∂u · ∂v dudv ∂v B ∂u B ∂Xn 2 ∂Xn 2 1 + = ∂v dudv 2 B ∂u 2 k 2 3 ∂xkn 1 ∂xn dudv + = ∂u ∂v 2 k=1 B 1 D(xkn ) 2 k=1 3. =. となる．ただし，一般に B 上の 2 階連続的微分可能な関数 h に対し，. . D(h) := B. ∂h ∂u. 2. . +. ∂h ∂v. 2 . dudv. とおく．D(h) は h の Dirichlet 積分と呼ばれる．さて，ynk を，xkn と同じ境界値をもち B で調和，すなわち. ∂ 2 ynk ∂ 2 ynk + =0 ∂u2 ∂v 2 をみたす関数とし，Yn = (yn1 , yn2 , yn3 ) とおく．Yn ∈ S˜ である．同じ境界値をもつ関数の 中で調和関数が Dirichlet 積分の最小値を与えることが知られているので，. 3 3 ∂Yn 2 ∂Yn 2 1 1 1 k k + A(Xn ) = D(xn ) ≥ D(yn ) = ∂v dudv 2 k=1 2 k=1 2 B ∂u ∂Yn ∂Yn ∂Yn ∂Yn · dudv = A(Yn ) × ≥ ∂v dudv ≥ ∂v B ∂u B ∂u. が成り立つ．(ここで，最初の不等式は「相加平均 ≥ 相乗平均」よりわかる．) 故に，. A0 = lim A(Xn ) ≥ lim A(Yn ) ≥ A0 n→∞. n→∞. よって，. lim A(Yn ) = A0. n→∞. である．また，Yn が条件 (i) を満たすことから，Yn の境界値 {Yn |C }n が同程度連続であ ることが示されるから，Yn |C の極限 ψ := lim Yn |C が存在することがわかる．さらに， n→∞. B での調和関数は B の境界 C 上の値のみで決まることから，ψ : C → R3 を境界値にも ち B で調和な写像を Y : B → R3 とおくと，Y = lim Yn , A(Y ) = A0 であることがわ n→∞. かる．この Y は Γ を張る「円板型曲面」の中で面積最小であり，したがって，Γ を張る 極小曲面である． 注意 1.2.1. 実は，この「面積最小曲面」は「分岐点」と呼ばれるある種の特異点を持つ かも知れない．これが「分岐点のない滑らかな曲面」であることは，R. Osserman (1970). 9.
(10) による「本質的な分岐点がないことの証明」を経て，R. D. Gulliver II (1973) による 「曲面の表示の仕方からくる特異点がないことの証明」により完全に証明された．. 1.3. 古典的 Plateau 問題の解の一意性. さて，存在することはわかった．次に基本的な課題の 1 つは，「1 つの枠を与えたとき， その枠で張られる極小曲面は 1 種類だけだろうか？ 」という問題である．閉曲線 Γ に 対して，それで張られる極小曲面 (解と呼ぶ) の一意性は一般には成立しない (下図) し， 解の個数が有限であるかどうかすら自明ではない (下図)．実際，この課題は現在でもま だ完全には解決されていない． 「完全な解決」が何を意味するかといことすら明らかでな いであろう．. 2 種類の極小曲面を張る閉曲線の例 (上段) と 3 種類の極小曲面を張る閉曲線の例 (下段). モンスター曲線：無限個の極小曲面を張る閉曲線 「1 種類だけ 」なのか，もっとたくさんあるのか，ということは，極小曲面の性質 について調べる時に大変重要になってくる． 「解の一意性」について知られている結果で 基本的なものをあげる．. 10.
(11) 定理 1.3.1. 平面内の単純閉曲線∗ ，平面閉曲線に十分近い単純閉曲線は，コンパクト極 小曲面をただ 1 つしか張らない．(下図 右). 定理 1.3.2 (T. Rad´ o, 1933). 閉曲線 Γ が平面内の凸閉曲線に 1 対 1 に直交射影 (また は，中心射影) されるならば，Γ で張られるコンパクト極小曲面はただ 1 つしかない．. (上図 左). . 定理 1.3.3 (J. C. C. Nitsche, 1973). 閉曲線 Γ の全曲率 = ならば，Γ で張られる円板型極小曲面はただ 1 つしかない．. Γ. k ds が 4π よりも小さい. ここで，閉曲線 Γ の全曲率とは，接線の向きの，長さに対する変化率 (曲率と呼ば れる) を Γ 上で積分したものである．たとえば，半径 r の円については，この円上のど の点においても曲率は 1/r であり，全曲率は 2π である．より一般に，平面内の凸閉曲 線の全曲率は 2π である．上の 3 つの定理は， 「比較的単純な閉曲線は，極小曲面を 1 つ しか張らない」ことを示している．. 全曲率が約 6π の閉曲線の例. 1.4. 解の安定性（面積極小か否か）. さて，面積汎関数 A の微分が 0 となるような曲面が極小曲面であった．ここで，実数値 関数の極大極小問題を思い出してみよう．たとえば， R 上で定義された関数 f (x) = x3 について，f (0) = 0 であるが，f は x = 0 において極大値も極小値も取らない．つま り，x = 0 は f の変曲点である．同様に，面積汎関数 A の微分が曲面 X において 0 で あっても X が面積極小とは限らない．極小曲面 X が面積極小となっているとき，X は 安定であると言う∗ ．つまり，境界を動かさずに曲面を少し変形させた時に面積が最小に なっているような曲面を，安定な極小曲面と呼ぶのである．たとえば，安定でない極小 曲面の形をした石鹸膜が現れたとしても，一瞬の後には安定な極小曲面へと形を変えて ∗ ∗. 自己交差をもたない閉曲線． 厳密な定義は第 1.4 節で与える. 11.
(12) しまう．その意味で，物理的に実現される極小曲面は安定なものだけであると言ってよ い．したがって，極小曲面のうちで安定なものとそうでない (不安定な) ものとを区別す ることは自然である．この問題について，知られている結果を述べよう．. 同じ枠を張る 2 種類の極小曲面 (懸垂曲面)． 左は安定 (面積極小)．右は不安定 (面積極小ではない)． 今，極小曲面 X 上の点 P に対し，P における単位法ベクトルを ν(P ) とする．ν(P ) は空間 R3 内の長さ 1 のベクトルだから，それを平行移動して始点が R3 の原点と一致 するようにすれば，終点は原点中心の単位球面 S 2 上の点となる．この点を G(p) とお こう．すると，G は極小曲面 X から S 2 への写像を与える．この写像を X の Gauss 写像という． ν(p). G(p). p. X. →. S2. 定理 1.4.1 (J. L. Barbosa-M. do Carmo, 1976). コンパクトで向き付け可能な極小曲 面 X の Gauss 写像の像の面積が 2π よりも小さいならば，X は安定である． 単位球面 S 2 全体の面積は 4π であることに注意しよう．定理 1.4.1 から，極小曲面 の法線方向の変化があまり大きくなければ安定であることがわかる．したがって，極小 曲面の十分小さい部分は安定である． 一方，任意の数 a ∈ (2π, 4π) に対し，Gauss 写像の像の面積がちょうど a であるよ うな不安定な極小曲面が存在する．では， Gauss 写像の像の面積がちょうど 2π である ような極小曲面は，安定か不安定かどちらであろうか? M. Koiso (1984) は，このよう な極小曲面が安定であるか否かを (特別な場合を除き) 決定した．この結果を用いること により，たとえば，ぎりぎり面積極小でない極小曲面の具体例を無限にたくさん構成す ることができる．下図の曲面は，それ自身は面積極小でないが，その一部 (どの部分で も，どんなに小さな部分でもよい) を削り取れば面積極小である，という意味でぎりぎ り面積極小でない極小曲面である．. 1 1 1 x = u cos v + u2 cos(2v) − u3 cos(3v) − u4 cos(4v) 4 3 8 12.
(13) 1 1 1 y = −u sin v − u2 sin(2v) − u3 sin(3v) − u4 sin(4v) 4 3 8 1 z = u2 cos(2v) + u3 cos(3v) 3 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π. ぎりぎり不安定な極小曲面 (M. Koiso, 1984) この極小曲面の Gauss 写像は半球面の上への 1 対 1 写像であるので，定理 1.4.1 によ り，その任意の真部分集合は面積極小である．一方，この曲面全体については，面積汎 関数の 2 階微分（第 2 変分という）は 0 であり，第 3 変分が 0 でないような曲面の変形 の方向があるので，面積極小ではない．第 3 変分の計算及び具体例の構成には，上述の. Weierstrass-Enneper の表現公式 (3) が用いられる．. 1.5. 安定な極小曲面の個数. 3 次元ユークリッド空間 R3 内の単純閉曲線 Γ に対し，Γ で張られる円板型極小曲面が一 意的であるための十分条件のいくつかを第 1.3 節で紹介した．また，解が 2 つ以上ある 例，3 つ以上ある例も紹介した．では，解が 2 つ以上ある場合に，解の個数が境界 Γ の 性質を用いて表せるであろうか? この問いに対する解答を筆者は知らない．次の有限性 定理を知っているだけである． 定理 1.5.1 (M. Koiso, 1983). R3 の凸領域の境界上にある滑らかな単純閉曲線は，安定 で自己交差をもたない円板型極小曲面を高々有限個しか張らない． 定理 1.5.1 証明の方針は次のとおりである．Γ を定理の仮定を満たす閉曲線とし，Γ で張られる安定で自己交差をもたない円板型極小曲面全体を S0 とする．S0 がコンパク トであることと，S0 の各点が孤立点であることが示せる．このことより，S0 が有限集 合であることがわかる． 次の問いに対する解答は，一般にはまだ得られていない． 問 1.5.1. 解の個数が境界 Γ の性質を用いて表せるか?. 13.
(14) 1.6. 平均曲率一定曲面に対する Plateau 問題. 与えられた枠で張られる平均曲率一定曲面について調べるという問題も，自然で興味深 い．この問題は，平均曲率一定曲面に対する Plateau 問題と呼ばれる．以下では，平均 曲率一定曲面 (surface with constant mean curvature) を，CMC 曲面と略記する．ま た，平均曲率が一定で H の曲面を CMC-H 曲面と書く．. CMC 曲面に対する Plateau 問題の解の存在と一意性については，極小曲面の場合と は異なる状況がある．まず，存在については次のことが知られている．Γ を半径 R の閉 球に含まれる単純閉曲線とする．このとき，|H| ≤ 1/R なる任意の実数 H に対し，Γ で 張られる円板型 CMC-H 曲面が存在する．解の一意性については，一般には成立しない． 実際，|H| < 1/R ならば，Γ で張られる円板型 CMC-H 曲面は少なくとも 2 つ存在する． たとえば，Γ0 を単位円としよう．すると，|H| < 1 なる任意の実数 H に対し，Γ0 で 張られる半径 1/|H| の球面帽子∗ が 2 つ存在する．これらは CMC-|H| である．また，Γ0 で張られる CMC-1 曲面は，半径 1 の半球面のみである．さらに，|H| > 1 なる実数 H に対しては，Γ0 で張られる円板型 CMC-H 曲面は存在しない．. 同一の円で張られる 3 つの球面帽子 ところで，円 Γ0 で張られる極小曲面は，Γ0 が囲む円板だけである．Γ0 で張られる. CMC 曲面は球面帽子だけであろうと予想するのは自然だが，実際はそうではない．3 以 上の任意の整数 g を種数† にもつ解が存在する．しかしながら，比較的単純な解は球面帽 子に限ることが知られている．中でも次の 2 つの結果は基本的である． 定理 1.6.1 (M. Koiso, 1986). Γ0 を R3 内の単位円とし，Γ0 を含む平面を Π とする．. X は Γ0 で張られるコンパクトで自己交差をもたない CMC-H 曲面 (H = 0) とする． もしも X が Π における Γ0 の外部と交わらないならば，X は球面帽子である． 定理 1.6.2 (L. Al´ıas-R. Lopez-B. Palmer, 1999). 円で張られる円板型 CMC-H 曲面. (H = 0) であって安定なものは，球面帽子に限る．. ∗ †. 球面の部分集合を球面帽子と呼ぶ． 種数 g の解とは，円板に g 個の把手を付けたものの表面を滑らかに変形させてできる曲面であって，. Γ0 を境界にもつものである．自己交差してもよい．. 14.
(15) Figure 1: Delaunay 曲面 (平均曲率一定回転面)．左から，球面，円柱，懸垂曲面，unduloid，nodoid．. 1.7. 一般化. 上では，主として，3 次元ユークリッド空間内の 1 つの単純閉曲線で張られる極小曲面 について述べた．この問題の一般化として，次のような問題が考えられる．. [1] 境界条件や空間を一般化する． (i) 2 つ以上の単純閉曲線で張られる極小曲面について調べる． (ii) 一般の n 次元ユークリッド空間や一般の Riemann 多様体内の曲面や超曲面につ いて調べる．. [2] 汎関数を一般化する． (i) 「面積 + 重力エネルギー」の臨界点について調べる． (ii) 「非等方的表面エネルギー」(曲面の各点で，法線の向きに依存するエネルギー 密度を考え，その曲面全体での和 (積分) をエネルギー汎関数とする) の臨界点について 調べる．. (iii) (i), (ii) 以外にも，自然現象と密接に関連するさまざまな汎関数が考えられる． (iv) 「曲面が囲む体積を保つ変分にたいする」上述の汎関数の臨界点について調べ る．たとえば， 「曲面が囲む体積を保つ変分に対する面積の臨界点」は平均曲率一定曲面 である．. 2. 平面曲線の曲率. この節では，平面曲線の曲率の定義を与え， 「平面曲線はその曲がり具合によって形が決 定する」ことをみる．標準的な事柄であるので，この節及び次節を飛ばして，第 4 節に 進んでいただいてもよい． ベクトルは通常縦ベクトル. p q. を意味するが，面積の節約のために横ベクトル (p, q). で代用することも多い．内積の記号は , を用いる．. 15.
(16) 平面曲線 γ(s) = (x(s), y(s)) が |γ (s)| ≡ 1 を満たすとき， 弧長表示 されていると いう．このとき，a ≤ s ≤ b 間の長さは. b. x (s)2. +. y (s)2. . b. ds =. a. a. . . |γ (s)| ds =. b. a. ds = b − a. となる． （それが弧長表示といわれる理由． ）このとき γ (s) = (x (s), y (s)) は単位ベクト ルで，その方向角 θ(s) を用いて γ (s) = (cos θ(s), sin θ(s)) と表示される．方向角の微 分 θ (s) を曲線 γ(s) の (符号付き) 曲率 κ(s) という． . γ (s) =. − sin θ(s) · θ (s) cos θ(s) · θ (s). − sin θ(s) = θ (s) cos θ(s) . であるから，|κ(s)| = |γ (s)| がなりたつ． 問 2.0.1. 半径 r の円の曲率を求めよ． 補題 2.0.1. 平面曲線の曲率は平行移動と回転 (行列式が正の直交変換) で不変である． 直線に関する対称変換では −1 倍される．. Proof. 平行移動では θ は変わらない．正の回転では θ は定数だけ変化する．直線に関 する対称変換では c − θ(s) が新しい方向角となる． このように，曲率は合同変換で不変な量である．もっと強く，曲率は曲線を特徴づけ る量であることがわかる． 定理 2.0.1. a ≤ s ≤ b 上定義され，弧長表示された 2 つの曲線 γ1 (s), γ2 (s) を考える． もし，γ1 が γ2 に正の合同変換 (平行移動と回転の合成) で重なり合えば，γ1 と γ2 の曲 率は等しい．逆に，γ1 と γ2 の曲率が等しければ 2 つの曲線はある正の合同変換で重な り合う．. Proof. 前半は上の補題で示した．逆を示す．γ1 と γ2 に平行移動と回転を施しても曲率 は変わらないから，γ1 (a) = γ2 (a) = (0, 0), γ1 (a) = γ2 (a) = (1, 0) であると仮定してよ い．そのとき，曲率が等しいことから θ1 (s) ≡ θ2 (s) であり，また θ1 (a) = θ2 (a) = 0 で あるから θ1 (s) ≡ θ2 (s) となる．よって，任意の s において. γ1 (s) =. s cos θ1 (s) a. cos θ1 (s). ds =. s cos θ2 (s) a. cos θ2 (s). ds = γ2 (s). 問 2.0.2. 曲率が定数となる曲線は円または直線であることを示せ．. . . 問 2.0.3. 長さ L の閉曲線 γ(s) γ(L) = γ(0), γ (L) = γ (0) について，その曲率の積. . 分. 0. L. κ(s) ds は 2π の整数倍であることを示せ．この整数を閉曲線の 回転数 という．. また，回転数が 0 となる曲線の具体例を与えよ．. 16.
(17) 次に，弧長表示されていない曲線 γ(t) の曲率についての公式を与えておく．定義域 上の各点 t で，γ (t) = 0 であることを仮定する． （そのような曲線を 正則曲線 という． ）. γ の弧長表示を考えて，曲率の定義を使うことにより， κ = |γ |−3 γ × γ , e3 ,. |κ| = |γ |−3 |γ × γ |.. が示せる．ただしここで，× は R2 を R3 = R2 × R に自然に埋め込んだときの外積で あり，e3 := (0, 0, 1) である． 問 2.0.4. 放物線: y = x2 および楕円: x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 について曲率の最大と最小を 求めよ． 問 2.0.5. 螺線: (x, y) = et (cos t, sin t) と (x, y) = t(cos t, sin t) について曲率を求めよ．. t → ∞ のときに曲率はどうなるか．. 3. R3 内の曲面の曲率. この節では曲面の曲がり具合を記述する量として第 1, 第 2 基本形式を導入し，曲面の曲 率を定義する．この節も，前節に続き標準的な事柄であるので飛ばして，第 4 節に進ん でいただいてもよい． 式を短くするために，添え字を多用し，Einstein の規約: xi yi := すなわち，上下に 1 つずつ同じ添字がある時には，和を表す記号. . i. xi yi を用いる．. が書かれていなくて. も，和をとるものとする． また，. δij. :=. 1, i = j 0, i = j. δij :=. 1, i = j 0, i = j. とおく (クロネッカーのデルタ)．. R2 の閉領域 D から R3 への C ∞ 級写像 (何回でも偏微分可能な写像) X : D → R3 ,. X(u) = (x1 (u), x2 (u), x3 (u)), u = (u1 , u2 ) ∈ D. が「はめ込み」であるとは，∂X/∂u1 , ∂X/∂u2 が D の各点で 1 次独立 (つまり，D の各 点 u に対し，u の小さい近傍 U をとれば，X の U への制限 X|U : U → X(U ) ⊂ R3 は 滑らかな全単射) である時をいう．X の単位法ベクトル場 (Gauss 写像) ν : D → S 2 は 次で与えられる．. ν = X1 × X2 /|X1 × X2 |,. 17. Xj := ∂X/∂uj. (4).
(18) −→. −→. (4) のように，偏微分を添え字で表し， ∂X ∂2X Xi := , X = ij ∂ui ∂ui ∂uj 等と書く．任意の点 p ∈ M における u1 方向の接ベクトル (X1 )p と u2 方向の接ベク トル (X2 )p は 1 次独立であると仮定しているから，点 p における接ベクトル空間 Tp M の任意の元は ai Xi の形で書ける．. Tp M の基底 {Xi } の双対基底を {dui } と書くことにする．ξ ∈ Tp∗ M について ξi := ξ(Xi ) とおけば ξ = ξi dui である．. 3.1. 第 1 基本形式. 2 つの接ベクトル v = v i Xi , w = wi Xi の内積は v i Xi , wj Xj = Xi , Xj v i wj となる． 定義 3.1.1. Tp M 上の正値対称 2 次形式 g(v, w) := v, w を曲面の 第 1 基本形式 と よぶ．その表現の係数行列 (の成分) gij := Xi , Xj も第 1 基本形式とよぶ．2 次正方 行列 [gij ] は正値対称行列である．その逆行列を [g ij ] とかく (g ik gkj = δji ). 定義 3.1.2. v ∈ Tp M に対して写像 v : w → g(v, w) なる v ∈ Tp∗ M が定まる． の逆 変換を # とかき，合わせて音楽作用素とよぶ．(v i Xi ) = gij v i duj , (ξi dui )# = g ij ξi Xj である．別の言い方をすれば (v )j = gij v i , (ξ # )j = g ij ξi . 問 3.1.1. 円筒 (cos t, sin t, z) (u1 = t, u2 = z) の第 1 基本形式を求めよ．. 3.2. 第 2 基本形式. 各点 p ∈ M において，Tp M に直交する単位ベクトルを 単位法ベクトル とよぶ．これ は 2 つあるが，通常 ν = |X1 × X2 |−1 X1 × X2 をとる．ν, Xi の偏微分も添え字で表す． すなわち，νi :=. ∂ν ∂Xi ∂2X , X := = . ij ∂uj ∂ui ∂ui ∂uj. 定義 3.2.1. 対称 2 次行列 hij := Xij , ν を 第 2 基本形式 とよぶ．対称 2 次形式. h(v i Xi , wj Xj ) := hij v i wj も第 2 基本形式とよぶ． 命題 3.2.1. hij = Xij , ν = − Xi , νj = − Xj , νi. 18.
(19) 命題 3.2.2. 曲面 M が一つの平面に含まれることと第 2 基本形式が恒等的に 0 である こととは同値である．. ∂ Xi , ν − Xi , νj = 0. j ∂u ⇐) 上の式から Xj , νi = 0. また，|ν|2 ≡ 1 から ν, νi = 0. よって νi ≡ 0, つまり ν ∂ は定ベクトルである．すると， i X, ν = Xi , ν = 0 で X, ν は定数となる． ∂u Proof. ⇒) ν は定ベクトルになるから，hij = Xij , ν =. 3.3. 第 1，第 2 基本形式の図形的意味. 上では天下り的に第 2 基本形式を定義したので，図形的意味を説明する．p ∈ M を固定 し，p での単位法ベクトル νp を含む平面 Π と M との交わりの曲線 γ を考える．Π に 含まれる単位接ベクトル Z をとり，Y := νp × Z とおく．{Z, Y, νp } は正規直交基底に なる． 曲線 γ を p + tZ + f (t)νp と X(u1 (t), u2 (t)) の 2 通りに表示する．ただしここで， 点 p は t = 0 に対応する．両者を微分して比較すれば，. γ(0) = p + f (0)νp = p. よって f (0) = 0. γ (0) = Z + f (0)νp = (ui ) (0)Xi . よって f (0) = 0, Z = (ui ) (0)Xi . γ (0) = f (0)νp = (ui ) (0)Xi + (ui ) (0)(uj ) (0)Xij . よって f (0) = (ui ) (0)(uj ) (0) Xij , νp = (ui ) (0)(uj ) (0)hij = h(Z, Z). また，平面曲線 γ の t = 0 における曲率 κ は第 2 節の公式から. κ = |γ |−3 γ × γ , e3 = |Z|−3 Z × f (0)νp , −Y = f (0). 従って κ = h(Z, Z). この κ を曲面の Z 方向の曲率 とよぶ．これが第 2 基本形式の図 形的意味である． 特に，次のことがわかる． 命題 3.3.1. 第 2 基本形式 h(Z, W ) は曲面の表示の仕方 (X) によらずに定まる．(ただ し，単位法ベクトル場 ν をとりかえると符号が変る.) また，第 1, 第 2 基本形式は，次のように表示されることもある．すなわち，曲面 X の第 1 基本形式，第 2 基本形式を，. ds2 = gij dui duj ,. II = hij dui duj. と定義する．すると，|du1 |, |du2 | が小さい時，. ds ≈ |X(u1 + du1 , u2 + du2 ) − X(u1 , u2 )|. II ≈ 2 × 点 X(u1 , u2 ) での接平面からの， 点 X(u1 + du1 , u2 + du2 ) の高さ 19.
(20) である．. 3.4. 曲面の曲率. v ∈ Tp M に対して ξ(w) := h(v, w) で定義される ξ ∈ Tp∗ M が定まる．v に ξ # ∈ Tp M を対応させる写像 W を Weingarten 写像 とよぶ．この写像は曲面の表示の仕方に依 存しない．成分表示では W (v i Xi ) = g ik hkj v j Xi , (W i j = g ik hkj ) となる．あらかじめ 1 点 p ∈ M において gij (p) = δij (p) となるように曲面を表示しておけば W i j (p) = hij (p) であるから，Weigarten 写像は対角化可能である． 定義 3.4.1. Weingarten 写像の固有値を 主曲率, それに属する固有空間を 主曲率方向,. 2 つの主曲率の平均を平均曲率, 積を Gauss 曲率とよぶ． 命題 3.4.1. 曲面 X の平均曲率を H ，Gauss 曲率を K とすると，. 1 H = hij g ij , 2 H, K の図形的意味は §4 で説明する．. K=. det[hij ] det[gij ]. 1 点 p において gij (p) = δij (p), W i j (p) = hij (p) という表示が可能なことから次が わかる． 命題 3.4.2. 各点 p ∈ M において，主曲率方向は互いに直交する．主曲率は Z ∈ Tp M を動かしたときの Z 方向の曲率の最大値と最小値に一致する． 問 3.4.1. 曲面を r 倍に相似拡大すれば主曲率は 1/r 倍になることを示せ． 問 3.4.2. 2 つの主曲率が同じ定数 c である曲面は半径 c−1 のある球面に含まれる．. 3.5. 例 (回転面). xz 平面に弧長表示された曲線 γ(s) = (p(s), q(s)) (p > 0) を z 軸を中心に回転させて 得られる曲面を X = (p(u1 ) cos(u2 ), p(u1 ) sin(u2 ), q(u1 )) とする．. X1 = (p (u1 ) cos(u2 ), p (u1 ) sin(u2 ), q (u1 )),. X2 = (−p(u1 ) sin(u2 ), p(u1 ) cos(u2 ), 0). から g11 = 1, g12 = g21 = 0, g22 = p(u1 )2 . また，X1 × X2 = (−pq cos, −pq sin, pp ) で ν = (−q cos, −q sin, p ). 次いで，X11 = (p (u1 ) cos(u2 ), p (u1 ) sin(u2 ), q (u1 )),. X12 = (−p (u1 ) sin(u2 ), p (u1 ) cos(u2 ), 0), X22 = (−p(u1 ) cos(u2 ), −p(u1 ) sin(u2 ), 0). よって，h11 = p q − p q , h12 = h21 = 0, h22 = pq . Weingarten 写像の係数行列は対 角行列で固有値は p q − p q と p−1 q . 主曲率方向はそれぞれ u1 方向と u2 方向にな る．これより，. K=−. p , p. H=. 1 p q − p q + p−1 q 2 20.
(21) 4. 極小曲面の定義と変分問題の解としての特徴付け. 第 4.1 節以降では，特に断らない限り，考える曲面はコンパクト (有界閉集合) で向き付 け可能 (表と裏の区別がつく) と仮定する． まず，曲面の平均曲率と極小曲面の定義を，比較的直感的に述べておこう．詳しい説 明は，第 3 節で与えた． 曲面 Σ の点 P での単位法ベクトルを ν とする．Π は ν を含む平面とし，γ := Π ∩ Σ とおく．P での γ の曲率円を C とし，P での単位法ベクトル ν に対する γ の曲率を. k(Π) とおく．つまり k(Π) = ± (C の半径 )−1 ．Π を動かした時の k(Π) の最大値と最 小値 k1 , k2 を Σ の点 P での主曲率という．. ν. k(Π) = ±R−1 k1 (P ) + k2 (P ) を曲面 Σ の点 P における平均曲率という．H が Σ 上定数 2 のとき，Σ を平均曲率一定曲面と呼び，H ≡ 0 のとき Σ を極小曲面と呼ぶ． H(P ) :=. 例 4.0.1. (i) 平面の平均曲率は至る所 0．. (ii) 半径 r > 0 の球面の，内向き単位法ベクトルに対する平均曲率は 1/r，外向き 単位法ベクトルに対する平均曲率は −1/r．. (iii) 半径 r > 0 の円柱の表面の，内向き単位法ベクトルに対する平均曲率は 1/(2r)， 外向き単位法ベクトルに対する平均曲率は −1/(2r)． 例 4.0.2. 平均曲率一定の回転面は，次の 6 つに分類される (Figure 1 参照)： 平面，球面，円柱，catenoid (懸垂面)，unduloid，nodoid.. catenoid，unduloid，nodoid の母線は，それぞれ，放物線，楕円，双曲線を直線に沿っ て転がしたときの焦点の軌跡として得られる．これは，平均曲率一定回転面の母線が満 たす 2 階の常微分方程式を研究することにより証明される．これらの曲面は，この性質を 発見した 19 世紀のフランスの数学者 Delaunay にちなんで，Delaunay 曲面と呼ばれる．. 21.
(22) unduloid の一部 (右図) とその母線. nodoid の一部 (右図) とその母線 注意 4.0.1. 曲面の単位法ベクトル ν の向きを取り替えると，平均曲率 H の符号が変わ る．故に，Σ を向き付け不可能な曲面とすると，Σ 全体の上で ν が連続的に定義されな い．このことは，たとえば，メビウスの帯 (第 1.1 節の写真を参照) 上で単位法ベクトル を考えてみれば理解できるであろう．このことから，向き付け不可能な曲面上で「平均 曲率が 0 でない一定の値をとる」という概念は意味をなさない． 「向き付け不可能な極小 曲面」という概念は成立する．. 4.1. 極小曲面の変分問題の解としての特徴付け. 以下，特に断らない限り，考える曲面は向き付け可能 (表と裏の区別がつく) でコンパク ト (有界閉集合) と仮定する． 以下では，曲面は 2 次元可微分多様体 Σ から R3 へのはめ込み. X : Σ → R3 ,. X(u) = (x1 (u), x2 (u), x3 (u)), u = (u1 , u2 ) ∈ Σ. で表す．(2 次元可微分多様体とは，円板を滑らかに変形したもの達を，滑らかにつない だもの．). X の面積 A(X) は次で与えられる．. . A(X) =. dΣ Σ. ただしここで，. dΣ :=. det(gij ) du1 du2 = |X1 × X2 | du1 du2. は X の面積要素である．. 22.
(23) X() を X の境界を固定する (滑らかな) 変分とする．ただしここで， は変分パラ メータである．すなわち，各 に対して X() : Σ → R3 は滑らかな曲面であり，境界値 は X の境界値と一致する．また，X(0) = X である． 「 = 0 の時の曲面は最初に与えた 曲面 X で， が変化するにつれて曲面も滑らかに変化する (たまたま変化しない場合も ある) が，境界は変化しない」ということである． 式で書くと，X()(w) : Σ × (−0 , 0 ) → R3 は C ∞ 級写像で，. X(0)(w) = X(w),. ∀w ∈ Σ. ∀ζ ∈ ∂Σ, ∀ ∈ (−0 , 0 ). X()(ζ) = X(ζ),. を満たす．ただしここで，∂Σ は Σ の境界である．. X() の = 0 での変化率，すなわち， δX := (∂X()/∂)=0 を，変分 X() の変分ベクトル場という．. X() を について Taylor 展開した式は， X() = X + (ξ + f ν) + O(2 ) と書ける．ここで，f : Σ → R であり，ξ は変分ベクトル場 δX = ξ + f ν の接成分で あって，共に ∂Σ 上 0 である． ここで記号を一つ定義しておく．Σ 上で定義された実数値 C ∞ 級関数であって ∂Σ 上. 0 である関数全体を C0∞ (Σ) で表す．上の f は f ∈ C0∞ (Σ) を満たす． 補題 4.1.1. 面積 A の第 1 変分は次で与えられる．. d δA := A(X())|=0 = −2 d. . Hf dΣ, Σ. ∂X() f := ,ν ∂ =0. (5). したがって，A の第 1 変分は，変分ベクトル場の法成分のみに依存する． 証明. dΣ = |X1 × X2 | du1 du2. (6). δ|X1 × X2 | = δ((|X1 × X2 |2 )1/2 ) = (1/2)|X1 × X2 |−1 δ((|X1 × X2 |)2 ),. (7). 2 δ((|X1 × X2 |)2 ) = δ(g11 g22 − g12 ) = (δg11 )g22 + g11 (δg22 ) − 2g12 (δg12 ),. (8). である．. 23.
(24) δgij = δ Xi , Xj = δXi , Xj + Xi , δXj. = ξi + (f ν)i , Xj + Xi , ξj + (f ν)j. = ξi + f νi , Xj + Xi , ξj + f νj. = ξi − f hiα g αβ Xβ , Xj + Xi , ξj − f hjl g lm Xm. = ξi , Xj + ξj , Xi − f (hiα g αβ gβj + hjl g lm gmi ) = ξi , Xj + ξj , Xi − f (hiα δjα + hjl δil ) = ξi , Xj + ξj , Xi − 2f hij .. (9). ξ = ξ i Xi とおくと，(6), (7), (8), (9) より， √ √ δ(dΣ) = ( ξi , Xj g ij − f hij g ij )dΣ = {( gξ i )i g −1 − 2f H}dΣ = (divξ − 2f H)dΣ. (10) 故に，. . δA =. δ(dΣ) =. Σ. Σ. (divξ − 2f H)dΣ = −2. f H dΣ +. Σ. ∂Σ. ξ, n ds = −2. f H dΣ Σ. である．ただしここで，n は ∂Σ に添う外向き単位法ベクトルであり，ds は ∂Σ の線素 である．また，Σ 上の積分を ∂Σ 上の積分に直すときには，Divergence Theorem (多様 体上での「部分積分」の公式の一つ) と ξ|∂Σ = 0 なることを使った．. 2. 注意 4.1.1. 補題 4.1.1 の証明で Divergence Theorem (多様体上での「部分積分」の公 式の一つ) を使う時に，Σ が向き付け可能であることを使った．これは，1 変数関数の部 分積分の公式. . b. . . b. f g dt + a. において，右辺の. [f g]ba. を. [f g]ab. a. f g dt = [f g]ba. としてはいけないことと同じことである．. 補題 4.1.1 より，次が示せる． 命題 4.1.1. はめ込まれた曲面 X : Σ → R3 が極小曲面であることと，X の境界を固定 する任意の変分に対して面積の第 1 変分が 0 であることは同値である．. 4.2. Plateau 問題. 与えられた閉曲線を境界とするコンパクトな極小曲面を研究せよ，という問題を Plateau 問題という (cf. 第 1 節)． 定理 4.2.1. 平面 P 上に有限個の閉曲線の和集合 Γ が与えられているとする．このと き，Γ を境界とするコンパクトな (しかし連結とはかぎらない) 極小曲面はその平面 P に含まれる．. 24.
(25) Proof. 平面 P を z = 0 としてよい．写像 ϕ(t) : R3 → R3 ; (x, y, z) → (x, y, (1−t)z) を 考える．ϕ(t) は P , 従って境界を動かさず，ϕ(0) は恒等写像で，0 < t < 1 のときに z 方向 に縮める写像である．条件を満たす極小曲面 X の変分 X(t) := ϕ(t)◦X を考える．Xit =. (0, 0, −zi ) だから gijt = −2zi zj . よって，t = 0 で，(det g)t = −2{(z1 )2 g22 + (z2 )2 g11 − √ √ 2z1 z2 g12} = −2(detg)g ij zi zj = −2(det g)|grad z|2 , ( det g)t = −|grad z|2 det g. よ d って dΣ = − |grad z|2 dΣ ≤ 0. 等号成立は z が定数（従って 0）である場合に dt 限る．なお，grad u := (du)# である．(注: 曲面のコンパクト性は面積の存在に用いて いる.) この定理を改良すれば次の命題が得られる． 補題 4.2.1. 有限個の閉曲線の和集合 Γ が半空間 K に含まれているならば，Γ を境界 とするコンパクトな極小曲面は K に含まれる．. Proof. K を z ≥ 0 としてよい．写像 ϕ(t) : R3 → R3 を ⎧ ⎨(x, y, z), (z ≥ 0 のとき) ϕ(t)(x, y, z) = ⎩(x, y, z + tz 8 ), (z < 0 のとき) と定めれば定理 4.2.1 と同様に示される．なお，冪指数の 8 は強い意味はない．微分可 能性を壊さない大きさならよい． 問 4.2.1. 境界のないコンパクトな極小曲面は R3 内には存在しないことを示せ． 補題 4.2.1 の系として次が得られる． 定理 4.2.2. 有限個の閉曲線の和集合 Γ を境界とするコンパクトな極小曲面は，Γ が張 る凸集合 (Γ を含む最小の凸集合．Γ の凸包という．) K に含まれる．. 5. 極小曲面の等温座標表示. 極小曲面は，等温座標を用いて簡単に表示することができる．. 5.1. 等温座標. 定義 5.1.1. 曲面の表示 X(u) が |X1 | = |X2 |, X1 , X2 = 0 を満たしているとき，等温 座標表示 であるという．座標としては，等温座標 であるという．これは gij = f · δij と なるような関数 f が存在することと同値である．また，定義域における 2 つの接ベク トルの成す角が曲面に写っても変わらない，とも言い換えられる．. 25.
(26) 平面の標準的な表示は等温座標表示である．等温座標の基本的な例を 1 つあげる．原 点を中心とする単位球面 S 2 から北極 N = (0, 0, 1) を除いた部分 S 2 \ {N } を S∗2 と 書くことにする．S∗2 の点 A に対し，A と N を結ぶ直線が xy 平面 R2 と交わる点を. P (A) とする．写像 P : S∗2 → R2 を 立体射影 とよぶ． 命題 5.1.1. 球面の立体射影は等温座標である．立体射影の逆写像 ϕ は球面の等温座標 表示である．ただし，外向き単位法ベクトル場にたいしては負の表示になる．. Proof. P ((x, y, z)) = (1 − z)−1 (x, y) だから ϕ(u, v) = (r2 + 1)−1 (2u, 2v, r2 − 1),. (r2 := u2 + v 2 ).. よって. ϕu = −2u(r2 + 1)−2 (2u, 2v, r2 − 1) + (r2 + 1)−1 (2, 0, 2u) = 2(r2 + 1)−2 (−u2 + v 2 + 1, −2uv, 2u), ϕv = 2(r2 + 1)−2 (−2uv, u2 − v 2 + 1, 2v). これから |ϕu |2 = |ϕv |2 = 4(r2 + 1)−2 , ϕu , ϕv = 0. 表示の向きは南極での様子をみれ ばわかる． 問 5.1.1. 立体射影によって球面の小円（または大円）は平面の直線又は円にうつるこ と，逆に平面の直線と円は立体射影の逆写像によって球面の小円にうつることを示せ．. 5.2. Gauss 写像. 定義 5.2.1. 曲面 M の表示 X : Σ → R3 にたいし，その単位法ベクトル場 ν を S 2 への写像 ν : Σ → S 2 とみたものを Gauss 写像 とよぶ．また，立体射影との合成. ρ = P ◦ ν : Σ → R2 も Gauss 写像とよぶ． 問 5.2.1. Gauss 写像の像が 1 点になる曲面，及び，1 つの曲線になる曲面を特徴づけ よ．(平面，線織面) ここで必要な Weingarten 写像についての性質をまとめておく． 補題 5.2.1. 一般に Weingarten 写像は以下の性質を持つ．(i) 第 1 基本形式に関して対称:. W (X), Y = X, W (Y ) . (ii) W (Xi ) = −νi = g jk hki Xj . (iii) (W )2 = 2HW − K id, W i k W k j = 2HW i j − Kδ i j . (iv) νi , νj = 2Hhij − Kgij . Proof. (ii) は既に何回か用いた．(i) は (ii) から従う．(iii) は Hamilton-Cayley の公式． (iv) は (ii) と (iii) からわかる．. 26.
(27) これを極小曲面に適用する．極小曲面の場合は νi , νj = −Kgij . これは K = 0 な る点 u0 で Gauss 写像 ν の微分が単射であることを示す．よって，さらに u0 で ν が北 極でなければ，P ◦ ν の微分が単射であることになる．したがって，u0 のある近傍での. = (P ◦ ν)−1 は曲面の表示をあたえる．表示 X においては ρ = P ◦ ν が恒等 逆写像 X 写像であって ν = ϕ であるから，. i , X j = g ij = −K −1 X νi , ν j = −K −1 ϕi , ϕj = −K −1 4(r2 + 1)−2 δij . は等温座標表示である． すなわち，X 命題 5.2.1. 極小曲面は，Gauss 曲率が 0 でない点の近傍では Gauss 写像の立体射影. P ◦ ν の逆写像をもちいて表示できる．しかも，この表示は等温座標表示である．. 5.3. 調和関数. 前節で，極小曲面の相当部分は等温座標で表示できることがわかった．逆に，一般の曲 面 M の等温座標表示 X が与えられているとする．. X(u1 , u1 ) = (x1 (u1 , u2 ), x3 (u1 , u2 ), x3 (u1 , u2 )) が与えられているとする．すなわち，gij = f · δij であるとする．(すなわち，|X1 |2 =. |X2 |2 =: f , X1 , X2 = 0.) このとき， 1 ∂ 1 ∂ X11 + X22 , X1 = |X1 |2 − X2 , X21 = {|X1 |2 − |X2 |2 } = 0, 1 2 ∂u 2 ∂u1 X11 + X22 , X2 = 0, X11 + X22 , ν = h11 + h22 = f g ij hij = 2Hf. つまり X11 + X22 = 2Hf ν である．とくに，等温座標表示のもとでは，極小曲面である ことと X11 + X22 = 0 であることとが同値である． 定義 5.3.1. 等温座標において f11 + f22 = 0 となる (ベクトル値) 関数 f を (ベクトル 値) 調和関数 とよぶ． 命題 5.3.1. 曲面 M の等温座標表示 X について，曲面 M が極小曲面であることと X が調和関数であることは同値である． 注意 5.3.1. 任意の曲面は等温座標で表示できることが知られているが，証明はしない． 今後，等温座標が存在することは認めて議論をすすめる． 問 5.3.1. 懸垂曲面，回転面の等温座標表示を与えよ．(直交条件はすでに満たされてい. 1 |2 = |X 2 |2 となるように s = s (s) を定めればよい.) る．|X. 27.
(28) 6. Weierstarss-Enneper の表現公式. さて，極小曲面 X = (x, y, z) は臍点 (主曲率 k1 , k2 が一致する点) を除き（必要ならば 座標軸をとりかえることにより），局所的には，微分可能な複素関数 f (w) を用いて次 のように表される．. (x, y, z) = Re. w. w0. 2. . (1 − w )f (w) dw,. w. . 2. w0. . w. i(1 + w )f (w) dw,. 2wf (w) dw w0. この表現公式は Enneper(1864 年) と Weierstrass(1866 年) によって独立に導き出され，. Weierstrass-Enneper の表現公式と呼ばれている． 複素関数 f (w) を具体的に与えて Weierstrass-Enneper の表現公式を用いることに より，極小曲面の具体例をいくらでも得ることができる．これはすごいことで，例えば， 平均曲率一定曲面ですらこのようにうまくはいかない． さて，f (w) に具体的な関数をあてはめてみよう．. f (w) = 1 は Enneper の極小曲面を与える． f (w) = k/2w2 （k は実数）は懸垂曲面を与える． f (w) = ik/2w2 （k は実数）は常螺旋面を与える． f (w) = 2/(1 − w4 ) は Scherk の極小曲面を与える． f (w) = (1 − 14w4 + w8 )−1/2 ，は Schwarz(シュワルツ) と Riemann（リーマン) に よって発見された空間四辺形を張る極小曲面を与える． 【いろいろな極小曲面】. [1] 常らせん面 (helicoid). [2] 懸垂曲面 (catenoid) a x2 + y 2 = ez/a + e−z/a , (a > 0) x = u cos v, y = u sin v, z = kv 2 [3] Scherk の極小曲面 [4] Enneper の極小曲面 cos y u3 v3 + uv 2 , y = −v + − u2 v, z = u2 − v 2 x=u− z = loge 3 3 cos x. [1]. [2]. [3]. [4]. Weierstrass-Enneper の表現公式は，極小曲面の一般的な性質の研究に用いられる一 方で，著しい性質を持つ極小曲面の新しい例の構成に利用されている．とりわけ，極小 曲面の具体例の構成に，この公式は欠くことができない．この節では，より一般な公式. (やはり，Weierstrass-Enneper の表現公式と呼ばれる) について解説する． 28.
(29) Figure 2: Costa 曲面 (Found by Costa, 1984. 自己交差をもたない完備極小曲面で 4 番 目に発見されたもの．最初の 3 つは，平面，懸垂面，常螺旋面．). 6.1. 正則座標. Cauchy-Riemann の方程式から直ちに次のことがわかる． √ −1 v2 は z := u1 + −1 u2 の √ 正則関数である．逆に，w が z = u1 + −1 u2 の正則関数ならば，v := Re w dz は. 補題 6.1.1. v が u1 , u2 の調和関数ならば，w := v1 −. √. u1 , u2 の調和関数である． 従って，等温座標表示 X(u) において，X が調和であることとベクトル値関数 ξ :=. X1 −. √. −1 X2 が z := u1 +. √. −1 u2 の正則関数であることとは同値である．以下，内積. ∗, ∗ は単に複素係数に拡張して ξ, η := ξ 1 η 1 + ξ 2 η 2 + ξ 3 η 3 と定める．Hermite 内積 ではなく，|ξ|2 = ξ, ξ となる． 逆に，ある一般の表示 X(u) で ξ := X1 −. √. −1 X2 が z := u1 +. √. −1 u2 の正則関. 数であるとする．そのとき，. √ √ ξ, ξ = X1 , X1 − 2 −1 X1 , X2 − X2 , X2 = (|X1 |2 − |X2 |2 ) − 2 −1 X1 , X2 .. 命題 6.1.1. 曲面の表示 X(u) が極小曲面を等温座標で表示したものであることと， . ξ, ξ = 0 なる正則関数 ξ を用いて X = Re. 6.2. ξ dz と表せることとは同値である．. Weierstrass-Enneper の表現公式. 上のことから，極小曲面を求めることは 3 つの正則関数 ξ i で (ξ 1 )2 + (ξ 2 )2 + (ξ 3 )2 = 0 なるものを求めることに帰着する．この表現と Gauss 写像との関係を調べる．外積も単 に複素係数に拡張する．. √ √ −1 (ξ + ξ) × (ξ − ξ) = −1 (−ξ × ξ + ξ × ξ) = −2 −1 · ξ × ξ. √ 1 また，|X1 × X2 | = |X1 |2 = |ξ|2 . よって，ν = − −1 |ξ|−2 ξ × ξ. 2 4X1 × X2 =. √. 29.
(30) 天下り式に F := ξ 1 −. √. F, G を定める．ただ −1 ξ 2 , G := ξ 3 /F によって正則関数 √ √ −1 − し，F = 0 の点では ξ 1 = −1 ξ 2 , ξ 3 = 0 から ν = · ξ × ξ = (0, 0, 1) であり， 2|ξ 2 |2 法ベクトルが北極を向いている．そのような点は除外して考える．. √ F · (1 − G2 ), ξ 1 − −1 ξ 2 = F と (ξ 1 )2 + (ξ 2 )2 = −(ξ 3 )2 = −F 2 G2 とから ξ 1 = 2 √ −1 F 2 ξ = · (1 + G2 ) が得られるので，極小曲面は次の形で書けることになる． 2 定理 6.2.1 (Weierstrass-Enneper の表現公式). 法ベクトルが北極を向いている点を除 いて，単連結な極小曲面は正則関数 F と有理型関数 G を用いて. . ⎤ ⎡ ⎡ 1⎤ 1 − G2 ξ ⎥ ⎢ ⎥ F ⎢√ ξ = ⎣ξ 2 ⎦ = ⎣ −1 (1 + G2 )⎦ 2 ξ3 2G. z. X = Re. ξ dz, z0. (11). と表示される．逆に，単連結領域 D 上の正則関数 F と有理型関数 G について，F の 2m 位の零点がちょうど G の m 位の極であるならば，上のように定義される X は極小曲面 である．. . 注意 6.2.1. 積分. z. z0. ξ dz において，z0 は定義域 D の定点，z は D の任意の点である．. 積分は，z0 と z を結ぶ D 内の任意の曲線 (積分路という) に沿って行う．D が単連結で ない時は，この積分は，一般には積分路の取り方に依存してしまう．つまり，積分の値 が決まらない．このことは，公式 (11) を用いて単連結でない極小曲面を構成する時に， 問題となる．一般に，複素平面内の領域 D(単連結とは限らない) 内の正則関数 F と有理 型関数 G (ただし，F の 2m 位の零点がちょうど G の m 位の極) に対して，公式 (11) 内 の積分が積分路によらずに決まるならば，(11) によって定義される X : D → R3 は極小 曲面である． 「(11) 内の積分が積分路によらずに決まるかどうか」という問題は， 「period. problem」と呼ばれる． この正則関数 G は以下のように Gauss 写像とみなされる．計算により，. ⎡√. −1 (G + G). ⎤. ⎡. G+G. ⎤. 1 ⎢ √ ⎥ ⎥ ⎣− −1 (G − G)⎦ . ⎦, ν = 1 + |G|2 |G|2 − 1 −1 (|G|2 − 1) G+G 1 よって ν を立体射影で射影した先は になる．R2 を C と同一視す √ 2 − −1 (G − G) ればこれは G に他ならない． ξ×ξ =. 2. |F | ⎢ (1 + |G|2 ) ⎣ 2 √. G−G. 正則関数 F に意味を与えるためには，第 1 基本形式と第 2 基本形式を求める必要が √ ある．まず，X1 =. 1 (ξ +ξ), X2 = 2. 1 −1 (ξ −ξ) であって，g11 = g22 = X1 , X1 = |ξ|2 , 2 2 30.
(31) g12 = 0. これは ξ による表示では g(ξ, ξ) = 0,. g(ξ, ξ) = |ξ|2 =. |F |2 (1 + |G|2 )2 2. ということになる． 第 2 基本形式についてはまず，∗ で z による微分をあらわして，. √ −1 X2 , X1 + −1 X2 ) = h11 + h22 = 0, √ √ h(ξ, ξ) = h11 − h22 − 2 −1 h12 = ν, X11 − X22 − 2 −1 X12. √ = 2 ν, X11 − −1 X12 = 2 ν, ξ . h(ξ, ξ) = h(X1 −. ξ=. √. F · V とかけば ν, V = 0 であって，2 ν, ξ = ν, F · V + F · V = F · ν, V . 2. よって，. h(ξ, ξ) =. 2F 1 + |G|2. ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ & G+G −GG ' ⎢ √ ⎥ ⎥ ⎢√ ⎣− −1 (G − G)⎦ , ⎣ −1 GG ⎦ = −2F G . |G|2 − 1. G. 命題 6.2.1. Weierstrass 表示において，G は Gauss 写像 P ◦ ν であり，g(ξ, ξ) = 0,. g(ξ, ξ) =. |F |2 (1 + |G|2 )2 , h(ξ, ξ) = 0, h(ξ, ξ) = −2F G がなりたつ． 2. これは “複素座標” による表示である．もとの実数の座標にもどすと， 命題 6.2.2. Weierstrass-Enneper 表現公式において，. ( ) − Re(F G ) Im(F G ) hij = Im(F G ) Re(F G ) 2 ±4|G | 4|G | が成り立つ．主曲率は ，Gauss 曲率は − である． |F |(1 + |G|2 )2 |F |(1 + |G|2 )2 ( ) |F |2 2 2 1 0 (1 + |G| ) gij = , 4 0 1. 問 6.2.1. 極小曲面を回転させると {F, G} はどのように変換されるか? 問 6.2.2. {F, G} で表示された極小曲面 M がある．それに Gauss 写像で座標をいれる と，{F, G} はどのように変換されるか?. 6.3. 随伴極小曲面. 極小曲面 X が正則関数 F と有理型関数 G を用いて Weierstrass-Enneper の表現公式に より定義されたとき，eiθ F と G を用いて定義される極小曲面を Xθ とおこう．命題 6.2.2 により，Xθ の第 1 基本形式は X の第 1 基本形式と一致する．すなわち，Xθ はすべて等 長である．Xθ を X の随伴極小曲面という．特に，Xπ/2 を X の共役極小曲面という． 例 6.3.1. 懸垂面と常螺旋面は共役である．. 31.
(32) 懸垂面 (左)，その随伴極小曲面の一つ (中)，常螺旋面 (右) 例 6.3.2. SchwarzP 曲面と SchwarzD 曲面は共役である．Gyroid はこれらの随伴極小 曲面である．これらの三重周期をもつ曲面は，ナノスケールやミクロスケールのソフト マターなどの自然現象にしばしば現れる曲面として，物理学，化学，工学その他の分野 の研究にもしばしば登場する．SchwarzP 曲面と SchwarzD 曲面は，H. A. Schwarz によ り 19 世紀に発見された曲面であるが，Gyroid は A. Schoen により 1970 年に発見され た．(すべて，数学的に構成された．) 2 種類の高分子より成る「AB ブロック共重合体の 共連続構造」と呼ばれる現象において，従来は SchwarzP 曲面の構造を持つと考えられ ていたものが，実はその多くが Gyroid の構造を持つということが判明した (1980 年代) のは，Gyroid の数学的な発見によるところが大きい．. Figure 3: 左から，SchwarzD 曲面，Gyroid，SchwarzP 曲面．. 6.4. 極小曲面に対する鏡像の原理とその応用. すでにみたように，極小曲面は等温座標を用いて表示することができ，そのとき曲面の 各座標関数は調和関数である．このことと，調和関数に対する鏡像の原理を用いること により，以下のような，極小曲面に対する鏡像の原理が示せる． 定理 6.4.1 (鏡像の原理). (i) 極小曲面 Σ が線分 を含むならば，Σ は に関して対称で ある．. 32.
(33) (ii) 極小曲面 Σ が平面 Π と直交するならば，Σ は Π に関して対称である． 定理 6.4.2 (鏡像の原理). (i) 極小曲面 Σ の境界が線分 を含むならば，Σ は を超えて 極小曲面として拡張できる．. (ii) 極小曲面 Σ の境界が平面 Π と直交するならば，Σ は Π ∩ Σ を超えて極小曲面と して拡張できる． この講義ノートであげたさまざまな極小曲面に中に，鏡像の原理に表現される性質を 発見することができる． また，Weierstrass-Enneper の表現公式を用いて単連結な極小曲面を作り，鏡像の原 理を用いてその極小曲面を拡張することができる．第 1.1 節であげた Schwarz D 曲面の 基本領域と，その三重周期極小曲面への拡張は，その例である．近年，この方法を応用 してさまざまな三重周期極小曲面の例が構成されている．. 6.5. 極小曲面の Gauss 写像と Gauss 曲率についての補足. 次の各定理は，極小曲面論において基本的である． 定理 6.5.1 (H. Fujimoto, 1988). R3 内の完備な極小曲面の Gauss 写像の像は，S 2 の 高々4 点を除外する． この評価は sharp である．(4 点を除外する例：Scherk 曲面，他．). . 3. 定理 6.5.2 (R. Osserman, 1964). R 内の完備で全曲率. Σ. KdΣ が有限な極小曲面 (代. 数的極小曲面と呼ばれる) の Gauss 写像の像は，S 2 の高々3 点を除外する． 未解決問題 6.5.1. この結果は sharp か? なお，懸垂面は，Gauss 写像の像が S 2 の丁度. 2 点を除外する代数的極小曲面の例である． 定理 6.5.3 (R. Osserman, 1964). R3 内の完備で向き付け可能な極小曲面 Σ の全曲率 K dΣ が有限ならば，Σ はコンパクト Riemann 面 Σ から有限個の点を除いたものと Σ. 共形同値である．さらにこの時，Σ の Gauss 写像 ν は Σ → S 2 に拡張できる．. . 3. 定理 6.5.4. Σ は R 内の完備で向き付け可能な極小曲面とする．Σ の全曲率. . が有限ならば，. Σ. K dΣ Σ. K dΣ = −4mπ (m = 0, 1, 2, ...) である．. Proof. Σ は定理の仮定を満たすとする．Σ が平面ならば，全曲率は 0 だから定理の結論 は正しい．そこで，Σ が平面でないと仮定する．定理 6.5.3 から，Σ の Gauss 写像 (と，. 33.
(34) S 2 から R2 = C への立体射影との合成)G = P ◦ ν はコンパクト Riemann 面 Σ 上の有理 型関数に拡張できる．G = 0 なる点 (ν : Σ → S 2 が局所的に単射でない点) は Σ の孤立 点集合である．実際，孤立していないと仮定すると，有理型関数 (または，正則関数) に 対する一致の定理により，Σ 上 G ≡ 0 となり，G は定数，すなわち，Σ は平面となり， 仮定に反する．G = 0 なる点が孤立点集合であることと定理 6.5.3 から，ν の像は (有限 個の点を除き)S 2 全体を有限回覆う．故に，全曲率 = −(ν の像の面積)= −4mπ. 定理 6.5.5. R3 内の完備な極小曲面で，全曲率が 0 のものは平面，−4π のものは Enneper の極小曲面と懸垂面のみである．. 7. 面積の第 2 変分公式と安定性. 以下では，曲面 X の変分を X() で表し，X は ∂X()/∂ を意味するものとする．また， 特に断らない限り，考える曲面は向き付け可能と仮定する．. 7.1. 面積の第 2 変分公式. d Area(X()) = −2 H · X , ν dΣ であった (補題 4.1.1). X(0) 面積の第 1 変分は d が極小曲面なら = 0 において H = 0 だから， * + d2 Area(X()) = −2 H · X , ν dΣ + H · ( X , ν. dΣ) =0 2 d =0 = −2 H · X , ν dΣ =0. となる． そこで，一般の曲面の変分ベクトル場 V = uν について H を求めよう．まず，次 のことを注意しておく． 補題 7.1.1. 正則行列 P = P (t) の各成分は t の関数とする．このとき，微分について，. (det P (t)) = (det P (t)) tr(P (t)−1 (P (t)) ) が成り立つ． Proof. P (t) は t = t0 において定義されているとする．P P −1 = id から P P −1 + P (P −1 ) = 0．よって，(P −1 ) = −P −1 P P −1 ．故に， (det P (t)) = (det P (t0 ))(det(P (t0 )−1 P (t))) = (det P (t0 )) tr((P (t0 )−1 P (t)) = (det P (t)) tr(P (t)−1 (P (t)) ). 34.
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