解答例＋引用題 理系数学 過去問

99 東京工業大学 前期日程 問題

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１ 解答解説のページへ

99 東京工業大学 前期日程 問題

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２ 解答解説のページへ

斜辺の長さが である正 Q 角錐を考える。つまり底面を正 Q 角形$ $ $Q 頂点を2 と表せば2$ 2$ 2$Q である。そのような正 Q角錐のなかで 最大の体積をもつものを&Qとする。

&Qの体積9Qを求めよ。 OLP

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３ 解答解説のページへ

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４ 解答解説のページへ

以上の自然数Qに対して

W Q H GWW Q _N Q N H Q N

Q

¦

³

3

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５ 解答解説のページへ

複素平面上の点列$Q Q≧が複素数列DQ LEQDQ EQは実数 Lは虚数単位を 表 す と す る 。 極 限 値 OLP OLP

QofDQ Df QofEQ Ef が と も に 存 在 す る と き 複 素 数 Df LEfを表す点$fを$Qの極限点ということにする。

このとき次の問いに答えよ。

複素平面上の点列3Q Q≧を次のように定める。3は を表す点とし 3は Lを表す点とする。以下 Q≧ に対してはベクトル3 3Q Qを反時計まわりに

S

回転し長さを倍したベクトルが3 3Q Q となるように3Qを定める。3Qの極 限点3fが表す複素数を求めよ。

点列4Q Q≧は次のように定める。4は を表す点とし 4は] [ L\ を 表す点とする。以下Q≧に対してはベクトル4 4Q Qを反時計まわりにS回転

99 東京工業大学 前期日程 解答解説

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１ 問題のページへ

$ D E S _% S_DS _ES_に対して E

D [とおくと [＞として

$ DS[S _% S_DS _{D [}S S _DS_˜S_[S

すると $ % D S

^

[S S[S

`

ここで I [ [S S[Sとおくと

^

`

c ˜

I [ S [S S S[S S [S [S

L S ＞ S＞のとき c

I [ ＞⇔ [S＞[S⇔ [＞[⇔ ＜ ＜[

c

I [ ＜⇔ [S＜[S⇔ [＜[⇔ ＜[ I [ の値の増減は右図のようになり

I [ ≦

よって$≦%（等号はD Eのとき成立） LL S S のとき

I [ [ [ より $ %

LLL S ＜ ＜ ＜S のとき c

I [ ＞⇔ [S＞[S⇔ [＜[⇔ ＜[

c

I [ ＜⇔ [S＜[S⇔ [＞[⇔ ＜ ＜[ I [ の値の増減は右図のようになり

I [ ≧

よって$≧%（等号はD Eのとき成立） LLLLLLをまとめて

S＞かつD≠Eのとき$＜%また＜S＜かつD≠Eのとき$＞%さらにこれら の場合以外のS またはD Eのとき$ %

［解 説］

$も%もDとEについてのS次式でしかも定数項がなのでDとEの比を考え て文字を減らしました。この常套手段で結論が導けます。

[ … …

c

I [ _{＋ −}

I [

[ … …

c

I [ _{− ＋}

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２ 問題のページへ

底面の正Q角形の面積を6外接円の半径をUとし正Q角錐の高さをKとする と条件より

U K _………①

6 U_VLQQS u Q QU_VLQQS _………②

よって正Q角錐の体積を9とすると①②より

9 6K QU K _VLQQS Q K K _VLQQS

I K K K とおくと①より

＜K＜で Ic K K 右表よりK

のとき I K は最大値

I

˜ をとる。

よって9の最大値9Qは9Q Q VLQ_QS QVLQ_QS

より OLP_Q 9Q

of of of ˜

OLP VLQ OLP VLQ

Q Q Q Q Q

Q

S _S S

S S

［解 説］

本問のような問題が出されたのはあっさり解ける問題も必要ということでしょう か。そのためか今年は出題数がつ増加しました。

2

$ $

$Q

$

U K

K …

… c

I K _{＋ −}

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３ 問題のページへ

$% $& %& Dとすると三角形の形成条件より＜D＜となる。 L 線分の両端がともに等辺上にあるとき

右図のように点34を設定し $3 W $4 V

＜ ≦W ＜ ≦V として△$%& △$34のとき を考える。

˜ ˜ ˜VLQ$ ˜ WVVLQ $ WV ………① 余弦定理より FRV$ _{˜ ˜}D D ………②

①②より 34

W V WV $ W

W D

FRV ………③

ここで相加平均と相乗平均の関係よりW

W W W

≧ ˜

等号はW W

のとき成立し ＜ ≦W を満たすのはW のときとなる。この とき①よりV

となり ＜ ≦V を満たす。 以上より 34_{の最小値P}

は③より P D D

LL 線分の両端が一方は等辺上で他方は底辺上にあるとき 右図のように点34を設定し %3 X %4 Y

＜ ≦X ＜ ≦Y Dとして△%$& △%34のとき だけを考えても一般性は失われない。

_{˜ ˜ ˜D VLQ% ˜ XYVLQ % XY D………④}

このとき FRV% %&_$% D………⑤

④⑤より 34

X Y XY % X D

X D

FRV ………⑥

ここで ＜ ≦Y Dなので④から ＜ D_{X D}≦ すなわち≦Xとなり ＜ ≦X と

合わせて≦ ≦X となる。

さて X [_{とおきI [}

[ D[

を考える。

c

I [ D

[

[ D [ D

[

≦ ≦X より ≦ ≦[ また＜D＜から ＜ ＜D

$ % & 3 4 W V $ % & 3 4 X Y

[ … D …

c

I [ _{− ＋}

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LLL ≦D

≦ ＜D

のとき

I [ の最小値はI D D

このとき34_{は最小値P}

をとり⑥より

P D D D

LLLL D＜

＜ ＜D

のとき

I [ の最小値はI

D このとき34_{は最小値P}

をとり⑥より

P D D D

LLLをまとめてDと34_{の最小値Pとの関係をグラ}

フにすると右図のようになる。

これより ＜ ＜D のときP P D ≦ ＜D のと

きP P D D

よって34の最小値は ＜ ＜D のとき D D

≦ ＜D のとき D D

［解 説］

LLの場合もLの場合と同じくまず相加平均と相乗平均の関係を用いて最小値P

を求めようとしました。ところが等号成立条件が「あやしい」と感じましたので 関数を対応させて丁寧に解いてみました。最終的には杞憂に過ぎなかったものの 解は長くなってしまいました。

2 [

\

D

D

2

D P

P

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４ 問題のページへ

,Q

³

W H GWQ W

とおくと部分積分により

> @

,Q W HQ W Q W H GW H Q,

³

Q W Q

………①

また

Q Q N N Q N Q N Q

N N Q N Q NN

¦

3

¦

¦

¦

Q _{N N}

N Q

………②

証明すべき式 W Q H GWW

Q _N Q N

H Q

N Q

¦

³

3 ……＊は②より

＊⇔ ,_QQ H

_{N N}

N Q

¦

………③

さらに ,_QQ -_Q

とおくと

③⇔ -Q H

_{N N}

N Q

¦

………④

ここで①から

-Q ,_QQ H _QQ,Q _QH ,_QQ

H

Q H Q ,Q Q QH HQ ,QQ

-Q H _{Q Q}

Q≧で-Q - H

_{N N}

N Q

¦

ここで - , WH GWW

> @

WHW H GW HW H

³

³

よってQ≧で④は成立するので＊は成立する。

［解 説］

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５ 問題のページへ

3QZQとすると Z Z Lとなる。また3fZfとおく。

ここでD

FRVSLVLQS

˜ L L とすると条件より

ZQ ZQ DZQZQ

ZQZQ Z Z DQ LDQ

Q≧でZQ Z L L

N Q N Q

¦

D D_D

D ＜ より Qo fのときDQ _{oZQ oZfなので}

Z L L

L L L L f D

4Q ]Q とすると ] ] ]となる。また4f]fとおく。

ここで E

FRVSLVLQS

˜ L Lとすると条件より

]Q ]Q E]Q ]Q

]Q]Q ]]EQ ]EQ

Q≧で ]Q ] ] ]

N Q N Q

¦

E E_E

E ＜ よりQo fのときEQ _{o ] ]}

Q o fなので

] ] ]

L ] L

f E

条件より ]f Zfなので

] L

L

よって ]

^

L

`^

L

`

L

［解 説］