複合材料の弾性定数に及ぼす介在物の形状・寸法の影響
（平成9年12月1日 原稿受付）
九州工業大学工学部機械知能工学科野田尚昭 九州産業大学工学部機械工学科西谷弘信
九州工業大学工学部機械知能工学科高瀬 康
九州工業大学工学部設計生産工学科田尻英樹
Effect of Shape and Size of Inclusion on the
Elastic Constant of Composites Having Periodically Arranged Inclusions
by Nao−Aki NODA Hironobu NISITANI Yasushi TAKASE
Hideki TAJIRI
Abstract
In this paper the effect of shape and size of inclusion on elastic constants of composite material is considered when equally shaped inclusions are periodically arranged in matrix． First， elastic constants of a composite material containing periodically arranged rectangular inclusion are numerically analyzed by the application of FEM． Then， the method of analysis is explained briefly and the accuracy of the method is checked by comparing the present results with the previous solutions which were obtained for elliptical inclusions by other researchers． Next， many numerical results are obtained for various shapes of rectangular inclusions and compared with the results of elliptical inclusions． Finally， it is found that the width and volume fraction of inclusion are two major parameters controlling the elastic modulus of composite almost irrespective of the shape of inclusion．
＿ い，近似的評価法を検討している。
1・緒言 このように多くの研究がなされているが，実際の複合
複合材料の普及とともにその機械的性質や強度の測定 材料で介在物の形状が円やだ円形といった規則的なもの もさかんに行われるようになってきた。これまでも複合 以外の場合その弾性定数を正確に予測する方法を検討す 材料あるいは介在物問題のうち一方向繊維強化材料の問 ることは実用上重要であると思われる。
題については多くの解析がなされている。 本研究では長方形介在物が周期的に配列されている場 例えば，Greszczuk（1），山脇ら（2），植村ら（3）は，繊維 合（図1）の解析を有限要素法を用いて行った。長方形
を周期配列とし，その単位要素を母材と介在物からなる 介在物の問題は，領域の要素分割が容易であるため，本 複合板の積層構造物で近似するモデルを考案した。この 研究の目的には有限要素法は一つの有効な手法であると 近似法により円孔や円形介在物の周期配列の解析を行っ 思われる。そして，だ円形介在物の周期配列の場合の弾 ている。また，石田ら（4）は，ローラン展開法により円孔 性定数と比較して，複合材料の弾性定数に及ぼす介在物 や円形介在物の周期配列も解析を行っている。村上ら（5） の形状・寸法の影響を明らかにする。
は，体積力法によりだ円形介在物の周期配列の解析を行
↑↑↑ 胴吻 ㌫ い鴫・
目020醐一d
圏口口 。蒜
声UO
浮■O ＝0 ←0
uロ
W口0
u一
『31
（a） （a）ノ （b） （c）
図1一解析方法
各配列の弾性特性の解析を有限要素法を用いて解析する。 ．．＿＿＿＿＿．＿＿＿＿＿．．＿．．＿＿＿．（5）
その解析手順を以下に示す・ 式（5）の境界条件のもとでFEMで解析したとき境界x二 有限要素法で解析するために図1（a）から（a） に示すよう 0，cで0≦y≦dのとき得られるx方向の合力をF、，境界 なunit cellを取り出し・次のように角蜥する・まず問題 y−・，dで・≦x≦。のとき得られるy方向の合力をF、と をunit cellとみなしたときの境界条件は，以下のように
すると
巳1 ．。，μ一・。×6F・L。，。炉・………（2）で与えられる．
u。，v。はまだ未知であるので以下に示す方法を用いる。 このようにして・図1（a）の問題の解が解析可能となる。
はじめに図1（b）に示すような境界条件を与えてFEMで 2・2 解析精度の検討 以下の計算では平面応力 解析する。ここでc、は適当に与えた定数である。 で行った・ここで・昆は介在物の弾性定数・恥は母材の
・（3） レ1＝レM＝0．3とした。
式（3）の境界条件のもとでFEMで解析したとき境界x＝ 表1解析精度の検討
0，cで0≦y≦dのとき得られるx方向の合力をF、，境界 lllll％
σ輪／σ。 △C／Co
λ＝
＝^c 田VEM
｡0．5
EVEM
E2．0 EVEH E0．5
EVEM
E2．0
0．2 1，490 i1．500）
0，609 i0・616）
0，018 i0．019）
・0．019 i・0・019）
05 iL534）1，537 i0577）0，582 i0．151）0，150
・0．117 i・0．118）
0．8 1，749 i1・769）
まず，はじめに表1に示すような周期的に配列された 6．o E／EH 円形介在物群を持つ板の引張を解析し，石田らによるロー
ラン展開法による解との比較を行った。解析には四辺形 5．0 4節点要素を用いて行った。図2（a）に要素分割図の例を
示す。図2（a）の円形介在物では要素数1560，節点数1613， 4・o 図2（b）の長方形介在物では要素数2500，節点数2601であ
る。なお解析モデルの要素分割には有限要素法プリ／ポ 3◆o ストプロセッサMENTAT 2を使用し有限要素法による
解析は汎用有限要素法プログラムMARC＿K52を用いて 2 o 実施した。計算に際しては介在物断面比a／c，剛性比
1．0
÷↑ 1！1
ε1j τ ・・ −
c−d ！ ノ
Ψ・ ・軍゜・̀ ／ ！ ノ
ε・／ε・°1°@ ！ ！
い ひピエピのユ の
一・・…由 a／b＝2 ／ ノ ！
一一一 EPP・。・1 d。・@ ／ ／ ／
a／b冒4 ／ ∠ a！b＝1！2
ノ
〆1！！ ／1。／b。・／4・
EI／EMをパラメータとして点Aにおける母材と介在物の o o・2 0・4 0・6 0・8 b／d 1・o 応力とコンプライアンス増加率を表1に示した。 図3三E／EMとb／dの関係（瓦／EM＝10 ）
表1の結果からわかる通り石田らのローラン展開法に
よる解（図からの読取値）との誤差は最大でも1％程度 E／覧o であり図2程度の要素分割で良好な結果が得られている
5．Oと考えられる。
馳↓ τ 号／…2・・！1
：1三．．。．3 ／
筒u ピi已a1 ！ ク ー一Z㍍・㎞ 〃グ晒・一
形 7畦！EH口2 zン ン
zン 7
b1d
（a》 （b》
図2＿要素分割の例 図4−E／EMとb／dの関係（a／b＝1）
（a）円形介在物 （b）長方形介在物
1．8 E！EH
3．長方形介在物の周期配列の複合材料の
弾性定数 1．6
図1に示すような長方形介在物が周期に正方配列をな
していて島〉疏の場合におけるヤング率の変化を図3〜 1．4 図6に示す。図3は剛体介在物（昆／EM＝105）の場合の
b／dの変化に対するヤング率の変化を示す。また図4〜 1．2 図6は形状比a／bがそれぞれ1，2，1／2で一定のときb／
dの変化に対するヤング率の変化を示す。この結果より
、 、 1．0
わかるように，介在物形状が異なればヤング率が大きく 0 0．1 0．2 0・3 0・4b！dO・5 異なる場合があることがわかる。また介在物形状が同じ 図5−E／EMとb／dの関係（a／b＝2）
ならば介在物の引張方向の径が長い方がヤング率が高く
なっておりb／dが影響していることがわかる。ヤング率 図1の問題についてヤング率の近似式は次式で与えら を評価するためGreszczuk（1），村上ら（5）の方法により求 れる。
≧㌶蕊㌶當㌶が＝言（ d ＋（c−a昔＋d云b）］監） ◆ ◆ ‥ ° （8）
る解析結果との比較を行い，誤差が最大でも20％程度の
結果を得ている。 式（8）は弾性定数瓦と塩の2っの材料を直列につないで
4．O E／騙
3．0
2．0
4．5 E／EH 4．0
3．5
3．0
2．5
2．0
1．5
1 °
E・・・・・・・・… @8b／、… 1 8・・6 ・・・・・・…b／、…
図6−E／EMとb／dの関係（a／b＝1／2） 図7−E／EMとb／dの関係（VI＝ab／（cd）＝0．16）
表2一介在物およびunit cellの形状による弾性定数の変化
o．2
▲▲▲▲▲
c／d■1 a／b■4
1 0．8 2
1
ウウウウウ
c！d■2，8／b■8
▲▲▲▲▲
O．8 o．1
ウゥ｝ウウ
o．
o／d・4，8！b■16
▼▼ウ♪ウ
菖／臨
1．24
1．27
t31 肪EH
1．20
1．20
1．20
▲▲▲▲▲
o／d■1 0．8 a！b■1／4
ウゥξウウ ▲▲▲
ヨ
ウウウ ▲▲
72｝
E／EH
2．30
3．03
4．71
8ヲEM
t80
1．80
1．80
造った一本の細長い材料を並列に並べたモデルによる近 積率一定でもヤング率は形状比によって大きく異なるこ 似式と考えることができる。近似式（8）によって与えるが とがわかる。表2は介在物の形状比a／bおよびunit cell は実際の値より小さい値を与え，剛体介在物のとき誤差 の形状比c／dを変化させたときのヤング率の変化を示す。
が最も大きくなる．そのときの誤差は0≦b／d≦0．4でユ0％ 表2ではa＝0．8，c＝1と固定してb， dを変化させた場 程度，0．4＜b／d≦0．8で20％程度となる。又，介在物が 合（表の左部分）ではヤング率の変化は小さいがb＝0．8，
剛体以外のときは，誤差はb／d＝0．8で最大10％程度とな d＝1と固定してa，cを変化させた場合（表の右部分）
る。図3〜7に近似式の与える値を破線で示す。 ではヤング率の変化は大きくなる。表2の右部分ではa−
4．介在物の体積率が一定のときの複合材料 0・05となるにしたがって介在物の体積は小さくなるがそ の小さくなった介在物が分散されるためにヤング率は大 の弾性定数
きくなったものと考えられる。また近似式との比較では 図7は体積率を一定［ab／（cd）＝0．16］として形状 介在物の形状が引張方向に長い場合ではa，cを変化さ 比a／bを変化させたときのヤング率の変化を示す。島／ せていくと近似式の精度は極端に低下していく。一般に EM＝2では体積率一定のときのヤング率の変化は小さい 介在物が引張方向に細長くなると近似式の精度は低下す が島／EM＝5，20，105と弾性比が大きくなるにつれて体 る・
5・形状の異なる介在物の周期配列を有する ↑↑↑↑↑ ↑↑↑↑↑
複合材料の弾性定数が等しくなる条件 図8，9は上述の方法で解析した長方形介在物の弾性 定数と村上らが体積力法で解析しただ円形介在物の周期 配列との弾性定数とを比較したものである。図9に示す ように昂／EM＝10−5すなわち，長方形穴とだ円穴の場合 はVI−0に従い，石田らによって得られている周期き裂
EM EM
2a 2a°
編則に一致する・同様に図8蛭一1醜わ
ち・剛体介在物の場合もV「−0に従って線状剛体介在物 （a） （b）
の結果に一致するはずである。図8ではVI−0に従って 図10一長方形介在物とだ円形介在物の弾性定数が ほぼ等しくなる2条件
3．0 （1）a＝a
（2） ab＝πa／bノ／4
E／EH 2．6
幅が等しい）と（2）ab＝πa b ／4（体積率が等しい）と 2・2 いう条件を満たせば弾性定数はほぼ等しいことがわかる。
すなわち，介在物形状が長方形やだ円形と異なっても次
1 8@ の2つの条件
①介在物の荷重軸垂直方向の最大幅が等しいこと。
1．4 ②介在物の体積率が等しいこと。
を満たす等価な介在物に置き換えてその介在物の周期配
1．0
0 0 1 0 2 0 3 Vエ0 4 列の弾性定数を評価してよいものと考えられる。
図8一蹴とW関係（脇＝ゆ 6．結言
÷÷… …・・…一 ・÷
@ 。 rec七angular
@ o elliptical inclusion
・÷・÷・÷・
奄獅モ撃浮唐奄盾氏
@ （Murakami
一？・中｛・・
卜！…！… ・！…！・！ …｛…ぐ ††望
繕］・｝…i−i…＿i。．i＿i＿ ‡：：仁㌫．． 1二：：‡：：‡：：…㌫・・◆・・†・・
一÷一÷−1一
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● ●
1．o 本研究では，長方形介在物が周期的に配列されている E1EH 複合材料の弾性定数を解析した。長方形介在物の問題は o・8 領域の要素分割が容易であるため解析には有限要素法を 用いた。結論をまとめると以下のようになる。
o 6 （1）長方形介在物の周期配列の弾1生定数を介在物の形 状比，剛性比等を系統的に変化させて解析した結果を図
0．4 表にまとめた（図3〜9，表2）。解析精度の確認のため 行った円形介在物に関する石田らの解との誤差は最大で
0．2 も1％程度であった。
（2）介在物の体積率が一定の場合でも，介在物のヤン
O O O．1 0◆2 0．3 0・4
vエ グ率が母材よりかなり大きいときには，荷重軸方向の介 図9−E／EMとVIの関係（EI／EM＝10− ） 在物寸法が長く細くなるにつれて弾1生定数は大きく変化 する（図7，表2）。
E／EM≒1に近づいており線状剛体介在物が存在しても， （3）本研究で解析した長方形介在物の周期配列の弾性 それに垂直方向の弾性定数に与える影響は小さいことが 定数と村上らが体積力法で解析しただ円形介在物の周期 わかる。図8，9より介在物の体積率が同じでも荷重軸 配列との弾性定数とを比較した結果，介在物の横幅が等 垂直方向の長さa／cが異なれば弾性定数は大きく異なるこ しいという条件と介在物の体積率が等しいという条件を とがわかる。また，長方形介在物の問題（図10（a））とだ 満たせば弾性定数はほぼ等しいことが明らかとなった（図 円形介在物の問題（図10（b））を比較すると（1）a＝aノ（横 8，9）。
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ロ rec七angular inclu8ion ・÷o ellip七ical inclusion （Murakami【5】，考・ ■
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liii ｝Eエ／E。・1σ川÷・8
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P一詩・1・ i・・↓−c＝d冒1 E1−i＋弓一漫考一
．・
：懸．運・ ↓・・i・・： ．＆．⊃．小
C・榊階尋∪
文 献
（1）LB．Greszuck， Theoretical and Experimental Studies on Properties and Behavior of Filamentary Composites，
21thSoc． Plastic Ind， Sect8−A， Chicago， Feb（1966），1−10．
（2）山脇弘一，植村益次，一方向と多層積層複合材の弾性定数の一 解析，東京大学宇宙航空研究所報告，7，2A（1971），315−333．
（3）植村益次，山田直樹，炭素繊維強化プラスチック材の弾性係数，
材料，24（1975），156−163．
（4）石田誠，佐藤力男，円孔や円形介在物を持つ任意形状有限体の 解析と周期介在物群への応用，機論，50−457A（1984），1619−
1627．
（5）内山幸彦，八田正俊，村上敬宜，周期的に配列されただ円形介 在物を有する複合材料の弾性係数の解析，日本複合材料学会誌，
11， 6（1985），275−286．
（6）石田誠，井川秀信，二重周期き裂群および千鳥分布き裂群をも つ無限体の引張り，機論，55−510A（1989），238−245．
