山田　英二＊・辻　峰男＊・泉　勝弘＊森崎　徳浩＊＊・小山　純＊＊

(1)

・長崎大学工学部研究報告−第14巻第22号昭1和59年1 月 43

電圧形インバータ駆動誘導電動機系の線形サンプル値モデル

山田英二＊・辻峰男＊・泉勝弘＊

森崎徳浩＊＊・小山純＊＊

The Linear Sampled−Data Model of an Induction Motor Driven by Voltage Source Inverter

by

Eiji YAMADA＊， Mineo TSUJI Katsuhiro IZUMi＊，，

Norihiro MORISAKI＊ and Jun OYAMA＊＊

This paper presents the transient analysis of an induction motor driven by voltage source inverter， State variable techniques are employed to describe the system exactly． The system：is

lillearized about its equilibrium state to obtain a linear sampled−data modeL The stability nature is studied by examining the eigen values of the linear model． Moreover， this model is useful in

computlng translent respQns6s．

1．まえがき

電圧形インバータ駆動誘導電動機系の過渡解析に関しては，相電圧の基本波成分のみを考慮したもの1），

高調波成分を考慮して状態推移行列を計算し，安定性を論じたもの2）などが報告されているが，制御推移行列や出力方程式まで含めた，より』般的な線形モデルは得られていないようである・

本稿では，状態変数法による実時間解析を基に高調波成分まで考慮した系の線形サンプル値モデルを導出し，このモデルが安定解析や過渡応答の計算に有用であることを示す。

2．解析法．

2．1系の記述

解析の対象となる電圧形インバータ駆動誘導電動機

系をFig．1に示す．解析に際し次の仮定を設け・る．

（1）インバータの三流は瞬時に行われるものとす

る．

（2）半導体素子は理想的と考える．

（3）誘導電動機の空間高調波，磁路の飽和はこれを無視する・

Fig．1より次式を得る。

L己 R4 も己

_乙1

Tr2 ^Tr3

E己 c

Tr1

ﾐ＝ Tr4 1酸

Tr5 Tr6

Fig．1・Inverter−Induction Mot6r System

昭和58年9月30日受理

＊・ d子工学科（Department o f Elec毛fonics＞

＊＊電気工学科（Department o f卑ectrical Engi鴫ering）

(2)

44

電庄形インバータ駆動誘導：電動機系の線形サンプル値モデル

秘凪

諺ゐ＋2 ご左＋3 ご左＋4 左＋5 魎ユ

癌眺！k！襲来

Fig．2Axis of reference

メ）τケ＝σd一ε1）／C （1）

E｛z ＝ R〔五ゴ￠十Ldメ）ゴd十 1 （2）

Fig．2に示すように固定子上に設けた4−g軸をトランジスタがONされるたびにステップ状にπ／3ず

つ回転すると，どの周期丁（＝1／6！）においても電圧，電流などが同一の式で表される．解析ではT。1

がONされた時点∫んからTr3がOFFされTr6が

ONされる時点躯1までの期間を考える．期間げ

≦診《酬1において屡9軸は静止しており，固定子

側に関する変換行列σ8は次式で与えられる．

α一

^喜F彰謡認17〕③

この変i喚行列を用いて次式を得る．

碗一・・恥・一一

t誓・・（・）

ら詰（づ・α一∫・c）・ゴ・・一一Vl∫・（・）

誘導電動機は静止した4−g座標系（位置に無関係）

に関し次のように表せる3）．

esゴ

esq

0

γs＋σLsp O ル1／P／L争 0

0 γ8＋σLsp O Mや／L争

一σγル1／ 0 σ7十P

^ω7・

0 一σγム4 『ωr σγ＋P

∫5d

ゴ59

ψ向

ψ∫q

（6）

．4＝

0

0 0

0

」＿＿⊥

Ld Ld

0

0 0

0

冨σ五、

0 0

0 C

⊥

」璽

Ld

但し，ρ＝4／漉，ω，＝回転角速度，r・， r。：巻線抵抗，

L、，Lノ：自己インダクタンス， M ：相互インダクタ

ンス，σ。雲r。／L。，σ＝1一．M ヲ（LsLノ）

（1）〜（6）式より次の状態方程式を得る．

ρ 謬1＝ノ藍κ1 顧た＋ ≦ 診 ≦二診哺κ＋1 （7）

但し，

κ1＝〔Ed， 1，ら，∫8d，ゴ8α，ψ 嘱，ψ 79〕『

0

・《訟＋雛）菅

0

π

0

一（γ3σirM／2砿、＋σL，L争）

読

0

0 0

0

σγM！

σL5L多

M勧

0

σγM／

0

σL3しひ

M勧

σrル1！

σ IL 8L争

一σr

ω7・

σ五s−L争

一ω7・

一σア

次に期間が切り替る直前端と直後端の状態変数

の関係は，4−9軸がπ／3回転するため次式のように

関係づけられる3）．

κ1（玩＋）＝Bκ1（孟ガ）

但し，

B＝

1

0 0

0

1 0

0

0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

瞬時発生トルクτ，は次式で与えられる．

％一号拶（∫、qψ γd擁、己ψ プα）

但し，P：極数

（8）

（9）

これを状態変数により二次形式表示すると，対称行列 Rを用いて，

τ8 ＝＝ κ1『 R」r1 （K》

と表せる・ここで・

(3)

山田英二・辻峰男・泉勝弘・森崎徳浩・小山純 45

R＝坐

4L7

0 0 0 0 0 σ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0．0 0 0−1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0−1 0 0 0

機械系の運動方程式は，負荷トルクをTしとして

次のように表せる．

÷」讐一％一÷瓦ω。一丁。 ⑳

但し，」：慣性モーメント（含負荷），R。：制動係数 2。2定常解析

定常状態では解の周期性より次式を得る．

κ10（嬬＋1）＝κ10（診畜） ⑫

添字の0は定常値を意味する（以下同様）．

さて，（7）式の状態方程式の解は一般に次式で与えら

れる．

κ1（の＝φ（ト醜）κ1（嬬）憲≦；：古く嫌1 但し，

￠ω一幅署（響㈱

（8），⑬式より，

κ、（嬬＋、）＝Bの（職）濯、（砺＋） ⑮

である．ここで，乃≡転一砺としている．乃の定常

値をTとおくと，⑫，㈲式より次式を得る．

（1−Bφ（T））κ10（渉ん＋）＝0 α6）

但し，1：単位行列，0：零行列

ここで，行列ゑの第1行目の成分はすべて零であ

るので，推移行列の（T）の第1行目は（1，1）成分だけが1で他の成分は零になる．従って，1−Bの（T）の第1行目はすべて零となり，逆行列は存在しない．こ

れは，入力量である電源電圧Edをκ、の要素としているためで，Edを定めることにより他の要素が一意

的に決まる・

なお，定常解析においては回転角速度ω。を一定と仮定している。

2．31

・̀サンプル値モデル

2．1節で述べたように，機械系の運動方程式まで

含め，系は周期的に繰り返す非線形微分方程式として記述される．本節では，定常解析で求まった平衡点に関し状態変数の微小変動分（4を付記する）を考えることにより，線形モデルを導出する．系の動作が周期的に繰り返すことからサンプル値系となる．

サンプル値系の状態方程式は，一般に次式で与えら

れる．

∠i罵（毒＋1）＝￠∠κ（砺＋）十θ∠f包亙（彦㌃＋） α？｝

φは状態推移行列，θは制御推移行列と呼ばれている・

状態ベクトル4κ，入力ベクトル∠ηを本稿では次のよ

うに選ぶ．

∠fκ＝〔4 1，4毎，∠ゴ8己， ∠ゴ8q，∠fψ γ4，∠ψ 7α，

」の。〕7 ⑱

∠ ＝〔4五1（濫，4〆，4τ乙〕7 dg

φのσ，の成分をφりとすると，㈲式よりφ鐸はげ

でブ番目の状態変数のみを定常値から微小変動させたとき，その変動分どそれに対する嬉＋、におけるづ番目の状態変数の微小変動分との比を表していること炉判る．同様に，＠の成分θ乞ゴは，ブ番自の入力の微小変動とそれに対するゴ番目の状態変数の変動分とゐ比を表している4）．上記の考え方に基づき，の，⑧の計算

法を述べる．

回転角速度ω。とインバータ周波数∫を定常値として，解式の微小変動分をとると次式を得る．

、4T 」κ1（茄）＝Be

調1（の ⑳ これから，1く∫《6，1≦ノ≦＝6なる整数∫，ノに対し

て，φ乞ゴ，砺が以下のように求まる、．

．4T

）乞＋1，ゴ＋1 ⑳

φ乞ゴ・＝（Be

孟7

）乞＋1，1 ㈲ θ盛1＝（Be

∠4T

．47▼

但し，（Be

）乞ゴはBe

の（∫，か成分を示す．

次に，回転角速度ω。だけが期間場≦＝辰彦竃＋1で一定値ノω。（砺＋）微小変化（数値的に与える）したときの

∠苅（古㌔＋1）を計算すると，φ乞7（1≦∫≦：6）が求まる．

雇＋1（嬬＋、）

φ￠？＝・

∠ωr（砺＋）

ここで，4髭（畜＋1）は潴1（嬬＋1）の第げ成分を表す．

期間．げ≦＝侭（娠、におけるトルクの平均値をT』

（ゲ）と表示すると，7』（彦κ＋）は⑩式より次のように

表せる．

瑠）一毒∫レ鰍

一去κ・T㈹恥・（玩＋）・㈱

但し，

嵯幽幽・

この期間℃ 瞬時トルクτθ及び負荷トルクTLをそ

れぞれ一定値丁，（砺＋），丁五（餅）と仮定すると，．α0式

(4)

46 電庄形イソバニタ駆動誘導電動機系の線形サンプル値モデル

より次式を得る．

砺㈲一叫（げ）1一争＋義（鞭）

一丁。㈹（1一。一亨乃）㈲

さて，期間げ≦診く帰エにおける発生トルクの平均

値の微小変動分」7毛（傷＋）は，∠κ、侮＋）のみの変動を考えると，㈲式より，

4％㊥一÷κ訓」κ・（・の ⑫の

となる．但し，X、。，鴎はκ1（砺＋），躍の定常値であ

る．従って，㈲式で調1（配）のみの微小変動を考

えると，次式を得る．

∠ω。（∫＋乃十1）一が幽（・の・（28）

ここで，

・・』

戟i・一一与丁）÷轟②9）

となる．一方ω7は，

㊥り2』〔θ7、，φ7、，φ72，……φ76〕 ⑳

と表せる・

φ77，θ73は￠是式より以下の如く計算できる．

触一・噤{義（1一・一馳≦鑛1⑳ 鰯一2￡（・一・一与丁）舩

但し，鋤式の4T￠（翻）は，」叫（雄）だけの変動に対

する平均トルクの変動を意味する．時間ゲで負荷ト

ルクTしが変化しても，ω。を周期丁左の間一定とし

ているので塘1でω．以外の状態量の変化はない．

よって，

θ乞3 ＝＝ 0 （1≦＝∫≦二6） e鋤である．

次に，インバータ周波数の変化に起因するθ盛2（1≦；：

ゴ《7）の計算法を述べる．周波数のみを雌（＝1／（6 4Tκ））変化させて，醸1に事ける状態量の変動平調1

（彦港＋1）を計算することによりθ乞2（1くゴ≦6）が求ま

る。

」x、（十玩＋1）B。五（T＋疏）＿1

4ル＝ 4疾 κ…

＝〔0， θ12， θ22， … 。・・θ62〕7 （3の

θ72は，疏の変化に対する平均トルクの変動分∠T，

（彦のを計算することにより，次式から求まる．

鰯一義（＿RωT1＿eJ）撃）㈲

一方，出力方程式は一般に次のように書ける．

イ〃（彦の〒c∠κ（彦の＋D∠鯉（彦・＋）働

ここで，0，Dはそれぞれ出力行列，伝達行列と呼ば

れている．C， Dの σ，ノ）成分をそれぞれ砺，砺とする．出力と．しては帰における瞬時値よりも，周

期乃にわたる平均値の方が妥当と考えられる．そこ

で，本稿では出力ベクトル∠〃を次のように選ぶ・

4〃＝〔4T，，∠1、α，4エd，4v、〕7 ⑱の

」1sα，4ち，4y∫はそれぞれげ：く ≦ご娠1における相電流、αの実効値，直流電流錫の平均値，晦の平均値の微小変動分を表す．

要素c1乞（1≦9く6），411は⑳式より求まる．

期間げ≦；鉢≦ζ帰、における一次電流の実効値1、α

（配）を次式で定義する．

囎）イ訟∫㍗

》

σ、d2＋ゴ、q2）誘

但し，

1

弧謬・7（彦のπ1x・（孟滝＋）

三一∫歴ア

ll紹

面一ll留

紹18

0 0 0 0

窟 4護

R∫e

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

鰺

㈲

（4①

ここで，1sα（彦産＋）の4κ1⑫＋）に対する微小変動を考えることにより次式を得る．

∠恥㈹一途撒04x1（げ） ω

但し，1、α。：Isα（翻）の定常値

これより，c2盛（1≦＝づ≦；：6），421が求められる・

状態変数x1の，期間孟ボ《診≦㌶＋1における平均

値を瓦（砺＋）・とすれば，

礁）一部∫蔚ぬ萌（孟為＋）＠

となる．κ1（ゲ）の微小変動4×1（翻）に対するX1（彦κ＋）

の変動分4X、（砺＋）は，

鵡）一÷∫藷鵜（婦）㈲

(5)

山田英二・辻峰男・泉騰弘・森崎徳浩・小山．純

⁴⁷

と表示される．よって41己（げ），」巧（彦鳶＋）に関する 03哲，噸（1≦ゴ≦6），431，41は㈹式より求まる．

次に，回転角速度ω。だけが4ω。（婦）微小変化

したときの，出力の変動を数値的に計算すると，砺

（1《∫≦4）が求まる．c、7を例にとれば次式により計

算される．

負・一鱗茎；1 ⑭

インバータ周波数に関する4乞2（1≦ゴ≦4），負荷ト

ルクに関する4循（1≦9≦：4）は，疏あるいは4TL

（砺＋）のみの変動に対する出力の変動分より求まる．

以上により，微小変動分に対する線形サンプル値モデルが導出された．この線形モデルは，次のような応用が考えられる．

（1）安定解析 0の固有値がすべて単位円内にあれぽ，

その平衡点は安定である．

（2）過渡応答の計算・働，66）式により，インパルス応答やステップ応答が計算できる．

（3）制御系の設計制御装置は，出力∠〃と入力∠麗の関係を定めるものと見なせるので，制御系を含めた系全体のモデルが容易に得られる．

§ 龍

§ り

2§

蚕の

§

弓 §

3

；8

專

§

的

§

偲

年8 語日

建

21

§

E己＝250V，ノ＝60H呂

ISA

EF

PF

7σ臼。口ε

§

9 §

o

§§

．毒

8k

響

§

儒

3．解析結果

数値計算に用いた電動機及び回路の定数をTable．

1に示す．

Table 1． Machine constants and circuit parameters

ミ。。。，。。、。。如。、。。。。§

S

Fig．3 Steady−state characteristics

忍己＝一250V，ノ』60H乞，3＝0．01

、．oσ

のヒコ

。『

例 o×四

0。04 0508 0。12 0・16

丁1門E〔S3 漏10一二 ^0。20

…創・

＜己沼甲

實

＿i2 さ

o

0・04 0電．i2

τIME〔S3 x

o．20

Motor：rating 2．2kW，200V，60Hz，1）罵4 J』0．0975kg−m2 （inertia including that of dc load generator）

M・…c・・…n・・ICi・cui・p・・am・・ers

プ8＝0．859Ω rγ ＝0．459Ω Ls ＝Lγ ＝＝0．0904H エレf ＝＝0．0873H

Lα＝・0．02H R￠＝・0．1Ω

C＝0．02F

く29】・

曵二

＿旨雪

嵐

苧一§

畢窪3・

ユいサ琴。

≡ミ岩屋

98 0．04 0．08 0．12 0．

TIME〔S】蓑10聯監

0．20

C O．04 0。08 042 ^0．16 o．20

Fig．3は，高調波成分を考慮した解析（厳密解析と呼ぶ）により求めた速度特性曲線である．厳密解析と基本波成分のみを考慮した解析を比較すると，相電流の実効値，発生トルク，効率はほとんど一致するが，

端子電圧の高調波成分の影響で，総合力率Pぎには5

％程度の差がみられた．

Fig・4は，すべり5＝0．01のときの定常波形を示している・電流やトルクの脈動は基本波成分のみの解析では求めることはできない．

0 0．04 0．

TI E〔S】

・12

蓑10 乳

04 ^。20

㌔。oo

0・04 0■06 0■12 0鱒16

T1卜1E〔S⊃ 翼10−1 Fig．4 Steady−state wave form

0．20

(6)

48 電圧形インバータ駆動誘導電動機系の線形サンプル値モデル

次に，根軌跡により系の安定性を調べる．⑰式の状

態推移行列φの固有値は7個存在するが，安定性に

重要な影響をもつのは単位円近くの根である・

Fig．5（a），（b）はすべり5の変化に対する根軌跡をそれぞれ厳密解析と基本波のみの解析について描いたものである．両者の結果にあまり差はなく，高調波成分が系の安定性に及ぼす影響は小さいことが確認で

きる．なお， @械系の定数に関しては，負荷トルク

Tゐは零と仮定し，トルクー速度特性曲線で定常点と原点を通る直線の傾きより．R。を決定している（以下同様）．すなわち，速度に比例した：負荷を考えている．

Fig．6（a），（b）はすべり3＝0．01のときEd〃一

定の条件で周波数ノを変化させた場合の根軌跡であ

る．低周波領域において系が不安定となることが確認

できる．

根軌跡により安定性に関し有力な情報が得られる

が，さらにインパルス応答やズテップ応答などにより，実際の応答を調べておくことも大切である．このために線形サンプル値モデルが利用できる．

Fig．7（a）は，ノ』60（Hz），5＝0．01で，孟＝0．1（s）

において：負荷トルク丁五が0から0．5（N−m）変化した場合のステップ応答を，線形モデルを用いて計算したものである．系は安定で，回転数，トルク，各部の電圧，電流の変動分が次第に減衰し新しい平衡点へ移

Im

Lo

0

タ _1：0．0

2：0．01

330．1

4：0．2 5＝0．3 6＝0．4

730．5

8：0．6 9：0．7 10：0。8 11：0．9 12：1．0

」

E己ロ250V ノ＝60H乞 Parameter 8 12

！3

−5

11

10

9 8 7

6

5

4

3 1

12

2 1

工2 34触L2 Re 1．0

1侃

LO

Fig．5（a）

0

E￠＝250V エりむ 2：0qO1 ∫＝＝：601」乞

3＝0．1 Parameter 3

4：0．2

5＝0．3 6：0。4

フ：0．5 12 8：0．6 且 9＝0。7 10 10：0。8

9

U：0．9

12＝1．0 8

皿ノ・ 7

6

5

4

3 2 1 ぞ

12

Root locus diaぎram for parameter

slip （Detailed analysis）

Fig．5 （b）

1234−12 Re LO Root Iocus diagram for parameter slip

（Fundamental component analysis）

工皿

1。O

0

3＝0．01 Parameter∫

2

5 1

6

7

4311 10 5

9

8

ノ（翫）

ユ＝6 2書ア 3：8

439

5：10 6：20 7330 8340 9：50 10：60 11：70

1 2

5 6 6

7

・ 1

8 丑，

9玉

工m

LO

工｝4

0

、4 2

1 工 2345 6 789皿

工．O

Re

5 3呂0．01

Parameter f

1 2

311

4 5

0

9

8

6 7

ノ（出）

1＝6 2呂7 3；8

439

5310 6：20 7：30 8：40 9：50 10：60 11塁7G

6

1

5 フ

18₈₉

u

6 7

Root locus diagram for parameter inverter frequency（Detailed analysis）

12 5 6 78 工L 1．O Re

Fig．6 （a）

Fig．6（b） Root locus diagram for parameter

illverter frequency （Fundamental

component analysis）

(7)

山田英二・辻峰男・泉勝弘6森崎徳浩・小山純 49

行していく様子がわかる．また非線形モデルによる同じ条件での応答の計算：結果をFig．7（b）に示す．図から明らかなように，線形モデルは非線形モデルの平均値の変動を良く近似できていることが判る．

Fig．8（a），（b）は∫＝20（Hz）のときのステップ応答を，それぞれ線形モデル及び非線形モデルにより計算した結果である．この場合，系は不安定であるが，

両者の結果は良く一致している・

4．むすび

以上，電圧形インバータ駆動誘導電動機系の高調波成分を考慮した線形サンプル値モデルは，平衡点の近傍で系の振舞いを良く表すことが判明した．

この線形サンプル値モデルの計算は，状態変数法に

よる定常解析プログラムを少し変更するだけで行え

る．従って，定常時のトルクや電流の脈動の把握と同時に過渡特性をも明確にする一連のシステム解析・設計プログラムとして利用すれば便利である．

…弓き輔呈。

ヨr ％．00 亀

E己＝＝250V．ノ篇；60Hz，3＝0．01

…肩圭一呈。

ヨr

Cb． oo

舅り

3

日

弓

0．10 0．20 0●30 0．40 0吟50 0．60

TIME S1

E己＝250V，∫諾60H乞，330．01

霧

9 弓

0．10 0．20 0．30 0・40 0●50 0●60

TI洞E〔S〕

b．00 零

8 ％，00 日置

0．10 0．20 0．30 0．40 0・50 0．60

TIhE〔S】

周

…

；弓等

0．10 0．20 0●30 0。40 0．50 0．60 τ：門E〔S｝

周

_…

；等象

、》oo

9：

x 周

㌦oo 弓芝㎝

0．10 0，20 0弓30 0640 0・50 0・60 τ：ME ls〕

…8〕・

訴

切辱

ξiヨ

；；

28〕・，

雫琴弓

≡…o

@．．

岩

§零

卜⊆

aD00 弓韓

≡一

0．Σ0 0．20

募

H弓

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0．30 0。40

TIHE〔S；

1 】

㌔．00

軽2＝o

0．10 0．20

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卜『｝．oo

弓 §

……一

0◎30 0．40 0050 0・60 T：ME lsユ

TIME〔SI

．4

0．50 0．60

．60

040 0．20

彰8 2建

0・30 0學40 0．5G O．60

TI門E〔S｝

騨b．00 0．10 0．20 0．30 0噂40 0璽50 0曹60

TIME〔Sl

Fig．7（a） Transient response a fter step

change of load torque from zero to O．5（N−m）（Linear Mode1）

0．10 σ．20

崔8 z建

0．30 丁IhE〔s】

0．40 0●50 0．60

一b．oo

Fig．7（b）

Og 10 0．20 0●30 0・40 「 0．50

TIhE〔S〕

Transient response after step change of Ioad torque from zero to O．5（N−m）

（Non−Linear Model）

0．60

(8)

・50 電圧形イソバニタ駆動誘導電動機系め線形サンプル値モデル

…弓ま祠

6

≡弓 5．oo

弓．1．

o

Eご＝83．3V，ノ＝20Hz，3需0．61

…辱

ま一．，

；．

董

Cb． oα

号

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E己亭＝83．3V，ノ＝20H2，3＝＝0．01

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Fig．8（a） Transient−r6sponse after step cha耳ge o f．load torqug from zero to O．5（N−m）

（Linear Model）

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Fig．8（b）Transient r6sponse after step change． of load torque from

乞6ro to O15（N二m）．』

（Non−Linear Mode1）

参考文献

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3）たとえぽ，辻，山田，小山，泉：「三相誘導機の 2軸理論の応用」長大工研穽報告V・1・．14・No！22

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4）野中，辻：「サイツスタ変換器一電動機系の過渡

解析法と電流形イソノミータ駆動誘導電動機系への応

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山田 英二＊・辻 峰男＊・泉 勝弘＊ 森崎 徳浩＊＊・小山 純＊＊

・長崎大学工学部研究報告−第14巻 第22号 昭1和59年1 月 43

電圧形インバータ駆動誘導電動機系の 線形サンプル値モデル

山田 英二＊・辻 峰男＊・泉 勝弘＊

森崎 徳浩＊＊・小山 純＊＊