中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年
６ 三 平 方 の 定 理
[思 考 力 ・ 判 断 力 ・ 表 現 力 を 育 む 問 題 ]
[解 答 例 ]
中 学 校
年 組 号 氏 名
第 ３ 学 年 ６ 三平 方 の 定 理
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題①
(1)
ア a － b イ a b ウ c
２【 ポ イ ン ト 】
右 の 図 の よ う に ， 正 方 形 Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ の １ 辺 の 長 さ は a － b と な る ね 。 ま た ， 式 の 左 辺 に つ い て は ， 次 の よ う に 整 理 す る こ と が で き る ね 。
４ × a b ＋ （ a － b ）
２＝ c
２２ a b ＋ ( a
２－ ２ a b ＋ b
２) ＝ c
２２ a b ＋ a
２－ ２ a b ＋ b
２＝ c
２a
２＋ b
２＝ c
２(2)
② a：y ＝ c： a y：a ＝ a：c c： a ＝ a： y
a
２＝ c y a
２＝ c y ， c y ＝ a
２な ど ， 同 値 な 式 は 正 答 と す る 。
③ x ＋ y ＝ c
【 ポ イ ン ト 】 (② に つ い て )
△Ａ Ｂ Ｃ ∽ △ Ｃ Ｂ Ｄ で ， 右 の 図 の よ う に そ れ ぞ れ
△Ａ Ｂ Ｃ の 辺 Ｂ Ｃ に 対 し ， △ Ｃ Ｂ Ｄ の 辺 Ｂ Ｄ ，
△Ａ Ｂ Ｃ の 辺 Ａ Ｂ に 対 し ， △ Ｃ Ｂ Ｄの 辺 Ｃ Ｂ が 対 応 し て い る 辺 に な っ て い る ね 。 だ か ら ， Ｂ Ｃ ： Ｂ Ｄ ＝Ａ Ｂ ：Ｃ Ｂ と な り ，
比 例 式 の 外 側 の 項 の 積 と 内 側 の 項 の 積 は 等 し い か ら ， a： y ＝ c： a
a
２＝ c y と な る ね 。
(③ に つ い て )
Ａ Ｂ＝ c で ， Ａ Ｄ ＝ x，Ｂ Ｄ ＝ y と し て い る の で ， x ＋ y ＝ c は い え る こ と だ ね 。
x ＋ y ＝ c よ り ， c ( x ＋ y )＝ c
２が い え る の で ， a
２＋ b
２＝ c
２が 導 け る ね 。
Ａ
Ｂ Ｃ
c
a b
Ｄ
Ｅ Ｆ
b a－b
１ ２
２Ｃ
Ａ Ｄ Ｂ
x y
a
c b
Ｄ
Ｃ a Ｂ
y １
２
第 ３ 学 年 ６ 三平 方 の 定 理
第 ３ 学 年 ６ 三平 方 の 定 理
４ ２
４１
４１
４ ２
３
２ ２
１ ６ ２ ３
２ ３
２ ３
２ ２
２ ２
８ ２ ３
１ ６ ２ ３
２ ２
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題②
１ ｃ ｍ
【 ポ イ ン ト 】
次 の よ う に 求 め る と い い ね 。
△ Ｂ Ｃ Ｄに お い て ， ∠ Ｃ ＝９ ０
○△ Ａ Ｂ Ｄ に お い て ， ∠ Ａ＝ ９ ０
○だ か ら ， 三 平 方 の 定 理 よ り ， だ か ら ， 三 平 方 の 定 理 よ り ，
Ｂ Ｄ
２＝ ５
２＋４
２＝４ １ Ａ Ｄ
２＋ ３
２＝ ( )
２Ｂ Ｄ＞ ０ よ り ， Ａ Ｄ
２＝ ４ １ － ９＝ ３ ２
Ｂ Ｄ ＝ (ｃ ｍ) Ａ Ｄ ＞ ０ よ り ， Ａ Ｄ ＝ (ｃ ｍ )
２ １ ５ ｃ ｍ
２【 ポ イ ン ト 】
右 の 図 の よ う に ， 点 Ａ か ら 直 線 Ｂ Ｃに 垂 線 を ひ い て ，
∠ Ａ Ｄ Ｂ ＝９ ０
○と な る 直 角 三 角 形Ａ Ｂ Ｄ を つ く る と ，
∠ Ｂ ＝３ ０
○よ り ， Ａ Ｄ ： Ｂ Ｄ ： Ａ Ｂ ＝ １ ： ： ２ と な る ね 。 Ａ Ｂ ＝１ ０ (ｃ ｍ )だ か ら ， Ａ Ｄ ＝ ５ ( ｃ ｍ)と な り ，
△ Ａ Ｂ Ｃ ＝ × ６ × ５ ＝ １ ５ (ｃ ｍ
２)と な る ね 。
３ (1) ｃ ｍ
【 ポ イ ン ト 】
次 の よ う に 求 め る と い い ね 。
△ Ａ Ｂ Ｃ は 正 三 角 形 で ， △ Ｆ Ａ Ｄ は ， Ａ Ｆ ＝ Ｆ Ｄ の 二 等 辺 Ｂ Ｆ ＝２ ｃ ｍ ， ∠ Ａ Ｆ Ｂ ＝ ９ ０
○三 角 形 で ， Ａ Ｅ ＝ ２ ｃ ｍ ， と な る か ら ， Ａ Ｆ
２＋ ２
２＝ ４
２∠ Ａ Ｆ Ｂ ＝ ９ ０
○と な る か ら ，
Ａ Ｆ
２＝１ ６ － ４ ＝１ ２ Ｅ Ｆ
２＋ ２
２＝ ( )
２Ａ Ｆ ＞ ０ よ り ， Ｅ Ｆ
２＝ １ ２ － ４ ＝ ８
Ａ Ｆ ＝ (ｃ ｍ ) Ｅ Ｆ ＞ ０ よ り ， Ｅ Ｆ ＝ (ｃ ｍ )
(2) ｃ ｍ
３【 ポ イ ン ト 】
三 角 錐
す いＣ Ａ Ｆ Ｄ の 底 面 を △ Ａ Ｆ Ｄ と 考 え る と ， 高 さ はＦ Ｃ と な る か ら ，
三 角 錐 Ｃ Ａ Ｆ Ｄ の 体 積 は ，
ｃ ｍ× △ Ａ Ｆ Ｄ × Ｆ Ｃ 正 四 面 体 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ の 体 積 は ，
＝ × × ４ × × ２ 三 角 錐 Ｃ Ａ Ｆ Ｄ の 体 積 の ２ 倍 だ か ら ，
＝ (ｃ ｍ
３)と な る ね 。 (ｃ ｍ
３)と な る ね 。 １
２
３１ ３ １ ３
１ ２
Ａ
Ｂ Ｃ
６ｃｍ １０ｃｍ
３０°
Ｄ ５ｃｍ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
４ｃｍＥ
Ｆ
２ｃｍ
２ｃｍ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ Ｅ
Ｆ
４ｃｍ
２ｃｍ Ｂ Ａ
５ｃｍ Ｃ
Ｄ
ｃｍ ４ｃｍ
３ｃｍ ４１
第 ３ 学 年 ６ 三平 方 の 定 理
１ ２ ３
６ ７
３ ６ ３
６ ３
２５２ ６ ７
１ ２ ３
６ ３ ３
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題③
(1) ２ ４ πｃ ｍ
２【 ポ イ ン ト 】 円 錐 の 展 開 図
円 錐 の 側 面 は ， 展 開 図 の お う ぎ 形 の 部 分 だ か ら ， 次 の よ う に ，
す い円 錐 の 展 開 図 の お う ぎ 形 の 面 積 を 求 め る と い い ね 。
す い
(求 め 方 ① ) (求 め 方 ② )
お う ぎ 形 の 中 心 角 を x
○と す る と ， お う ぎ 形 の 弧 の 長 さ は ， 底 面 の ２π × １ ２ × ＝２ π × ４ 円 周 の 長 さ に 等 し く ， ８ π ｃ ｍ。
ま た ， 半 径 が １ ２ ｃ ｍ の 円 周 の 長 こ れ を 解 い て ， x ＝ １ ２ ０ さ は ， ２ ４ π ｃ ｍ 。
よ っ て ， 求 め る 側 面 積 は ， よ っ て ， 求 め る 側 面 積 は ， π × １ ２
２× ＝４ ８ π (ｃ ｍ
２) π × １ ２
２× ＝４ ８ π (ｃ ｍ
２)
(2) ｃ ｍ
【 ポ イ ン ト 】
Ａ ′(1)か ら ， 円 錐 の 側 面 は 右 図 よ う な 中 心 角 が １ ２ ０
○の お う ぎ 形
(Ａ )に な る ね 。 (1)を (求 め 方 ② )で 求 め た 場 合 ，中 心 角 は ，
３ ６ ０ × ＝１ ２ ０ （
○) と 求 め ら れ る ね 。 求 め る 糸 の 長 さ は ， 右 図 の 点 Ａ と 点 Ａ
′を 結 ぶ 最 短 の 長 さ ， つ ま り ， 弦 Ａ Ａ
′の 長 さ に な る ね 。
点 Ｏ か ら 弦 Ａ Ａ
′に 垂 線 を ひ き ， そ の 交 点 を Ｂ と す る と ， ∠ Ａ Ｏ Ｂ ＝６ ０
○と な る か ら ，
△ Ｏ Ａ Ｂは ， ３ 辺 の 比 が １ ： ： ２ の 直 角 三 角 形 に な る ね 。
Ｏ Ａ＝ １ ２ ｃ ｍ だ か ら ， Ａ Ｂ ＝ ｃ ｍ と な り ， 求 め る 糸 の 長 さ は ， ｃ ｍ と な る ね 。
４ ｃ ｍ
【 ポ イ ン ト 】
求 め る 糸 の 長 さ は ， 右 図 の お う ぎ 形 の 点 Ａ と 点 Ｍ を 結 ぶ 最 短 の 長 さ ， つ ま り ， 線 分 Ａ Ｍ の 長 さ に な る ね 。 右 図 の よ う に，直 角 三 角 形 で あ る △ Ｏ Ａ Ｃ を つ く る と ，
∠ Ｃ Ｏ Ａ ＝ ６ ０ (
○)だ か ら ， △ Ｏ Ａ Ｃ の ３ 辺 の 比 は ， １ ： ： ２ と な る ね 。 Ａ Ｏ ＝１ ２ (ｃ ｍ )よ り ，
Ａ Ｃ＝ (ｃ ｍ )， Ｃ Ｍ ＝Ｃ Ｏ ＋ Ｍ Ｏ ＝ ６ ＋ ６ ＝ １ ２ (ｃ ｍ ) と な る の で
Ａ Ｍ
２＝１ ２
２＋ ( )
２＝ １ ４ ４ ＋１ ０ ８ ＝ ２ ５ ２
Ａ Ｍ ＞ ０ よ り ， Ａ Ｍ ＝ ＝ (ｃ ｍ )と な る ね 。 ８π ２４π １２０
３６０ x ３６０
１２ｃｍ x°（１２０°）
４ｃｍ
８πｃｍ Ｏ
Ａ
Ｏ
Ａ １２ｃｍ
Ｂ
求める糸の長さ
Ｃ
Ａ
Ｏ Ｍ
ｃｍ
求める糸の長さ １２０°
８π
６０°２４π
６０° １２０°
１２ｃｍ
６ ３ １２ｃｍ
