1 ユークリッド空間における極限

1 ユークリッド空間における極限

定義

1.1 n

次元数ベクトル空間

R

ⁿ の

2

つのベクトル

x, y

に対し,

x, y

の第

j

成分をそれぞれ

x

j

, y

j とする とき,

x

と

y

の内積

(x, y)

を

(x, y) =

∑

n j=1

x

j

y

j で定義する.

次の結果は内積の定義から容易に確かめられる.

命題

1.2 x, y, z ∈ R

ⁿ

, r ∈ R

とするとき,次のことが成り立つ.

(1) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), (x, y + z) = (x, y) + (x, z).

(2) (rx, y) = r(x, y) = (x, ry).

(3) (y, x) = (x, y).

(4) (x, x) = 0

であり

, x 6 = 0

ならば

(x, x) > 0

である．

定義

1.3 x ∈ R

ⁿ に対し,

k x k = √

(x, x)

とおいて,

k x k

を

x

の長さという.

定理

1.4 x, y ∈ R

ⁿ のとき,以下の不等式が成り立つ.

(1) | (x, y) | 5 k x k k y k (シュワルツの不等式). (2) k x + y k 5 k x k + k y k (三角不等式).

証明

(1) x = 0

ならば 両辺はともに

0

になって不等式は成り立つため,

x 6 = 0

と仮定する.

k x k 6 = 0

に注意し て命題

1.2

の

(1), (2), (3)

を用いれば, 任意の実数

t

に対して

(tx + y, tx + y) = (tx + y, tx) + (tx + y, y) = (tx, tx) + (y, tx) + (tx, y) + (y, y) = k x k

²

t

²

+ 2(x, y)t + k y k

²

= k x k

²

(

t + (x, y) k x k

²

)

2

+ k x k

²

k y k

²

− (x, y)

²

k x k

² だから

t = (x, y)

k x k

² のとき, (tx

+ y, tx + y)

は最小値

k x k

²

k y k

²

− (x, y)

²

k x k

² をとる. 一方, 命題

1.2

の

(4)

から

(tx + y, tx + y) = 0

が成り立つため,この最小値は

0

以上であるから

k x k

²

k y k

²

− (x, y)

²

= 0

が得られる.

(2)

上の結果から

(x, y) 5 k x k k y k

であり, 上の計算で

t = 1

とすれば,

k x + y k

²

= (x + y, x + y) = k x k

²

+ 2(x, y) + k y k

²

5 k x k

²

+ 2 k x k k y k + k y k

²

= ( k x k + k y k )

² だから結果が得られる

.

以後

, R

ⁿの点と

,

その点の位置ベクトルを同一視することにする

.

定義

1.3

で定義したベクトルの長さを用いれ ば,

R

ⁿ における距離が,次のように定義できる.

定義

1.5 x, y ∈ R

ⁿ に対し

, d

n

(x, y) = k y − x k

とおいて

, d

n

(x, y)

を

x

と

y

の距離という

.

一般に, 集合

X, Y

に対して,

X

の要素

x

と

Y

の要素

y

の順序対

(x, y)

全体からなる集合を

X

と

Y

の直積 集合と呼んで,

X × Y

で表すことにする. とくに,

X = Y = R

ⁿ の場合, (x,

y) ∈ R

ⁿ

× R

ⁿ を実数

d

n

(x, y)

に対 応させる関数が考えられる. この関数を

d

_n で表して,

R

ⁿ の距離関数と呼ぶ.

命題

1.6 x, y, z ∈ R

ⁿ とするとき,次のことが成り立つ.

(1) d

_n

(y, x) = d

_n

(x, y).

(2) d

n

(x, y) = 0

であり

, x 6 = y

ならば

d

n

(x, y) > 0

である

. (3) d

_n

(x, z) 5 d

_n

(x, y) + d

_n

(y, z).

証明

(1)

一般に

r ∈ R

と

x ∈ R

ⁿ に対して

k rx k = √

(rx, rx) = √

r

²

(x, x) = | r | √

(x, x) = | r |k x k

が成り立つ ため,

d

_n

(y, x) = k x − y k = k ( − 1)(y − x) k = | − 1 |k y − x k = d

_n

(x, y)

である.

(2)

命題

1.2

の

(4)

から明らかである

.

(3)

定理

1.4

の

(2)

から

d

n

(x, z) = k z − x k = k (y − x) + (z − y) k 5 k y − x k + k z − y k = d

n

(x, y) + d

n

(y, z).

上の命題の

(3)

の不等式も三角不等式と呼ばれる.

N

を自然数全体の集合とし,

N

から

R

ⁿ への写像を

R

ⁿ の 点列と呼ぶが,与えられた点列が

k ∈ N

を

x

_k

∈ R

ⁿ に対応させる写像であるとき, この点列を

(x

_k

)

_k∈N で表す ことにする.

R

ⁿ の距離を考えたことによって「限りなく近づく」という状態が数学的に表現できて,

R

ⁿ の点列 の収束の概念が次のように定義できる.

定義

1.7

任意の正の実数

ε

に対し,自然数

N

で,条件「k

= N

ならば

d

_n

(x

_k

, p) < ε」を満たすものが存在する

とき,

R

ⁿ の点列

(x

k

)

k∈N は

p ∈ R

ⁿ に収束するといい,このことを

lim

k→∞

x

k

= p

で表す.

注意

1.8 R

ⁿ の点列

(x

k

)

k∈N に対し

,

実数列

(d

n

(x

k

, p))

k∈N を考えると

,

この数列は常に

0

以上の値をとるた め,上の定義から,

(x

k

)

k∈N が

p ∈ R

ⁿ に収束するためには

(d

n

(x

k

, p))

k∈N が

0

に収束することが必要十分で ある

.

例

1.9 lim

k→∞

1

k = 0

であることは次のように示される. 任意の正の実数

ε

に対して,

1

ε

より大きい自然数

N

を選 べば,

k = N

ならば

0 < 1

k 5 1

N < ε

だから

d

1

(

₁

k

, 0 )

< ε

である.

実数列については,次のことが成り立つ.

命題

1.10 (a

k

)

k∈N

, (b

k

)

k∈N をともに収束する実数列とし,

lim

k→∞

a

k

= α, lim

k→∞

b

k

= β

とする.

(1)

すべての

n ∈ N

に対して

a

_k

5 b

_k ならば

α 5 β

である.

(2)

実数列

(c

k

)

k∈N が

,

すべての

k ∈ N

に対して

a

k

5 c

k

5 b

k を満たし

, α = β

ならば

(c

k

)

k∈N も収束して

lim

k→∞

c

k

= α

である.

証明

(1) α > β

と仮定すれば自然数

N

₁

, N

₂ で, 「n > N₁ ならば

| a

_k

− α | <

^α−₂^β」, 「n > N₂ ならば

| b

k

− β | <

^α−₂^β」を満たすものがある

. N

1

, N

2 の大きい方を

N

3 とする

. n > N

3 ならば

−

^α−₂^β

< a

k

− α

か つ

b

k

− β <

^α−₂^β が成り立つ. これらの不等式から

b

k

<

^α+β₂

< a

k が得られるため,すべての

n ∈ N

に対して

a

k

5 b

k が成り立つという仮定と矛盾する

.

故に

α 5 β

である

.

(2) ε

を任意の正の実数とすれば, 自然数

N

4

, N

5 で, 「n > N₄ ならば

| a

k

− α | < ε」,

「n > N₅ ならば

| b

_k

− α | < ε」を満たすものがある. N

₄

, N

₅ の大きい方を

N

₆ とする. 仮定からすべての自然数

n

に対して

−| a

k

− α | 5 a

k

− α 5 c

k

− α 5 b

k

− α 5 | b

k

− α |

が成り立つため,

n > N

6 ならば

| c

k

− α | < ε

である. 従って

(c

_k

)

_k∈N も

α

に収束する.

例

1.11 0 < r < 1

のとき

lim

k→∞

r

^k

= 0

であることは次のように示される

. h = 1

r − 1

とおけば

0 < r < 1

より

h > 0

である. 二項定理より

1

r

^k

= (1 + h)

^k

= 1 + kh +

∑

k i=2

(

_k

i

) h

ⁱ

> kh

だから,

0 < r

^k

< 1

hk

が任意の自然数

k

に対して成り立つ.

lim

k→∞

1

hk = 0

だから,命題

1.10

の

(2)

により

lim

k→∞

r

^k

= 0

である.

X, Y

をそれぞれ

R

ⁿ

, R

^m の部分集合とし,

f

を

X

から

Y

への写像とする.

x ∈ X

を

p ∈ R

ⁿ に近づけたと きに

f (x)

が

q ∈ R

^mに近づくことを

,

距離を用いれば次のように定義できる

.

定義

1.12

任意の正の実数

ε

に対し

,

正の実数

δ

で

,

条件「

x ∈ X

かつ

0 < d

n

(x, p) < δ

ならば

d

m

(f (x), q) < ε

」 を満たすものが存在するとき,写像

f

の

p

における極限は

q

であるといい,これを

lim

x→p

f (x) = q

で表す.

注意

1.13 x ∈ X

を

d

m

(f (x), q)

に対応させる関数を考えれば, この関数は常に

0

以上の値をとるため,上の定 義から

lim

x→p

f (x) = q

であるためには

lim

x→p

d

m

(f (x), q) = 0

であることが必要十分である

.

上の定義

1.7, 1.12

では

, R

ⁿ の距離関数

d

n そのものを用いて「近づく」ということを表現したが

,

与えられた

点の「近くの点」全体からなる集合を定義して, 上の定義を言い換えてみる.

定義

1.14 p ∈ R

ⁿ

, r > 0

に対して,

p

からの距離が

r

より小さい点全体からなる集合を

B

n

(p ; r) (すなわち B

_n

(p ; r) = { x ∈ R

ⁿ

| d

_n

(x, p) < r } )

で表し,これを半径

r

中心

p

の開球または,

p

の

r-近傍という.

まず,定義

1.7

は次のように言い換えられる.

定義

1.15

任意の正の実数

ε

に対し,自然数

N

で,条件「k

= N

ならば

x

_k

∈ B

_n

(p ; ε)」を満たすものが存在す

るとき,

R

ⁿ の点列

(x

k

)

k∈N は

p ∈ R

ⁿ に収束するといい,このことを

lim

k→∞

x

k

= p

で表す.

注意

1.16

上の定義をさらに言い換えると,

(x

_k

)

_k∈N が

p ∈ R

ⁿ に収束するということは,任意の正の実数

ε

に 対して,

x

k

6∈ B

n

(p ; ε)

であるような自然数

k

は有限個しかないということである. 従って,

R

ⁿ の点列

(x

k

)

k∈N

が

p ∈ R

ⁿ に収束しないということは,正の実数

ε

₀で,条件「x_k

6∈ B

_n

(p ; ε

₀

)

である自然数

k

が無限に存在する.」

を満たすものがあることである

.

一般に

A, B

を

2

つの集合とするとき,

B

には属さない

A

の要素全体からなる集合を

A

から

B

を除いた差 集合と呼んで

A − B

で表すことにする

.

この記号を用いれば

x ∈ R

ⁿ が

0 < d

n

(x, p) < δ

を満たすことは

x ∈ B

_n

(p ; δ) − { p }

と言い換えられるため,定義

1.12

は次のように言い換えられる.

定義

1.17

任意の正の実数

ε

に対し,正の実数

δ

で,条件「x

∈ (B

n

(p ; δ) − { p } ) ∩ X

ならば

f (x) ∈ B

m

(q ; ε)」

を満たすものが存在するとき,写像

f : X → Y

の

p

における極限は

q

であるといい,このことを

lim

x→p

f (x) = q

で表す.

注意

1.18 (1)

一般に

X , Y

を集合とし

,

写像

f : X → Y

が与えられているとき

, Y

の部分集合

Z

に対し

f

⁻¹

(Z ) = { x ∈ X | f (x) ∈ Z }

とおいて, これを

f

による

Z

の逆像と呼ぶ. 写像の逆像の記号を用いれば,

f (x) ∈ B

_m

(q ; ε)

は

x ∈ f

⁻¹

(B

_m

(q ; ε))

を意味するので,

lim

x→p

f (x) = q

であることは,任意の正の実数

ε

に対し, 正の実数

δ

で

,

条件

(B

n

(p ; δ) − { p } ) ∩ X ⊂ f

⁻¹

(B

m

(q ; ε))

を満たすものが存在することであると定義できる

.

(2) B

m

(q ; ε)

を

q

からの「誤差」が

ε

より小さい点の集合と考えれば,

lim

x→p

f (x) = q

であることは,あらかじ め任意に設定した値

ε

に対して

δ

を十分小さくとれば

, p

以外の

X

の点で

p

からの距離が

δ

未満のものはすべ て

f

によって,

q

との誤差が

ε

未満である点に写されることを意味する.

(3) lim

x→p

f (x) = q

ではないことは,正の実数

ε

₀ で,条件「任意の正の実数

δ

に対して

f(x) 6∈ B

_m

(q ; ε)

である

x ∈ (B

n

(p ; δ) − { p } ) ∩ X

が存在する.」を満たすものがあることである.

写像の極限を点列の極限を用いれば

,

次のように言い換えられる

.

命題

1.19 f

を

R

ⁿ の部分集合

X

から

R

^m の部分集合

Y

への写像とし,

p ∈ R

ⁿ と

q ∈ R

^m とする. このと き,

lim

x→p

f (x) = q

であることは,条件「すべての

k ∈ N

に対して

x

k

∈ X , x

k

6 = p

かつ

lim

k→∞

x

k

= p」を満たす R

ⁿ の任意の点列

(x

_k

)

_k∈N に対して

lim

k→∞

f (x

_k

) = q

が成り立つことと同値である.

証明

lim

x→p

f (x) = q

を仮定し, (x_k

)

k∈N を,条件「すべての

k ∈ N

に対して

x

k

∈ X , x

k

6 = p

かつ

lim

k→∞

x

k

= p」

を満たす

R

ⁿ の任意の点列とする

. lim

x→p

f (x) = q

だから

,

任意の正の実数

ε

に対して

,

正の実数

δ

で

,

条件

「x

∈ X

かつ

0 < d

_n

(x, p) < δ

ならば

d

_m

(f (x), q) < ε」 · · · ( ∗ )

を満たすものが存在する

. lim

k→∞

x

k

= p

だから

,

上記の

δ

に対し

,

自然数

N

で

,

条件「

k = N

ならば

d

n

(x

k

, p) < δ

」 を満たすものが存在する. すべての

k ∈ N

に対して

x

_k

∈ X

であり,

x

_k

6 = p

だから,

d

_n

(x

_k

, p) > 0

であるため,

「

k = N

ならば

x

k

∈ X

かつ

0 < d

n

(x

k

, p) < δ

」 が成り立ち,

k = N

ならば,

x = x

k としたときに条件

( ∗ )

の仮定が満たされるため,条件

「k

= N

ならば

d

_m

(f (x

_k

), q) < ε」

が満たされる. 従って

lim

k→∞

f (x

k

) = q

が成り立つ.

x

lim

→p

f (x) = q

でないと仮定すれば,注意

1.18

の

(3)

により,ある正の実数

ε

₀ で, 条件

「任意の正の実数

δ

に対して

f(x) 6∈ B

m

(q ; ε

0

)

である

x ∈ (B

n

(p ; δ) − { p } ) ∩ X

が存在する

.

」 を満たすものがある. 従って, 任意の自然数

k

に対して

f (a

_k

) 6∈ B

_m

(q ; ε

₀

)

である

a

_k

∈ (B

_n

(

p ;

_k¹

)

− { p } ) ∩ X

が存在する

.

そこで

, R

ⁿ の点列

(a

k

)

k∈N を考えると

,

すべての

k ∈ N

に対して

a

k

∈ X , a

k

6 = p

であり

, 0 < d

n

(a

k

, p) < 1

k

だから例題

1.9

と命題

1.10

の

(2)

から

, lim

k→∞

d

n

(a

k

, p) = 0

である

.

従って

,

注意

1.8

により

(a

k

)

k∈N は

p

に収束する. ところが, 任意の自然数

k

に対して

f (a

k

) 6∈ B

m

(q ; ε

0

)

だから, 注意

1.16

によって

lim

k→∞

f (a

_k

) = q

は成り立たない. 故に, lim

x→p

f(x) = q

でないならば, 条件「すべての

k ∈ N

に対して

a

_k

∈ X, a

k

6 = p

かつ

lim

k→∞

a

k

= p」を満たす R

ⁿ の点列

(a

k

)

k∈N で, lim

k→∞

f (a

k

) = q

とならないものの存在が示せたの

で,対偶を考えれば,逆の主張が示されたことになる.

2 ユークリッド空間における極限の性質

ユークリッド空間の点列の極限に関して次の結果が成り立つ.

命題

2.1 (x

k

)

k∈N

, (y

_k

)

k∈N を

R

ⁿ の点列,

(a

k

)

k∈N を実数列とする.

lim

k→∞

x

k

= p, lim

k→∞

y

_k

= q, lim

k→∞

a

k

= c

であるとき,次の等式が成り立つ.

(1) lim

k→∞

(x

k

+ y

_k

) = p + q (2) lim

k→∞

a

k

x

k

= cp

証明

(1)

任意の

ε > 0

に対して,

N

1

, N

2

∈ N

で, 「k

= N

1 ならば

x

k

∈ B

n

( p ;

^ε₂

)

」, 「k

= N

2 ならば

y

_k

∈ B

_n

(

q ;

₂^ε

)

」を満たすものがある.

N

₁

, N

₂ の大きい方を

N

とするとき,

k = N

₁ ならば

k x

_k

− p k <

₂^ε か つ

k y

_k

− q k <

^ε₂ が成り立つため

,

定理

1.4

の

(2)

を用いると

d

m

(x

k

+ y

_k

, p + q) = k (x

k

+ y

_k

) − (p + q) k = k (x

k

− p) + (y

_k

− q) k 5 k x

k

− p k + k y

_k

− q k <

^ε₂

+

^ε₂

= ε

である. 従って,このとき

x

k

+ y

_k

∈ B

n

(p + q ; ε)

が 成り立つため

, (1)

が示された

.

(2)

任意の

ε > 0

に対して,

N

1

, N

2

> 0

で, 「k

= N

1 ならば

x

k

∈ B

n

(

p ;

₂₊₂^ε_|c|

)

」, 「k

= N

2 ならば

a

_k

∈ B

_n

(

c ;

₂₊₂^ε_kpk

)

」を満たすものがある. また

N

₃

> 0

で,「k

= N

₃ ならば

x

_k

∈ B

_n

(p ; 1)」を満たすものが

ある

. N

1

, N

2

, N

3 のうちの最小のもの方を

N

とするとき

, k = N

ならば

k x

k

− p k <

₂₊₂^ε_|c|

, | a

k

− c | <

₂₊₂^ε_kpk かつ

k x

_k

− p k < 1

が成り立つ. このとき,

k x

_k

k = k (x

_k

− p) + p k 5 k x

_k

− p k + k p k < 1 + k p k

が成り立つ ことに注意すれば

d

m

(a

k

x

k

, cp) = k a

k

x

k

− cp k = k a

k

x

k

− cx

k

+ cx

k

− cp k = k (a

k

− c)x

k

+ c(x

k

− p) k 5

| a

k

− c |k x

k

k + | c |k x

k

− p k <

^ε(1+₂₊₂^k_k^p_p^k_k⁾

+

₂₊₂^ε|c_|^|_c|

<

^ε₂

+

₂^ε

= ε

である. 従って

k = N

ならば

a

k

x

k

∈ B

n

(cp ; ε)

が

成り立つため, (2)が示された.

注意

2.2

上の命題で, とくに

(a

_k

)

_k∈N が常に

c

を値にとる実数列の場合を考えると, (2)の特別な場合として,

lim

k→∞

cx

k

= cp

が成り立つことに注意する.

写像の極限に関して次の結果が成り立つ

.

命題

2.3 X ⊂ R

ⁿ

,

とし

,

写像

f, g : X → R

^m は

lim

x→p

f (x) = q, lim

x→p

g(x) = r

を満たし

,

関数

s : X → R

は

x

lim

→p

s(x) = c

を満たすとする. このとき,次の等式が成り立つ.

(1) lim

x→p

(f (x) + g(x)) = q + r (2) lim

x→p

s(x)f (x) = cq

証明

(1)

任意の

ε > 0

に対して

, δ

1

, δ

2

> 0

で

,

「

x ∈ B

n

(p ; δ

1

) ∩ X

かつ

x 6 = p

ならば

f (x) ∈ B

m

( q ;

^ε₂

)

」

,

「x

∈ B

_m

(p ; δ

₂

) ∩ X

かつ

x 6 = p

ならば

g(x) ∈ B

_m

( r ;

^ε₂

)

」を満たすものがある.

δ

₁

, δ

₂の小さい方を

δ

とするとき,

x ∈ B

n

(p ; δ) ∩ X

かつ

x 6 = p

ならば

k f (x) − q k <

^ε₂かつ

k g(x) − r k <

₂^εが成り立つため

,

定理

1.4

の

(2)

を用いると

d

m

(f (x)+g(x), q+r) = k (f (x)+g(x)) − (q+r) k = k (f (x) − q)+(g(x) − r) k 5 k f (x) − q k + k g(x) − r k <

^ε₂

+

^ε₂

= ε

である. 従って,このとき

f (x) + g(x) ∈ B

_m

(q + r ; ε)

が成り立つため, (1)が示された.

(2)

任意の

ε > 0

に対して,

δ

1

, δ

2

> 0

で,「x

∈ B

n

(p ; δ

1

) ∩ X

かつ

x 6 = p

ならば

f (x) ∈ B

m

(

q ;

₂₊₂^ε_|c|

)

」,

「x

∈ B

_n

(p ; δ

₂

) ∩ X

かつ

x 6 = p

ならば

s(x) ∈ B

_m

(

c ;

₂₊₂^ε_kqk

)

」を満たすものがある. また

δ

₃

> 0

で,

「

x ∈ B

n

(p ; δ

3

) ∩ X

かつ

x 6 = p

ならば

f (x) ∈ B

m

(q ; 1)

」を満たすものがある

. δ

1

, δ

2

, δ

3 のうちの最小のもの方 を

δ

とするとき,

x ∈ B

n

(p ; δ) ∩ X

かつ

x 6 = p

ならば

k f (x) − q k <

₂₊₂^ε_|c|

, | s(x) − c | <

₂₊₂^ε_kqk かつ

k f (x) − q k < 1

が成り立つ. このとき,

k f (x) k = k (f (x) − q) + q k 5 k f(x) − q k + k q k < 1 + k q k

が成り立つことに注意すれば

d

m

(s(x)f (x), cq) = k s(x)f (x) − cq k = k s(x)f (x) − cf(x) + cf (x) − cq k = k (s(x) − c)f (x) + c(f (x) − q) k 5

| s(x) − c |k f (x) k + | c |k f (x) − q k <

^ε(1+₂₊₂^k_k^q_q^k_k⁾

+

₂₊₂^ε|c_|^|_c|

<

^ε₂

+

^ε₂

= ε

である. 従って

x ∈ B

_n

(p ; δ) ∩ X

かつ

x 6 = p

ならば

s(x)f (x) ∈ B

m

(cq ; ε)

が成り立つため

, (2)

が示された

.

注意

2.4

上の命題で

,

とくに

s

が常に

c

を値にとる定数値関数の場合を考えると

, (2)

の特別な場合として

,

x

lim

→p

cf(x) = cq

が成り立つことに注意する.

補題

2.5 x ∈ R

ⁿ の第

j

成分を

x

_j とするとき,

| x

_j

| 5 k x k 5 | x

₁

| + | x

₂

| + · · · + | x

_n

|

が成り立つ.

証明

x

²_j

5 ∑

ⁿ

i=1

x

²_i

= k x k

² だから,この両辺の正の平方根をとれば

| x

j

| 5 k x k

が得られる.

また

k x k

²

=

∑

n i=1

x

²_i

5 ∑

ⁿ

i=1

| x

_i

|

²

+ 2

∑

n 15i<j5n

| x

_i

|| x

_j

| = ( | x

₁

| + | x

₂

| + · · · + | x

_n

| )

² だから, この両辺の正の平方根

をとれば

k x k 5 | x

1

| + | x

2

| + · · · + | x

n

|

が得られる.

命題

2.6 (x

_k

)

_k∈N を

R

ⁿ の点列とし,

k ∈ N

に対して

x

_k の第

j

成分を

x

_kj とする.

p ∈ R

ⁿ の第

j

成分を

p

_j とすれば,

lim

k→∞

x

k

= p

が成り立つためには,すべての

j = 1, 2, . . . , n

に対して

lim

k→∞

x

kj

= p

j が成り立つことが 必要十分である.

証明 すべての

j = 1, 2, . . . , n

に対して

lim

k→∞

x

kj

= p

j が成り立つならば

, lim

k→∞

| x

kj

− p

j

| = 0

が すべての

j = 1, 2, . . . , n

に対して成り立つため

,

命題

2.1

の

(1)

により

lim

k→∞

∑

n j=1

| x

kj

− p

j

| = 0

である

.

ここで

,

補題

2.5

か ら

0 5 d

n

(x

k

, p) = k x

k

− p k 5 ∑

ⁿ

j=1

| x

kj

− p

j

|

だから, 命題

1.10

により

lim

k→∞

d

n

(x

k

, p) = 0

が成り立つため, 注意

1.13

により

, lim

k→∞

x

k

= p

である

.

補題

2.5

から,任意の

j = 1, 2, . . . , n

に対して

0 5 | x

kj

− p

j

| < k x

k

− p k = d

n

(x

k

, p)

だから, lim

k→∞

x

k

= p

な らば,注意

1.13

により, lim

k→∞

d

_n

(x

_k

, p) = 0

が成り立つため,命題

1.10

によって

lim

k→∞

| x

_kj

− p

_j

| = 0

である. 故に, 再び注意

1.13

により

lim

k→∞

x

kj

= p

j である.

X ⊂ R

ⁿ

, Y ⊂ R

ⁿ とし

,

写像

f : X → Y

が与えられているとする

. x ∈ X

に対し

, f (x) ∈ Y

の第

i

成分を

f

i

(x)

で表すことにする.

x

を

f

i

(x)

に対応させることにより,関数

f

i

: X → R

が定まる.

命題

2.7 q ∈ R

^m の第

i

成分を

q

_i とすれば,

lim

x→p

f (x) = q

が成り立つためには,すべての

i = 1, 2, . . . , m

に対 して

lim

x→p

f

i

(x) = q

i が成り立つことが必要十分である.

証明 すべての

i = 1, 2, . . . , m

に対して

lim

x→p

f

i

(x) = q

i が成り立つならば

, lim

x→p

| f

i

(x) − q

i

| = 0

が すべての

i = 1, 2, . . . , m

に対して成り立つため

,

命題

2.3

の

(1)

により

lim

x→p

∑

m i=1

| f

i

(x) − q

i

| = 0

である

.

ここで

,

補題

2.5

か ら

0 5 d

m

(f (x), q) = k f (x) − q k 5 ∑

^m

i=1

| f

i

(x) − q

i

|

だから, 命題

1.10

により

lim

x→p

d

m

(f(x), q) = 0

が成り立つた め,注意

1.13

により, lim

x→p

f (x) = q

である.

補題

2.5

から,任意の

i = 1, 2, . . . , m

に対して

0 5 | f

_i

(x) − q

_i

| < k f (x) − q k = d

_m

(f (x), q)

だから, lim

x→p

f (x) = q

ならば,注意

1.13

により, lim

x→p

d

m

(f (x), q) = 0

が成り立つため, 命題

1.10

によって

lim

x→p

| f

i

(x) − q

i

| = 0

である.

故に

,

再び注意

1.13

により

lim

x→p

f

i

(x) = q

i である

.

写像の極限を用いれば

,

写像が連続であることの定義が次のようにできる

.

定義

2.8 p ∈ X

に対し,

lim

x→p

f (x) = f (p)

が成り立つとき,

f : X → Y

は

p

で連続であるという. すべての

p ∈ X

に対し

, f

が

p

で連続であるとき

f

を連続写像という

.

命題

2.9 X ⊂ R

ⁿ

, Y ⊂ R

^m

, Z ⊂ R

^k

, p ∈ R

ⁿ

, q ∈ Y

とし,写像

f : X → Y

は

lim

x→p

f (x) = q

を満たし, 写像

g : Y → Z

は

q

で連続であるとする

.

このとき

lim

x→p

g(f (x)) = g(q)

が成り立つ

.

証明

g

の

q

における連続性から, 任意の

ε > 0

に対して,

δ

₁

> 0

で「y

∈ B

_m

(q ; δ

₁

) ∩ Y

ならば

g(y) ∈ B

k

(g(q) ; ε)

」を満たすものがある

.

また

, f

についての仮定から

, δ > 0

で

,

「

x ∈ B

n

(p ; δ) ∩ X

かつ

x 6 = p

なら ば

f (x) ∈ B

m

(q ; δ

1

)」を満たすものがある.

従って

x ∈ B

n

(p ; δ) ∩ X

かつ

x 6 = p

ならば

g(f (x)) ∈ B

k

(g(q) ; ε)

となるため, lim

x→p

g(f (x)) = g(q)

が成り立つ.