1・1超 音 波 浮 揚 技 術 1・2本 論 文 の 目 的

竈

平成23年 度(2011年 度)修 士論文

超 音 波 浮 揚 を用 い た

二 次 元 非 接 触 搬 送 に 関 す る研 究

平 成24年(2012年)1月30日

首 都 大 学 東 京 大 学 院

シ ス テ ム デ ザ イ ン研 究 科 博 士 前 期 課 程 航 空 宇 宙 シ ス テ ム 工 学 域

10891527信 井 紘 一 郎 指 導 教 員 田 中 信 雄

1

修士論文 目次

1.緒 言

1・1超 音 波 浮 揚 技 術 1・2本 論 文 の 目 的

角﹂4,﹂4

2.は りの 振 動 解 析

2・1伝 達 マ ト リ ク ス 法 を 用 い た 解 析 2・2波 動 解 析 結 果 と 考 察

10 弓 1 0 ノ

3.一 次 元搬 送 実験 3・1進 行 波 確 認 実 験

3・2浮 揚 物 体 の搬 送 方 向確 認 実 験 3・3搬 送 方 向 の 逆 転 に対 す る考 察

角 ∠ 3 弓﹂

4.数 値 流 体 解 析 4・1解 析 モ デ ル

4・2基 礎 方 程 式 と 無 次 元 化 4・3HSMAC法

4・4解 析 結 果

6 17 18 19 22

5.両 端 無 限 平板 の 振 動 解 析

5・1両 端 無 限 平板 の 変位 応 答 式 の 導 出 5・2進 行 波 形 成 制御

5・3両 端 無 限 平 板 の 振 動 解 析 結 果 と考 察

25 26 30 35

6.二 次 元 搬 送 実 験 6・1実 験 装 置

6・2実 験 内容 お よび 実 験 方 法

6・3進 行 波 形 成 実 験 の 結 果 お よび 考 察

42 43 45 46

7.結 言

48

参考文献

⁵⁰

謝辞

⁵¹

2

3

言緒

  1

1.緒 言

1・1超 音 波 浮 揚 技 術

超 音 波 浮 揚 現 象 とは 超 音 波 振 動 す る物 体 の上 に対 象 物 が浮 揚 す る現 象 で あ る.超 音 波 技 術 が研 究 され 始 めた 当初 よ り,超 音 波 を用 い て 微 小 で軽 量 な物 質 を定 在 波 の 節 に保 持 させ る浮 揚 現 象 は 見 出 され て い た.超 音 波 浮 揚 に 関す る報 告 ω《5)の大 半 は超 音 波 素 子 の ピ ス トン運 動 に基 礎 を置 き,

これ に よ り放 射 され る超 音 波 が 惹 起 す る非線 形 現 象 に よ り,そ の浮 揚 原 理 を解 明 しよ う とす る も の で あ る.さ らに 近 年 に な る と,浮 揚 対象 物 の音 波 を受 け る面 が 平 坦 で あ り,か つ 加 振 面 の ご く 近傍 に位 置 す る の で あ れ ば 従 来 の もの に 比 べ て100万 倍 近 くの重 量 物 質 で さえ も浮揚 させ る こ

とが 可 能 で あ る とい う報 告(4)がな され た.

近 距 離 型 超 音 波 浮 揚 の浮 揚 原 理 は ス クイ ー ズ膜 圧 効 果 で あ る と言 われ て い る.こ れ は 二つ の 平 行 な板 が 急 接 近 す る 際 に 両板 間 の 流 体 に圧 力 が発 生 す る現 象 で あ る.高 周 波 の膜 圧 変 動 状 態 に あ る ス クイ ー ズ空 気 膜 は 時 間 平 均 で 大 気圧 よ り高 い圧 力 を得 る こ とが で き る.こ れ は 空気 の粘 性 や 圧 縮 性 に よ り引 き 起 こ され る非 線 形 効 果 に よる も の で あ る.

当 初 は ス ク イ ー ズ空 気 膜 が 形 成 可能 な加 振 方 法 は 浮 揚 対 象 物 の表 面 に 対 して 平行 な 加 振 面 に よ る同 相 ピス トン振 動 で の み確 認 され て い た が,近 年 に な りは りをた わ み 振 動 させ る こ とで そ の 上 面 に物 体 を浮 揚 させ る こ とが 可 能 で あ る との報 告 が な され た.こ の方 法 で は は りの 両端 の加 振 器 の 振 動 に位 相 差 を持 たせ る こ とで は りの長 さ方 向 に対 象 物 を搬 送 す る こ とが可 能 で あ る.こ の よ うに超 音 波 浮 揚 現象 に 搬 送機 能 を付 与 す る こ とが で きれ ば,半 導 体 シ リコ ン ウエ ハや 大型 液 晶 ガ ラ ス 基 板 な どデ リケ ー トな 部材 の 製 造 ライ ン にお け る非 接 触 搬 送 シ ステ ム へ の 応 用 が期 待 で

き る.

現 在,非 接 触 搬 送 手 法 と して 実用 化 され て い る方 法 と して は,ガ ス流 体,磁 力,静 電 気 力 が 挙 げ られ る.ガ ス 流 体 に よ る浮 揚 は浮 揚 対 象 物 を浮 揚 させ る た め に ク リー ン かつ 大 量 な 空気 を必 要 と し,浮 上 搬 送 用 の噴 流 を形 成 す る た め に要 す る動 力 エ ネル ギ が膨 大 で,装 置 も高 価 に な る.ま た 磁 力 に よ る浮 揚 は 浮 揚 対 象 物 の 材 質 が 制 限 され て しま う,静電 気 力 に よる浮 揚 は 埃や 塵 を 寄せ 付 け て しま う問題 点 が 挙 げ られ る.こ れ らに対 し超 音 波 浮 揚 は(1)電 力 の み で駆 動 し装 置 が 小 型 で 安 価 で あ る,(2)浮 揚 物 の材 質 に左 右 され な い,(3)埃 な どを 吸 いつ け な い,と い った よ うに 従 来 の方 法 の 欠 点 を克 服 で き る こ とか ら,有 用性 の 高 い手 法 で あ る と言 え る.

1・2本 論 文 の 目的

本 論 文 の 一 つ 目の 目的 は は りを用 い た 基本 的 な一 次 元 非 接 触搬 送 にお い て 搬 送 原 理 及 び,被 浮 揚 物 体 の搬 送 方 向 を明 らか にす る こ とで あ る.こ れ ま で は りを 用 い た 一 次 元 の搬 送 は,一 般 的 に, 超 音 波 浮 揚 に お い て 振 動 面 の た わみ 振 動 に よ る進 行 波 を 用 い た搬 送 機 構 で は,進 行 波 の方 向 と浮 揚 物 体 の搬 送 方 向は 一 致 して い る と考 え られ て い る(6×9).なぜ な ら浮揚 物 体 の 搬 送 は波 の 伝 播 す る方 向 に 力 を及 ぼす 音 響 流 に よ り引 き起 こ され て い る と考 え られ て い るか らで あ る.し か し著 者 らは,条 件 に よ っ て は進 行 波 の 方 向 と浮揚 物 体 の搬 送 方 向 が 異 な る場合 が あ る こ とが 実 験 に よ り 確 認 した.そ こで 本 論 文 で は,ま ず は りの振 動 解 析 を行 い 進 行 波 が励 起 され る メ カニ ズ ム を確 認

した 後,そ の 理 論 に よ りは りを加 振 して搬 送 実 験 を行 う.そ こで 進 行 波 の 方 向 と浮 揚 物 体 の 搬 送 方 向 との 関係 が 明 らか に され る。 最 後 に数 値 流 体 解 析 を用 い て 浮 揚物 体 に働 く力 を検 証 す る.

二 つ 目の 目的 は,浮 揚 物 体 の搬 送 シ ステ ム は 搬送 方 向 の 自由度 を高 くす る た め,平 板 を用 いて 二 次 元 非 接 触 搬 送 を行 うこ とで あ る.平 板 を用 い た 二次 元 の 非 接 触 搬 送 は世 界 的 に も研 究 され て

4

い る例 が 無 い が,本 研 究 室 で は過 去 に二 例試 み られ た.一 つ は有 限 平板 を 用 い た も の で あ るが, 超 音 波 に よ り平 板 を加 振 した こ とに よ り多 数 の モー ドが 励 起 され て しま い,任 意 方 向 へ 波 動 を制 御 す る こ とが 困 難 で あ った.も う一 つ は,反 射 波 が発 生 しな い境 界 条件 を 有 す る無 限 平 板 を用 い た もの で あ る.こ の 場 合 に は反 射 波 が消 滅 した こ とに よ る変位 振 幅 の 不 足 に よ り浮 揚 対 象 物 が 浮 揚 しない 問題 点 が 挙 げ られ た.そ こで浮 揚 させ る力 と搬 送 させ る力 を生 成 す る た め に,一 対 の辺 が 単 純 支 持,も う一 対 が 無 響 端 とい う2つ の 境 界 条件 の 平板 を用 い て搬 送 を試 み た.こ れ に よ り, 浮 揚 力 を十 分 に 保 ちつ つ 対 象 物 を輸 送 す るの が 可能 に な る.

昨年 度 この 平板 を 用 い た搬 送 装 置 を試 作 した が,任 意 方 向 へ の 搬 送 は 実 現 で き な か っ た.本 論 文 で は従 来 の 搬 送 装 置 に改 良 を施 す こ とで,平 板 上 でx方 向,y方 向 へ独 立 な搬 送 を 実 現 す る.

5

6

2.は り の 振 動 解 析

2.は りの 振 動 解 析

本 章 で は 梁 を 加 振 した と き の 振 動 状 態 を 調 べ る た め に 波 動 解 析 を 行 い,進 行 波 の 伝 播 方 向 と加 振 条 件 の 関 係Go)(ll)を明 ら か に す る.

2・1伝 達 マ ト リ ク ス 法 を 用 い た 解 析

解 析 の モ デ ル を 図1に 示 す,梁 の 両 端 の 境 界 条 件 を ス ラ イ ド支 持 と し,そ れ ぞ れ の 端 に 加 振 力 が 作 用 す る.な お,梁 は オ イ ラ ー ・ベ ル ヌ ー イ 梁 と し,伝 達 マ ト リ ク ス 法 働 を 用 い て 解 析 を 行 う,オ イ ラ ー ・ベ ル ヌ ー イ 梁 を 対 象 と し て い る た め,勇 断 変 形 や 回 転 慣 性 を 考 慮 して お ら ず 実 際 の 梁 と は 異 な る が,共 振 周 波 数 周 辺 の 進 行 波 の 方 向 を 議 論 す る 場 合 に は 問 題 な い.

梁 の 運 動 方 程 式 は 以 下 の よ う に 記 述 され る.

?2W{x,t}a4W(x,t)0 +pAEI

at‑ax4 ^(2‑1)

0

,

E ¥1

^B

A

ゐ

1

A

f

Fig.2‑iThebeammodelofslidingsupport

w,x,t,p,A,E,ノ は,垂 直 方 向 変 位,横 軸 方 向,時 間,密 度,断 面 積,ヤ ン グ 率,断 面 二 次 モ ー メ ン トで あ る.さ ら に 変 位 を 次 式 の よ う に 変 数 分 離 す る.

W(x,t)=W(x)θ ノ ω'

これ を 式(2‑1)に 代 入 す る と 次 の よ うに な る.

∂4w{x)

‑k4w{x)=0

∂x4

た だ し

k4̲pAcoz

Eノ

す る と式(2‑3)の 一 般 解 は 次 の よ うに な る.

一w(x)=C

1θ 拠+C2θ  療+Cie+C48無

次 に 状 態 ベ ク トルz(x)を 次 の よ う に 定 義 す る,

、(x)=。 。1(吸 一e竺 五)

E/EI

(z‑s)

(2‑6)

7

Wx,eX,〃1X. .fは そ れ ぞ れ 横 軸 方 向 の 位 置xに お け る 変 位,た わ み 角,曲 げ モ ー メ ン ト,勢 断 力 で あ る.こ こ でz(x)は 次 の よ うに 記 述 で き る.

z(x)=B(x)c

た だ し

吐蕪 蕪

c=co1(c,C2c30、)

(2‑s)

(2‑9)

さ ら に マ ト リ ッ ク スB(x)は さ ら に 次 の よ う に 展 開 さ れ る 。

ー

00轟0θ

0融00θ

癒0002

ーー

 ヨー・κ左'κ

ヨーμ4頒

14ゼギ

ん231.‑﹂々ん一一.ノ

ー

= ) X ( B

=KD(x) (2‑10>

簡 単 の た め にz(o)=Zo,z(x)=Zxと 置 く と こ れ らは ベ ク トルCを 消 去 して

zX=KD(x)K‑'zo=T(x)zo (2‑11>

こ こ で 伝 達 マ ト リ ッ ク スT(x)は 次 の よ うに な る.

T(x)̲

'1r4t3'2 k4tZt,t4t3 ん4ら ん4'、'1'、

k4t4k4t3k°t2t,

(2‑12)

た だ し

t,=(8ツ 舷+θ 一砒+eノ 敵+θ た つ14 tz=(一 ノε一ノ 版 一e一 献+ノeノ な+θ 紋)14k3

ち=(‑e一 ノ たじ+e一 敵 一 εノ㍑+θ 奴)/4k2 '4=(ノe■ ノ 歓 一e一 歓 一 ノeノセ+ε セ)!4k

(2‑13)

す な わ ち 初 期 ベ ク トルZoが 得 られ れ ば,式(2‑11)よ り任 意 点 で の 状 態 ベ ク トルZxが 求 ま る.こ こ で ス ラ イ ド支 持 の 境 界 条 件 を 考 慮 す る とZoお よ び ηは 次 式 と な る.

8

掛 棚

ま たz,は 式(2‑11)を 用 い て 次 式 で 表 さ れ る.

z,=T(x)za

し た が っ て 未 知 数 で あ るWO,mo/EI,wr,mi/EIを 求 め る こ と で,初 期 状 態 ベ ク トルZOを 次 の よ う に 得 る.

一 .fok4t、'、‑ft、+.fa'、'、

k4E1(k4tz2‑t;) 0 .ftZ一 ズ}'1'2+fO13t4

(2‑14)

(2‑15)

Zo=

EI(k°tz2‑to) fo Eノ

次 に マ ト リ ッ ク スKを 用 い て 状 態 ベ ク トルzの 座 標 変 換 を 行 う と,波 動 ベ ク トルwを 得 る.

z(x)=Kw(x) た だ し

w(x)=col(w,wZw3w4)

こ こ でwlとw3は,前 進 波(xの 正 方 向 に 伝 播)と 後 退 波(Xの 負 方 向 に 伝 播),W2とWqは 各 々x

=o ,x=1に お け る ニ ア フ ィ ー ル ドを 表 し て お り,w1とw3の 比 を と る こ とで 定 在 波 比 を 求 め る こ と が で き る.

(2‑16}

(2‑17>

(2‑is>

2・2波 動 解 析 結 果 と 考 察

数 値 解 析 に あ た っ て 適 用 し た 解 析 条 件 を 次 に 示 す.梁 の 寸 法 は300×25×1.5㎜.材 質 に ジ ュ ラ ル ミン を 仮 定 し て い る た め,ヤ ン グ 率 を74GPa,密 度 を2.77kg/m3と す る.ま た 強 制 入 力fo, f,を 次 の よ うに 定 義 す る.

{

^{foニ 述=ゐ 〃 εノ ω' φ}

左 右 の 振 動 の位 相 差 φは左 側 の入 力 に比 べ 右側 に 与 え る もの で あ る.

一150

‑zoo

..G

‑250 U

C

a

o‑350

U X1!

‑450 1

圏 闘 8 1

昏 , l

l l

1

l l l

l 1

l I

ト

1 「

1 」

o

」

1 曹.9曹 瞭一 一

l

l ,

脚 o

畠9畠 畠 一 一

̀ 1

『 一 一, ̀ ■ 一 ■ 冒 一 噌 冒 ‑冒 

「

「

1

一 冒 一 一 冒 一 ■ 冒F冒 「 一一

■

} ,

I l

1.52

Frequency[Hz]

2.5 x10 4

20辺ハUハ∪ハU  でロ

o軍響o>03boεで⊆⑩あ

1」1

圏

L

脚 ,

圏 脚

脚 , , 脚 脚

, 」

r

● 圏 「

1 1 圏

1 闘

5 ,

闘 伽

8

o 脚 o

, i ,

1 1 ,

陰 膠

, 1

1 , 1

, 1 圏

1 「 圏

r 脚

o 聖 1

1

o , ,

, 1 ,

1 1 圏

1 1

1 崖

1 ,

, 「 ト

5 」

, 1 1

ヒ 1

1 口 5

一1000100

Phasedifference[degree]

Fig.2‑2Analytica1丘equencycharacteristicofthebeam

一6

x106

醗賠い賑湘い,︑ト蝋

,ヂ h影 . ー ↑ 守 亡 F ‑ 款

影撒・じ鵡ギ﹂︑〜

1 , / ︑ 噌 . ' ・

[ 占 だ ︒ ∈ 8 ︒ 卿量 O

一鈷

α050.1

x[m]

Fig.2‑4Analyticaltimehistoriesofdisplacement distributionofthebeamat19800Hz

withphasedifferenceof90deg x10̲66

4 . 9 ﹂ ハU ハ ∠ 4

 コ

[ E ] 芒 ︒ E 8 σ 一量 O

殆

一6 x106

レ r ‑ L ‑ I l i ト ー l l L 1 4 . ウ ﹄ ハ U ク 一 4 .

一口[∈]習⊆O∈OO﹄二の噌O

0.15.6LO.050.1α15

Fig}3Ana1鋼 鎌 鳥ithphお,diffe,ence。f

Fig.2‑5Ah9願Hオimehistoriesofdisplacement distributionofthebeamat19800Hz withphaseif驚renceof。90deg

0.05 0.1 0.15

x[m]

Fig.2‑6Analyticaltimehistoriesofdisplacement distributionofthebeamat19800Hz

withphasedifferenceofOdeg

図2‑2は 梁 の 周 波 数 特 性 を 表 して い る.こ こ で は18900Hzと20650Hzの 共 振 周 波 数 の 間 の 19800Hzに 着 目 して 進 行 波 の 方 向 を 議 論 す る.

図2‑3は 加 振 周 波 数 を19800Hzに 固 定 し,左 の 加 振 入 力 に 対 す る 右 側 の 振 動 の 位 相 差 に よ る 定 在 波 比 の 変 動 を 表 して い る.た だ し定 在 波 比 は5躍R=wl/w3と 定 義 し て い る.前 節 よ り,Wjは 前 進 波 成 分,W3は 後 退 波 成 分 を 表 して い る.こ こ で 図2‑4はSWRが 極 小 値 を 取 る と き,即 ち位 相 差=90度 の と き の 包 絡 線 で あ り,図2‑5は 逆 にSWRが 極 大 値 を と る位 相 差=‑90度 の き の 変 位 包 絡 線 で あ る.過 去 の 包 絡 線 を 薄 い 色 で,現 在 の 変 位 包 絡 線 に 近 づ く に つ れ て 濃 い 色 で 描 い て い る.SWR〈1の と き は 分 子 で あ る 前 進 波 成 分 が 減 少 し,前 進 波 成 分 の 影 響 が 強 い.故 に 図2‑4に 示 す よ うな 左 方 向 に 進 行 波 が 形 成 され て い る.一 方,SWR>1の と き は 分 母 で あ る 後 退 波 成 分 が 減 少 し,前 進 波 成 分 の 影 響 が 強 い.つ ま り図2‑5に 示 す よ うな 右 方 向 に 進 行 波 が 形 成 さ れ て い る.

図6の よ う にSWR=1の と き は 進 行 波 成 分 と後 退 波 成 分 が 拮 抗 し 定 在 波 が 発 現 す る.以 上 の こ と か ら,左 右 の 加 振 の 位 相 を 操 作 す る こ と に よ り進 行 波 の 方 向 を 制 御 で き る こ と が わ か っ た.

10

5

一 次 元 搬 送 実験

ひ

3 ︒

3.一 次 元 搬 送 実 験

本 章 で は2章 で 得 られ た 知 見 を基 に搬 送 実 験 を行 う.まず 進 行 波 の伝 播 方 向 につ い て検 証す る.

共 振 周 波 数 付 近 の周 波 数 で左 右 の振 動 の位 相 を変 化 させ,進 行 波 の伝 播 方 向 を確認 す る,次 に 浮 揚 物 体 の 搬 送 方 向 につ い て検 証 す る,こ こ では物 体 の 浮揚 距離 を段 階 的 に 変 化 させ,浮 揚 物 体 の 搬 送 方 向 を確 認 す る.

3・1進 行 波 確 認 実 験

進 行 波 の伝 播 方 向の 確 認 をす る た め の 実験 装 置 を図3‑1に 示 す.梁 上 二 点 の振 動 状 態 を超 高 精 度 レー ザ ー ドップ ラー 変 位 計 に よ り測 定す る.波 動 の 伝 播 方 向 を確認 す るた め には,波 動 の1/4 波 長 よ り短 い 区 聞 を 同 時 サ ン プ リ ン グす る 必 要 が あ る.し か し本 実 験 で 扱 う加 振 周 波 数 は約 20000Hzで あ り,1波 長 が26.5mmと 非 常 に 短 い た め,レ ー ザ ー 変位 計 を並 べ て設 置 す る こ とが 困難 で あ る.そ こで 図 の よ うに一 方 の レー ザ ー 変位 計 は 下 方 か ら測 定 し,測 定 値 は符 号 を反 転 さ せ る こ とで 上 方 か ら測 定 した値 と比 較 す る.

tbeam

罫 _cht

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▼ 踊臨 躍 一一 r

↓

、̲ 1

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1

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_ch2

Fig.3‑]Experimentalsetupofmeasuringthetravelingwavedirection

梁 は2章 で 行 っ た 解 析 と 同 一 と し,寸 法 は300×25×L5mm,材 料 は ジ ュ ラ ル ミ ン(A12017) とす る.こ の 結 果 よ り 共 振 周 波 数 の 前 後 の 周 波 数 で あ る19800Hzを 加 振 周 波 数 とす る,ま た 梁 を 加 振 す る 振 動 子 は 左 ・ch1に 対 し て 右 ・ch2の 振 動 の 位 相 差 を ±90度 と し 実 験 を 行 っ た.こ の 実 験 結 果 を 図3‑2に 示 す.図3‑2は 梁 中 央 に お け る2点 の 変 位 の 時 間 変 化 を プ ロ ッ トし た も の で あ る.つ ま り横 軸 は 時 間,縦 軸 は 変 位 を 表 し て い る.ま た 実 線 は 上 方 ・左 側 に 設 置 した レ ー ザ ー 変 位 計 の デ ー タ で,破 線 は 下 方 ・右 側 に 設 置 した レ ー ザ ー 変 位 計 の デ ー タ の 符 号 を 反 転 さ せ た も の で あ る.左 側 の 図 が 位 相 差+90度 右 側 の 図 が 一90度 で あ る,こ の 波 形 の 山 の 部 分 に 着 目す る と, 破 線、 が 実 線 に 対 し+90度 で は 左 方 向 に,右 方 向 で 一90度 で は 右 方 向 に ず れ て い る こ とが 確 認 で き

る.つ ま り19800Hz・ 位 相 差+90度 で 加 振 し た 場 合,進 行 波 は 左 方 向,19800Hz・ 位 相 差 一90度 で 加 振 し た 場 合,進 行 波 は 右 方 向 に 伝 播 す る こ と が 明 ら か に な っ た,

12

4 1 0 i ー α 0 .

0

1

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45Q ̲q Xla

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1

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23 Timesec]

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Fig.3‑2Experimentalresultoftimehistoryofdisplacementat19800Hzwithphasedifferenceof±90deg

3・2浮 揚 物 体 の 搬 送 方 向確 認 実 験

浮揚 物 体 の搬 送 方 向 を 確認 す るた め に,浮 揚 距 離 を変 化 させ て 実 験 を行 っ た.こ れ は 発 信 器 か ら振 動 子 に 入 力 す る電 圧 を変 化 させ 梁 表 面 の変位 振 幅 を 変 化 させ る こ とに よ り行 う.前節 と同 様 に加 振周 波 数 は19800Hz,梁 の 両 端 を加 振 す る振 動 の位 相 差 は左 に比 べ 右 に90度 を 与 え る.進 行 波 の 伝 播 方 向 は左 で あ る.

表3‑1は 浮 揚 距 離 を変 化 させ た とき の浮 揚 物 体 の搬 送 方 向 の 関係 性 を示 して い る.物 体 の 浮 揚 距 離 が40ｵm以 上 あ る と きは 梁 の 進 行 波 方 向 と物 体 の搬 送 方 向 が 同 じで あ る.し か し,40か ら 30μm辺 りに物 体 が動 か な い領 域 が あ り,浮揚 距 離 が30ｵm以 下 の 値 を とる とき搬 送 方 向 が 逆 転 す る こ とが わ か る.従 来 た わ み進 行 波 の方 向 と物 体 の 搬 送 方 向 は常 に 同一 で あ る と考 え られ て い た が,本 章 で の 実 験 で これ らの 関係 は浮 揚 距 離 が 要 因 とな っ て 変 化す る こ とが示 され た.

Table3‑1Experimentalresultoftherelevancybetweenthelevitationgapandthetransportingdirectionofthe levitatedob}ect

Voha暮e (、り

Amph̀nde (隅)

Levi亡ationd童s亡anceTrans,or血ng"irec血on

(μm)C・mpare"ご ・aIraye血 琶wa▼e

46.0 0.65 21.3 backward

54.o 0̲'3 24.6

1 i 27.3

62.0 ¹ 30.2

11 1/ 32.7 àres吐

?U.0 0.95 39.Z 『om‑srd

74.0 LOl 40.5 forward

腿.o

x.11 44.4 forward

90.0 1.11 48,8

3・3搬 送 方 向 の 逆転 に 対 す る考 察

前 節 よ り,は りと浮 揚 対 象 物 の 間隙 を小 さ くす る と搬 送 方 向 が 逆転 す る こ とが 明 らか に な っ た 。 よ っ て,本 節 で は浮 揚 対 象 物 の搬 送 方 向 が逆 転 す る理 由 につ い て 述 べ る,進 行 波 の伝 播 方 向 と対 象 物 の搬 送 方 向 が 逆転 す る現 象 の 例 と して接 触式 超 音 波 モー ター が挙 げ られ る.こ れ は す で に確

13

立 され た 技 術 とな っ て お り,デ ジ タル カ メ ラ のオ ー トフォ ー カ ス機 能 な どに 導 入 され て い る.本 研 究 対 象 の 超 音 波 浮 揚 に お け る浮 揚 対 象物 の搬 送 方 向が 逆 転 す る現 象 とは,浮 揚 して い るか 否 か

とい う点 に お い て 異 な る もの の 類似 した 現象 と考 え る こ とが で き る.そ こで 本節 で は,進 行 波 を 用 い た 接 触 式 超 音 波 モ ー ター の 駆 動 原 理(B)に着 目 し超 音 波 浮 揚 に お い て搬 送 方 向が 逆 転 す る理

由 につ い て 考 え る こ と とす る,

図3‑3は 柔 軟 は りに た わ み進 行 波 が 励 起 され て い る状 態 の は りの 断 面 図 を表 して い る.柔 軟 は りの厚 さ をT,進 行 波 の た わ み 振 動 の波 長 をλ,波 数 をk,た わ み 振 動 の 縦 方 向 振 幅 を曵,角 周 波 数 を 娩 とす る と柔 軟 は りの 中 立軸 に お け る進 行 波 の式 は 次 の よ うに 記 述 で き る,

y

ノ Beam

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へ.一 一

^̲駈

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『 ¶L

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^{一 一＼ 一 一 一 一}

Directionoftravelingwave

Figふ3flexuralbeam

ア如 〔2πλκ一ω♂〕二姻 鳳')

い ま 柔 軟 は り表 面 の 任 意 点 をPと し,た わ ま な い 状 態 の 位 置 をPoと す る と,Poか らPへ の 厚 さ 方 向 の 変 位 ξは,た わ み 角 θを 用 い て

T ξ =もsin(奴 一 ω・t)‑

2(卜COSθ)

と 表 す こ と が で き る.た わ み 振 動 の 振 幅 は た わ み 振 動 の 波 長 に 比 べ て 微 小 で あ る の で,た わ み 角 は 非 常 に 小 さ い 値 と な り,

ξ 駕 ξosin(たκ一 ω♂)

と 近 似 で き る.ま た,P。 か らPへ の 横 方 向 の 変 位 ζは T̲T

ζ'=‑sinθNN一 θ22

(3‑1}

(3‑2}

{3‑3)

(3‑4}

こ こ で θは

のむω

部co誰寸の薦研

(3‑5)

14

と表 され るの で,横 方 向 の 変位 は T

ζ 廻 転 左COS(kx‐cvot)

と 近 似 で き る.し た が っ て,式(3‑5)と(3‑6)よ り縦 方 向 の 変 位 と横 方 向 の 変 位 と の 関 係 式 は,

{麦1+{輪ん 渉/2)1=1

とな る.式3‑7は 垂 直 ・水 平 方 向 の 変位 が楕 円運 動 とな る こ とを示 して い る.こ の 楕 円軌 道 にっ い て水 平 方 向 の変 位 に着 目す る と,楕 円 下部 で は 進行 波 の伝 播 方 向 と一 致 して い る が,楕 円上 部 の水 平 方 向変 位 は進 行 波 の伝 播 方 向 と逆方 向 に な る.こ の変 位 成 分 が微 小 間 隙 内 に 進 行 波 の 伝 播 方 向 と逆 方 向 の速 度 を 与 え,浮 揚 対 象物 の搬 送 方 向が 逆 転 す る原 因 とな っ て い る と考 え られ る.

接 触 式 超 音 波 モ ー ター で は楕 円 上部 が 対象 物 と接 触 して い るた め,物 体 は摩 擦 力 に よ り進 行 波 の 伝 播 方 向 と逆 方 向 に搬 送 され るが,本 研 究 対象 で あ る超 音 波 浮 揚 で は微 小 間 隙 内 の 流 体 を介 して 同様 の搬 送 力 が生 じて い る と考 え られ る.そ こで 次 章 で は,こ の微 小 間隙 に お け る流 体 場 の 解 析 を行 い,物 体 に働 く力 の詳 細 に つ い て 述べ る.

(3‑6)

(3‑7)

15

4.数 値 流 体 解 析

4.数 値 流 体 解 析

本 章 で は 数 値 流 体 解 析 を用 い て,浮 揚 物 体 に作 用す る搬 送 力 の 方 向 と物 体 の 浮 揚 距 離 との 関係 を 明 らか にす る.ま ず 梁 と浮 揚 物 体 との 間 隙 の 流 体場 を対 象 と して,二 次 元 のモ デ ル を作 成 す る.

次 に非 圧 縮 性 流 体 の 基礎 方 程 式 か ら流 体 場 の 速度 ・圧 力 の 分布 を 求 め る と共 に浮 揚 物 体 に加 わ る 力 を算 出 し浮揚 距 離 毎 の 変 化 を検 討 す る,

4・1解 析 モ デ ル

LevilatedOb璽e(!t

,o‑一 一,̲ 卜一 ρ一一凸 ■

冒 吻r噂 一一一 一吻

r魯 一」,

Freeoutflowboundarycondition Fixedwailboundarycondition

‑一 一Calculatingarea

Fig.4‑1Ultrasonicfieldmodelandboundaryconditions

1

; 2 ivr,j+1

ur ,ノ ー 一 一 一 一 一

i

l

ラ 辱物 ,:ノ

誰'二1L.

↑,

i"hJ

3 2

1

Fig4‑2Themodelofstaggeredgrid

解 析 の 概 略 モ デ ル を 図4‑1に 示 す.梁 上 に 長 方 形 の 物 体 が 浮 揚 して い る 状 況 を 想 定 し て い る.

梁 の 位 置 に 相 当 す る 計 算 空 間 下 端 と浮 揚 物 体 周 りの 境 界 条 件 を す べ り な し固 体 壁 条 件 と し,そ の 他 の 周 辺 境 界 に は 対 流 の 性 質 に 矛 盾 しな い 自 由 流 出 条 件 を 与 え る.ま た 梁 の 振 動 は,梁 の 垂 直 方 向 の 速 度 成 分 に 加 え,前 節 で 解 説 し た 表 面 の 水 平 方 向 の 速 度 を 流 体 の 速 度 と し て 境 界 に 入 力 す る こ と で 模 擬iし た.下 面 か ら 浮 揚 物 体 ま で の 距 離 は,実 験 値 に 照 ら し て30か ら60ｵmま で10ｵm ず つ 変 化 させ た.

ま た 本 解 析 で は,対 流 速 度 の 各 成 分 の 方 向 に 半 格 子 ず ら し,計 算 位 置 で は 補 間 し た 値 を 用 い る ス タ ッ ガ0ド 格 子 を 用 い る.ス タ ッ ガ ー ド(食 い 違 い)格 子 と は,速 度 の 各 成 分 お よ び 圧 力 の 評 価 点 を 同 一 に せ ず ず ら し た 点 で 与 え る 格 子 の 取 り方 の こ と で あ る.二 次 元 の 場 合 に は 図4‑2の よ う

i7

に 与 え られ る.ス タ ッ ガ ー ド格 子 で は,一 つ の 格 子 単 位 ご と に 連 続 の 式 の 評 価 が で き,さ ら に, あ る 方 向 の 圧 力 差 が そ の 方 向 の 速 度 を 決 定 す る と い う,Navier‑Stokes方 程 式 の 構 造 を 自 然 に 表 現 で き る と い う長 所 が あ る.

4・2基 礎 方 程 式 と無 次 元 化

基 礎 方 程 式 は,梁 表 面 の 振 動 に よ る流 速 が 音 速 よ りも十 分 小 さい こ とか ら,次 式 に 示 す 非 圧 縮 性 流 体 に お け るナ ビエ ・ス ト0ク ス 方 程 式 と連 続 の式 とす る.

書+い ▽)"̲‑10PP+多 御

vv=o

v,t,P,ρ,μ は そ れ ぞ れ 流 速,時 間,圧 力,密 度,流 体 の 粘 性 率,▽,△ は 演 算 子 で ナ ブ ラ と ラ プ ラ シ ア ン を 表 す.

次 に 以 下 の 無 次 元 量 を 用 い て 基 礎 方 程 式 の 無 次 元 化 を 行 う.

ア 可

,

x 可

=

u「 レU

==V==

uo,uo

ρ π

(4‑4)

Z=‑ t

to (4‑5)

こ こ でuo,po,roは 速 度,圧 力,時 間 の 未 定 参 照 量 で あ る.Loは 浮 揚 距 離 の 値 を と る.ま た, 無 次 元 パ ラ メ ー タ と して レイ ノ ル ズ 数 を 以 下 の よ うに 定 義 す る.

Reニuo」 乙o

レ

さ らに,無 次 元 化 に伴 い以 下 の よ うに 定義 す る.

玉」1

unto

Po=1

o 2Pu

よ っ て未 定 参 照 量 は

uo= vRe

Lo

2P

o=Puo

18

toLo uo

とな る.以 上 を 用 い て 基礎 方 程 式 の 無 次 元 化 を行 うと,以 下 の よ うに な る.

au

az+UaUax+VavaY‑aPax+1Re〔a2uaxe+a2uaY2 av +Uav+vav=̲aP+ia2v+a2va

zaXaYaYReaX2aY2

‑+一=O avav axaY

基 礎 方 程 式 は,時 間 項 に 前 進 オ イ ラ ー 法,圧 力 項 に 前 進 差 分 法,粘 性 項[拡 散 項1に 二 次 精 度 中 心 差 分 法,移 流 項 に 三 次 精 度 風 上 差 分 法 を 導 入 し て 離 散 化 す る.

4・3HSMAC法

本 節 で はHSMAC法(14)(15)の ア ル ゴ リズ ム に つ い て 述 べ る.HSMAC法 はNavier‑Stokesの 方 程 式 を 解 く こ と で,あ る 時 間 ス テ ッ プ の 速 度 の 予 測 値 を 計 算 し,圧 力 修 正 項 を 計 算 す る.ニ ュ ー ト

ン 法 を 繰 り返 す こ と で,連 続 の 式 が 零 に 近 似 で き る ま で 計 算 を 行 い,速 度 ・圧 力 を あ る 時 間 ス テ ッ プ の 真 の 値 に 収 束 させ る 手 法 で あ る.

ま ず 無 次 元 化 し たNavier‑Stokes方 程 式 と連 続 の 式 を 考 え る と,以 下 の よ う に 記 述 され る.

au +(U.▽)U‑一 ▽P+⊥ ▽・U azRe

v・u=o

これ ら の 式 は レ イ ノ ル ズ 数 の み が 唯 一 の パ ラ メ ー タ で あ り,次 の よ うに 書 く.

Un+1‑U"

一一▽P"・L(鵬 ぴ+⊥ ▽・Un ReOZ

▽・U"+1=0(▽ ・Un≠0)

こ こ で 連 続 の 式 を 満 た す よ うに 圧 力 を 求 め な け れ ば な ら な い.次 に 式(4‑17)を 以 下 の よ う に 二 式 に 分 離 し て 考 え る.

s

u‑U"

一 一▽Pn‑(u・ 萌 ぴ+⊥ ▽・Un ReOZ Un+1̲U*

=一 ▽(P"+1‑Pη)=一 ▽(δP)

△ τ

た だ しÙ,翻 は 速 度 の 予 測 値,修 正 圧 力 で あ る.こ こ で

δU=Uη+1̲げ

19

(4‑11)

(4‑12)

(4‑13)

(4‑14)

(4‑15) (4‑16)

(4‑17) (4‑18)

(4‑19)

(4‑20)

(4‑21)

と お く と

δu=一 △ τ・▽(δ」P)

と 記 述 で き る.さ て 式(4‑20)のdivを と る と

OZ‑一 ▽[▽(sP)】 ∴v2(8P)v.u'Oz

こ れ が 圧 力 の 補 正 項 に 関 す るPoisson方 程 式 で あ る.こ の 方 程 式 を 解 く た め に,成 分 表 示 す る と,

ゆ ホ

∂σ ∂V.

∂2(δP)

+∂2(δP)=ax+∂Y axeaY20z

さ ら に 離 散 化 を 行 う と,

ホ ホ ・̲̲s

(SP),+1,i‑2(δPい δP瓶 ノ

+(δPい(Uｺ,.i‑Ur‑i,.r+砿 ノ許

(M)2(△Y)2△ τ

も し こ こ で(SP)らノの 隣 接 点 の 修 正 場 を 無 視 して し ま え ば,次 式 が 得 られ る.

ゆi ゆ の

U,i一 嬬 一1」

+砿 ノ ー 巧 」‑1

叫=一 意

、+1(OY)OYZOz

こ れ よ り圧 力 の 補 正 量 が 簡 単 に 求 め られ る.し か し,隣 接 点 の 圧 力 修 正 量 を 無 視 し た こ と に よ り反 復 計 算 を 必 要 とす る.式(4‑23)よ り速 度 の 修 正 量 は 各 成 分 表 示 で 次 の よ うに 書 け る.

k+1U ;、=kU,i‑OZ(SkPザ8kPL1,、)

㌦=・ ㌦ 一aZ(δ 々魂 ノーskPノ.lDY)

k+1君

ノ=kPノ+SkP,.1

を 用 い て 速 度 と圧 力 を 修 正 し,制 約 条 件 で あ る

k+1妬

U‑k+1砿 ・+k+1耽 ・・1‑k+㌦ 駕O

OXOY

を満 たす ま で この 計 算 を反 復 させ,次 の 時 間 ス テ ップ の速 度 と圧 力

20

(4‑22)

(4‑23)

(4‑24)

(4‑25)

(4‑26)

(4‑27)

(4‑28) (4‑29)

(4‑30)

n+1k+1U ::=Ui

,ノ1,ノ

"+IV

i,ノ=k+1

"+1」鬼

ノ=k+1魂 ノ

を 求 め る 方 法 で あ る.た だ しkは 繰 り返 し回 数 を 表 し て お り,k=1の と き 式(4‑19)お よ び(4‑20) で 定 義 した 速 度 の 予 測 値 とな る.

し た が っ てHSMAC法 の ア ル ゴ リ ズ ム は 以 下 の よ う に な る.

(1)式(4‑19)よ り速 度 の 予 測 値Ùを 計 算 す る.

(2)得 られ た 速 度 場 に お い て,式(4‑26)よ り圧 力 修 正 項 を 求 め る.

(3)式(4‑27)か ら(4‑29)よ り,圧 力 場 ・速 度 場 を 反 復 補 正 す る.

(4)補 正 され た 速 度 場 を 用 い て,制 約 条 件 で あ る 式(4‑30)を 満 た す ま で 反 復 計 算 を 行 う.制 約 条 件 を満 た した 場 合 は,そ の と き の 圧 力 場 ・速 度 場 をn+1ス テ ップ に お け る 圧 力 ・速 度 と し, 制 約 条 件 を 満 た さ な い 場 合 は,(2)に 戻 る.こ の 手 順 は 図4‑3の よ うな フ ロ0チ ャ ー トで 示 さ れ る.

初期条件 時間進行

速度計算 境界条件

繰 り返 し進行

圧力補 正項計算 境界条件

速 度 ・圧 力更 新

連続 の式計算

No

収束安定条件

No

時間進行終 了

Yes

計算終 了

Fig.4‑3Modeloftransportationforcegainedbytiltoflevitationforce

21

4・4解 析 結 果

浮 揚 物 体 に 作 用 す る搬 送 力 を 定 量 的 に吟 味す る.搬 送 力 に 寄 与 す る因 子 は三 点 考 え られ る.

(a)浮 揚 物 体 の 左 右 の圧 力 差 (b)浮 揚物 体 周 辺 の流 体 の粘 性 応 力 (c)浮 揚 物 体 の傾 斜 に よ る力

(a)に つ い て は,浮 揚 物 体 の 左 右 に 時 間 平 均 的 に 生 じ る 圧 力 差 に 着 目 し,物 体 左 右 両 面 に 作 用 す る 圧 力 差 と 面 積Apか ら,搬 送 力 は 次 の よ う に 記 述 で き る.

Fp=Fprigh、‑1㌃ 域=(P,;gh、 一馬)Ap

(b)に つ い て は,浮 揚 物 体 の 下 に 速 度 勾 配 が 生 じ,粘 性 応 力 が 物 体 に 作 用 す る.そ の 関 係 式 は

τ=μ 一du (4‑34)

した が っ て,浮 揚 物 体 の 下 面 積Ahを とす る と粘 性 応 力 に よ り浮 揚物 体 に 作 用 す る搬 送 力 は

du

・Fレ=τ4=μ 一4 (4‑35)

こ の式 の速 度 勾 配 は 浮 揚 物 体 下 の三 格 子 分 の 速 度成 分 を用 い て,片 側 三 点 の 一 階 差 分 で 以 下 の よ うに な る

du ̲‑3u;+4u;̲,‑ui̲2

toy

(c)は 浮 揚 物 体 に か か る浮 揚 力 の左 右 の バ ラ ン ス が一 定 で ない こ とか ら生 じ る.浮 揚 物 体 の 浮 力 の左 右 の バ ラ ン スが 崩 れ る と,浮 揚 物 体 に回 転 モ ー メ ン トが発 生 し傾 斜 す る と考 え られ る.

よ っ て 図4‑4の モ デ ル に示 す よ うに,物 体 の傾 き に よ り浮 揚力 の水 平 方 向 の 分 力 が 大 き くな り搬 送 力 が 生 じる.し か し本解 析 にお い て 浮 揚 物 体 は 空 間 に 固定 して お り,傾 け る こ とが で き な い た め正 確 な搬 送 力 を求 め る こ とが で きな い.そ こ で物 体 の 傾 き角 は 最 も大 き くな る場 合 を想 定 し, 図 の よ うに 物 体 片 側 で 解 析 に 用 い た浮 揚 距 離 を と り,も う片側 が 振 動 面 に触 れ て い る状 態 で生 じ る 角度 とす る.こ の とき,浮 揚 物 体 が受 け る圧 力 は 近似 的 に物 体 の垂 直 上 向 きに働 き,水 平 方 向 の 分 力 が 搬 送 力 とな る と考 え る.即 ち物 体 の傾 き に よ る搬送 力F'は 浮揚 力Fを 用 い て以 下 の よ

うに 記 述 され る.

F'=FsinB

22

Levitationgap

F':Transportationforce

1￣ig.4‑4Modeloftransportationforcegainedbytiltoflevitationforce

解 析 結 果 の ま と め を 表2に 示 す.力 の 符 号 は 進 行 波 の 方 向 に 対 し て 同 方 向 ・右 方 向 を 正,逆 方 向 ・左 方 向 を 負 と と っ て い る,ま ず 前 述 した 三 つ の カ の う ち(b)粘 性 応 力 に よ る 力 が 支 配 的 で あ る こ と が 分 か る.ま た 実 験 結 果 と 同 じ く浮 揚 距 離 が 減 少 す る と,搬 送 力 の 向 き が 逆 転 す る こ と が 確 認 され た.さ ら に 実 験 値 と は10ｵm程 度 の 差 は あ る も の の,浮 揚 距 離50μmに お い て 搬 送 力 が 小 さ く な っ て い る,(c)浮 揚 物 体 の 傾 き に よ る 力 に 関 し て は 前 述 した 通 り物 体 の 傾 き が 最 大 の 場 合 を 考 慮 し て い る が,そ れ で も粘 性 に よ る カ よ り も 小 さい 値 に な る こ と が 分 か る.

次 に搬 送 方 向 が 互 い に 逆 転 し て い る,浮 揚 距30ｵmとbOｵmの 場 合 の 時 間 平 均 変 動 圧 力 と時 間 平 均 速 度 の 分 布 を 図4‑5,図4‑6に 示 す.ど ち ら も浮 揚 距 離30ｵmが 上,60ｵmが 下 に 配 置 され て い る.ま ず 図4‑5を 見 る と,浮 揚 物 体 の 下 中 央 付 近 で 最 も圧 力 が 高 く な っ て お り浮 揚 力 が 得 ら れ て い る こ と が 分 か る.ま た 圧 力 が 最 も 高 く な っ て い る 部 分 は 浮 揚 距 離30μmの 場 合 は 物 体 の 中 央 よ り右 側,浮 揚 距 離60ｵmの 場 合 は 物 体 中 央 よ り左 側 と な っ て い る.こ れ に よ り物 体 が 傾 斜 し

(c)の 力 が 生 ま れ て い る,

こ れ と対 応 す る よ う に 図4‑5で は 浮 揚 物 体 下 の 流 速 の 分 布 が 浮 揚 距 離 毎 に 異 な っ て い る.即 ち 浮 揚 距30ｵmの 場 合 左 側 へ 逃 れ る 流 量 が 大 き く,浮 揚 距 離60ｵmの 場 合 右 側 へ 逃 れ る 流 量 が 大 き く な っ て い る.式(4‑36)を 見 る と 明 ら か な 通 り,浮 揚 物 体 下3格 子 分 の 流 速 の 向 き が 搬 送 力 の 方 向 を 決 定 し て い る.具 体 的 に は 浮 揚 距 離30μmの と き,式(4‑36)で 表 さ れ る 速 度 勾 配 は 浮 揚 物 体 の 左 端,右 端 で そ れ ぞ れ 一2.7E3,9.8E2と な っ て い る,こ れ は 図4‑5に 示 す よ う な,浮 揚 間 隙 の 中 心 に 向 か う に つ れ て 発 達 す る 流 速 分 布 の 形 と比 例 して い る.こ の こ と か ら も 分 か る よ うに, 浮 揚 物 体 下 に 発 生 す る 流 速 の 左 右 へ の 偏 りが 原 因 と な り搬 送 方 向 の 逆 転 が 生 じ て い る.

Table4‑1Numericalsimulationresultoftherelevancybetweenthelevitationgapandthetransportationforce

Le廠a丘 。ngap (ゆ)

Pressurgdiffヒre処ce (N)

V{〜cousfbrc巴

")

T丑toflevhadonfbrce c導)

Forced圭rectioll c㎜paredωatrave臨9"冒a・'e

30.0 4.7E‑9 一1.5E‑3 一1.⑪E.5 back‑vE・ard

XO.0 4.8E‑10

一2 .4E‑4 一t4E‑r backward

50.o 一1 .4E‑9 一L9五 一5 一1.7E‑5 backward

60.O

一1 .7E‑9 ユ.3E‑4

fbrwafd

23

I

CtJ F.3

30

0

60

0

(a)

0 20 40

(b)

60

r

s0"

V

0 20 40

Length [mm]

7r.

I)

6080

INIMOk

Direction of traveling wave

20

15

10

5

0

Fig.4-5 Analytical time averaged pressure distribution

(a) When the levitation gap is 30µm (b) When the levitation gap is 60pm

(a)

bfi 4.)

30

0

60

0

0 20 40

(b)

60 80

0 20406080

Length [mm] INN*

Direction of traveling wave

Fig.4-6 Analytical time averaged velocity distribution (a) When the levitation gap is 30µm

(b) When the levitation gap is 60µm

24

両端 無 限平板 の振動解析  

5 ︒

5.両 端 無 限 平 板 の 振 動 解 析

本 章 で は,二 次 元 の搬 送 に使 用 す る両 端 無 限 平板 につ い て 扱 う.両 端 無 限 平板 とは,一 対 の 対 辺 を 無 響 端 境 界 条 件,も う一 対 の 対 辺 を 単純 支 持 境 界 条 件 と した 平板 で あ る.

超 音 波 浮 揚 に お け る両 端 無 限 平 板 の利 点 は 二 点 あ る,一 つ は モ ー ドの励 起 数 を減 らす こ とが で き る こ とで あ る.有 限 平板 にお け る欠 点 は多 数 の モ ー ドが励 起 して しま うこ とで あ っ た,本 解 析 お よび 実 験 で 用 い る 両端 無 限 平板 はx方 向に垂 直 な境 界 を無 響 端 と し,反 射 波 を発 生 させ ない 境 界 条件 とす る こ とで モ ー ドの励 起 数 を減 少 させ た 平 板 で あ る,こ れ に よ りy方 向 の モ ー ドの 影 響

の み を 考 慮 す れ ば よ く,搬 送 に必 要 な進 行 波 の形 成 が 容 易 に な る.

も う一 つ は 変位 振 幅 を大 き くす る こ とで あ る,過 去 に 周 辺 を全 て 無響 端 境 界 条 件 と した 無 限 平 板 の 研 究 が な され た(za)が,実 験 で は 対 象 物 が浮 揚 しな か っ た.原 因 は振 幅 変 位 の 不足 と考 え ら れ る,有 限 平板 の 場合 は 入 射 波 と反 射 波 の 合成 波 が振 幅 変 位 と して 現 れ たが,無 限 平 板 の 場 合 は 反 射 波 を 除 去 して しま っ た た め振 幅 変位 が減 少 して しま っ た の で あ る.こ の 問 題 点 を解 消 す る た め に 両端 無 限 平 板 で はY方 向 の 境 界 条 件 を単純 支 持 と し,定 在 波 が 発 生 す る よ うに した.こ れ に よ り振 幅 変 位 の 不 足 を改 善 で き る.

こ こ で は,両 端 無 限 平板 の振 動 解 析 を行 っ た後,物 体 搬 送 の た め の 二 種 類 の 制 御 手 法 を解 説 す る.

5・1両 端 無 限 平 板 の 変 位 応 答 式 の 導 出

本 研 究 に お い て使 用 され る両 端 無 限 平 板 の 変位 応 答 式 の 導 出 を行 う,平 板 は 等 方性 で 厚 さが 一 様 と し,厚 さが縦 ・横 の 長 さ に比 べ 無 視 で き るほ ど十分 小 さい,薄 肉 平板 とす る と運 動 方 程 式 は 次 の よ うに記 述 され る.

庶 卿)+Phazw{x

at…y,t)‑9"ハ の

(5‑1)

こ こ でD,E,h,v,p,tは そ れ ぞ れ 曲 げ 剛 性,ヤ ン グ 率,平 板 の 厚 さ,ボ ア ソ ン 比,単 位 面 積 当 た りの 密 度,時 間 を 表 す.な お 解 析 を 簡 易 化 す る た め,勢 断 変 形 と 回 転 慣 性 は 無 視 す る.

Anechoicboundary _{5碗 ρリノ5「卿orted}

Fig.S‑1Modeloftransportationfarcegainedbytiltoflevitationforce

26

図5.1に 示 す よ う に,両 端 無 限 平 板 は 赤 破 線 で 囲 ま れ た 領 域 で あ り,境 界 はx,ア 平 面 に お い てx=0,Lxは 無 響 端,ア=0,Lyは 単 純 支 持 と す る.

続 い て,加 振 点(x,ア)=(xd,Yd)が 複 素 変 位 ル で 加 振 す る 場 合,外 力 は 次 式 で 表 され る.

q=ノ レ δ(x‐xd)δ(.v‐yd)

今,v=0,Lyは 単 純 支 持 で あ る か ら,変 位 応 答 式 は 次 の よ うに 記 述 で き る.

の

w(x,ア,り 一wm(x)・inamy・e/N1 m=1

こ こ で,mは ア 方 向 の モ ー ド指 数 を 表 し,amは

LY

で あ る.す る と 固 有 関 数Wm(x)は 未 定 係 数Al,A3,B2お よ びBqと モ ー ド波 数 編 を 用 い て 次 の よ う に 波 動 形 式 で 記 述 で き る.

Wm(x)=AeklmX+Lek・mx+"3ek'mX+flekamx4

次 に,式(5‑6)を 式(5‑3)に 代 入 し,そ れ を さ ら に 式(5‑1)に 代 入 す る と 次 式 を 得 る.

D壽 陶 レ)d2‑2am

dx2wm(x)+Q'4̲phw2wmfix)D]e'ẁ=q

固 有 関 数Wm(x)に 含 ま れ る モ ー ド波 数 を 導 出 す る た め に 式(4‑7)の 斉 次 方 程 式 を と る.こ こ で 両 辺 にS111G1'kyを掛 け,次 の よ う に 積 分 す る.

呼 蝋 ア[44w海(xぬ4)‑2架)+{a4m‑Phw2D}㌦ ω]dy=・

モ ー ドの 直 交性 よ りm=kの とき の み値 を持 ち

rsin偽 アsi嘲=Ly2

式(5。8)よ り

♂ 夢) ‑2α 踏)+〔a4 m‑phw2D〕wm(x)一 ・

が 導 か れ る.w朋(x)=8kmxと お く と,特 性 方 程 式 は

27

(5‑2)

(5‑3)

(5‑4)

(5‑6)

(5‑7)

(5‑8)

(5‑9)

(5‑10)

k4m‑2呼+〔 誓 丁一Phw2=O

D (5‑11)

と な る.こ れ よ り,モ ー ド波 数 が 得 られ

klm,2m=±何 辱

2 mgr ̲phw2k sm,am‐ ±L

yD

(5‑12)

(5‑13)

た だ し,モ ー ド波 数k3m,4mは 次 の と き に 虚 数 を と り得 る.

図 くphm2D

2 .macD

..w>‐

Lyph

式(5‑14)よ り,無 響 端 方 向 に 波 が 移 動 す る 加 振 周 波 数 が 分 か る.こ れ をcut‑on周 波 数 と呼 ぶ.

次 に,加 振 点 と 左 側 の 無 響 端 で 挟 ま れ た 領 域 の 固 有 関 数wlm(x)は,加 振 点 の ニ ア フ ィ ー ル ド 項 と 左 側 の 無 響 端 方 向 に 伝 播 す る 波 動 項 を 用 い て,次 の よ うに 記 述 さ れ る.

wlm(X)=fleklmx1+43θ も・潔

一 方 ,加 振点 と右側 の無響 端で挟まれた領域 の固有 関数w2m(x)は,加 振点のニ アフィール ド項 と右 側 の 無 響 端 方 向 に伝 播 す る波 動 項 を用 い て,次 の よ うに記 述 され る.

W、m(x)=B、ek2mX+B、ek4mX

続 い て,未 定 係 数A,,A3お よ びB2,Bqを 求 め る.境 界 条 件 よ り,x=xdで は 次 の 条 件 を 満 足 す る.

変位 傾斜角

曲 げ モ̲メ ン ト 、∂2㌦ ^ユ

加讐嘗W=

=㌦帆舐醒 加

=

(5‑15)

(5‑16)

(5‑17) (5‑18)

(5‑19)

28

勤 ・ ∂詮 一∂診 二 一2fasinamyL

ア ̲D

以 上,式(5‑17)か ら(5‑20)よ り,次 式 を 得 る.

Ac=b

た だ し

eklmXdek3mXd̲ek2mxd̲ek4mxd keklmXdkek3mXd‑kek2mXd‑kek4mxdlm3m2m4mA

=

k2eklmxdkzek3mXd̲k2ek2mXd̲k2ekamxdlm3m2m4m k3eklmXdk3ek3mXd̲k3ek2mxd̲k3ek4mXdlm3m2m4m

c'=[オ 、43B2B4」

b'̲[… ‐2fdSltlam .YdL

yD

ま た,逆 行 列 バ を 左 か ら掛 け る こ と に よ り,未 定 係 数 ベ ク トルcが 得 られ る.

c=A‑'b

∴c=‑2dSlQam.YdL

..D[A7!,4(1・ 行 列A‑1の1行)

y つ ま り,

̲̲2A

,LDsinamYd'A‑'(1,4) y 2A

3=‐LDsinamYa'A‑'(2,4) y

B2=‑2.fd

LyD・inamYd・ パ(3,4)

4LDsinamYd'A‑'(4,4)̲2B y

よ っ て,X軸 方 向 の 固 有 関 数W(X)は w(x)=C'Em(X)

た だ し

E'M(x)=[♂ ・‑xek3mxθ も 励xek4mx]

と 記 述 さ れ る.こ こ で,固 有 関 数Em(x)は,外 乱 点 のx座 標xaを 境 に 場 合 分 け され,x<xd,す な わ ち 左 側 の 無 響 端 領 域 で は

29

(5‑20)

(5‑21)

(5‑22)

(5‑23)

(5‑24)

(5‑25)

(5‑26)

(5‑27)

(5‑28)

(5‑29)

(5‑30)

(5‑31)

E'm(x)=rElm(X)=[ek・mxek3mXoo]

x>xd,す な わ ち 右 側 の 無 響 端 領 域 で は

Èm(x)=JEIm(x)=[ooek2mxek4mx]

と な る.こ れ よ り,便 宜 上,変 位 応 答w(r)を 加 振 力 と そ れ 以 外 に 分 離 し て 記 述 す る と, w(r)=f騨

と な る.こ こ で,1つ の 加 振 力 飼 がrdに 作 用 す る場 合, w(r)=fdwd(rd)

で あ り,こ の と きwd(rd)は

Wd(rd)一 Σw(x)・inamy

m=1

=謀sin咽Aω 煎 凡 ω]sinamy

とな る.以 上 よ り,両 端 無 限 平 板 にお け る変位 応 答 式 が 導 出 され た.

(5‑32)

(5‑33)

(5‑34)

(5‑35)

(5‑36)

5・2進 行 波 形 成 制 御

本 節 で は,両 端 無 限 平板 にお い て進 行 波 の形 成 手 法 に っ い て 述 べ る.両 端 無 限 平 板 の 性 質 上, 無 響 端 方 向 に は 波 動 が伝 播 す る.そ こで 定在 波 が励 起 して しま うy方 向 に進 行 波 を伝 播 させ る こ と を考 え る.ア 方 向 に進 行 波 を伝 播 させ る こ とが で きれ ば,フ レキ シブ ル に搬 送 可 能 な新 た な 二 次 元 非 接 触 搬 送 装 置 の 可 能性 を見 い だ せ る こ と とな る.こ れ よ り進 行 波 を形 成 す る た め に 制御 則 を 導 出 す る.

前 節 よ り両 端 無 限 平 板 にお け る変 位 応 答 式 が導 出 され た.こ こで 図5.2の よ うなx=xp上 に あ る 外 乱 点 お よび 制 御 点 の 二 点 を 考 え る.す る と,こ の 二 点 に よ り加 振 され た両 端 無 限 平 板 のx=xp 上 に あ るsensorlお よびsensor2点 の変 位 応 答 式 は 式(5‑35)よ り以 下 の よ うに記 述 で き る.

の w嚇1)‑

m=1(am,dfd+afll,C C)・in響 _Y 端1

の

w(xp・Ysz)‑

m=1(am,d d+磁)・in響 _Y 端 ・

(5‑37)

(5‑38)

30

0

x=xp i r

8'耀 ρか5卿0'teal

五

Anechoic boundary

ア

L

i SZ

i 31)K

φ 乃 一1

2軌 一G。 船 ア)一 瞬 。)

I I

(x・y)ニ(.gyp・y、2)

(x・ ア)=(㌔,y、1)

(x,v)=(xp・y4)

ノ4π召C乃0'C boundaリ ノ

ロ

x3碗 ρか ∫岨 ρor'ed●0∫c〃a'o'X

Sensorpointl

×88η5岬 伽2

Fig5.2Controlmethodforgeneratingatravelingwaveatx=勘Iinebytwooscillators

x;/4AfterT/4

コ コ

1‑》H《 一 ・

Sensorpointl Sensorpoint2

‑一 一Idealwavepattern

yt

、 ノ 、 ノ

Fig5.3Afundamentalprincipleofcontrolmethod

た だ し

2

si・ α必([A(x、)i)1:、[Em(x」,)1(5‑39)

antd̲‐

Ls,D

am ,c‑一 赤 ・i剛[Aωrl)T'!,4[E,,,(㍉)](5‑40)

y

と表 され る.そ こ で 図5.3の よ うなsensor1か ら 出 力 さ れ る 波 形(赤 線)を 基 準 と し て,T/4sec 後 の 波 形 を 理 想 的 な 波 形(黒 破 線)と 定 め る.理 想 的 な 波 形 は 図S.3の よ う にT/4sec後 は λ/4進 ん だ 位 置 に あ る こ と に な る.こ の 波 形 とsensor2か ら 出 力 され る 波 形(青 線)を 理 想 的 な 波 形(黒 破 線)

と等 し く な る よ うに 制 御 を 講 じ る こ と で,進 行 波 を 形 成 す る こ と が で き る,す な わ ちsensorlと sensor2の 間 隔 を

λ/4(ys2=ysl+λ/4)と す る こ と で 本 制 御 則 が 成 立 す る.式 に 記 述 す る と,

31

・場w(脚=w(細=w(仙+

4)(5‑41)

式(5.37)お よ び(5.38)を 式(5.41)に 代 入 し,整 理 す る と

勲 ㌦ 畷 塵+m=1〔 へ 畷 ゆ=婁 〔.〃2πam,d5111.ys2L̲̲ア 〕fd+m=1〔 ゆ 匙 〕 C

係 数 を 置 き換 え る と e'°'4Di‐D2T

fd=￠ ノレ(5‑42) 五= c2‑〆 〃%q

た だ し

q熱 導 〕五(5‑43)

q=婁 〔.〃2πo凧・Slnτ 一ア・2 ン 〕五(5‑44)

D,=

m=1〔mnQMdSlll.yslL̲.〕fd(5‑45)

DZ‑

m=1〔.〃2πQm,dSlllLア・2ア 〕 d(5‑46)

以 上 よ り,外 乱 点 お よび 制 御 点 の 二 点 がX=Xp上 に あ る場合 の 進 行 波 を形 成 す るた め の最 適 ゲ イ ン を算 出 す る こ とが で き た.

また 前 述 の制 御 則 はx=xp上 に外 乱 点 お よび制 御 点 が あ る場 合 に つ い て 述 べ た が,二 次 元 非 接 触 搬 送 を 実 行 す る際 は,変 位 振 幅 を増 大 させ るた め 六点 で加 振 す る こ とを 考 え る.そ こで 図5.15

に示 す モ デ ル の 場 合 につ い て 考 え る.

32