不平衡状態で運転される三相誘導電動機の発生する
トルク
著者
西山 卓夫
雑誌名
鹿児島大学工学部研究報告
巻
4
ページ
31-37
別言語のタイトル
ANALYSIS OF THE TORQUE DEVELOPED BY A 3-PHASE
INDUCTION MOTOR OPERATING UNDER UNBALANCED
CONDITION
不平衡状態で運転される三相誘導電動機の発生する
トルク
著者
西山 卓夫
雑誌名
鹿児島大学工学部研究報告
巻
4
ページ
31-37
別言語のタイトル
ANALYSIS OF THE TORQUE DEVELOPED BY A 3-PHASE
INDUCTION MOTOR OPERATING UNDER UNBALANCED
CONDITION
(1)
西 山 卓 夫
（受理昭和39年５月３０日） ＡＮＡＬＹＳＩＳＯＦＴＨＥ’ｒＯＲＱＵＥＤＥＶＥＬＯＰＥＤＢＹＡ３−ＰＨＡＳＥＩＮＤＵＣＴＩＯＮ ＭＯＴＯＲＯＰＥＲＡＴＩＮＧＵＮＤＥＲＵＮＢＡＬＡＮＣＥＤＣＯＮＤ１ｎ[ＯＮ ＨｉｄｅｏＮＩＳＨＩＹＡＭＡ Whena3-phaseinductionmotorisoperatedunderconditionthatunbalancedcurrentsand voltagesexist，itdcvelopesthetorquepulsatingwithdoublefrequencyofthesource、The evaluationofitsvalueisprettytroublesome，Theauthorhasdevelopedtheexpreｓｓｉｏｎｏｆｔｈｉｓ ｔｏｒｑｕｅｂｙｍｅａｎｓｏｆｔｈｅｖectorproductofthevectorsofthefhlxinterlinkageandthecurrent， however，inthispaper，hetreatstheproblembyapplingthevectorthensoranalysis･Theresult of［heanalysisshowsthatresistancelossinthewindingsandthestoredenergyinthemagnetic pathsalsocontain，inadditiontotheconstantvalues，theoscillatingcomponentswithdouble freqUency． 用いて次の如く表わされる．‘
=
岩
(
た
"
…
-
"
）
こ こ に β ＝ の ｒ ① ： 電 気 的 角 速 度 Ｉ群はＩの共役量を表わすものとする． 三相誘導電動機の各相電流の瞬時値jα，ｊ６，ガｃとそ の対称分/０，ｊ１，ｉ２とはマトリスクを利用して次の如 くに，その変換関’係が表わされる． １ ． ま え が き 三相誘導電動機の電圧及び電流に不平衡が存在する ときは，一定値の平均トルクの他に電源周波数の２倍 の周波数で変化するトルクが存在することは既知のこ とであるが，その取扱いが煩雑なためか余り深く論ぜ られたものはない．筆者は既に鎖交磁束の回転ベクト ルと電流の回転ベクトルとのベクトル積を利用して， この問題を解析する方法について発表したが')，ここ には別の見地からインピーダンステンソルを利用して 瞬時電力の式を求め，そのうちに現われる２倍周波数 の電力より脈動トルクの等式を導く方法について述べ ている．そしてまたこの場合には電動機巻線内の抵抗 損失及び磁路内に貯えられるエネルギーにも，また２ 倍周波数で変化する成分を含んでいることを明かにし ている．且つ鎖交磁束ベクトルと電流ベクトルとのベ クトル積より求めた脈動トルクの等式と，ここに新に インピーダンステンソルを利用して求めた等式との間 の関連について論じ，両者は容易に変換しうることを 説明している． ｊ Ｏ ｉ α [ﾉﾉ]＝ｊ’＝Ａ−'[j］Ａ＝−１ｊＤ ｉ ２ ｉ ｃ ＩI
O
l
I
o
＊
六伽悔‘
．Ｊ ・ＪＥ６
不 平 衡 状 態 で 運 転 さ れ る 三 相 誘 導 電 動 機 の
発 生 す る ト ル ク
Ｚ２１Ｚｌ＊ こ こ に １ α ｜ α ２ Ｚ ・ 不 平 衡 状 態 の 三 相 誘 導 電 動 機 の 電 力 の 瞬 時 値 この解析には多軸行列法を利用し，対･称座標変換に は絶対変換を使用することとする． 正弦波電流の瞬時値ｊはその実効値のベクトルＩを １元 Ａ ｌ ｌ ａ ２ １ ａ 逆 に 相 電 流 を 変 換 す る と１ 3２ (7) 対称構造の三相誘導電動機ではＹ接続ならば零相 電流は零である．４接続ならばこれを容易にＹ接続 に変換して考えることができるので，（７）式から明な る通り何れの場合でも零相分は電力に関与しない．故 に零相分は除外して瞬時電力Ｐｚは次の如く表わさ れる． ０１ ．Ｊ １ 雲釧抑﹁増一曲．｜薄一娼噌一
謙一壷厳
Ｉ１１
・勘・目・唖如一郵一釦麺一趣一理
ｅｅｅ
｢
『
“
=
典
凹
=
Ａ
ｌ
浩
ＪＯＭＯ:!： ｜奴一割’︲トー
１ １ １ １ １ １ Ｇ１０1
.
1
=
￨
号
￨
憾
繍
電
圧
の
瞬
時
値
1
鋤
(5) 伽一か 側 １ １ １ １１１１２＊ ｅ２０_
’
ｊ２ノ'＊ １ １ １ α ２ ａ ell １ 一I/す １ １ １ １ α ｜ α ２ （２） 電圧についても同様な変換を行なうことができる． elC ｅｌ２ α ２ １ ａ １ g2b e２１ i ： １ α｜α２ e2c ｅ2２ 鹿 児 島 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 ４ 号 １｜石 Ａ Ｇ Ａ ｜印一助一 α α ２E
b
l
E
I
j
:
：
１１
α ２ 口 i ； 卵一割 (6) ■旬｡D■ E，唖:、 (3) i e］ (5)，（６）式を（４）式に代入して計算すると次の結 果をうる．方２１厳
Ｃｆ こ こ にｉ
ｆ
’
ａ (8) １ 卸しＯＵ４ ゆぜ″歩 ｅＩｂ ｂｌ ｏＺ １ α２ ｅＯ ｅ，はｵ目電 9２ Ｐ礼＝ 蝦一鮒何町一喝｜喝 １ １ Ｐ ーＩ − ｇ Ｊ ｜ 皇 ｜
圧の対称座標分の瞬時値である．次に固定子と回転子の電流，電圧はｊ或はｅの右
下にそれぞれ接尾字１，２を添付して区別することと
する． 瞬時電力Ｐｊは固定子，回転子関係を一つのマトリ スクにまとめて，次の如く表われことができる． e2２ 1 １ I／３ 。︼２ ，７レ ａ １ １ 細行弧一ｍ涯惣一刑死弘一の六訓一釧砧﹄幻闘 α２ α１ ．Ｊ ｅｌａ α⑨ 。７Ｆ e2a １相電流，相電圧の対称座標分への変換は次の如く書
ける． (4) j ｝ i ｆ elC ｉ ｆ １ ａｎ ■７Ｐ １ １ １ 電動機は固定子，回転子とも三巻線軸を有するもの とする．固定子巻線及び回転子巻線の一相の抵抗，漏 れインダクタンス及び主自己インダクタンスをそれぞ れＲ,,ﾉ１，Ｌ’及びＲ2,／2,Ｌ２とする．今回転子が時計方向に｡'=¥癒る角速度で回転しているものとす
れば，固定子回転子巻線間の相互インダクタンスは時 間とともに変化するが，その最大値を〃＝,/Z1瓦と する．かくの如く電動機のインピーダンスは時間とと １ Ｉｌ｜川コー
⑪凸ｑ０ユ ｃ守りし １ 如一恥一鋤 i ； e2b 卸し、 。γし e2c ＝[j']［Ｃ][e'］ ＰＬ＝ −圭司角 ■ず〃し ela 鋤一鋤上式の各マトリスクを一文字で表わして次のように 書かれる． ［e']＝[Zγ][ﾉﾉ］ こ れ に Ｋ 変 換 を 施 す と
Ｋ一'[e']＝Ｋ−１[Ｚ１ＫＫ−１[ﾒﾉ］（11）
西山：不平術状態で運転される三相誘導電動機の発生するトルク e２１ 但し’１，１２は固定子の正相分，逆相分に対応し， 11,,112は回転子の正相分，逆相分に対応することを 示している． 対称座標分で表わした三相誘導電動機の基本行列式 は次のようである． もに変化するが，これを次に述べるように(9)式の整流行列Ｋを用いて変換すると時間的に一定なるイン
ピーダンステンソル［Ｚ′］に置き代えて考察すること ができる． １１１２１１１１１２ (13） ｌｊ"]＝Ｋ−ｌ[j']＝ ﾉﾐ １ １ １ ２ Ｋ ＝ ＩＩ１ １１２ １ １ (9) 9２２ 漁e-jO′ ｅ−ｊＯノ￨
ｅ
ｊ
,
，
或 は［
e
"
]
＝
[
Z
"
]
[
j
"
］
但し ［e']＝Ｋ[e"］；［jﾉ]＝Ｋ[j"］ (11）式の計算を行なえば次の結果をうる． 塗(,,+”'） Ｚ１(p） ６Ｊ②ｔ Ｅ−”Z e22e-j"ノ Ｚ２(ｐ−ｊ⑳ﾉ） ｊ ｉ−
７
ｒ
ｌ＆
ｇ
ｊ
‘
'
＝
i
フ
ラ
j:e-jO';
…
'
′
●Ｉ１１ Zl(p） 9１１;
M
江
-
”
︹咽﹄Ｔｌ 凸包″〃 Ｚ１(p） ｅｌ２ (10） iAejO’評
(
'
-
ん
'
）
;
岬
僅
-
”
ＱずじＴＬｎ 垂(p） ⑨﹄。Ｉ︽ 邑包ＪＦ Ｚ１(刀）:
…
‘
′
(12） Ｚ２(p）:
"
(
'
十
"
）
e21e” ｇ1２ 3３３
Ｍ
;
’
ｌj岸一が一躍秀
瑚一埼一ら一驚等
M
ｐ
これらにそれぞれｓ”'‘及びe-j"'‘を乗じた増e"'，
j;e-j‘'(6'=｡'r）は｡)r即ち電源周波数で変化するの
で ， 電 流 瞬 間 値 の マ ト リ ス ク は 次 の よ う に 書 け る ． ９１１ 但しＺ
,
(
"
=
R
,
+
仏
十
:
L
,
)
’
唖
(
"
=
&
+
(
I
響
十
号
Ｌ
２
)
’
Ｚ
!
…
=
R
,
+
(
'
』
+
;
L
1
)
(
'
±
ん
'
）
垂
…
=
R
勤
十
(
1
2
+
;
L
2
)
(
p
±
ん
'
）
（12)式中の回転子電流端，ｊ;はそれぞれ滑りの電
気的角速度（の一のﾉ）及び（の＋の'）で変化するから，[Ｚﾉ][i"]＝ 鹿 児 島 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 ４ 号
￨
刺
j
l
l
i
;
￨
i
;
’
電圧についても同様である． ［j']↓＝[唾"ルー[j"]ｊＫｃ なることを考慮して（８）式のＰｚは次の如く変形さ れる． Pz＝[jノル[Ｃ][e']＝[j"ﾙＫｊ[Ｃ]ＫＫ−１[Zγ]ＫＫ−１Ｆﾉ］＝
[
r
"
ｈ
Ｋ
‘
[
c
]
Ｋ
[
Z
γ
'
]
[
j
"
］
ﾄ
ｰ
"
′
一︾側︾︾
や八紅均︺﹁１Ｊ搾犀︾
。▽Ｉ。︾１。Ｉ＆一ｑＱ
そ し て 但 し４
=
斑
z
‘
(
j
"
)
+
鴫
j
'
斑
U
･
)
］
‘
2
=
坪
z
i
(
-
,
"
)
+
遣
縫
[
;
"
(
-
ん
)
］
B
,
=
蝿
z
'
(
わ
)
十
通
[
;
"
(
j
b
,
)
］
D1Ejcj6十D2e-j皿 C1ej⑩Ｌ＋C2e-ju)』 (16） １ 一,／す 好一鳥二潟 ＢＩｅｊ⑳６＋B2E-j②ｃ 41e'⑳６＋a2E-j①Z Ｚ(p+必'）川一一Ｉ
ｌ
１
ｌ
Ｉ １:
班
(
,
+
"
'
）
E-J⑳〔 １ Ｉ １ １ 垂(ｐ−ｊ①'） KC[Ｃ]Ｋ＝ ＝[Ｃｌ;
皿
(
p
-
ん
'
）
故 に １ ７言〃鮮二瀞
(14） １e
'
'
１
１ Ｚ１(刀） Ｚ１("） E血【 gj6' １ E”:”
;
必
上式に（12）式中の［Zγ']，（13）式の［Z"］を用い て計算すればよいのであるが，便宜上前半の二項と後 半の二項とに分けて計算する． (15） Pz＝Ij'/]z[Ｃ][Ｚ'][i"］ 3４斑瀞：
引引島￨ｊ：
齢
I
1
j
i
:
I
:
￨
i
:
蟻
￨
〃
：
=
六
￨
・
麺
‘
ト
ー
'
“
Ｉ １F
"
'
‘
[
c
'
=
志
'
．
'
"
￨
‘
-
'
"
‘
’
好ｊｌｌｒ：島
I １l謹坪/§蕊罵鄭
邑Ｄ１ｅｊｍ６＋D2e-j⑩６ 3５ り，電動機の磁路に貯えられる磁気エネルギーにもま た２倍周波数で増減するエネルギーの成分が存在する ことを示めしている． 岐後の項が脈動トルクを表わす電力で［］内は共 役量の差で虚数となり，全体としては実数で２倍周波 上 式 に て 抵 抗 を 含 む 第 一 攻 と 第 二 菰 と の か っ こ 内 は ‘何れも共役ベクトルの和であって実数を表わし，抵抗 損失にも一定の平均値の上にこの項で示めされる２倍 周波数の変化が亜呪することを知る． 第三攻と第四項とはお互に共役でその和は実数とな (15）式，（16）式よりＰｊは次の如く表わされる． ｜、一
一鋤舜
酎・刊
認埴河川到軒吾
吻Ｍ
﹃○一ヘム行コフ︼ ｒｌＬＴｌ﹂ 一一一一，，
Ｒ
,
(
ｉ
Ｉ
峠
ﾉ
2
｡
‘
＋
ハ
礁
坤
:
‘
-
'
2
鋤
‘
)
＋
R
2
(
ｊ
蝿
‘
'
2
｡
‘
＋
ｊ
;
蕊
ｊ
;
熱
ｇ
−
ｊ
３
．
‘
）
+
乃
埼
(
ｌ
1
号
L
,
)
ん
+
(
i
秘
十
ﾉ
;
)
(
:
M
)
ﾉ
画
十
粒
;
(
'
,
＋
;
L
,
)
ﾉ
｡
'
達
'
‘
"
‘
+
[
瑚
蹄
:
(
'
1
+
:
L
l
)
(
一
ｊ
ｏ
)
+
(
"
γ
;
薙
十
ｊ
ｌ
雛
j
:
雛
)
(
;
M
)
(
-
ん
)
+
な
ゾ
ず
(
'
２
＋
3
Ｌ
２
)
(
一
"
ﾙ
ｰ
漣
"
‘
+告(洲(-ん')[(i蝿一“)虐渡．‘-ＷI曙'言-罵妙)愚-愛"‘’（20）
＝
も
{
(
恥
十
/
i
B
2
+
i
;
c
圃
十
踊
り
圏
)
+
(
好
創
,
+
ｊ
ｌ
Ｂ
１
+
ｊ
:
c
,
+
息
､
!
)
唇
j
２
．
‘
＋(乃蕊4,+坪B,+蕗i℃,+ｊ;総Ｄ,)＋(ｉ￨雛Ａ２+ｊ;縦B2+i;識C2+鰭':､2)e-'2型‘}('7）
上式より瞬間電力Ｐｊは定値項と，２ｲ)禍波数で変定仙項を計算すると次のようになる． 化する変化項とからなっていることを知る．き
{
2
凡
(
i
満
雑
十
棚
!
:
)
+
2
R
2
(
ｊ
;
/
;
雛
十
“
寒
)
+
[
(
“
鵬
-
乃
難
/
}
）
＋
(
"
ｉ
ｉ
−
ｊ
;
好
熱
)
'
(
;
j
v
)
(
ん
'
)
｝
=
R
,
(
ﾉ
i
2
+
￨
好
噌
)
+
R
2
(
i
;
'
2
+
￨
j
;
'
2
)
＋抑瑚一戦嬢)-(ｊ;雛ｊ;-/調縦)'(;jw)(-ん'）（'8）
（18)式でＲ１，尺2を含む攻は抵抗損失を示す.妓後一〔厳:ﾉﾁｰi調瀧)］（19）
の項の［］内は第一項も第二項も共役ベクトルの差但し２極機とする．
であるから虚数であって，全体としては実数である． 次に２倍周波数で変化する変化項について考える． これは｣E相分トルクと逆相分トルクに対応する電力の差である.故に平均ﾄﾙｸz,‘は角速度の'で除して(/;Ａ１＋舟B,+/;c,+踊り,)si2･‘
次の如く書ける．+
(
瑚
蕊
Ａ
２
+
”
:
B
2
+
４
難
c
2
+
/
;
蕊
D
2
)
さ
-
j
2
｡
‘
恥
=
(
-
ｊ
)
器
j
v
)
[
(
i
”
-
ﾉ
ｯ
f
鴨
〕
これにＡ，Ｂ，Ｃ,Ｄの値を入れて整理すると Ｅ−ｊｕ)↓/￨＊｜岸：ノ;＊｜ノ;＊
』,Ｅｊ⑩ｃ＋A2E-j"ｃ B1e/"'’十B2e-j皿 Cl可",‘＋Ｃ２ｅ−抑【ｊｆｌｉｌｌｊ；｜殿
'
=
当
’
西 山 ： 不 平 衡 状 態 で 運 転 さ れ る 三 相 誘 導 電 動 機 の 発 生 す る ト ル ク SJ(JjZ数で変化する．この電力を角速度①′で除して脈動ト ルク刀の式をうる．
巧
=
(
-
ｊ
)
&
(
;
M
)
[
(
雄
;
一
ｊ
縄
)
置
耀
･
‘
一(ｊｌ霧ｊ;瀧一好寒踏撫)倉-j2｡'］（２１）
但し２極機とする． 故に電動機の全トルクｒは次の如く表わされる． Ｔ ＝ 西 " 十 刀 （ 2 2 ） 2.2ＫＷ２００Ｖ６０ｃ/ｓ４極の三相誘導電動機に外部移相器として２００‘"Ｆのコンデンサ１個を使用して単
相電源によりて逆転した場合，1,780r､p､ｍの回転数
において発ﾉ￨そするトルクの時間的変化の状況を撮影し たオシログラムを写典にホめす．この逆転状態では竜 3６ ３．鎖交磁束ベクトルと電流ベクトルのベクトル積 を利用して求めたトルクの式と（19)式，（２１）式 との関連 三相誘導電動機の固定子の鎖交磁束の1湘分，逆相分を表わす回転ベクトルをそれぞれｊs１，億＄とし，
固定子電流の正相分，逆相分を表わす回転ベクトルを であって，これが（23）式の１/'､ｓ１に対応する．故に』'『$,とｉｓ,(=月）とによりて生ずるトルクは(23)式
よりノ
2
伽
"
(
”
ん
）
＝
/
2
"
"
{
3
M
i
/
蚕
(
踏
瀧
十
坪
‘
)
汁
｝
＝3{:M‘"(蝿十i州
＝3{:M""(ﾉﾑ講島)｝（24）
但し刀"(瑚撫jl)=0
（19）式の正相分トルクは次の如し．〔註：（19）式
の対称座標分は絶対変換によるものである〕（
-
j
)
器
M
)
[
島
鶴
i
i
-
幽
勺
上式の［］内の芯霞赴とi鎧＊とはお互に共役
であるから，虚数部は符号反対で絶対値は相等しいか’一／閉朔一夢｜
三 相 誘 導 電 動 機 に 不 平 衡 電 圧 を 印 加 し た 場 合に発生する２倍周波数の脈動トルク波形 動擬の各相に加えられる電圧は相当不平衡となる')が， この場合は平均トルクの100％程度の振幅を行する２ 倍周波数の振動トルクが発生していることをオシログ ラムは示している．トルクの瞬時値の測定も困難で従 来余り試みられていない．このオシログラムは直流電 気助力計にストレーンゲージを使用した測定装置を試 作して行なったものであるが，精確な定並的数値を出 すことは困難であったが，平均値と振幅の関係は十分 よく測ることができる． ． ． ＊ それぞれ１s,，Is2とすれば，電動機のトノレクは次式で 表わされるI)．『
=
た
"
"
{
(
錨
j
"
一
躍
j
蕊
）
ゥＧ●● ＋(V,｡21s,一妙､s1Is2)｝（23） ここにi;L１号恥は虚数部分を表わす． なお（23）式を導く場合に対称座標分への変換は相対変換を利用したが，（１９）式，（21）式の導出には絶
対変換を用いたことは前述の通りである． 第２章で用いた相互インダクタンスＭは一相の巻 線間の値であるから，三相巻線を総合して考えた場合の固定子,同転子間の相互ｲﾝダｸ頚ﾝｽ憾号皿と
なる． なお，回転子巻線は固定子側と同一尖効巻回数に換 算されているものとする．回転子電流遇の作る主磁束と固定子巻線との総鎖交
数は:Ｍ１/2赴であり,岡定子電流肘(=八')のた
めに生ずる主磁束と伺転子巻線との総鎖交数は:班
!/２月である回転子巻線は固定子巻線側に換算さ
れているからﾘﾊ〃２月は汁による]皇磁束と固定
子巻線との総鎖交数でもある．故に固定子巻線と主磁
束との縄鎖交数は：
Ｍ
１
/
2
(
乃
十
H
）
鹿 児 島 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 ４ 号 鐸 ︾一 ■ f n 曲 ■ ｒ､ｉｰ汐ポバ‘ 趨 跡 W I ‐ … 、 −西 山 ： 不 平 衡 状 態 で 運 転 さ れ る 三 相 誘 導 電 動 機 の 発 生 す る ト ル ク 3７ らその差は次のように書ける．
