代数学の基本定理の様々な証明

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(1)代数学の基本定理の様々な証明教科噸域教育学専攻. 自然系コース M0 7 1 9 0C 洲之内仁代数学の基本定理とは，代数方程式αOZπ十＿十. 体Cの順序づけについて考える。§1・3では，すべ. απ＿1z＋α冗＝O（αo≠O，α此は複素数）はちょうど. てのCの一次変換をR2からR2への一次写像と見. m個の複素根を持つという定理である。この定理. て，複素数体Cの実2x2行列による表示について. の証明方法はいくつか知られており，本論文では，. 述べる。§1．4では，複素数の共役写像について考察. アーガンドによる初等的証明，また複素関数論のい. し，複素数体Cの自己同型写像は恒等写像と共役写. くつかの定理を利用し，この定理の証明を行う。こ. 像のみであることを述べる。§1．5では，複素数体C. れらの方法以外にも位相幾何の手法，代数学的な手. における内積，絶対値を考える。§1．6では，複素数. 法を使った方法も知られている。. の絶対値の計算に関して，積規則と2平方の定理と. 次数肌の多項式による全ての方程式はちょうど. 呼ばれる計算規則が成立つことを示す。§1．7では，. η個の根を持つ，という形によって初めに代数学の. 複素数の平方根について考察し，すべての複素数が. 基本定理を言及したのはニュルンベルクのロスで. 平方根を持つという存在定理について述べる。§1．8. ある。しかし，その予想は一般的には1629年にそ. では，前節で述べた存在定理を用いて，すべての複. の結果を述べたジローに帰されている。そして，そ. 素数はη乗根を持つことを示す。§1．9では，前節で. れは1637年に実根と虚根をも区別していたデカル. 扱った内積を使って，複素数体Cに対する幾何学的性質について考える。そして，コーシー・シュヴァ. トによって述べられた。. 代数学の基本定理の最初の証明は1746年に，ダ. ルツの不等式，三角不等式と呼ばれる定理を示す。. ランベールによって公表された。しかし，ダランベールの証明には欠点があった。そして，最初に完. 第2章では代数学の基本定理の初等的証明を行. 全な形で認められた証明は1797年にガウスの学位. う。§2．1では，まずgrowth1emmaと呼ばれる定理. 論文の中で与えられた。だが，現代の数学者がガウ. を示す。この定理は，アーガンドによる代数学の基. スのオリジナルの証明を調べると，ダランベールの. 本定理の証明の手法だけではなく，第4章に後述す. 証明と同じくらいの欠陥があるということであっ. る，複素関数論のいくつかの定理を利用した代数学. た。しかし，ガウスはそのような欠陥がない証明を. の基本定理の証明にも用いられている。次に，アー. 1816年に発表している。また，後にガウスは1849. ガンドによる代数学の基本定理の初等的証明につ. 年にもこの定理の証明を発表している。. いて述べる。この証明は3段階に分けて行われており，はじめに，すべての多項式∫（z）の実絶対値関. 以下，論文の構成について述べる。. 数1プ（z）1がCにおいて常に最小値をとることを示. す。これはコーシーの最小値定理と呼ばれる定理第1章では複素数について基本的な性質を紹介. である。次に，プ（z）を定数でない複素多項式とする. する。また，この章は，第3章で述べる複素関数論. とき，∫（c）≠Oである任意の複素数。に対し，. に関する諸定理を示すための基盤となる。§1．1で 1プ（・’）1く1∫（・）1. は，虚数単位づについて述べる。§1．2では，複素数. 一390一.

(2) となる複素数C’が存在することを示す。これはアー. 本定理の証明を行う。. ガンドの不等式と呼ばれる定理である。これらを使って，アーガンドによる代数学の基本定理の証明. 第4章では，第3章で示したことを用いて，様々. を行う。. な手法で代数学の基本定理の証明を行う。§4．1では，コーシーの定理を使って複素多項式が零点を持. 第3章では，複素関数論のいくつかの定理を述べ. つことを示し，この定理の証明を行う。§4・2では，. る。§31では，複素数を変数とする複素数値関数の. 平均値の定理を使って，複素多項式が零点を持つこ. 複素微分について述べる。これらの複素微分は形式. とを示す。§4．3では，有界な整関数は定数になると. 的には実数を変数とする関数の微分と同じである。. いうリウヴィルの定理を使って，定数でない整関数. しかし，実数を変数とする関数の微分と，複素微分. ∫（2）は少なくとも一つは複素数の根を持つことを. には違いがある。§3．2では，まずコーシー・リーマ. 示し，この定理の証明を行う。§4．4では，ルーシェ. ンの微分方程式について述べ，複素微分可能のため. の定理を使って，十分大きい半径の円の内部で，η. の条件について考える。そして，ガウス・グリーン. 次の複素多項式は，η個の複素数の根を持つことを. の定理を考察する。この定理は2変数関数に対す. 示す。そして，この領域の外側では，growth1emma. る2重積分と実線積分の間の関係を表現している. と呼ばれる定理を使って，根を持たないということ. 一つの結果として考えることができる。そして，実. を示し，この定理の証明を行う。. 線積分を使って，複素線積分を定義する。さらに，ガウス・グリーンの定理を用いて，コーシーの定理. を示す。コーシーの定理とは，閉曲線0とその内部を含む領域Dにおいて，複素数値関数∫（Z）が各点で複素微分可能のとき，0に沿っての∫（z）の複. 素線積分は常にOとなる。つまり，. 五榊一・が成立する。コーシーの定理を用いて，コーシーの. 積分公式と呼ばれる定理を述べる。それらを用いて，代数学の基本定理の証明に必要な定理，すなわち，平均値の定理とリウヴィルの定理を示す。§3．3. では，関数の収束について考え，ある領域で解析的な関数列の収束性について考察する。そして，テーラー展開，ローラン展開と呼ばれる定理ついて述べる。§3．4では，各点で複素微分可能な関数の零点，極について述べ，留数定理について述べる。§3．5で. は，最初に対数関数を複素数を変数とする関数に拡張する。そして，前節で示した留数定理を使って，偏角の原理の証明を行う。そして，この偏挽の原理を使ってルーシェの定理を示す。これらの定理はある複素数値関数と零点，極の関係について述べてい. る。これらの定理を使って，第4章では代数学の基一391一. 主任指導教官渡辺金治. 指導教官渡辺金治.

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