二流体モデル方程式の数学的適切性に及ぼす付加慣性力項のガリレイ変換不変性の影響

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Title

二流体モデル方程式の数学的適切性に及ぼす付加慣性力項の

ガリレイ変換不変性の影響

Author(s)

江頭竜

Citation

福岡工業大学ｴﾚｸﾄﾛﾆｸｽ研究所所報　第34巻　P1-P7

Issue Date

2017-10

URI

http://hdl.handle.net/11478/771

Right

Type

Departmental Bulletin Paper

Textversion publisher

福岡工業大学　機関リポジトリ　

FITREPO

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二流体モデル方程式の数学的適切性に及ぼす

付加慣性力項のガリレイ変換不変性の影響

江頭竜（工学部知能機械工学科）

Effect of the Galilean Transformation Invariance of Added Inertia Force Term

on Mathematical Well-Posedness of Two Fluid Model Equation

Ryu EGASHIRA （Department of Intelligent Mechanical Engineering, Faculty of Engineering）

Abstract

Effect of the Galilean transformation invariance of added inertia force term on mathematical well-posedness of two fluid model equation is investigated on the basis of eigenvalue analysis. Ill-posedness of the conventional two fluid model equation is known well since Lyczkowski et al. pointed it out in 1978. However, the reason for the ill-posedness has not yet been clarified. Eames et al. recently derived a formula of added inertia force term being invariant under the Galilean transformation, while Lyczkowski et al. studied the mathematical well-posedness using a not-invariant formula. The difference of mathematical well-posedness due to the above two formulas is demonstrated for the actual conditions.

Keywords：Two Fluid Model Equation, Mathematical Well-Posedness, Added Inertia Force, Eigenvalue Analysis

1. 緒言マイクロバブル水のように莫大な数の微細な気泡を含む液体の流れは，平均化モデル方程式を用いることが有効である．ここで云う平均化とは，気泡を含む液体の中にある適切な大きさの領域を考え，この領域内で流体力学の基礎方程式を平均することを意味している．平均化モデルの中でこれまで最も実績のあるモデルは，気液各相で平均化する「二流体モデル」である．しかしながら，1978 年に Lyczkowski らが二流体モデル方程式の数学的不適切性を指摘して以来(1)_{，今日まで，この不適切性の問題は未だ解決さ} れていない．モデル方程式が数学的に不適切であると，例えばその方程式を差分法で解いて数値解析を行う場合，きざみ幅を小さくすると安定した解を得ることができない．すなわち，数学的に不適切な二流体モデル方程式をそのまま数値的に解こうとしても，高周波成分が瞬時に増幅して計算が破綻することになる．それにもかかわらず，二流体モデル方程式は原子炉安全解析等で広く用いられており，それらを用いた数値解析により，安定で物理的に矛盾のない結果が実際にこれまで数多く得られてきた．このように相反する事実，すなわち，数学的に不適切であるにもかかわらず数値解が得られているという事実は，数値計算を行うために支配方程式を差分化する際，数値拡散等の効果により不安定性が抑えられてきたものと解釈されている(2)_．さて，二流体モデル方程式には一般に付加慣性力の項が含まれている．本来，付加慣性力の式に限らず，物理法則を表す式はガリレイ変換に対して不変でなければならないが，2004 年に Eames らがガリレイ変換に対して不変な付加慣性力の式を導出(3)_{するまで，ガリレイ変換に対して不変} ではない付加慣性力の式が用いられてきた．もちろん Lyczkowski らが 1978 年に調べた二流体モデル方程式(1)_における付加慣性力の式もガリレイ変換に対して不変ではなかった．著者はこれまでに，気泡の界面平均圧力を導入した新しい二流体モデル方程式を導出し(4)_{，Eames らが導出} した付加慣性力の式を用いて数学的適切性を調べ，調べた限りの条件では数学的に適切であることがわかった(5)_．しかしながら，著者の導出した二流体モデル方程式では新たに界面平均圧力が考慮されているだけでなく，通常無視されることの多い液体の圧縮性も考慮され，気液の流速も異なるものとされているため，従来の二流体モデル方程式とはいくつかの点で異なっている．したがって，二流体モデル方程式の数学的適切性に及ぼす界面圧力の効果，液体の圧縮性の効果，付加慣性力のガリレイ変換における不変性の効果など，それぞれ単独の効果は未解明である．そこで本研究の目的は，Lyczkowski らが調べた二流体モデル方程式におけるガリレイ変換に対して不変ではない付加慣性力の式をガリレイ変換に対して不変な付加慣性力の式に置き換えて，その数学的適切性を調べることにより付加慣性力の式のガリレイ変換不変性が二流体モデル方程式の数学的適切性に及ぼす影響を明らかにすることである．

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江頭竜 2. 支配方程式と無次元化および線形化 2.1 支配方程式 □本研究では，Lyczkowski ら(1)_{が対象とした二流体モデル} 方程式を用いる．以下にその方程式を示す．・液相に関する質量保存の式 [(1 ) L] [(1 ) LuL] 0 t   x    _ _  _ _   (1) ・気相に関する質量保存の式 ( G) ( G Gu ) 0 t  x   _  _   (2) ・液相に関する運動量保存の式 2 [(1 ) ] [(1 ) _Lu_L] [(1 ) _Lu_L] p F_AI t x x         _ _  _ _{ } _    (3) ・気相に関する運動量保存の式 2 ( ) ( _{G G}u ) ( _{G G}u ) p F_AI t x x      _  _{ } _    (4) ・液相に関するエネルギー保存の式 2 1 L L L L D D p Dt c Dt  _ _ ₍₅₎ ・気相に関するエネルギー保存の式 2 1 G G G G D D p Dt c Dt    (6) ここで，t は時間， x は空間座標， はボイド率（気相体積率），は密度， u は流速， p は圧力， c は音速であり，下 添え字の G ， L はそれぞれ気相，液相を表す．また， L L D u Dt t x   _  _ ， G G D u Dt t x   _  _ である．F は気泡に働く付加慣性力であるが，緒言でも述_AI べたように，Lyczkowski ら(1)_{はガリレイ変換に対して不変} ではない以下の式を用いた． 0 0 0 0 1 2 1 2 1 G G L L AI L D u D u F Dt Dt    _     _ _  _   (7) ここで，下添え字 0 は基準状態を表す．本研究では，ガリレイ変換に対して不変な付加慣性力の式としてEames ら(3) が液相の圧縮性も考慮して導出した以下の式を用いる． 1 2 ( ) G G L L G AI L L G L D u D u D F u u Dt Dt Dt          _  _    3 ( ) G L G L D u u Dt      (8) ここで，₁，₂，₃は定数で，付加質量係数に対応する． 2.2 無次元化 □代表長さを L ，代表速度を U として，以下のような無次 元変数を導入する．無次元量には「_{」を付すことにする．} U t t L _ _，_x x L _{ ，} L L u u U _ _， G G u u U  _ _， 0 L L L  _ _ _， 0 G G L  _ _ _， 2 0 L p p U  _ _， ₍₉₎ L L c c U _ _， G G c c U  _ ここで，_L₀は基準状態における液相の密度である．式(9) で定義した無次元量を用いて，式(1)～(8)を無次元化すると，結局，有次元変数の式に無次元量を表す「_{」を付けた式に} なる．ただし_L₀ である．煩雑さを避けるため，以降，1 無次元量を表す「_{」を省略し，断らない限り変数はすべて} 無次元変数とする． 2.3 線形化非線形方程式に対する数学的適切性の評価法は今のところ確立されていないため，線形の一次元二流体モデル方程式を導出し，線形方程式に対して数学的適切性の評価を行うことにする．本研究では，膨張・収縮していない気泡が液体と相対的に滑っている定常一様な流れを基準状態とし，このような一様流からの各物理量の微小な変動を考える．基準状態の変数には下添え字 0 を付け，基準状態の一様流の気相流速をu_G₀，液相流速をu_L₀と表す．また，一次の変動量を表す 変数には「' 」を付し，さらに（ 1）を乗じる．以下に，各変数の一次までの摂動展開を示す． 0(1 )    ，uLuL0uL，uGuG0uG， 1 L L   ，_G_G₀(1_G)，pp₀(1p)， (10) 0 L L L c c c，c_Gc_G₀c_G ここで，_G₀，c_G₀，cL0はそれぞれ基準状態における気相の密度，気相の音速，液相の音速である．式(10)を無次元化された支配方程式に代入し， 2 ( ) O 以下の項を省略すると，線形化された支配方程式が得られる．まず，付加慣性力の式(7)と式(8)を線形化すると，それぞれ以下のようになる． 0 0 G G L L AI m D u D u F A Dt Dt        _  _  ， (11) 0 0 0 1 0 2 0( 0 0) G G L L G AI G L D u D u D F u u Dt Dt Dt              _ _  _     ， 0 3 0( 0 0) G L G L D u u Dt        _ (12) ここで， 0 0 0 1 2 1 2 1 m A   __ ， (13) 0 0 L L D u Dt t x   _  _ ， 0 0 G G D u Dt t x   _  _ とおいた．式(11) と式 (12) を比較すると，式 (12) で 1 Am 0    ，₂₃ とおくと式(11)になる．したがって0 以降では，線形化された付加慣性力の式として式(12)を用いることとし，必要に応じて₁A_m ₀，23 とおくこ0 とでLyczkowski らが用いた付加慣性力の式(1)_{に帰着させる} ことにする．式(1)～(6)を線形化した式はそれぞれ以下のとおりである．・液相に関する質量保存の式 0 (1 0) 0 0 L L u t t x              _   _  _ 0 0 0 (1 ) L (1 ) L 0 L u u x x          _   _  (14) ・気相に関する質量保存の式 0 0 0 0 0 0 0 G G _t G _t GuG _x      _  _   _  0 0 0 0 0 0 G G G G G u u x x           _  _  (15)

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・液相に関する質量保存の式 0[uL0 2(uG0 uL0)] t     _ 0 0 3 0 0 0 [(1 ) ( )] L L G L u u u t           _ 1 0 (1 0 1 0) G L u u t t           _    _ 2 0[uL0 2(uG0 uL0)uG0 p0] _x      _  2 0 0 3 0 0 0 0 [(1 ) ( ) ] L L G L G u u u u x           _ 1 0 0 [2(1 0) 1 0] 0 G L G L u u u u x x           _    _ 0 0 (1 )p p 0 x      _  (16) ・気相に関する質量保存の式 0[ 0 0 2( 0 0)] 0 0 0 G GuG uG uL _t GuG _t       _  _ 0( 0 1) 1 0 G L G u u t t            _  _ 2 0[ G0uG0 2(uG0 uL0)uG0 p0] _x       _  2 0 0 0 3 0( 0 0) 0] G L GuG uG uL uG x x            _   _ 0 0(2 0 1) 1 0 0 G L G G L u u u u x x            _  _ 0 0 0 p p x     _  (17) ・液相に関するエネルギー保存の式 0 0 0 0 2 2 0 0 0 L L L L L L p p p p u u t c t x c x      _ _ _  _  _     (18) ・気相に関するエネルギー保存の式 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 G G G G G G G G p p p p u u t c t x c x    _  _ _  _ (19) 3. 固有値解析 3.1 係数行列 □式(14)～(19)を行列形式でまとめると 0 t x  _  _ U U A B (20) と表される．ここで，変数ベクトル [ , , , , , ]T G L L G u u p        U とし， A と B は定数からなる[6×6]の正方行列で，下に示 すとおりである． 3.2 固有方程式式(20)の固有方程式は，行列式A 0の場合，AB 0 で求められる．したがってまず， A0を確認しておく． 係数行列 A より， 2 2 0 0 0 0 0 [(1 ) _G _G _L ] C   c c    A 0 0 1 0 1 0 [G(1   ) (1  )]      (21) であり，0₀ ，気泡が球形の場合1 ₁0.5であることから，常にA0が満足されていることがわかる．ここで，C は定数である．Lyczkowski ら(1)_{が用いた付加慣性力の式で} は₁A_m ₀とおけばよかったから，この場合は式(13)より 1 0.5(1 2 0) (1 0) 0       であり，やはり A0が満足されている．以上より，式(20)の固有方程式はAB0で以下のように求められる． 2 2 3 2 1( L0) ( G0) 2( G0) 3( L0) ( G0) A u u A u A u u 2 2 4( G0) 5( L0) 6( G0) 7 0 A  u A  u A  u A         (22) ここで， 2 2 1 [(1 0 1 0) G0 1(1 0)][(1 0) G0 G0 0 L0] A         c c 2 2 2 G0 0(1 0)( 2 L0 3 G0 G0)( G0 L0) A    c   c u u 2 3 G0 G0(1 0)[ 2(1 0) 3 0]( G0 L0) A  c      u u 2 2 4 G0 L0(1 0)[{(1 0) G0 1}G0) 0 0] A   c     c  p 2 2 2 5 G0 G0[ 0(1 0 1) L0 (1 0) 0] A   c    c   p 2 2 6 G0 G0 L0 2(1 0)( G0 L0) A   c c   u u 2 2 7 G0 G0 L0(1 0) 0 A  c c  p である．式(22)はの4 次式となっており，式(22)の 4 つの固有値がすべて実数であれば線形化された二流体モデル方程式(20)は数学的に適切であるといえる(6)_．係数A ～₁ A のうち相対速度7 uG0uL0を含むA ，2 A ，3 A6 に，Eames ら(3)_{の付加慣性力の式(8)の係数} 2  と₃が含まれており，逆に₂と₃は相対速度u_G₀u_L₀を含んでいる係数A ，₂ A ，3 A にしか現れない．このことは，相対速度6 0 0 G L u u が0 のときには Eames ら(3)の付加慣性力の式(8)の 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 [ ( )] (1 ) 0 (1 ) ( ) 0 [ ( )] ( ) 0 ( ) 0 0 0 1 0 0 0 0 0 G G L G L L G L G G G L G G L G G L G G u u u u u u u u u u u u p c p c                                                                           A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 3 0 0 1 0 (1 ) 0 0 0 0 [ ( ) ] [2(1 ) ] (1 ) [(1 ) ( ) ] 0 [ ( ) ] (2 ) ( L L G G G G G L G L G L L L G L G G G G L G G G L u u u u u u u u p u u p u u u u u u u u p u u p u                                                     B 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 G L G G G L L L G G G G u u u p u u c p u u c             _                   

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江頭竜

表 1 計算条件

Table 1. Calculation condition physical value (a) atmospheric pressure,

water-air system (b) high pressure, water-vapor system pressure p [Pa] 0 6 0.1013 10 6 13.79 10 liquid density _L₀[kg/m3_] _998.2 _640.7 gas density G0[kg/m3] 1.206 64.07

sound velocity of liquid cL0[m/s] 1478 1067

sound velocity gas c_G₀[m/s] 343.6 304.8

第2 項と第 3 項は固有方程式に影響を及ぼさないことを意味している．また，Lyczkowski ら(1)_{が用いた付加慣性力の} 式の場合には₁A_m ₀，₂₃ とおけばよかったか0 ら，このときは，相対速度u_G₀u_L₀が0 でなくともA ，₂ A ，₃ 6 A はいずれも 0 となる． 3.3 気相と液相の流速が等しい場合の固有方程式本節では特別な場合として，一様流の気相の流速u_G₀と周囲液体の流速u_L₀が等しい場合について考える．この仮定は現在でも簡易的な二流体モデルでよく用いられる仮定である．一様流速をu_G₀u_L₀u₀とするとA₂A₃A₆ である0 から式(22)は以下のようになる． 4 2 1( 0) ( 4 5)( 0) 7 0 A u  A A u A  (23) このとき 4 つの固有値は以下のように陽的に求めることができる． 2 4 5 4 5 1 7 0 1 ( ) ( ) 4 2 A A A A A A u A        (24) ここで，A  ，₁ 0 A ₄ 0，A ₅ 0，A  であることを考え₇ 0 ると，二重根号内が正，すなわち 2 4 5 1 7 (A A) 4A A であれば式(24)の 4 つの固有値はすべて実数となり，数学的に適切と なる．いま，判別式 D を 2 4 5 1 7 ( ) 4 D A A  A A で定義すると， 2 2 2 4 4 0[(1 0) 0 0(1 0) 1] 0 0 G G G L D      c c 2 2 2 2 2 2 0(1 0) 0[ 0 0 (1 0) 0] G p cL cG         2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2G (1 )p c cG L[(1  ) GcG    2 0 1 0 0 1 0 0 0 {(1 2  ) G (1 2  ) (1 )} 2 2 0 0 0 0 1 0 0 {(1  ) G ((1  )(2  ) (1 2 )) G        2 1 0 0 0 2 (1 2  )} cL ]   (25) である．式(24)より，一様流速u は固有値0 の大きさには影響を及ぼすものの，式(24)の第 2 項にu が含まれないこ0 とから，一様流速u は数学的適切性には影響を及ぼさない₀ ことがわかる．式(25)から直ちに D の符号を知ることができないため， ここでは実際の代表的な条件を数値で与えて D の符号を調 べてみる．表1 に(a)大気圧・水-空気系での条件と(b)高圧・水-水蒸気系での条件を示す．無次元化に用いる代表速度としては液相音速c_L₀を用いる．なお，(b)の条件は Lyczkowski ら(1)_{が用いた条件である．} 気液の一様流速が等しい場合のボイド率₀に対する判別 式 D の値を図 1 に示す．図 1 ではボイド率0が00 の1 範囲で示してあるが，マイクロ・ナノバブルを含む微細気泡群を対象とする場合，ボイド率はほとんどの場合0.3 以下であることを注意しておく．図 1 より，気液の一様流速が等しい場合には，付加慣性力の式として Lyczkowski ら(1) が用いた式(7)の方が図 1(a)と(b)の両方ですべてのボイド率 0  に対して判別式 D が正，すなわち数学的に適切になって いるのに対し，Eamse ら(3)_{が導出した付加慣性力の式の場}

(a) atmospheric pressure, water-air system

(b) high pressure, water-vapor system

図1 気液流速が等しい場合の判別式の値

Fig. 1. Value of determination at the same velocity of liquid phase and gas phase.

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合には図1(a)の大気圧・水-空気系ではすべての₀に対して D が正であるが図(b)の高圧・水-水蒸気系では，₀が約0.1 以上で負になる領域，すなわち数学的に不適切な領域が存在することがわかる． 3.4 固有多項式の概形式(22)の左辺を ( )f  とおき，表1 の 2 つの条件(a)と(b) に対してyf( ) の曲線の概形を描けば，軸との交点を調べることによって固有値が実数か否かを知ることができる．ボイド率₀を0.00001，0.01，0.2 の 3 種類に固定し，表1 の(a)大気圧・水-空気系の条件に対するy f( ) のグラフを図2 に，表 1 の(b)高圧・水-水蒸気系の条件に対するグラフを図3 に示す．一様流速の組合せを 0 と 500m/s（無次元流速では(a)の場合 0.34，(b)の場合 0.47）の組合せで 4 通りとした．図2 と図 3 の左の列は付加慣性力の式として Eames ら(3)_{が導出した式}_{(8) を用いた場合，右の列は} Lyczkowski ら(1)_{が用いた式(7)を用いた場合である．なお付} 加慣性力の式で用いられる係数は₁₂₃0.5とした．図2 と図 3 より，y f( ) の概形の特徴として，すべての曲線がW 形をしていることがわかる．すなわち，すべての曲線が1 つの極大値と 2 つの極小値をもっている．また，図2 と図 3 の気液の一様流速が等しいu_G₀u_L₀ （赤線）0 と図2 のu_G₀u_L₀0.34（青線），図3 のu_G₀u_L₀0.47（青線）の曲線を比較すると，式(23)からもわかるとおり，気液の流速が等しい場合にはu_G₀u_L₀ の曲線をそのままの0 形で軸方向にu だけ平行移動した曲線になっている．こ₀ のことは，先述したように，気液の流速が等しい場合の数学的適切性には一様流速u は影響を及ぼさないことを表し₀ ている．図2 と図 3 の計算条件で明らかに 4 つの実数解をもたない条件は，図3(b)のボイド率₀0.01でLyczkowski ら(1)_{が用いた付加慣性力の式の場合で気液の一様流速が異} なるとき（2 つの異なる実数と 2 つの異なる虚数）と，図 3(c)のボイド率₀0.2で Eames ら(3)_{が導出した付加慣性} 力の式を用いた場合で気液の流速が等しいとき（異なる 4 つの虚数）である． 4. 結言 □ 本報では，数学的に不適切であるとされている Lyczkowski ら(1)_{が調べた二流体モデル方程式において，ガ} リレイ変換に対して不変ではない付加慣性力の式をガリレイ変換に対して不変なそれに置き換えた場合の二流体モデル方程式の数学的適切性を調べ，以下のような結果を得た． (1)Eames ら(3)_{が導出した付加慣性力の式において，} 1 (1 2 0) (2 2 0)       ，₂₃ とおけば，Lyczkowski0 ら(1)_{が用いた付加慣性力の式に帰着する．} (2)いずれの付加慣性力の式を用いても固有方程式は固有値 の四次方程式となる． (3)気液の流速が等しい場合の数学的適切性について以下のことがわかった．・この場合の4 つの固有値は陽的に求められる．・Lyczkowski ら(1)_{が用いた付加慣性力の式の場合は大気圧} 条件下の水-空気系でも，高圧条件下の水-水蒸気系でも，すべての固有値が実数となり数学的に適切である．一方， Eames ら(3)_{が導出した付加慣性力の式を用いた場合には，} 水-空気系では大気圧条件下でも高圧条件下でも，あらゆるボイド率に対してすべての固有値が実数であるが，水-水蒸気系では，大気圧条件下ではあらゆるボイド率に対して実数であるものの，高圧条件下ではボイド率が0.1 以上で固有値が実数にならない領域があり，数学的に不適切なボイド率の範囲がある．・一様流速は数学的適切性に影響を及ぼさない．謝辞 □本研究の一部は科研費15K05813 の助成を受けたものであり，また一部は福岡工業大学の平成28 年度若手・新任教員スタートアップ支援の助成を受けたものである．ここに深く謝意を表す．（平成２９年７月２０日受付）文献

(１) Lyczkowski, R. W., Gidaspow, D., Solbrig, C.W., Hughes, E.D. : “Characteristics and Stability Analyses of Transient One-dimensional Two-phase flow equations and their finite difference approximations”, Nuclear Science Engineering, Vol.66, pp.378-396 (1978)

(２) 大川富雄，片岡勲：「気泡流条件における二流体モデルの数学的適切性」，日本機械学会論文集B 編，Vol.66，No.646，pp.1281-1287 (2000) (３) Eames, I., Hunt, J.C.R. “Forces on Bodies Moving Unsteadily in Rapidly Compressed Flows”, Journal of Fluid Mechanics, Vol.505, pp.349-364 (2004)

(４) Yano, T., Egashira, R., Fujikawa, S. : “Linear Analysis of dispersive Waves in Bubbly Flows Based on Averaged Equation”, Journal of the Physical Society of Japan, Vol.75, No.10, Paper No.104401 (8 pages) (2006)

(５) Egashira, R., Kanagawa, T. : “Mathematical Well-posedness of Two-fluid Model Equation Taking Interfacial Pressure into Account”, Proceedings of International Conference on Multiphase Flow 2013, USB-proc. ICMF2013, pp.1-4 (2013) (６) 山口昌哉，野木達夫：「数値解析の基礎偏微分方程式の初期値問

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江頭竜 Eames et al. Eames et al. Eames et al. Lyczkowski et al. Lyczkowski et al. Lyczkowski et al. 図2. 大気圧条件における水-空気系の固有多項式

Fig.2. Polynomials for water-air system in atmospheric pressure (b) void fraction ₀0.01

(a) void fraction ₀0.00001

(c) void fraction 00.2 0 0 G u  , u_L₀ 0 0 0.34 G u  , uL0 0 0 0 G u  , u_L₀0.34 0 0.34 G u  , uL00.34 0 0 G u  , u_L₀ 0 0 0.34 G u  , uL0 0 0 0 G u  , u_L₀0.34 0 0.34 G u  , uL00.34 0 0 G u  , uL0 0 0 0.34 G u  , u_L₀ 0 0 0 G u  , uL00.34 0 0.34 G u  , u_L₀0.34 0 0 G u  , uL0 0 0 0.34 G u  , u_L₀ 0 0 0 G u  , uL00.34 0 0.34 G u  , u_L₀0.34 0 0 G u  , u_L₀ 0 0 0.34 G u  , uL0 0 0 0 G u  , u_L₀0.34 0 0.34 G u  , uL00.34 0 0 G u  , u_L₀ 0 0 0.34 G u  , uL0 0 0 0 G u  , u_L₀0.34 0 0.34 G u  , uL00.34

(8)

Eames et al. Lyczkowski et al.

Lyczkowski et al. Eames et al.

(b) void fraction ₀0.01 (a) void fraction ₀0.00001

(c) void fraction 00.2

図3. 高圧条件における水-水蒸気系の固有多項式

Fig.3. Polynomials for water-vapor system in high pressure

0 0 G u  , uL0 0 0 0.47 G u  , u_L₀ 0 0 0 G u  , uL00.47 0 0.47 G u  , u_L₀0.47 0 0 G u  , uL0 0 0 0.47 G u  , u_L₀ 0 0 0 G u  , uL00.47 0 0.47 G u  , u_L₀0.47 0 0 G u  , uL0 0 0 0.47 G u  , u_L₀ 0 0 0 G u  , uL00.47 0 0.47 G u  , u_L₀0.47 0 0 G u  , uL0 0 0 0.47 G u  , u_L₀ 0 0 0 G u  , uL00.47 0 0.47 G u  , u_L₀0.47 0 0 G u  , uL0 0 0 0.47 G u  , uL0 0 0 0 G u  , u_L₀0.47 0 0.47 G u  , uL00.47 0 0 G u  , u_L₀ 0 0 0.47 G u  , uL0 0 0 0 G u  , u_L₀0.47 0 0.47 G u  , uL00.47