フーリエ変換

(1)

フーリエ変換

6.1 フーリエ変換

複素フーリエ級数は (5.18)(5.19)で

f(x) 1

X

n=01 c

n exp(i

nx

a )=

1

2

[f(x+0)+f(x00)]; x2[0a;a]

c

n

= 1

2a Z

a

0a

f(x)exp(0i n x

a

)dx (6.1)

と定義された。ここで

k

n

= n

a

; 1k

n

=k

n+1 0k

n

=

a

(6:2)

とおいて^(6.1)第²式を書き直すと係数 ^cⁿ は

c

n

= 1k

n

2 Z

a

0a

df()e 0ik

n

:

となる。これを^(6.1)第¹式に代入すれば

1

2

[f(x+0)+f(x00)]= 1

2 1

X

n=01 e

iknx

1k

n Z

a

0a

df()e 0ikn

と書くことができる。さらに ^a^!^1; ^1kⁿ^!⁰ の極限操作を行うと、和は

X

n 1k

n

! Z

dk

と積分に移行するから

1

2

[f(x+0)+f(x00)] = 1

2 Z

1

01 dk e

ik x Z

1

01

df()e 0ik

(6:3)

が得られる。これをフーリエの積分公式という。

(2)

ここで関数 ^f^(x)は^(01;¹⁾ において有界変動関数でかつ

Z

1

01

dxjf(x)j= 有界 ^(6:4)

でなくてはならない。

F(k)= 1

2 Z

1

01

df()e 0ik

F[f(x)] (6:5)

と書けば、^(6.3)は

1

2

[f(x+0)+f(x00)] = Z

1

01 dke

ik x

F(k)F 01

[F(k )] (6:6)

とあらわされる。^x が ^f(x) の連続点ならば

f(x)= Z

1

01 dke

ik x

F(k)=F 01

[F(k)] (6:7)

である。^(6.5)をフーリエ変換、^(6.6)をフーリエ逆変換という。² をどこにどの様につけるかはいろいろな流儀があり、上の他に^(6.5)で係数を¹⁼

p

2 として、そのかわりに^(6.6) の積分にも係数 ¹⁼

p

2 を付けることもある。ここでは^(6.5)(6.6) のようにしておく。

例題^6.1 次の関数のフーリエ変換を求め、そののちフーリエ逆変換によりもとの関数に戻ることを確かめよ。

(1) exp(0ajxj); a>0

(2) exp(0 1

2 a

2

x 2

)

(3) d

dx

f(x); ただし^f(x)は連続でかつ^jxj^!¹とした時任意の^Nに対して^jxj^0Nより早く⁰となる。

(6.8)

解^.次の様に計算できる。

(1)

F(k) = 1

2 Z

1

01 dxe

0ajxj

e 0ik x

= 1

2 f

Z

1

0 dxe

0(a+ik )x

+ Z

0

01 dxe

(a0ik )x

g

= 1

2 f

1

a+ik +

1

a0ik g=

1

・ ^a

(a 2

+k 2

)

; (6.9)

フーリエ逆変換を求めるには

f(x) = Z

1

01 dke

ik x

F(k)= a

Z

1

01 e

ik x

a 2

+k 2

dk

= 1

2i Z

1

01 dk e

ik x

f 1

k0ia 0

1

k+ia

g (6.10)

(3)

を計算する。複素 ^k 平面で考えて、 ^x ^> ⁰ の時には上半平面で、^x ^< ⁰ の時には下半平面でこの積分路を閉じても、積分の値は変わらない⁽第⁵章付録を参照⁾。それぞれの場合に寄与する極は ^ia または ^0ia である。積分路は複素^k平面上で ^kの偏角の増す正の方向

(x>0)または偏角が減る負の方向 ^(x^<⁰⁾ にまわっている。したがって

f(x)= 1

2i 2

(

(+2i)e 0ax

:x>0

0(02i)e ax

:x<0 )

=e 0ajxj

:

(2)

F(k)= 1

2 Z

1

01 dxe

0 1

2 a

2

x 2

0ik x

= 1

2 Z

1

01 dxe

0 1

2 a

2

(x+

ik

a 2

) 2

0 k

2

2a 2

(6:11)

この積分を実行するために、複素平面上で図^6.1のような積分路 ^C を考えよう。閉じた積分路で囲まれた領域内に極はないから

I

C dze

0 1

2 a

2

z 2

= Z

R

0R dxe

0 1

2 a

2

x 2

+i Z k

a 2

0 dye

0 1

2 a

2

(R+iy ) 2

+ Z

0R

R dxe

0 1

2 a

2

(x+

ik

a 2

) 2

+i Z

0

k

a 2

dye 0

1

2 a

2

(0R+iy ) 2

= 0

である。ここで^R ^!¹の極限を考えると、右辺第^2,4項は一様に ⁰となる。したがって

Z

1

01 dxe

0 1

2 a

2

x 2

+ Z

01

1 dxe

0 1

2 a

2

(x+

ik

a 2

) 2

=0

である。第¹項のガウス積分は

( Z

1

01 dxe

0 1

2 a

2

x 2

) 2

= Z

1

01 Z

1

01 dxdye

0 1

2 a

2

(x 2

+y 2

)

=2 Z

1

0

drr e 0

1

2 a

2

r 2

=

Z

1

0 dte

0 1

2 a

2

t

= 2

a 2

より

Z

1

01 dxe

0 1

2 a

2

x 2

= p

2

a

である。したがって

Z

1

01 dxe

0 1

2 a

2

(x+

ik

a 2

) 2

= p

2

a

である。これを ^(6.11)に代入してフーリエ変換は

F(k)= 1

a p

2

exp(0 k

2

2a 2

) (6:12)

となる。すなわち、ガウス関数のフーリエ変換はガウス関数であることが分かる。フーリエ逆変換は全く同様に行うことができ、元に戻ることが示される。

(4)

//////////////////////////////////

//図6.1///////////////////////////

//////////////////////////////////

(3)

F(k)= 1

2 Z

1

01 dxe

0ik x

f(x) (6:13)

と定義しておく。部分積分を用いて

1

2 Z

1

01 dxe

0ik x df(x)

dx

= 1

2 [e

ikx

f(x)]

x=1

x=01 0

1

2 Z

1

01 dx

de 0ik x

dx f(x)

= 0

1

2 Z

1

01

dx(0ik )e 0ik x

f(x)

= ik 1

2 Z

1

01 dxe

0ik x

f(x)=ikF(k): (6.14)

を得る。また逆変換は

Z

1

01 dke

ik x

ikF(k )= d

dx Z

1

01 dke

ik x

F(k)= d

dx

f(x) (6:15)

である。^ixf(x) のフーリエ変換に関しても

1

2 Z

1

01 dxe

0ik x

ixf(x) = 0 d

dk 1

2 Z

1

01 dxe

0ik x

f(x)

= 0

d

dk

F(k ) (6.16)

となる。これらの結果を用いると、微分方程式をフーリエ変換で容易に解けることがある。

(例題^6.4を参照⁾■

例題^6.1(3)の結果を少し一般的に書くと次の様な重要な結果になる。

F[f (n)

(x)]= 1

2 Z

1

01 dxe

0ik x

f (n)

(x)=(ik) n

F[f(x)]; (6:17)

F[x n

f(x)]=(i d

dk )

n

F[f(x)]: (6:18)

これらは ^(6.14) の部分積分、あるいは^(6.16) を ⁿ 回繰り返せば導くことができる。

(5)

「デルタ関数のフーリエ変換」とその逆変換を考えよう。デルタ関数 ^(x⁰^x⁰⁾ のフーリエ変換は、定義に従って

F[(x0x

0

)] = lim

n!1 1

2 Z

1

01 dxe

0ik x

n (x0x

0 )

= lim

n!1 r

n

1

2 Z

1

01 dxe

0ik x

e 0n(x0x

0 )

2

= lim

n!1 r

n

1

2 e

0ik x

0 Z

1

01 dxe

0ik (x0x

0 )

e 0n(x0x

0 )

2

= lim

n!1 r

n

1

2 e

0ik x

0 Z

1

01 dxe

0ik x0nx 2

と変形される。この積分は ^(6.11) と同じ様に計算される。

lim

n!1 1

2 Z

1

01 dxe

0ik x

n (x0x

0

)= lim

n!1 r

n

e

0ik x0 1

2 p

n e

0 k

2

4n

= lim

n!1 1

2 e

0ik x

0

e 0

k 2

4n

= e

0ik x

0

2

: (6.19)

したがって

F[(x0x

0 )]=

1

2

exp(0ikx

0

): (6:20)

さらに、ここで ^x⁰ ⁼⁰ とすると

F[(x)]= 1

2

(6:21)

である。これらをフーリエ逆変換すれば^(x⁰^x⁰^),あるいは^(x)にもどるはずである。式で書くと

F 01

[ 1

2 ]=

Z

1

01 dk

1

2 e

ik x

=(x) (6:22)

となる。これもデルタ関数の別の表式である。しかしこの積分は、普通の積分の概念から考えれば、うさんくさいところがある。^e^{ik x} は ^{jk j} ^! ¹ で ⁰ になる関数ではないからである。

実は^(6.20) ^(6.21) が超関数の意味で定義されているように^, ^(6.22)も超関数 ¹ に関するものとして理解されなくてはならない。この超関数 ¹ を Î(x)と書いて、^(6.21) の右辺 ¹⁼² は超関数 Î(x)の ¹⁼² 倍とみなすことにする。超関数 Î(x)は

I

n

(x)=exp(0x 2

=n) (6:23)

の極限として

I(x)= lim

n!1 e

0x 2

=n

(6:24)

と定義すればよい。^(6.19) の計算の途中はまさにそうなっている。^I^(x)あるいは^Iⁿ^(x)との積として積分の中にあらわれる関数は、性格の良い、^jxj^! ¹ では任意の ^N について

(6)

jxj

0N より速く ⁰ になる関数 ^f(x) であると考えているからである。この時、超関数 ^I^(x) は ¹ とほとんど同じである。こう考えておけば ^I(x) のフーリエ変換は

1

2 Z

1

01

dxI(x)e 0ik x

= lim

n!1 1

2 Z

1

01 dxI

n (x)e

0ik x

= lim

n!1 p

n

2 p

e

0 nk

2

4

= lim

n!1 r

n

e

0nk 2

=(k) (6.25)

と計算できる。^(6.25) と ^(6.22) は^x ^! ^{k ,k} ^! ^0x と置きかえただけで完全に同じ式である。以上によってデルタ関数と ¹ は互いにフーリエ変換、フーリエ逆変換でむすびついていることが分かった。このことは物理的に言えば容易に理解できる。すなわち、広がった平面波をスペクトル分解すれば単一の波であるが、一方空間的に狭い領域にだけ強度を持った波をフーリエ分解すると、すべての波長の波を重ねなくてはならない、ということである。

ここでやったように、一般に^jxj ^! ¹ で急激に ⁰ にならない関数についても、それを超関数とみなして^jxj^! ¹ で急激に ⁰ になる関数の極限と考えることで、フーリエ変換を定義できる。しかし、そのかわり充分遠方でその超関数の値が、元の関数の値と一致しているかどうか議論することの意味はなくなる。このことを上で、ほとんど同じといった。超関数は線形汎関数として定義されているからである。

例題^6.2 たたみ込み⁽合成績⁾

Z

1

01

dyf(x0y )g(y) (6:26)

をフーリエ変換せよ。またそれを逆変換して元に戻ることを確かめよ。

解^.

F[f(x)]=F(k ); F[g (x)] =G(k) (6:27)

と定義しておく。

F[ Z

1

01

dyf(x0y)g(y)]= 1

2 Z

1

01 dxe

0ik x Z

1

01

dyf(x0y )g(y)

=2・¹

2 Z

1

01 dte

0ik t

f(t) 1

2 Z

1

01 dy e

0ik y

g(y)=2 F(k)G(k):

(6.28)

これを逆変換すると

F 01

[2F(k)G(k)] = 2 Z

1

01 dke

ik x

F(k )G(k)

= 2

Z

1

01 dk

1 Z

1

01 dk

2 (k

1 0k

2 )e

ik

1 x

F(k

1 )G(k

2 ):

(7)

ここでデルタ関数のフーリエ逆変換 ^(6.22) を用いて

(k

1 0k

2 )=

Z

1

01 dy

1

2 e

0i(k

1 0k

2 )y

(6:29)

を代入すると、

F 01

[2F(k)G(k)] = Z

1

01 dy

Z

1

01 dk

1 Z

1

01 dk

2 e

0i(k

1 0k

2 )y

e ik

1 x

F(k

1 )G(k

2 )

= Z

1

01 dy

Z

1

01 dk

1 e

ik

1 (x0y )

F(k

1 )

Z

1

01 dk

2 e

ik

2 y

G(k

2 )

= Z

1

01

dy f(x0y)g (y) (6.30)

となり、元に戻る。このようにたたみ込みが積 ^F^{(k )G(k)} に変換されるため、積分方程式を解く時、フーリエ変換が有用であることがある。■

以上の例題^6.1,6.2で分かるように、フーリエ変換および逆変換を考える上で、^(x);⁰^(x);^I(x) などの超関数の概念が重要である。ヘビサイド関数 ^H(x)

H(x)= (

0 :x<0

1 :x0

(6.31)

も同様に超関数として理解することができる。

例題^6.3 ヘビサイド関数 ^H(x)は、超関数の意味で

d

dx

H(x)=(x) (6:32)

と定義できることを示せ。

解^. ^jxj^!¹ で充分早く⁰になる関数^f(x) を考える。

Z

1

01

dH(x)

dx

f(x)dx=[H(x)f(x)]

1

x=01 0

Z

1

01

H(x)f 0

(x)dx

=0 Z

1

01

H(x)f 0

(x)dx=0 Z

1

0 f

0

(x)dx=0[f(x)]

1

x=0

=f(0) (6.33)

となる。これは ^(6.32)を示している。■

フーリエ変換を用いて、微分方程式を解いてみよう。

例題^6.4 次の方程式を解け。

d 2

dx 2

f(x)0f(x)=e 0jxj

(6:34)

(8)

解^.

F[f 00

(x)] = 0k 2

F[f]=0k 2

F(k ) ;

F[e 0jxj

] = 1

2 Z

1

01 e

0ik x

e 0jxj

dx

= 1

2 f

Z

1

0 e

0ikx0x

dx+ Z

0

01 e

0ik x+x

dxg= 1

1

1+k 2

:

これから

F(k ) =0 1

1

(k 2

+1) 2

:

故に

f(x)=0 1

Z

1

01 dke

ik x 1

(1+k 2

) 2

:

被積分関数は^k ⁼⁶ⁱ を ²位の極として持つ。^x^>⁰ の場合には積分路を複素 ^k 平面上の上半平面で閉じ、また ^x^<⁰の場合には下半平面で閉じる。したがって

x>0 : f(x)=0 1

2 i[

d

dk e

ik x

(i+k) 2

]

k =i

=0 1+x

2 e

0x

;

x<0 : f(x)=0 1

2 i(01)[

d

dk e

ik x

(0i+k) 2

]

k =0i

=0 10x

2 e

x

である。まとめて

f(x)=0

1+jxj

2 e

0jxj

(6:35)

となる。■

ここで、いくつかの関数のフーリエ変換を表の形で与えておこう。

表^6.1 フーリエ変換の表

f(x)= R

1

01 dke

ik x

F(k) F(k)= 1

2 R

1

01

dxf(x)e 0ik x

1 (k)

x n

f(x) (i

d

dk )

n

F(k)

1

jxj

;(x6=0;0< <1)

1

sin(

2 )

0(10)

jk j 10

1

x 2

+a 2

;(a>0)

1

2

・¹

a

exp(0ajkj)

e 0ax

2

;(a>0)

1

p

2a

exp(0 k

2

4a )

sechax;(a>0)

1

2a

sech(0 k

2a )

sinax

x

;(a>0)

(

1

2

jkj<a

0 jkj>a

sin(a 2

x 2

);(a>0)

1

2a p

cos(

k 2

4a 2

+

4 )

例題^6.5 ¹次元の熱伝導を ⁰¹ ^<^x ^<¹ の領域で考えよう。時刻 ^t ⁼⁰ に ^x ⁼ の位置に強さ ¹の点熱源を置いたとき、この系は方程式

(

@

@t 0a

@ 2

@x 2

)u(x;t) =(x0) (t) (6:36)

(9)

により表される。^(6.36)を、初期条件

u(x;t) =0 ; t<0 (6:37)

のもとで解け。

解^.(6.36)を ^x および ^t についてフーリエ変換し、

u(x;t)= Z

1

01 dk

Z

1

01 dw e

ik (x0 )

e 0i! t

~ u

(k ;! ) (6:38)

と書く。さらに点熱源を表す^(6.36)の右辺をフーリエ変換すると

(x0)(t)= 1

4 2

Z

1

01 dk

Z

1

01 d!e

ik (x0 )

e 0i! t

: (6:39)

これらを^(6.36)に代入して整理すると

~ u

(k;!)= 1

4 2

1

0i!+ak 2

(6:40)

となる。^k を実数とした時、^(6.40)は複素^! 平面上で、^Im ^! ^>⁰ の領域で正則である⁽極は ^! ⁼^0iak²⁾。^(6.40)をフーリエ逆変換して、^u(x;^t) は ^(6.38) で与えられる。この時、

! についての積分は ^e^{0i! t} の因子により、^t^>⁰ の時は複素 ^! 平面上の下半平面で、^t ^<⁰ の時は上半平面で閉じなくてはならない⁽図^6.2)。極は^! 平面の下半平面上 ^0iak² にあるから、^t^<⁰の場合には積分路のかこむ領域内に極はなく、積分の結果は ⁰ となる。

u(x;t)=0 : t<0: (6:41)

t > 0 の場合には ^! ^-下半平面上の極 ^0iak² からの寄与を計算して、積分路は負の方向にまわっているから

u(x;t) = 1

4 2

Z

1

01 dk

Z

1

01 d!e

ik(x0)

e 0i! t

1

0i!+ak 2

= 1

2 Z

1

01 dke

ik (x0 )

e 0ak

2

t

となる。この積分は今まで何度かでてきたもので、^(6.11)と同じ様に実行できる。

u(x;t) = 1

2 Z

1

01 dk e

0at(k 0i x0

2at )

2

e 0(x0 )

2

=4at

= 1

2 p

at

expf0

(x0) 2

4at

gG(x0;t); t>0 (6.42)

t!0 の極限では、これはデルタ関数の定義そのままであるから

lim

t!0

G(x0;t)= (x0) (6:43)

(10)

となり、たしかに点熱源であることも理解できる。この解 ^(6.42)を¹次元熱伝導方程式の

「基本解」という。■

//////////////////////////////////

//図6.2///////////////////////////

//////////////////////////////////

一般に無限の長さの¹次元熱伝導方程式で、初期条件として ^t ⁼⁰ で熱分布 ^f^(x)を与えた時、任意の時刻での熱分布は

(

@u

@t 0a

@ 2

u

@x 2

=0 ; t >0

u(x;0)=f(x)

(6.44)

に従う。この方程式の解は基本解を用いて

u(x;t)= Z

1

01

dG(x0;t)f() (6:45)

で与えられる。^f(x)を点熱源が連続的に分布しているものと見なせば、^(6.45)はそれらの解を重ね合わせたものと理解することができる。^(6.45) を直接示そう。^(6.45)を^(6.44) 第

1式に代入すると

(

@

@t 0a

@ 2

@x 2

)u = Z

1

01

df()(

@

@t 0a

@ 2

@x 2

)G(x0;t)

= Z

1

01

df()(x0)(t)=f(x)(t) (6.46)

となる。ここでは^G(x⁰^;^t) が^(6.36)の解であることを用いた。したがって ^u(t)は ^t⁶⁼⁰ で ^(6.44) の第¹式を満たす。^t ^!⁰では^(6.43) により

lim

t!0

u(x;t) = Z

1

01

df()lim

t!0

G(x0;t)= Z

1

01

df()(x0)=f(x) (6:47)

となり、^u(x;^t) は ^(6.44) の第²式を満たすことも示された。

6.2 ラプラス変換

フーリエ変換と同様にラプラス変換はしばしば用いられる積分変換の¹つである。関数

y(t) が次の性質を満足していると仮定する。

(1) y(t)=0 ; t<0

(11)

(2) 1

0 dte

0t

jy(t)j<1; :正の実数 ^(6.48) この時 ^y(t) のフーリエ変換^Y^F^(!)を考え、さらに ^! を複素領域に拡張する。

Y

F (!)=

1

2 Z

1

01 e

0i! t

y(t)dt; (6:49)

あるいは、^! ⁼^!⁰ ⁰ⁱ⁰ ^(!⁰^;⁰ ^:実数⁾とすると、

Y

F (!)=

1

2 Z

1

01 e

0i!0t

e 00t

y(t)dt: (6:50)

ここで ^(6.50) の右辺が収束するならば、^Im!⁰ ^<⁰⁰ である^!⁰ ⁼^!⁰⁰ⁱ ⁽ ⁼^0Im!⁰⁾ について

Y

F (!

0

)= 1

2 Z

1

01 e

0i!

0 t

e 0t

y(t)dt

も収束する。これを改めて ^Y^F^(!) と書いて^(! ⁼^!⁰ ⁰ⁱ⁾

Y

F (!)=

1

2 Z

1

0 e

0i! t

y(t)dt = 1

2 Z

1

0 e

0i!0t

e 0t

y(t)dt: (6:51)

を出発点とする。^(6.51) で ^y(t)⁼⁰^(t^<⁰⁾であるので、積分の下限を ⁰と書いた。^(6.51) の収束領域は ^Im! ⁼⁰ ^<⁰⁰ である。また ^(6.51) のフーリエ逆変換は

y(t)=e t

Z

+1

01 d!

0 e

i!

0 t

Y

F (!)=

Z

+10i

010i d!e

i! t

Y

F

(!) (6:52)

と書ける。⁽ ^> ⁰⁾ 最後の積分路は複素 ^! 平面上で実軸に平行に、^! ⁼ ⁰¹⁰ⁱ から

+10i までの直線をとる。

上の式 (6.51),(6.52)で ^i! ⁼^pとすると

Y

L

(p)=2Y

F (!)=

Z

1

0 dte

0pt

y (t)L[y(t)] (6:53)

y (t)= 1

2i Z

+i1

0i1 dpe

pt

Y

L

(p)L 01

[Y

L

(p)] (6:54)

である。^p⁼^i! という変換は複素 ^! 平面上の図形を⁹⁰度正の向きに回転させたものであるから複素^p 平面上での収束領域^(Y^L^(p) の正則領域⁾は図^6.3 のように虚軸にそった直線

p=

0 より右側の領域となる。積分路はこの直線 ^p⁼⁰ である。^(6.53)を ^{y (t)} のラプラス変換、^(6.54) をラプラスの逆変換という。複素 ^p 平面上で^{R e} ^p⁼⁰ より右側は ^Y^L^(p) の正則領域であるから、逆に^Y^L^(p) を計算したあとで、その極を含む領域がすべて左側にくる様に ⁰ 或いはを決める。そのような^(>⁰⁾ を選んで、ラプラス逆変換^(6.54) を行えばよい。

//////////////////////////////////

(12)

//////////////////////////////////

//図6.3///////////////////////////

//////////////////////////////////

例題によって、ラプラス変換の具体例をみよう。

例題^6.6 ^d^f

dx

をラプラス変換せよ。

解^.

F

L

(p)=L[f(x)]= Z

1

0 dxe

0px

f(x) (6.55)

として、部分積分すると

Z

1

0 dxe

0px

f 0

(x)=e 0px

f(x)

1

0 +p

Z

1

0 dxe

0px

f(x)=0f(0)+pF

L (p)

となる。ただしここで境界条件^f(1)⁼⁰を用いた。したがって

L[f 0

(x)]=0f(0)+pF

L

(p) (6.56)

を得る。■

例題^6.6の結果を少し一般的に書くと

L[f (n)

(x)]=p n

F

L (p)0

n01

X

r =0 p

n0r 01

f (r )

(0) (6.57)

である。

例題^6.7 たたみ込み（合成積）

Z

x

0

df()g(x0) (6.58)

をラプラス変換せよ。

解^.

L[f(x)]=F

L

(p); L[g(x)]=G

L

(p) (6:59)

とする。

L[

Z

x

0

df()g(x0)]

= Z

1

0 dxe

0px Z

x

0

df()g(x0)= Z

1

0 dx

Z

x

0 de

0p

f()e 0p(x0 )

g(x0)

= Z

1

0 d

Z

1

dxe

0p

f()e 0p(x0

)g(x0)= Z

1

0 de

0p

f() Z

1

0 dye

0py

g(y)

=F

L (p)G

L

(p): (6.60)

(13)

このようにたたみ込みが積 ^F^(k)G(k)に変換されるため、積分方程式を解く際にラプラス変換は有用である。■

例題^6.8 微分方程式

(

d 2

u

dx 2

+u=f(x) ; x0

u(0) =u 0

(0) =0

(6.61)

をラプラス変換により解け。

解^.u(x)および^f^(x) のラプラス変換を

u

L (p)=

Z

1

0 dxe

0px

u(x)=L[u(x)]; (6:62)

f

L (p)=

Z

1

0 dxe

0px

f(x)=L[f(x)] (6:63)

と書く。^d²^u

dx

2 のラプラス変換 ^L[u⁰⁰^(x)]を計算しよう。これは結果についてはすでに^(6.57) で見た。

L[u 00

(x)] = Z

1

0 e

0px

u 00

(x)dx

= [e 0px

u 0

(x)]

1

x=0 0

Z

1

0

(0pe 0px

)u 0

(x)dx

= [e 0px

u 0

(x)]

1

0

+[pe 0px

u(x)]

1

0 0p

Z

1

0

(0pe 0px

)u(x)dx

= p 2

u

L

(p)0pu(0)0u 0

(0) (6.64)

ここでは部分積分、および ê^0pxû⁰^(x), ê^0pxû(x)^!^0(x^!¹⁾を用いた。

初期条件 ^u(0) ⁼^u⁰⁽⁰⁾ ⁼⁰より、^(6.61) 第¹式は

(p 2

+1)u

L

(p)=f

L (p)

すなわち

u

L (p)=

f

L (p)

p 2

+1

(6:65)

となる。

ラプラス変換のたたみ込み^(6.60)を考えると、^(6.65)のラプラス逆変換の結果は

u(x)= Z

x

0

f()fL 01

[ 1

p 2

+1 ]g

x0

d (6:66)

であることが分かる。添字 ^x⁰ はラプラス逆変換した関数の変数を示している。ここで

1=(p 2

+1)のラプラス逆変換を求める必要がある。

L 01

[ 1

p 2

+1 ]=

1

2i Z

+i1

0i1 dpe

px 1

p 2

+1

: (6:67)

(14)

1=(p 2

+1) は¹位の極を^p⁼⁶ⁱ にもっている。この被積分関数で、が任意の正の数であれば、直線 ^{R ep}⁼ より右側は正則な領域である。^p の積分路は図^6.4のように左側で閉じても、その値は変わらないはずである。したがっては任意の正の数としてよい。積分路は正の方向にまわっているから

L 01

[ 1

p 2

+1 ] =

1

2i Z

+i1

0i1 dp(

1

p+i 0

1

p0i )e

px

(0 1

2i )

= 0

1

2i [e

0ix

0e +ix

]=sinx (6.68)

となる。これを^(6.66)に代入して、最終的に

u(x)= Z

x

0

df()sin(x0) (6:69)

を得る。■

//////////////////////////////////

//図6.4///////////////////////////

//////////////////////////////////

ラプラス変換のいくつかを表にまとめておこう。

表^6.2 ラプラス変換の表

f(x)= 1

2i R

+i1

0i1 dpe

px

F

L

(p) F

L (p) =

R

1

0 dxe

0px

f(x)

(x0a) = (

1 :x>a>0

0 :x<a

e 0pa

p

0

x

>01

0(1+)

p +1

0

e ax

1

p0a

a

sinax

a

p 2

+a 2

0

cosax

p

p 2

+a 2

0

sinha

a

p 2

0a 2

jaj

cosha

p

p 2

0a 2

jaj

6.3 離散フーリエ変換と高速フーリエ変換

フーリエ変換は連続変数による積分変換であるが、実際に数値的に取り扱う際には、離散的変数値を用いた有限項の和に置きかえる必要がある。

(15)

関数 ^f(x)は区分的に滑らか⁽孤立した点以外では滑らか⁾で連続であり、周期^2aの周期関数とする。^[0;^2a] を基本の区間としよう。この様な周期関数の複素フーリエ級数展開は

f(x) = 1

X

n=01 c

n e

i n x

a

c

n

= 1

2a Z

a

0a f(x)e

0i n x

a

dx (6.70)

と表される。区間 ^[0;^2a] を ^N 等分

0 = x

0

<x

1

<x

2

<...<x

N01

<x

N

=2a;

x

k

= 2ak

N

;k =0;1;...;N 01 (6.71)

して、この分点上の和によって、^(6.70)の第²式の積分を置き換える。

c

n

= 1

N N01

X

k =0 f(

2ak

N )e

0i 2nk

N

(6:72)

あるいは、

! = exp 2 i

N

;

f

k

= f(x

k

);k=0;1;2...;N01

c

n

= 1

N N01

X

k =0 f

k (! )

nk

;n =0;1;2;...;N01 (6.73)

と書ける。^ff⁰^;^f¹^;^.^.^.^f^N01^g から^fc⁰^;^c¹^;^.^.^.^;^c^N⁰¹^g への変換を離散フーリエ変換という。

この逆変換⁽離散フーリエ逆変換 ⁾は、^(6.70)第¹式より

f

k

= N01

X

n=0 c

n

! nk

(k =0;1;2;...;N 01) (6:74)

となる。^(6.73)の定義により

N01

X

n=0 c

n

! nk

= 1

N N01

X

k 0

=0 f

k 0

N01

X

n=0

! n(k 0k

0

)

= 1

N N01

X

k 0

=0

(k 0

6=k ) f

k 0

10! N(k0k

0

)

10! (k 0k

0

) +f

k

となるが、^! は ¹ の ^N 乗根 ^(!^N ⁼ ¹⁾ であるから右辺第¹項は ⁰ となる。これにより

(6.74) を直接たしかめることができた。

離散フーリエ⁽逆⁾変換は ^(6.73) を直接この式に従って計算すると ⁿと^kはともに ⁰から^N⁰¹まで動くから、^N² 回に比例する乗・加算が必要である ⁽正しくは乗算^N² 回、加算 ^N^(N⁰²⁾回⁾。このため ^N の増加にともなう計算の手間の増加は急激で、^N が³⁰⁰程

(16)

度になると実用上無視できない問題となる。効率よく計算を行うという点から、高速フーリエ変換^(FFT=Fast^Fourier^Transform)という有効な計算アルゴリズムがある。

FFTでは^!^N ⁼¹に注目して計算する量を減らすことが本質的である。通常は^N ⁼²^p に選ぶ。簡単のために^p⁼^2(N ⁼²²⁾ として説明しよう。^(6.73)は、⁽^{! )}⁴ ⁼¹に注意すれば、

4c

0

= f

0 (! )

0

+f

1 (! )

0

+f

2 (! )

0

+f

3 (! )

0

;

4c

1

= f

0 (! )

0

+f

1 (! )

1

+f

2 (! )

2

+f

3 (! )

3

;

4c

2

= f

0 (! )

0

+f

1 (! )

2

+f

2 (! )

0

+f

3 (! )

2

;

4c

3

= f

0 (! )

0

+f

1 (! )

3

+f

2 (! )

2

+f

3 (! )

1

; (6.75)

と書き改められる。よく観察するとさらに次の各項にまとめられる（第¹段階）。

f (0)

(0;0) = f

0

;

f (0)

(0;1) = f

1

;

f (0)

(1;0) = f

2

;

f (0)

(1;1) = f

3

: (6.76)

f (0)

(k

1

;k

0

)の括弧の中は、^f^kの添字^kを²進数表示したもの^k⁼^2k¹⁺^k⁰である^;

f (0)

(k

1

;k

0 )=f

k

; k =2k

1 +k

0

: (6.77)

もし^p^>²なら^f⁽⁰⁾⁽¹¹¹⁾の括弧内には^p個の⁰または¹が入る。第²段階は次式である。

f (1)

(0;0) = f (0)

(0;0)(! ) 0

+f (0)

(1;0)(! ) 0

f (1)

(1;0) = f (0)

(0;0)(! ) 0

+f (0)

(1;0)(! ) 2

f (1)

(0;1) = f (0)

(0;1)(! ) 0

+f (0)

(1;1)(! ) 0

f (1)

(1;1) = f (0)

(0;1)(! ) 0

+f (0)

(1;1)(! ) 2

(6.78)

この各項は ^f⁽⁰⁾^(k¹^;^k⁰⁾ について ^k¹ ⁼^0;¹ の和を行っている^;

f (1)

(n

0

;k

0 )=f

(0)

(0;k

0 )(!)

0

+f (0)

(1;k

0 )(! )

2n

0

: (6.79)

第³段階では^f⁽¹⁾⁽ⁿ⁰^;^k⁰⁾ について^k⁰ ⁼^0;¹ の和を行う。

4c

0

= f (2)

(0;0)=f (1)

(0;0)(! ) 0

+f (1)

(0;1)(! ) 0

4c

1

= f (2)

(1;0)=f (1)

(1;0)(! ) 0

+f (1)

(1;1)(! ) 1

4c

2

= f (2)

(0;1)=f (1)

(0;0)(! ) 0

+f (1)

(0;1)(! ) 2

4c

3

= f (2)

(1;1)=f (1)

(1;0)(! ) 0

+f (1)

(1;1)(! ) 3

(6.80)

(17)

ここでは^cⁿ ⁽ⁿ ⁼²ⁿ¹⁺ⁿ⁰⁾が^f⁽²⁾⁽ⁿ⁰^;ⁿ¹⁾となっている^;

2 2

c

2n

1 +n

0

=f (2)

(n

0

;n

1 )=f

(1)

(n

0

;0)(! ) 0

+f (1)

(n

0

;1)(!) 2n

1 +n

0

: (6.81)

この計算は、^(6.78) ^(6.80)とも右辺第¹項は⁽^{! )}⁰ ⁼¹であり、乗算は第²項に関してのみ

N =4回、加算も^N ⁼⁴回行なう。これが^(6.78) ^(6.80)で^p⁼²回繰り返されるから、結局乗算、加算とも ⁸⁼⁴²²⁼^N^p 回となる。

一般の ^N ⁼²^p の場合には、^k;ⁿ を²進数表示により

k = 2 p01

k

p01 +2

p02

k

p02

+...+2k

1 +k

0

n = 2 p01

n

p01 +2

p02

n

p02

+...+2n

1 +n

0

と表し、

f (0)

(k

p01

;k

p02

;...;k

0 )=f

k

(6.82)

f (p)

(n

0

;n

1

;...;n

p01

)=Nc

n

(6.83)

を定義する。⁽^{! )}^nkのベキ指数^nkを

nk = n12 p01

k

p01

+n12 p02

k

p02

+111111+n1k

0

= 2 p01

n

0 k

p01 +2

p02

(2n

1 +n

0 )k

p02

+111111

+(2 p01

n

p01 +2

p02

n

p02

+111111+n

0 )k

0

: (mod 2 p

) (6.84)

と書き換えてこれに注意すると

f (p)

(n

0

;n

1

;111111;n

p01 )

= X

k

0

X

k

1

111

X

k

p01 f

(0)

(k

p01

;k

p02

;111;k

0 )(! )

2 p01

n

0 k

p01

(! ) 2

p02

(2n

1 +n

0 )k

p02

111111111

2(! ) (2

p01

n

p01 +2

p02

n

p02 +111+n

0 )k

0

(6.85)

を得る。^(6.84) で ^mod(2^p ⁼ ^N⁾ としたのは^!^N ⁼ ¹ により（^6.85）内では ²^N の整数倍は意味を持たないからである。^(6.85) について式(6.76)(6.80)と同じように第 ¹段階は

k

p01

=0;1 の和、第²段階は ^k^p02 ⁼ ^0;¹ の和という具合に実行していく。第^p段階目に

c

n

(n=0;1;2...;N01)が求められる。この方法では乗算・加算とも ^Np⁼^N^log2

N 回となる。

FFTはフーリエ変換の計算だけでなく、たたみ込み ^hⁿ ⁼^P^Nm=0⁰¹ f

m g

n0m の計算効率の向上をめざすことにもしばしば用いられる。

(18)