ある級数の収束・不定積分

微積分Ｉ 演習 ( 第 8 回、 2012.6.6)

ある級数の収束・不定積分

無限級数の収束.

級数

∑∞ n=0

anが収束する⇒ lim

n→∞an= 0. 逆は成り立たない（例）

∑∞ n=1

1 n =∞

nlim→∞

n^a

eⁿ = 0, lim

n→∞

aⁿ

n! = 0, e=

∑∞ n=0

1

n!, π 4 =

∑∞ n=0

(−1)ⁿ

2n−1 log 2 =

∑∞ n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n

例1 次の収束値を計算せよ。

(1)

∑∞ n=0

2ⁿ

n! (2)

∑∞ n=0

(−1)ⁿ(2n−1)!!

(2n)!! (3)

∑∞ n=0

(−1)ⁿ n!

不定積分

∫

f(x)dx=F(x).

(1)

∫

x^αdx= 1

α+ 1x^α+1 (2)

∫

e^xdx=e^x (α̸=−1) (3)

∫

x⁻¹dx= logx (4)

∫

sinxdx=−cosx (5)

∫

cosxdx= sinx (6)

∫

a^xdx= a^x loga

例2 次の関数の不定積分を求めよ。

(1)

∫

2^xdx (2)

∫ dx

√1−x² (3)

∫ dx 1 +x² 定積分 置換積分

∫ b a

f(x)dx=F(a)−F(b). where F^′(x) =f(x).

∫ b a

f(x)dx=

∫ φ(a) φ(b)

f(φ(t))φ^′(t)dt (x=φ(t))

例3 次の定積分を求めよ。

(1)

∫ 2 1

(

x²+ 3x³+ 1 x²

)

dx (2)

∫ 2 1

√x(x+ 1)dx (3)

∫ ¹₂

0

dx 1−√

x (4)

∫ 1 0

x√

x²+ 2dx 例4 次の定積分を求めよ。

(1)

∫ ^π₂

0

sin 2xdx (2)

∫ ^π₃

0

dx

tanx (3)

∫ ^π₂

0

√1−cosθ dθ (4)

∫ 2

−2

(|x|−x+1)dx (5)

∫ 3 2

x⁴dx x−1

演習問題

問題1  収束値を求めよ。

(1) 1− 1

2·2+ 1

3·2² − 1

4·2³ +· · · (2) 1− 1 3!+ 1

5!− · · · (3) 1 + 1 2!+ 1

4!+· · · 問題2  次の不定積分を計算せよ。

(1)

∫

xsin(x²)dx (2)

∫

(x²+ 1)²dx (3)

∫ 1

−1

(|x| −x)²dx 問題3  次の関数の定積分を求めよ。

(1)

∫ 3 2

x²cosxdx (2)

∫ ^√3

√2

e^−1x

x² dx (3)

∫ ^√₂³

1 2

√ x

1−x²dx (4)

∫ 2 1

logx x dx

問題4  次の関数の（不）定積分を求めよ。

(1)

∫ ^π

4

0

e^xsinxdx (Hint:問題4-1-(2)) (2)

∫ dx

sinx (3)

∫ ^π

2

0

√1 + cosθ dθ (4)

∫ 1 0

x³dx x+ 1

1