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連立一次方程式の解の有無
連立1次方程式に は、
1. 解を持たないもの 2. 解が唯1組あるもの 3. 解が無限に た く さんあるもの の 3種類に 分かれる
例11.1
( x1−x2 = 0
−x1+x2 = 1 は解を持たない。
n個の 未知数x1, . . . , xnに 関するm個の 方程式
a11x1+. . .+a1nxn = c1
: :
am1x1+. . .+amnxn = cm
(10)
の 解を求めてみよう 。aijとcjを並べた 行列
a11 . . . a1n
: :
am1 . . . amn
c1
: cm
は拡大係数行列と呼ばれる。係数行列A=
a11 . . . a1n
: :
am1 . . . amn
を考え る と、拡大係数行列はAに 1列を加え た だけ なの で、簡約形に する事で、
そ の ランクはrank(A)かrank(A) + 1の ど ちらかに なる。拡大係数行列 の ランクがrank(A) + 1の とき は、行基本変形の 結果
a11 . . . a1n
: :
am1 . . . amn
c1
: cm
−→ S B O O
D F
!
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の 形に かけ 、rank(A) =rとかく とき 、Sはr個の 零ベクトルでない行 からなっ ている。D は r×1行列 （r次元縦ベクトル）で あり、F は (m−r)×1行列（m−r次元縦ベクトル）で
F=
1 0 : 0
の 形をし ている。こ の 拡大係数行列の r+ 1行目に 対応する方程式は 0·x1+. . .+ 0·xn= 1
の 形に なり、こ の 方程式は解を持た ない事が分かる。し た がっ て、考え ている方程式(10)は
拡大係数行列と係数行列の ランクが等し いとき だけ 解がある という 事が分かる。
11.1 任意 性のある 解
先程の 拡大係数行列を (A | c) と書く こ とに し よう 。rank(A |c) = rank(A) + 1の とき に は方程式(10)は解を持た なかっ た。rank(A|c) = rank(A)の とき を考え よう 。
１）rank(A)≤nであるが、最初に rank(A) =nの とき を考え る。こ の とき 、m≥nとなるが、Aは基本変形に より、簡約形
En
Om−n,n
!
となり、し たがっ て行基本変形の 組合せ の m次の 正則な行列Pがとれて P Ax= En
Om−n,n
!
x=Pc= c0 0
!
こ こ で、c0はn次元縦ベクトルで、0はm−n次元の 零ベクトル（縦 ベクトル）である。（rank(A|c) = rank(A)だから。）し た がっ て
x=c0 42
が成り立っ ており、こ の とき は解が唯一組決まる。
２ ）n >rank(A)の とき 。こ の とき は、簡約形に し た とき の 主成分に 対応する以外の xi達に 、任意に 値を与え る毎に 解が一組づ つ決まる。こ の よう に 、拡大係数行列を簡約形に する事で、方程式を解く 事ができ る。
例11.2
x−2y+z = 1 x+y+ 2z = 0 3x−3y+ 4z = 2 を解く 事を考え る。
1 −2 1 1 1 2 3 −3 4
1 0 2
−→
1 −2 1 0 3 1 0 3 1
1
−1
−1
−→
1 −2 1 0 3 1 0 0 0
1
−1 0
−→
1 −2 1 0 1 13
0 0 0
1
−13
0
−→
1 0 53
0 1 13
0 0 0
1 3
−13
0
となり、拡大係数行列の ランクと係数行列の ランクが等し く 2 で ある。
また 、主成分に 対応する変数は x, yなの で、z=tとおく と、
x y z
=
1 3
−13
0
+t
−53
−13
1
が解に なる。
11.2 同次方程式
連立一次方程式(10)で 、すべての i に ついてci = 0 となるもの を 同次方程式と呼ぶ。こ の 方程式は xi = 0, 1≤ i≤ nを自明に 解とし て持つが、そ れ以外に 解があるかど う かを調べよう 。先程調べたよう に 、 rank(A) =nの とき 基本変形に よりxi= 0がすべての iに ついてでてく るの で、(c0=0である)こ の とき は自明な解し かない。
rank(A)< nならば、基本変形で簡約形に し た とき 、主成分が1とな る行ベクトルがrank(A)個現れ、こ れ以外に 対応する変数は自由に 取っ て解が作れる。
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例11.3
(x+ay = 0
x+y = 0 (aは実数) を解こ う 。
1 a 1 1
!
−→ 1 a 0 1−a
!
なの で 、a 6= 1 の とき は係数行列の 簡約形は E2 に なる。こ の とき は x=y= 0の 自明な解し かない。
a= 1の とき は係数行列の ランクが1に なり、x=−yならば何でも 解に なる。
練習11.1 次の 連立方程式は解を持つか。持つ場合は解を求めよ。た だ し 、pは実数とする。（(2)は 第５章演習問題[1], (3)）
(1)
x1 +2x2 = 4
x1 +x2 = 3
x1 +3x3 = 5
(2)
x1 +x2 +x3 = 0 x1 +px2 +x3 = 0
px1 +x2 = 0
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