第 講：確率変数離散の場合
確率変数：例１ 例 規則正しいさいころを投げるとき
出た目の数 確率変数
の性質 確率分布 によって定められる
確率変数：例２ 例 患者の到着数 一日にある診療所を訪問する患者の人 数を考えるとき
患者の人数 確率変数 の確率分布：
取り得る値の確率
確率分布になるための条件
離散型確率変数・分布 離散型確率変数 ： 高々 可算個の値を取る
離散型確率分布
ただし、
期待値と分散 定義 離散型確率分布
期待値平均
分散
モーメント母関数 次のモーメント積率
モーメント母関数
定理 任意の に対して
すなわち、
一様分布 正の整数 に対し、
期待値
分散
一様分布の例 正しいさいころを投げる場合
ベルヌーイ分布 ある に対し
期待値
分散
積率母関数：
ベルヌーイ分布の例 例 コインを投げる場合
例 癌患者が一年後の生存を観察する場合
生存
死亡
二項分布 整数 ! また に対して
"
""
記号： #
積率母関数：
次の恒等式に注意
二項分布 （つづき）
二項分布 # の期待値と分散 期待値
分散
期待値についての証明
"
""
"
""
二項分布の例
コインを 回投げる場合
表の出る回数 #
人の癌患者がいる。全ての患者の生存する確率 で ある。
一年後の生存者数 #
ポアソン分布 整数 に対して
"
ただし、
記号： $
積率母関数：
次の展開式
"
"
"
より
が得られる
ポアソン分布 つづき ポアソン分布 $ に対して
期待値 分散
期待値の証明：
"
"
"
ポアソン分布の導出 大量の観測における珍しい現象の起きる回数 が近似的に ポアソン分布に従う。
観測の数
現象の起きる確率 現象の起きる回数
#
期待値 が一定のとき
"
ポアソン分布の導出つづき
に注意して、二項確率の極限を計算する
"
""
"
"
"
"
すなわち
"
ポアソン分布の例 次の確率変数の分布をポアソン分布で近似できる
ある都市の１日における交通事故数
世界中１日の%&'%（重症急性呼吸器症候群）感染者数
#%( 牛海綿状脳症 に感染する牛の数
超幾何分布
赤玉 個! 白玉 個
計 個の玉から 個を同時に取り出す その中に含まれる赤玉の数を とすると
ただし、
平均：
分散：
幾何分布
表のでる確率 裏のでる確率
最初に表がでるまでコインを投げ続ける。投げた回数 を とすると
平均：
分散：
積率母関数： )*
負の二項分布
表のでる確率 裏のでる確率
回目の表がでるまでコインを投げ続ける。裏の出た 回数を とすると
平均：
分散：
積率母関数： )*
負の二項分布の例 開発中の新しい薬を患者に投与して、死亡にいたる確 率を とする
人の死亡が観測されるまで、薬の投与を続ける 生き延びた患者数 は負の二項分布に従う。
