数学の活用能力を高めるための指導について

藤 原 重 幸

1. ま え が き

今 日の数学教育の一般的傾向として,高等数学の平易化 と抽象数学の実用化 とい う二面が あげ られる.とりわけ解析学にはその色彩が強い.徴積分学は研究手法では正統形式 と厳密 理論の根強いものがあるが,教育上は年令段階に応 じた多様な指導方法が工夫 されている.

初等解析学を主軸 とす る高専の数学教育において,指導対象の学力変化に伴い,在来の指 導形式の持続困難なることが種々の場で論 じられるようになった.筆者はさきにこのことの 現状を分析し,指導改善の一方法 として ｢活用態度を重視す る｣ことをとりあげた.

本稿でははじめに数学教育研究の立場を明らかにし,次に今 日の初等解析学の指導体系の 成立をたどり,高専数学教育の特質を探 る,続いて ｢活用能力を高めるための指導｣として 高専

3

2 .

2 ‑1

近年,数学に関係す る研究者の数が増加し,研究分野も多様になった.大き く分類 して

i )

i i )

i i i )

数理の研究内容は細分化,専門化す る慣向にあるが,その反面関連分野の包括的な理解が な くては専門域の新開拓はもはや望めないとの認識 も現われている.

多 くの数学理論は具体的な応用上の問題か ら発生 したが,後には抽象の世界を独 り歩 くよ うになった.数学を活用すること自体に無関心な数学者の数は多いが,時代を先行 しすぎて いる数理を科学一般に役立てる工夫にとりくむ ことは大いに意味がある.

数学史などに関する研究は文化的考察で数学を見なおす ことであ り,最近重要性が認識 さ れだした.科学史の一環 として文化形態での主要行動形式 として意義づけ られる.

現在,数学は学校教育の中で基礎的教科として扱われ る.教育の著しい普及 とともにそれ にたず さある教授者の集団が指導方法の組織的考究に向 うようになった.数学教育は今や多 事の時代に入 り,その研究の中にも種 々の憤向が現われている.大 きく分けてみると,

①教育課程論 (参教材 ･教授方法 ③評価 ･測定方法 ④その他一般

情報処理の発達から,説得力のある研究発表の形は何 らかの数量化を求め られる.本来的

* 昭和

52

8

59

3

8

60

**一般科数学 教授

原稿受付 昭和5

3

9

3 0

72

9

には教育の評価は長期的なものであるはず だが,指導 とい う試行では条件を設定 し,空間的 時間的な拘束 の下に閉 じた実験行為 として反応が観察され る.検査は周到に対象集団の実態 を多角的にとらえるよう計画 され る.効果測定がテス トでは困難な とき,意識や認識の内面 探査に誘導式設問のアンケー ト調査形式が とられ る.さらにユニー クな内面実態の把握には 項 目設定の レポー トや 自由論文形式が用い られ る. これ らの長短を相補 して指導を評価す る.

2 ‑2

戦前の数学教育では,小学校で算術,中等学校で代数 ･幾何 ･三角法,高等学校でさらに 解析幾何 ･徴積分が加えられた.徽積分学が難解 ととられたのは授業そのものが

8‑

( 1 9 20

( 1 93 0

解析学の指導啓発に大 きく影響 した ものに ｢解析概論 (高木貞治)｣があ り, 大学の教科 書になった. ｢数分積分学 (藤原松三郎)｣ は解析学事典式面 目で学習者に迎え られた. 高 校教科書では ｢高等徴分学,積分学 (竹内端三)｣が類書をしの ぐ王座にあった. 竹内端三 の解析学全般‑の幾多の 著書は重版の記録を作 った. ｢高等数学概要 (掛谷宗一)｣ は解析 入門として広 まった. ｢高等教科微分積分学 (末綱恕一 ･荒又秀夫)｣ の登場は戦時中, 理 工系数学重視の中に 平易普及を 日ざした良書であった. ｢初等数分積分学 (渡辺孫一郎)｣

は工業実用数学の先駆的教科書 として長期にわた り影響を及ぼ した.

戦後の数学教育では,倣積分教育が新制高校で ｢解析｣の名でスター トした.伝統数学の パターンを踏襲 しつつ平易普及化する努力が続け られ,おちついた形が高校では直観主義的 倣積分入門を‑早 く果 し,大学で厳密理論的解析学を学ばせる方式が とられ現在に及んでい る.世界的傾向として数学教育の現代化が進め られてきた.教育課程の改訂は屡 々行われ, 内容の平易化や指導力点の移動はあったが,微積分に関 しては内容的には今 も昔 も変 ってい ないとす る見方が多い.教育技術の進歩 とそれを支える多数編者の教科書の多様性は日をみ は るものがある.これ らを上記 の戦前教科書のアレンジと見 るほど数学教育の伝統は根強い.

解析学の中では ｢数分方程式

｣

解析学教育に著 しい変化の様相が現われたのは,世界的には60年代か らである. ｢解析入 門

( S .

｣

( E.E.

,

られた.今 日の数学教育では ｢数学的,総合的｣なとらえ方が重視 され るようになってきた.

高等数学でも系統に固執 しない学習が広まる兆 しである.

2 ‑3

高専の数学教育は特色をもつものである.端的にい って,かつてない低年令へ高等数学を 広める画期的な教育 として,実用数学をいかに短期間に系統的に指導す るかの課題をも提供 した.高専数学は一つの完成教育をね らう所に特質を発揮す る要因があ り,極度に時間をき りつめた能率主義 と総花式の指導形体をとることになった.

1

筆者が考えた指導改善 の方法 とは ｢活用重視｣で編成 しなおす ことであった.内容に多少 のむずか しきはあっても具体性 とくに応用 との関連があれば,興味 と意欲はつなぎとめ うる.

まず導入時の工夫が指導の最大の関心事であってよい.あ とは適切な事例で平易化 と実用化 で未知の分野‑広げることができれば,,意欲ある学習は可能である.活用は実際面 と数理論 の構成へ と及ぼされれば有意義である.さらに史実などを通 してその数学の発展の姿 と位置 をた どり知ることができれば,立体的な修得ができることになる.

3 .

( 1 )

微分方程式 の理論は解析学の中ではまとまりのよい部門 として,普通他 と区分 して教 え.ら れ る.反面,教育体系が定着していて形式的に扱われることも多い.塾を羅列 し抽象的解法 の理論に偏 した り,計算技術にのみ終始す るなど,学習意欲を起す ような具体性 のある内容 提起が忘れ られがちである.ここでは計算上の基本事項はなるべ く簡潔にして主眼を活用に お く指導で学習の効果をあげたい.要点を示す と

(1)微分方程式を作 る段階における基礎的事項 と思考の仕方をつかむ.図形 ･物理 ･化学 ･ 工学の法則を微分法則 として とらえる能力を養 う.

( 2 )

( 3 )

3 ‑1

① 微分方程式についての諸定義 常微分方程式,正規形,偏微分方程式,かんたんな実 例,式を導 く,解の意味

7 4

9

②

1

@ 2

( 2 )

① 1

,2

② 連立と高階方程式の誘導 連結振動系や連鎖化学反応か ら連立方程式が導かれ,その 解法が高階方程式‑ と発展する.問題提起のみ,続 く数学理論構成の前座 とする.

③ 物理数学の方程式の誘導 電信 ･波動 (弦 ･膜の振動)熱伝導など2階偏数分方程式 の立式を行 う.初期値 ･境界値問題の提起のみを扱 う.解法には至 らない.

( 3 )

①

2

② 連立方程式の理論 代数方程式同様に連立徽分方程式の解法を未知関数を消去す る方 法で高階方程式に帰着させる. 1階定係数の連立系を演算子法の線形代数的手法で解 く 変係数対称形連立方程式の積分の解法.

③ 偏数分方程式の解法理論

1

線形

1

( 4 )

① 常微分方程式の成立 線形理論の発展過程,正規形の意味, 1階一般化としての完全 形 と積分因子,統一理論化の リッカチ,特異解のクレー p‑,解の存在定理のコ‑シー

とピカールの方法,逐次近似解法など.

@ 偏数分方程式の成立 特有方程式の意義,ダランベール, 7‑ リェの方法の画期的意 義,統一理論の建設が重要テーマ,他の数学 と結び現代数学の発展を刺激する.

3 ‑2

この指導は

3

1

( E

40

5 0

2 0 ,1 0 ,1 0 ,

1 0

①

1

②

2

③ 実際問題か ら理論構成に入ることは学習能率はよくないが,内容にイメージが画けて問 題意識がはっきりす る.創造性をひき出す点でプラス面は大きい.

④ 微分方程式を解 くことだけに主眼をおかないで, 自然法則を微分法則でとらえる態度 と その解法が系統的に処理できるのが線形の場合であることに気づかせ る.

⑤ 微分方程式を広い立場か ら見ることは徽積分学の場合 よりさらに稀である.発展の流れ を大 き くつかみ,直接に証明しえな くても重要定理 の存在意義を知 らせる.

⑥ 人間の思考は演算子のような機枕的操作をみつけて見事に処理できる.微分演算子

D

概 して,活用上

2

3 ‑3

1

1

5

① ㊥テス ト (1階常飲分方程式

4 5

5

) ( x‑y) y' +( X+y) ‑

⑦正規形にせ よ

①y‑xu

x,

2) x y' + y‑4 x( 1 +

⑳一般解

㊧x‑1

y‑4

(結果) 成就率

㊦9 0 % ①6 1 % ⑳4 1 %

5 8

4 3 %)

⑧6 5 % ㊧4 7 %

61 % ( 〝 5 0 %)

② ⑤テス ト

(2

6 0

5

yH‑5 y' +6 y‑0

⑦特性方程式 ①一般解

⑳y( 0 ) ‑2 ,y' ( 0 ) ‑5

間2) y H l2 y' +2 y‑e 3 X+( 6 x' ･ +4 x+2 )

⑳左辺

‑ C3X

⑳左辺

‑6 x ² +4 x+2

9 8 % ①9 8 % ⑳7 9 %

8 8

8 0 %)

⑧8 3 % ⑳8 0 %

6 3 %

7 4 % ( 〝 6 0 %)

③ ⑥テス ト

(1,2

5 0

5

(問 1) 放射性元素が崩壊す るとき単位時間に崩壊す る原子の数はそのとき存在す る原子 の数

N

1 ( > 0)

㊦時間 tの関数

N‑N ( i )

N( 0 ) ‑N oとして N( i )

⑦

l l

1 4 )

,5 7 6 0

(問

2)

1 m)

h

⑳流出開始後 t砂時の水深

h(

)

t , i +At

t ,h,At ,Ah‑h( i +At ) ‑h(

) ,

⑳ i ‑O

h‑5 ( m)

h‑h( i )

(結果) 成就率

⑳8 6 % ①7 7 %

8 2

7 3 %)

⑧5 3 % ㊧41 % 計 4 7 % ( 〝 4 3 %)

④ ④テス ト (偏微分方程式,数学史

5 0

7

7 6

9

(問 1)

( x 2 ‑2 y) d x+( y 2 12 x) d y‑0

(問

2) 1

x z x ‑y z y ‑

, x‑1

2‑y 2

(結果) 問

1

8 2 %

7 0%) ,

2

4 2%

1 5 %)

⑤ ㊥テス ト (高階,連立理論

6 0

6

(問

1) y' ' ' ' ‑y

4

㊦左辺

‑0

y' ‑3 y+I ‑0 ,y‑Z ' +I

(結果) 問

1

⑳7 0 % ①68 %

6 9 %

5 8 %)

2

75%

5 8%)

概 して,計算力では

1

2

3 ‑4

学年末に ｢微分方程式を学んで｣と題するレ'ポー トを提出させる.指定内容の境目で配点 を定めて採点処理 したデータと主な意見をとりあげる.

① 採点処理

5

2

2

1

得 点

1 2 1 3 6 1 7 4 1 5 1 6 1 6

① l ⑳ l ㊤

1 . 2 8

(参 主な意見

5

2 0

1 0

3

U l:

U 2:

U8

U4.･微分方程式をや り数学の広 さを感 じる.数学の本当の面白さを嫌える.

U5:2

U 6

下位

L l

L 2:

L 8:

エl:数学史をや り自然法則が方程式に結びつ くことを知 り興味を感 じた.

L ^5:

L6:数学は現象や運動を数式で表わせ る点で面白いが,解法の多いのに閉 口す る.

概 して,学習態度の内面を特長的に とらえると,専門学科での盃要度が意欲を増す ことに 力があ る.授業内容にアクセン トをつけるいき方を した ことが理論を透明にできて数学理論 に向 う刺激 となった.また数学史 との関連が視野の拡大に好影響を与えた.

4 . 実 践例 ( 2 )

複素関数の理論は学習意義の不 明確 さと意欲の不安定 さにもかかわ らずお し進め られ るこ とが多 く指導内容 と形式の古典性 も手伝 って学習の実態は種 々の問題を提起 してい る.

関数を複素変数の範囲まで広げ る便益を数学理論上 のみでな く数学の適用面での有効性を も学習段階でとり入れ ることによって低学年学習での魅力を生 じさせたい.指導 目標 として

i )

i i )

i i i )

i v)

1) 複素数は数の概念 として抽象的であ り,実数の場合のように生活に密着 していない.

2)

3) 複素平面での図形的性質の把握で,初等幾何の学力不足が抵抗の理 由にな ってい る.

4)

5) 積分法学習が純数学的で抽象的であ る.留数利用の実積分計算までに息切れす る.

4 ‑1

複素数,複素平面,極形式, ド･モアプル定理,オイラー公式,複素関数, 1次関数

( 2 )

複素数の図形問題証明,微分方程式の解法‑利用,等角写像の物理 ･工学‑の適用

( 3 )

按素積分, コーシー積分定理,積分公式,展開式の誘導 と特異点,留数定理 (4) 数学史の導入

オイ ラーの諸公式 と記号, ガウスの複素平面 と複素数の代数学,代数学の基本定理の意義 コ‑シーの複素関数の諸定理

,CR

これ らの内容をふまえた実際授業の項 目と時間配分は次の通 りである.

㊥

( 1 5

①

( 20

⑥

( 1 5

指導の力点は⑤であ り㊥はその準備,⑥ ほ純数学的で学力的 ･時間的に習熟は望めない.

⑤の内容をさらに くわ しく分けて説明する.

① 正則関数について 関数の性質を微分演算主体で とらえることをね らう.

7 8

9

関数の極限値 ･連続性,正則 の定義,微分法

,CR

l og

@ 等角写像について 正則関数の性質を写像主体でとらえ応用に発展 させ る.

写像の諸定義,等角写像 とそれに よる徽小部分の変形の分解,正則関数の等角性条件, 初等関数に よる写像の復習 (zn,ezなど)

, 1

1

(2

, 2

,2

4‑2

指導対象は

3

4

( M,E,C

1 60

① 複素数への関心度で科に よる格差がある.

E

M,C

② @の段階で練習を多 くして複素数になれ させ ることが大事である.

③ 基本概念である初等関数は とくに一次関数において,㊥⑥の両方にわた り反復 して式 計算に親 しみ,円円対応を作図 (反転法

W

1 /

④

⑤ ⑥の内容は高程度で時間不足が 日立つが,それ以上に抽象性が大 きな抵抗であ る.

⑥ 数学史はあ らか じめ教材を用意 しておき随所で導入説明す る形をとる.

4‑3

学力の評価は対象全員に共通テス ト

2

(3

1

3

①第

1

60

M3 8 E4 2 C31

1 1 1

出題

4

, 1

24 ‑‑

㊦‑ 1を極形式になおせ ① この方程式を解け ⑳解を複素平面上に図示せよ

P ² ･ .1

W‑I( I ) ‑I /I+

㊥ l I i ‑o mf( o I ) ㊨ l a i mf( ‑ ･ ‑1 I )

1

⑳

f(

)

P 3

W‑I( I) ‑e z

⑳ e t ' i q i

◎ D :0≦Re z ≦

,0 ≦

≦2

⑳ I( I)

D

㊦正答率

88 . 3%

9 0 . 6%) ①81 . 1( 8 6.1 ) ⑳5 2 . 3( 7 2 . 3 )

㊥5 6 . 8 ( 5 6 . 8) ㊧29. 7 ( 35 . 7) ②4. 0 ( 2 6 . 3) ⑳1 3 . 5( 2 2 . 8 )

⑳6 9 . 4 ( 81 . 7) ⑳57. 7 ( 6 8 . 5) ⑳2 5 . 2 ( 4 4. 4)

②第

2

6 0

M3 7 E4 2 C32

1 1 1

6

2

,CR

Ql: ⑳

I z

≦1の W‑I+i

02

W‑I( I ) ‑I‑i / a+

㊥ Z平面の実軸を左か ら右‑点 Zが進む ときWの画 く像を図示せ よ

㊧ W平面の領域

l wl <1の原像を図示せ よ

08:

x ≦0, 0 ≦y ≦

uB + V 2 ≦1,0 ≦Vを与える

W‑e

⑳ Z平面の上半円CB)の

W‑1 +I / 1 ‑

⑳ Z平面の半帯状領域紬をW平面の(C)へ写像す る関数を求め よ

㊦正答率

5 8 . 6 %

6 3 . 1 %) ①3 2 . 4( 3 8 . 4)

⑳ 〝 4 9 . 5 ( 〝 6 3 . 2 ) ㊧3 2 . 4( 3 7 . 7 )

⑳ ･

V 1 9 . 8 ( J V 3 6 . 2 ) ⑳4 4 . 1( 4 4 . 9 )

Pl ,P

, P

0

Q2 ,0

合成 もかな りわかる.テス ト

P

7 0 %

P

①⑳ P

01 ‑

4 7 %

P ,Q

1

4 ‑4

学年末に ｢複素関数を学んで｣と題す る t'ポー トを提出させ,学習の方法,関心,活用の 態度,田難点な どを観察す る.

MECl 1 5

1:

2:1

上位の傾向 :視野の拡大, 1次関数写像,交流理論 ･流体力学な ど応用‑の関心

U 1

U ²

( C) U

U

( E) U

U 6

( M)

中位の傾向 :学習への疑問,新概念理解への抵抗,複素数に関心,写像の興味

M l

M 2

〃;写像の合成を考えることは思考の柔軟性のたんれんに役立つ

M4今 までの数学は複素数をさけていた.計算範囲が広ま り面倒だが便利になる ( E)

〟

( M) M

L

( C)

L2 複素数は計算の便利な道具にす ぎない. ｢虚｣の印象が強 く必要の実感がない

( C)

L

( E)

L

( E)

80

9

L ⁵

( M) L 6

( M)

以上を総 じて,低学年時の基礎学力の不足,図形の性質の理解不備に原因す る学習困難, 指導内容の高度化 と抽象性‑の抵抗,習熟態度の消極性がみ られた.物理 ･工学への応用が 一層具体的に扱われ ることの必要性,関数の深い理解が写像を通 してできた感激 もあ った.

教育課程の改訂に よって中学か ら三角比が除かれ,高校か ら複素平面が除かれている.そ の影響 もあって高専の教科書の中にも複素数のまとまった扱いは 1

, 2

CR

, 1

5 . あ と が き

この指導は

1976,77

1‑ 3

｢活用能力を高めるための指導｣の一環である.教育課程の標準の項 目に一応即 した適応で あ った.78年 3月に至 って高専教育課程改善調査会の報告が出て,従来の標準は もはや旧の ものとなった.新課程は最低限を与え各校の独 自性を認めているが,本稿で扱 った内容の大 部分は

4

高専の数学 も小 ･中 ･高校の教育課程改訂の関連で変容を求め られた といえる.かつての 高等数学が固いカラを脱 いで初等解析に生 まれ変わ った ように,さらに古 くなった皮を脱 ぐ ことになる.数学教育の 目ざす ｢活用能力をいかに高めるか｣は方法や鏡域をせ まくしない で,数理の発展や時代の文化の姿にも視野を向けて力点を見定める必要がある.

参 考 文 献

( 1 )

房 1 95 7 .

(2) 矢野健太郎 :微分方程式通論 東海書房

1 9 47

1 9 6 9 ).

( 3 )

版 1 9 5 9.

(4)コシリヤコフ他 :物理 ･工学における偏微分方程式 岩波召

店 1 97 4 ( 1 9 6 2

1 9 7 2.

(6) 長友治郎吉 :関数論と応用 損書

店 1 9 6 8.

( 7 )

1 9 6 9 ( 1 9 6 7

( 8 )

1 9 5 5.

( 9 )

店 1 95 5.

的 ルイプエコフ:数学史

( Ⅲ),( Ⅳ)

1 9 6 6 ( 1 96 0

店 1 97 2 .

的 藤原重串 ･宮下重敬 :数学の活用態度を重視する指導について 長野高専紀要第

6