特殊相対性理論特殊相対性理論

特殊相対性理論

マイケルソン・モーレーの実験（ 1887 ）

地球上の光速は光の進行方向に依存しなかった！

http://www.aip.org/history/exhibits/gap/PDF/michelson.pdf

2

2 



 



 

L L vc

v

Einstein1905 年論文

「運動物体の電気力学について」

http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/

Annalen der Physik 322, 891–921(1905)

誘導電流の起源①

 t

 





 B

E

N S

v

磁場が時間変化している空間には、

を満たす誘導電場が生じる

磁石がコイルに対して動く場合

F

E

誘導起電力

V

は、

d t dt

d

t d

d d

V

S S

S C





 









 



 







 























S B

B S

S E

r

E ( )

レンツの法則

（ストークスの定理）

（電磁誘導の法則）

誘導電流の起源②

B v

F  q 

N S

v

運動するコイル内の電荷には ローレンツ力

が働く

コイルが磁石に対して動く場合

F

d t dt

d

d d

d q d

V

S C

C C





 











































S B

S B

r v

B

r B

v r

F

秒間に掃く面 コイルが1

) (

) 1 (

誘導起電力

V

は、

レンツの法則

v dS dr

S

dS

B

（脱線）磁場は電荷に仕事しないはず ではなかったか？

B u

v

F  q (  ) 

N S

F

v v

B u F

_外力

  q 

実際の電荷の動き

B

導線が電荷を押す力

（仕事する）

実際に電荷に働く ローレンツ力

（仕事しない）

電荷を動かし

r

続けるにために必要な仕事

（導線が電荷を押す仕事）は単位時間あたり

板 板がボールを

押す力（仕事する）

垂直抗力（仕事しない）

u

v

u

実際のボールの動き

) (

) (

B v

u

B u

v F

v

















q

外力

q

ローレンツ力（の導線に平行な成分）が仕事をするように見える

（力学でのアナロジー）

アインシュタインが掲げた 2 つの仮説

（http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/ ） Annalen der Physik 322, 891–921(1905)

特殊相対性理論

•

物理法則はすべての慣性系に対して同じ形 で表される（相対性原理）

•

真空中の光の速さは光源の運動状態に無関 係である（光速不変の原理）

＜二つの基本原理＞

特殊相対性理論からの奇妙な帰結

•

ローレンツ収縮（動いている物の長さは縮む）

•

時間の遅れ（動いている時計は遅れる）

•

同時刻の相対性（２つの事象が同時かどうか は、観測者の運動に依存する）

•

質量の増大（質量とエネルギーの等価性）

すべて測定の仕方を定義して

はじめて理解できる。

（例）速さ v で動いている列車の長さを どのように測るか？

v

「列車に乗っている人に測ってもらう」

井の頭線って、どのく らい長いんだろう？

「列車と一緒に走りながら測る」

「列車が駅に止まっているすきに測る」

（相対論的に）正しい測定法その１

v v

0 0

時刻

t

₁^{に通過 時刻}

t

₂^に通過

（列車の長さ）＝ （速さ）×（通過時間）＝

v (t ₂ -t ₁ )

時計を持ってある地点で待ち構え、列車 の先端と後端が通過する時刻を測定する

（相対論的に）正しい測定法その２

v

私が後端を 見た！

（列車の長さ）＝ （先端の座標）ー（後端の座標）

全員が時計を持ち、線路上の様々な地点 で待ち構える。同時刻に列車の先端と後端 を見た観測者（の座標）を教えてもらう。

僕が先端を 見た！

同時刻における

二つの慣性系

x z

y

O x’

z’

y’

O’

v

S’ 系 S 系

S’

系は

S

系に対して

x

軸正の方向に速さ

v

で移動している

二つの慣性系（イメージ重視）

x z

y

O O’

v

井の頭線は我々（駒場キャンパス）に対して吉祥寺の方向 に速さ

v

で移動している

x’

z’

y’

渋谷方面 吉祥寺方面

北側

（駒場キャンパス）

南側

（たこやきみしま）

たこやきみしま 駒場キャンパス

（正門）

問題提起

• S

系において時刻

t

、位置

x

で起きた事象は、

S’

系においていつ

(t’)

どこで

(x’)

観測され るのだろうか？

 

 



 



 



 

 

 





t x D

C

B A

t x

' '

（

x, t

）から（

x’, t’

）への写像（一次変換行列）

の具体形が知りたい。

問題提起（イメージ重視）

•

駒場キャンパスにおいて時刻

t

、位置

x

で 起きた事象は、井の頭線に乗った人から 見たらいつ

(x’)

どこで

(t’)

観測されるのだ ろうか？

v

時刻t=3に位置x=10で光った

0 5 10

x

0 5 10

x’

時刻t’ =？に位置x’ =？で光った

我々の常識（ガリレイ変換）

 

 



 



 



 

 



 





t x v

t x

1 0

1 '

'

t t ' 

vt x

x '  

S

系と

S’

系には同じ 時間が流れている

S

系における

x=vt

の 線が、

S’

系における

x’= 0

の線

t

x t’

x’

x=vt

ガリレイ変換

速度のガリレイ変換

 

 



 

 



 



 



 



 

 



 





1 100 1

100 1

0 1 '

' v v

t x

t

x t’

x’

x=vt

ガリレイ変換

ボールの軌跡

v 100m/s

v v t

v x    



 

 100

1 100

電車に乗っている人から ボールを見ると…

1 2

0 100 200 300 3

遅く見える！

電磁波のガリレイ変換

) cos(

) ,

( x t  E

₀

kx   t E

マクスウェル方程式と矛盾！

t

x t’

x’

光の軌跡

v

電車に乗っている人から 電磁波を見ると

…

1 2

0 c 2c 3c

3

レーザー

 k x k t 

t

x , ) cos ( )

(    E

₀

    v E

S

系で見た電磁波

位相速度は

 





 



 



0 0

1





 c c k

S’

系で見た電磁波

ガリレイ変換

位相速度は

v   v

 c

k

 k

我々（ Einstein ）の目標

 

 



 



 



 

 

 





t x D

C

B A

t x

' '

相対性原理と光速不変の原理を同時に 満たすような、

S

系と

S’

系間の時空座標 の一次変換行列を新たに求める。

 

 



 

1 0

1 v

ガリレイ変換

準備：時間の単位の再定義

後の議論を簡単にするため、

1/c

秒を、あらためて

1

秒と定義し、光は

1

秒間に

1m

進むものとする。

（光速

c

^を

1m/

秒とする）

注）元の単位に戻るには、

t  ct ,

c v  v

と置き換えればよい

t

x

x=t

1 2 3 4

0 1 2 3 4

0

光の軌跡

なぜ一次変換か？





























2 2

2 2

' '

t xt

x Dt

Cx t

t xt

x Bt

Ax x













高次の項

1

次変換で表わせないと仮定すると、

S

系での光の軌跡は

t x 

S’

系での光の速さは

) , (

) , (

2 2

2 2

x t g D

C

x t f B

A t

txt x

Dt Ct

t xt

x Bt

At t

x







 



















 





















光速が位置と時刻に依存

→

光速度不変の原理と矛盾

ｙ軸、ｚ軸を考慮しなくてもよいのか？

（なぜ y’= y, z’= z としてよいのか？）

x z

y

O O’

v

z’

y’

x’

列車の高さ（

y

座標）は、どちらの系でも時間やｘ座標、ｚ座標 に依存しないだろう。しかし、 速度

v

には依存するかもしれな いので

y’= f(v) y

と仮定しよう。相対性原理より、

y = f(v)y’

も 成り立つので、

y’= (f (v))

²

y’

。 したがって

f(v) = 1

より

y = y’

。

条件 その１（光速不変の原理）

 

 







 

 

 



 



 



 

 

 





D C

B A

D C

B A

t x

1 1 '

'

S’

系での光速も１であるから

' 1

' 



 

D C

B A

t x

Ｓ系では時刻

t = 0

に位置

x = 0

より発せられた光 は、１秒後

(t = 1)

に位置

x = 1

に到達する。この現 象をＳ’系で観測すると、

 ① D

C B

A   



条件 その２（相対速度）

 

 



 

 

 



 



 



 

 

 





? 0 1

'

' v

D C

B A

t x

 ②

 0



 Av B

S’

系の原点（

x’= 0

）は、

S

系から見て速度

v

で動いて いる。したがって、Ｓ系の時空座標

(x, t) = (v, 1)

の

S’

系における

x’

座標は０である（

t’

座標は不明）

x z

y

O x’

z’

y’

O’

S’

系

v

S

系

反対側（たこやき みしま）から見ると

x

z y

x’ O

z’

y’

O’

v ^S’

^系

^S

^系

更に

x, x’

軸の正の向きを逆に

定義すると

x z

y

O

x’

z’

y’

O’

v

S’

系

S

系

x, x’

軸の正の向きを逆に 定義すると、

S

系と

S’

系の 立場が入れ替わる！

見方を変える

吉祥寺

渋谷 渋谷

吉祥寺

渋谷 吉祥寺

条件 その３（相対性原理）

 

 



 



 



 

 

 





t x D

C

B A

t x

' '

S’

系が

S

系に対して

x

軸正の方向に速度

v

で移動 している状況は、

x, x’

軸の正の向きを逆に定義す れば、

S

系が

S’

系に対して

x’

軸正の方向に速度

v

で移動している状況とみなすこともできる。どちら の見方でも、相対性原理により、物理法則（つま り一次変換行列）は同じはずである。

 

 



 



 



 

 

 





' '

?

?

?

?

t x t

x

同じ

'

' x

x

x x









 

 



 



 



 

 

 





t x D

C

B A

t x

'

' 



 



 



 









 

 

 





' 1 '

t x A

C

B D

BC AD

t x

 

 



 



 









 

 

 





' 1 '

t x A

C

B D

BC t AD

x

 

 



 



 



 



 









 

 

 



 



 





' ' 1

0

0 1 1

1 0

0 1

t x A

C

B D

BC t AD

x

ここで

x, x’

軸の正の向きを逆に定義すると

 

 



 



 





 

 

 





' 1 '

t x A

C

B D

BC AD

t x

 

 





D C

B

A

③

 ① D C

B

A   

 ②

 0

 B Av

 ③

 

 



 

 

 





 C D

B A

A C

B D

BC AD

1

2

2 1

, 1

1

v

v    

 

 v

C B

D A

①、②、③より

 

 



 



 









 

 

 



 

t x v

v t v

x

1 1 1 '

'

2

１

以上、まとめると、

（相対速度で決まる条件）

（相対性原理）

（光速不変の原理）

ct ,

t  ,

c v  v

 

 



 



 









 

 

 





ct x c

v

c v c

ct v x

1 /

/ /

1

1 '

'

2 2

１

2 2

2 2 2

/ 1

' /

/ 1

'

c v

c vx t t

c v

vt x x



 



 

, ' ' ct t 

c v v '

' 

^{の置き換えをすると}

ローレンツ変換

2 2

2 2 2

/ 1

/ ' '

/ 1

' '

c v

c vx

t t

c v

vt x x



 



 

ローレンツ逆変換

現実（

SI

単位系）に戻ろう。

v

v  

ローレンツ収縮

2 2

/ 1  v c

ct

x ct’

x’

x=vt

1

2

3

1 2 3 4

S’

系で長さ

L

の物体は、

S

系では長さが

0

) (

/

1 v

²

c

²

L

L  

に見える

時間の遅れ

2 2

/ 1

1 c

 v

ct

x ct’

x’

1

2

3

1 2 3 4

S’

系の時間は、

S

系からみると 倍遅く流れて いるように見える

0

S’

系で

x’=0

にある フラッシュランプは、

S’

系の時計では

1

秒 おきに点灯。

1 2

3 1

2

S

系の時計では

秒おきに点灯。

) 1 ( /

1 1

2

2



 v c

) 1 ( /

1 1

2

2



 v c

質量の増加（相対論的質量）

それぞれの系で質量

m

₀ の球を速さ

u

（例えば

1m/s

で）

+y (-y’)

方向に運動して いるとする。衝突後、

S

系の球が

-y

方向に速さ

u

で運動したとすると、相対性原理よ り、

S’

系の球も、

S’

系で見れば

_+y’

方向に速さ

u

で運動する。

S’系 v S

系

y

x 

y

x

S’

系

v

S

系

y

x 

y

x S’

系

v

S

系

y

x 

y

x

コツン!

u u

しかし、

S

系から見ると、

S’

系の時計は 倍遅れているので、

S’

系の球は

y

軸方向の速さが で近づき、 で遠ざかるように見える。

2 2

/ 1

1 c

 v

2 2

/ 1 v c

u  u 1  v

²

/ c

²

S

系から見た、

S’

系の球の質量を

m

とすると、

S

系における運動量保存則より















^{2 2} ₀ ^{2 2}

0

u mu 1 v / c m u mu 1 v / c

m

（衝突前） （衝突前） ^{2 2}

0

/

1 v c

m m

 

ファインマン物理学Ⅰ「力学」

質量とエネルギーの等価性

2 2

0

/

1 v c

v mv m

p   

速度

v

で運動する粒子の運動量を次のように定義し、これがニュートンの運動方程式 に従うとする。

この粒子のエネルギーの変化

dE

^は、力

F

^{がこの粒子にした仕事}

Fdx

^{に等しいから}

dt F  dp

vdp dt dx

Fdx dp

dE   

2 0 2

2 0 2

2 4

2

0

vdp m

0

c p c m c mc m c

E  

^p

    

この粒子が元からエネルギー

m

₀

c

² （静止エネルギー）を持っていたと考えると、

mc 2

E 

したがって、この粒子のエネルギーは、両辺を積分して、次のように表せる。

電荷と質量の大きな違い

mc 2

E 

質量は保存しない！（質量素量などない）

陽子

2

個、中性子

2

個

ヘリウム原子の原子核

（陽子2個、中性子2個）

4.0004 u 4.0319 u

(u =

¹²

C/12 = 1.66x10

^-27

kg)

原子質量単位

(

質量はエネルギーの一形態

)

原子核の静電エネルギー

a U eZ

5 3 4

) (

0 2

  a  r

₀

A

^1/3

, r

₀

 1 . 2  10

^15

m

MeV 72

. 0 J

10 15

.

1

_1/3

2 13

3 / 1

2

A Z A

U  Z 

^



a

Z:

原子番号

A:

質量数

4

¹

H →

⁴

He + 2e + 25 MeV

235

U + n →

⁹¹

Sr +

¹⁴³

Xe + 2n + 200 MeV

ニュートン力学との関係

2 0 2

2 0 2 2

0

2 1

2 2 2

0 2

2 2

2 0

2 1 1 2

1 /

1

v m c

c m c v

m

c c v

m c

c v

mc m E



 



 



 



 

 



 

 







dt m d

c v

m dt

d dt

d

v

v F p

0

2 2

0

/ 1



 

 





 



相対論的運動方程式

相対論的エネルギー

ニュートン力学における運動方程式

c v 

ニュートン力学における運動エネルギー

c

v 

力の起源：電場 or 磁場？

 0



 

_



_



B

S 系

+ + + + + +

+ + + + + +

v

q v

F = q(v × B)

S' 系 ^I

+ + + + + +

+ + + + + +

-v

q

F’ = ?

 ?

 

 

 

_



_



狭義のローレンツ力

I

B

2 2

2

2

1 /

/ 1

c v

c v



 

 



^



_{ }



  



2 2

/ 1  v c

 

^



 

S

系では、自由電子は速度

v

で動いているので、自由電子の平均的間隔は 止まっている場合（

S’

系）の間隔の

1  v

²

/ c

² 倍にローレンツ収縮している

S’

系では、原子核は速度

v

で動いているので、原子核の平均的間隔は 止まっている場合（

S

系）の間隔の

1  v

²

/ c

² 倍にローレンツ収縮している

2 2

2 2

2 2

2

2

1 /

/ / 1

/

1 v c

c c v

v c

v    

 

 

 

 

_



_



^



_



_



従って、

ローレンツ収縮による導線の帯電

S’

系では、導線は正に帯電！

力の起源：電場 or 磁場？

 0



 

_



_



S 系

+ + + + + +

+ + + + + +

v

q v

S' 系 ^I

+ + + + + +

+ + + + + +

-v

q

B

2 2

c v







   

    



r

r

r

qv I r

A

q E q e e

F 







2 2

0 0

 

 

 

r

r

A e E

2 

0

 ^

 

r

r

qv I

q v B e

F 

 ) 2

(  

⁰



起源は磁場 起源は電場





 e

B r

I 2



0

I

時空距離（インタバル）

2 2

2 2

2 ( ct ) x y z

s    

http://en.wikipedia.org/wiki/File:World_line.png

時空距離はローレンツ不変量（どの慣性系から見ても同じ値を持つ）

2

 0 s

 0 s

 0 s

 0 s

 0 s

2

 0

s

固有時（ローレンツ不変量）

2 2

2 2

2

( cdt ) ( dx ) ( cdt ) ( vdt )

s    

http://homepage2.nifty.com/einstein/contents/relativity /contents/relativity216.html

動いている時計のインタバル

時計と共に動いている系からみたインタバル

2 2

2

2

( cd  ) ( d x ) ( cd  )

s     

インタバルはローレンツ不変量なので

2 2

2 2

2

/ 1

) (

) (

) (

c v

dt d

vdt cdt

cd















固有時間（ローレンツ不変量）

dt

dx

dt d 

のびるミューオンの寿命

2 2

2 2

1 / 200

1 /

d dt c dt d d

c

       

v 

静止したミューオンの寿命（

2.2μs

）

v

地上で観測される寿命

0.99999 ) c



(v

ユークリッド空間とミンコフスキー空間

 

 



 



 





 

 

 









y x y

x









cos sin

sin

cos 



 



 



 









 

 

 



 

t x v

v t v

x

1 1

1 1

2

t

x t’

x’

O

y

x y’

x’

O

ユークリッド空間における座標変換 ミンコフスキー空間における座標変換

2 2

2

2

y x y

x     

^{空間距離不変}

t 

²

 x 

²

 t

²

 x

^{2 時空距離不変}

（

c = 1

とする）

幅（ width ）と奥行き（ depth ）

t

x t’

x’

O

y

x y’

x’

O

ユークリッド空間 ミンコフスキー空間

幅や奥行きは基本的な量ではない

（見ている角度に依存する）

S

系：幅

1

、奥行き

2 S’

系：幅

1.5

、奥行き

2.3

（c = 1とする）

S

系

S

系

S

系：存在した空間の幅

1

、持続時間

2 S’

系：存在した空間の幅

2.3

、持続時間

3

空間や時間は基本的な量ではない

（見ている速度に依存する）

スカラープロダクト（座標に依存しない量）

t

O x y

O x

ユークリッド空間 ミンコフスキー空間 （

c = 1

とする）

z z y

y x

x t

t

b a b a b a b

a b

a b

a

^{ }

 

^{'  }

   

z z y

y x

x

b a b a b

a b

a b

a

^{ }

 

^{ }

  

アインシュタインの縮約（同じ添え字が現れたら、

すべての成分について和を取る）

a

b

a

b

２次元ユークリッド空間における スカラーとベクトル

ベクトル：座標変換と同じ変換規則に従う多成分量 スカラー：座標系に依存しない（１成分）量

S

系

スカラー（場）の例：

•標高（山頂Pの標高は、S系でみてもS’系

でみても同じ）

•

距離（

PQ

間の距離は、

S

系でみても

S’

系 でみても同じ

•

質量（山頂

P

にいる人の質量は、

S

系でみ てもS’系でみても同じ）

P

S

系

Q

ベクトル（場）の例：

•

勾配（点

Q

における重力ポテンシャルの勾配の ｘ成分、ｙ成分は、座標と同じ変換規則に従う）

•速度ベクトル（点Qにあるボールの速度ベクト

ルのｘ成分、ｙ成分は、座標と同じ変換規則に従 う）

Q

ミンコフスキー空間における スカラーと４元ベクトル

４元ベクトル：座標変換と同じ変換規則に従う４成分量 スカラー：座標系に依存しない（１成分）量

S

系

スカラーの例：

・時空距離

(

インタバル

)

・固有時

・静止質量（４元運動量の絶対値）

・波の位相（４元位置ベクトルと４元波数ベ クトルのスカラープロダクト）

m

₀

S

系

Q

ベクトルの例：

・４元位置ベクトル

・４元速度ベクトル

・４元運動量（４元波数ベクトル）

・４元電流密度

・４元ポテンシャル（電磁ポテンシャル）

s

4 元速度と４元運動量

) , , , (

) ,

( ct r  ct x y z

) ,

, ,

( )

,

( cdt d r  cdt dx dy dz

物体の時空座標（４元ベクトル）

物体の時空座標の変化（４元ベクトル）

S

系

r ct

物体の４元速度ベクトル ^{固有時（スカラー）で}

割る

2 2

/

1 v c

dt

d   

) ,

, ,

( /

1 , 1

2

2 c v x v y v z

c d v

d d

c dt

 

 

 









r

静止質量

m

₀（スカラー）

物体の４元運動量ベクトル をかける

m

0

 

 



 

 ( , , , ) , p

/

1 ^{2 2}

0

c v E

v v

c c

v m

z y

x

) , (

) , (

v r c

d cdt



運動量とエネルギー

（同じ実在の 2 つの側面）

) ,

(

, p mc m v c

E  



 



 



 





 

2 2

0

/

1 v c

m m

４元運動量ベクトル

４元運動量ベクトルの大きさの自乗（スカラー）

2 2 4

2 0 2

2 0 2

2 2

p c c

m E

c m c p

E     

S系 r ct

) , ( , p c v c

E  



 





cp E 

光子の場合 運動量とエネルギーの比例関係

v p

v

p ( , ) ₂

, c

c E c

E    



 



 v  c

0

 0

m

光子（電磁場）のエネルギーと運動量

光子放出後の箱の質量変化＝E/c² 光子放出後の箱の速度＝p/M

光子の飛行時間＝

L/c

箱の移動距離＝x=L/c×

p/M = Lp/cM

箱の重心変化がないとすると、

Mx=EL/c

²

c

2

c

p E S

g 





したがって、

S

^{：エネルギー流}

（

Poynting

ベクトル）

g

^{：運動量密度}

E

E

E

E E

反陽子生成エネルギーの計算

) ,

(

) 0 , (

) ,

(

c c c

b

a a

a

E p

M p

E p





















p p







c a

c a

c b

a

p p E M E p p

p _

^

 _

^

 _

^



^

 

^

,

^



^

M

M 4M

M 4

2 2

2 2

2 2

2 2

) (

) (

16 )

( )

( 16

M p

E M

p p

p p

M p

E M

p p p

p

a a

a a

a a

c c

c c c

c





















































４元運動量保存則（エネルギー保存則＋運動量保存則）より

４元運動量の大きさは静止質量（スカラー）なので

) 0 , 4 (

) , (

) ,

(

M p

E p

E p

c

b b b

a a a













p p

代入

p

^{a’ を消去すると、}

M E

M E

M M

E ^a ) ( ^a ) 16 ^a 7

( ^  ²  ²  ^{ 2}  ²  ^ 

given given

代入

M

M The Feynman lectures on

Physics, volume II, 25-2

光の縦ドップラー効果



 

 E

p E

2 2

1 '

1 '

v vp E E

v vE p p



 



 

 

 

v v v

v



 



 

1 1 1

' 2

４元運動量ベクトルのローレンツ変換（

c =1

）

 kv



 



    ^



 

   k  c SI

単位系に戻ると





 _



 

  

 

 

c v c

v c

v 1

/ 1

/ ' 1

cf.

音のドップラー効果





音源 観測者

v V

v V



  '

V

^：音速

2005 年東大 2 次試験物理

Rb 原子のレーザー冷却＠鳥井研

4cm 10

¹⁰

Rb atoms

＜100μK

輻射圧：光子吸収による運動量変化

E   

L

p   k

k p  

光子 原子

基底状態 励起状態



A



(共鳴条件）のとき

A L



 

原子は励起状態になり、反跳運動量

p = k

を受ける

ドップラー冷却の原理



^A

 

^{L }

   

^{LL }

レーザー光 原子 レーザー光



^

　 

^L

v

^{輻射圧　大}

輻射圧　小

周波数 吸収の強さ

周波数が原子の共鳴よりわずかに低い レーザー光を左右から照射する

ドップラー効果によって、対向するレーザー光 からの輻射圧をより強く受ける

原子は減速される（ドップラー冷却）

 kv

 

 kv



 

４次元（ミンコフスキー空間）における ベクトル演算

The Feynman Lectures on Physics, Vol.II, 25-8

加速度系（重力場中）における時間の 遅れ（重力の赤方偏移）

0 1 gH 2

   ^   c ^ 

 

0 2 2

0

1 /

1 /

(1 / ) c

c c

 



 



 

v v v

ドップラー効果（特殊相対論）より

等価原理

（一般相対論）より

a t aH

   c v

a  g

加速度:a 間隔：

H

B

から見た

A

の相対速度

高い場所の時計は速く進む！

光格子時計（未来の１秒の定義？）

http://www.jsps.go.jp/j-grantsinaid/31_result/rikou/41_katori.html

ストロンチウム原子の磁気光学トラップ

発明者の香取さん＠東大物工

本郷と小金井の時間の進みの違い

0

gH

2

2 3 Hz

  c 

   

http://www.nict.go.jp/press/2011/08/04-1.html

100分de名著 アインシュタイン『相対性理論』 2012年11月（NHK出版） より抜粋