相対性理論

岩手大学理工学部 2021年度 現代物理学１集中講義（後半） 2022年2月16-19日

http://www.oit.ac.jp/is/shinkai/

真貝寿明（しんかい ひさあき） 

 大阪工業大学 情報科学部 教授   武庫川女子大学 非常勤講師   理化学研究所 客員研究員

相対性理論  

アインシュタインはどこまで正しいのか 

１．序論 

２．特殊相対性理論 

  時間の進み方は観測者によって異なる    E=mc 2 ，原子核反応，星の一生 

３．一般相対性理論 

  時間の進み方は重力によって異なる    ブラックホール，重力波

干渉計  GPS 

光格子時計

 一般相対性理論（1915年）

重力の正体は，空間の性質だ

空間のゆがみが  重力の正体だ

アインシュタイン曲率テンソル 

＜空間の歪み＞

エネルギー運動量テンソル 

＜モノの分布＞

空間の曲がりがモノの運動を決める  モノがあると空間が曲がる

一般相対性理論(1915年）

発端： 

1905年の相対性理論では，加速度を扱えなかった． 

加速度の正体は何だろうか？ 

加速度を生じさせる重力とは何だろうか？ 

ブレークスルー： 

エレベータの自由落下で重力が消せる！ 

だけど，地球の大きさのエレベータでは消せない． 

アインシュタインの結論： 

重力の正体は時空の歪みである． 

岩手大集中講義 現代物理学１（後半）「相対性理論」  2022/2   真貝寿明（大阪工業大学）

4

Einstein方程式を解く ＝ 時空の計量を決めること

(1) 時空の対称性を決める（変数を決める） 

(2) 物質の種類・構成・配置を決める  (3) 境界条件を決める

(1) 球対称・静的 

(2) 真空，1点だけ質量  (3) 漸近的平坦

(1) 球対称 

(2) p=p(rho) 

(3) 一様等方的時空構造

Schwarzschild解 

（ブラックホール解）

Freedman解 

（膨張宇宙解）

球対称の牛アプローチ【物理屋の思考回路】

「乳牛の乳の生産量を増やすにはどうしたらよいか」

（物理学者）「まず，球対称の牛がいた，と考えよう」

Lesson 1  

円筒対称の牛アプローチ【物理屋の思考回路】

「乳牛の乳の生産量を増やすにはどうしたらよいか」

「次に，円筒対称の牛がいた，と考えよう」

Lesson 1  

○○対称の牛アプローチ【時空】

「乳牛の乳の生産量を増やすにはどうしたらよいか」

「まず，球対称の牛がいた，と考えよう」

「次に，円筒対称の牛がいた，と考えよう」

「次に，面対称の牛がいた，と考えよう」

「次に，軸対称の牛がいた，と考えよう」

ブラックホール解 いろいろ

Schwarzschild (1916) 

球対称，真空でのEinstein方程式の厳密解

電荷なし 電荷あり

宇宙項なし Schwarzschild  1916

Reissner-Nordstrom  1916, 1918

宇宙項あり Sch-de Sitter 

(Kottler) 1918 RN-de Sitter

Kerr (1963) 

軸対称，真空でのEinstein方程式の厳密解

電荷なし 電荷あり

宇宙項なし Kerr 

1963

Kerr-Newman  1963

宇宙項あり Kerr-de Sitter KN-de Sitter

ds 2 = r

⇤⇥ 2 [dt a sin 2 d⇥] 2 + ⇤

r

dr 2 + ⇤

d 2 + sin 2

⇤⇥ 2 [(r 2 + a 2 )d⇥ adt] 2

r = r 2 2M r + a 2 + Q 2 1

3 ⇥r 2 (r 2 + a 2 ),

= 1 + ⇥

3 a 2 cos 2 ,

⌅ = r 2 + a 2 cos 2 ,

⇤ = 1 + ⇥

3 a 2 .

Schwarzschild (1916)

Reissner- Nordstrom

Sch-de Sitter RN-de Sitter

Kerr

(1963) Kerr-Newman

Weyl

(1919)

Tomimatsu-

Sato (1974)

Schwarzschild (1916)

Reissner- Nordstrom

Sch-de Sitter RN-de Sitter

Kerr

(1963) Kerr-Newman

Weyl (1919) Tomimatsu- Sato (1974)

Majumdar- Papapetrou

(1947)

Kastor- Traschen

(1993)

ds 2 = dt 2

⇥ 2 + a 2 (t)⇥ 2 (dx 2 + dy 2 + dz 2 )

⇥ = 1 +

i

M i ar i r i = ⇥

(x x i ) 2 + (y y i ) 2 + (z z i ) 2 a(t) = e Ht , H = ±

⇤

3

○○対称の牛アプローチ【時空】

「乳牛の乳の生産量を増やすにはどうしたらよいか」

「まず，球対称の牛がいた，と考えよう」

「次に，円筒対称の牛がいた，と考えよう」

「次に，面対称の牛がいた，と考えよう」

「次に，軸対称の牛がいた，と考えよう」

「次に，膨張している牛がいた，と考えよう」

「次に，歪んだ牛がいた，と考えよう」

「次に，帯電した牛がいた，と考えよう」

「次に，2頭の牛がいた，と考えよう」

岩手大学理工学部 2021年度 現代物理学１集中講義（後半） 2022年2月16-19日

http://www.oit.ac.jp/is/shinkai/

真貝寿明（しんかい ひさあき） 

 大阪工業大学 情報科学部 教授   武庫川女子大学 非常勤講師   理化学研究所 客員研究員

相対性理論  

アインシュタインはどこまで正しいのか 

１．序論 

２．特殊相対性理論 

  時間の進み方は観測者によって異なる    E=mc 2 ，原子核反応，星の一生 

３．一般相対性理論 

  時間の進み方は重力によって異なる    ブラックホール，重力波

干渉計  GPS 

光格子時計

アインシュタイン方程式の解   【シュワルツシルド解】

Schwarzschild (1916)

球対称，真空での方程式の厳密解

困ったことに，…… 

 r=0 で特異点 

 r=2GM/c 2  でも特異点   今でも困ってる 

 ブラックホールの境界

岩手大集中講義 現代物理学１（後半）「相対性理論」  2022/2   真貝寿明（大阪工業大学）

15

重力による時間の進み方の違い

静止している観測者の時間 重力場にいる観測者の時間

<latexit sha1_base64="4PxO7xQVns/hQ/4YZ2w5bJ+gKPA=">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</latexit>

T 0 =

✓

1 U c 2

◆

T

あるいは，重力ポテンシャル U を用いて 質量 M の重力源から距離 r の位置では

＊重力が強いところにいる観測者は時間の進み方が遅い 

̶> 未来にいくタイムマシンになる：浦島太郎問題 

̶> GPSによる時刻計測に補正が必要になる 

̶> 光格子時計で検証することができる

岩手大集中講義 現代物理学１（後半）「相対性理論」  2022/2   真貝寿明（大阪工業大学）

16

重力による時間の進み方の違い（advanced）

2nd order Post-Newtonian term

岩手大集中講義 現代物理学１（後半）「相対性理論」  2022/2   真貝寿明（大阪工業大学）

17

浦島太郎問題

レポート課題２  課題2.9 浦島問題 

or 

課題2.10 太陽問題  どちらか選択して答えよ 

期限：土曜午後1時

レポート課題３  課題3.2 浦島問題 

or 

課題3.3 GPS問題  どちらか選択して答えよ 

期限：土曜午後1時 レポート課題１ 

課題2.7   締め切り 金曜正午

一般相対性理論の予言 【GPS】

一般相対性理論は正しい 正確な位置と時刻の情報を含んだ電波で， 

３角測量→精度 15m 

高速飛行の特殊相対論効果と  地球重力の一般相対論効果 

  １日につき，38x10 -6 秒ずつ衛星の 

  時計を遅らせる必要あり

19

課題3.2 浦島問題  or 

課題3.3 GPS問題  どちらか選択して答えよ 

期限：土曜午後1時

20

民間機に4台のCs原子時計を搭載して世界１周することにより，高度差および東回り・西回りの違いに よって地上に設置した時計との時間差が，一般相対性理論の予言と10%の精度で計測されたことを報告

Hafele-Keatingの実験（1972）：航空機世界一周での原子時計のずれ

Science 177 (1972) 166; Science 177 (1972) 168

岩手大集中講義 現代物理学１（後半）「相対性理論」  2022/2   真貝寿明（大阪工業大学）

21

重力赤方偏移 検出の原理

星の重力に逆らって光が出てくるとき，その振動数が低下する現象= 重力赤方偏移  光が重力に抗してエネルギーを失う現象とも解釈できる． 

振動数変化は，重力場による時間スケールの変化と同じとみなせる．

<latexit sha1_base64="LAVmlB8gLAnJ9UbA6UbC3Ymsc1k=">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</latexit>

c = f

アインシュタインの等価原理によれば，重力場中の実 験と等加速度運動する実験は区別されない． 

そのために，重力赤方偏移の検証は，異なる慣性座標 系での実験比較をすることに相当する．等価原理の検 証になる．

<latexit sha1_base64="c6sJV5xZsf4vg/1J1RGiawl8w4Y=">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</latexit>

E = h⌫

<latexit sha1_base64="9tEQzRYuHE+qWbBwP2rQS33wz3I=">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</latexit>

E = mc 2

光量子のエネルギー 質量エネルギー

光量子の慣性質量

<latexit sha1_base64="+WfXW9YyEG3trSrkbAlOcQFlOho=">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</latexit>

m = h⌫

c 2

<latexit sha1_base64="PT4kV5aWyAGggDgkMkb17Cr7tZs=">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</latexit>

E = h⌫

c 2 gH

高度差 Hでのエネルギー差

<latexit sha1_base64="R7Uzlew5xxOjo9iLm0JTSe6cxcg=">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</latexit>

E = h ⌫

<latexit sha1_base64="1w0RJOm3d8hWApE492Ho1XvFIrQ=">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</latexit>

⌫

⌫ = g

c 2 H = 9.8m/s 2

9.0 ⇥ 10 16 (m/s) 2 H m = 1.09 ⇥ 10 16 H

星

赤方偏移する光

岩手大集中講義 現代物理学１（後半）「相対性理論」  2022/2   真貝寿明（大阪工業大学）

22

重力赤方偏移 検出の原理

<latexit sha1_base64="1w0RJOm3d8hWApE492Ho1XvFIrQ=">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</latexit>

⌫

⌫ = g

c 2 H = 9.8m/s 2

9.0 ⇥ 10 16 (m/s) 2 H m = 1.09 ⇥ 10 16 H

<latexit sha1_base64="bMj68tZuHXc/o1lAH3yxzYxFklo=">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</latexit>

⌫

⌫ = (1 + ↵) U c 2

局所位置不変性 (LPI: Local Position Invariance) の検証

岩手大集中講義 現代物理学１（後半）「相対性理論」  2022/2   真貝寿明（大阪工業大学）

23

もっとも精密な時計＝光格子時計

10 -18  の精度を実現 

（300億年でずれは1秒以内）

スカイツリーの上下で時間の進み方が違う

LETTERS

https://doi.org/10.1038/s41566-020-0619-8

1Quantum Metrology Laboratory, RIKEN, Wako, Saitama, Japan. ²Space-Time Engineering Research Team, RIKEN, Wako, Saitama, Japan. ³Department of Applied Physics, Graduate School of Engineering, The University of Tokyo, Bunkyo-ku, Tokyo, Japan. ⁴Geospatial Information Authority of Japan, Tsukuba, Ibaraki, Japan. ⁵Osaka Institute of Technology, Kitayama, Hirakata, Osaka, Japan. e-mail: [email protected]

A clock at a higher altitude ticks faster than one at a lower altitude, in accordance with Einstein’s theory of general rela- tivity. The outstanding stability and accuracy of optical clocks, at 10⁻¹⁸ levels^1–5, allows height differences⁶ of a centimetre to be measured. However, such state-of-the-art clocks have been demonstrated only in well-conditioned laboratories.

Here, we demonstrate an 18-digit-precision frequency com- parison in a broadcasting tower, Tokyo Skytree, by developing transportable optical lattice clocks. The tower provides the clocks with adverse conditions to test the robustness and a 450!m height difference to test the gravitational redshift at (1.4!±!9.1)!×!10⁻⁵. The result improves ground-based clock comparisons^7–9 by an order of magnitude and is comparable with space experiments^10,11. Our demonstration shows that optical clocks resolving centimetres are technically ready for field applications, such as monitoring spatiotemporal changes of geopotentials caused by active volcanoes or crustal defor- mation¹² and for defining the geoid^13,14, which will have an immense impact on future society.

Einstein formulated general relativity (GR) as the theory of gravity in 1915, in which he explained the origin of gravity is the curvature of space and time. Over the century since then, alternative theories of gravity have been proposed, and they have been tested in many ways¹⁵. Although GR is believed to be the best theory of gravity, there are aspects that are not completely satisfactory. First, although special relativity has been integrated with quantum theory as quantum field theory, GR is not yet unified, preventing a single ultimate theory. Second, the current standard cosmological model based on GR has to introduce unknown ‘dark energy’ to explain the accelerating Universe¹⁶. Plausible solutions to the ‘dark energy’

problem are to throw away the cosmological principle (a homoge- neous and isotropic Universe) or to modify GR. Thus, the precise measurement of the validity of GR is an important step towards understanding fundamental physics, even in the classical regime.

GR predicts the dilation of time in a deeper gravitational poten- tial; this is referred to as gravitational redshift. The gravitational redshift between clocks (Δν = ν2− ν1) located at positions 1 and 2 is given by their gravitational potential difference ΔU = U2 − U1 as

Δν

ν1 ¼ð1þαÞΔU

c² ð1Þ

to first order of ΔU, where ν1(2) is the clock frequency at location 1 (2), c is the speed of light and α denotes the violation from GR (α = 0 for GR). The measurement of α at different locations serves as a test

of local position invariance (LPI), which describes the result of a non-local gravitational experiment being independent of place and time, which is at the heart of Einstein's equivalence principle, the starting principle of GR.

The first redshift measurement was carried out in the series of Pound–Rebka–Snider experiments⁷ in the early 1960s, in which they obtained jαj<Oð10^!2Þ

I with a height difference of Δh = 23 m.

Later, the Gravity Probe A mission¹⁷ obtained |α| ≈ 1.4 × 10⁻⁴ using a hydrogen maser in a spacecraft launched to Δh = 10,000 km.

Recently, using two Galileo satellites that accidentally took elliptic orbits with a height difference of Δh ≈ 8,500 km, new constraints were reported as α = (0.19 ± 2.48) × 10⁻⁵ (ref. ¹⁰) and α = (4.5 ± 3.1) × 10⁻⁵ (ref. ¹¹). The uncertainty of α is mainly given by _ΔU^{c2 δν}_ν1

I

, suggesting that accurate frequency measurement of clocks (uc= δν/ν1) is at the heart of the endeavour, in particular, for ground experiments with Δh less than a kilometre, as ΔU is nearly four orders of magnitude smaller than the space experiments. A comparison of optical lattice clocks at RIKEN and The University of Tokyo⁸ with Δh ≈ 15 m has so far demonstrated α = (2.9 ± 3.6) × 10⁻³, limited by u_c = 5.7 × 10⁻¹⁸. Constraining α to better than 10⁻³ on the ground has remained uninvestigated, as it requires outstanding clock accuracy or height differences.

Transportable optical clocks with uncertainties below 10⁻¹⁶ (refs. ^18–20) and laboratory-based clocks with uncertainties of 10⁻¹⁸ (refs. ^1–3,5) or below⁴ offer new possibilities for testing fundamental physics on the ground, for example, a test of Lorentz symmetry²¹ or a search for dark matter^22–27. The Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB) and Istituto Nazionale di Ricerca Metrologica (INRiM) team has reported α ≈ 10⁻² by comparing a transportable clock in the middle of a mountain and a laboratory clock, with Δh ≈ 1,000 m (ref. ⁹). Here, we demonstrate a test of the gravitational redshift of α = (1.4 ± 9.1) × 10⁻⁵ by developing a pair of transportable optical lattice clocks and operating them with a height difference of Δh ≈ 450 m at Tokyo Skytree.

To operate Sr-based optical lattice clocks at 10⁻¹⁸ uncertainty, reducing the blackbody radiation (BBR) shifts^1–3 and the higher- order light shifts^28,29 is of prime concern. Applying a small-sized BBR shield as depicted in Fig. 1a, the ambient temperature in the spectroscopy region is controlled at 245 K by a four-stage Peltier cooler. In addition, we reduce the total lattice light shift to 1 × 10⁻¹⁸ by tuning the lattice laser to frequency νL = 368,554,470.4 ± 0.2 MHz, with polarization parallel to the bias magnetic field (Fig. 1a), and by setting the lattice depth to 81E_R, where E_R is the lattice photon recoil energy²⁹, compensating the multipolar- and hyperpolari- zability-induced light shift with the electric-dipole light shift²⁸. To

Test of general relativity by a pair of transportable optical lattice clocks

Masao Takamoto

, Ichiro Ushijima! !

, Noriaki Ohmae! !

, Toshihiro Yahagi

, Kensuke Kokado

, Hisaaki Shinkai! !

and Hidetoshi Katori! !

NATURE PHOTONICS | www.nature.com/naturephotonics

アインシュタインの相対性理論によれば， 

重力の強いところでは時間の進み方が遅くなる

Nature Photonics, 14 (2020) 411

地上と450mの展望台に光格子時計を設置して検証

スカイツリーの上下で時間の進み方が違う

アインシュタインの相対性理論によれば， 

重力の強いところでは時間の進み方が遅くなる

地上と450mの展望台に光格子時計を設置して検証

１週間の計測．平均して，差が

⌫

⌫ = (49337.8 ± 4.3) ⇥ 10 18

g h

c 2 = (49337.1 ± 1.4) ⇥ 10 18

レーザー測距では

(1.4 ± 9.1) ⇥ 10 5

相対性理論の正しさを

の精度で検証したことになる

もっとも精密な時計＝光格子時計

冷蔵庫サイズの時計で，高度差 450mを  数cm で測定できる．

光格子時計の社会実装に向けた大きな一歩． 

今後，地殻変動や火山活動の監視など，相対 論的測地技術の実用化が期待される．

K.Bongs & Y.Singh, Nature Photonics 14 (2020) 408

Physics Today 2020 July

岩手大集中講義 現代物理学１（後半）「相対性理論」  2022/2   真貝寿明（大阪工業大学）

28

x

29

T = 2⇡

s `

g

<latexit sha1_base64="RYxyLy2p7OINhUBG0UmA5bsGetQ=">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</latexit><latexit sha1_base64="RYxyLy2p7OINhUBG0UmA5bsGetQ=">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</latexit><latexit sha1_base64="RYxyLy2p7OINhUBG0UmA5bsGetQ=">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</latexit><latexit sha1_base64="RYxyLy2p7OINhUBG0UmA5bsGetQ=">AAACf3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8vHLyAoFFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKxQtIhdgaKcQUZCrEFBcWlVTHpObkxOQDNSik18YLKBvoGYCBAibDEMpQZoCCgHyB5QwxDCkM+QzJDKUMuQypDHkMJUB2DkMiQzEQRjMYMhgwFADFYhmqgWJFQFYmWD6VoZaBC6i3FKgqFagiESiaDSTTgbxoqGgekA8ysxisOxloSw4QFwF1KjCoGlw1WGnw2eCEwWqDlwZ/cJpVDTYD5JZKIJ0E0ZtaEM/fJRH8naCuXCBdwpCB0IXXzSUMaQwWYLdmAt1eABYB+SIZor+savrnYKsg1Wo1g0UGr4HuX2hw0+Aw0Ad5ZV+SlwamBs1m4AJGgCF6cGMywoz0DA30DANNlB2coFHBwSDNoMSgAQxvcwYHBg+GAIZQoL0NDMsY1jNsYGJkUmfSYzKAKGVihOoRZkABTJYAnPKTOg==</latexit>

赤道付近ではふりこの周期が長い 地球の自転で，遠心力あり． 

重力加速度ｇは少し小さくなる．

しかし，計算が合わない．．．

1735/36年，子午線の長さの測量実施． 

地球が扁平であることが確かめられる．

30

31

重力ポテンシャルを測定する

★ Newton 力学では重力ポテンシャルは「概念」 

一般相対性理論では固有時の進み方の違いをもたらす「計測対象」 

★ 重力に関する3つの量（重力勾配，重力の大きさ，重力ポテンシャル）のうち重力ポテンシャル そのものを測定する計器はない．光格子時計のような精密な時計があれば可能になる． 

★ 「固有時比較による方法」と「振動数比較による方法」 

★ 応用：重力ポテンシャル測量，ポテンシャル差の多点同時測定

★ 「振動数比較による方法」

★ 「固有時比較による方法」

野崎，新谷，応用地質技術年報

30(2011) 65

32

U

c 2 ⇠ mg h

c 2 ⇠ m[kg] h[m] ⇥ 10 16

HSメモ 2016/10

HSメモ 2016/10

33

2nd order Post-Newtonian term

34

HSメモ 2016/10

35

RAPP AND PAVEIS: POTENTIAL COEFFICIENT MODELS TO DEGREE 360 21,909

m I I

Z OeJ

Z

1度x1度の精度でmapするために， 

36位の展開係数を決めた

36

50位の展開係数を決めた

37

地球の物理学事典，朝倉書店  Stacy, Davis著，2008

Hisaaki Shinkai (Osaka Inst. Tech.) 2018/8/27 @ JAXA X

光格子時計をISSへ，重力理論の検証へ

専門：一般相対性理論，宇宙論 

経歴：早稲田大学理工学部物理， 

   Washington Univ. (St. Louis),     Pennsylvania State Univ., 

   理化学研究所 戎崎計算宇宙物理研究室 

現在：大阪工業大学情報科学部 

   重力波干渉計KAGRA；科学部門会議長      （spokesperson)

真貝寿明 （大阪工業大学）

Hisaaki Shinkai

Osaka Inst. Tech

[email protected]

Hisaaki Shinkai (Osaka Inst. Tech.) 2018/8/27 @ JAXA X

光格子時計を用いた，重力理論の検証

 （１）等価原理の検証ができる． 

    微小重力でモノを長時間かけて落下させる 

    ̶> そもそもアインシュタインのスタートラインは正しかったのか． 

 （２）ポスト・ニュートン近似の２次のオーダーの検証ができる． 

    地球を長時間周回させることでニュートン理論からのズレを測る     ̶> アインシュタイン以外の重力理論が制限できる． 

 （３）物理定数Ｇの精度を上げるためのデータ蓄積になる． 

    重力の逆２乗則の検証と考えることも可能       

重力の理論が検証できる．

重力定数Gの精度を上げる or 重力の逆２乗則の検証ができる

Hisaaki Shinkai (Osaka Inst. Tech.) 2018/8/27 @ JAXA X

アインシュタインの一般相対性理論(1915)は，量子論と並ぶ現代物理学の柱の一つ．

アインシュタインの一般相対性理論は，どこまで正しいのか．

一般相対性理論は，提唱されてから，100年経った今も生き残っている． 

現在の重力理論が「絶対」正しいとは，物理学者は考えていない．

Hisaaki Shinkai (Osaka Inst. Tech.) 2018/8/27 @ JAXA X

アインシュタインの一般相対性理論は，どこまで正しいのか．

宇宙の初期特異点問題が解決できていない． 

宇宙の加速膨張問題が解決できていない． 

量子論との融合ができていない． 

「なぜ我々のいる空間は４次元時空なのか」

一般相対性理論は，提唱されてから，100年経った今も生き残っている． 

現在の重力理論が「絶対」正しいとは，物理学者は考えていない．

基礎科学の問題としてだけではなく， 

宇宙について，人間の存在についての根源的な問いであり， 

多くの人々の興味を引くテーマでもある．

数多くの理論やモデルが検証待ち

ニュートンの  万有引力の法則

相対性理論

もっと正しい理論？

X

ニュートンの万有引力，アインシュタインの相対性理論

万有引力 ポテンシャル

計量 測地線偏差の方程式

ニュートン：万有引力の存在を仮定すれば現実に合う

ニュートンの  万有引力の法則

相対性理論

もっと正しい理論？

アインシュタイン：物体は重力によってゆがみんだ           時空を動く

X

アインシュタインの相対性理論の帰結

重力が大きいほど時空がゆがむ

重力が大きいほど時間の進み方が遅くなる

平坦な場所での  １秒

重力源に近いところでの 

１秒 ＜

高速で動く物体ほど時間の進み方は遅くなる．

GPS衛星     -7.214 x 10

-6

-6

GPS衛星   +45.636 x 10

-6

-6

-6

ISS        -24.71 x 10

-6

44

  光格子時計

“Optical Lattice Clock”       

香取（物理学会誌，2002, p754） 

 原子をレーザーの定在波の腹に捕獲   多数原子の遷移周波数を読み取る   ドップラー効果ｘ

Cs原子時計 Δt/t = 5x10

-16

-18 

超分極と多重極効果を相殺する魔法周波数

光格子時計は Δt/t = 10

-19 

物理学会誌，2017，p84

本郷と和光の高低差15mのポテンシャルによる 

相対論的測地に成功   5cm （１cｍ高い Δt/t＝ 1.1 x10

-18

X

アインシュタインの相対性理論の帰結

重力が大きいほど時空がゆがむ

重力が大きいほど時間の進み方が遅くなる

高速で動く物体ほど時間の進み方は遅くなる．

GPS衛星     -7.214 x 10

-6

-6

GPS衛星   +45.636 x 10

-6

-6

補正項がある． 

-> 重力理論の検証ができる ISS      +1.294 x 10

-3

X

アインシュタインの相対性理論の帰結

重力が大きいほど時空がゆがむ

重力が大きいほど時間の進み方が遅くなる

高速で動く物体ほど時間の進み方は遅くなる．

本当はもっと高次のpostNewton  補正項がある． 

-> 重力理論の検証ができる

 ISS         +1.454 x 10

-15

GPS衛星  Δt/t =  -8.34925 x 10

-11

-10

GPS衛星   Δt/t = + 5.282x 10

-10

-11

ISS      (Δt/t)^2 = + 1.683x 10

-20

Hisaaki Shinkai (Osaka Inst. Tech.) 2018/8/27 @ JAXA

X

Parametrized Post Newtonian近似 

ISSで１ヶ月以上測定を続ければ， 

βの制限がこれまで以上の精度になる

Hisaaki Shinkai (Osaka Inst. Tech.) 2018/8/27 @ JAXA

X

Parametrized Post Newtonian近似 

ISSで１ヶ月以上測定を続ければ， 

βの制限がこれまで以上の精度になる 宇宙初期や宇宙の加速膨張の 

説明として使われる重力理論

X

万有引力定数Gの精度は４桁しかない

本当はもっと高次のpostNewton  補正項がある． 

-> 重力理論の検証ができる

Gだけ４桁精度しかない．ーー＞ 星の質量は４桁でしか言えない

-> GMの組み合わせでしかわからない．ケプラーの第3法則の定数． 

-> 月や太陽による軌道の影響を調べることができれば，この式は縮退しない． 

 （1種類の測定では解けないが，将来的なデータを蓄える意味では貴重） 

Hisaaki Shinkai (Osaka Inst. Tech.) 2018/8/27 @ JAXA X

重力理論に関するさまざまなテストの有効範囲． 

それぞれのテストに合格する範囲を模式的に示すと，一般相対性理論は図の中心に位置す る．

アインシュタインの一般相対性理論は，どこまで正しいのか．

Hisaaki Shinkai (Osaka Inst. Tech.) 2018/8/27 @ JAXA

X

重力理論の検証実験の現状 【等価原理】

一般相対性理論のスタートラインである，等価原理をテストする

これが成り立たなければ，テンソル計算やリーマン幾何学を用いて一 般 相対性理論を記述することが意義を失う．

弱い等価原理 (WEP: weak equivalence principle) 

『自由落下の普遍性』 

十分に小さな物体は，重力場の中で，その組成や質量によらず，同じ加速度 で落下する． 

『慣性質量と重力質量の等価性』  

慣性質量と重力質量の比はすべての物体に対して一定である．

Hisaaki Shinkai (Osaka Inst. Tech.) 2018/8/27 @ JAXA

X

重力理論の検証実験の現状 【等価原理】

Will, Living Rev. Rel.17 (2014) 4 

ねじり秤の実験，地上では限界

LLRは，lunar laser rangingの略

MICROSCOPE（衛星打ち上げ済み） 

        ̶> 10^{-15} を狙う  STEP̶> 10^{-18} を狙う  QTEST @ ISS 原子干渉計          ̶> 10^{-16} を狙う 

10^{-18}あたりまで検証できれば，宇宙の 

加速膨張モデルやダークマターモデルに制限がつく

Hisaaki Shinkai (Osaka Inst. Tech.) 2018/8/27 @ JAXA

X

重力の逆二乗則に対する制限

excluded

not yet excluded

Hisaaki Shinkai (Osaka Inst. Tech.) 2018/8/27 @ JAXA

X

重力の逆二乗則は近距離では確かめられていない ̶>  膜宇宙モデル

brane-world cosmology

これは 0.1 mm以下に5次元以上の世界があるかもしれない，という話．

X

光格子時計を用いた，重力理論の検証

 （１）等価原理の検証ができる． 

    微小重力でモノを長時間かけて落下させる 

    ̶> そもそもアインシュタインのスタートラインは正しかったのか． 

 （２）ポスト・ニュートン近似の２次のオーダーの検証ができる． 

    地球を長時間周回させることでニュートン理論からのズレを測る     ̶> アインシュタイン以外の重力理論が制限できる． 

 （３）物理定数Ｇの精度を上げるためのデータ蓄積になる． 

    重力の逆２乗則の検証と考えることも可能       

重力の理論が検証できる．

重力定数Gの精度を上げる or 重力の逆２乗則の検証ができる