1
特殊相対性理論
（第3章「静磁場」への準備）
二つの慣性系
x z
y
O x’
z’
y’
O’
v
S’系 S系
S’系はS系に対してx軸正の方向に速さvで移動している
問題提起
• S系において時刻t、位置xで起きた事象 は、S 系においていつ(x’)どこで(t’)観測 されるのだろうか？
=
t x d c
b a t
x ' '
（x, t）から（x’, t’）への写像（一次変換行列）
の具体形が知りたい。
我々の常識（ガリレイ変換）
−
=
t x v t
x
1 0 1 '
'
t t'=
vt x x'= −
S系とS 系には同じ 時間が流れている
S系におけるx=vtの
線が、S’系における x’= 0 の線
t
x t’
x’
x=vt
ガリレイ変換
ガリレイ変換の破綻
S系では時刻t = 0 に位置x = 0より発せられた光は、
１秒後(t = 1)に位置x = c に到達する。
= −
−
=
−
=
1 1 1 0 1 1
0 1 '
' v c c v
t x v t
x
この現象をS 系でみると、
S 系では１秒後(t’= 1)に位置x’= c-vに到達する。
従って、S 系での光速はc-v。
→地球上の光速は光の進行方向に依存しないという マイケルソン-モーレーの実験（1887年）と矛盾！
特殊相対性理論
（A. Einstein,1905）
• 物理法則はすべての慣性系に対して同じ形 で表される（相対性原理）
• 真空中の光の速さは光源の運動状態に無関 係である（光速不変の原理）
＜二つの基本原理＞
2
我々（Einstein）の目標
相対性原理と光速不変の原理を同時に 満たすような、S系とS 系間の時空座標 の一次変換行列を新たに求める。
=
t x d c
b a t
x '
'
準備：時間の単位の再定義
後の議論を簡単にするため、1/c秒を、あらためて １秒と定義し、光は１秒間に1m進むものとする。
（光速を１ｍ/秒とする）
注）元の単位に戻るには、t→ct, c v→v と置き換えればよい
t
x x=t
1 2 3 4
0 1 2 3 4
0
光の軌跡
条件 その１（光速不変の原理）
+
= +
=
d c
b a d
c b a t x
1 1 '
'
S 系での光速も１であるから ' 1
' =
+
= + d c
b a t x
Ｓ系では時刻t = 0 に位置x = 0より発せられた光 は、１秒後(t = 1)に位置x = 1に到達する。この現 象をＳ’系で観測すると、
L① d c b a+ = +
∴
条件 その２（相対速度）
=
=
? 0 1 '
' v
d c
b a t x
L②
=0 +
∴av b
S’系の原点（x’= 0）は、S系から見て速度vで動いて いる。したがって、Ｓ系の時空座標(x, t)= (v, 1)の S’系におけるx’座標は０である（t’座標は不明）
x z
y
O x’
z’
y’
O’
vS’系 S系
反対側（z<0の側）
から見ると
x
z y
x’ O
z’
y’
O’
S’系v S系
更にx, x’軸の正の向きを逆に 定義すると
x z
y
O x’
z’
y’
O’
S’系 vS系 x, x’軸の正の向きを逆に
定義すると、S系とS 系 の立場が入れ替わる！
見方を変える 条件 その３（相対性原理）
=
t x c d
b a t x ' '
S’系がS系に対してx軸正の方向に速度vで移動 している状況は、（x, x’軸の正の向きを逆に定義 すれば）S系がS 系に対してx’軸正の方向に速度 vで移動しているとみなすこともできる。どちらの 見方でも、相対性原理により、物理法則（つまり 一次変換行列）は同じはずである。
=
' ' t x c d
b a t x
同じ
'
' x
x x x
−
→
−
→
3
=
t x d c
b a t x '
'
−
−
= −
' 1 '
t x a c
b d bc ad t x
−
−
−
= −
−
' 1 '
t x a c
b d bc ad t
x
−
−
−
= −
−
' ' 1 0
0 1 1
1 0
0 1
t x a
c b d bc ad t x
ここでx, x’軸の正の向きを逆に定義すると
= −
' 1 '
t x a c
b d bc ad t x
d c
b
a ③
L① d c b a+ = +
L②
=0 +b av
L③
=
− c d
b a a c
b d bc ad
1
2
2 1
, 1
1
v c v
v b d
a = =− −
= −
=
①、②、③より
−
−
= −
∴
t x v
v t v
x 1 1
1 '
'
2
１ 以上、まとめると、
（相対速度で決まる条件）
（相対性原理）
（光速不変の原理）
ct,
t→ ,
c v→v
−
−
= −
ct x c
v
c v c
ct v x
1 /
/ /
1 1 ' '
2 2
１
2 2
2 2 2
/ 1 ' /
/ 1 '
c v
c vx t t
c v
vt x x
−
= −
−
= −
, ' ' ct t→
c
v'→v'の置き換えをすると
ローレンツ変換
2 2
2 2 2
/ 1
/ ' '
/ 1
' '
c v
c vx t t
c v
vt x x
−
= +
−
= +
ローレンツ逆変換
現実（SI単位系）に戻ろう。
ローレンツ収縮
2 2/ 1−v c
ct
x ct’
x’
x=vt
1 2
3
1 2 3 4
S’系で長さLの物体は、S系では長さが 0
) ( / 1 v2 c2 L
L − < に見える
時間の遅れ
2 2/ 1
1 c
−v
ct
x ct’
x’
1 2
3
1 2 3 4
S’系の時間は、S系からみると 倍遅く流れて
いるように見える 0
S’系でx’=0 にある フラッシュランプは、
S’系の時計では1秒 おきに点灯。
1 2
3 1
2
S系の時計では
秒おきに点灯。
) 1 ( / 1
1
2 2 >
−v c
) 1 ( / 1
1
2
2 >
−v c
質量の増加（相対論的質量）
それぞれの系では、質量m0の球が同じ速さu（例えば1m/sで）+y (-y’) 方向に 運動している（つもりでいる）。衝突後、S系の球が-y方向に速さuで運動したとす ると、相対性原理より、S系の球も（S’系で見れば）+y’方向に速さuで運動する。
S’系 v S系 y′
y x′
x
S’系 v S系
y′
y x′
x S’系 v
S系 y′
y x′
x u コツン!
u
しかし、S系から見ると、S’系の時計は 倍遅れているので、S系の球は
y軸方向の速さが で近づき、 で遠ざかるように見える。
2 2/ 1
1 c
−v
2 2/ 1v c
u − u1−v2/c2
S系から見た、S’系の球の質量をmとすると、S系における運動量保存則より
→
− +
−
=
−
− 0 2 2
2 2
0u mu 1 v /c m mu 1 v /c
m
（衝突前） （衝突前） 2 2
0
/
1 v c
m m
= −
4 ファインマン物理学Ⅰ「力学」
質量とエネルギーの等価性
2 2 0
/
1 v c
v mv m p≡ = −
速度v で運動する粒子の運動量を、次のように定義し、これがニュートンの運動方程式 に従うとする。
この粒子のエネルギーの変化dEは、力Fがこの粒子にした仕事Fdxに等しいから dt
F=dp
vdp dtdx Fdx dp
dE= = =
2 0 2 2 0 2 2 4 2
0vdp m0c pc mc mc mc
E=∫p = + − = −
この粒子が元からエネルギーm0c2 （静止エネルギー）を持っていたと考えると、
mc2
E =
したがって、この粒子のエネルギーは、両辺を積分して、次のように表せる。
静止した粒子の振動数
ω ν =h
=h E
静止した粒子のエネルギーに対応する振動数
h h
2 2 0
0
c c m
m → =
= ω
ω
≡ π 2 h h 粒子の全エネルギー
2 2 2 4 2
0c pc mc
m
E= + =
= −
2 2 0
/
1 v c
m m
アインシュタインの関係式
S系の波の振動をS’系で見ると
c t im t
i e
e h
2
− 0
−ω = ct
x ct’
x’
x=vt
1 2
3
1 2 3 4
0
＜S系＞
2 2
2
/ 1
/ ' '
c c x t t
v v
−
= +
＜S 系＞
ローレンツ逆変換
mvx i mc t i c t im
e e
e− h = − h ' − h
2 2
0
（参照）ファインマン物理学V「量子力学」第7章
より mv
= h λ
π λ=2 h mv
ド・ブロイの関係式
