解析 I ・講義ノート
第
11
回(2020年7月28日(火)配信分)
第
11
回本題与えられた関数の積分を求める方法の内、特に有効な置換積 分は、合成関数の微分の公式を、書き直すことによって得られま した。
実際、合成関数の微分の公式
(G(φ
−1(x))
′= G
′(φ
−1(x))(φ
−1)
′(x) = g (φ
−1(x)) φ
′(φ
−1(x)) ( G
′(u) = g(u) )
より、積分に関する公式G(φ
−1(x)) =
Zg (φ
−1(x)) φ
′(φ
−1(x)) dx
が導かれます。
従って今、もし被積分関数が
f (x) = g (φ
−1(x)) φ
′(φ
−1(x))
の形をしているとすると、
g(u)
の原始関数(
の一つ)
がG(u)
であることがわかってさえいれば、直ちに
f (x)
の原始関数(
の一つ)
が
G(φ
−1(x))
であることもわかります。しかし現実には、与えられた被積分関数
f (x)
が、上の形をしていることは不明瞭なことの方が一般的で、そこでとりあえず、
x = φ(u)
及び
dx = φ
′(u)du
と置き換えることで、
Z
f (x)dx =
Zf (φ(u))φ
′(u)du
と変形し、新しい被積分関数
f (φ(u))φ
′(u)
(
実はg(u) )
の原始関数を既に知っているか、または少なくともも う少し簡単に積分できそうか、試行錯誤してみるわけです。しかし、闇雲にいろいろな置き換えを試してみるには、大変な 労力が必要ですから、基本的な非積分関数
(
有理関数や無理関数、指数関数の合成関数
)
について、有効な置き換えのパターンが、公式として知られています。
f (x)
の式の中に√
a
2− x
2(a > 0)
があればx = a sin u − π
2 ≤ u ≤ π 2
!
と言うのは、皆さんもよくご存知のことと思います。
Z
f (x)dx =
Zf (a sin u)a cos udu
=
Zf (a sin u)
r
a
2− a
2sin
2udu
なので、
f (x) √
a
2− x
2が根号抜きで表せる場合に、積分の計算が簡単になることが期待 されます。
これはもちろん、
sin
2u + cos
2u = 1
より、√
1 − sin
2u = cos u
が
( − π
2 ≤ u ≤ π
2
で)
成り立つことを利用しています。典型的な例は
f (x) = 1
√ a
2− x
2, √
a
2− x
2などです。
Z
dx
√ a
2− x
2=
Zdu = u = Sin
−1x a
Z
√
a
2− x
2dx =
Za
2cos
2udu = a
22
Z
(cos 2u + 1)du
= a
22
1
2 sin 2u + u
= 1 2
a sin u · a cos u + a
2u
= 1
2 x √
a
2− x
2+ a
2Sin
−1x a
!
ここで積分定数は省略しています
(
以下でも同様)
。これと同様にして、
cosh
2u − sinh
2u = 1
より、√ sinh
2u + 1 = cosh u
が成り立つことを利用すれば、f (x)
の式の中に
√
x
2+ a
2(a > 0)
があるときx = a sinh u
と置換すれば、
( (sinh u)
′= cosh u
より)
Z
f (x)dx =
Zf (a sinh u)a cosh udu
=
Zf (a sinh u)
r
a
2sinh
2u + a
2du
となるので、
f (x) √
x
2+ a
2が根号抜きで表せればよく、
q
cosh
2u − 1 = sinh u
が( u ≥ 0
で)
成り立つことを利用すれば、f (x)
の式の中に√
x
2− a
2(a > 0)
があるときx = a cosh u (u ≥ 0)
と置換すれば、
( (cosh u)
′= sinh u
より)
Z
f (x)dx =
Zf (a cosh u)a sinh udu
=
Zf (a cosh u)
r
a
2cosh
2u − a
2du
となるので、
f (x) √
x
2− a
2が根号抜きで表せればよいことになります。
典型的な例は
f (x) = 1
√ x
2+ a
2, √
x
2+ a
2,
√ 1
x
2− a
2, √
x
2− a
2などです。
Z
dx
√ x
2+ a
2=
Zdu = u = sinh
−1x a
Z
√
x
2+ a
2dx =
Za
2cosh
2udu = a
22
Z
(cosh 2u + 1)du
= a
22
1
2 sinh 2u + u
= 1 2
a sinh u · a cosh u + a
2u
= 1
2 x √
x
2+ a
2+ a
2sinh
−1x a
!
また
Z
dx
√ x
2− a
2=
Zdu = u = Cosh
−1x a
Z
√
x
2− a
2dx =
Za
2sinh
2udu = a
22
Z
(cosh 2u − 1)du
= a
22
1
2 sinh 2u − u
= 1 2
a sinh u · a cosh u − a
2u
= 1
2 x √
x
2− a
2− a
2Cosh
−1x a
!
ここで第５回の練習課題で求めた、逆双曲線関数の
log
を用いた具体的表示
sinh
−1x = log(x + √
x
2+ 1) Cosh
−1x = log(x + √
x
2− 1)
を、上の第１式と第３式の計算結果に代入してみると、
Z
dx
√ x
2+ a
2= u = sinh
−1x
a = log
x a +
vu uu t
x
2a
2+ 1
= log(x + √
x
2+ a
2) − log a
Z
dx
√ x
2− a
2= u = Cosh
−1x
a = log
x a +
vu uu t
x
2a
2− 1
= log(x + √
x
2− a
2) − log a
となります。
ところで、
f (x)
の式の中に√
x
2± a
2(a > 0)
があるときt = x + √
x
2± a
2と言う置換の方法があることを学んだことのある人も、少なくな いのではないでしょうか？
この置換の方法を用いて、上の典型的な例を計算してみると、
√ x
2± a
2= t − x
dt
dx = 1 + x
√ x
2± a
2= t t − x
より、
Z
dx
√ x
2± a
2=
Z1
t − x · t − x
t dt =
Zdt t
= log t = log(x + √
x
2± a
2)
で、確かに積分定数を除いて同じ結果が得られ、この置換では、
u
の代わりに
t = ae
u を採用したことがわかります。但し a 倍は積分定数の取り方の問題で、9〜10 頁の不定積分で積分定数を0 でなく log a と取っていれば、計算結果は同じ logt となり、t = eu を採用した とも見なせます。
無理関数の原始関数は、一般には初等関数で表せるとは限りま せんが、有理関数の原始関数は、分母の多項式を、１次式たちと
(
実数の範囲では因数分解できないような)
２次式たちの積に因数分解し、分母が
(x − α)
n, { (x − α)
2+ β
2}
n(β > 0)
のいずれかの形の分数式たちの和に分ける部分分数分解を施すこ とによって、全て初等関数で表せます
(
教科書117
〜119
頁参照)
。その基本となるのが、
Z
dx x
2+ a
2です。
皆さんもよくご存知のように
x = a tan u
と置換すれば、
( (tan u)
′= 1 + tan
2u
より)
Z
dx
x
2+ a
2=
Z(1 + tan
2u)du a
2tan
2u + a
2=
Zdu
a
2= u
a
2= 1
a
2Tan
−1x a
と計算できますが、これはまあ最初から、微分の公式
(Tan
−1x)
′= 1 1 + x
2を知っていての計算と言えるでしょう。
しかし、もちろん一般に、被積分関数
f (x)
の式の中にx
2+ a
2があるとき、同じ置換が有効である場合は少なくありません。
全く同様の考え方で、
Z
dx x
2− a
2も、
− a < x < a
では、x = a tanh u
と置換すれば、
( (tanh u)
′= 1 − tanh
2u
より)
Z
dx
x
2− a
2=
Za(1 − tanh
2u)du a
2tanh
2u − a
2= − 1 a
Z
du = − u
a = − 1
a tanh
−1x a
と計算できます。
ここで再び第５回の練習課題で求めた表示
tanh
−1x = 1
2 log
1 + x 1 − x
を用いれば、
Z
dx
x
2− a
2= − u
a = − 1
a tanh
−1x
a = − 1
2a log
1 +
xa1 −
xa
= − 1
2a log
a + x a − x
= 1
2a log
a − x a + x
を得ます。
x < − a
およびx > a
では、x = a coth u
と置換すれば、
( (coth u)
′= 1 − coth
2u
より)
以下ほぼ同様ですが、省略せずに書くと、
Z
dx
x
2− a
2=
Za(1 − coth
2u)du a
2coth
2u − a
2= − 1 a
Z
du = − u
a = − 1
a coth
−1x a
と計算できます。
ここで三度第５回の練習課題で求めた表示
coth
−1x = 1
2 log
x + 1 x − 1
を用いれば、
Z
dx
x
2− a
2= − u
a = − 1
a coth
−1x
a = − 1
2a log
x
a
+ 1
x
a
− 1
= − 1
2a log
x + a x − a
= 1
2a log
x − a x + a
を得ます。
もっとも、この計算は、被積分関数を
1
x
2− a
2= 1
(x − a)(x + a) = 1 2a
1
x − a − 1 x + a
と部分分数分解した方が速く、
x
の範囲での場合分けも絶対値で すませるだけで簡単にZ
dx
x
2− a
2= 1 2a
Z
1
x − a − 1 x + a
= 1
2a (log | x − a | − log | x + a | ) = 1
2a log
x − a x + a
とできてしまうのですが、部分分数分解の必要が無いと言う意味 では、より複雑な被積分関数に適用する一つの方法として、
x = tanh u, x = coth u
も覚えておいて損は無いでしょう。第
10
回練習課題の解答例えば
b
1= 2 − √ a
1 ととれば、= lim
a1→+0
{− log a
1− log(2 − a
1) + log(2 − √
a
1) + log √
a
1}
= lim
a1→+0
{− log √
a
1− log(2 − a
1) + log(2 − √
a
1) }
= + ∞
と発散します。
