指数の一般均衡理論

指数の一般均衡理論

その他のタイトル The General Equilibrium Theory of Index Numbers

著者 高木 秀玄

雑誌名 關西大學經済論集

巻 14

号 3

ページ 281‑304

発行年 1964‑09‑20

URL http://hdl.handle.net/10112/15396

281 

指数

の一

般均

衡理

論︵

高木

︶

Numbers•R

o f c   E o n o m i c   S t u d i e s ,   V o l ,

XI•  

N o .  

3

︑

J u n e ,

19 35 ) 

貨幣の限界効用の測定︑国民所得の実物化︵デフレーターとしての指数の機能づけ︶等の問題につながる︒

( D e r i   S n n   d e r   I n d e x z a

h l e n )

と言った場合のその経済理論的意味を追求するものでハーバラーが

( 1 )  

ある︒なお︑ステーレーの﹁物価指数の経済理論の発展﹂

﹁指

数の

意味

﹂

般 均 衡 理 論

物価指数︑数量指数に関する理論は︑それを純粋に統計学的に追求するものと︑需要および生産に関する経済理

論的に展開するものとに大別され︑前者は時間的・場所的に相異なる同種集団間の﹁相対的増減﹂の測度としての

指数理論であり︑指数はいわゆる﹁統計的比率﹂の一種であるとされる°これに対して指数の経済理論は消費者と

生産者の行動分析︑すなわち︑家計と企業の行動ー効用と利潤の極大化ー分析を指数を通じて行なうものであり︑

指 数 の

すな

わち

︑

( A

  D e v e l o p m e n t f   o   t h e   E c o n o m i c   T h e o r y   o f   P r i c e   I n d e x  

︑︑

︑︑

での経済理論は︑われわれがここで言うような 高

木

秀

玄

282 

二

醐西大學﹃繹済論集﹄第一四巻第三号

ものではないu

けだ

し︑

という結論へ到達するための解析幾何学的考察が︑

一般的均衡論が具体的には微分方 ステーレーによれば︑無差別曲線あるいは無差別図表を根底におく︑したがって︑消費者

物価指数あるいは生計費指数の代表的算式であるラス︒ハイレス式とパーシェ式が﹁真の指数﹂の上限と下限をなす

( 2 )  

そのかかげる経済理論であった︒

本稿では︑ホフステンが﹁指数の比較的に近時の理論において︑よりたいせつなものは指数の特定の意味とそれ

がみたすべき目的であり︑その二つの発展方向︑すなわち︑その︱つはコニュスによって展開された無差別アプロ

( 3 )  

・ーチであり︑他はディビィジアによって与えられた積分解によるものである﹂と述べた後者を基盤において︑その

一般均衡論︑すなわち未知数の個数と方程式の個数とが相等しい体制に関する理論を取り扱うものである︒なお︑

特にディビィジア式によった理由は︑後述するように︑それには理論構成において︑また分析の方法論という側面

よりみて︑限界性ー微分的処理の可能性・積分可能性ーの概念を導入しており︑

程式によって組立てられておることより︑両者は密接に関連するからであるC

( 1 )   H a b e r l e r , .   H :   D e r   S i n n   d e r   I n d e x z a h l e n

︑

T i i b i n g e n ,

1 9 2 7 .   ( 2 )   _S t a h l e , H   . :

  A 

D e v e l o p m e n t   o f   t h e

c   E o n o m i c   T h e o r y f   o   P r i c e   I n d e x   N u m b e r s ,   T h e   R e v i e w   o f   E c o n o m i c   S t u d i e s ,   V o l .   I I , i l 9 3 4  

1 

3 5

,   p p .   1 6 3

ー

1 8

8 . ( 3 )   _H

o f s t e n ,   E . :   P r i c e   I n d e x e s   a n d   Q u a l i t y   C h a n g

e s ,   S t o c k h o l m , 1 9   . 5 2 ,   p p .   1 5 .  

生産過程の最終生産物︑すなわち消費者財は︑その経済を構成する個人もしくは個人の集団の間にどのように配

分されるかを決定する問題は﹁転置の問題﹂として経済理論において重要な位置を占めるものである︒かかる個人

283 

U 1

 1 1   _U

1 Ci) ＋  

U 1 C 3 J  

これらの三グループあるいは部門によって︱つの経済体系が記述され︑しかもこの際に︑われわれは厳密な競争︑

すなわち純粋競争の条件のもとでの均衡状態を前提とする︒したがって︑﹁どのような個人︵消費者または企業︶も直

( 1 )  

接には諸価格を左右できない﹂し︑﹁諸価格は︑消費者や企業が所与として受けとる︒ハラメータとなる﹂のであるC

( 2 )  

このような財貨のグループ分けはエバンスによれば次のようであるCすなわち

U . 1 1

単位時間当りの資本あるいは資本用役の生産高

2 

U

I I

単位時間当りの労働用役

8 

U

I I

直接消費に対する単位時間当りの商品生産高

彼によれば以上の三部門の数量は変数として取り扱われる︒勿論︑この場合にはストックはゼロであるという想

定をたてるC第一部門の資本用役は資本用役自身の生産と消費者財︑すなわち第三部門のグループに属する商品の

生産に当てられ︑第二部門の労働用役は第一部門の資本財または生産者財の生産と第三部門の消費者財の生産に当

てられ︑更に第三部門の消費者財は第一・ニ・三部門の用役の所有者による直接消費に供するため第一・ニ．︱︱一部

門へとグループ分けされるeこの事実は形式的に次の関係式で表現されるのである︒

(2.1) 

指数

の一

般均

衡理

論︵

高木

︶

3

ー

資本財あるいは生産者財︵他の財貨の生産に用いられるような財貨︶C

本源的生産要素Cすなわち︑土地や労働用役のように新たに生産されない生産要素︒

28 4 

とにするCすると

U 8 1 1 0 ( U 1 C a ) ,

  l

U 2 ( 1 ) )

U 1  <i

)   ＋  U1 

< a )   1 1

も

( U 1 < 1 ) ,   U 2

< 1 ) )  

(2 .1 ),  (

2.

  3) , 

(2

. 

4)とにより 直接消費に関する生産高は極大であるべきであって

U 2 1 1

︑ l a

袖速

︒

特に第二部門については次式が成立するC

a + b + C 1 1 1  

となる︒なお︑経済理論の基礎条件より

U 3 ( l J   1 1 a u 3

"

U

3 ( 2 ) 1 1 b U

︑

s

U 8 ( 3 ) 1 1 c u r 8  

u o o 1 1   U a <

1 >

  ＋ u o o ( 2 ) ＋   U a <

a >

  U 2 1 1 U 2 ( 1 )  

＋

U 2 ( 8 )  

腸西大學﹃華済論集﹄第一四巻第三号

この際に各項のサフィックスはそれぞれの部門を表現し︑右肩の括弧内の数字はいかなる部門へ流れるかを示すも

のであるC式より

(2 .2 ) 

となる︒したがって︑各項はゼロより小であり︑次のような函数が成立するをうるのであるC

(2 .3 )  (2

.4 ) 

U 1 1 1

合

( U 1 C

1 ) ,

V  ̀ 2

( 1 )

︶﹄

U 3 1 1 0 ( U 1 c s ) ,   U 2 C 3 ) ) .  

この

場合

︑

U 1

< 1 ) , U 1

< a ) , U 2

< 1

は独立変数であり︑なお︑これを簡単に表現するために︑y

)

︑

^四．

2. 8 5 

(2.5) 

(2 .6 ) 

Uは(2.5)式によって最大でなければならない︒したがって次の関係式が導かれる︒

き

(y

N)11

0 .  

︑︑

︑

上式の

0 1

と

0 2

(2.7) 

すなわち︑未知数y︑ り︑次の微分方程式が導かれるC

芝史

︑ ( a

P)

怠

︑ ( a

P)

翌

01

(a

, 

/ 3

)  

, 0

2(

a,

/

3 )

o a  

z

X

x+

y

を最大ならしめる︒

したがって函数中および

0

以上はエバンスのいう単純化経済体系における三部門間の均衡状態に関する諸条件の説明であるが︑同様のこと

指数の一般均衡理論︵高木︶

i i )  

( i )  

全

0)11 ぉ支

N)110

0(O

N)110 、 0(y 、 0)110.

NI

Il

であれば x

+y

ll

x 

y1

10

であれば x

+y

11

を

x︑0

)

NIIO

であれば

の最大値が決まり き

(y

.l

ー

z ) 1 1

0 ,  

U a

、

  110(y

N)

x+

y1

︑

N )

五

それについての

0

286 

開西大學﹃舘済論集﹄第一四巻第三号

( 3 )  

がランゲによって次のように説明される︒

いCすなわち︑価格は彼にとって与えられた︒ハラメータであり︑

長期均衡において価格と平均費用とが相等しいような産業への新しい企業家の自由参加が可能であることc

( 4 )  

これはアレンによって﹁転入の自由﹂と称せられたものであるC

このうちランゲは第一の企業者間の自由競争を根底において︑われわれが先に分類したような部門を設定するC

あげるeこの際に労働は﹁生産の本源的要素﹂であり︑

を生産する企業者グループを第二部門とするCすなわち︑既述の第一部門はランゲでは第二部門︑第二部門はここ

で特別に掲げられないで︑第三部門が第一部門として取られているC

いま

︑

論を述べようC

(2.8) 

(2 .9 ) 

m+

m1 1 ︑

全m︑

︑ ) . l

第二部門に対して

X 1 1 F ( m . l )  

第一部門に対して とは相異なる企業者によって生産され︑完成消費者財

1 1商品を生産する企業者グループを第一部門︑

たと

えば

︑

口 H企業家の数は十分に大であり︑ ランゲの前提は︑

その生産高を自由に変化さして価格を自己の意志で決定することはできな

このことはエバンスと同じである°

最終消費者財としての木材は生産設備

11

生産者財としての斧と労働とを以って切り出す過程の例として

その大きさは賃金の函数であり︑完成消費者財と生産設備

生産設備だけ

この相違はそのままにしてランゲの所

六

287 

き ゞ き ． ． ．  

吝 1

1

七

ヽ. .  ^ヽ

‑

6

十

文

1 1 啜

( P l )

労働供給量は賃金に依存するから次の函数関係で表現される︒ 量

であ

る︒

(2.10) 

( 2 . 1 0 a )  

ここ

で︑

は単位時間当りの賃金率であり︑寛は労働の供給函数である︒P l

( 1 )  

A l l e n .  

R .   G .  

D .  

＂  

M a t h e m a l t i c a l   E L c o n o m i c s ,  

o n d o n   1 9 5 6 ,   p .  

3 1 4 .  

( 2 )  

E v a n s ,   G .   C t M a x i m u m   P r o d u c t i o n   S t u d i e d   i n   a  S i m p l i f i e d   E c o n o m i c   S y s t e m ,   E c o n o m e t r i c a ,   V o l .   II•

N o .   1 ,   1934•

p .   3 7 .  

( 3 )

L

a n g e ,  

＂

0 .

T h e   P l a c e   o f   I n t e r e s t   i n   t h e   T h e o r y f     o

Prod~ction,

R e v i e w   o f c   E o n o m i c   S t u d i e s ,   V o l .   I I I ,   1936•

p . 1 5 9 .  

( 4 )  

A l l e n , R .  

  G•

D .  

ibid•

p . 3 1

4   • •

均衡状態の有効方程式を前節で述べた三部門間の関連性において考察し︑われわれの目的である指数の経済理論

の根拠を組立てることが︑ここでの課題である︒

q i ,   q z ,  

⁝

4 q f "

n

の相異なる生産者による

n

指数の一般均衡理論︵高木︶

l + e

︑ 1

1 L

( L

一 吐 滞 速

︶ ︒

生産設備は単位期間に完全に消耗するから これらの函数関係において

X 1

1

m 1

生

1

産設

備高

︑

l I

労

I

働供

給量

︑

m r r

―--—---一c~_:、---—---―---——---·-―――—’—---

. .  

28ヽ

T i l l p i q i  

̀ i 1 1 P き ー ・ ピ き

q j i 3

]・

1 2

利潤は次式によって示される︒すなわち

閥西大學﹃網済論集﹄第一四巻第三号

Qi

き…A1nは前節で述べた第一部門（生産者財）、第二部門（本源的生産要素である労働•土地の用役）、第三部門（消費, q

(3.1) 

けは

の生産において単位期間に用いられる

q i

q i

の数量

が︑それに投入される生産者財量と労働量の技術函数であり︑すなわち︑

q i

意の

・

9

(3.2) 

(3.3)  (i. 

12) 

る ︒ 意

の

q i

全体

は︑

第一

︑

(i. 2)  (i. 

13) 

(i. 

13) 

(3.1)式によって時点tにおいては 第三部門の財貨全部の生産者間に分けられる︒次の(3.2)式ばこの状態を示すものであ

q i 1 1

・ ピ

q ゞ

.]・18 均衡状態成立の条件としてあらゆる時点tにおいて上述の各部門に商品のストックが存在しないことを明確にし

ておかなければならない︒また︑純所得あるいは利潤はすべて第三部門の消費者財に費消されると想定しておく︒

ここでの均衡は移動均衡であるから︑これまで述べたそれぞれの数量は時間的に確定不変であるを要しない︒

この二式は純所得式とも言うことができるのであるが︑

a q i  

奇

i 1 1 q i d P i

ー ・ 日

q / d p f

、 i

(Pi ーー—ーき） dqii ] ．

1 8 ]

．

8  

q i 1 1 q i ( q j i

)  

13) 

者財︶に配置され︑次式が成立する︒

は第一あるいは第三部門の任

q i

八

―‑

289 

あるいは (3.5) 

(3.5

︑ )

となる︒いま︑各部門の極大利潤を得るそれぞれの生産方法を導けば次のようになる︒

指数

の一

般均

衡理

論︵

高木

︶

7

I I m

予ー

一︑

P i

m︑

11

(m

+m

︑ ) P

mmー︑P

mー

P I l ︑

3 1

は1

Pf

Im

Pm

̲l

pl

が：・第二部門︵われわれの第一部門︶の利潤 匹・・第一部門︵われわれの第三部門︶の利潤 が成立する︒

既述の通り︑価格は生産者に対して与えられた行動決定のパラメータであり︑

利潤を極大化するよう計画する︒このことが厳密な完全競争の実態である︒したがって︑

程式である(3.3)

式よ

り︑

この生産者の観点を表わし︑

分方程式︑すなわち︑第一︑三部門の

q i

q j

(3. 4) 

p ; ‑ f ! J r

ー き 0 

13) 

( j .  

12), 

これをランゲは次のように展開する︒すなわち

Prn:• 生産者財の単位価格

p t

p x

⁝最終消費者財の単位価格

九

その変動を考慮に入れないでその

この場合に利潤の微分方

その生産者財を本源的生産要素の使用を規定する次の微

2.90 

(i. 13)  以上の極大利潤条件を根拠にして既述の

(3 .4 )式

は︑

時点tにおける均衡よりの変位に対応する

(3 .4 a)

式に

( 4)  

p ‑ 1 1

全 ︑

Pm

(3 .6 ) 

各式はそれぞれの生産要素の価格が︑

帰約することができる︒すなわち︑

(3 .4 a)  

d7

i1

1q

id

Pi

￨M

qj

td

き

第一

．︱

︱一

部門

の利

潤

m

H I I M i . 1 8 7 1 : ,  

であり︑上の︵3.4a)式は︵3.2)

式に

より

︑

をとるのである︒ その微分は次の形式

( 3 )  

I I I

全

︑

( 2)  

p‑

11

EP

"

‑

Pm

11

Fm

ph

開西大學﹃鯉済論集﹂第一四巻第三号

透I渋苫

渡I器Fq 爵

^ー _ぶ

p f ,

︸

l l

I I O

昔

一 卓

IIE:IIO

、 . '

~~ ~~

~~ ~ ヽ

ヽ ^ヽ

I

I ―  II

‑ e ‑ ‑ e ‑

' S ' ~

1 、

ヽ ^這

I I

  J 

、

。

も ミ

これらの方程式より次の(3.6)式が導かれる︒

( 1 )  

その限界生産物の値に相等しいことを示すものである︒

1 0

2 9 I 

( 1 )   L a n g e ,   0 .  

ib

id

. 

p . 

172  意味する

< 2 1 1 2 i . 2 p i q i

での方程 が成立する︒ここで既述の

(3 .2

式より)

は第一・ニ部門の︑V s

(3

.4

b)

他方

︑

d n 1 1

日

q i d P i

ー

M q i d P i g . 8 i . 2  

これらの利潤のすべてが消費者財︑すなわち︑第三部門に属する財貨に費消されるという約束より︑

(3.7) 

(3.7) 

<

8 1 1 g . 8 P i q i

と同様に︑第二部門の財貨の生産者に分割されることを意味する

式である︒これより︑

(3

.4

b)

式 ︑

(3 .7

)式より次の

(3 .8

)式を得るのである︒

ピ

P i d q i l l M P i d q i

;.

3 

i•2

この式より第三部門と第二部門に属する生産者に割り当てられる

の数量の総和は相等しくなるのである︒特に︑

q i

制約が本源的要素が完全雇傭の状態であるという想定を述べるため導入されるときは︑すなわち︑第二部門の

が

q i

時点

置の原則﹂として次式が導かれるであろう︒

(3

. 

8) 

: E  

p ; d q

;   1 1 0   i . 8  

以上の制約条件は生産者の計画を表わす屡

に予め導入しておく必要はないことに注意しなければならないのである︒ 忠

f き I I

指数の一般均衡理論︵高木︶

n 1 1 <

8

ー

<2

が第三部門の財貨の生産者に分割されることを

q i

ー・..

一 ・ ‑ ‑ ‑ ・ ・ ・

292 

醐西大學﹃鯉演論集﹄第一四巻第三号

以上の一般均衡理論を基盤において指数の経済理論を組立てることが本稿の目的であることは既に指摘したとこ

ろで

ある

が︑

この際の指数算式は次のディビィジア式である︒いわゆる函数論的物価指数論の大部分は無差別曲線

・図表を理論構成の足場とするのに対して︑彼の理論は限界性の概念︑ゆえに微分・積分の概念を手懸りとするも

のであることによって︑独自の性格をもつものであることは既に指摘しておいた︒

彼の目的は﹁貨幣価値﹂

( 1 )  

( l a   v a l e u r   d e   l a   m o n n a i e )

を示す指数に関する精確な解を見いだすことである︒同じ

( 2 )

︵3) 目的を無差別曲線を媒介として指数によって果そうとしたものにフリッシュ︑アレンがあるが︑その方法は全く相

異なる︒ディビィジアは全体としての経済社会に関して次式が成立するという︒

ビ き

q 1

•

日

Poqo.

lo1•

Q 0 1  

1 1  

いうまでもなく︑

I o i

は基準時点

( O )

︑比較時点

(1

)

の物価指数であり︑

J o i

は数量指数であり︑その積は価額比

に相等しい︒これを一般化し数量指数と物価指数を別々に述べると

焙忌

i

i d P i

︑

r 1 1

1, 

2,

.  3

d Q r  

i•r

dPR••r

1

"

"

＂  

Qr~

望 i

︑ 吝 望

i p i

(4 .2 ) 

i . r i . r  

なお︑この

(4 .2

)式は次のように書くことができる︒すなわち

dQ~

喜 d I

ー ピ

q d P

＂

＂

＂ ー

Q

ピ 唸

q 3 I

ピ 念

(4 .2 a)  

( 4 )  

(4.1)式を対数微分法によって次のような形に変形すると︑物価指数と数量指数とを同時に得ることができる

四

293 

追加的な仮説を取り入れる必要がある︒

以上より部門指数は の

であ

る︒

(4.3) 

d l   dQ 

" J : : . q d p  

" 2 : . P d q   I I  

ピ

p q Q H P q  

I 

これより︑ディビィジア指数は︑その微分は価格と数量の微分より成る線型方程式の形をとり︑数量だけが変化す

るとき︑価格は変化しない︒また︑

有する︒いま︑価格の変化が無限小あるいは限界単位で生ずると仮定する︒すると

(4

.2

a)

式を積分し

︶  日

q d P

c日

念

(4.4) 

l p 1   1 e 4 p

︵ 一

あるいは

p g

を基準時点の価格

P o ( P 1 ° P , z 0

,  

)の

指数

︑

C

P o

︶ 

ピ

q i d P i

c巳

忠

i

(4

.4

a)

PD 

1 1 P D o . e 4 p (

﹁

．

となる︒再び本稿で用いられる形で表現する必要がある︒上述の径路に沿って積分すると

(4

. 

5) 

Q z ( A )   1 1   Q

z O )   g [

︒ 函

j i

PidWS)]9SII

日苓

・・

i.

2 

となる︒ここで

i

g l l o .  

(4 .6 ) 

すなわち︑完全雇傭の状態での第二部門での厳密な競争の仮定のもとで︑消費者財指数は既述の有効変位について

極値となるのである︒これを更に精確にするには既述の技術函数

q i 1 1 q i ( q j i )

の二次微分を考察し︑

(4 .7 ) 

その逆も成立し︑物価指数と数量指数の積が貨幣価値指数であるという特徴を

( d Q a ) 1   1 1

李即誓喜玉ミ

指数の一般均衡理論︵斎木︶

‑ ---—--~- ‑‑.  ‑ -~---- _-_·----~-

294 

腸西大學﹃鯉済論集﹄第一四巻第三号

が導かれる︒これは生産者財の使用量の変化による消費者財の数量の変化を表わすものであり︑消費者財の数量

Q a

の製造に加わる生産者財の部分量を示す次式とともに相互に関連し合うのである︒すなわち

M M

P 忌

i j

・

Q 1  

(4

.8

) 

d Q 1 3   "

＂  

V 1   ; , 1  

;  •8

したがって︑次の微分方程式は両部門間の部分変化率︑すなわち生産者財の帰与についての消費者財指数の部分変

化率を示すものである︒すなわち

さ 8(dQa)1

(4

. 9) 

7i

Q;

3 

= 

d Q 1  

s 

•

均衡状態において︑

(4 .9

式および)

Q l . Q

S

(4.10) 阻

1 1 に

に

Q 3  

＼ 哭

Q 1 3 Q i  

消去法により上式より︵斗ドを消去すると︶

( 4 . 1 0 a )  

艮

1 1 1

突

Q

1 1

尖

Q

3

忍

を導くことができる︒

< 1  

＼ 

芯

V 2   I I  

哭

Q

2 1

Q 2   Q 1  

1 

良

1 1 阻

尖

Q

2 1 f J Q 2 8  

哭

Q

a

V2 

V a   Q 3

,   

I I

¥  

緊

Q

2 8

Q 2  

指数の定義より

P

1 1

ーに

P 8 0  

Q 3

︒

Vao'

︑︑

︑︑

言うまでもなく添字

0

Pa

o

Qs

o

は基準時点の物価指数と数量

一 四

2.95 

指数の積を表わし︑右辺の分母

V S は基準時点の貨幣価値指数を意味するものである︒いま︑基準時点の各指数が1

に相等しいときは︑

V a / Q s

1<

50

p8

となる︒別言すれば︑物価は数量が変化するに従って変化する次元をもつも

のであるから︑数量

V a / Q s

は第三部門の数量指数と貨幣価値指数の比率であって価格に直接の関係はない︒しか

し︑本稿の出発点をなす単純化体系そのものが生産者財︑労働︑消費者財を三種類の商品として取り扱っており︑

ある観点よりすると︑

念

—き

翌 ー

﹂ ド ー

￨

̲

￨

￨

念

1 3

P a  

念

2 1

き

︑

偶

11

r

詈 屈

忠 I t

ぎ

1 1

8 q 1 3   8 q 2 1  

8 q 2 3

︑

以上の各方程式を解いて部門間の転入・出の問題を解決することができるのである︒

d Q

のような個別指数の部分を定義により︑次のような真の個別指数で置換することがで

きる︒すなわち

翌

干塁茎1 1

j

この方程式は

(4

.1

0)

式と同じ方程式へと導く︒

( 1 )   D i v i s i a , F .     :  L ' i n d i c e   m o n e t a i r e   e t   l a   t h e o r i e   d e   l a   m o n n a i e , e   R v u e   d ' e c o n o m i e   p o l i t i q u e ,  

39

, 

p p .  

84

2‑

86

1 

̀ 

10

08

, 

11

21

ー

11

51

,

40

, 

p p .  

49

ー

87

.

999ー

10

04

.

" 

E c o n o m i q u e   R a t i o n n e l l e ,   P a r i s ,

̀ 1928 

p .  

26

8.

K e n d a l l ,   M .   a n d   B u c k l a n

d ,

W .

  ＂

  A 

D i c t i o n a r y   o f   S t a t i s t i c a l   T e r m s ,   L o n d o n ,  

19

57

, 

p .  

88

. 

( 2 )  

F r i s c h ,   R .   ;  N e w   M e t h o d s   o f   M e a s u r i n g   M a r g i n a l   U t i l i t y ,   T i i b i n g e n ,  

19

32

. 

指数の一般均衡理論︵高木︶

V 1 3  1 1

日 ピ

3 p i q i j i . 1  

j•8

次の各方程式に関連する体系を手懸りとしているのである︒

d q a  

11

0"

f l q s  

P 2   I I  

忠

2 3

P a '  

一 五

2 9 6 

ー

r i

き

a q i  

忠j

P i  

e i  

1 

． 

e i 1  

r g  

p ; d q

;   1 1 e i q i d P i  

(i. 13)  と計画するとき

d p

; 1 1 0

とは想定しないで︑

いま

︑

五

( 3 )   A l l e n ,   R .

  G•

D . :  

O n  t

h e   m a r g i n a l   u t i l i t y   o f   m o n e y   a n d   i t s   a p p l i c a t i o n ,   E c o n o m i c a ,   V o l .   X I I I ,  

19

33

, 

( 4 )   A l l e n ,  

R .  

G .   D . :   M a t h e m a t i c a l   A n a l y s i s   f o r c   E o n o m i s t s ,   L o n d o n ,  

96

2,

p p

246ー

.  

8,

30

0,

3 

31

. 

高木訳﹁経済研究者のための数学解析﹂上巻︑第十章

︑︑

︑︑

︑

これまで︑われわれは完全競争あるいは厳密な競争を前提として理論を展開してきた︒本節では不完全競争ある

︑

︑

︑

︑

︑

︑

︑

︑

︑

︑

いは制限的競争のもとで既述の有効な転置がどのようにして行なわれるかを分析してみよう︒

本源的生産要素の数量が与えられている場合に

(3 . 7) , 

るいは独占形態がこれらの方程式の修正形式で表現される均衡状態を期待しうるのである︒生産者がその生産物へ

対する需要の価格に対する関係に関して何らかの仮説を試みるとき︑上の二方程式は成立する︒その理由は︑その

価格がこの生産者の行動決定の範囲外にあるとは想定しないからである︒特に独占企業はその利潤を極大化しよう

であるかを知ると仮定する︒すなわち

( 5 . 1 )  

これ

より

︑

の関係について︑

(5 .  l a )

  この独占企業が価格は与えられたその費用函数のなかに含まれると考えるとき︑その価格と生産との間

この独占企業の計画を支配する次式へと導くのである︒すなわち

開西

大學

﹃網

清論

集﹂

第一

四巻

第三

号

(i. 

13) 

( j .  

12)  その生産物の需要の弾力性

e i

一 六

297 

したがって︑

d

(j

. 12)

を含まない

d n

p ; d q

;  

+  q

; d p ;

‑ .

ビ  

き

d q /

︑

1 3 )   1•12 (5.1)

式で

(5.la)

が生ずるのである︒この和を求めると

(5.2) 

が導かれる︒

条件式となり︑

のである︒したがって︑1と相異なる次の形の方程式

< u   V s  

I I R e u  

哭

Q

u

突

Q

e u Q s Q u

uw

のなかの係数

R

U

W

これまで取り扱ってきた諸関係式は︑方程式の個数が示す座標．外︑

P i を十分に決定することを必要としないで

求められた︒均衡状態の描写因を完全なものとするために︑

に費消される

m

を示す

f l i

の大きさは統計的に確定されるのである︒エバンスが﹁多数個の変数より成る多数個の連立方程式は︑そ

( 1 )  

れぞれ正しいこともあるし間違っていることもあり︑経済体系に関して余り情報を提供しない﹂と指摘し︑必要と

指数の一般均衡理論︵高木︶

一般に需要関係が与えられるc

一 七

たと

えば

︑

食

(3 .7 )

式を含んでおり︑同様の変形は(4.10)式においても生ずる (5.2)式はわれわれのいう有効転置の原則となるのである︒

なお

︑

この制約条件式は

に等を

1 r i

( p

; d q ;

+ 

q

; d p ; )  

1 1

ピ

P ; d q ,

i.13 j.12 

が成

立し

︑

(5.1)式は本稿のはしがきで述べた一︱一部門の経済体系の追加的制約

298 

隅西大學﹃網済論集﹂第一四巻第三号

する情報をしだいに増大する二つの可能性として統計的操作と経験によって示唆される関係に従うと言う場合の前

︑︑

︑︑

者がこれに対応するのであるcゆえに︑前節まで述べた完全競争あるいはフリッシュのいう純粋競争の想定だけで

は経済体系の全般にわたる説明は不十分であり︑むしろ独占企業の存在を考慮に入れることこそ︑より必要な方法

と言わなければならない︒

( 1 )   E v a n s ,   G .   : 

ib

id

, 

P .  

7.

ここで利子率の要素を取り入れて問題の解決へと進もう︒すなわち︑従来の指数理論の欠けるところの一っとも

いうべき面であり︑あるいは本稿の目的は指数の経済理論に利子率の要素を取り入れることによって︑経済分析の

手段としての指数の意味を内容豊かにしようとするのである︒

生産に使用される貨幣︑すなわち︑貨幣資本は特別の部門に属するその所有者より第二部門の本源的生産要素で

ある土地︑労働の用役と同様に他の部門に貸付けられ︑地代︑賃金と同様に利子率として均衡方程式に入ってく

る︒利子率の導入は︑総生産費が生産者によって次式で示されるように限られた大きさで取りあげられると仮定し

て可能となるのである︒すなわち

( 6 . 1 )  

ピ き

qj

il

lk

i

J‑12 

•

第一・三部門のもの総和が第一・ニ部門の財貨の生産者間に分割される場合の総生産費額を示すものであり︑この

場合も利潤の極大化は生産者の行動目的であり︑その限界生産物の価値がその価格に相等しいところでそれが実現

六

(i. 

13) 

一 八

299 

指数の一般均衡理論︵高木︶．

a . a )

されるという命題が取りあげられる。この場合の生産要素の結合は最適結合であり、最適生産要素量である

•K

(6.2a) 

この方程式に従って極大利潤の条件を決める必要がある︒通常︑

(6.3) 

が成

立し

︑

(6.3a) 

この方程式より利潤極大生産方法は次のように導かれる︒すなわち

IIFmp"

—

Pm(1+i)110

哭（ヽ— MK)

o m  

II

EP

"

ーP ‑

︵1

+A

)1

0 1

•

0(7

i k

)

t ) l  

(6

.4

) 

(6 .5 ) 

や や

z

1+

i 

}這

E 2

"  

I I  

1+

A 

P l

I I

忌 ド

1+

i 

1  これより

7

ー 娑 ぶ

ゞ ー

mp

m(

1+

i)

ー

pI

(1

+i

)

7—娑

II4

m}m

bl

i(mpm ＋穿）

( 1 )  

A

m+

‑

｀

P ‑ 1 1

k ̀

m序

＋

l p ‑ 1

1 K

︑ 貨幣資本額とする︒しかるとき

(6.2) 

︵竺

竺価

速︶

一 九

このような場合に取られる方法としてのラグラン

‑‑‑‑‑‑‑‑‑・‑‑‑‑ニ‑‑‑・‑----'----ニ---•一̲,̲‑‑‑‑‑‑' ‑・・ 

・ー・‑ ‑ ‑‑‑・ ・・・~ - - , · 一一

300 

大化の生産方法を決めることであったが(3.5)式より 第一部門の生産者財を生産する企業の貨幣資本額の変化の︑この企業によって得られる利潤に及ぽす効果を分析

する︒そのため次の一連の方程式を迩べておかなければならない︒既に指摘したようにわれわれの問題は純利潤極 して考察し︑がに類推しなければならない︒ したがって︑二個のラグランヂュの乗数の経済理論的解釈を更に追求しなければならない︒そのために︑ 二個だけ超過している︒ 七個の未知数m︑ l︑m

︑ ︑

i︑

3︑_J

) m

および

P l

を含

み︑

鵬西

大學

﹃繹

済論

集﹄

第一

四巻

第三

号

全 予

＂ ＂ ＂  

1 + i  

︑

(6

.7) 

pl

(6.4ー6.5)式は完成消費財部門

れの第一部門・ランゲの第二部門︶に関する貨幣資本以外の生産要素価格であり︑

(6

.8

) 

(6.9) 

(6 .1 0)  

および既述の各部門の生産要素の購入のために投下される貨幣資本額を示す

(6 .2 )￨

︵

6. 2a )

式の九個の方程式は

ラグランヂュの乗数

i

l + l

︑

11

L

両部門の労働供給量

m + m ̀ mI I 支J

︑

︑ )

f1

1F

(m

J)

第三部門の生産函数 産函数

︵わ

れわ

れの

第三

部門

・ラ

ンゲ

の第

一部

門︶

︑

入に関

(6 .4 ) 

￨︵6.7)式と第一部門の生 (6.6 ￨ 6.7)式は生産者財部門︵われわ

二 0

301 

あるいは

h m d m + P

‑ d l l l d K  

d 7 1 1

︵

i

予

m

d m + p l d l )

d 7 1 1

︹ こ

＋

i

P m ー

P m ︺ 令 ー ︹

︵

1 ＋

A ) p l

ー p

n d l

d711(F4"—Pll) 合＋（ Fき—P- ）

d l  

で示される︒これを

(6 .1 1)

式へ代入すると

を得

る︒

なお

︑

(6.12) 

d "

や合＋ 1 1

F 1 d l  

(2.8)式より商品の生産高の変化は

(6 .1 1)  

となり︑更に

(6

4.

),

 (

6.

  5) 式より

F 4

"

1 1 ( 1 + i ) P m  

F き

1 1 ( 1 + i ) p l

を得る︒これを

d n

なお︑既述の(6.2)式より︵但しこの場合K

は変

数で

ある

と想

定し

て︶

(6.13) 

したがって

(6 .1 4)  

が導

かれ

るが

︑

d 7  

＂ ＂ ＂   d K  

i 

︑︑

︑︑

︑

この式の右辺は貨幣資本の増大による利潤の限界増加率を示すものであり︑貨幣資本の限界利潤性

指数

の一

般均

衡理

論︵

高木

︶

d 7 1 1 p "

  d , , ‑ , P m d m

ー

P l d l

‑‑‑"・‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑ー・・一—ー・~- ^{‑‑‑‑‑‑}

302 

と称せられるものである︒いま︑

を企業の貨幣資本の増分とすれば

A k

d

AK  d k  

に当るものが利子として支払われなければならない︒ゆえに

d m A d

式

K

より入

ラグランヂュの乗数は利子率に相等しい︒このことは第三部門のがに関しても同様である︒したがって入

1 1

は費用の要素ではなく︑(6.1)式で示される均衡条件において利子率として現われるのである︒なお︑(6.1)

式に

おいて

•ql の選択に関して次の表現を極大化するのであるが、それはまたラグランヂュの乗数、すなわち利子率が加

わる制約式である︒

なお

︑

I i 1 1 P i q i

ー ビ き

q j i 1

i 望 ー 1

ピ き

q j i

＋史

k i

ー ・ ピ き

q j i

︺ ・

j . 1 2  

1.12 これより次の(6.15)式を得ることができる︒

(6.15) 

p;~-(1

+§ II O

︑

この式より利潤を定義すると

となる︒貨幣資本の借手の側︑貸手の側において完全競争の状態を想定するから

i i l l

i

えら

れる

︒

同様の形式的結果はこの数量を極値として求められるのである︒すなわち

ただ

し︑

I I I i . B p きー 氾

2

き

さ ・

この場合の制約式は

̀ i 1 1 I i

￨ i i k i  

開西大學﹃繹済論集﹄第一四巻第三号

(i. 13) 

(j

. 

1 2 )