中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年
６ 三 平 方 の 定 理
[思 考 力 ・ 判 断 力 ・ 表 現 力 を 育 む問 題 ]
中 学 校
年 組 号 氏 名
■
数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名■練習問題①
下 の三 平 方 の 定 理の 証 明 の 方 法 に つ い て ，太 郎 さ ん と 花 子 さ ん が 考 え て い ま す 。あ と の (1)，
(2)の 各 問 い に 答 え な さ い 。
●三 平 方 の 定 理●
直 角 三 角 形 の 直 角 を は さ む ２ 辺 の 長 さ を
a， b，
斜 辺 の 長 さ を
c
と す る と ， 次 の 関 係 が 成 り 立 つ 。a ２
＋b ２
＝c ２
(1) 太 郎 さ ん は ， 次 の よ う に 考 え て証 明を し ま し た 。アか らウの に あ て は ま る 式 を 答 え な さ い 。
証 明
直 角 三 角 形
Ａ Ｂ Ｃ
と ， 直 角 三 角 形Ａ Ｂ Ｃ
と 合 同 な 三 角 形 を 右 の 図 の よ う に 並 べ る と ， １ 辺 の 長 さ がc
で あ る 正 方 形 の 内 側 に ， １ 辺 の 長 さ が で あ る 正 方 形Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ
が で き る 。 ４ つ の 直 角 三 角 形 と 正 方 形Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ
の 面 積 の 和 は ， １ 辺 の 長 さ がc
で あ る 正 方 形 の 面 積 に 等 し い か ら ，４ × ＋ ( )
２
＝左 辺 を 整 理 す る と ，
a ２
＋b ２
＝【 解 答 】
ア イ ウ
(2) 右 の よ う に 直 角 三 角 形
Ａ Ｂ Ｃ
の 頂 点 Ｃ か ら 斜 辺Ａ Ｂ
に 垂 線Ｃ Ｄ
を ひ く と ， △Ａ Ｂ Ｃ， △Ａ Ｃ Ｄ， △ Ｃ Ｂ Ｄ
は す べ て 相 似 に な り ま す 。 こ の こ と を 利 用 し て ， 花 子 さ ん は ， 次 の よ う に 証 明を し ま し た 。証 明の ① の 部 分 を 参 考 に し て ， ② の 部 分 に あ て は ま る 比 例 式 と 等 式 を 答 え な さ い 。 ま た ， ③ に あ て は ま る 等 式 を 答 え な さ い 。証 明
Ａ Ｄ
＝x，Ｂ Ｄ
＝y
と す る と ，△
Ａ Ｂ Ｃ
∽ △Ａ Ｃ Ｄ
だ か ら ，b： x
＝c：b
①
b ２
＝c x
△
Ａ Ｂ Ｃ
∽ △Ｃ Ｂ Ｄだ か ら ，
【 解 答 】②
よ っ て ，
a ２
＋b ２
＝c y
＋c x
②＝
c ( x
＋y )
③ だ か ら ，
a ２
＋b ２
＝c ２
③a
b c
Ａ
Ｂ Ｃ
ア
Ａ
Ｂ Ｃ
c
a b
Ｄ
Ｅ Ｆ
イ ウ
Ｃ
Ａ Ｄ Ｂ
x y
a
c b
ア
ウ
： ＝ ：
＝
： ＝ ：
＝
＝
＝
■
数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名■練習問題②
１ 右 の よ う な ∠ Ａ ＝ ∠ Ｃ ＝９ ０○ で あ る 四 角 形
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
に お い て ， 辺Ａ Ｄ
の 長 さ を 求 め な さ い 。【 解 答 】
ｃ ｍ
２ 右 の よ う な △Ａ Ｂ Ｃの 面 積 を 求 め な さ い 。【 解 答 】
ｃ ｍ ２
３ 右 の よ う な １ 辺 の 長 さ が ４
ｃ ｍ
で あ る 正 四 面 体Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
に お い て ， 辺Ａ Ｄ
，Ｂ Ｃ
の 中 点 を そ れ ぞ れ Ｅ ， Ｆ と す る と き ， 次 の (1)， (2)の 各 問 い に 答 え な さ い 。(1) 線 分
Ｅ Ｆの 長 さ を 求 め な さ い 。
【 解 答 】
ｃ ｍ
(2) 正 四 面 体
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
の 体 積 は ， 三 角 錐す いＣ Ａ Ｆ Ｄ の 体 積 の２ 倍 に な り ま す 。 こ の こ と を 利 用 し
て ， 正 四 面 体Ａ Ｂ Ｃ Ｄの 体 積 を 求 め な さ い 。【 解 答 】
ｃ ｍ ３
ＡＢ Ｃ
６ｃｍ １０ｃｍ
３０°
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
４ｃｍ
Ｅ
Ｆ Ｂ Ａ
Ｃ
３ｃｍ
５ｃｍ
４ｃｍ
Ｄ■
数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名■練習問題③
右 の よ う な 底 面 の 半 径 が ４
ｃ ｍ
で ， 母 線 で あ るＯ Ａの 長 さ が １ ２ ｃ ｍ
の 円 錐 が あ り ま す 。す いＯ Ａ
の 中 点 を Ｍ と す る と き ， 次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に 答 え な さ い 。(1) 円 錐 の 側 面 積 を 求 め な さ い 。
【 解 答 】
ｃ ｍ ２
(2) 右 の よ う に ， 点 Ａ か ら 円 錐 の 側 面 に 沿 っ て １ 周 し て 点 Ａ ま でそ 糸 を 張 る と き ， 最 も 短 く な る と き の 糸 の 長 さ を 求 め な さ い 。
【 解 答 】
ｃ ｍ
(3) 右 の よ う に ， 点 Ａ か ら 円 錐 の 側 面 に 沿 っ て １ 周 し て 点 Ｍ ま で 糸 を 張 る と き ， 最 も 短 く な る と き の 糸 の 長 さ を 求 め な さ い 。
【 解 答 】
ｃ ｍ
１２ｃｍ
４ｃｍ
ＯＭ
Ａ
糸
１２ｃｍ
４ｃｍ
ＯＭ
Ａ
糸
１２ｃｍ
４ｃｍ
ＯＭ
Ａ
中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年
６ 三 平 方 の 定 理
[思 考 力 ・ 判 断 力 ・ 表 現 力 を 育 む 問 題 ]
[解 答 例 ]
中 学 校
年 組 号 氏 名
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題①
(1)
ア
a
－b
イa b
ウc ２
【 ポ イ ン ト 】
右 の 図 の よ う に ， 正 方 形
Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ
の １ 辺 の 長 さ はa
－b
と な る ね 。 ま た ， 式 の 左 辺 に つ い て は ， 次 の よ う に 整 理 す る こ と が で き る ね 。４ ×
a b
＋（ a
－b ） ２
＝c ２ ２ a b
＋ (a ２
－２ a b
＋b ２
) ＝c ２ ２ a b
＋a ２
－２ a b
＋b ２
＝c ２ a ２
＋b ２
＝c ２
(2)
②
a：y
＝c： a y：a
＝a：c c： a
＝a： y
a ２
＝c y a ２
＝c y
，c y
＝a ２
な ど ， 同 値 な 式 は 正 答 と す る 。③
x
＋y
＝c
【 ポ イ ン ト 】 (② に つ い て )
△Ａ Ｂ Ｃ∽ △
Ｃ Ｂ Ｄ
で ， 右 の 図 の よ う に そ れ ぞ れ△Ａ Ｂ Ｃの 辺
Ｂ Ｃ
に 対 し ， △Ｃ Ｂ Ｄ
の 辺Ｂ Ｄ ，
△Ａ Ｂ Ｃの 辺
Ａ Ｂ
に 対 し ， △Ｃ Ｂ Ｄの 辺 Ｃ Ｂ
が 対 応 し て い る 辺 に な っ て い る ね 。 だ か ら ，Ｂ Ｃ
：Ｂ Ｄ
＝Ａ Ｂ：Ｃ Ｂと な り ，比 例 式 の 外 側 の 項 の 積 と 内 側 の 項 の 積 は 等 し い か ら ，
a： y
＝c： a
a ２
＝c y
と な る ね 。(③ に つ い て )
Ａ Ｂ＝ c
で ，Ａ Ｄ
＝x，Ｂ Ｄ
＝y
と し て い る の で ，x
＋y
＝c
は い え る こ と だ ね 。x
＋y
＝c
よ り ，c ( x
＋y )＝ c ２
が い え る の で ，a ２
＋b ２
＝c ２
が 導 け る ね 。Ａ
Ｂ Ｃ
c
a b
Ｄ
Ｅ Ｆ
b a－b
１ ２
２
Ｃ
Ａ Ｄ Ｂ
x y
a
c b
Ｄ
Ｃ
a
Ｂy
１２
４ ２
４１
４１
４ ２
３
２ ２
１ ６ ２ ３
２ ３
２ ３
２ ２
２ ２
８ ２ ３
１ ６ ２ ３
２ ２
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題②
１
ｃ ｍ
【 ポ イ ン ト 】
次 の よ う に 求 め る と い い ね 。
△
Ｂ Ｃ Ｄに お い て ， ∠ Ｃ
＝９ ０○ △Ａ Ｂ Ｄ
に お い て ， ∠Ａ＝ ９ ０
○ だ か ら ， 三 平 方 の 定 理 よ り ， だ か ら ， 三 平 方 の 定 理 よ り ，Ｂ Ｄ ２
＝５ ２
＋４２
＝４ １Ａ Ｄ ２
＋３ ２
＝ () ２ Ｂ Ｄ＞ ０ よ り ， Ａ Ｄ ２
＝４ １
－９＝ ３ ２
Ｂ Ｄ
＝ (ｃ ｍ)Ａ Ｄ
＞ ０ よ り ，Ａ Ｄ
＝ (ｃ ｍ)２
１ ５ ｃ ｍ ２
【 ポ イ ン ト 】
右 の 図 の よ う に ， 点 Ａ か ら 直 線
Ｂ Ｃに 垂 線 を ひ い て ，
∠
Ａ Ｄ Ｂ
＝９ ０○と な る 直 角 三 角 形Ａ Ｂ Ｄを つ く る と ，∠
Ｂ
＝３ ０○よ り ，Ａ Ｄ ： Ｂ Ｄ ： Ａ Ｂ
＝１ ： ： ２
と な る ね 。Ａ Ｂ
＝１ ０(ｃ ｍ)だ か ら ，Ａ Ｄ
＝ ５ (ｃ ｍ)と な り ，
△
Ａ Ｂ Ｃ
＝ × ６ × ５ ＝１ ５ (ｃ ｍ ２
)と な る ね 。３ (1)
ｃ ｍ
【 ポ イ ン ト 】
次 の よ う に 求 め る と い い ね 。
△
Ａ Ｂ Ｃ
は 正 三 角 形 で ，△ Ｆ Ａ Ｄ
は ，Ａ Ｆ
＝Ｆ Ｄ
の 二 等 辺Ｂ Ｆ
＝２ ｃ ｍ， ∠Ａ Ｆ Ｂ
＝９ ０
○ 三 角 形 で ，Ａ Ｅ
＝ ２ｃ ｍ
， と な る か ら ，Ａ Ｆ ２
＋２ ２
＝４ ２
∠Ａ Ｆ Ｂ
＝９ ０
○ と な る か ら ，Ａ Ｆ ２
＝１ ６－ ４ ＝１ ２Ｅ Ｆ ２
＋２ ２
＝ ( )２ Ａ Ｆ
＞ ０ よ り ，Ｅ Ｆ ２
＝１ ２
－ ４ ＝ ８Ａ Ｆ
＝ (ｃ ｍ)Ｅ Ｆ
＞ ０ よ り ，Ｅ Ｆ
＝ (ｃ ｍ)(2)
ｃ ｍ ３
【 ポ イ ン ト 】
三 角 錐す い
Ｃ Ａ Ｆ Ｄ
の 底 面 を △Ａ Ｆ Ｄ
と 考 え る と ， 高 さ はＦ Ｃと な る か ら ，三 角 錐
Ｃ Ａ Ｆ Ｄ
の 体 積 は ，ｃ ｍ
× △
Ａ Ｆ Ｄ
×Ｆ Ｃ
正 四 面 体Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
の 体 積 は ，＝ × × ４ × × ２ 三 角 錐
Ｃ Ａ Ｆ Ｄ
の 体 積 の ２ 倍 だ か ら ，＝ (ｃ ｍ
３
)と な る ね 。 (ｃ ｍ３
)と な る ね 。 １２
３
１ ３ １ ３
１ ２
Ａ
Ｂ Ｃ
６ｃｍ １０ｃｍ
３０°
Ｄ ５ｃｍ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
４ｃｍ
Ｅ
Ｆ
２ｃｍ
２ｃｍ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ Ｅ
Ｆ
４ｃｍ
２ｃｍ Ｂ Ａ
５ｃｍ Ｃ
Ｄ
ｃｍ ４ｃｍ
３ｃｍ ４１
１ ２ ３
６ ７
３ ６ ３
６ ３
２５２ ６ ７
１ ２ ３
６ ３ ３
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題③
(1)
２ ４
πｃ ｍ２
【 ポ イ ン ト 】 円 錐 の 展 開 図
円 錐 の 側 面 は ， 展 開 図 の お う ぎ 形 の 部 分 だ か ら ， 次 の よ う に ，す い 円 錐 の 展 開 図 の お う ぎ 形 の 面 積 を 求 め る と い い ね 。
す い
(求 め 方 ① ) (求 め 方 ② )
お う ぎ 形 の 中 心 角 を
x
○と す る と ， お う ぎ 形 の 弧 の 長 さ は ， 底 面 の２π × １ ２
× ＝２π × ４ 円 周 の 長 さ に 等 し く ，８
πｃ ｍ。
ま た ， 半 径 が
１ ２ ｃ ｍ
の 円 周 の 長 こ れ を 解 い て ，x
＝１ ２ ０
さ は ，２ ４
πｃ ｍ 。
よ っ て ， 求 め る 側 面 積 は ， よ っ て ， 求 め る 側 面 積 は ， π ×
１ ２ ２
× ＝４ ８π (ｃ ｍ２
) π ×１ ２ ２
× ＝４ ８π (ｃ ｍ２
)(2)
ｃ ｍ
【 ポ イ ン ト 】
Ａ ′
(1)か ら ， 円 錐 の 側 面 は 右 図 よ う な 中 心 角 が
１ ２ ０
○の お う ぎ 形(Ａ )
に な る ね 。 (1)を (求 め 方 ② )で 求 め た 場 合 ，中 心 角 は ，３ ６ ０
× ＝１ ２ ０ （○)
と 求 め ら れ る ね 。 求 め る 糸 の 長 さ は ， 右 図 の 点 Ａと 点
Ａ′
を 結 ぶ 最 短 の 長 さ ， つ ま り ， 弦Ａ Ａ ′
の 長 さ に な る ね 。点 Ｏ か ら 弦
Ａ Ａ ′
に 垂 線 を ひ き ， そ の 交 点 を Ｂ と す る と ， ∠Ａ Ｏ Ｂ
＝６ ０○と な る か ら ，△
Ｏ Ａ Ｂは ， ３ 辺 の 比 が １ ： ： ２
の 直 角 三 角 形 に な る ね 。Ｏ Ａ＝ １ ２ ｃ ｍ
だ か ら ，Ａ Ｂ ＝ ｃ ｍ
と な り ，求 め る 糸 の 長 さ は ， ｃ ｍ
と な る ね 。４
ｃ ｍ
【 ポ イ ン ト 】
求 め る 糸 の 長 さ は ， 右 図 の お う ぎ 形 の 点 Ａ
と 点
Ｍ を 結 ぶ 最 短 の 長 さ ， つ ま り ， 線 分Ａ Ｍ
の 長 さ に な る ね 。 右 図 の よ う に，直 角 三 角 形 で あ る △Ｏ Ａ Ｃ
を つ く る と ，∠
Ｃ Ｏ Ａ
＝６ ０ (
○ )だ か ら ， △Ｏ Ａ Ｃ
の ３ 辺 の 比 は ，１ ： ： ２
と な る ね 。Ａ Ｏ
＝１ ２ (ｃ ｍ)よ り ，Ａ Ｃ＝ (ｃ ｍ
)，Ｃ Ｍ
＝Ｃ Ｏ ＋ Ｍ Ｏ ＝ ６ ＋ ６ ＝ １ ２ (ｃ ｍ ) と な る の でＡ Ｍ ２
＝１ ２２
＋ ( )２
＝１ ４ ４
＋１ ０ ８＝２ ５ ２
Ａ Ｍ
＞ ０ よ り ，Ａ Ｍ
＝ ＝ (ｃ ｍ)と な る ね 。８π ２４π １２０
３６０ x ３６０
１２ｃｍ x °（１２０°）
４ｃｍ
８πｃｍ Ｏ
Ａ
Ｏ
Ａ １２ｃｍ
Ｂ
求める糸の長さ
Ｃ
Ａ
Ｏ Ｍ
ｃｍ
求める糸の長さ
