岩石の破壊過程 における

秋 田大学二Ⅰ二学 資源学部 研 究報告 , 第

1 9

号

,1 9 9 8

年

1 0

月

論 文

岩石の破壊過程 における

AE 振幅頻度分布 とき裂のフラクタル性 について

今 井忠 男★･杉 本文 男 ★･鴨志 田直 人★★･山下 秀★

St udyont heFr equenc yDi s t r i but i ono fAEAmpl i t ude

andt heFr ac t alo ft heCr ac ki nt heFr ac t ur ePr oc es so ft heRoc k.

TadaoI MAI ★ ,Fumi oSUGI MOTO士 ,Naot oKAM OSHI DA ' ' ,Shi g er uYAMASHI TA

'

Abstract

l ti swel lknownt hatt hef r equenc ydi s t r i but i onoft heear t hquakes c al es howss t r ai ght r e l at i onont hel og‑ l oggr aph.Thi sr el at i oni sc ons i de r edast heFr ac t aloft heear t hquakes c al e atpr es ent .TheFr ac t ali ss eeni nt hegener alf r ac t ur ephenomenoni nc l udi nganear t hquake.

But , ,t her el at i onbet weent heFr ac t alandt hemec hani s m oft hef r ac t ur ei snotmadec l ear . I nt hi ss t udy,t heAEi nt hef rac t ur epr oc es soft hevar i ousr oc kswasmeasur edandt he f r equenc ydi s t r ibut i onofAE ampl i t udewasexami nedaboutt heFr ac t a

l.

Ast her es u

l

t ,t he c har ac t er i s t i c soft heAEampl i t udedi s t r i but i onc hangedbyt hes c al e,butt heFr ac t aldi men‑

s i onoft hec r ac kdi s t r i but i onpr o vedt hati tdi dn' tc hangebyt hes c al e.

1. 緒 言

物 質が脆性 的 に破壊す る場合,マ クロ的 に観察す る と,せ ん断 力あるいは引張 力によって破断面が形 成 され,物質 は瞬時 に破断 に到 るよ うに見え る. こ のよ うな,脆性破壊 のマ クロ的プ ロセ スでは,破壊 の条件 は,簡単 には物質の強度 (抗 力) と応 力 との 釣 合 によって定義 され る と考 え られ る.す なわ ち, 力の釣 合を破壊 条件 とすれ ば,破壊条件が満た され れ ば物質は瞬時 に破断 し,満た されなけれ ば破壊 は 全 く起 こらない と考 え られ る.

しか し,マ クロ的 には,脆性的な破壊現象であっ て も,岩石のよ うに複雑な組織 ･構造 をもつ物質で は,実 際 には破断面の形成 に先立 って,き裂が発 生 しな い破壊 プロセスは少な く,破断 に到 るまで に大

1 998

年

7

月

29

日受理

*秋 田大学工学資源学部地球資源学科

,De p a r t me n to f Ea r t h S c i e n c ea n dT e c h n o l o

gy

,F a c u l t y o f E n g i n e e r i n g a n d Re s o u r c eS c i e n c e, Ak i t aUn i v e r s i t y.

**秋 田大学大学院鉱山学研究科地球工学専攻

,De p a r t me n to f Ge o t e c h n o l o g y ,Gr a d u a t eS c h o o lo f Mi n i n ga J l d

En g i n e e r l n g ,Ak i t aUn i v e r s i t y,

l l

小 さまざまなき裂が発達す る ことが知 られて いる^1).

具体 的 には,岩石の破壊 プ ロセスで は,マク ロ的な 脆性 破壊が起 こる以前,つ ま り物 質内部では力が釣 合 って いると考 え られ る条件下で ,破断面 とは無関 係 に破壊が生 じ, ミク ロな き裂が ランダム に発達す る ことがわか って きた2). また, この よ うな観点か ら,岩石破壊 に伴 う破壊

苦 ( AE)

を測定す ることで, 破壊 レベル を予測 し,岩 石の破断 ･崩壊 の予知 に役 立て る試みが従来 よ り多 く行われて きたが,精 度良

く予知 ･予測 され るまで には到 って いない.

現在,破壊科学の研究分野 にお いては,破壊 にお け る物 質 内 の大 小 の き裂 の発 達 には, あ る相 似則 (フラクタル) が成立す る ことが指摘 され て いる3).

古 くは,地震学 の分野で,地震 の規模別頻度 分布が 対数 グラフ上で直線 の関係 になる ことが知 られてお り,現在で は, これ らの関係か ら地震現象 にはフラ クタル性がある といわれて いる.本来,フラクタル とは, 自己相似 的な幾何学図形 を表現す る幾何学 の 用語で あるが,今 日では多 くの分野で 自己相似がみ られ る図形 をフラクタル と表現 して いる.フラクタ

ル は,地震 をは じめ破壊現象 に伴 うき裂パ ター ン一 般 に も見 られ ,破壊 の メカニ ズム とき裂パ ター ンの フ ラクタル性 につ いて,数 多 くの研究 がお こなわれ て いる 4).

とくに,近年で は,地震 を含 む破壊現 象 に ともな う振動 エネル ギ分布 は,小規模破壊や大規模 破壊 な ど破壊 スケール ごとに変化す る ことがわか って きて いる⁵⁾⁶⁾.一方 ,き裂 分布 の フ ラクタル次元 は,岩 石 片か ら活 断層 まで ほぼ一定 の値 を示す との報告 もあ る³⁾. 著 者 らは この点 に注 目 して , 岩 石 の 破 壊 昔 (AE)と破壊 スケールお よび き裂 分布 の フ ラクタル 次 元 につ いて研 究 をお こな った .具体 的 には,各種 岩 石の破壊 プ ロセ ス にお けるAEを測定 し,AEの振 幅頻 度 分布か ら,破壊 の フ ラクタル性お よび スケー ル別 の変化 につ いて検 討 した.この結果,AE振 幅頻 度 分布 には破壊 ス ケール別 の変 化 が認 め られ た が , き裂 の フラクタル性 にはあ ま り変化 はな く, ほぼ一 定 で ある ことを推 論 した.以下 にそれ らの詳細 を報 告す る.

2.

破壊 の フラクタル性

2. 1

フラクタル の定義

幾 何学で は,ある図形 の一 部 と全体 が 同様 な形 を な して いる とき,この図形 を 自己相似 図形 と定 義 し, フラクタル図形 と呼 んで い る.一般 的 には, あ る図 形 が , 全体 を1/aに縮 小 した相 似 図形 によって,aD 個 で 構 成 され て い る よ うな場 合 , この 図 形 を相 似

(フラク タル)次 元 β の 自己相 似 図形 とい う. しか し, この ままの定義で は,幾 何学 的 に厳密 な 自己相 似性 を有す る図形 (例 えば コ ツホ曲線 な ど) に しか フ ラクタル次元 を求 め る ことがで きな い.

そ こで ,ハ ウス ドル フお よび コルモ ゴ ロフは任意 の図形 に対す る相 似次元 をそれぞ れ定 義 した 7).両 者 の概念 はほ ぼ等 しいた め, ここで は,コル モ ゴ ロ フが定 義 した相似 (容量 ) 次 元か｡につ いて説 明す る.い ま,半径rの球 によ って 図形 を被覆す る とき, 球 の個数 を

〃( r )

とす る と,容 量次 元 は次 式で表 され る.

Dc

‑i i .

^‑

o

^豊

( 2･ 1 ,

上式 のDcは,任意 図形 に対 す る数学 的 に厳 密 な相 似次 元 の定義で あ る.また,式

( 2. 1 )

の関係か ら,実 用 的 に図形の フ ラクタル次元 を求 め るには, 囲形 に 対 し十 分 小 さい半径rの球 を用 いて

N( r )

を測 定 し･

次 式 の関係 を調べれ ばよ い.

N( r )∝r

‑D

( 2･ 2)

ここで

,

β は フ ラクタル次元 で あ り,上式 の関係 か らDcとほぼ等 しい次 元 を得 る ことが で き る･ 上述 の測定 によって ,平面 図形 の フラクタル次元 を求 め る と,散在す る点 の フ ラクタル次元 はほぼ

8 ‑0

,な め らか な曲線 は

β =1

,平面 を覆 い尽 くす 複雑 な点 お よび線 によ る図形 は

β =2

に近づ くことが知 られ て いる.

また ,地震 な ど破壊現 象の フ ラクタル次 元 を求 め る場 合 は,図形 の フラ クタル次 元の定 義 とは別 に, 分布 関数か ら求 め る ことがで きる.具体 的 には,以

下のよ うにな る.破壊 によ って 生 じるき裂 の長 さを Lと し,Lよ りも大 きいす べて の き裂 の発 生確 率 を

p( L)

とす る･いま,き裂 の長 さ分布 が 自己相似 的で ある と仮定す る と,Lの九倍 よ り大 きいき裂の発生確 率

P( 入L , )

と

P( I

,

)

とは次 式 の関係 が成 立 しな けれ ば な らな い.

p( L) C

(

P( AL)

(2･3) この よ うな関係 を満たす分布関数 は,次 式 に示すベ キ関数 に限 られ る ことが知 られ て い る.

p( i) ∝LJ D ( 2

･4) と くに,上式の関係 をパ ワー則 とい い, フ ラクタル 図形 を含む多 くの 自己相似的な 自然お よび社会現 象 にみ られ る.

また , あ る長 さL以 上の き裂 の数

N( i)

と発 生確 率

p( i)

は比例す る ことか ら,式

( 2

･4)は

,N( i)

と

L

との関係 と同様 で,次 式が成立す る.

N( L , )

∝ LJD (2･5) ち ょうど この関係 は,半径Lの球 で図形 を被覆 した 場 合 の球 の個数

N( i)

と球 の 半径Lとの関係 と同様 で ある ことか ら,式(2.4)お よび(2.5)の指数Dは フ ラクタル次 元 と同値 で あ る といえ る^7).

一般 には,破壊 の フ ラクタル は,式(2.5)お よび式

( 2. 2)

によ って測定 す る ことがで きる.

2. 2

岩石破壊 および地震の フラクタル性

地震 の規模 と頻 度の関係 は,次 に示す グーテ ンベ ル グ ･リヒタ‑ の式 として以前 よ り知 られ て いる.

l ogN( M)∝‑b M ( 2･ 6)

ここで

,〟( 〟)

は,マ グニチ ュー ドが 〟 以 上の地震 の数,bは係数で ある.また ,マ グニチ ュー ドはモー メ ン ト〟｡の対 数値 に比例す る ことか ら,式

( 2･ 6)

は

岩石 の破壊過程 におけ る

AE

振幅頻度分布 とき裂 の フル クタル性 につ いて

Moに関す るパ ワー則 で示す ことがで きる･

N(M

｡)

∝MJb

( 2. 7) M

.は長 さの単位で はないので

,b

はフラクタル次元 と一致 しないが ,上式 よ り地震現 象 には 自己相似性 が成 り立 って いる と考 え られ る.なお , これ まで全 世 界で発 生 した地震で は

, b

=

2/ 3

程度 と算定 されて いる 1).

石本 ･飯 田 ら8)は,同様 な現 象 につ いて グーテ ンベ ル グ ･リヒタ‑の研究 よ りも先 に,次 の関係 が成 り

立つ ことを発表 して いる.

n ( a) d a ∝ d Lm d a

ただ し

, a

は地震 の最大振幅値

, n ( a) d a

は

a

と

a+d a

の間 にある地震 の数 で ある.

ここで ,式

( 2. 6)

と式

( 2. 8)

との関係 を述 べ る.マ グニチ ュー ド〟 と地震振幅 αは次 式で定義 され る.

M‑l o g ( dT) + q ( A , h )

^(2.9)

ただ し,Tは波の周期

, q (

^A,坤 ま観測地点の震央距離

A

と震源 の深 さ

h

に対す る補正係数で あ る.上式 に お いて ,地震 波形 の周期が ほぼ一定 で,かつ

q( A, h)

もほぼ一定値 の場 合 を仮定す る と,次 式の関係が得 られ る.

M ∝l og( a) ( 2･ 10)

上式の関係か ら,式

( 2. 8)

はm >1の条件で aか ら∞

まで積 分す る と,式

( 2. 6)

と同様 とな り,次 の関係 を 得 る^9).

m =b+l

(2.ll)

また

,Mogi

2)は,式

( 2. 8)

の関係 を用 いて,岩 石破 壊 にお ける

AE

の振 幅分布 を地震 の分布 に見立 てて 研究 した.そ の結果 ,式

( 2. 8)

の関係 は,すべて の破 壊 スケール にお ける

AE

振 幅 分布 には あて はま らず , あるスケール ごとに不連続 に指数mが変化 す る こと を明 らか に した .同様 の現 象は地震 の分野で も知 ら れてお り,余震 と本震のモー メ ン ト分布 は不連 続な 関係 にあ る ことが明 らか にな って い る5).

次 に,係 数

b

とフ ラクタル次元

D

との関係 につ い て検 討す る.

Si mazaki

^lO⁾は地震 によ って生 じる断層 の長 さ

L

とそ のモー メ ン ト

M

oにつ いて以下 の よ う な関係 を得た .

( :

^霊

( 〟｡ ^{≦7･ 5}

^×1

0

1

8 N m )

(M.

,7･ 5 ×1

018

Nm) ( 2･ 12)

1 3

⊥ U 1 2

l l

6 7TheeXpans i ono fA★

●

‑

‑ @ : 5

5 一 ■ 9

3 2

1

1 . Pe r s o nalc o mput e r . 2. Di g i t a lc o nt r o l l e r . 3.

I

J O adi ngs ys t e m. 4. Lo adc e l

l

.

5

. St r a i nampl i f i e r . 6. Ampl i f i e r .7. Hi g h pas sf i l t e r .8. AEwa vemo n i t o r . 9. AEme as ur i ngS ys t e m. 1 0. Ro c ks pe c i me n.

1 1 . AEs e ns o r . 1 2. Di s pl a c e me ntt r ans duc e r Fi g.1Sc he ma t i cdi ag r amo funi axi a lc o mpr e s s i o n

t e s ts ys t e m andAEme as ur i ngs ys t e m.

式

( 2. 12)

の関係 は,大規模地震 と小規模地震 で は断 層の発達 のメカニズムが異な り,Moと

L

の関係 にお ける指数 が整数 倍 に変化す る ことを示 して いる. こ の現 象 もまた,前述 の指 数m

や

bの値 が スケール に よ って変化す る現象 と関連が あ る と予想 され る.

ここで ,式

( 2. 12)

と式

( 2. 7)

の関係か ら次 式 を得 る.

N( I , ) ∝

^{L nb} (2･13) た だ し

, n

は式

( 2̲ 12)

を拡 張 し,地震 規模 によって

1

,

2,3

,‑ ･と変化す る係 数 で ある.とくに,上式 は

nb ‑2

とす る と,次 の ロジ ン ･ラム ラー の関係 とし て ,以 前 よ り粉体 工学 の分野 で知 られて いる.

N( L ) ∝ ^{L 2}

(2･14) ここで

, L

は固体物質 を粉砕 した ときの破砕片 の代表 長 さ

, N( L )

は

L

以 上の破砕 片の累積個 数 で ある･た だ し,破砕 の条 件 によ って は

,nb >2

とな る こ とも 知 られ て いる11). ロジ ン ･ラム ラー の関係 よ り,破 砕 片 の長 さを破壊 にお ける空間 の き裂長 さ と仮定す る な ら, き 裂 分 布 に も ロ ジ ン ･ラ ム ラー の 関 係

( nb ‑2)

が成 り立つ と考 え られ る.また,式

( 2. 1 3)

Tabl e1Me c hani c al andphys i c alpr o pe r t i e so fr o c ks .

I t ems Uni t Kur i has higr ani t e K imac his ands t o ne Og inot uf f Co mpr es si ves t reng也 ( MPa ) 132. 2

Yo ung ' smodul us ( GPa) 51 . 6 Poi s s on' sr at i o

Por o s i t y

Pwaveve l oc i t y Swaveve l o c i t y

9 8 1 0 3 3 2 2 9 6 8 3 0 0 2 1 3 1 2

は式

( 2. 5)

と一致す ることか ら,フラクタル次元 β と

nb

は等 しい.

D

=

nb ( 2. 15)

したが って,地震規模 に対 し適 当なnを選択す る こ とによ り,地震 の規模別分布か らフラクタル次元 を 求め る ことがで きる.ただ し,これ までの研究で は, b

#1

程度の現象 しか報告 されて いないため

,n =2

として いる場合が多い･同様 に

,AE

振幅αと〟｡は 比例 の関係が あるか ら,式

( 2. 13)

を用 い る ことに よって

AE

の振幅分布か らフラクタル次元 を求 める ことがで きる.

本研究では,上述 の議論か ら,岩石破壊 にお ける

AE

の振幅分布 を測定 しb値 を求 め,破壊規模 とフ ラ

クタル性の関係 につ いて考察 した.

3.

岩石の‑軸圧縮試験 における

AE

計測

3. 1

実験装置および方法

本実験で は

,3

種類の岩石 を試料 として‑軸圧縮 によ り破壊 させ ,破壊過程 にお けるすべての

AE

を測 定 した.

Fi g. 1

に実験 装置の概略図を示す.岩石試験 片は,載荷試験機

( MTS,315)

によ り,一定 のひず み速度

( l ol a/ S )

で コン トロール し,載荷 ･除荷 を繰 返 して破壊 させた.具体 的 には,対 象 とす る岩石試 験 片 の平均強 度 に対 し, は じめ約

50%

の荷重 を載 荷 ･除荷 し,次 回か ら

60%,70%

と

1 0%

ずつ載荷荷 重 を増加 させ なが ら,繰返 し載荷 ･除荷 し, この過 程 を強度点 に到 るまで繰返 した.ただ し,除荷過程 で は,はば荷重

O

まで除荷 した.

試験 片には共振形

AE

セ ンサ (

DUNEG

AN

,S1 40

】】,

1 20kHz )

を直接取付け,繰返 し載荷 ･除荷過程すべ の

AE

振動 を測定 した.セ ンサが取得 した

AE

信号 は ア ンプ

( NF,

p

‑ 62A)

で

200‑ 500

倍 に増幅 し,

1 00kHz

のハイパス フィル タ

( NF,

p

‑ 85)

で ノイズ を除 去 した の ち

,AE

計 測 装 置

( PHYSICAL ACOUSTI CS

,I

J O C an320)

に入力 した.

AE

計測装 置

で は

,AE

波形 を リアル タイムで解析 し

AE

振幅等 の デー タを保存 した.

AE

の測定 にあた って は,ノイズ と

AE

を分別す るため,最 大の ノイズ レベルよ り少 し 高 い しきい値 を設定 し, しきい値以上の レベルの信 号 を

AE

として計測 した.また

,AE

振幅値の解析 に あた っては,しきい値 を超 えた

AE

波形が検知 された とき,検知か らある時間内に しきい値以下 に減 衰 し た波形 を

1

つの

AE

波形 とみな し,この波形 にお ける 最大値の振幅 を

AE

振幅値 とした.

3. 2

実額試料

今回の実験で は,実験試料 として,栗橋花園岩 (岩 手県釜石市産),来待砂岩 (島根県宍道町産),荻野 凝灰岩 (福島県高郷村産)の

3

岩種 を用 いた.

Tabl el

にそれぞれの試料岩 石の基礎物性値 を示す .栗橋花 岡岩 は,鉱物の平均粒径が

1 mm

程度で,厳密 には斜 長石 に富 んだ花樹閃緑岩 に分類 され る.来待砂岩 は, 火山岩片か ら変質 した凝灰岩質の粒子 を主 とし,平 均粒子径が

0. 76mm

で比較的粗粒 の砂岩で ある.荻 野凝灰岩 は,主 として,長 さ

0. 1‑ 0. 5mm

程度 の細 粒 火山ガ ラス片か らな り,そ の大部分は沸石化お よ び粘土鉱物化 している.

また,一軸圧縮試験 で は.それぞれの岩 石 を円柱 状 (直径

35mm

,長 さ

70mm)

の試験 片 に整形 し,試 験 に用 いた.

3. 3

実験結果

Fi g. 2( a) ,( b) ,( C )

は,それぞれ栗橋花南岩 ,来待 砂岩,荻野凝灰岩 につ いての,繰 り返 し載荷 ･除荷 試験 にお ける応 力 と

AE

の時間変化 の例 を示 して い る.グラフは,横軸 に試験時間,縦軸 に応 力お よび

AE

振幅 を とり,繰 り返 し載荷 ･除荷試験 の応力変化 と試験 中に発生 した

AE

振幅値 をプロッ トした.ここ で

,AE

振幅 は,最 大振幅値 aとしきい値afhとの比

a/athで表 し対数軸 に示 した.なお,グラフ中の ドッ ト

1

つが

1

つの

AE

振幅比 を示 し,三 角波形が応 力変

岩石 の破壊過程 におけ るAE振幅頻度分布 とき裂 の フル クタル性 につ いて

1 5

(dd W)

が巴一SaA

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Fi g.2( a)Fl uc t uat i onofAEampl i t uder at i o f orKur ihas hig r ani t ei nc yc l ic c ompr es s i ont es t .

50 胡 30 20

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2 00

1

Fi g.2

(ち)

Fl uc t uat i onofAEampl i t uder at i o f o rK i mac his a n ds t onei nc yc l i c c ompr es s i ont es t .

化 を示 して いる. また ,繰 返 し載 荷 過程 にお け る ピー ク応 力値 は,試験 片の強度 に対す る割 合 に換算 し図 中に示 した.

図よ り

,3

岩種 とも繰返 し載荷過程 にお ける ピー ク応 力値付近 に対応す る時間帯で

AE

が多 く発 生 し, ピー ク応 力値が大 きくな るに したが い,大 きな振幅 の

AE

が増加 して いる ことがわか る.注 目すべき点 は,ある応 力倍以 上になる と大 きな振幅 の

AE

が,急 激 に増加す る ことである.具体 的 には,栗橋花 闇岩, 来待砂岩 ,荻野凝灰岩で は,それぞれ ピー ク応力比 が

65%,78%,66%

以 上で大 きな振幅 の

AE

が増加 しは じめ

,100%

で急増 して いる.ただ し,他 の

2

岩 種 に比較 し,荻野凝灰岩の

AE

振幅の変化点 は,本図 か らはあま り明確 とはいえない. このよ うに,振幅 の大 きい

AE

が載荷応 力に対 し不連続 に増加す る現 象か ら,岩 石破壊 は連続的 に進行 し破断に到 るので な く,初期の破壊 メカニズムが ある載荷応 力 レベル

(t

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50 胡 30 20 t0

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日日l ‥日暮 ( C )Og

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El aps edt i me ( s ec )

Fi g.2( C )Fl u̲ c t uat i onofAEampl i t uder at i o f orOg inot uf ti nc yc l i c

c ompr es s i ont es t .

(㌔rc)

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( C)

Kur i has hig rani t e K i mac his ands t one Og ino t uf f Fi g. 3 Phot ogr aphofr oc k. q pec l me nSaf teruni ax i a l

c omp工 ･ eS S i ont es ts.

か ら別 のメカニズム に移行す る ということを示唆 し て いる と予想 され る.以下で は, この点 について詳

しく考察す る.

4.

岩石の構造 と

AE

振 幅頻度分布の特徴

4. 1

岩石の構造 と破壊の特徴

Fi g. 3( a) ,( b) ,( C)

は,それぞれ栗橋花 岡岩 ,来待 砂岩,荻野凝灰岩 の試験 片を繰返 し載荷 ･除荷試験 によって破断 させ たのちの写真で ある.ただ し,読 験片の長 さ方向が載荷軸で ある.

図よ り,栗橋花 房岩 は棒状 に膨 らみ,載荷軸方 向 に引張 力によるき裂を発達 させ ,明確 なせ ん断面が 認め られ ない. これ に対 し,来待砂岩 と荻野凝灰岩 は明確 なせ ん断面 を形成 し,そ の他のき裂 はほ とん ど目視で きな い. また,来待砂岩 と荻野凝灰岩 の載 荷軸 に対す るせ ん断面の角度を比較す る と,荻野 凝 灰岩 の方が小 さい ことがわかる.クー ロンの理論 に

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101 102

AEampl i t uder at i o ( a/ at h)

Fi g.4( a)A m pl i t ude‑ f r equenc yd i s t r ibut i on of AEf o rKur i has hig r ani t e i nc yc l i cc ompr es s i ont es t .

よれ ば,せ ん断面の角度が小さいほ ど内部摩擦係数 が大 きい と考 え られて いる.堆積岩では,内部摩擦 係数 とは,岩石の粒子間結合力 といえる. したが っ て,来待砂岩 よ り荻野凝灰岩 の方が粒子間結合 力は 大 きい と考 え られ る.なお,砂岩や凝灰岩 な ど堆積 岩 よ り,花房岩の鉱物結合力ははるか に大きいため, 栗橋花 園岩 につ いては同様 には議論できない.

4. 2 AE

振幅頻度分布の フラクタル的特徴

Fi g. 4( a) ,( b) ,( C )

は,それぞれ栗橋花岡岩,来待 砂岩 ,荻野凝灰岩 につ いて,繰返 し載荷 ･除荷試験 にお ける

AE

の振幅分布 を示 して いる.なお,これ ら の図で は,両対数 グ ラフの横軸 に

AE

振幅比

a / a ^{t h}

, 縦軸 に

AE

の累積数 を表 し,応 力比

0

か ら各繰返 し載 荷点 までの各

AE

振幅分布 をそれぞれ示 した.

図のよ うに,岩石破壊 にお ける

AE

振幅分布 は,あ る振幅以上の

AE

の発 生 によって Ⅰ,Ⅲ,Ⅲの

3

つの 段階 に区分す る ことがで きる.具体 的 には,栗橋花 岡岩で は,次のよ うに区分 した.区分 Ⅰ:応 力比

55%

以下(振幅比

6

以上の

AE

は発 生せず),区分Ⅱ:応 力 比

65‑ 95%(

振幅比

7‑ 30

の

AE

が発 生),区分Ⅲ : 応 力比

100%(

振幅比

35

以 上の

AE

が発 生).同様 に 破壊 の段階 を区分す る と,来待砂岩 では,区分 Ⅰ:応 力比

68%

以下,区分Ⅱ:応 力比

78‑ 98%

,区分 Ⅲ : 応 力比

100%

,荻野凝灰岩で は,区分 Ⅰ:応 力比

56%

以下,区分Ⅱ:応 力比

66‑96%

,区分 Ⅲ :応 力比

100%

で ある.以上の区分か ら,破壊 の規模 によって

,AE

振幅が不連続 に変化す る ことがわか る. この現 象は

笥 50

JeDu

a

n

b aJ J

aATltZI

n tn

nU

1 02

0

100

1 0

】

1 02

AEampl i t uder at i o ( a/ at h )

10 0

Fi g.4

(ち)

A m pl i t ude‑ f r e quenc ydi s t r i but i on o fAEf o rK i mac his ands t one

i nc yc l i cc ompr es s i ont es t ･

Ju

No o HV JO

J(Du

a

nb

a d

aA!

1

dl

n ∈ n

U

1 00

101 10 2

AEamplituderatio (a/^ath)

Fi g.4( C )Ampl i t ude‑ f r equenc ydi s t r i but i on o f AEf orOg inot uf f

i nc yc l i cc ompr es s i ont es t.

これ まで報告 されてきた事実 と一致す る6).

また,破壊 の段階区分図か ら,各岩石 におけるプ ロッ ト点 は,区分 ごとにはぼ一定の傾 きをもって い る ことがわか る. この傾きか ら, フラクタル次元 を 求 め る ことができる.ただ し,花岡岩 と砂岩 では,応 力比

100%

の載荷の場合,区分 Ⅰの傾 きが他の場合 に比較 し,小 さ くな って いる. この理 由は,区分 Ⅲ に対応す る大 きな

AE

が発 生 した場合,区分 Ⅰの小さ な

AE

は,大 きな

AE

に重ね 合わ され判別で きず,精 確 に測定できな いため と考 え られ る.よって,前述

岩石 の破壊過程 におけ る

AE

振幅頻度分布 とき裂 の フル クタル性 につ いて

のデー タを除 く区分Iにお ける係 数の平均値

b

lを各 岩 石 のデー タに対 して求 めた.そ の結果 ,栗橋花 闇 岩 ,来待砂岩 ,荻野凝灰岩 の り ま,そ れぞ れ

1

･

9

,

1

･

7

,

2. 1

とな った . この値 は,地震 の規 模別 分布 の係 数

b ‑2/ 3(≒ 0. 67)

に比較 し,数 倍大 きい. これ ら岩 石破壊 のb.値 か ら,式

( 2･ 14)

によ って き裂 の フ ラク タル 次 元 を求 め る場 合 , 小規 模 地 震 に対 応 させ て

〃=2

とす る と,フ ラクタル次 元 は空間次元 の3を超 え る矛盾が生 じる. したが って,岩 石試験 片の破壊 は,小規 模地震 よ りも十分 小 さい破壊 で ある ことか ら

,

〟

‑1

の関係 が 成 り立 つ 街域 で あ る と推測 され る

･n

=1な らば･フ ラクタル次元

D

lは

b

lk一致 し, 栗橋花 岡岩 ,来待砂岩 ,荻野凝灰岩 の8 1は,それぞ れ

1

.

9

,1.

7,2. 1

とな る.

Hi rat aら

12)は,岩 石試験 片 を用 い,岩 石破壊 にお ける

AE

の震源 分布 の測 定か ら,震 源位 置 の2点 間相 関 を求 め る ことによ って ,フ ラクタル次 元Dを測定 した .そ の結果

,D

は

2. 2‑

2. 8

の値 を とると報告 して い る.したが って

, 〃= 1

と した場 合,本研 究 の フラクタル次元 と前者 の値 はあ る程 度対応す る ことか ら,岩 石試験 片で の破壊現 象 で は

,

〃 =

1

にな る と考 え られ る.

破壊 によ って発 生す るき裂 は,試験 片 内 に

3

次 元 的 に分布す る ことか ら, フラクタル次元 が

2

を超 え る場 合 も可能で あ る. この場合

,

β 値 が

2を超 え る

と,試験 片 を透過 して き裂 を見 る ことがで き るな ら ば,試験 片 はき裂で埋 め尽 くされ て いるよ うに見え,

β 値が

3

に近づ くと,試験 片 内の空 間は き裂 で埋 め 尽 くされ るもの と考 え られ る.本研 究結果で は,荻 野凝灰岩が最 もフ ラクタル次元 が高 い ことか ら,破 断面 付近で大小の ミク ロなき裂が 比較 的発達 して い る と考 え られ ,最 もフ ラクタル次 元が低 い来待砂岩 は,破 断面 付近での ミクロな き裂の発達 が比較 的少 な い と考 え られ る. この原 因は,次 の よ うに考 え ら れ る.堆積岩 は構成粒 子 の結 合間 にお ける強度 が最 も低 い と考 え られ るか ら,主 な破壊 は粒子 間で 生 じ る と考 え られ る. したが って ,来待砂岩 よ り荻野凝 灰岩 の構成粒 子 は十分 小 さいた め,来 待砂岩 のき裂 発達 に比較 し,荻野 凝灰岩で は,よ り小 さいき裂 が 発達す る ことによ って,β 値 が大 き くな る と考 え ら れ る.両者 に対 し,構成鉱物粒子が最 も大 きい栗橋 花 園岩 は, フ ラクタル次 元が荻野 凝灰岩 と来待砂岩 の 中間値 を とる.しか しなが ら

,2

種 の堆積岩 と花 南 岩 は岩 石の組織 ･構造 お よび破壊 の形態等 が全 く違 うため,同様 に比較す る ことはで きない.なお

,

β 値 の比較 か ら,花 園岩 は鉱物粒 子径 に対 し,粒子 径 よ り小 さいき裂が発達す る と考 え られ る.よ って ,鉱 物粒子 径 の大 きい火成岩 の破壊 にお いて は,鉱物粒

1 7

子 の粒 内で多 く破壊 が 生 じる と考 え られ る.

次 に,大規模地震で は,係数

b =0̲ 67

で ある こと か ら,破壊規 模が 大き くな るに したが いb値 は′トさ くな る と予想 され る.本研究 で は, 区分 Ⅰの係数 は

b

l‑1･

7‑ 2

･

1

,区分 Ⅱは

b

2‑1･

2

‑

1

･

3

,区分 Ⅲは

b ³

‑

11 2

‑

1･ 3

で あ る.ここで は,区分 Ⅱと区分 IIIと のb値の違 いは見 られ なか ったが , 区分 Iと区分Ⅱ

で はb値 ははば

1 / 2

に減 少 した.これ は,破壊規 模が 大 き くな る に したが いb値 は小 さ くな る とい う予想 と一致す る.また ,区分 Ⅱか らは

れ=2

とな り,大規 模地震 で は

〃=3

で あるな らば,き裂 の フ ラクタル次 元 は どの破壊規 模で も一定 とな る と考 え られ る. こ れ は,岩 石の き裂図 と地 層内の断層図の フ ラクタル 次元 が一致 す る とい う報 告3)を裏付 ける ことにな る.

また,ロジ ン ･ラム ラー の関係 (D

声2)

とも一致す る.本研 究 で は,n値 の 変化 を調 べ る こ とはで きな か ったが,上述 の考察か ら

,b

値 と

n

値が 同時 に変化 し,き裂 分布 の フラクタル次 元 はほ ぼ一定 で あ る と 推 論で きる.

以 上の議論 か ら, き裂 分布 の フラクタル次元 を破 壊規模 によ らず一定 と仮定す る と

,b

値 とn値 は同時 に,整数倍 に,不連続 変化す る ことにな る. この関 係 か ら,破壊 の メカニ ズムの一端 が解 明で きる可能 性 が示唆 され る.

5. 結 言

本研 究で は,岩 石試験 片の圧縮 破壊 試験 にお いて

AE

を測定 し

,AE

の振 幅 分布 を解 析す る ことで

,AE

振 幅 のパ ワー則 および き裂分布 の フラクタル次 元 に つ いて考察 した.

この結果

,AE

振 幅 のパ ワー則 は

,AE

の振幅別 に

3

段階 に区分で きる ことがわ か った .とくに,パ ワー 則 の係 数bは,振 幅規 模 の段 階が上が る と不連続 的 に小 さ くな る傾向が あ る. また ,発 生す るき裂長 と

AE

振 幅 との関係 にお ける係 数

n

は,振幅 ス ケール の 段 階 が 上が る と不連 続 的 に大 き くな る傾 向が あ る.

したが って

,D ‑nb

の関係 か ら,き裂分布 の フラク タ ル 次 元Dは , 破 壊 の ス ケ ー ル に 関 わ らず ほ ぼ D

声2

で一定 で あ り, ロジ ン ･ラム ラーの関係 を満 たす と結論 した .

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