ベクトルの内積（その2） #–a と

数学B ^{ベクトルプリント}# 4 ^{年 組 号}

氏名

■ ベクトルの内積（その2）

内積は、次のように決めることもできます。

• ^{ベクトルの内積（その}2^）

#–a ^と #–

b ^{のなす角度を}θ^とすると

#–a ·#–

b =#–a#–

bcosθ 例題1 ^{右の図のとき} #–a·#–

b =#–a#–

bcosθ

= 3×2×cos 60^◦

= 3×2× 1 2

= 3 60^◦

3

#–a

2

#–b 例題2 ^{右の図のとき} #–a ·#–

b =#–a#–

bcosθ

= 3×1×cos 135^◦

= 3×1×

− 1

√2

= −3

√2

= −3×√

√ 2 2×√

2 = −3√ 2 2

135^◦ 3

#–a

1

#–b

次の2つのベクトルの内積を求めなさい。

⑴

60^◦ 2

#–a

4

#–b

⑵

45^◦ 3

#–a

4

#–b

⑶ 150^◦ 2

#–a

3

#–b

⑷ 90^◦ 1

#–a 3

#–b

ベクトルプリント#4 ^{⑴4⑵6√2⑶}−3√

3⑷0 ⑴60^◦⑵135^◦⑶0^◦⑷90^◦

■ ベクトルのなす角度

内積の公式から、2つのベクトルの間の角度を求めることができます。

例題3 #–a = (1, 2)^と #–

b = (3, 1)^{の間の角度}θ^{を求めなさい。}

解答 まずベクトルの内積（その1^）より

#–a·#–

b = 1×3 + 2×1 = 5^となる。

次に三平方の定理斜め²=^○2+^{△2を使って、ベクトルの} 大きさ#–a_{を計算すると}

#–a²= 1²+ 2² #–a²= 5 q#–a²=±√ #–a>0^なので #–a=√ 5

5 ^となる。

同様に#–

b²= 3²+ 1^2より#–

b=√

10^になる。

よってベクトルの内積（その2^{）に代入して}

#–a·#–

b =#–a#–

bcosθ 5 =√

5×√

10×cosθ 5 =√

5×10×cosθ

√ 5

5×10 = cosθ

√ 5

5×2×5 = cosθ

／5

／5√

2 = cosθ

√1

2 = cosθ

このようになる角度を考えると θ= 45^◦

x y

#–b

#–a

1

3 2

1

θ

次のベクトルのなす角度を求めなさい。

⑴ #–a = (1, √ 3), #–

b = (2, 0) ^⑵ #–a = (2, −3), #–

b = (−5, 1)

⑶ #–a = (1, 2), #–

b = (2, 4) ^⑷ #–a = (3, 4), #–

b = (−4, 3)