09 II 09/12/ (3D ) f(, y) = 2 + y 2 3D- 1 f(0, 0) = 2 f(1, 0) = 3 f(0, 1) = 4 f(1, 1) = 5 f( 1, 2) = 6 f(0, 1) = z y (3D ) f(, y) = 2 + y

(1)

1 ♥

１変数関数・２変数関数

♥

とグラフ：教科書

7 章突入

1.1 点描（プロット）で描こうとすると

基礎数学 I：１変数関数は 2D グラフ ¶ ³ 関数 f (x) = x3_{− 6x}2_{+ 9x}_{− 2} 代入 f (1) = 13_{− 6 · 1}2_{− 9 · 1 − 2 = 2} グラフ y = f (x) -6 r r r 2 1 -6 y x µ ´ 基礎数学 II：２変数関数は 3D グラフ ¶ ³ 関数 f (x, y) = 2x2_{+ 2xy + y}2_{− 6x − 4y} 代入 f (3, 2) = 2· 32_{+ 2}_{· 3 · 2 + 2}2_{− 6 · 3 − 4 · 2 = 8} グラフ z = f (x, y) -6 ¡ ¡ ¡ ¡ ª ¡ ¡ r r r d d ¡ ª -6 HHj HH 8 3 2 z x y µ ´ 問 1 (x− y 平面) 下のそれぞれのグラフに、次の座標で示される点を打ちなさい。 1

⃝

(0, 0)

⃝

2 (1, 0)

⃝

3 (0, 1) 4

⃝

(1, 1)

⃝

5 (−1, 2)

⃝

6 (0,−1) -6 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p r r r r r r r r p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

y

x

-¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ª p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ²? ←を手前に倒す r r r r r r r r r r

x

y

(2)

問 2 (3D グラフ：プロット) 関数 f (x, y) = x2_{+ y}2_{について、次の値を求めなさい。また 3D-グラフ上に} 対応する点を打ちなさい。 1

⃝

f (0, 0) =

⃝

2 f (1, 0) =

⃝

3 f (0, 1) = 4

⃝

f (1, 1) =

⃝

5 f (−1, 2) =

⃝

6 f (0,−1) = -6 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ª p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p r r r r r r r r r r b r r r r r r r r r b r

z

x

y

1.2 はじめての共同作業です

♥

カメラをお持ちの方はどうぞ前へ（にっこり）

問 3 (3D グラフ：スライス) 関数 f (x, y) = x2_{+ y}2_{について、3D-グラフを構成しなさい。} 1 ⃝ ウエディングケーキ ⃝ ご入刀でございます2 ⃝ おめでとうございます3 4 ⃝ すてきなおふたりの♥ ⃝ ツーショット写真をお撮り下さい5 ⃝ それでは盛大な拍手を6 ♥ バーチャルでグラフを切ってみたい人は↓の第 10 回からエクセルのファイルをダウンロード： http://www3.u-toyama.ac.jp/shira/lecture/toyama09/e-math09 hiver.html

(3)

2 ロードマップ：基礎数学

I

と

II

との比較

基礎数学 I：１変数関数 ¶ ³ 1 ⃝ 関数 f(x) = log 3x − 3x 2 ⃝ 微分 f′_{(x) =} µ ´ 基礎数学 II：２変数関数 ¶ ³ 1 ⃝ 関数 f (x, y) = 2x2_{+ 2xy + y}2_{− 6x − 4y} 2 ⃝ 偏微分 ½_f x(x, y) = fy(x, y) = µ ´ ⇑ . . . 本日ここまで . . . ⇑ 基礎数学 I：１変数関数の最大最小問題 ¶ ³ 3 ⃝Fermat f′(x) = 0 ⇒ x = a 4 ⃝ 二階微分 f′′_{(x)：x の式} ↓ x = a 代入 5 ⃝Hesse f′′(a)の +，− で判定 µ ´ 基礎数学 II：２変数関数の最大最小問題 ¶ ³ 3 ⃝ Fermat ½_f x(x, y) = 0 fy(x, y) = 0 ⇒ ½ x =? y =?次回 4 ⃝ 二階偏微分次々回以降 5 ⃝Hesse 次々回以降 µ ´ 例題 1 (教科書練習問題 5.4 改題) 次の関数の極値を２次の判定条件を使って求めなさい。

f (x) = log 3x

− 3x = log 3 + log x − 3x

解答例. 微分 f′(x) = ³z}|{

⃝

定 log 3 ´_′ + ³z }| {

⃝

変 log x ´_′ −³ 係

⃝

z}|{ 3 · 変

⃝

z}|{ x ´_′ = 1 x− 3 = 1− 3x x · · · 通分で前処理 Fermat f′(x) = 0 ⇒ 1 − 3x = 0 ∴ x = 1 3 · · · 極値の候補（停留点） 二階微分 f′′(x) = ³₁ x− 3 ´′ = ³ x−1− 3 ´′ =−1 · x−2=−1 x2 ↓ x = 1 3を代入計算 Hesse f′′(1 3) = −1 (1₃)2 =−9 < 0 ⇒ x = 1 3で極大値 f ( 1 3) = log ³ 3·1 3 ´ − 3 ·1 3 = log 1− 1 = −1 ³ −ヘ− ´ //

(4)

3 いろいろ変数の復習

3.1 微分記号バラエティ

関数 y = f (x) を微分すると =⇒ y′ = f′(x) y′を x の式であらわせ！ =⇒ dy dx ½ yを xで微分せよ！

3.2 いろいろな変数についての微分

問 4 次の関数を微分しなさい。

1. y =

−x

3

_{+ x}

2

_{+ 2}

dy

dx

=

2. y =

−u

3

+ u

2

+ 2

dy

du

=

3. z =

−x

3

_{+ x}

2

_{+ 2}

dz

dx

=

4. z =

−y

3

+ y

2

+ 2

dz

dy

=

5. z =

−2x

3

+ 4x

2

+ 2

dz

dx

=

(5)

6. z =

−2y

3

+ 4y

2

+ 2

dz

dy

=

7. z =

−x

3

· 2 + x

2

· 4 + 2

dz

dx

=

8. z =

−y

3

_{· 2 + y}

2

_{· 4 + 2}

dz

dy

=

9. z =

−x

3

_{· a + x}

2

_{· b + 2}

dz

dx

=

10. z =

−ay

3

+ by

2

+ 2

dz

dy

=

11. z =

−x

3

· a

3

+ x

2

· b

2

+ c

4

dz

dx

=

12. z =

−a

3

_y

3

_{+ b}

2

_y

2

_{+ c}

4

dz

dy

=

(6)

13. *

z =

−x

3

· y

3

+ x

2

· y

2

+ y

4

dz

dx

=

· · · x が

⃝

変

y は

⃝

定

・

⃝

係

14. *

z =

−x

3

· y

3

+ x

2

· y

2

+ y

4

dz

dy

=

· · · y が

⃝

変

x は

⃝

定

・

⃝

係

3.3

⃝

定

_と

⃝

係

_{とを見立てる}

問 4 で、* のついた小問が、今回やる偏微分の考え方。かんたんでしょ♥ ポイントは、式の成り立ちを

⃝

定と

⃝

係とで見立てること： 3.3.1

⃝

定の微分：定数だと見抜けば簡単♥ 「文字」でも

⃝

定と見抜かないといけないケースがある。 Ã

定数

!_′

= 0

3.3.2

⃝

係 の微分：係数=定数倍だと見抜けば簡単♥ うしろが

⃝

係のケースや前後を

⃝

係ではさまれるケースも大事。 Ã

⃝

係 z}|{

c

·f(x)

!_′

=

係

⃝

z}|{

c

·f

′

(x),

Ã

f (x)

·

係

⃝

z}|{

c

!_′

= f

′

(x)

·

係

⃝

z}|{

c ,

Ã

⃝

係 z}|{

a

·f(x)·

係

⃝

z}|{

b

!_′

=

係

⃝

z}|{

a

·f

′

(x)

·

係

⃝

z}|{

b

使用例 ¶ ³ 定数（単独） ¡3¢′ = 0 ¡c¢′= 0 係数（前） ¡3· x2¢′ = 3· 2x = 6x ¡ax−3¢′= a¡−3x−4¢=−3ax−4 係数（後） ¡x2· 3¢′ = 2x· 3 = 6x ¡x−3· a2¢′ =−3x−4· a2 ³ =−3a2x−4 ´ 係数（前後） ¡4· x2· 3¢′= 4· 2x · 3 = 24x ¡a3· x−3· b2¢′ = a3(−3x−4)b2=−3a3b2x−4 µ ´ ♥ 前後からかかっている定数倍=

⃝

係を、最終的に変数の前におくか、後ろにおいたままにするかは、ケースバイケース。数をこなして、センスを磨いて下さい。

(7)

4 偏微分（へんびぶん）

4.1 ひるまず前にすすもう

♥

「…普通にまっすぐに書いてある「d」とまるっこい「∂」ってなんか違うの？」 「おまえ、なんだかすっごくマズいことになってるぞ」レヴィット＆ダブナー『ヤバい経済学』東洋経済新報社（2006）訳者あとがきから「入社したら…のベンチマークをしてほしい」「私が家に帰ってから第一に何をしたかわかる…ベンチマークってなにかを辞書で調べたのよ」内永ゆか子『部下を好きになってください IBM の女性活用戦略』勁草書房（2007）から

4.2 偏微分の記号とコマンドの意味

1

⃝ x

で偏微分

z

x

f

x

(x, y)

∂z

∂x

∂f

∂x

| {z }

x

だけが変数と見てふつうに微分

z = f (x, y)

偏微分せよ

=

⇒

2

⃝ y

で偏微分

z

y

f

y

(x, y)

∂z

∂y

∂f

∂y

| {z }

y

だけが変数と見てふつうに微分

註 1 記法上・解答上の注意点： 1. zxや fxにいわゆるダッシュ（「欧米かっ」ではプライムという）はつけない。 ○ zx fx zy fy × z_x′ f_x′ z_y′ f_y′ 2. 前回学んだ（Chain Rule でどんどん出た）微分の記号の dz や dx の d は、くるっとまるめて∂になることで、「偏微分」であることが明示される。パソコンのかな漢で変換するときは「デル」で出る♪実際にデルゼットデルエックスと読む人も多い（たぶん）。英語では‘ the partial derivative of z with respect to x’です。

3. 偏微分せよと言われたら、fxも fyも計算する。fxと fyは一般に違う式になる。また変数が増えたら

その分計算する偏微分の数も増える。たとえば、関数 f (x, y, z) の偏微分なら、fx，fy，fzの３種類を計

(8)

4.3 偏微分：練習

問 5 次の関数を偏微分しなさい。＊がついた問題は、過去に経済学科の専門科目で実際に出題された問題。† がついた問題は、「絶対期末に出すからね」な問題。

1. f (x, y) = x

4

_y

3

· · · 例題

f

x

(x, y) = 4x

3

·

係

⃝

z}|{

y

3

· · · x が

⃝

変

y は

⃝

係

f

y

(x, y) =

係

⃝

z}|{

x

4

·3y

2

= 3x

4

y

2

· · · y が

⃝

変

x は

⃝

係

2. f (x, y) = 3x

2

_y

4

f

x

(x, y) =

· · · x が

⃝

変

y は

⃝

係

f

y

(x, y) =

· · · y が

⃝

変

x は

⃝

係

3. f (x, y) = 4x

3

_y

f

x

(x, y) =

· · · x が

⃝

変

y は

⃝

係

f

y

(x, y) =

· · · y が

⃝

変

x は

⃝

係

(9)

4. f (x, y) = 3x

2

+ 2xy + y

2

+ 4x

· · · 例題

f

x

(x, y) = 3

· 2x + 2 · 1 · y + 0 + 4 = 6x + 2y + 4

· · · x が

⃝

変

y は

⃝

定

・

⃝

係

f

y

(x, y) = 0 + 2x

· 1 + 2y + 0 = 2x + 2y

· · · y が

⃝

変

x は

⃝

定

・

⃝

係

5. f (x, y) = 2x

2

+ 2xy + y

2

− 6x − 4y

f

x

(x, y) =

· · · x が

⃝

変

y は

⃝

定

・

⃝

係

f

y

(x, y) =

· · · y が

⃝

変

x は

⃝

定

・

⃝

係

6. f (x, y) = x

2

+ 4xy + 9y

2

− 2x + 6y + 2

f

x

(x, y) =

· · · x が

⃝

変

y は

⃝

定

・

⃝

係

f

y

(x, y) =

· · · y が

⃝

変

x は

⃝

定

・

⃝

係

(10)

7. f (x, y) = x

3

− y

3

− 3x + 12y

f

x

(x, y) =

· · · x が

⃝

変

y は

⃝

定

・

⃝

係

f

y

(x, y) =

· · · y が

⃝

変

x は

⃝

定

・

⃝

係

8. *

f (x, y) = x

α

y

β

· · · ヒント： (x

α´′

= αx

α−1

α

：アルファ

∗

β：ベータ

f

x

(x, y) =

· · · x が

⃝

変

y は

⃝

定

・

⃝

係

f

y

(x, y) =

· · · y が

⃝

変

x は

⃝

定

・

⃝

係

9. †

f (x, y) = x

12

y

1 2

f

x

(x, y) =

· · · x が

⃝

変

y は

⃝

定

・

⃝

係

f

y

(x, y) =

· · · y が

⃝

変

x は

⃝

定

・

⃝

係 ∗_{山田親太郎くんは〆鯖をアルファさばと読んでましたね（2009.12.09 放送のクイズ・ヘキサゴン II）。たいしたもんです。}

(11)

10. †

f (x, y) = x

13

y

2 3

f

x

(x, y) =

· · · x が

⃝

変

y は

⃝

定

・

⃝

係

f

y

(x, y) =

· · · y が

⃝

変

x は

⃝

定

・

⃝

係

11. f (x, y) = e

x

_{+ x}

_{· log y}

f

x

(x, y) =

· · · x が

⃝

変

y は

⃝

定

・

⃝

係

f

y

(x, y) =

· · · y が

⃝

変

x は

⃝

定

・

⃝

係

12. *

f (x, y) = α log x + (1

− α) log y

f

x

(x, y) =

· · · x が

⃝

変

y は

⃝

定

・

⃝

係

f

y

(x, y) =

· · · y が

⃝

変

x は

⃝

定

・

⃝

係

(12)

13. f (x, y) = e

y

· log x

f

x

(x, y) =

· · · x が

⃝

変

y は

⃝

定

・

⃝

係

f

y

(x, y) =

· · · y が

⃝

変

x は

⃝

定

・

⃝

係

14. †

f (x, y) =

xy

x + y

f

x

(x, y) =

· · · x が

⃝

変

y は

⃝

定

・

⃝

係

f

y

(x, y) =

· · · y が

⃝

変

x は

⃝

定

・

⃝

係

15. †

f (x, y) =

2xy

x + y

f

x

(x, y) =

· · · x が

⃝

変

y は

⃝

定

・

⃝

係

f

y

(x, y) =

· · · y が

⃝

変

x は

⃝

定

・

⃝

係ヒント： Ã f g !′ = f ′_{· g − f · g}′ g2

(13)

参考1：人はなぜ、「衝動買い」をしてしまうのか

引用省略

(14)

参考2：「じゃあ・・・・・・そこの柿・・・・・・」「実はポテチも」

福本伸行『賭博破壊録カイジ

⃝

1 （2000）から

(15)

経済学なテーマとしては「アンカリング」にしたがっています（言い訳）。

セカンド・プライスオークション

ルール

最高の入札金額を提示したものが、第２位の入札金額を払って商品を受け取る。

例

入札者入札金額Ａ 200円Ｂ 1, 200円Ｃ 800円Ｄ 650円Ｅ 980円Ｂが落札。支払金額は 980 円。 . . . .

出品

関東・中部・東北自治宝くじ第 2146 回『クリスマストリプルマッチ』10 枚

1 等 500,000 円

· · ·50 本クリスマス賞 2,000 円 · · ·250,000 本

調査 1 私／オレにあてはまるものに○をつけなさい。また空欄を指示に従って埋めなさい。 1 ⃝ 空欄にあなたの学籍番号下 2 桁×10 を記入しなさい 2 ⃝ ⃝欄に記入した金額で、出品物を買う・買わないのいずれかに○をしなさい。1 3 ⃝ 出品物をオークション（セカンド・プライス方式）で手に入れるとしたら、いくらで入札するか記入しなさい。 1 ⃝ 学籍番号下 2 桁× 10 ⃝ どちらかに○2 ⃝入札金額3 円 ⃝円なら買う・買わない1 円ダン・アリエリー『予想どおりに不合理』早川書房（2009）改題