数学基礎力調査（大学１年生）

数学基礎 力調査

(大

学

1年

生

)

後 藤 和 雄

*・

榮

恵 子

**

l Abstract

数学の学力のうち計算力・思考力・発想力な どが低下 しているように 日頃感 じる。全国の数学 を 教えている人たちか らも同様な意見がいろいろな ところで発表されている。大学生の学力低下が事 実か どうかを調べてみた ところ

,い

ろいろな場所や雑誌で言われていることと同様な結果 を実際得 た。

2

対象・ 時期・調査方法 および 問題 につ いて

1.問

題

Aと

問題

Bは

,後

半 に資 料 と して載 せ て い る。 問題

Aは

[1,pp.251-252],[2,p.5]

1998年用 問題 で あ り

,問

題

Bは

[2,pp.20]1999年

度 私立型 の問題 で ある。

2.対

象 :あ る国立大学 の工学部

1年

生 を対 象 とした講義 の中で時間 を と り調査 を行 った。 問題

Aは

1年生43人

_{, 2年}

生10人

, 3年

以 上11人

,計

64人で あ り, 問題

Bは

1年生42人

_{, 2年}

生

8人 , 3年

以 上

9人

,計

59人で あつた。

3.時

期 :問題

Aは

2000年10月 17日

,問

題

Bは 2001年

1月23日 に実施 した。

4.方

法 i時間 は90分で

,

このテス トの 出来 を数学 の評価 に反 映 させ る旨 を伝 えて真 剣 に取 り組 む よ うにお願 い した。成績 に反映 され る とい う条件下で行われたので 自分 の力 を発揮 させ た もの と考 え られ る。

3

結果 とその考察

分数 の分 か らな い大学 生

[1,pp.256-257,263-264]や

小数 の分 か らな い大 学 生

[2,p.4,

23]に

日本 の大学 と

,中

国 の大 学 の度 数分布 が描 かれ て あ る。それ らか ら満 点 の学 生 の割 合 と最頻 値 をま とめた ものが表1であ る。表

2は

本調 査 をま とめた もので ある。 25点満 点 テ ス ト問題

Aの

得 点 分布 と問題

Bの

得 点 分 布 はそ れぞ れ表3と表

4で

あ り

,

ヒス トグ ラム はそれぞ れ 図1と図

2で

あ る。[1]と [2]のヒス トグ ラムよ り

,分

布 型 と して もっ と も近 い の は名実 ともに トップ の国立大学文学部 生 の もので ある。 文学部 生の最頻値 は24点だ が

,本

調査 で は21点と

3点

も低 い。 中国北京 にある トップ校 哲学科

1年

生 の最頻値25点と比べ る と

4点

の差 が ある。 これ は軽 く考 え られ る状態ではな い。 問題

Aの

平 均 は21.40で

,問

題

Bの

平 均 は19.9であ る。 また解 いた時間 とそ の見 直 しにか か っ た時間は表

5で

あ る。

*鳥

_{取大学教育地域科学部 地域設計学講座} 料_{鳥取県立青谷高等学校講師 (数学} )

後藤和雄・榮 恵子:数学基礎 力調査 (大学1年生) 表

1:[1,pp.256-257,263-264]と

_[2,p4,23]の

ま とめ 表

2:本

調査での満点の割合と最頻値 本 調 査 満点 の学生 の割合(%) 最 頻 値 問 題

A

6.25 21 問 題

B

1.69 つと 問題

Aと

問題

B両

方 を解 いた人の得点間のピアソン相関係数は

0.4(デ

ータ数

53)で

あ り

,寄

与 率は約

16%で

_{ある。 またウイル コクソン符号付 き順位和検定 を両側}

1%(>0.000757)で

検定す ると有意である。スピアマ ンの順位相関係数検定 も

1%(>0.0007339)有

_{意である。 したがって},

2つ

の問題

A, Bの

得点 には

,(線

型の

)相

関はな く

,か

といって全 くでた らめに分布 も していな いと考 え られる。実際には散布図は図

3で

あ り, これか ら分析 しな くても分かる。 このようになる のは

, 2つ

の問題

Aと Bは

異なる能力を測 っているか

,時

間をお くと各個人の数学能力は集 回の中 である程度一定 していない

,な

どがその原 因と考 え られる。 今回の調査は

,問

題

A, Bと

いう基礎的な問題が どこまで理解されているかを調べることであ り, 理系学生であれば25満点 に近 い点すなわち

,ケ

ア レス ミスがあった として も24点は欲 しいもので ある。 いろいろな所で言われている

,い

わゆる学力低下があるのか どうかを調べるものである。 表

3:問

題Aの得点分布 得 点 2 3 4 5 6 7 8 9 10 つ々 13 人 数 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 表

4:問

題Bの得点分布 満点 の学生の割合(%) 最 頻 値 中国北京 にある トップ校哲学科1年

X

95。65 25 日本の国立大学 トップ校 の文学系類 И2 45.00 25 И と並ぶ 日本 の トップ国立大学の文学部1年生 B2 22.92 24 日本の トップ私立大学の文学部 ,2 4.70

19(7-25で

_ほぼ一様)

,大

学 と並ぶ トップ私立大学の人文系学部 う2 1.89

18(0-25で

はぽ一様) 得 点 14 16 17 18 19 20 21 つと つと _{23 24 25} 合 計 人 数 2 0 1 つ つ ₀ 3 1 20 一ｂ 10 6 4 64 得 点 1 つ つ _{3 4 5 6} 7 8 9 10 12 13 人 数 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 得 点 14 16 17 18 19 20 21 つ つ つ と ０と０じ _{24 25} 合 計 人 数 0 2 1 ０ じ ₆ 7 8 Ｏじ _{9 5 2} 1 59

鳥取大学教育地域科学部紀要 地域研究 第

3巻

第

1号

(2001) 問題Aの 度数分布 (64人) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 2325 得点 図

1:問

題A(1998年用 問題) 問題Bの 度数分布 (59人) 15 人10 数 5 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 2325 得点 図

2:問

題B(1999年度私立型 の 問題) 表

5:平

均解答時間 と見直 し時間 問

25

題

20

B15

の 10 雷

_:

0 10 20 30

問題

Aの

得点

図

3:問

題Aと問題B両方解答 した学生の散布図) ２０ １５ ︲０ ５ ０ 人 数 人 数 平均 (25点 満点) 解 いた時間(分) 見 直 し時間(分) 比 率 (%) A 64 21.4 20.4 5.7 27.9 B 59 19.9 31.0 9.3 30.0

後藤和雄・榮 恵子 :数 学基礎 力調査 (大学1年生) 問題

Aは

64人が解答 し

,各

問題 の誤 答 率 は次 の表

6で

あ る。 表

6:問

題Aでの各小問の誤答率 問題

Bは

59人が解答 し

,各

問題 の誤 答 率 は表

7で

あ る。 表

7:問

題Bでの各小問の誤答率 問題番 号 13(a) ∞) 14 16 17 18 19 20 つ 々 ，９９々 23(a) (b) 誤答率∽ 6.8 20.3 27.1 15.3 62.7 15.3 8.5 11.9 22.0 11.9 42.4 5。1 6.8 これ らの表

6と

表

7か

ら分かる ことは

,次

のことである。誤答率が

10%未

満 のものについては 触れていない。 表

6と

表

7で

誤答率の高かった問題 を上げ ると次のよ うにな る。表

6で

は

,問

19の 領域 を求め る問題

,問

21(Ⅱ)の線分

ABを

2:1に

内分す る点Cを 求 める問題

,問

15の 解 の公式 を用 いて 労 の値 を求める問題である。 また

,表

7で

は

,問

16の 確率の問題

,問

2の単位換算の問題

,問

4の

四則計算 の問題

,問

22の logの 計算の問題である。 表

6の

問題では

,問

14は 中学校で公式 を暗記 し

,問

題 を解 いた ものである。 もし公式 を忘れて も

,公

式を導 くのは容易である。 表

7の

問題では

,問

2,問

4は

小学校 の問題である。 間16は 中学校 の問題で公式 を知 らな くて も数えればできる。問22は 高校 の問題である。 この問題 に関 しては

,通

常の計算法則 (logの計算 だか ら

)が

成 り立たないので

,計

算方法 を暗記す る必要がある。 各問題 について問題番号

,内

容 と誤答率 について詳 しく述べる。 問題

Aに

ついて

3番

(分数 の引き算

)が

10%, 4番

の括弧がある整数 の加減乗除が

16%, 7番

の預更 が

14%

(定義 を正確 に理解 していないで ±7と答 えた

), 9番

の絶対値 の問題が

8%,11番

の中学校 レベ ルの

2元

連立

1次

方程式は解 死については

16%,解

ノについては

22%,18番

の連立不等式 (中学 校 レベル

)14%,14番

の

2次

方程式の解は囚数分解できる形で

14%,15番

の因数分解できない形 のものは

31%と 3人

に1人はできなかった。 18番 のlχ

+11=3が

14%,19番

のノ≦3χ

-2,

死≧0の図示が間違 っている (正確 にできていない

)も

のは

64%と

高率で

, 3人

に

2人

が間違えた。 21番 の

2点

が与え られた とき内分点 を求 める問題は

55%,線

分 の長 さを求める問題が

28%も

間違 問題 番 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11(x)は

) 誤答率∽ 0 0 9,3 15,6 3.1 6.2 14.1 4.7 7.8 0

15.6 21.8

問題番 号 12 13 14 15 16 17 18 19

20(D

6)

21(I) (Ⅱ ) (Ⅲ

) 誤答率∽ 6.2 14.1 14.1 31.3 6.2 3.1

140

64.1 3.1 7.8

7.8 54.7 28.1

問題番号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 つと 誤答率∽ ワｒ 52.5 16.9 45.8 33,9 6.8 10,2 32.2 8.5 16.9 20,3 10.2

鳥取大学教育地域科学部紀要 地域研究 第

3巻

第

1号 (2001) 183

えている。 問題

Bに

ついて

2番

のO.008km2は 何m2かは

53%で

半数 の人が正 しくできていない。

3番

の分数 を小数で割 る問 題は

17%, 4番

の括弧があ り小数 (0.5)が一部 ある加減乗除は

46%と

半数で

,問

題

Aの

4番

と比 べると小数が入 つただけで約

30%の

学生が間違 えている。

7番

の

-3χ

-2<2χ

+8は

10%, 8

番の揮師 は

32%,10番

の ガ2+4χ

-5の

因数分解 は

17%,11番

の

2次

不等式2χ

2_11死

+15>0

を解 く問題は

20%,12番

の3χ

2_5χ

+1=0の

解 を求 める問題は

10%,13番

の

-3≦

死≦

3の

ときノ=χ2+2χ

-8の

最大

,最

小値 を求める問題は最大値が

7%,最

小値が

20%と

最小値 を正 し く求め られなかった (標準形にす るということを忘れたのか?)。 14番 のtan И

=Vτ

,И は鋭角は

27%と

三角関数 に弱 く

,15番

の

47,44,41,…

_…

,等

差数列の第47項を求める問題は

15%,16番

の

3人

で じゃんけんをし

3人

とも異な る種類 を出す確率 を求める問題は

63%で , 3人

に

2人

は間 違えている (答えは

2/9だ

が

, 1/3が

多 く

, 1/2も

あった)。 17番 の

1/77, 1/σ

了 一五め,

3/2Vτ

を小 さい順 にす る問題は

15%,19番

の

277/(V7キ

vτ

)の

分母 の有理化 は

12%,20番

の1死

-11<2は

22%,21番

の

2ン

″ は

12%,22番

の logの 計算は

42%で

約半数の学生が間違 えていた。水素イオン濃度

PHの

計算や

dB(デ

シベル)などの応用は大丈夫なのか とふ と不安 を覚 える。 問題

Aと

問題

Bか

ら高校1年までに学習 してお くべき内容が正 しく理解 されていない。 また一度 に多 くの問題 を処理するとミス をす ることが

,採

点 をしていて分かつた。 問題

Aや

問題

Bは

高校

1年

生 までに習 う基礎的な内容であ り

,内

容が正 しく正確 に理解・修得 さ れてお くべきものと考え られる。 しか し

,そ

れがなされていない学生が多 くいることに驚 く。 また,

1度

に処理す ること(25間という

)が

多 くなるとミスをすることが多いことも気 になる。見直 しの 時間については平均で解 いた時間の約

30%を

使用 していることがいえる。 [3]には中学

1年

の問題 として

(1+(0.3-1.52))■

(-0。 1)2が 取 り上げ られ正答率 (%)は 最難 関国立 (理工 系) 私立 トップ (理工 系) 旧帝国大学 (工学 系) 立 ＞

加嚇

地 ぐ 地く

瀬財

＞立 _{今 回 調 査} 91.4 79.6 66.6 59.4 58.1 66.1 とかいている。 これ と比較す ると今回の調査では正答率は66.1%であ り

,他

の大学 と同 じ傾向を示 しているが

,問

題が中学校 の小数の計算であるので問題を感 じないわけにはいかない。

4

数学教育の危機

[4]で

,森

政弘氏 (ロボットエ学者でロボコン(ロボットコンテス ト

)の

創始者

)は

「指を使い 手を汚 しても達成 したいという

,い

い苦労をデザインすることが必要だ。子 どものうちの数学をき ちんと身につけていないと

,論

理もいいかげんになる」 と警鐘を鳴 らしている。数学でいえば

,鉛

筆を持ち苦労して計算できたときの喜びをデザインすることが必要であろう。以前の学校教育では

後藤和雄・ 榮 恵子:数学基礎 力調査 (大学1年生) あつたように思われるが

,段

々と失われてはいないだろうか。 また

,複

雑な問題 を解 く技術は

,エ

ジプ トやバ ビロンの数学において発達 していたが公理に基づ いて数学を構成 したのはギ リシャ人であった。ユークリッ ドの原論が有名であ り

,

これは定義

,公

準

,公

理

,命

題 (定理

),証

_{明 といった数学 を一つの体系 として論理的 にまとめた。原論はまた}, 物事 を論理的に考察する基礎 を与えた。 ローマにおいてはもっぱ ら応用に徹 したため数学の発達は なかった。 現在イ ン ドでは

IT技

_{術者 を多 く排出 しているぅイ ン ドにおいて中学校 の教育内容は}

_,指

_{数や 2} 次方程式の解 の公式など日本の中学校よ り内容が豊富である。 また 日本では穴埋め問題が主流であ るが

,イ

ン ドでは論理的に解 く手順 を論理的 に自分で解答 しなければな らない。すなわち

,論

理的 な証明が求め られている。 この違 いがコンピュータのプ ログラム作成やシステム設計において違い がでると考え られる。 レベル低下 している学生には抵抗感 もあるだろうが

,中

学校か らの内容に基礎力を付 け

,大

学 レ ベルの数学 をす るための基礎の基礎教育を行 う必要性を感ずる。高等学校の微分積分 を復冒する前 提 として

,計

算力 と数学の基本的事項 の理解 と公式の修得 とそれ らが 自在 に使えるようにすべきだ ろう。文部科学省の言 うように

,考

えて (時間はかかって も

)で

きればよいという「考 える力」 を 重視するあま り,「考 える力の元 になる」計算力が失われ

,(シ

ロアリに家が食われているごとく表 面には少 ししか現れていないように見 えるが

)そ

の現実はひ どい。突然に数学力が全体 として崩壊 するのではないだろうか。

2003年

_{か らの教育指導要領の改訂で数学の内容 をレベルア ップをすべきと思われるが}

_,現

_{実 に} は

3割

削減である。 これで学力崩壊が駄 目押 しとなるのではと

,多

くの識者や文献な どで見かける が

,我

々もそのように考える。ただ し

,文

部科学省はそのようには見ていないし考 えて もいない。 改訂が行われ ると

2006年

_{入学の大学生に対す る対策 を考 えなければ理系の大学教育 (数学}

_)は

_学 部卒でやっと現在の微積分 を理解できた とな らないか。 教えていて感ず ることは

,学

生や中学・高等学校の生徒 の多 くは

,計

算力や考える力

,長

い時間 1つ_{の問題 に取 り組む姿勢がない}

_,

_{ことである。 中学校や高等学校の新任教師の数学 レベル も低下} している。中学校 の幾何の問題が解けない先生

,生

徒か らの 「なぜそ うなるのか」 という質問に証 明や説明のできない先生が多 くな りつつあると聞いている。 この ことができない生徒 を作 っている 原因の一部で もあろう。 数学は

,思

考す る学問であって

,暗

記す る学問ではない。 しか し

,実

際には

,多

くの学生は公式を暗記 し

,問

題のや り方を覚えることに主眼 をお いている。 小中学校では

2002年

度

,高

校では

2003年

_{度か ら始 まる新学習指導要領 の下では,「 ゆ と りの時} 間」や完全週休2日制 という名 目で

,数

学の内容が

3割

削減 され

,授

業の時間 も減 る ことになる。 それによって

,数

_{学の内容を深 くゆっくりと学ぶ時間が生徒に本当に生まれるとは到底おもえない。} というのも

,今

回の調査 によって

,い

かに数学の基礎が定着 していないかがわかったか らである。

3割

も内容が削減 されることによって

_,さ

らに生徒の理解力は落ちて くる。 また

,教

える側 も

,数

学の内容 を説明をして も生徒の計算力・理解力がついて こなければ

,い

くら証明や解説 を行 って も 無意味になる。 よって

_,現

_{在 に比べてよ り数学が暗記教科 になって しまいはないか と心配する。}

鳥取大学教育地域科学部紀要 地域研究 第

3巻

第

1号 (2001) 185

5

_{今後の 課題}

レベル低下の根本原因を特定することと

,お

よび大学教育にたえら

￨れ

_{る数学力の構築のためのカ}

リキュラムと学習システムを数学者が考えなければならない。ある■定の知識・ 修得レベルを維持

するためにどう評価するかを考える必要がある。いるいうな

1条

件がある力ヽ 今後学生レベルにあわ

せたクラス編成を考えるなどを行い

,科

学の基礎言語 。文化としての高等数学の理解と修得をどう

するかを考える必要にも迫られている。

今後とも同様な

1継

続調査が必要であると思われる。

参 考 文 献

[1]岡

部恒治

,戸

瀬信之

j酉

村和―

雄

_=分

数ができない大学生

,東

洋経済新報社

,19991

[2]岡部恒治,戸瀬信之

}西

村和雄

:小

_{数ができない大学生}

_,東

_{洋経済新報社}

_,2000.

[3]理科離れを探る,朝 日新聞礼

2091年

二月

25日.

[4]理 科離れを探る

.,朝

日新聞社P2001年

3月 1日. 似001年 4月25日 受理)

後藤和雄・ 榮 恵子 :数学基確力調査 (大学 1年 り

資料

(問

題

Aと

問題

B)

問題

Aは

[2,p.5]デ 問題

Bは

[2,pp1 20]よ り引用 問題

A

学籍番号 : 氏名: 解 くのにかかった時1聞 :

見直した時間

:

隅

i孝

―÷

=￨ ￨

醜な÷

・ 孝

=￨ ￨

問題

3.孝

一 ÷ ―

==￨ ￨

問題

4. 3×

(5+(4-1)× 2}-5X(6-4■

2)=

醒

i挫

昨

￨ ￨

問題

6. -5X(S-10■ (-5))=￨ ￨

醜 生 日十

円

卜

_{￨ ￨}

問題

10, 3死

+1=7の

とき

,=￨ ￨で

ある

.

聞

鰤生

19:±

モ

デ

±

ちを

満

た

す

x,ノ

は

工

=￨ ￨,ノ

=￨ ￨で

あ

る

と

７       ８

題

 

 

一

題

間     問 問題

12.3ァ

+1<4を

満 たすxの範 囲は

￨ ￨で

ある。

躙

&監

_:諏

_三

_:軸

た

す

χ

あ

範

囲

は

_{￨ ￨で}

あ

な

鳥取大学教育地域科学部紀要 地域研究 第

3巻

第

1号 (2001) 187

下 の空 白に書 け 解 くの にかか った時 間 : 見 直 した時間 : 閥

_7側

創 ま

￨ 1蛇

で ある 朧 な 聞 ∝ 醐 ま

￨ ￨♂

で あ

a

問題

14.3χ 2_5χ

-2=0を

満 たす χは χ

=￨ ￨で

あ る。 問題15, χ2+2χ

-4=0を

満 たす χは χ

=￨ ￨で

あ る。 問匙三16. 17χ ノ

+7=19χ

ノの とき, 4χ ノ

=￨ ￨で

あ る.

噸

_持

=;蛇

_―

_{￨ 1暫}

躙

&脱 H卜

拗 とれ

=￨ ￨で

あ

a

躙

凱

佳 亘評

-2節

たす ∝ ガ の制 初 示せエ

問題20. ノ=2‐メとす る.χ

=0の

とき ノ

=￨ ￨で

あ り,光

=3の

とき ノ

=￨ ￨

で ある。 問題

21.点

A(5,-2),B(3j6)に

つ いて考 える。 ⑪ 線分

AB卿

点の蜘 よ

￨ ￨で

ある (Ⅱ

)線

分

ABの

点Cで

ACIBC=2:1で

あ る点 の座標 は

￨ ￨で

あ る. ω 線分

AB帳

剖 ま

￨ ￨で

ある 問題

B

学籍番号: 氏名: 醜 仇

=却

=￨ 1餡

珍 数 で答 え 詢

後藤和雄・榮 恵子:数_{学基礎 力調査} (大学1年生) 朧 生

7Xll鮮 21X3羽

擦

6士

劾

=￨ ￨

朧 蜘 岬 ‐ の 卜 ← 呻 生

￨ ￨

は

_1講

_{革 ゝ}

_{_ッ}

_キ

_Ь

_{強 りま}

₁

_膨

問題

7.-3χ -2<2x+3を

満 たす χの範 囲は

￨ ￨で

あ る。 醜

&隔

=￨ ￨

醜 鋭 駄 碇 軌 鴫 ⇒ を通 る齢 妨 程却 ま

￨ ￨で

あ私 問題

10. x2+4χ

-5を

因数分解 す る と

￨ ￨で

あ る. 問題

11.2χ

?-1lχ

+15>0を

満 たす χの範 囲は

￨ ￨で

ある。 躙 笙 翫ぽ―ち … ∽ 印 ま

￨ ￨で

ある 問題13. 死が

-3≦

死≦3を_{満 たす χの範 囲を動 くときノ}

=〆

+2χ二

_8の

_{最大値 イま}

￨ ￨

で あ 呪 期 は

￨ ￨で

あ

a

問題

14.Aが

鋭 角 で

tan A=Vτ

で ある とき

cos A=￨ ￨で

ある.

躙 ユ 釜 数舜 監 “ 乳 … があ

aこ

の例 命 いて顆 は

￨ ￨で

あ

a

ただ し

,47を

第1項とす る。 問題

16.3人

で ジ ャンケ ンをす る。

3人

とも違 う種類 を出す確率は

￨ ￨で

あ る。

躙

Lギ

_多

,7冨

_{冬撓焉 嘉}

掛 さい順に並べると

とな る。

鳥取大学教育地域科学部紀要 地域研窮 第

3巻

第 上号(2001) 問題

1&整

式 P(χ

)=ガ

+2x+5を

ェ

+1で

割ったあまりは

￨ ￨で

あ る、

曲

a器

_{嚇 母補 靴 すると}

￨ ￨と

なな

問題20と _1舟

-11<2を

_満たす

"の

範囲は

_{￨ ￨で}

ある。

問

題知

.2蓼

X考

の

値は

_{￨ ￨で}

あ

る

。

問題23.

問題22.bge 8+logと

18-2 bga4の

_値は

￨ ￨で

ある

.

(ェ

ー

2)2+,●

-2)十

うが恒等的に成立するとき

,