NII-Electronic Library Service MEMOlRS OF SHONAN INSTITUTE
OF
TECHNOLOGY Vo皇
．
35，
No．
1，
2α〕1ね
じ
り
モ
ー
メ ン
ト
を
受
け
る
中
空
軸接 着
重
ね
合
わ
せ
継
手
の
応 力 解 析
仲
野
雄
一
＊・
高城 有希 久
＊＊Stress
Analysis
ofAdhesive
Lap
Joint
ofHollow
Shafts
Subjected
to
Torsional
Moments
Yuichi
NAKANo
andYukihisa
TAKAcJI
The stress and strain distributions in adhesively bonded lap
joints
of dissimilar hollow shafts are examined usingthe axisymmetric theory of elasticity
In
the analysis，
thejoint
is
modeled as an elastic three−
body contact problem wherethe
hollow
shafts and the adhesive are replacedby
finite
hollow
cylinders．
The
e丘ects of the ratio ofY
（）ung’
s modulus ofthe adhesive to that of the sha 丘
，
the overlap length and the thickness of the adhesive on the stress distributions at theinterfaces
in
thejoint
are clarified numericallyIt
is
shown that shear stressbecomes
singular at the ends of the ln−
terface and thatincreases
near these ends with adecrease
ofY
（）ung’
s moduius of the shaft and of the thickness of theadhesive
．
1．
緒 言 動力 伝 達 軸は・
般に キー
と キー
溝で取り付け られ たフ ラ ン ジ を ボル ト・
ナッ トで締 結し結 合 され る。
し か し．
こ の フ ラ ンジ型 軸 継 手は，
フ ラ ンジ自 体が軸 その もの の 寸法 よ りかな り 大 き く．
継 手 部に占 め る容 積 さ ら に は そ の 重 量の 増 加 も著しい．
また，
軸 回 転 中の キー
溝部で応 力 集 中が生 じる な どい くつ かの問 題 点があ る。 これに対 し て，
接 着 軸 継 手が実 用 化され れば，
結 合 部の 容 積や重 量の増 加は無 視で き る程 度で あ り動力伝達装 置が 小 型 化 で き る，
ま た接 着は面 接合で あ る た め応 力 集中の 緩 和が 期 待で きる．
さらに異種材 料の軸 ど うし，
例え ば，
金属 と複合 材料の軸等を比 較 的 容易 に結 合で き る等 メ リッ ト も 多い IJ。
接 着 重ね合 わせ軸 継 手で は，
外 側 中空軸の 内 周面が 内 側 中空 軸の外 周 面 に 接 着 され るため 重 ね 合 わせ 長 さ を 長 くするこ と で，
突合せ 軸継 手の場 合よ りは るか に大きい 接 着 面 積が得 ら れ る。 さ ら に，
万 接 着破壊が生じ た場 合，
突き合わ せ接 着 軸 継 手で は直 ちに軸 継 手の 破 壌に至 る が、
重 ね 合 わせ接 着 軸 継 手で は はめあ わせ 部に よ り少 な く と も 周 囲の構 造 部 分に損 傷 を 与 え る 危 険 性は小 さく な る。 こ のよ う なことか ら，
軸継 手とし て は重 ね 合 わせ 接着軸継手の 方 が 適 当 と考え ら れ，
これ ま でこ の 軸 継 手 に関 し てい くつ か の実 験 的 お よ び 解 析 的 研 究 が な されて き た 2E6）。
これら の 解 析 的 研 究で はほ と ん どの場合，
接 着層が軸の寸 法に比べ て非 常に薄い とい うこ とか ら，
そ の厚 さ 方 向に は一
様 応 力 分 布 を仮 定 し てい る。
し か し，
接 着 層 内の応 力，
ひ ずみ分布，
特に，
界 面 端 部 近 傍で は 応力が急 激に増大するい わ ゆ る応 力 特異 性を 示しt一
般 に破壊がこ の点か ら発 生するこ とを考 慮 する と，
これま での一
様 応 力 分 布の 仮 定は現 実 的で な く よ り厳 密 な 解 析 が 必要と考え られる、
、
本 研 究で は，
寸法お よび材質が異な る，
ね じ りモー
メ ン トを 受 け る 重ね合 わせ接 着 軸 継 手の応 力・
ひずみ分 布 を，
軸 対 称 三 次 元 弾 性 論 を用い て厳密に 解 析 した。
特 に，
継手 強度が 界面の 応 力 挙 動に大き く影 響 を 受け る こ と か ら，
内 側ま た は外 側 中空軸と接 着 層の界面の応 力 分 布 を 詳 細に検 討 した。
解 析で は，
継 手を弾 性三 体接触 問 題 とし てモ デル 化 し．
各 内 側，
外 側 中 空 軸 と接 着 層 を有 限 円 筒に置 き換え た．
解 析に基づ く数 値 計 算 を行い，
接 着 層と中 空 軸の ヤン グ率比，
重ね合わせ長さ お よび接着 層厚さ が界 面の応 力分布に 及 ぼす影 響 を明ら か に し た。 ＊ 湘 南工科 大 学 機 械工学 科 教 授 ＊＊ 湘 南工科大学大学院 工学研究科 機 械工 学専攻 平 成 12年 10月18 日受 付2 ．
醒 析 図 1は．
重ね合 わせ接 着 軸 継 手の解 析モ デル を 示 す。
1
N工 工一
Eleotronio Library湘 南工科 大 学紀 要 第 35巻 第 1号 Adhesive 豆 Hollow sha 丘 1 N 禹
・
．
⊥
．
壽 ・ ，）
ぐ
“
ム N・
03 ・一・
一
卜
袰
2 21 Hollow sha 丘 皿 図1
重ね合わせ接 着継 手の解 析モ デル 図 そ れ ぞ れ 異 な る 材 料か ら なる二 つ の 中 空 軸が重ね合 わせ 長 さ2
ちで接 着 さ れ，
軸 継 手 両 端で ねじりモー
メ ン ト T を受けるもの とする。 内側 中空 軸の内・
外径と長さ を2al，
2b
，，
Zl，
外 側 中空軸の そ れ らを2a3，
2b3，
2
らとする。
解析に おい て は
，
内側中空軸， 接 着層お よび外側中空 軸 をそれ ぞれ有 限 中 空 円 筒 1，
11，
nI
に置き換え，
中空 円 筒II
の 内・
外径 を2a2←2b1），
2b2〔＝
2αg
とする。
ヤ ン グ率，
せ ん断 弾性係 数および ポァ ソ ン比 をE，
G，
v と し， 添 字 1，2，
3
で各 中 空 円 筒 を 表 す もの と す る。
円 筒 座 標 系 （r，θ，
Z）を 用い，
各中空円筒の原点 をOL，
02，
03，
ま た 原 点 間 距 離を そ れ ぞ れ Cl←010D， C3 （；
onoalとす る。
図1
に示 す，
ね じりモー
メ ン トを 受 け る 重 ね 合 わ せ 接 着軸継手の境界条 件は次 式（1）〜
〔5
）で表さ れ る。
中空円 筒1
（内側 中空軸 ）に おい て Zl≡
＋tl
・所
叢
〃2 、
＝−
1，ee
． ・・ 019i
1
≦ll
；（rl，θ）r
．
。1；O
（ち
一
c ，）≦ z、≦11：（母
、）r．
、 、＝
0 中 空円 筒H
（接 着 層）におい てz，
≡
土ち： τ卜 o
中空 円 筒 III（外 側 中空 軸 ）に おいて z3＝
＋ら：
堽 一
〇 z・一一
…働
唐
・s
一
ら≦ 23≦（・3一
り：（嫐 ．
ぺo
I
・、1
≦ら・（
嫐
．．
、 、− 0
〔1） （3
） 中 空 円 筒 1，
IIの 界 面において一ll
≦21≦ （ち一
Cl），
）Zz1
≦ち：（・
1
、）r，
bl−
（謬
，）r．
a ，（
嚇
．
西1−
（vl「 ）r．
．
a、 中 空 円 筒II，
IIIの界 面におい て ヨ に ら 叩昌
際蹴
り＝
「
一
→ → ヨ ア ア ¢9
）母
唱
コ
く
@
ｿ ≦1
2
）4
〔
ー
｝ 5）
3 ここで ，
Ve
は 周 方向 変位 ， 上付き記号1，II
，I
は そ れ ぞれ中
空円筒 1，II
，III
に
応
する。 境界
条件（1
）〜（5
） を満
足するため，Boussine の 応力関 数λ
を 用いると，各応力 と 変 位は次のように
さ れ るZ
。1
∂ 2λ1
2
λ
1
∂λτ
・广
三
r
娥
・Tr
・
万 つ7
＋7
万 ・ （6
｝ ∂ λ2Gv θ ＝ 一 一
御 ここで，λは次 の 調
和
程
式
を
満
た
す必
要
があ
る
。
@
咋｛彡
号畜券卜・境
界条 件 （1
）〜 （5
）を 考 慮 ， 調和関数 の変数分離解から中 空 円 筒1
のBoussinesq 応 力関 λ1は
次
の よ
に
与
え
ら
れ
る
。
NII-Electronic Library Service ねじりモ
ー
メ ン トを 受 け る 中 空 軸 接 着 重 ね 合 わせ継 手の応 力解析 （仲野 雄一 ・
高城 有希 久 ）客
，纛
、・ ・β岡
’
Zl・雲
，、
轟
、聯
・・幽
一
客
，、
1瀛
・伽
・…Zt・ ・毳
轟
、
at， K ・晦
伽
・薯
・21i
：
｝
s ，：
．
：
詈
Xl
．
f
， ilc ，・幽
・茎
・暑
；
ill
翻
・吻 （7）こ こ で
，Cn
（αlsr
）＝
／n（α1
， r）−
／ ，（dsb1
）Yn
（αlr
）！Y2
（el
，
bi
）…
（n≡
O，1） ・喋
・1
・
一
（ 2葺
）π・
・
…− 1，
・2・
・3・
…
）・ある・
これか ら，
変 位 と 応 力 は 次の よ うになる。G
，・5
− 一
一
鯛
嵎
÷
・DS
・（r3−
・・1
・ ・シ
綜
1
蝿
…シ
継
島
蝿
同・ ・率
嬲
嚇 ・・茎
殆
畿
） ） c…6iZi
・帝
i
畿
1
・ 剛舮
畿
i
螽
1
…lr
・ ・1
广嫉
・・Dlr2
ア （8
）留
・・繼
糎
略
旬
・・繍
媚 ・・唱
町
・繍
蝋 ・：21・一
Σ
功
・・繖
1
岨 ・・籌
嘸
畿
鴇
帝
諜
鴇
・・a．
1
・） （9
） τち
、＝
BSr
− 8DSmel
・シ
β1
織
1
麟 ・・Σ
峠 饗圭
））融 ・各
河
・・繍
嚇帝
・・綜
） s…6
・Zd ・ ・客
司
・騾
i
課
…lr
・・梦
・l
i
器
ll
｝
…lr
・ （10
）上式で
，
／n，Yn
は n 次の べ ッ セ ル 関 数，
ln，
K
， はn次の 変 形ベ ッ セ ル 関 数 （n＝1，2
），
a，
は円筒関数C2
（（廊
1）＝
0の 正 根であ る。
ま た，
Ab
BS
，
Cb
1
）占
』1
，
昂 似
，
．
結現
およ びc
；
（n，
s＝
1，
2，
3，…
）は未 定 係 数で あ る。 同 様に し て，
中 空 円 筒 n および IHに対 す る 応 力 関 数 λll，
λlllが、
対 応 する λ1 中の 各 係 数 を 置 き換 え るこ と によっ て得ら れ る。
これら の応 力
，
変 位に関 する式 を，
式 （1）〜
の境 界 条 件に代人する こ と で未 定 係数に関 す る 無 限連立一
次 方 程 式 が 得 ら れ る。
数値計 算 におい て は無 限 級 数 を ト分に 大 きい項 数N
で打 ち 切 り，
（182
＞＋12
）元の連 立一
次 方程 式 を 解 くこ と で未 定 係 数が定め ら れ，
式（8）一
（10）を用い て 最 終 的に継 手 内 部の任 意 点に お け る応 力と変 位 成 分が求 め ら れ る。
3
．
結 果 と 考 察 以 下の 数 値 計 算に おい て は級 数の項 数N
を 50 と し，
ま た 内 側 中 空 軸 と外 側 中空軸の長さを同一
（2
」1＝2
と し た。
ま た，
応 力 値は接 着 層 側 界 面の値 を示 した。
図2 は，
中空 軸が同 種 材 料 ど うし の場 合の，
接 着 界面 の せ ん断 応 力 分 布 τ．θ と τai を示す。
実線が内 側 中空軸 と接 着 層の 界 面 を破線が外側 中 空軸と接着層の界 面を そ れ ぞ れ 表 す。
図 中の 横 軸は界 面 位 置 を重 ね 合 わせ長 さの 半 分ちで除 し，
同じく縦 軸 は 各せ ん 断 応 力 成 分 を 平 均せ ん断 応 力 τm←Tγπ（al＋bl
） 2 りで除し無次 元化 表示 し た。 こ の場 合，
内側お よび外側 中空 軸の肉厚は同一
と な るよう に し た。
こ の結 果
，
せ ん断応 力 丁，
e は界面の両 端，
すな わ ち ZLY ち＝
±1．
0で特 異応 力と な りt ま た内側，
外側 界 面と もZLY ち二 ＋1．
0の 方が T ，eは大きくなるこ と がわか る。
さらに，
両 界 面の比 較で は内 側 界 面の ほ う が大きくな る こ と が わ か る。…
方，
τetは τ．
e よ り小さく，
界 面 中 央 付 近で はほ ぼ一
様に なる。
こ の こ とか ら，
以 下の結 果におい ては 内 側 界 面の せ ん断 応 力 成 分 τ，et Tm の分布の み を示 す。図
3
は，
接 着 層と中空 軸のヤ ン グ率比勾
E1
が内側 接 着界 面の無 次 元 化し た せ ん断 応 力 分 布に及ぼす 影 響 を 示 す。
な お，
こ の場 合 も両 中 空 軸は同 種 材 料か ら な る もの と し て お り，El＝E3，
Vl＝
＝
v3 と な る。 こ の結 果，
接着層の3
N工 工一
Eleotronio Library湘南 工 科 大 学 紀 要 第
35
巻 第 1号5
4
、
3
憶
ぜ
2
寄
1
0
一
1
一
1
一
〇．
5
o
0
．
5z2
〃
21 図2
中空 軸が同種 材 料での接 着 界面に お けるせ ん 断 応 力 分 布 図 （E
，＝
＝
E
，，
E2
＝
＝
O．
05El，
y1＝
v3，
v2＝
1．
33vl＞6
5
4
丶3
鴨2
10
一1
一
〇．
5
0
0．5z2
〃
21 図 3 接着剤の ヤ ング率が 内 側 接 着 界 面の せ ん断 応力 T
．
ITnr
に及 ぼす 影響 （E，＝ 1ら，
五壱＝O．
05E，，
Vl＝
v3，
v2＝
1．
33Vl） ヤ ング率E2が相 対 的に大きくな る につ れ界 面 端 部zb／ち＝
＋1．
0
の せ ん 断 応 力 は 増 加 す ることがわか る。図 4は
，
異種材 料の 中 空 軸 と 接 着 層の ヤ ング率 比が接 着 界 面 端 部 近 傍の せ ん断 応 力 分 布に及ぼす 影 響 を示 す。 108
6
4♂
＼謬
2
00
．7
5
4
32
♂
丶3
1
0
− 1
0．
8
（a）
o．9z2
〃
2一
〇．
9
（b
）一
〇．
8z2
〃
21
一
〇．
了 図4
中空軸と接着 剤の縦 弾 性 係数が界 面 端 部 近 傍 に お け る 無 次 元 化し た せ ん断 応 力 分 布 τノTm に 及ぼす 影 響 に示 す よう に内 側 中空 軸の ヤ ン グ率El
が外 側 中空 軸 の ヤング率 瑞より小 さい 場 合は zノち≡
＋1．
0
で の せ ん断 応 力は反 対 側 端 部z21ち＝− LO
で の せん 断 応 力 よ り 大 き く，
ま た 221ら＝
＋1．
0で両 界面を比 較 すると内側 界 面の せ ん 断 応 力の 方が外 側 界 面の せ ん断 応 力 よ り 大きい こ と が わ かNII-Electronic Library Service ね じりモ
ー
メ ン トを受け る中空軸 接 着重ね合わせ継 手の 応 力解析 （仲野雄一 ・
高 城 有 希 久 ）6
54
3
♂
丶32
1
o
一
一
〇，
5
0
0．
5z2
〃
21 図5
接 着 層 厚 さが 内 側 接 着 層 界 面のせん 断 応 力 分布 τノTm に及ぼす 影 響
（
E
，＝E5，
4
＝O．
05Ei，
Vl二
v3，
v2＝
＝
1．
33 Vl）6
5
4丶
3
2
r
0
一15
− 10
−5
05
10
15
z2
（mm ） 図6
ラ ッ プの長 さが、
内 側 接着界面のせ ん断 応力分布τノτ凋 に 及 ぼす 影響 （E1
．
＝
E，，
q
＝
O．
05El，
Vl＝
v3，
v2＝
1．
33Vl
） る。一
方，
（b
）に示 す よ うに内 側 中 空 軸の ヤング率E
，が 外 側 中 空 軸のヤ ング率 瑞 よ り大きい場 合はz2／ちヨー
1．
0で の せん 断 応 力の 方が反 対 側 端 部z2！ち＝
＋1．
0
でのせ ん断 応 力より大き く，
ま た z21ち
＝−
1．
0で両界面を比 較する と外 側 界 面の せん 断 応 力の方 が 大 きい こ と が わか る。
以 上の こ と か ら，
せ ん断 応 力の 最 大 値 を比 較 す る と，
ヤング率 の 小さい 中空 軸 と接 着 層の 界 面におい て せ ん断 応 力が増 加すること が わか る。図 5は
，
接 着 層厚さt2が内側 接 着 界面の せ ん断応 力 分 布に 及 ぼす 影 響 を示 す。
こ の場合，
両 中空軸は同 種 材 料 か らなり，
その肉 厚 も同一
（ti；
tClとす る。
こ の結 果，
接 着 層 厚 さ が減 少 する につ れ，
せ ん断 応 力は界 面 端 部，
特 に躍ら＝
＋1．
0
で大きい 値と な るこ と が わか る。図 6は
，
重ね合わせ長 さ％が内側 接 着界 面の せ ん断 応 力 分 布に及ぼす 影 響 を 示 す。
こ の結 果．
せ ん断 応 力の 分 布 形 状は重 ね 合 わせ長 さに依 存 し，
重 ね 合 わせ長 さが 増 すほどせ ん断 応 力は界 面 両 端 部で 大 きい値 と な る が，
一
方 界 面 中央部で はほ とん ど零に な ること がわか る。
4 ．
結 言 本 研 究では，
寸 法 と材 質の異 なる二 つ の 中 空 軸の 重 ね 合 わせ接 着 継 手がね じりモー
メ ン トを受 ける場 合の応 力 解 析を行っ た。
得 られた主な結 果 を 以 下に示す。
1
） 重 ね 合 わせ接 着 軸 継 手 を 弾 性 二 体 接 触 問 題 と し て モ デル化し，
軸 対 称三次 元 弾 性 論 を 用い て，
ねじ りモー
メ ン トを 受 ける継 手の 応 力 とひずみ分 布 を 厳 密に解 析 す る方 法 を示した。2
） 解 析に基づ く 数 値 計 算 を 行い，
接 着 層 と 中 空 軸の ヤング率 比，
接 着 層 厚 さおよび重 ね 合 わせ長さ が接 着 界 面の せ ん断 応 力 分 布に及ぼす影 響 を 明ら か に した。
その 結 果，
せん 断 応 力 τ，e は 界 面 両 端で特 異 応 力 と な る，
ま た せ ん断 応 力は ヤ ング率の小さい 中 空軸と接 着 層の界 面 側で 大 き く な り，
さ ら に接 着 層が薄くな る につ れ大き く な る こ と がわかっ た。 本 報で は，
弾 性 論による理 論 解 析に絞っ て論じ てき た が，
今 後はひ ずみ 分布の 測 定に よ る 理論 解 析の検証，
応 力 分布に対する継 手の各種パ ラメー
タ の影 響，
さ ら に実 際の重ね合わ せ接 着 継 手に よる 破壊 強 度 解 析な ど，
工学 的な応 用 を考 慮し検討を進め てい く予 定で あ る。 参 考 文 献1） R
．
D．
Adams and N．
A．
Peppiatt，／．
AdheSion，9，1−
18（
1977
），
2）
A ．
Beevers
，
Mater．
＆ゴ．
andTechnol
．
，
2，
97−
102C1986
）．
3
）C．
T．
Chon，
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Composite
Mater．
，
16，
2
〔B −284
（1982
）．
4
）P．
J
．
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／．
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）mPositeMater、
，
18， 298−311
（19M ）．
5
湘南工科 大 学紀 要
5
）D．
G ．
Lee，
K．
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．
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Choi，
／．
・Adhesien，
49，
37−
56
〔1995）．
6
）J
．
L．
Lubkin
andE．
Reissner
，
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ASnd
／E
78 ，1213一
第
35
巻 第1
号1221
（1986
）．
の S
．
PTimeshenko ，Theory of elasticity，
McGraw−
HilI（
