「論理学ノート」(その3) : 基礎篇
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(2) . 北海道教育大学紀要 （人文科学‐社会科学編） 第４９巻. 平成 １０年８月. 第１号. ｉ ｉ副Ｓｃ ｔｙｏｆＥｄｕｃａｈｏｎ （Ｈｕｍｚｍ並ｅｓａｎｄｓｏｃ ｅｎｃｅ Ｊｏｍ：ｎａｌｏｆＨｏｋｋａｉｄｏ Ｕｎｉｖｅｒｓｉ. Ｉ ＶＯ Ｉ ． ．４９ ，Ｎｏ. Ａｕき犯ｓＬ Ｉ９９８. 「論理学ノート」（その３） －－ 基 礎 篇 －－. 西岡 孝治 北海道教育大学函館校哲学教室. ＬｏｇｉｃａＩ Ｎｏｔｅｓ （Ｎｏ ．３）. －－ ａｂａｓｉｃ ｓｕｍ ｍａｒｙ. －－. Ｋ可ｉＮＩＳＨＩＯＫＡ ｆＰｈｎｏｓ ｔｅＣａ ＤｅＰａ ｂｍｅｎｔｏ ｏｐｈｙ ｏｄａ １ ｍ ー １ ｒ ｐｕｓ ，Ｈ丞に ， ｆＥｄｕｃａロｏｎ Ｈｏｋｋａ ｉ ｄｏ Ｕｎ ｉ ｉ ｔｙｏ ｖｅｒｓ. 目. 次. １． 序 ２． 論理的. ３． 推論形式 （演継・帰納・類推・弁証） ４． 形式論理学 （命題論理．述語論理） ５． 論証. ６． 練習問題. １． 序 論理 学 の書 を みる た びに感 じる こ と は “こ れだ けの物々 しい道具 立 がな さ れて いる が， こ れによ っ て一 体. どんな具体的な問題が解決されるのであろうか？“ という疑問である． 一部の例外的な書は別にして， 一般 的には， “物々しい道具立” の割には， 日常生活に関わるような実例が少ないように思う． 勿論， 論理学は ある意味で諸学の基礎であるから， 基礎基本に徹するのは当然であろう． 「学においては， 証明可能なこと ）と は あ る 数学 者 の 言葉 である この 言葉 の 意 味する と ころ は恐 らく を 証 明 な しに信 じて はな らな い．」１ ， ． ，. “直観的にどれほど真であると思えることであっ ても 少なくとも学においては 論理的にきちんと証明す ， ， る こ と が大切 である” と理解 しても よ かろう． ごく 当り前 のこ と， 常 識 的 なこ と であ っ ても， い ざきち んと. 証明するとなると骨が折れることが少なくない． 数や図形を中心に考える数学の問題は， 論理学にとって比 較的に扱い易いけれども， その代り有効な適用領域が狭いという欠点がある． 他方では， 日常生活の具体的 な問題は， 身近であり， 従っ て中心的領域に属する筈であるが， 比較的に複雑で論理学にとっ て扱い難く， ｝ 実例問題として 数学の問題を取りあげることがあるのは 論理的構造 ２ 一筋縄ではいかないことが多い． ， ， を理解 する た めの一助 と して である．. 最近の日本のある調査によると， 世間においては相手の発言内容よりも， 受手の目耳などに与える印象に １７.
(3) . 西岡 孝治. よって説得されている人が大多数であるという． 現代は， 脳死と臓器移植， 自然と環境， 経済活動， 政治， 教育， 死刑な ど多くの重大問題を抱えていて， それらの早急な解決方策が求められている． このような状況 下にあって， 所詮， 人間あるいは日本人は感情的動物であるから， 理性によるよりも感情に動かされるのも やむをえない， と結論を下す向きもあろう． 「人間の操る論理というものは， 多くの場合， 感情によっ てい る． い わ ば， 論理 と いう 島 は感情 という 海にとりま か れ， 浮ん でいる．」 （Ｄ‐ Ｈｕｍｅ ） という 言葉 も思 い出さ れる． しか し， た と い 人 間 が感情 に 支 配さ れ易 い と しても （あ る い は， そう であ れ ばこ そ）， 後 年 にな っ て. 取り返しのつかない災をまねかないようにするためには， できる限り合理的に考える努力をすることが必要 である， と考えることもできよう． ２． 論理 的 「論 理」 と は， 人 間の 知 の 領域 を広 げて いく 際の 一つ の 有力 な手 段 であ る と 考 え ら れる． 勿 論， カ ン トの. 「純粋理性批判」 を持ち出すまでもなく， 「論理」 自体も決して万能ではなく， 限界を持っ ている． 我々は 「論理」 の持つ限界もわきまえねばならない． ある限界は決定済みかもしれないが， 別の多くの限界は未決 １ ｉご 定であろう． そ して， 未 決 定の 限界 を知 る ため には， 更 に知 の 領域 を広 げて行く しかないの である． “ ０ｇ. には， 「論理」 と 「論理学」 の両方の意味があるが， 「論理」 （議論・思考・推理などを進めて行く筋道． 思 考の法則・形式） に対して， この 「論理」 について研究する学が 「論理学」 である． これによれば， 「論理 ” “ 的」 （ １ ０淳ｃｍ） と は， 筋 道 が立 っ て いる こと が 原 意 と なる が， 更 に， 論理 学 に即 していう な ら， 一種 の 関 係 概 念 で あ っ て， “前 提 （Ｐ） か ら結 論 （Ｑ） へ の 筋 道 が 立 っ て い る” あ る い は， “Ｐが真 な ら， Ｑも 真 と な る ；Ｐな ら ばＱであ る （ＰコＱ）” 関係 と い えよう． こ の “筋 道” ある い は “関係” の確 かさ の 度合 に応 じて， “ ” いくつ かの “論理形式” ， い わゆる 推 論形式 が分類 さ れる．. ３． 推論形式 “ ” “ ” １） 演鐸 （ｄｅｄｕｃ ｉ ｔ ｏｎ） ：実用 性 はさ ておき， 最も 強 い 筋 道 ， 必 然 的な 関係 の有 無 を調 べ る推 論形 式 であ る． “Ｐが真 な ら ば， 必 ず （ ｉ １００％） Ｑも 真 と なる” か否 かを 問題 にす る． “Ｐ Ｑ“ が常に成立する ｅ ‐ ‐ 場 合 を， “妥 当 で” （ｖａｕｄ） あ る と いい， 必 ず しも成 立 しな い （一 つ でも成 立 しな い場 合 がある） な ら， “妥 “ 当 でな い” （ ｉ ｎｖａｕｄ） と いう． 「論理」 が “筋 道” を意 味する 限り， そ の 筋 道” の 最も 強 い確 かさ こ そ， 最. も興味を引くと考えれば， 「演輝」 は， 推論形式の代表であるといえる． 数学と最も関係が深いのも， この 「演輝」 である． ただし， 例外を許さない必然性を要求するこの形式は， そのために， 適用範囲を相当に限定されるという ３ ） 「す べての政治家は腐敗している」 犠牲を払うことになる． 一例をあげよう． ， 「スミスは政治家である」 と い う 二 つ の 命 題 か ら な る 前 提 （Ｐ） か ら， 「ス ミ ス は 腐 敗 し て い る」 と い う 論 理 的 帰 結 （ ｌｏｇｉｃａｌ ） （Ｑ） が導 出さ れる． こ の推 論 は演 鐸 の 一 つ であ っ て， 必 然 的 である． 事 実 はと い え ば， 「す ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅ. べての政治家は腐敗している」 とはいえず， 「ある政治家は腐敗していない」 であろう． こうなると， 「スミ スは政治家である」 としても， 決して 「スミスは腐敗している」 と断定できないことになる． 前者の， 妥当 な推論形式は， 前提の真を仮定するだけで （従っ て， 偽の場合もありうる．） ， 確定を要求しない． それでも， 形式としては妥当なのである． （ ｆ４．形式論理学 ２）述語論理 を参照） ｃ ｉ ｉ ｉ ｔ ＡＵＰｏｌ ｒｅ ｃｏｒｒｕＰｔ ｃ ａｎｓ ａｌ ‐ ｌ ｉ ｄ ｉ ｈ Ｓｍｉ ｔ ｓ ａ Ｐｏ ｃｉａｎ－ ｔｈｅｒｅｆ ｔｈｉ ｓ ｃｏｒｒｕｐｔ ｏｒｅ ． ，Ｓｍｉ. １８. （ｘ） （Ｆｘ→Ｇｘ ） Ｆａ Ｇａ.
(4) . 「論理学ノート」（その３） － 基礎筋 －. 一般的に， 演樺は一般命題を含んだ前提から特殊 （あるいは， 一般） 命題からなる結論を導く． これに対し て特殊命題からなる前提から， 一般命題からなる結論を導くのが， 「帰納」 である． ２） 帰 納 （ ｉｏｎ） ： い く つ か の 特 殊 事 例 を も と に し て， 一 般 命 題 を 導 く． こ れ を 一般化 ｉｎｄｕｃｔ ” “ “ ” ｌ ｔ （ｇｅｎｅｒ誠ｚａ ｉ ｔ ｅ ｅｉｎｄｕｃｈｏｎ） と ｏｎ） と いう． こ れ は， 広 義 の帰納 である． こ れを， 完 全な帰納 （ｃｏｍｐ “不 完 全な帰納” と に分 ける 前 者 は更 に “取 り 尽 しの 枚挙 による” （ ｂｙ ｅｘｈａｕｓｈｖｅ ｅｎｕｍｅｒａｈｏｎ） も の と ． ，. “数学的” 帰納法とに分かれる これらは発想においては 帰納的といえるが 前提から結論に至る筋道の ， ， ． 確かさは演鐸の場合と同じであるので， 多くの書は例外的帰納とするか， あるいは演謬に含めている． さて， 後 者 が演 樺 と 明 白 に区別 さ れる “狭義” の帰 納 である． カ ン トの “分析判 断” と ”総合判 断” にな ら っ てい え ば， “演 継” は “分析 的推 論形 式” であ っ て， 結 論 は前 提 に含 ま れて いる 意 味内 容 を越 える こ と はな い．. 他方， 狭義の “帰納” は “総合的推論形式” であっ て， その結論は前提に含まれている意味内容を越えるの ） とも 呼 ん で いる の に な らえ ば， ｉ ｌ ｉ ｔｅｒｕｎｇｓｕｒ ｔｅ であ る． カ ン トが， “総 合判 断” を， “拡 張 的判 断” （Ｅｒｗｅ “拡 張 的” （ａｍ 丘ａ ｉ ） である． ある い は， 調 査研 究対 象 の一 部 （従 っ て， 全 体 ではな い） を調 べ て， 判 断 ｖｅ ｐ ｔ 帰納 的 飛 躍” （ ｉ ｉｖｅｌｅａ ） と い う ◆こ の を全体に及ぼすので この “部分から全体へ” の飛躍を ｎｄｕｃｔ. ，. ，. ｐ. ．. “飛躍” の 故 に 帰納 は演 継 が持つ 形式 上 の必 然 的 な筋 道 を持ち得 な いの であ り 従 っ て ０％ と１００％ と の ， ， ，. 間の中の中において， できる限り１００％に近づくように推論を構成する必要がある． この度合を， 演緩の妥 当性 に対 して， “信 頼」性’ （ ｉ ｈ ｔｙ）， ある い は統 計 的 には， “蓋 然」性’ （ ｒｅ五ａｂ ｐｒｏｂａｂ道ｔｙ） という．. 必然的な筋道ではなく， 中のある筋道を検討する “帰納” は， その代償として新しい事実を発見するとい う長所を持つ． 結論 （Ｑ） が， 前提 （Ｐ） に含まれていない内容を持つことは， 既知の前提を越える新しい 内容を持つことになるからである． 「帰納がその威力 と有用さを完全に発揮できるのは， 帰納が科学に使用 ） さ れる 場 合 だ け」 である と主張する 人もある ほ どである．４. 以上のように， 演輝と帰納とは大いに異なる点があるけれども， 両者間には次のような相補的な関係があ ） 即ち 演経が前提とする一般命題は 全知ならぬ人間がいかにして把握しえたのか？ それ る と い う．５ ， ， は， 一挙に把握したというよりは， 複数の事例をもとにそれを一般化あるいは拡張するという正に “帰納” によ っ て得 た と いう べ き であ る と． さ て， “帰 納” に 関 して は どう か？. いく つ かの 特 殊 事例 か ら， 結 論と. して 一 般 命 題 を 導 出 しよ う と す る の であ る が， そ も そ も， 「宇 宙 が 運 沌 た るｃｈａｏｓで な く し て， 整 然 た る. ｃｏ ｓｍｏ ｓであり， 又吾人の思考は其の本来の性質上統一を有するもので， 各々の事実は必ず孤立せるもので はなくして必ず普遍と何等かの関係を有すと為し， 部分によって全体を見得る」 筈であるという基本的要請 （Ｐｏｓ ）（ ｌ ｉ ｔｕ ａｔｅ ｅ ． ． 自 然の 斉 ー 性と， 人 間 の理性 の統 ー 陛） が ない な ら ば， 「帰 納 的飛躍 は云 は ゞ 暗 中飛躍 に 止 ま っ て， 帰 納 推 理 の 結 論 は遂 に 臆測 に過 ぎない こ と になる．」 こ の場 合， 基 本 原 理 と して 要 請 して いる も. のは， 一般命題である． そうだとすれば， 一般命題を前提として特殊命題を考える点において， “帰納” は 演鐸を必須要件とすることになる． あるいは又， 結論として推定されるべき一般命題は， それが具体的な形 をとっ て現われた際に， 目下の研究対象領域内の多くの特殊事例に適用されうるように決定されればこそ （これは取りも直さず， “演輝” 的であるが） 信頼度を高めうるであろう． このように両者は決して無縁では 元 し）. ．. ） 広義の帰納 Ｅ 雑覇〆稼影 薦半 数学的帰納. １９.
(5) . 西岡 孝治. 「ａ ，ｂ ， ｃは人 間なり」 「ａ ，ｂ ， ｃはいつ か死 ぬ」. Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ. 「す べ て の人 間 はいつ か死 ぬ」. （ｘ）（Ｆｘ→Ｇｘ）. （無作意抽出の結果） 「 あるＦはＧである」. ヨｘ）（Ｆｘ＆Ｇｘ） （. 「すべてのＦはＧである」. （ｘ） （Ｆｘ→Ｇｘ）. Ｅ＝｛×，， ｘ２ ， ｘ３ ， …×Ｊ， 述 語Ｆに 対 し て， ｘ， ，. ｘ２ ， ｘ３がＦを みた す こと を前提 してＥの 要素 す. Ｆｘ．＆Ｆｘ２＆Ｆｘ３. べてが中をみたすことを結論として推理する．. （ｘ）Ｆｘ. “ ” ３） 類 推 （ ｌ ａｎａ ｏ ミ郭）：こ れを， 帰納 的 論証 の一形式 とする 書 もある が， 「特 殊 の場 合 か ら他の特 殊 の場. 合を推理するもの」 と解釈して， ここでは一応区別したい． 「二個の事例が種々の点に於て相類似せろを認め， 之によりて一方の属性は他方にも存在すべしと推理す るものである． 例へば火星と地球とを比較するに， 共に太陽系に属する遊星であっ て， 水あり， 陸地あり， 空気あり， 其の他種々の点に於て相類似し， しかも此等の類似点は人間の生活に欠く べからざる点である所 ） から， 火星にも地球と同じく人間の棲息するものあるべしと推するのである．」６ Ａ （ａ ， ｂ， ｃ ， ｘ）. １． ａ ，ｂ ，ｃはＡ，Ｂの 本質 的属 性 である こと．. Ｂ（ ａ ，ｂ ，ｃ ， ｄ）. ） ２． ｘは， ａ ，ｂ，ｃと 関係 が あ る と 共 に， ｄと 相 合 的 （ｃｏｎｇｒｕｅｎｔ. ｘ＝ｄ. である こと．. これを更に一般化すれば次の形になろう． Ａ （ａ ， ｂ， ｃ ， ｘ）. Ｂ （多 ｂ ；ｃ ； ｄ） ｘ＝ｄ. 他の例としては， 「人間以外の動物に就て意識の有無を論ずるが如き場合」 ， 「医学者は， 新薬が人間に及 ） ぼす影響を確定するため， ネズミで実験する．」７ 「他人の心の状態を推定するには， 自分の心の状態とその行動との関連を根拠として， 他人の行動から類 推 する．」“. 「プラ トンは， 正義に関して人間の魂と国家が類似しているとし， 国家における正義は “大書された” 正 ） 義 だか ら見易 い筈 と， 魂 にお ける 正 義 に先 立 っ て 論 じている．」７. ８ ） 「児童は油と水との類似せる所から推して， 油も又水の如く消火の作用を為し得るものとなすであろう．」 一般に類推による推理は， 帰納よりも更に不確かであるが， 帰納を用い難い場合にまず類推によって一応の ｝ 結論を得， これを仮説として帰納を進めていくことによって， 普遍的法則を発見することもまれではない．８ ）：弁証法を論じた書はあるが， 論理学の書で弁証法をまともに取りあげているもの ４） 弁証 （ ｄ ｉ ｌ ｉ ｔ ａ ｅｃ ｃ は極めて稀である． 演輝や帰納と比べて， それほど把え難いのであろう． 本稿でも以下において， 演継， そ のうちでも特に整理されている形式論理学を扱うのであるが， その前に推論形式の一種として， 弁証法につ ２０.
(6) . 「論理学ノート」（その３） － 基礎筋 －. Ｐ） として矛盾又は対立する二つ いて少しでも私見を述べておく価値はあろう． 推論形式としては， 前提 （ の立場が登場し， 結論 （Ｑ） としてそれら両立場の総合発展形が来る． ともかく， Ｐ Ｑという推理形式をな しているではないか． 従って， 弁証的論理によって数学や自然科学の個々の問題を直接に解くというような ことは稀有としても， 別のもっと複雑な学問上の課題に対して， 有限な認識力を持つ人間が取り組む場合に， ） として弁証法を考えることができよう． ｉ ｌ卸ｄ ｄｅｕｎｅ その認識の発展を導いてくれる有力な理想型 （ ｄｅ ａ 例をあげてみよう． 方程式. ｘ２ ＋ １ ＝ ０は ，. 実数体においては解決不能であっ た． すべての実数は二乗す. れ ば負 になる こと はない か らである． ×． ， ｘ２が実 数 である 限り， 「ｘｉ 》 ０」 ＆ 「ｘ套＜ ０」 と はなり え ない．. しかし， 複素数体まで拡大することによって問題が解決されたのは周知のことである． ある方程式が解けた と いう ことよ りも， 解 ける よう に “数の概 念を拡 大 した” と いう こと が， こ こ では肝心 なの である． 同 様な. 例は無数であろう． ） 今 一 つ の例 は， 過 日の柴 田期 氏 の新 聞評 である．９. 東西対立の激化と全面的核戦争の危機に世界が慢性的. に脅かされていたのがやっと去ったと思うと， それに代わっ て， 民族紛争， 世界経済の危機， 大震災， 地下 鉄サリ ン事件 である． こ れらの 事件 は個々 のも の と して は， 互 い に特 別 の 関連性 はない． しか し， そ れ らす べ て は， そ の根 を掘 っ て行く と， いま わ れわ れの 世界 が大き な過 渡期 に はい っ た と いう こと の明確 な現わ れ. ではないか． 過渡期とは， 一つの世界秩序が崩壊し次の世界秩序がまだ形成されていない流動的な時期に入 っ た という 意 味である． では崩 壊 して いる 一つ の 世界 秩序 と は何 か， そ の何 が 問題 なの か？. 氏 によ れ ば， そ れ は “ヨー ロ ッ パ の. 近代的思考方法“ であ り， そ れが前 提 と して いる “人 間個々 の 自 立 的 な 自 己決 定能力” だと いう． 人 間 は， そ の よう な 能力 を 持 っ て いる と いう ほ ど立 派 な 生 き物 で はな い の で はある ま い か． （氏 は ゲー テ の 中 にそ の こ と の 先 駆 をみる の である が， 奇 しく も ゲー テ の 没年 に誕 生 した ドス トエ フス キ ー の 問 題 でも あ っ た．） 氏. の矛盾 （ ノもの揺れ） は， その深い疑念に囚われる一方で， 戦争中の不合理で暴力的な軍国主義教育の重圧下 に育った氏に， 敗戦と戦後民主主義がもたらしたほとんど肉体的な解放感覚を忘れられない， 「私にとっ て， 人間の自己決定権はいまも決して否認できない価値である．」 という点 にある． “人 間個々 の 自 立 的 な 自 己 決定 能力” は あ る の か な い の か ？ 現代 世 界 の 諸 事 件 は どう も “な い” と し ， か告 げてく れな い． さ り と て， “なく て はな らぬ” と の思 い も 深 い の である． 氏 の こ の 矛盾 は， 筆 者 にと っ. ても他人事ではない． 次の世界秩序がやってくるまで， ただ待っている だけでよいのか？ せめて暫定的で あってもよいから， 心の中の矛盾に引き裂かれているだけではなく， この矛盾の前提から総合的結論のよう なも の をみつ けた い．. そもそも， 弁証法の先の解釈からしても， “人間個々の自立的な自己決定能力” などというものは， 一般 成 人 であ れ ば誰 に でも 備 わる “法 定の資 格” のよう なも ので はある ま い そ れは 一生 かか っ て成 長させ て ． ， いく べ き も の で あ っ て， 決 して 完 成 した 現 実 態 と して あ る も の で は な い だ ろ う． “個 人 尊 重” が， と かく. “一部の個人尊重” に堕落するのはその未熟さによるのかもしれない 近代的思考方法の前提がまちが て っ ． いたとす れ ば， 完成態 と して個 人の 自 己決定能力 を考 え た点 にあろう． しか し， 全く “な い” とも いえ ない．. 人間はそれを少なくとも， 種子のように可能態として持っているのである． それ故に， 暴力的に抑圧される 時には激しい反発感や嫌悪感を覚えるのであろう． 「個人の自立的な自己決定能力はない」 「個人の自立的な自己決定能力はある」 「完成態としてはないが， 成長態としてはある」. ２１.
(7) . 西岡 孝治. “弁証法” （ｄ ） と は元 来， 二者 の “対話” （ｄ ） に由来する． 両 者の 対立 が単 純 で形式 的 な矛 ｉ須ｅｃ ｉ ｉ ｌ ｔ ｃ ａ ｏｇｕｅ. 関係にあるならどうしようもない． 又， すぐにどちらかに軍配が挙がるような対立では， 高次の総合を特 までもなく解消される． 従って， 複雑で並々ならぬ対立がある場合にこそ， 弁証法はその真骨頂を発揮し ” “ “ ” “ る の である． “人 間の行 動 を 支配 して いる の は理性 か感情 か” ， 遺 伝 か 環境 か ， 精神 か肉 体 か ， 教育. おいて自由か規律か” などはその例であろうが， 未だ十分な総合的結論には達していないであろう． ． 形式論理学 （演経） ） 命題 論理 （ｐｒｏｐｏｓ ｌｌ ｉ ） ｉｈｏｎａ ｏｇ ｃ ０ ｝ 命題 （ ｉ ｉ ｔ ｏｎ） と は， 真 ・ 偽 を 論 じう る 文章 である．１ ｐｒｏｐｏｓ ） １ う．１. 一般に主語と述語とからなる． （ Ｓｉｓ ｐ）. 判 断 を言語 によ っ て言 い 表わ した も のと も. 命題論理ではこれらの命題を， 各々一文字で表わすこ. に して， そ れを命 題記号 又 は命題変項 と いう． （ ｐ ，ｑ ，ｒ ， …）. 命題論理は， これらの単純命題を構成要素とする複合命題の真偽を体系的に論じよう とする． ー又は複数 る記号を次の五つとする， ー ： （Ｐ；Ｐで な い） ｃｆ ． ｑ ，ｒ ，ｓ ， …. １． 否 定 （ｎｅｇａｈｏｎ）. ） ２． 連 言 （ ｉ ｔ ｊｕｎｃ ｏｎ） ： ＆（ ｃｏｎ ｐ＆ｑ；ｐかつｑ ）ｃ ｆ ｉ ｉ ３． 選言 （ｄ ｔ ｊｕｎｃ ｏｎ） ：Ｖ（ ｓ ｐｖｑ；ｐま た はｑ ． ｐ》ｑ ） ４． 条件 （ ｉ ｈｏｎ司） ：→（ ｃｏｎｄ ｐ→ｑ；ｐな ら ばｑ ｉ ）： …（ ｌ ５． 同値 （ｅｑｕ ｖａ ｅｎｃｅ ｐ…ｑ；ｐとｑは同値） ｌ こ れ らの 記号 の意 味内容 は， 次のよう に真 理値 表 によ っ て 定義する． （Ｔｒｕｅ＝１， Ｆａ ｓｅ＝ ０とする） Ｐ. Ｐ. Ｐ. ｑ. ｐ＆ｑ. ｐ〉 ｑ. Ｐ→ｑ. Ｐ＝ｑ. ｐ》 ｑ. ｐ〉 ｐ. ｐ ＆ｐ. Ｉ. ０. Ｉ. Ｉ. Ｉ. Ｉ. Ｉ. Ｉ. Ｉ. ０. Ｉ. ０. ０. Ｉ. ０. ０. ０. Ｉ. Ｉ. ０. Ｐ. Ｉ. ０. ０. Ｉ. ０. Ｉ. ０. Ｉ. Ｉ. ０. Ｉ. ０. ０. ０. ０. Ｉ. Ｉ. ０. ）＝（ｉｖｑ ） と定義する． 特 に， “条件” は， （ ｐ→ｑ. のようにすべて偽となるものを “恒 ） のようにすべて真となるものを “恒真命題” また， （ ｐ＆ ｐＶＦ ，（ 命題” （あるいは， “矛盾的” 命題） という． 更に， ｐとｉのように表においてすべて真偽が一致する場合を 値という．ｐ…戸を， 二重否定律というが， 他に次のような基本的同値があることが表によって確認できる． １． （ ｐ＆ｑ…ｑ＆ｐ）. ）三（ｑｖｐ） （ ｐｖｑ. （交換 律）. ２． （ ） ）＆ｒ…ｐ＆（ｑ＆ｒ ｐ＆ｑ. ｝ …ｉ ｉ （ｐｖｑ ）Ｖｒ ） ） ｝ ｐｖ（ ｑｖｒ. （結合律）. ）＆（ ） （分配律） ） … ｉｐｖ（ ） ト三（ ３． ｐ＆（ｑ〉ｒ ）三｛ （ ）〉（ ｐｖｑ ｐ〉ｒ ｑ＆ｒ ｐ＆ｑ ｐ＆ｒ ４． ｐ＆ｐ…ｐ. （ｐｖｐ）…ｐ. （中 等 律）. ） ｝…ｐ ５． ｉｐｖ（ ｐ＆ｑ. ｐ＆（ｐｖｑ）…ｐ. （吸 収 律）. ６． 謎編…（ 戸〉電 ）. ） ａ＆ｄ おく肩 ｑ…（. （Ｄｅ ＭｏｒｇｍｓＬａｗ）. こ れ らを用 いて， 更 にいく つ かを確 認 してお こう. ）…（ （ ）＝（ 戸〉ｑ Ｐ＆；） Ｐ→ｑ. （Ｄｅ ＭｏｒｇａｄｓＬａｗより）. （ ）…（；→ ｐ→ｑ. （対偶 律）.
(8) . 「論理学ノート」 （その３） － 基礎篇 －. ） ｝→ｑ ｛ｐ＆（ｐ→ｑ. （前 件 肯 定式）. ） ｛；＆（ ｝→罫 ｐ→ｑ. （後件否定式）. １ ） １→（ ） （ ）＆（ｑ→ｒ ｐ→ｑ ｐ→ｒ. （移行 律）. 恒真命題は真理値表ですべて１となる特殊な複合命題であり， 従ってすべて同値である． その代表をヱと する． 恒偽 命題も 同 様にす べ て０ となる の で， そ の代 表を○とする． こ の 時， 次 の関係 が成 り立つ．. （ ｐ＆戸）三０ ＰＶ習）…ヱ （ （ ＰＶＯ）…ｐ ｐ＆ ヱ）…ｐ （ （ ｐ＆０）…０ （ ＰＶ Ｚ）三 ヱ . . さ て， 推 論Ｐ Ｑにお いて， Ｐ ， Ｑはそ れ ぞ れいくつ かの 命題 か ら成 っ てお り， 従 っ て （Ｐ）Ｑ） を一つ の 複 合 命題 と みなす こと が できる． こ の 時， こ の推 論が妥 当である こと は， （Ｐ Ｑ）－が恒真 である こと に等 しい． 例 え ば， １ ｑ （前件肯定式） について， ｛ ） ｐ→ｑ ｐ＆（ ＜｛ｐ＆（ ） ｝→ｑ〉…ｉｐ＆（ ）〉ｑ１ ｉｖｑ ｐ→ｑ. ）〉ｑｌ 三 炉〉（ ｉ〉ｑ …｛ （ ）〉（ ｉｖｑ ｉｖｑ“…１. ） 〉…｛；＆（ ）〉司 同様に， ｏｄ＆（ ｝→ｉ ｉｖｑ ｐ→ｑ …圭ｑ〉（ ）〉ａｒ Ｂ〉ｑ. （後件否定式）. …｛ ） ｝…工， （ 戸〉ｑ ）〉（ 戸〉ｑ （ ）＆（ｑ→ｒ ）→（ ）…｛ （ｉ〉ｑ ）＆（ｉ〉ｒ ）〉（ｉ〉ｒ ） ｝ ｐ→ｑ ｐ→ｒ. …｛ （ ）〉（ｑ＆〒 ）〉（ ） ｝ 戸〉ｒ Ｐ＆電 …＜炉〉（ ） ｝〉｛ｒ〉（ ） ｝〉 ｐ＆； ｑ＆？ …〈｛ （戸ＶＰ ）＆（ ） ｝〉１ （ ）＆（ ） ｝〉 戸〉電 ｒ〉ｑ ｒ〉子 …＜” ＆（ （ ）＆ “〉 戸〉⑦｝〉｛ ｒ〉ｑ …｛ （ ）Ｖ（ ） ｝ 戸〉； ｒＶｑ. ‐ （ ′｛×＆ 刀 …×）. …｛ （ ） ｝ ｉ〉ｒ ）〉（ｉ〉ｑ. …｛ （ ）〉 “ 登Ｖｒ . ｉｉ＆（ ）→司 三｛ｉ＆（ ）〉；｝ ｉｖｑ ｐ→ｑ ． ．吸収律より罫＆（ …（ ） 戸〉；） （ ）…登 戸〉ｑ ‐ …（ｐ〉；）…（ｑ→ｐ）主１. （前 件否 定の虚偽）. 同様に， ｉｑ＆（ ）一ｐ十三 超 ＆（ ａ〉ｑ ）〉ｐ壬 ｐ→ｑ. ２３.
(9) . 西岡 孝治. （後件肯 定の虚 偽）. 三（亘Ｖｐ）三（ｑ→ｐ） ≠ ヱ. ）＆（ （ ）＆（ ）→（ｑ〉 ｒ→ｓ Ｐ→ｑ Ｐ〉ｒ. …（ 理一. ＆（ ）＆（喜一ｒ ）→（喜一ｓ ） ｒ→ｓ. ）＆（ ）＆（ 喜一ｒ ）→（電一ｓ ） …（ 壱一喜 ｒ→ｓ 三（ ）→（亘一ｓ ） 珪→ｓ …. （ば （ Ｐ→ｐ）…“ （両刀 論法）. ヱ. ２） 述 語 論理 （ ） ｉ ｔ ｃａ ｅｌ ｏｇｃ ｐｒｅｄ. 「すべての人間はいつか死ぬ」 「ソク ラテス は人 間である」. Ｐ（＝Ｐ，＆Ｐ２ ）. 「よ っ て， ソクラ テス はいつ か死 ぬ」. Ｑ. このような推論の妥当性を調べようとすると， 命題論理では難しい． そこで， 各々の命題の主語と述語と を分けて表現するのが， 述語論理である． 上の推論は例えば次のように表わされる． 人間である （Ｆ） ， いつ か死 ぬ （Ｇ） ） とする と， ａ ， ソク ラテス （ （ｘ ）（Ｆｘ→Ｇｘ） Ｆａ Ｇａ 主 語 と な る 個 体 変 項 を， ｘ， ｙ， ｚ・ ． ， ×１ ， ×２ ， ×３ ， …. そのう ち 固有名詞 は， ａ ，ｂ ，ｃ ， … 述 語記 号を， Ｆ ，Ｇ ， Ｈ， …. 限量記号として ，ーヨを定 義 高麗濁 さ， Ｖｘ） を （ｘ） と 略記する こと にする のよう に用 いる． Ｖ を 全称 記号， ヨ を存在 記号 と いう． 本稿 では， （ ． 「す べ てのｘはＦである」. （ｘ）Ｆｘ. ョｘ）Ｆｉ ……（ｘ ）Ｆｘ 「ある×が存在 してＦでない」 （ 「どのｘもＦで はない」. ：Ｐ ：Ｐ. 熊 （ｘ）Ｆ. ョｘ）Ｆｘ…（ｘ）Ｆｘ 「ある×が存在 してＦである」 （. （ ｘ）Ｆｘ （ｘ）Ｆｘ. ′ ／）（＼ 、. ョｘ）Ｆｘ （. ）育ｘ三（ｘ）（Ｆｘ＆曹ｘ ） （ｘ）Ｆｘ＆（ｘ. （ョｘ）Ｆｘ. （ｘ）Ｆｘ＝（Ｆ，＆Ｆ２＆Ｆ３＆… ＆Ｆｎ） ョｘ）Ｆｘ；（罫，〉罫２〉Ｆ３Ｖ … 〉Ｆｎ） （ （ｘ ）Ｆｘ＝（官．＆罰 ＆Ｆ３＆… ＆罫ｎ） 弓ｘ）Ｆｘ＝（ＦＩ〉Ｆ２ＶＦ３〉…〉Ｆｎ） （. ２４. …○.
(10) . 「論理学ノート」（その３） － 基礎篇 －. 「す べ てのＦはＧである」 ｐ：（ｘ）（Ｆｘ→Ｇｘ） 「あるＦはＧで はない」. ョｘ）（Ｆｘ＆じｘ）＝（ｘ 丞 （ ）（Ｆｘ→Ｇｘ）. 「どのＦもＧで はない」. （ｘ）（Ｆｘ→じｘ）. 「あるＦはＧである」. ョｘ）（Ｆｘ＆Ｇｘ）＝（ｘ）（Ｆｘ→ごｘ （ ）. …（ｘ）｛Ｆｘ→（Ｇｘ＆ごｘ） …. …（ ）｛官ｘＶ（Ｇｘ＆じｘ ） ｝ ｘ …（ｘ）罫ｘ. さ て， ここ で先 の ソク ラ テス に関する推 論を 検討 してみよう． （ｘ）（Ｆｘ→Ｇｘ） にお い て， ｘは任 意 である か らａの とき， Ｆａ→Ｇａ. これと小 前提 のＦａを合 わせる と，. Ｆａ Ｇａ. こ れ は， ＩＦａ＆（Ｆａ→Ｇａ ）｝→Ｇａキ … ヱ. ・．ｌｐ＆（ （ ）→ｑ ｝… １１ 従 っ て， 妥 当な推 論である． ｐ→ｑ ．. ある い は， 帰 謬法 によ っ ても 証 明 できる． 推 論Ｆ Ｑにおいて モ Ｐ＆姦）→０｝… ヱが導 か れる な ら， ， （ ｛（Ｐ＆豆）〉 ○｝ … ヱ （Ｐ＆姦） Ｌｅ ． （Ｐ→ Ｑ）. …工 ば （ Ｐ→Ｑ）；（Ｐ＆◎ … １．. Ｌｅ ‐ （Ｐつ Ｑ） ：ｖ逝ｄ. こ れを使う と， 結 論Ｇａを否 定 して小 前 提 と 合わせ て Ｆａ＆ごａ こ れか ら Ｆａ＆ごａ→（ ョｘ ）（Ｆｘ＆Ｇｘ） と な ， ， る が， 右 辺 は大前提 （ｘ ョｘ ）（Ｆｘ→Ｇｘ）と否 定関係 にある の で， （ｘ）（Ｆｘ→Ｇｘ）＆（ ）（Ｆｘ＆Ｇｘ ）ミ○となる．. 従っ て， ｛ （Ｐ＆姦）→○｝… ヱが示 さ れたの で， （ Ｐ Ｑ） ｖ血ｄ 次の三段 （四段） 論法も妥当である． （ｘ）（Ｇｘ一日ｘ）. （ｘ）（Ｇｘ一 日ｘ）. ）（Ｆｘ一Ｇｘ） （ｘ. ヨｘ）（Ｆｘ＆Ｇｘ） （. （ｘ）（Ｆｘ一日ｘ ）. ヨｘ （ ）（Ｆｘ＆Ｈｘ）. （ヨｘ） Ｇｘ. （ヨｘ） Ｆｘ. （ｘ ）（Ｇｘ一日ｘ） （ｘ）（Ｇｘ一Ｆｘ ）. （ｘ ）（Ｇｘ一日ｘ） （ｘ）（Ｆｘ＆Ｇｘ）. ヨｘ （ ）（Ｆｘ＆Ｈｘ）. ヨｘ （ ）（Ｆｘ＆Ｈｘ）. ５． 論 証 （ｒｅａｓｏｎｉｎｇ）. “論証” とは ある判断が真であることを理由づけることである 論証しようとする判断を 可証命題 （論 ， ． 題， 主張） ， その理由としてえらばれる判断を論拠という． 論証は論拠を前提， 論題を結論とする推論のか たち を とる が， 結 論がす でに与 え られている 点 でふつう の推 理 とこ と なる １ ２ ｝ ． ２５.
(11) . 西岡 孝治. Ｐ Ｑ. （論拠） （論題）. “ 全 性” を調 べ て みよう 命 題 （ｐ→ｑ） ” “ さ て， 命 題 の ”真 ・ 偽” ． ， 推 論の 妥 当性 に加 え て， 論 証 の 完 ” “ 認 でき る． 従 っ て， ｐ＆ は， ｌｐ（１）→ｑ（１）ｒ ｉ ｅ ． ‐ ｐが真 な ら， ｑは真 と 同値 である こと が， 真理 値 表で確 ） を， 次のよう に書き 直すこ と が できる， ）→ｑ（ （ｐ→ｑ ｖａｕｄ. ｐ（１）→ｑ（１） ｐ（１） ｑ（１） これにならって， 完全な論証の形式を考えると， １… Ｉ ＩＰ（１））Ｑ（１） Ｐ（１）. Ｑ（１） 論証が完全であるための二条件は， １） 推論形式 （Ｐ Ｑ） が妥当であること． ２） 前提 （ Ｐ） が真であること． この二条件が揃えば， 主張 （Ｑ） が論拠 （Ｐ） によっ て真であることが理由づけられたことになる． そこ Ｐ） の真が保障さ で Ｑの真 をＰによ っ て理 由 づ ける 時 に， 推 論 （Ｐ Ｑ） がたとえ妥当であっ ても， 前提 （ ，. Ｐ Ｑ） が妥当でなければ同じく ） がたとえ真であっても， 推論 （ れていないと， 不完全であるし， 前提 （Ｐ 不完全となる． 例えば先の 「すべての政治家は腐敗している」 「スミスは政治家である」 「スミスは腐敗 している」 において， 大前提が実際には偽であると考えられるから， 前提が偽である． 従って， 推論形式は妥当であ る が， 論証 と して は不 完 全 である． 先 の， ソク ラテ ス の例 は， 二 条件 を満 た している か ら， 完 全な 論証 とい える．. ｝ ヨーロッパ の中世末期に流行した魔女裁判 （魔女狩り） は， 犠牲者も多かっ ３ もう一つ例 をあげよう．１ たが， その裁判の判決の下 し方が， いかさま論証であったと思われる． まず， 片端から気に入 らぬ者や仇敵 を理由にもならぬ理由をつけて粒致してくる． 次に， 一人ずつ呼び出して審問するのである． 「お前は魔女 か？」 もし被告が認めれば， 直ちに火刑に処せられる． もし否認すれば， 惨酷な拷問にかけられて， 再び 「お前は魔女であろう？」 と審問する． もし認めれば火刑である． 否認すれば， 更に残酷な拷問が待っ てい る． …このような仕方で， 被告が死ぬ寸前まで繰り返して， 拷問による自白を強要するのであるが， 万一気 丈にも最後の拷問によっても否認する者がいたら…審問官は次のように宣告する， 「これほどの責めに持ち堪えるとは， とても人間わざではありえない． お前はやはり魔女だ」 と．. ２６.
(12) . 「論理学ノート」（その３） － 基礎篇 －. こ れ では， す べ て の 被告 が魔 女 と 断 じられて しまう．. 不当な粒致， 惨酷な責め道具による拷問だけでもいかさまであるが， 極致はやはり強引な最後の宣告であ ろう．. 「すべての超人的な行いをする者は魔女である」 「この被告 （ ） は超人的な行いをした」 ａ 「従って， この被告は魔女である」 この論証において， 推論形式は妥当である． しかしながら， 大前提に難がある． 「すべての魔女は超人的 な行いをする」 が真であって， 大前提は真でないとすべきであろう． 従って， 前提が偽なる故にこの論証は 不完全であるといえよう． ６． 練習問題 １‐ 因数分解せよ （有理数の範囲で） １） ｘ８－１６. ２） ｘ８‐ ７ｘｄ十 １. ３） ｘ６－３５ｘ２十 ６. の解は， （ ）２十（２ａｂ）２＝（ ）２ １ａ＞ｂ ａ２‐ｂ２ ａ２＋ｂ２ ａ ，（ ， ｂ）＝１， いずれかは偶数１ によっ て知られている‐ これにならっ て， 次の 自然数解 を求めよ‐ ｃｆ （ ａ ， ｂ）＝１：ａ ， ｂ互いに素. ２． ｘ２＋ｙ２＝ｚ２ ）＝ ” ， ｛ｘ ，ｙ ， ｚ：自然数， （ｘ ，ｙ ，ｚ. １） ｘ２＋ｙ２＝ ２ｚ２. ２） ｘ２ーｙ２＝ ２ｚ２. ｎ ｎ ３‐ 苧 ≧（ ヂ ） （ ） ａ ，ｂ＞０， ー ， ２３ デー ４‐ ｆ （ｘ）＝ｘ２＋ｘ＋４１ （ｘ＝０， １， ２， ３， …） は， すべて素数となる か？. （Ｌ ） Ｅｍｅ ｒ ．. ｎ‐１ （ｎ＝１， ２， ３， …） を有理数の範囲で因数分解するとき， 各項の×の係数値 （絶対値） は すべて１を越 える ５． ｘ ， ことはないか？ ０ ０ ０＝※※※※… （ ） ６． １） ２１ ０ 仰＝※※※※… （ ） ２） ３１. 最後の桁の数字を求めよ． ″. （ ｝を求めよ． ｎ ７‐ １） ｙ＝ｓ ｉ ｎｘのｎ次導函数ｙ. ）を求めよ‐ ２） ｙ＝ｃｏ ｓｘのｎ次導函数ｙｍ. ２の自然数解 を求めよ ８‐ ｘ（ ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）十１＝１０９ ‐. ９‐ 真理値表又は式の変形によって次の関係を調べよ． １） （ ）＆（ｑ→ｐ）…（ｐ…ｑ ） ｐ→ｑ ２） （ → ）＆（ ）…圭 → 一（ ） 子 ｐ ｑ ｐ ｒ ｐ ｑ＆ｒ ） （ ３ ｑ→ｐ）＆（ （ｑ＆ｒ ）→ｐ｝ ｒ→ｐ）…１. ４） （ ｐ→ｐ） ５） ｐ一（ ） ）一ｐ ｐ〉ｑ ｐ＆ｑ ，（ （ ）＆（ ６） ｛ ）＆（ｉ〉≦ ） １→（ｉｖｉ ） ｒ→ｓ ｐ→ｑ. （ｄａｅｍｍａ ）. ０ １ ． 次の各組の命題の構造を論理的に検討せよ． １） 「や れ ば， できる」 ，. 「でき ないのは， や らないか らだ」. ２）「忠ならんとすれば， 孝ならず」 「孝ならんとすれば， 忠ならず」 ， ３）「知者不言， 言者不知」（ 「老子」５ ） 「善者不弁， 弁者不善」 ６ 「信言不美， 美言不信」（ 「老子」８ ） 「知者不博， 博者不知」 １ ４）「政之所奥， 在順民心」 「政之所廃， 在逆民心」（ 「管子」 牧民） １ １ ‐ 次の言葉の真意を論理的に検討せよ‐ １）「衣食足りて礼節を知る」 ２）「われを値踏みすかの人ら， げに計らる・われならめ， かの太陽に値のあらば」（与謝野晶子）. ２７.
(13) . . 西岡 孝治. ２ １ ‐ 次の論証の完全性を調べよ． ５） 「す べ て珍 しいものは高い」 「安い馬は珍 しい」. １） 「すべて神は不死である」 「天皇は不死ではない」. 「従っ て， 安い馬 は高い」 ６） 「ある茸 は有毒である」. 「従っ て， 天皇は神 ではない」 ２） 「すべて重要なも のは数量化できる」 “愛” は数量化できない」 「. 「天狗茸 は茸 である」. 「従っ て， “愛” は重要なものではない」. 「よっ て， 天狗茸 は有毒である」. ７）「すべての高学歴者は幸福になれる」. ３）「すべての時代予見者は賢人である」 「ある日本人は賢人である」. 「太郎は高学歴者ではない」. 「従っ て， ある 日本人は時代予見 者である」. 「よっ て， 太郎 は幸福 になれない」. ８）「すべての虎は簿猛である」. ４）「すべての高学歴者は幸福になれる」 「太郎 は高学歴者である」. 「ある仔虎 は捧猛ではない」. 「従っ て， 太郎 は幸福 になれる」. 「よ っ て， ある仔虎 は虎ではない」. ９） 古代ギリ シアの弁論術 の先生が弟子の 一人と次のよう な契約を した‐ も しその弟子 が最初の訴訟で勝たなかっ たら，. 授業料を支払う必要がないと‐ 授業はすべて終った‐ 弟子の方はなんの訴訟もおこさなかったが， 先生の方は弟子 に授業料を要求する訴訟をおこした‐ 弟子は次のような論証で自分を弁護した． 私 はこの 訴訟に勝つ か負 ける かの どち らかである． も し私 が勝て ば， 私は先生 に授業料を支払う 必要がないだろう. （先生は訴訟に負けたのだから） ‐ もし私が負ければ， やはり私は先生に支払う必要がないだろう （先生との契約に より） ． 従っ て， いずれにせよ， 私 は授業料を支払う必要がない． しか し先生は次のよう に反論 した， 私はこの訴訟に勝つ か負 ける かの どち らかである‐ も し私 が勝て ば， 私の弟子 は私に授業料を支払わね ばな らない．. （私は訴訟に勝ったのだから） ． もし私が負けても， 弟子は私に支払わねばならない （彼は最初の訴訟で勝ったのだ Ｍ ） から） ， と‐ ） 「されば， 人死をにくま ば， 生を愛す べ し‐ 存命の喜， 日々 に楽ま ざらむや． おろ かなる 人， この楽を忘れて， い １０ たづがは しく 外の楽 しびを求め， この財を忘 れて， あやふく， 他の財を貧る には， 志満つ ことな し． 生ける 間生を. 楽まずして， 死に臨みて死を恐れば， この理あるべからず‐ 人皆生を楽まざるは， 死を恐れざる故なり‐ 死を恐れ （ 「徒然草」 第９３段）. ざるにはあ らず， 死の近きこ とを忘るる なり．」. １ ５ ） ） Ｊ ） 「人生にはひと がそこへいれる ことができる のと同 じだけの意 味がありうる」 （Ａ． １１ ．Ａｙｅｒ １ ６ ） ） ｔｈｅ 「何も生み出すこ と ができない人にとっ てのみ， 何も存在 しない」 （Ｇｏｅ. 〈解答例〉 ） ＝１である ため には× ２‐ １） 本間に関して （ｘ ， ｚす べ て奇数でな けれ ばならない‐ さて， 両辺に２ｘｙを加 えて， ，ｙ ，ｙ ，ｚ （ｘ＋ｙ）２＝２（ ） ここで， ｘ＋ｙ＝２ｋとおく と， ２ｋｚ＝ｚ２十× （２ｋ－×） ｚ２十ｘｙ ‐ｋ２十（ｘ－ｋ） ２ ＝ｚ２ こ こ で， ｘｚ十ｙ２＝ｚ２の 解 よ り， ｚ＝ａ２＋ｂ２. ｋ＝ ２ａｂ. ｏｒ. ｋ＝ａ２‐ｂ２. １ｘ－ｋｌ ＝ ２ａｂ １ｘ‐ｋｌ＝ａ２－ｂ２ ただし， ａ＞ｂ ）＝１， いず れかは偶 数とする‐ ａ ，（ ，ｂ だす）ｂ ）２ （ ａ２＋ｂ２ ａ２－ｂ２－２ａｂ） ＝（ ａ２－ｂ２＋２ａｂ）２十（ ， ａ＞（１十・ す）ｂ １＋濁 ＜ ＜（ ）２ ｂ ）２＝（ （ ａ ａ２十ｂ２ ａ２－ｂ２十２ａｂ）２十（２ａｂ十ｂ２－ａ２ ， ａ＋ｂ. ａ. ｂ Ｉ. ７ ”１▲ クレ１ ー ＱＵ ＾. ２. ｈ ｖ ＱＵＡＩ ４７ にＵハ. ｒ へ りにＵ ７十 ７十７ｆ. ３. ２） （ｘ＋ｙ）（ ｘ－ｙ）；２ｚ２ （ｘ ，ｙ）＝１， ｘ十ｙ＝ ４ａ２ ｘ‐ｙ＝ ２ｂ２. ２＋ｂ２ ｘ＝ ２ａ ｙ＝ ２ａ２‐ｂ２ ０ｒ ×＋ｙ＝ ２ｂ２ ｘ－ｙ＝ ４ａ２. ２８. ２ａｂ. メーザ ３. ７. ｙ Ｉ. Ｚ. ４ １２ ８. ５ １５. １７ ２３. ７ ７. １３ １７. ２４. ７. ３１. １７. ２５. ２０. ２１. ４１. Ｉ. ２９. １２. ３５. ４７. ２３. ３７. ｘ ， ｙ：ｏｄｄ. ４ａ２ｂ２＝ｚ２ ． ．．ｚ＝ ２ａｂ. （ ａ ，ｂ）＝ ｌ ｂ：ｏｄｄ， ａ；ｅｖｅｎ ２ａ２＞ｂ２ ｚ＝ ２ａｂ. ｘ. Ｚ‐ｅｖｅｎ. ５. （以下省略）.
(14) . 「論理学ノート」（その３） － 基礎筋 － ｘ＝ ２ａ２＋ｂ２. ２ ｙ；ｂ２－ ２ａ. （ａ ，ｂ）＝ １， ｂ；ｏｄｄ ， ａ；ｅｖｅｎ. （ｂ２〉２ａ２ ）. っ て 一般解は， （２ａ２＋ｂ２ ）２－（１２ａ２ーｂ２ Ｄ ２』 ２（ ２ａｂ）２. －－ ー 計 量 書. （以下省略）. ）＝４７ ）＝４１ ）＝４３ ３９）＝１６０１ ２ ｆ（ ０ １ ， …， ｆ（ ， ｆ（ ， ｆ（ ２＝４１．４３ ｆ（ ところ が， ｆ（ ）＝４１２ ｆ （ ） ）＝４３．４７ ４０ ４ １ ， ４４ ， ）＝４７・５ ｆ（ ４９ ３ ， … ） は合成 数となる‐ ４０ ｘ＝ １， ２ …， ３ ９まではｆ（ ｘ） は素 数となるが， ｆ（ 恐 らく， ｘ＝ｎ２十４０ （ｎ＝０， １， ２， ３， …） に対 してｆ（ｘ） は合成 数になると予想さ れる‐ 試みると， ｆ（ ）＝（ｎ２十４０ ）２十（ ）十４１ ｎ２十４０ ｎ２十４０ ＝（ｎｄ十８１ｎ２十４１２ ） １ ２ ２ 十４ ＝（亘 ＋８２ｎ １）－ｎ２ ２ ２ ＝（ｎ 十４１ ） ‐ｎ２ ＝（ｎ２＋ｎ十４１ ）（ｎ２－ｎ十４１ ） ， （合成数） 更に興味ある 同様の例 である． １９４１年 にソ連の ヴェ ・イ ワノ フ が解 決 したといわれている． ｎ＝１０４ま では， 係 数値 は１を 越えないが， ｎ＝１０５の とき， １－ｘ○－ｘ３ ２－ ２ｘ４ ３－ｘ４ ６‐ｘ４ ７＋ｘ４ ８十ｘイ ９十ｘ３ Ｇ十ｘ３ ５十ｘ３ ４十ｘ３ ３十ｘ３ ２十ｘ３ １‐ｘ２ ８－ｘ２ ６－ｘ圭一ｘ２ ２－ｘ２ ０十ｘ１ ７十ｘ１ ６十ｘ１ ５十ｘ１ （ｘ４ ２－ｘ９‐ｘ８－ ２ｘ７‐ｘ６‐ｘ５＋ｘ２＋ｘ＋ １） ３十ｘ１ ４十ｘ１. と いう 一項が登場 してくるという． 筆者はかつ て， 数学教室の池田正氏 にコ ンピュ ータ計算 してもらっ たこと がある‐ ２０＝ １， ２１＝ ２， ２２＝ ４， ２３＝ ８， ２４＝１６；. ６ ７ ８ ２５＝３２ ． ・ ， ２ ＝６４ ， ２ ＝１２８ ， ２ ＝２５６；－. ２０＝１を別にする と， 以下一位の数字は， ２， ４， ８， ６の４周期と予想さ れる‐ ２Ｄ （ ｎ＝１， ２， ３， …） のｎにつ いて， （ｍ＝０， １， ２， ３， …） とすると， 叶ー＝ （ ）ｍ， ＝（ ）ｍ， ＝（※※…６）２ー＝（※※…２） １６ ｎニ ４ ｍ 十 １ ： ２＝（ ４ ｍ 十 ２ ： ２４耐２＝ （ ）ｍ，２ ）ｍ，２２；（※※…６） ＝（※※…４） １６ ４叶３＝ （ ）ｍ，２３＝（ ４ ｍ 十 ３：２ ）ｍ，２３＝（※※…６）２３＝（※※…８） １６ ４ｍ十 ４ ：. 叶４＝ （ ）耐ー＝（ ）叶ー＝（※※…６） １６. ０ ０ ０＝（２４）２ ５ ０＝（※※…６） さて， １０００＝４・２５０より， ２１ ここでは， ＝（※※…６） を用 いている‐ １） ｙ＝ｓｍ ｘ ｌ ｎｘ ， ｙ ＝ｃｏｓ× ， ｙ ＝ －ｓ ， ｙ ＝ －ＣＯＳＸ ｛ ４ ｝ ｛ ５ ） ６ ）＝ －ｓ ｛ ７ ｝ ｉ ｉｎｘ ｎｘ， ｙ ＝ｃｏｓｘ， ｙ（ ｙ ＝ｓ ， ｙ ＝ －ｃｏｓ. …. 以上から， ４周期 と予想さ れる． そこで，. ｛ ）－ｓｍ（ ｎ ｘ十号ｎ ） とすると ｙ. 冗）. ４. 上の特殊例に合う‐ 念のため， （ ｋ ）＝ｓｍ（ ｘ ずｋ ） とすると， ｙ. ？. 吾. （ Ｍ） －…（ ｍ（ ‐焔骨 細（ ‐ｓ‘ ｘ十背 中ｓ ） ｘ十号ｋ ｘ十号ｋ ） ｙ ｒ －Ｓｍ ｘ 一 （ｋ十１）. ２９.
(15) . 西岡 孝治. ２） 同 じよぅむ こして， ｙ 叱. ） ｘ十号ｎ. ） １１ ｐ→ｑ ‐ １） 「日常生活に必要な衣食が十分に足りてくると， 人はは じめて礼節を知る ことができる」 ： （ ） （Ｗｅｎｆ ｎｂ ｄ ｅｄ ｗ ｒ ｅ ｅ ． ， との順解釈もある が， 物の豊かさは必ず しも心 の豊かさ と一致 しないことを考 えると，. ） 登→； 「日常生活に必要な衣食に事欠くようでは， 人は礼節などを知る余裕がない」 ： （ ） （Ａ ｓｈａｑコｓｔｏｍａｃｈ ｍａｋｅｓｓｈｏｒｔｄｅｖｏｈｏｎ ． ） ｌ ｉｇｈｔ （ ｔ ｔｉｓｈａｒｄｆｏｒａｎｅｍｐｔｙｓａｃｋｔｏｓｔａｎｄｓ ｒ ａ との解釈も十分可能である． “生活が豊かになれ ば， 心も豊かになる” はいささか楽 観的に過 ぎる かも しれない． ニ ュ アンス の差 である が， 一般 的には， “生活 に事 欠くよう では， 心 は豊かになれない” の方が， 厳 しいが， 実情に合 っ ている かも しれない‐ 古代のギリ シア 人は， 「貧乏に耐える の は， 万 人ではなく 賢者に してな しうること」 と言っ ている． この場合， もとの諺 は， 論理的には不適切 な表現となろう‐. ２）“太陽に値が付けられるなら， 彼等は私を評価することもできよう”. 勿論 “太陽に値は付 けられない” の だから “私を評価 できる筈 がないのだ” という のが真意か？ （ ｐ→ｑ） といっ ） と いう の は， 論理的には不 適切 である‐ ある いは， “比 職” と “反語” を組 ておいて， こ れを前提 と して （戸→ｄ み合わせた文学的 レトリ ック なのか‐ “私は太陽のよう なものである‐” “も し太陽に値を付 けられる なら， 私にも値 を付けられよう” “まさか， 太陽に値を付 けられると はいえまい‐ では， 私にも値を付 けられない筈“. 「太陽は値が付けられるか否か， どちらかである」 「付けられるなら， 私にも付けられるだろう」 「付けられないなら， 私にも付けられない」 「さて， 太陽に値を付けられるわけがない」 「従って， 私にも値を付けられるものか」 ＞； て雨巨ｄ ） （ ）＆（ ）＆（ 戸→ｑＦ襲爵： ｐ一ｑ ｐ〉登 １２ ‐ １）. （ ） ｘ）（Ｆｘ→Ｇｘ Ｇａ. （ ａ：天皇）. Ｆａ. ） （ｘ）（Ｆｘ→Ｇｘ）…（ ｘ）（ごｘ→Ｆｘ）；ｘ＝ａのとき （じａーＦａ 従 っ て， ごａ＆（ごａ→罫ａ ）→Ｆａ ）…Ｆａ あるいは， 帰 謬法 によれ ば， （Ｆａ ， これとごａで ョｘ ）（Ｆｘ＆ごｘ） Ｆａ＆ごａ－（ ， こ れと大前提 は矛盾する‐ いず れにせよ， この推論形式 は妥当である‐. 従って， もし大前提を真とするなら， 小前提は真であるから， 結論の命題は真となる‐ ２）（ ａ：愛） とすれば， 推論形式は１） と同じである． 小前提は真であっても， 大前提の真は疑わしい． 従って， 結論 の命題の真は疑わ しい． ３） （ ｘ） （Ｇｘ一日ｘ） ヨｘ）（Ｆｘ＆Ｈｘ） （ ヨｘ）（Ｆｘ＆Ｇｘ） （. ば （ｘ ） （Ｈｘ一Ｇｘ） ヨｘ）（Ｆｘ＆Ｈｘ） （ ヨｘ）（Ｆｘ＆Ｇｘ （ ）. ） 小前提の “あるズ を非特 定な が ら仮 にｉとする と， （Ｆｉ＆Ｈｉ ） ＆ （Ｇ ）→Ｇｉ は， ｉ→Ｈｉ （Ｆ ｉ＆Ｈｉ ｒ ＩＦｉ＆Ｈｉ＆（Ｈｉ〉ごｉ ）ＶＧ ｉ …ｉＦ ｒ ｉ＆Ｈｉ〉Ｇ ｉ …（Ｆｉ〉胃ｉ〉Ｇ ） ｉ . 従っ て， 妥当でない． 不完全な論証である． ４） （ｘ）（Ｆｘ→Ｇｘ） Ｆａ （ ａ：太郎） Ｇａ ） 大前提 においてｘ＝ａとすると， （Ｆａ→Ｇａ これと小前提との速言か ら， Ｇａが導 出される， Ｆａ＆ （Ｆａ→Ｇａ ） →Ｇａ よ っ て， 妥当である．. ３０. ） 次 に大前提 の×をｉとおく と， （Ｇｉ→Ｈｉ. こ の時，.
(16) . 「論理学ノート」 （その３） － 基礎筋 －. この場合， 小前提が真であっても， 大前提が疑わしいとすると， 結論は真である保証がない． ５） 小前提を， “ある安い馬は珍しい” と解釈して， ｆ ｃ ．（ｘ） （Ｇｘ→Ｈｘ） ヨｘ）（Ｆｘ＆Ｇｘ （ ） ョｘ）（Ｆｘ＆Ｈｘ） （. （ｘ） （Ｈｘ→ｌｘ） ヨｘ）（Ｆｘ＆Ｇｘ＆Ｈｘ） （ ヨｘ ）（Ｆｘ＆Ｇｘ＆ｌｘ） （. Ｆｘ＆Ｇｘを （Ｆｘ＆Ｇｘ） とまとめて考えると， 妥当 な推論形式である ことがわかる‐ 問題 は， 結論の中の “安い（Ｇ）” ）” という点 にある． も し， Ｇ＆１…０なら， そもそも既 に前提 の 中にこの矛盾が含ま れていたこと にな 馬が “高い（ １ ” “ ” “ る． 今 “安い” を “物 の割 には安い” （お買 い得） ， 高い を 高い価値がある と解 釈する と， 大前提も小前提も 真でありうる し， 結論も矛盾 しない‐ あるい は， “安い” を “安物 の” と， “高い” を “高くつく” と解 釈する と， 前提 はいず れも真 で， 結 論 “安物の馬 は高くつく” となる． （Ｇ＆１羊 ０） ” “ ” “ “ ” また， “安い” ， 高 い を各々， 安物 の と 高 い価 値 がある と解 する と， Ｇ＆１…０で， 大前提 と小前提とが 矛盾 していて， いずれか が偽となる． 偽 なる前提か らは， 真なる結論を保証できない‐ “安物 の馬 は高い価値がある” は偽であろう． “ ” ” 推論形式は妥当である から， おか しな結論となるか否かは， “安い” ， 高い という 言葉の意味の多 義 性あるいは. 暖昧さに起因する‐ ョｘ）（Ｆｘ＆Ｇｘ ）＆Ｆａ ト Ｇａ （ ６） １ （ ａ：天狗茸） ョｘ）（Ｆｘ＆ごｘ） は 必ず し ョｘ）（Ｆｘ＆Ｇｘ）＆（ ョｘ）（Ｆｘ＆ごｘ） これと大前提 との運言， （ 帰謬法でごａとする‐ Ｆａ＆ごａ→（ ， も恒偽ではない． 従っ て妥当ではないか ら， 論証は完全ではない． ７） １） と同 じよう 妥当である‐ 仮に， 小前提 が真であっ ても大前提 が偽なら， 結論の真に保証はない‐ ８）. （ｘ ） （Ｇｘ→Ｈｘ） ヨｘ）（Ｆｘ＆豆＊ （ ） ョ （ｘ）（Ｆｘ＆ごｘ） ョｘ）（Ｆｘ＆ごｘ）…（ ）…（ 帰謬法で， （ ｘ）（Ｆｘ〉Ｇｘ ｘ）（Ｆｘ→Ｇｘ） ）（Ｆｘ→Ｇｘ ）＆（ｘ）（Ｇｘ→Ｈｘ） これと大前提との連言， （ｘ ）（Ｆｘ→Ｈｘ） →（ｘ これと小前提 とは否定関係にあり， 蓮言は恒偽となる‐ 従っ て， 推論形式は妥当である． 小前提を真と して， 結 論がも しあや しいとすれ ば， 大前提 の “すべ ての虎” があや しい‐ も し “す べ ての成虎” の 意味なら， 大前提も真 で， 結論も “ある仔虎は成虎ではない” となっ て落ち着く‐ も し， “すべての虎” に， 仔虎も 含めている なら， 小前提 は偽となり， 結論の真 は保 証さ れない‐. ９） （ ｐ〉戸） （ｐ→〒） （喜一〒）. （ ｐ〉司 （ ） ｐ→ｒ （ 戸一 ） →ｒ ｉ. （弟子） ，. 〒 （先生）. （ ）一計 ）＆（ ）＆（ 戸→テ ｐ〉罫 ｐ→テ …｛ ｝ ）〉〒 （ ）＆（ ）＆（ 声〉〒 ｐ〉喜 Ｐ〉Ｆ. ｉ〉（ …＜ （ ）＆ｌ ） …〉 戸＆ｐ ｐ〉罫 … ” ＆（デ〉Ｏ ）〉〒…. （分配律の逆） （工＆×…× ， （ｘ〉Ｏ）…×）. …（ ） ｒ〉？ 三ヱ （ ｖ逝ｄ） あるいは， （ ｒ→ｐ）＆（ ｒ→〒）＝（デ〉；）三ｒ ｐ→ｐ）＆（ ｐ→Ｆ）→（ これを紹 介 している 論理学の書 は， 「この訴訟が どう 決着 したかは知 られていない． しか しこの二つ の ジレンマは 最初の契約が自己矛盾を はらんでいたことを示すものである」 と結ん でいる‐ 一見すると， 確か に弟 子も 先生も見事 な ジレ ンマ の論証を展 開 していて， 両 者の推 論形式も全く 同 じである‐ い わば， 双対の ジレンマ である‐ ただ し， 仔細 に検討 してみると先生の方がいささか歩 が悪いと思われる‐ 「弟子が最. 初の訴訟で勝たなかったら， 彼は授業料を支払う必要がない （ ）」 と契約を結んだという‐ しかし， これから， 戸→珪 「弟子 が最初 の訴訟で勝 っ た ら， 彼 は授業料を 支払う 必要 がある （ ）」 こと にはな らない． 先生の論証の一角 が ｐ→ｑ 崩 れることになろう．. ）「人死をにくまば， 生を愛すべし （ ） 」 ０ １ ｐ→ｑ 「人皆生を楽まざるは， 死を恐れざる故なり‐ 死を恐れざるにはあらず， 死の近きことを恐るるなり」 Ｐ→ｑ ｑ Ｐ. ここで罫は， “死を憎 まない （憎ん だり恐れたり しない， 憎 ん だり恐 れたりする ことも 忘れる）” と しよう． 「人間に. ３１.
(17) . 西岡 孝治 と っ ての最高の宝 は財産でも名 声 でも地位でも なく， 死 の免れがたいことを日々 自覚 して， 生き て今ある ことを楽 ） ７ しむことだけだ」 と， 兼好 は一貫 して説いているという‐１ ： ） Ｆｘ ×が感 じる 人生の意 味 １１ Ｇｘ：×が生み出す意味や価値といっ た成果， Ｈｘ：×は人間である， とすると， およそこれら二つ の命題は， 次のよう に表わすことができよう．. 「すべての人間にとって， 各人の生の意味は各人がそれを生み出す能力や成果に比例する」 （ ） １， （ｋ＞０） ｘ）｛Ｈｘ＆（Ｆｘ＝ｋ．Ｇｘ 例えば， “太郎（ ａｒ という 一人の人間にと っ て， も し， 生の意 味が全く 感 じられないとする なら ば， （ ） …， （ｋ＞０） ｘ）｛飽；＆（Ｆｘ＝ｋ．Ｇｘ Ｈａ＆（Ｆａ＝０） Ｇａ＝ Ｏ Ｇａ＝ Ｏ Ｌｅ ．. ”太郎が生み出す人生の意味や価値が全くない” ということになろう ‐. “ ” ある いは， 哲学者ニーチ ェ （ｂ） について， その大いなるＧｂ ， 従っ てＦｂを考えると， 彼 は決 して ニヒリス ト では なく “ニヒリ ズム につ いて大いに思索 した人” という べき であろう‐. 注 １） Ｗａ ｉ ２直 ｎ ｉ ｒ ｕ ｌ ｉ ｌ ｔｗｅ ｔｓ ｓｂｅｗｅ ｓｂａｒｉ ｓ ｏｕｉ ｎｄｅ ｒ Ｗｉ ｓ ｓ ｅｎｓ ｃｈ ｃｂｔｏ ｅＢｅｗｅ ｓｇｅｇ ａｕｂ ｒｄｅ乱 ２） ピアス 「悪魔の辞典」 の く論理学〉 では論理学は， 人間の誤性の限界と無能力とに完全に従っ ている思考と推理の技術， と解説され， ”ある一つの 仕事を一人でやるよりも６ ０倍も早くできる”“一人では柱を立てる穴を掘るのに６ ０秒かかる”“ゆえに， ６０人でならこの同じ作業を ０人でやれば， ６ ” という三段論法を紹介している １秒間でできる ‐ ３） ＴｈｅＣａｍｂ ｉ ｆＰ皿ｏ ３ ｄｇｅＤｉ ６ ８ ｏｐｈｙｐ ｒ ｃｄｏｎａ口ゾｏ ｓ ． ４） Ｗ． Ｃ ９ １０ ． ．サモン 「論理学」 （培風館 Ｓ４２） ｐ. ５） 速水泥「論理学」（岩波 Ｔ５）ｐ２３ ３－２ ４ ０ ２４ １‐２４６ ６） 前掲書 ｐ ． ７） Ｗ． Ｃ １０ ０ ０３ ．サモン ｐ ． ，ｉ. ８） 速水混 ｐ ４ ５‐郷 “ “ ９） 「朝日」１ ９９ ５ ．４ ‐５ 近代的思考方法への疑念 ）ｐ ３ １ ） 坂本・坂井 「新版現代論理学」（東海大 Ｓ４６ １ ０ ． ） ） 速水混 ｐ ７ ３ 石谷茂 「記号論理学」（明治図書 Ｓ４０ １ １ ． ）「哲学事典」（平凡社 Ｓ ） ６ １ ２ ４ ） 野崎昭弘 「誼弁論理学」（中公新書） ３ １ ） Ｗ． Ｃ １ ４ ４ ７ ．サモン ｐ ． ）Ａ ）ｐ １ ３７ １ １ ５ Ｊ ． ．エイヤー 「哲学の中心問題」 （法政大 Ｓ５ ． ） Ｎ世ｓ ｌ ｉ ｉ ｈ ｈ ｂ ｒ ｍ ｉ １６ ｄ ｔ ｔｍｃｈｓｄａ ｖ ｏ ｃｈｅｎ Ｍｅｎｓ ｅｎ ｃ ｓ ｅ ｒ ｏ ｒ ｚ ｕ ｅ ｎｗ ｓ ｓｅ乱ｄｅｎｅｎｉ ｓ ｃｈｅｎ ｇ ． ） ｉｍｅｎ姫１ ｄＲｅ 仏ｅｘ ｉ ５ （Ｍａｘ ｏｎｅｎ８６ １２６‐１２７ ） 中野孝次 「清貧の思想」（文芸春秋 Ｈ８） ｐ １ ７ ‐. ３２.
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