相関係数について

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(1)Title. 相関係数について. Author(s). 藤戸, 伊佐美. Citation. 北海道教育大学紀要. 第二部. A, 数学・物理学・化学・工学編, 31(1) : 5-8. Issue Date. 1980-09. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/6059. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . 北海道教育大学紀要（第２部Ａ）第３１巻第１号ｉｉｆＥｄｕｃａｌｏｆＨｏｋｋａｉｄｏＵｎｉＳｅｉｔｌｔｔＪＩＡ）Ｖｏｒｓｏｕｒｎａｖｅｏｎ（ｃｏｎｌｙｏ．１．３１，Ｎｏ. 相. 関. 係. 藤. 数. 戸. に. Ｓｅｐｔ９８０ｅｍｂｅｒ，１昭和５５年９月. つ. い. て. 伊佐美. 北海道教育大学函館分校数学教室. ｉｃｉｅｎｔｉｉｌａｔｆｏｎｔｈｅＰｒｏｐｅｒｔｏｎＣｏｅｆｅｓｏｆｔｈｅＣｏｒｒｅｉＦＵＪＩＴＯ工ｓａｌｌ・ｉｌｌｉｆＥｄｕｃａｔｉｄｏＵｎｉｉＮ［ｈｅｍａｔｙｏｔｒｒｙｅｇｅｃｓＬａｂｏａｔｏｅＣｏｖｅｒｓａｔｏｎ，Ｈａｋｏｄａｔ，Ｈｏｋｋａ，Ｈａｋｏｄａｔｅ０４０. Ａｂｓｔｒａｃｔ. ｉａｎｃｅｏｆ尤ごａｎｄｆｏｒブ≠〆（ｉｌＬｅｔ尤ぎ（ば＝１）ｂｅｔｈｅｒａｎｄｏｍｖａｒａｂｅダニ１，び会ｔｈｅｖａｒ，，２，３），２，３，ｌｈｆｉｈｆｉｉｔｈａｔｉｆ扇＝ｌａｎｄｃｅｎｔｏｆ尤ごａｎｄ尤ブ γ（尤も尤ゴ）ｂｅｔｈｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｃｏｅｆ．ｎｔｅ篤ｔＰａｒ，ｗｅｓｏｗｔ２２ｄｈｔｄｉ１ｈ（ｔ）＞０＞１ｈ（）（）十（）ｔ ≠０ｓｅｃｏｎｒａｅｎＷｎｅ γ ｎγ ｐ尤尤１尤１ γ エー γ 尤２，，，２，Ｗｅｅｒｖｅ，工３，ｘ２，尤３，ｅｉｉｌｆｆ尤２ｏｎ尤．ｆｒｏｍａｈｅｂｔｈｅｒｅｇｒｅｓｉｏｎｃｏｅｆｔｅｏｐｅｒａｔｏｒｉｔｓｐａｃｅ，ａｎｄｓｈｏｗｔｈａｔｒｍｉｃｅｎｔｓｏｎａＨｉｅｒ，. ｉｉｉｌ［γ（尤，尤．鍍／び』１ｆｔｈｅｄｏｍａｎｏｆｔｈｅｒｅｇｒｅｓｉｏｎｃｏｅｆｓｂｅｃｏｍｅｓｔｈｅｉｎｔｅｒｖａ／γ（ね尤“ ｃｅｎｔ，］（尤“，〃“）｝ｂｅａｓａｍｐｌｅｓｐａｃｅ，ａｎｄｘｂｅｔｈｅｓｅｔｏｆ尤“．Ｓｕｐｐｏｓｅｔｈａｔｘｌ．び畑／びズー，Ｌｅｔ｛，ｘ２，…，ｘ～ａｒｅａｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆｔｈｅｓｕｂｓｐａｃｅｏｆｘｓｕｃｈｔｈａｔ；１ｏｆｏｒｚ≠ブｘｚ（ｘブ；≠；ヱ＝Ｕヱご，，ｉｉｅｎｔｓれ（尤の１ｉｆｉｄｄｉｔｐａｒｔ，Ｗｈｅｎｔｈｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｃｏｅｆｆ）ｃ（ｘｎｎｔｈｅｌｎａｓｅｎｅａｓ γ 尤 ″ 乙ｄｘ，，，ｉｖｅｌｙＷｅｓｈｏｗａｒｅｒｅｓｐｅｃｔｌａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎ γ ｄ ‘ （尤（尤，，〃｝，のａｎ γ. １序最初の部分で，相関係数の推移性について述べ，次いで，与えられた相関係数に対して，ヒルベルト空間内の連続な一次変換を導入し，それによって定まる回帰係数の値域を考え，最後の部分で与えられた区間に於ける相関係数と，その区間を分割した部分区間に於ける相関係数との関係式を示す。. ２相関係数の推移性３個の母集団からの標本を（乙，協約），Ｚ＝１，２，…，刃とする。尤乙辺乙ｚ乙は実数とする。Ｎ次元ユ（５）.

(3) . 藤. 戸. 伊佐美. 夫一クリッド空間のベクトルのる））とおく。（仏る），に，ｃ）で，々，ｃ），（る，ｃを， α＝（尤乙，ろ＝（肋），ｃ＝（ｚ‘. ＝州で夫々のベクトルの長さを示す。のベクトルの組の内積を示し，膨脹脚，（命題）１１熱１＝１とすると，１）１（α ．⑦ ‘），ｃ）－（のる２言（１－（＠ ‘）／））言）１１Ｄ２）１に＝ ‐ （仏も／１（１－（ｌｌｌ ≦ 脚．１ ‐ α ｃ（証明）２？２－（のる））１にー１１ ‐ １１≦』－（”わ）馴化に岨α １（α－に，のみ，Ｃ））（ＡＣ）（α ．ー，ｃ）－（のる. ２言／＝１１）１－（（”ろ））＝１１ー１ーｄｌ（１ ‐ ． α α. αとｃを入れかえても，左辺が変わらないことにより，. ２す）（ｃの／１＝）（１－（ｌ（ら・・１（α ｃ，ｃ）自国１化＝，ｃ）－（偽る）となり，命題が成立する。. ）／（影ＩＨ－＝／０脚Ｈ１ｌｌ）Ｈ鯵１１）〆＠，ｚ）＝（る）／（１にＩｃ次に，穴ｘＪ）＝（のるｃ，火影ｚ）＝に，ｃ），ｃ）. とおくと，. １１る１キ＝１とすると，上の命題より， γは夫々の変数の相関係数で，. ２２戸・２となる従って穴燭ｚ）＝０とすると）（１－γ＠，ｚ）１≦（１－火尤辺）．γ＠，ｚ）伝，ｚ）－穴形〃），，。. ２２２２（１－【〃）．１バ毛の．γ＠，２“≦（１－【尤Ｊ），ｇ））となり，２≦１２十γ（〃Ｚ） γ（尤，ｇ），. となる。故に，次の命題を得る。（命題）２＞１２十γ（″ ｚ） γ（尤，〃），. １＝１のとき，１＝１又は，１γ＠，ｚ）ならば，火影ｚ）キ０となる。但し，〃の分散は１とする。尚，ー穴尤謬）・γ（ｇ γ（尤，ｚ）＝γ（匁，ｇ），ｚ）となる。. ３回帰係数の値域・Ｐ“＝０有界な実数の可算集合の組（尤，〃）に，確率Ｐが与えられているとする。刃物・Ｐれ＝０，１〃れ. とし，宝霧・戊＝職，Ｚ霧・＝弱とおく。（＆）をヒルベルト空間の可算な正規直交系とする。１１. 刀尤だ薦・ｅ，呂〃“ 簾・ｅは，強収束するので，夫々をん，ｇ。とおく。（′。，ｇ。）で内積を示す。これ２となるは尤と〃の共分散と等しくなる。尤１１１１デ＝（ｇの＆）＝１ｇ一。。。，ｇの分散は，感＝（ｆ，た）＝＝′. （静粛１）となる。１＝尤と〃の相関係数をγとすると， γ＝（ん，ｇ。）／ｇ。 αを実数とし，ヒルベルト空間丑から〃への作用素Ｔ。を，打の任意の元′に対して，Ｔαｆ＝α（ｆ．ｇ。，ｇ。）と定める。鑑はエルミート作用素となり，. ”）＝γとなる。以後（ヂのｇ（彰一１１１鑑メ．（ん，Ｔ。ん）／ｏ）＞０とする。。２となることから＝Ｔ一２２１ー ” １１１ α ・１）とおく一１ｒ“ １ー１１１１／・ｇ。ｇ一， α。＝（ん，ｇ。“（。. ／１サード／ｏｏ），ｇ. Ｔ．ヂ。＝ｇ。こ関する回帰係数を表わす。次に， α．＝１月′。＝るｘとなる。ムは尤も，，＆）とおくと， α ２２２なる２ ≦ ≦ ≦ なるりと α よ α α α １１ ≦祷一１１１ α α ）．，（。＝ムとなるた）／１１，Ｔ１１（ん “ ｇ。。，。。，ん／。。，ｇ. ，. ２を満たし１１け。１＝に対しては，ろ ≦＝Ｔ， “ ，ろ ≧（′。，Ｔ。ヂ／（６）.

(4) . 相関係数について. ２／＝｝＝［（／｛１－ｒ“ １（／１）］ニ［γ．１＝／＝１１＝デ１／γ．＝ｇ１ｇｇ／。。。。。。。旧となる。１，ｇ／，ｇ。／ヂ。１，１／γ．＝ｇ／＝１／となる。碗は〆こ関する回帰係数である。ｒα＞０より，１ｌｒ』＝ジ穿け，ｒα／）”／／））．．（＊，ｒとなる。こ、で，（′ ）（）／はず坊｝ｆｆ ′ に対しての ′ に関する回帰係数となる。それ “ ，。，，，＃は，任意の実数掃こ対して，２－１２湖月１１ｒα／－ぇ／＝ｌｒ“／ｒ“／）／（／１ー／，ｒ“／）川邦）２≧０となり，＝。／－ダ１－，／）．／１ ≧１１ぞ。／－ぱｒ。／）”／）ある．細となるから／で，。２＝＝ず』となる従って（＊）式より，適当な脳の元んがあり，（′ ／１－た１１１鶴／＝＝。 “ ，臨ん），１。１１鑑１１．＝ん１１となり，ん，臨んの相関係数は１となる。こ・で，相関係数の絶対値が１となるときに限り，回帰係数が定まるとすると，以上のことにより，次の命題が得られる。. （命題）相関係数γ＞０が与えられたとき，鰻こ関する回帰係数の値域し．衡／び，１／γ．が定まる。. ／び］. 命題より， γ＞０のとき，幻こ関する回帰係数の値る⑦）は，る（β）＝びｙ／び． γ－？－１≦β≦１. と表わされる。尚，．ｌｏｇγ．（γ２ー１）. Ｃ＝びズ／. とおき，ろ姫）に対する分布函数の（β）で，. ＋デー１≦β≦１が考えられるとなるものとしては，の（β）＝１／ｃ・びズお″ ． γ１。. ４相関係数の区間分解 ×を確率変数とし，． . ヱ＝Ｚｘ乙，Ｚキブのとき，ヱ乙（又ブ；≠ ‘＝ｌ. とする。Ｘ乙をとる確率をの，Ｘの平均を霧（又）ｘ乙の平均を避（ｘで示す明らかに，，。 . . 乙ニー. 乙ニー. 弱（ｘ）＝夏 αご霧（又乙），（呂の＝１）. となる。ｘの分散をｙ（Ｘ））で示すと，次の関係が成立する。，Ｘ乙の分散をｙ（Ｘ‘ （命題）２一弱（ヱ）２ｙ（ｘ）＝１１αだｙ（工乙）＋Ｚαだ（翌（ヱ乙））（証明） × での分布函数をの（尤）とする。. より，. 沢ヱ″；. ２のり／ α吻 ”一凪＆）. だり励伽ゐ－凪ヱ）２. 即ち，. （７）.

(5) . 藤戸. 伊佐美. ２ん尤掌り吻－＆，Ｅ（ル）. ぬ貿ヱ一方，. ２２＝Ｚｄ．霧（Ｘ）））．β（ＸゴＥ（Ｘ）乙十刀αどのＥ（Ｘ乙 . . となるから，これらの関係を代入して，. 因め－２のめ〆尤‐歌ヱ）と学ん灼 α 励一彦の２２一ｚ〆‐ｇ（ズ）２）＝ｘぬ ▽（ｘ乙）＋．α乙β（ヱ乙） ‐β（ヱ“ 乙－ｘの‐の β（ｘ乙 . ．Ｅ（ズ２－Ｚ α乙．αゾ，亙（Ｘ乙）＝刃ぬ．▽（Ｘ乙）十Ｘ１α乙，（１一命），Ｅ（Ｘブ）＝又の ▽（又乙）＋刀 α‘．αブＥ（Ｘゴ）２－渇 α乙．αブ亙（Ｘ乙）．忍（Ｘゴ） . . （丑（Ｘ乙）－亙（ズブ））＝Ｚα ， α乙αゴ．β（Ｘ乙） ‘▽（ズ乙）＋Ｚ２ニヱのｙば乙）十１／ば｛Ｅば“） ‐ ・＠２・為 α ‘の２２ニー＆ ▽（ズ‘）＋．ぬＥ（ヱ乙）－β（ｘ）２－β（ズ）２）；！の．▽（ズ乙）＋１ぬ・（β（ヱ乙）. となりき証明は終る。次に，実数の組の有限集合｛（尤｝に対して，，〃））Ｕ｛尤｝＝又として，ヱ＝Ｘズ乙とし，Ｚキブのとき，又乙（ｘゴ＝≠ とする。Ｅ（又）＝Ｚぬ・β（ヱ乙乙ニー）＝系，Ｅ（ヱ）＝発とおき，藍はヱｚとなるα乙が定まり， α乙≧０で，Ｘ α乙＝１となる。房（ヱ乙. が定. ）Ｘ１ルα－豹）．（〃－肌）＝宜ｘまると定まるもので，丑（れ）＝彰，亙（Ｙ）＝謬とおくと，（γ＝Ｕ｛〃｝，α ）（〃－副十字．１叉‘ ．（〃）＝；・又ルα－汚‘ （彰一習）従って，ー（尤一幻・・－叉）（″ ）－刀ル伝「叉）一発）．（数一万）両辺の平均をとると，．＠－野）（以－罷）＋；ぬく元．Ｅ（盟（尤－弄｝＠－⑦）；；魚．Ｅ（刃＆ α－戚）乙－死）とおき，Ｘ乙とれの相関係数デそして，）（兎－ヌ〒び＃＝刃の（扉－野）をれ，又乙の分散をびん，藍の分散をぴ＆とおく。更に，愛＝呂α ‘ ／びヌぴ〃とおくと，上に得た関係式は，次の命題となる。（扉‐晋）（ヌ「ヌ）．ァ＝Ｚα 乙ｒの分散をとなる。こ・で，Ｘと γの相関係数をγ ，Ｘの分散を塀，. （命題） γびギびｇニー＆．“ヴげびｇ乙十びそぴずデお，ァとすると，上の命題より，るズ職＝刃ぬる”・＝次に，ム＝／ぴズ．γ ，あ乙＝乙おｘ乙．れ，友ぴずヌびん十缶．最こ）で，先に証明した関係式（命題）猿＝刃の・びん十愛を用いると，次の命題を得る。. （命題）るは，重さα ．びん／猿を持つ傷‘と，重さ愛／暖を持つ缶の平均として表わされる。傷＝錠のとき， ‘ る重さも（碍－愛）を持つ傷乙の平均となる。 ”証／ズは，. （８）.

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