正多角形

第５学年 算数科学習指導案 指導者 ○○ ○○ １ 単元名 第５学年単元「正多角形」 ２ 指導観 ○ 子どもは、第２学年において、身の回りのものの形の観察、構成、分解等の活動を通して、直線 と三角形、四角形の定義をとらえている。 第３学年では、図形の構成要素（面、頂点、直角）、図形分析の着眼点（直角、辺の相等）の意 味を理解し、構成要素に着目して、正方形、長方形、直角三角形の定義と性質、作図の仕方をとら えている。 第４学年では、図形の構成要素である角についての意味を理解し、辺や角の相等関係から、二等 辺三角形、正三角形の定義と性質について理解するとともに、作図の仕方をとらえている。また、 円の定義を理解し、円についての中心、直径、半径や、円に関連して球についてとらえている。 そして、第５学年においては、二直線の平行や垂直の関係を理解し、平行四辺形、台形、ひし形 の定義と性質、作図の仕方や対角線の意味をとらえている。また、形も大きさも同じ合同な図形に ついて、対応する辺の長さや角の大きさを調べ、合同な図形を見付けたり作図したりできるように なっている。さらに、三角形の内角の和が180 °であることをもとにして四角形の内角の和をとら えたり、三つ以上の直線で囲まれた図形として多角形の意味をとらえ、多角形の内角の和を求めた りすることができるようになっている。 ○ そこで、本単元では、正多角形について知り、これまでに学習した図形を含めて、その図形がも つ性質を見いだし、それを用いて図形を調べたり構成したりする活動を通して、論理的に考えを進 めたり、根拠を説明したりする力を伸ばすことをねらいとする。 ○ 本単元では、辺の長さと角の大きさがすべて等しい多角形を、正多角形ととらえ、既習の円や図 形の合同と関連した性質、及び作図の仕方を習得することができるようにする。 また、単元の終末に、複数領域の知識・技能を関連付けて日常生活場面の問題に活用する学習を 位置付ける。このことにより、子どもがとらえてきた「C 図形」領域の内容と、「A 数と計算」 領域、「B 量と測定」領域、「D 数量関係」領域の内容を関連付けて解決する過程から、その合 理的・能率的な処理のよさを味わわせることをねらいとする。そこで、「活用１」では、正六角形 のタイルを長方形の壁面に敷き詰める問題について、解決に必要な情報をみつけ、既習の何をどの ような手順で活用すれば解決できるかといった解決の構想のつくり方を学ぶことを主とする。「活 用２」では、「活用１」で学んだ内容と方法を、より抽象化した問題に発展させることをねらった 教材化を図る。 ３ 単元の目標 ○ 日常生活の事象や既習の図形を想起し、図形の観察や構成、既習の知識・技能を関連付けて問題 を解決する活動を通して、楽しみながら筋道立てて考えるよさに気付くことができる。 ・正多角形の美しさ、面白さ、不思議さに気付き、進んで観察したり、構成したりできる。 （関心・意欲・態度） ○ 合理的・能率的な問題解決をめざして、「図形」領域の知識・技能と、他の複数領域の知識・技 能を関連付けて数理的に処理した過程を吟味することができる。 ・問題の解決のために必要な構成要素を取り出し、その関係を考察できる。 （数学的な考え方） ○ 正多角形の円に内接・外接する性質や、合同な三角形や円との組み合わせに関わる性質をもとに、 正多角形を作図することができる。 （表現・処理） ○ 辺の長さと角の大きさがすべて等しい多角形が、正多角形であることを知るとともに、正多角形 の円に内接・外接する性質や、合同な三角形や円との組み合わせに関わる性質を理解することがで きる。 （知識・理解）

４ 単元指導計画 (1) 従来指導における単元指導計画（全５時間） 平成元年指導書算数編をもとにした内容配列では、 「①正多角形」「②円周と直径」「③おうぎ形」「④円の面積」で、下は「①正多角形」のみ記す。 配時 ね ら い 学 習 活 動 ○ 正八角形と正六角形の構 １ 折り紙で正八角形と正六角形を作る。 成と観察を通して、正多角 ２ 作った正八角形と正六角形を観察し、辺や角の数と、辺の ② 形の定義をとらえることが 長さや角の大きさ、折りめの中心から頂点までの長さ、中心 できる。 の角の大きさを調べる ３ 提示された正三角形から正八角形までを観察し、正多角形 の定義をとらえる。 ○ 円と正多角形の中心の角 １ 円の中心の角を５等分して、正五角形を作図する。 ② を使って作図することがで ２ 正五角形内の二等辺三角形の性質を調べる。 きる。 ３ 円と中心の角を使って、正三角形から正八角形を作図する。 ① ○ コンパスを用いて正六角 １ 正六角形と正六角形内の正三角形について調べる。 形の作図ができる ２ コンパスを用いた正六角形の作図の仕方を調べる。 以前の「正多角形」の学習活動では、子どもがとらえる構成要素の内容が、１単位時間に多数存在 した。そのため、定義と性質をとらえにくく作図の技能の習得には、課題を要すると考えられる。 (2) 本研究における単元指導計画（全６時間） 配時 ねらいと提示問題 学 習 活 動 内 容 手 だ て ○ 等角、等辺の五角 １ 等角の五角形、等辺の五角形 ・多角形の辺の ○三種類の五角形 第 形と正五角形を比較 と正五角形を比較し、辺の長さ 長さや、角の を提示し、比較 １ する活動を通して、 と角の大きさの関係を調べる見 大きさへの着 時 正多角形の定義をと 通しをもつ。 目 ○三種類の五角形 らえることができる。 カード配布 《提示問題》 ・似ているのはどれ？ ２ 正五角形の等辺と等角の関係 を調べる。 ３ 正八角形も同様に調べ、正五 ・正多角形の定 ○正八角形との共 角形の場合と比較し、正多角形 義をとらえる 通点の整理 の定義をとらえる。 ○ 紙を使って正八角 １ 折り紙で作った正八角形を、 ○正八角形の作り 第 形を構成し、辺と角 等辺と等角から調べる見通しを 方を提示（操作） ２ の相等関係と、内接 も つ 。 ○折り目に着目さ 時 する円の中心からの せる図の提示 長さの関係をとらえ ２ 自分で作った正八角形の等辺 ・正八角形の対 ることができる。 ・等角の関係を確かめ二等辺三 角線から構成 《提示問題》 角形や対角線の関係に気付く。 される二等辺 ・正八角形になってい 三角形をとら るかな？ える ３ 対角線の交点からの長さが等 ・正八角形と円 ○正八角形と円の しいことから、正八角形が円に の関係 比較 内接することを見付ける。 ○ 円に内接する正多 １ 正八角形の中心角が 45 °で ・円と中心の角 ○円に内接した正 第 角形の性質をもとに、 あることから、正八角形を作図 を使った正多 八角形の提示 ３ 円を使った正多角形 する見通しをもつ。 角形の作図 ○中心角に着目さ 時 の作図の仕方をとら ２ 中心角を求めて、正八角形、 せる図の提示 えることができる。 正五角形、正六角形を作図する。・コンパスを用 《提示問題》 ３ コンパスを使った正六角形の いた正六角形 ○正三角形に着目 ・正八角形の作図提示 作図の仕方を考え、作図する。 の作図 させる図の提示 ア イ ウ 比較 ア イ ウ エ オ カ キ ク コ ア イ ウ エ オ カ キ ク コ ア イ ウ

○ 正多角形を使って １ 正五角形をもとにしたモデル ・正多角形の作 ○モデルの模様を 第 模様をつくる活動を の模様（色は捨象）づくりから、 図の仕方 つくる試しの活 ４ 通して、図形の構成 正多角形と円をもとにした模様 動と交流の設定 時 要素の関係を振り返 づくりの見通しをもつ。 り、模様のよさを味 わうことができる。 ２ 条件を変えて自分だけの模様 ・正多角形の辺 ○条件の変え方を 《提示問題》 をつくる。 を延長した模 交流する場の設 ・同じもようがつくれ 様の作成 定 るかな？ ・正多角形の頂 《形を変えて》 点を中心にし 正六角形、正八角形 た円の組み合 《円の組み合わせ》 わせによる模 正多角形の頂点を円の中心 様の作成 ３ それぞれの模様のよさを賞賛 ・図形の審美性 ○よさの観点提示 し合う。 をとらえる 《よさの観点》 美しさ、面白さ、不思議さ ○ 正六角形の性質と、１ 横の長さが110 ㎝の長方形の ・解決の構想を ○問題の条件と何 第 伴って変わる二量関 壁面に、一辺の長さが 10 ㎝の つくるための に着目すればよ ５ 係のきまりを関連付 正六角形のタイルが 11 枚敷き 必要な情報の いか話し合う場 時 けて解決する構想の 詰められる理由について、正六 取り出し の設定 つくり方について、 角形の対角線と一辺の長さに着 本 合理的・能率的な観 目して解決の構想をつくる。 ○解決の構想を話 時 点から振り返ること ２ 問題図と、構想をもとに、正 ・着眼する構成 し 合い、つく １ ができる。 六角形の数の求め方を考える。 要素と既習の る場の設定 《提示問題》 ３ 正六角形の枚数の求め方を交 何を活用する ・なぜ11 枚？ 流し、既習の正六角形の性質と か策定する ○解決の筋道と既 枚数を求める式の関係を吟味し 習の何を活用し て合理的・能率的な処理に 気 ・多様な求め方 たか明確にする 付く。 の根拠を、読 交流 み取る ○ 活用１を発展させ １ 問題の条件と何に着目すれ ・前時までにみ ○前時みつけたき 第 た問題について、正 ばよいか話し合い、解決の構想 つけた求め方 まりや他の考え ６ 六角形のまとまりの をつくる。 を整理して解 方について話し 時 つくり方や、伴って ２ 全体で解決過程を吟味し、正 決の構想をつ 合う場の設定 変わる二量関係のき 六角形を増やした問題をつくり くる 本 まりを、目的に応じ 複数の求め方を試す。 ・問題の条件を ○求め方のよさか 時 て活用する考え方の ３ 複数の求め方について、合理 変えて自分で ら類別する交流 ２ よさを味わうことが 的・能率的な処理のよさについ 設問をつくる ○問題を作成する できる。 て振り返る。 場の設定 《提示問題》 ・解決過程を、 合理的・能率 ○合理性・能率性 的な視点で振 から振り返る場 り返る の設定 【C５児 の求め方】 ３回目 １２枚 ４回目 １８枚 ３×６－６＝１２ ４×６－６＝１８ 【C４児 の求め方】 ３回目 １２枚 ２×６＝１２ ４回目 １８枚 ３×６＝１８ 問題２ 3回目の正六角形の数は何枚？ １回目 ０枚 ２回目 ６枚 ３回目 ？枚 10㎝ 一辺の長さが、 10㎝の正六角形のタイル 110㎝ 横の長さが、 110㎝の長方形 タイルの枚数は、 ２＋３×３＝１１ ２０㎝＋３０㎝×３＝１１０㎝で、 ぴったりしきつめられる。 【C３児の求め方】 １１０㎝ 正六角形 タイル 10㎝ 20㎝ 30㎝ 30㎝ 30㎝

５ 学習指導過程 (1) 第１時 ア 主眼 等角、等辺の五角形と正五角形を比較する活動から、正多角形の定義をとらえることができる。 イ 準備 ・等角、等辺の五角形、正五角形の提示物、等角、等辺の五角形、正五角形のカード（教師） ・コンパス、分度器（児童） ウ 学習指導過程 段階 学習活動、及び、教師の主な発問と予想される子どもの反応 手だて １ 等角の五角形、等辺の五角形と正五角形を比較し、辺の長さと角の ○正五角形と、等角 構 大きさの関係を調べる見通しをもつ。 の五角形、等辺五 想 T：この五角形と似ている五角形はどれかな？ 角形といった三種 を C：イの五角形です。 類の五角形を同時 つ T：他の五角形はどうかな？ に提示し、比較さ く せる。 る C：アもウも五角形だけど、きれいではありません。 T：イと、ア・ウは、どこがちがうのかな？ ○構成要素に着目さ C：イの辺はどれも同じだけれど、ア・ウは辺の長さがちがうよ。 せる話し合い T：辺の長さが同じであればいいんだね。今日は、どうしてきれいな五 角形になっているか調べてみようね。 どうしてイの形が似ているか調べよう。 T：どうやって調べる？ C：辺の長さが同じか定規やコンパスで調べる。○三種類の五角形カ ２ ア・イ・ウの五角形の等辺と等角の関係を調べる。（活動後…） ード配布と実測 C：イは全部同じだった。ウは辺の長さが同じなのにおかしいなあ。 吟 T：ウはイと比べて何がちがうのかな？逆にアはイと比べて何が同じな 味 のかな？ C：あっ。まわりの角の大きさかな？ ○角の大きさに着目 す T：じゃあ、角の大きさを調べてみようか。（活動後…） させる話し合い る C：分度器で調べたら、アとイは、角の大きさが全部同じでした。 C：イとウは、辺の長さが全部同じでした。 T：まとめると…？ C：辺の長さと角の大きさが全部同じにとき、きれいな五角形になるよ。 T：これは？ C：八角形。T：だけど、五角形と同じことがいえるかな？ ○一般化を図るため ３ 正八角形も同様に調べ、正五角形の場合と比較し、正多角形の定義 に、正五角形と比 をとらえる。（活動後…） 較させる正八角形 C：八角形も五角形のときと同じです。 の提示と実測 T：まとめると… 辺の長さが同じで、角の大きさが同じきれいな多角形を、正多角形 という。正五角形と正八角形は、辺の長さと角の大きさが全部同じ。 エ 板書計画 どうしてイの形が 似ているか調べよう。 辺の長さが同じで、角の大きさが同じ 多角形を、正多角形という。 めあて まとめ ア イ ウ 問題 にている五角形は どれかな？ イがにている。辺の長さが同じ。 どうしてきれいな形？ ？ 見通し ○イとア・ウ を比べる ○辺の長さ ・定規で ・コンパスで イ ウ チャレンジ ア 角 の 大 き さ ○辺の長さが同じ ○角の大きさがちがう ○辺の長さがちがう ○角の大きさが同じ この八角形はどうかな？ ○辺の長さが同じ ○角の大きさが同じ 正八角形 正五角形 ア イ ウ

比較

(2) 第２時 ア 主眼 紙を使って正八角形を構成し、辺と角の相等関係と、外接する円の中心からの長さの関係をとら えることができる。 イ 準備 ・正八角形の提示物、折り紙（教師） ・はさみ、コンパス、分度器、のり（児童） ウ 学習指導過程 段階 学習活動、及び、教師の主な発問と予想される子どもの反応 手だて １ 折り紙で作った正八角形を、等辺と等角から調べる見通しをもつ。 構 T：この正八角形をつくってみましょう。 ○折り目に着目させ 想 C：どうやってつくるのかな？折り目があるぞ。 る図の提示 を T：いいところに気付いたね。一緒につくってみましょう。 つ （活動後…）C：できました。 ○正八角形の作り方 く T：上手にできたねえ。みんなの八角形は、 を提示し、一緒に る 正八角形になっているかなあ？ 全員で作る場の設 C：先生！なってますよ。 定 T：そう。じゃあどうやって確かめる？ ○正多角形の定義を C：辺の長さと角の大きさが同じかどうか 想起させる発問 調べます。 本当に正八角形になっているか調べよう。 ２ 自分で作った正八角形の等辺・等角の関係を確かめ、二等辺三角形 や対角線の関係に気付く。 T：では、自分で作った八角形をノートに貼って、辺の長さ、角の大き ○みつけたことをﾉｰﾄ さ、その他にみつけたこともノートに書いておこうね。（活動後…） に書かせる助言 C：辺の長さも角の大きさも全部同じでした。やっぱり正八角形です。 吟 T：その他に何かみつかりましたか？ ○対角線と二等辺三 味 C：折った線（対角線）の長さが全部同じで、４本 角形に着目させる す ありました。 場の設定 る C：アを中心に二等辺三角形が８こあります。 T：アから各頂点イ、ウ、エ…コまでの長さはどう ですか？ C：二等辺三角形が合同だから、同じはずです。 ３ 対角線の交点からの長さが等しいことから、 ○正八角形と外接す 正八角形が円に外接することを見付ける。 る円の関係をとら T：すごいね。では、アを中心にして、直線アイが えさせる活動の場 半径になる円をかいたら、どうなるかな？ を設定 （活動後…）C：ウ、エ…コまでつながりました。 T： 今 日 の 学 習 を 正八角形は、対角線の中心から各頂点までの長さが等しい。だから、 まとめましょう。同じ中心の円と各頂点がつながる。 エ 板書計画 ・折り目に気をつけるんだなあ…。 ・コンパスで同じ長さをみつけて、 印をつけるんだな。 ア イ ウ エ オ カ キ ク コ ア イ ウ エ オ カ キ ク コ 正八角形は、対角線の中心から各頂点 までの長さが等しい。円とつながる。 めあて まとめ 問題 折り紙で、 正八角形をつくりましょう。 ・対角線が４本ある。 ・本当に正八角形になっている？ ？ 見通し ○辺の長さと 角の大きさ を確かめる ○その他に みつけた ことも… ・折り目に気をつけるんだなあ…。 ・コンパスで同じ長さをみつけて、 印をつけるんだな。 本当に正八角形に なっているか調べよう。 ア イ ウ エ オ カ キ ク コ ○辺の長さ、角の大きさが全部同じだから 正八角形 ○４本の対角線の長さが全部同じ ○アを中心に二等辺三角形が８こ ア イ ウ エ オ カ キ ク コ チャレンジ 正八角形 ○中心のアから、各頂点まで の長さは全部同じ 中心から円をかいてみる 二等辺三角形は 合同だから

(3) 第３時 ア 主眼 円に内接する正多角形の性質から、円を使った正多角形の作図の仕方をとらえることができる。 イ 準備 ・正八角形、正五角形、正六角形の提示物（教師） ・はさみ、コンパス、分度器（児童） ウ 学習指導過程 段階 学習活動、及び、教師の主な発問と予想される子どもの反応 手だて １ 正八角形の中心角が 45 °であることから、正八角形を作図する見 ○円に内接した正八 構 通しをもつ。 角形の提示と中心 想 T：正八角形の中心の角度は何度かな？ の角の大きさをみ を C：分度器で測るとわかるよ。 つける活動 つ C：測らなくても計算でわかるよ。 ○中心の角と円を使 く T：どんな計算でわかるかな？ った正八角形の作 る C：円の中心は 360 °だから、360 ÷ 8 でわかります。C：45 °です。 図の仕方を提示し、 T：では、正八角形を、 全員一緒に作図す 中心の角の 45 °と る場の設定 円 を 使 っ て か い て ○正八角形でとらえ みるよ。（活動後…） た作図の仕方を、 C：みんなで一緒にやったらできたよ。 T：きれいにできたね。 他の正多角形の拡 じゃあ、正五角形や正六角形もできるかな？ C：できます！ 張させる発問 円と中心の角を使って、正五角形と正六角形をかこう。 ２ 中心角を求めて、正五角形、正六角形を作図する。 T：では、計算で中心の角を求めて、正五角形と正六角形をかいてみま しょう。（活動後…） C：正五角形は、360 °を 5 等分して 72 °にしてできま 吟 した。 味 C：正六角形は、6 等分して 60 °にしてできました。正 ○正三角形に着目さ す 三角形が6 こありました。 せる場の設定 る T：この正六角形を、分度器を使わないで、コンパスと 定規だけでかけるかな？（活動後…） ○正三角形の性質と ３ コンパスを使った正六角形の作図の仕方を考え、作 関連させて、コン 図する。 パスと定規だけで C：円の直径をかい 作図する活動の設 て、その交点から 定 コンパスを2 回 使えばできます。 T： 今 日 の 学 習 を 正多角形は、中心の角と円を使えば、きれいにかくことができる。 まとめましょう。正六角形だけ、一辺の長さと半径の長さが等しい。 エ 板書計画 正多角形は、中心の角と円を使えばかける。 正六角形だけ、一辺の長さと半径の長さが等しい。 めあて まとめ 問題 中心の角を求めて、 正八角形をかきましょう。 ・円と中心の角を使って ・正五角形と正六角形もかける？ ？ 見通し ○中心の 角を計算 で求める ○円と 対角線を 使って… 円と中心の角を使って、 正五角形と正六角形をかこう。 チャレンジ 正六角形 ○正三角形が６こ だから、 辺の長さと 円の半径が 同じ 正五角形 ○正六角形は、正三角形の６こ分なので、 円と一辺の長さから作図できる。 コンパスと定規だけでかけるかな？ ア イ ウ エ オ カ キ ク コ

(4) 第４時 ア 主眼 正多角形を使って模様をつくる活動を通して、図形の構成要素の関係を振り返り、模様のよさを 味わうことができる。 イ 準備 ・模様の提示物、実物提示装置、T.V.（教師） ・コンパス、分度器（児童） ウ 学習指導過程 段階 学習活動、及び、教師の主な発問と予想される子どもの反応 手だて １ 正五角形をもとにしたモデルの模様（色は捨象）づくりから、正多 構 角形と円をもとにした模様づくりの見通しをもつ。 想 T：これは、先生が考えた模様です。 ○正五角形をもとに を この模様と同じ模様がかけるかな？ したモデルの提示 つ C：わー。きれい。できるよ。 と、全員一緒に試 く T：じゃあ、やってみましょう。（活動後…） す活動の設定 る C：正五角形をかいて、対角線をつないで、 辺を伸ばしたらできました。 T：すごいね。今日は、正多角形を使った模様をつくってみましょう。 正多角形の形をいかして、いろいろなもようをつくろう。 ２ 条件を変えて自分だけの模様をつくる。 ○モデルの条件を変 T：どんな模様ができそうかな？ え方を交流する場 C：正五角形の形を変えて、正六角形、正八角形のもようもできそう。 の設定 C：正多角形の頂点を円の中心にしたもようもできそう。（活動後…） ・形 ・円の活用 C：正六角形や正八角形でも、先生のもようを変化 吟 させたもようができました。 ○モデルの何を変え 味 C：正五角形の頂点を円の中心にしてこんなもよう たか説明する場の す もできたよ。 設定 る C：正六角形でもできました。 C：正八角形でもできそうだよ。 ３ それぞれの模様のよさを賞賛し合う。 ○模様のよさを味わ T：みんながつくった模様のよさを、みんなでみつ うために、以下の けて話し合いましょう。よさの観点は、「美しさ」 ３つの観点の提示 「面白さ」「不思議さ」です。 ・美しさ C：正六角形の辺を伸ばしたもようは、どんどん正 ・面白さ 六角形ができていくので面白いです。 ・不思議さ C：正五角形の頂点と円を使ったもようは、何かみ たことがあるマークに似ているよ。 T： 今 日 の 学 習 を 正多角形の形をいかしてできたもようは、 まとめましょう。 いろいろできて面白い。きれい。もっとできそう。 エ 板書計画 正多角形の形をいかしてできたもようは、 いろいろできて面白い。きれい。もっとできそう。 めあて まとめ 問題 このもようと 同じもようをつくりましょう。 他の正多角形でもできるかな？ ？ 見通し ○正五角形 の形を 変えて… ○正多角形 の頂点と 円を 使って… 正多角形の形をいかして、 いろいろなもようをつくろう。 ○辺を伸ばし たら、 正六角形が どんどん できる。 ○何かみたことがあるマークに にている。 頂点と円で 形を変えて

(5) 第５時（本時１） ア 主眼 正六角形の性質と、伴って変わる二量関係のきまりを関連付けて解決する構想のつくり方につい て、合理的・能率的な観点から振り返ることができる。 イ 準備 ・提示物、問題の配布物（教師） ・のり（児童） ウ 学習指導過程 段階 学習活動、及び、教師の主な発問と予想される子どもの反応 手だて １ 問題の条件と何に着目すればよいか話し合い、解決の構想をつくる。 構 想 《問題》図のような、横の長さが 110 を ㎝の長方形の壁面に、一辺の長さが 10 つ ㎝の正六角形のタイルが11 枚敷き詰め く ることができました。その理由を式で る 説明しましょう。 T：11 枚敷き詰められる理由を説明するために、どこに目をつける？ ○問題のどこに目を C：長方形の横の長さです。 つけたらよいか話 T：そうだね。今日は、どうして正六角形タイルがこの長方形の中に 11 し合う場の設定 枚敷き詰められるか、タイルの数の求め方を調べていきましょう。 （問題カード配布後…） どうして11 枚敷き詰められるか、正六角形タイルの数の求め方を考えよう。 T：では、見通しをみんなでつくりましょう。まず、みんなが知ってい ることで、何が使えそうですか？ ○解決の構想を話し 合い、つくる場の C：一辺の長さは 10 ㎝とわかっているので、横の対角線の長さです。 設定 T：さすがだね。対角線の長さは何㎝？ ①必要な長さに焦点 C：半径の 2 倍で 20 ㎝です。 化させる発問 T：では、みんながいってくれたことをもとに、一緒にこの図を使って ②既習の何が使える 求め方を考えてみましょう。110 ㎝ぴったりになるために、この図に か話し合う場の設 直線を描き込んだらいいと思うんだけど、どこに描いたらいいかな？ 定 C：正六角形の端と端をつなぐ直線をひ いたら、対角線ととなりの一 ③解決のためのアイ 辺の長さが一つになってわかりやす デアを想起させる いです。 発問と話し合う場 T：すごいね。じゃあ、先生は、この図 の設定 のように、タイルの数を順番にたし ④11 枚の求め方を、 て、その後、長さの計算を式に表し タイルの枚数と、 て求めたよ。いいでしょう？ 正六角形の長さの C：わかるけど、もっと簡単な求め方も 二量から立式する あるよ。 表現の仕方を提示 T：本当？すごいね。では、タイルの数と 110 ㎝ぴったりになるような ⑤もっと簡単な求め 求め方を、いろいろ調べてみましょう。時間は10 分でいいですか？ 方を問う発問 ２ 構想をもとに、正六角形の数の求め方を考える。（活動後…） ３ 正六角形タイルの数の求め方を交流し、既習の正六角形の性質と枚 吟 数を式の関係を吟味して、合理的・能率的な処理の仕方に気付く。 味 (1)正六角形タイルの数の求め方を交流する。 す T：では、かき込んだ図と式を使って、どのように考えて求めたのか、 る 話し合いましょう。 10㎝ 一辺の長さが、 10㎝の正六角形のタイル

110㎝

○解決の筋道と既習 C １児：ぼくは、たて 2 枚のタイルの 4 の何を活用したか つ分と、間のタイル3 つ分で考えました。 明確にする話し合 すると、 ２×４＋１×３＝１１で、 うの場の設定 ぴったり敷き詰められて、 20 × 4 ＋ 10 × 3 ＝ 110 になります。 ①みつけたタイルの 数の求め方を、「枚 C ２児：私は、5 枚のタイルの 2 つ分と、 数と長さに着目し 間をつなぐタイル 1 つ分で考えました。 た式表現」の二量 すると、 関係からの説明 ５×２＋１＝１１で、 50 × 2 ＋ 10 ＝ 110 になりました。 ②それぞれの考え方 について、既習の C ３児：ぼくは、左のたて 2 枚のタイルに、3 何を使ったのか話 枚組み合わせたタイルの 3 つ分で考えま し合わせる。 した。すると、 ２＋３×３＝１１で、 ③それぞれの考え方 20 ＋ 30 × 3 ＝ 110 になりました。 のよさを十分に賞 賛しながら、整理 T：みんなすばらしい考え方だね。C １く する発問 んは、今までの学習の何を使って考えた のかな？ C：正六角形の対角線と、一辺の長さを組み合わせて、長方形の横の長 さと同じになるように考えています。 T：C ２さんは、どう考えているの？ C：タイル５枚の 2 つ分とつなぐタイル１枚で考えているのが面白い。 T：C ３くんの考えは？ C：最初の２枚が変わらない数で、その後、３枚の組み合わせが何倍ず つで増えていくのかで考えていてすごいです。 (2)学習を振り返り、構想のつくり方を整理する。 ○解決の構想のつく T：今日の学習を振り返ります。今日のような問題では、どんな見通し り方を振り返り、 の立て方をしたから解決できたのかな？ 解決できたよさと、 C：見通しでは、まず、どこに目をつけるのかが大切です。 既習の知識・技能 C：次に、知ってることの何が使えるかみつけます。 の組み合わせ方と C：知っていることを順に組み合わせると、解決できます。 その順序を整理す T：よくまとめたね。みんなが言ったことを整理しましょう。 る場の設定 ○見通しの立て方 ①どこに目をつけたらよいか考える。 ②今までの学習の何が使えるか複数考える。 ③使える学習を順に組み合わせると解決できる。 エ 板書計画 ○見通しの立て方 ①どこに目をつけるか ②今までの学習を複数 ③使える学習を順に組み合わせる めあて まとめ 問題 どうして11枚敷き詰められるのかな？ タイルの数の求め方は？ ？ 見通し ○面積公式で 横110㎝、一辺10㎝ 対角線20㎝ ○もっと簡単な 求め方を式で表現 どうして11枚しきつめられるか、 正六角形タイルの数の求め方を考えよう。 ○変わらない 数と3枚の 何倍ずつ で増えて いる 10㎝ 一辺の長さが、 10㎝の正六角形のタイル 110㎝ 横の長さが、 110㎝の長方形 １１０㎝ 正六角形タイル 10㎝ 20㎝10㎝20㎝10㎝20㎝10㎝20㎝ タイルの枚数は、 ２＋１＋２＋１＋２＋１＋２＝１１ で、１１枚 ２０＋10＋２０＋１０＋２０＋１０＋２０＝１１０ だから、横の長さがぴったり１１０㎝になる。 １１０㎝ 正六角形 タイル 10㎝ 20㎝10㎝20㎝10㎝20㎝10㎝20㎝ タイルの枚数は、 ２×４＋１×３＝１１ ２０㎝×４＋１０㎝×３＝１１０㎝で、 ぴったりしきつめられる。 【C１児の求め方】 タイルの枚数は、 ５×２＋１＝１１ ５０㎝×２＋１０㎝＝１１０㎝で、 ぴったりしきつめられる。 【C２児の求め方】 １１０㎝ 正六角形 タイル 10㎝ 50㎝ 10㎝ 50㎝ タイルの枚数は、 ２＋３×３＝１１ ２０㎝＋３０㎝×３＝１１０㎝で、 ぴったりしきつめられる。 【C３児の求め方】 １１０㎝ 正六角形 タイル 10㎝ 20㎝ 30㎝ 30㎝ 30㎝ ○正六角形の 対角線と 一辺の長さ の 組み合わせ ○タイル５枚 の2つ分と つなぐ タイル1枚 １１０㎝ 正六角形 タイル 10㎝ 20㎝10㎝20㎝10㎝20㎝10㎝20㎝ タイルの枚数は、 ２×４＋１×３＝１１ ２０㎝×４＋１０㎝×３＝１１０㎝で、 ぴったりしきつめられる。 【C１児の求め方】 タイルの枚数は、 ５×２＋１＝１１ ５０㎝×２＋１０㎝＝１１０㎝で、 ぴったりしきつめられる。 【C２児の求め方】 １１０㎝ 正六角形 タイル 10㎝ 50㎝ 10㎝ 50㎝ タイルの枚数は、 ２＋３×３＝１１ ２０㎝＋３０㎝×３＝１１０㎝で、 ぴったりしきつめられる。 【C３児の求め方】 １１０㎝ 正六角形 タイル 10㎝ 20㎝ 30 ㎝ 30㎝ 30㎝

(6) 第６時（本時２） ア 主眼 正六角形の増え方のきまりを表現した式と、正六角形の性質をもとにまわりの長さを求める式を 関連付けて解決する過程を通して、合理的・能率的な処理のよさを味わうことができる。 イ 準備 ・提示物、配布用問題図、２種類の図カード（教師） ・のり（児童） ウ 学習指導過程 段階 学習活動、及び、教師の主な発問と予想される子どもの反応 手だて １ 問題の条件と何に着目すればよいか話し合い、解決の構想をつくる。 構 想 T：まず、何がわ ○問題を解決するた を か れ ば ３ 回 目 めに、目をつける つ の 周 り の 長 さ 点を焦点化する発 く が み つ け ら れ 問 る そう？ C：３回目の正六 角 形 の 枚 数 で す。 T：正六角形の枚 ○さらに、正六角形 数 の 増 え 方 に の枚数の増え方の は、何かきまりがありそう？ C：ありそうです。 きまりに焦点化さ T：今日は、正六角形の増え方のきまりをみつけて、まわりの長さの求 せる発問 め方を調べていきましょう。 きまりをみつけて、まわりの長さの求め方を調べよう。 T：では、見通しを整理しましょう。まず、何から求める？ ○解決の構想をつく C：続きの図をかきこんで、３回目の枚数を求めます。 るために、求めて いく順序を整理す T：３回目の枚数がわかれば、式できまりがみつかりそうだね。では、 る場の設定 まわりの長さを求めるにはどうする？ C：２回目のまわりの長さを調べて、図と表から求めます。 T：わかりました。今日の問題では、二つの式が必要そうですね。 ○正六角形の枚数を T：一つは？ 求める式とまわり C：正六角形の枚数を求める式です。 の長さを求める式 T：もう一つ式は？ をみつける必要性 C：まわりの長さを求める式が必要です。 を問う発問 T：では、正六角形の図カードを配りますので、今から１０分で、調べ ○２種類の図カード てみましょう。正六角形をかきこむのが難しそうなときは、この図カ を準備し、図を描 ードを取りに来て使って下さい。式をつくるときに、図に数のまとま き込むことが苦手 りをかきこむとわかりやすいですよ。一つの求め方をみつけたら、他 な子どもを支援す の求め方も考えてみてね。では、始めましょう。 る。 ２ 全体で解決過程を吟味し、正六角形の枚数を増やした問題にみつけ た求め方を試す。 (1) 求め方を出し合い、そのよさを交流する。 ３回目 ㎝ ㎝ ㎝ 30㎝ 18㎝ まわりの長さ （㎝） 枚 枚 枚 １２枚 ６枚 まわりの正六角形の数（枚） 回目 回目 ３回目 ２回目 １回目 ２回目 １回目 一辺の長さが 1㎝の 正六角形 問題 一辺の長さが１㎝の正六角形を下の図のよう に並べていきます。3回目のまわりの長さは何㎝？

T：みつけた求め方をみん ○図と式を使って、 吟 なで考えましょう。 枚数の求め方と、 味 C １児：私は、正六角形が 6 まわりの長さの求 す こずつあるので、 め方を関連付ける る １回目は、１×６＝６で、 交流の場の設定 ２×６＋６＝18 ㎝ ２回目は、２×６＝12 で、 ２×12 ＋６＝ 30 ㎝ ３回目は、３×６＝18 で、 ２×18 ＋６＝ 42 ㎝で、 42 ㎝になりました。 T：このたしている６は何を表しているのかな？ ①まわりの長さを求 C：かどの正六角形のまわりの長さ１㎝です。 める式の意味を考 T：では、この２は？まわりの正六角形のこの２つです。 えさせる発問 C ２児：ぼくは、重なった ②別の正六角形のま 正六角形をひいた式で、 とまりのつくり方 １回目は、２×６－６＝６ の提示 ２回目は、３×６－６＝12 ３回目は、４×６－６＝18 ２× 18 ＋６＝ 42 ㎝で、 42 ㎝になりました。 T：よく考えたね。みんな ③解決の順序を整理 は、まわりの長さを求め させる発問 るために、どんな順序で 調べたのかな？ C：まず、図や表を使って正六角形の枚数を求める式をみつけました。 次に、１枚のまわりの長さ２㎝にみつけた枚数をかけて、かどの６㎝ をたして求めました。 (2) 正六角形の枚数を増やした問題にみつけた求め方を活用する。 ○正六角形の枚数を T：じゃあ、４回目のまわりの長さも 増やした問題を提 わかるかな？（追求後…。） 示し、みつけた求 C ３児：４回目は、 め方をさらに一般 ４×６＝24 枚だから、 化させる活動の場 ２×24 ＋６＝ 54 で、 の設定 54 ㎝になります。 T：すごいね。10 回目もできるかな？ ○さらに数を拡張し C：簡単にできそうです。 た場合を問う発問 ３ みつけた求め方を、合理的・能率的な処理のよさから振り返る。 ○合理性・能率性か ら、解決の過程を T：そうだね。今日みんながみつけた求め方を使えば、10 回目もわかり 整理し、順に組み そうだね。では、今日の学習を振り返りましょう。今日の問題では、 合わせて活用でき 今までに学習した何が使えた？ たよさを振り返る C：正六角形の数を求めるために、増え方のきまりが使えました。 場の設定 C：まわりの長さを求めるために、正六角形の性質が使えました。 T：そうだね。今までに学習したことを順に組み合わせると、今日の問 題も解決できましたね。 正六角形の増え方のきまりと、正六角形の性質を 順に組み合わせると、まわりの長さを求めることができた。 ３回目 ２回目 １回目 １×６＝６枚、 2×６＋6＝18㎝ ２×６＝12枚、 2×12＋6＝30㎝ ３×６＝18枚、 ２×18＋６＝42㎝ ㎝ ㎝ 42㎝ 30㎝ 18㎝ まわりの長さ （㎝） 枚 枚 １８枚 １２枚 ６枚 まわりの正六角形の数（枚） 回目 回目 ３回目 ２回目 １回目 【C１児 の求め方】 ３回目 ２回目 １回目 ２×６－６＝６枚、 ２×６＋６＝18㎝ ３×６－６＝12枚、 ２×12＋６＝30㎝ ４×６－６＝18枚、 ２×18＋６＝４２㎝ ㎝ ㎝ 42㎝ 30㎝ 18㎝ まわりの長さ （㎝） 枚 枚 １８枚 １２枚 ６枚 まわりの正六角形の数（枚） 回目 回目 ３回目 ２回目 １回目 【C２児 の求め方】 ４回目 ４×６＝24枚、 ２×24＋６＝54㎝ ㎝ 54㎝ 42㎝ 30㎝ 18㎝ まわりの長さ （㎝） 枚 24枚 １８枚 １２枚 ６枚 まわりの正六角形の数（枚） 回目 ４回目 ３回目 ２回目 １回目 【C３児 の求め方】

エ 板書計画 正六角形の増え方のきまりと、 正六角形の性質を順に組み合わせると、 まわりの長さを求めることができた。 めあて まとめ 問題 きまりがありそう？ ？ 見通し ○図と表を 使って… ○二つの式が 必要… ・正六角形の 枚数 きまりをみつけて、 まわりの長さの求め方を調べよう。 ３回目 ㎝ ㎝ ㎝ 30㎝ 18㎝ まわりの長さ（㎝） 枚 枚 枚 １２枚 ６枚 まわりの正六角形の数（枚） 回目 回目 ３回目 ２回目 １回目 ２回目 １回目 一辺の長さが 1㎝の 正六角形 問題 一辺の長さが１㎝の正六角形を下の図のよう に並べていきます。3回目のまわりの長さは何㎝？ ３回目 ２回目 １回目 １×６＝６枚、 2×６＋6＝18㎝ ２×６＝12枚、 2×12＋6＝30㎝ ３×６＝18枚、 ２×18＋６＝42㎝ １回目２回目３回目 回目 回目 まわりの正六角形の数（枚） ６枚 １２枚 １８枚 枚 枚 まわりの長さ（㎝） 18㎝30㎝ 42㎝ ㎝ ㎝ ３回目 ２回目 １回目 ２×６－６＝６枚、 ２×６＋６＝18㎝ ３×６－６＝12枚、 ２×12＋６＝30㎝ ４×６－６＝18枚、 ２×18＋６＝４２㎝ １回目２回目３回目 回目 回目 まわりの正六角形の数（枚） ６枚 １２枚 １８枚 枚 枚 まわりの長さ（㎝） 18㎝30㎝ 42㎝ ㎝ ㎝ ○重なった 正六角形を ひいた 考えで… ○正六角形が ６枚ずつと 考えて… ４回目 ４×６＝24枚、 ２×24＋６＝54㎝ １回目２回目３回目４回目 回目 まわりの正六角形の数（枚） ６枚 １２枚 １８枚24枚 枚 まわりの長さ（㎝） 18㎝30㎝ 42㎝54㎝ ㎝ ○きまりを みつけたら 10回目も わかる