量子力学 の諸原理,多段 階量子認識 系 と、心理状態 を
取 り入 れた想起 に基づ く部分 空間認識法
鈴木
昇一
Principles of Quantum Mechanics, Multi-Stage
Quantum Recognition Systems and Subspace
Methods Which We Employ to Recognize Patterns
Based upon Recall of Pattern-Models
Shoichi Suzuki
あ ら ま し
最 大 事 後 確 率 認 識 法 が シ ャ ノ ン流 の平 均 相 互 情 報 量 を個 々 の 入 力 パ タ ー ン につ き最 大 な ら し
め る働 きで あ る と説 明 さ れ る 。 カ テ ゴ リ帰 属 確 率 が あ る 部 分 空 間(カ
テ ゴ リ表 現 空 間)に
帰 属 す
る 程 度 で あ る と設 定 さ れ る 培 β
分 空 間 法 的 認 識 法"は
こ の 最 大 事 後 確 率 認 識 法 の1種
と して研 究
され る 。 量 子 認 識 系 と は量 子 力 学 原 理 が 適 用 され たパ タ ー ン認 識 シ ス テ ム で あ るが 、 カ テ ゴ リ表
現 空 間 と して あ る射 影 作 用 素 の 値 域(ヒ
ル ベ ル ト空 間 の あ る 部 分 空 間)と
して 設 定 し、 量 子 力 学
に お け る"物 理 量 を観 測 す る確 率"を
カ テ ゴ リ帰 属 確 率 と して 採 用 す る量 子 認 識 法 は 部 分 空 間 法
的 認 識 法 の1種 で あ る 。
S.Suzukiの パ タ ー ン認 識 の 数 学 的 理 論(SS理
論)で
は 、 入 力 パ タ ー ン ψ に対 応 す るパ タ ー ンモ
デ ルTψ
を求 め 、Tψ か ら多段 階 に わ た っ て不 動 点 パ ター ン モ デ ル を連 想 す る形 で 、 ψ の帰 属 す る
カ テ ゴ リ を決 定 す る多 段 階 パ タ ー ン 変換 連 想 形 不 動 点 認 識 法(SS連
想 形 不 動 点 認 識 法)が 考 え ら
れ て い る。
認 識 シ ス テ ム の心 理 状 態 を導 入 可 能 な 多 段 階量 子 認 識 の 働 きの 基 礎 が 研 究 され て お り、 そ れ に
は 、 物 理 量 観 測 確 率 をS.Suzukiの
発 見 したaxiom2を
満 た す よ う に 類 似 度 関 数 に構 成 し直 し、 か
つ 、 処 理 の 対 象 とす る問 題 の 入 力 パ タ ー ンの モ デ ル か ら心 理 状 態 に依 存 して パ タ ー ン想 起 さ れ る
パ ター ン を この 入 力 パ ター ンの 代 り に採 用 す れ ば よい こ とが 指摘 さ れ て い る 。
キー ワー ド
パ ター ン認識の数学 的理論(SS理 論)パ
タニ ンモ デル ・ 類似度 関数
量子力学
射影作用 素
統計作用 素,心
理状 態
情報検 索
不動点連想形多段 階認識法
特徴抽 出にお ける不確 定性原理
平均相互情 報量
Abstract
It is explained that a maximum. posterior-probability recognition inethod(MPPRM) has an ability to
maximize an amount of mutual information concerning an input-pattem in question. We point out that a
subspace recognition method where a probability(PPQ of that an iuput pattern belongs to a category is
defined with a degree DS of that the pattern is contained in a subspace (called a categorical representation
space(CRS)) of a Hilbert space -~ is a special case of MPPRM. A recognition system which operates based
upon a principle of quantum mechanics is called a quantum recognition system(QRS). If we set CRS to
a range of a selected projector in ~ and we adopt that PPC is a probability POPQ of obser-ving a physical
quantity according to the quantum mechanics,QRS is a kind of a subspace recognition system.
A recognition system RECOGNITRON which has been presented in a mathematical theory(i.e.SS
theory) of recognizing patterns suggested by S.Suzuki gets a corresponding pattern-model T~O of an input
pattern cP in question to be recognized, and determines a category to which (P belongs so that a
fixed-point pattern-model that appeared on a final stage of a muti-stage structural-fertilization transformation of
pattern-models may be recalled in such a way of solving a fixed-point equation of associative reconition
about T~P.
A basis of muti-stage quantum recognition is presented here which can posseses a state of mind,
because
(1) POPQ is reconstructed to a similarity-measure function SM so as to satisfy axiom 2 suggested by
S.Suzuki and
(2) we treat a pattern which may be recalled in a state of mind from a corresponding model of an
pattern in question to be recognized as if it may be the input-pattern.
Key words : a mathematical theory of recognizing patterns (SS theory)
pattem-model
similarity-measure function
quantum mechanics
projector
statistical operator
state of mind
information retrieval
multi-stage recognition of fixed-point searching type
uncertainty principle of feature-extraction
average amount of mutual information
1.ま
え が き
(チ ュ ー リ.ング に よる).計 算 原 理 、(.シュ.レリ ンガ ー に よる)量 子 原 理 、(シ ャ ノ ン に よ る)情
報 量 の 計 量 化 原 理 ・
「
通 信 凍 理 、 心 の 変 容 原 理 等 め 諸 底 問 に.密接 な対 応 、 関 係 が あ る こ とは 、 こ れ
まで 、 多 数 の 先 駆 者 に よ っ て 指 摘 され 続 け て きた 。 本 論 文 で は 、 上 記 の諸 原 理 に認 識 原 理 を加 え
る こ と を 目的 と し、 暈 子 力 学 的 に情 報 理 論[Aき1]を
構 成 し なが ら[B13],量
子.認識 原 理[B5],
[B1]が
部 分 空 間法 的 認 識[A32]の
働 き を備 え て い る万 能 性 認 識 シス テ ムRECOGNITRON[B3],
[B4]の
構 築 へ 向 け て 適 用 さ れ 、研 究 され る1(新 規 性)。
量 子 力 学[A4]の
諸 原 理 は簡 単 に は 、
(1)(Hilbert空 間.[A3]の
元 と して め)波 動 関 数.の重 ね 合 わせ(線
形 性)の 原 理
(2)波 動 関 数 の 振 幅 の 自乗 可 積 分 に基 づ く確 率 論 的 物 理 解 釈
(3)確 率 振 幅 を記 述 す る 波 動 方 程 式 に基 づ くユ ニ タ リ的 時 間 発 展(第1量
子 化)
(4)互 い に非 可 換 な2つ の 自己 共 役 作 用 素(2つ
の物 理 量)の
観 測 に 関 す る 同時 測 定 不 可 能 性
(不確 定 性 原 理)
な ど で 代 表 さ れ る 。 こ の 量 子 力 学 が20世 紀 初 頭 、 提 案 さ れ た の は 、 マ ク ロ の 世 界 を記 述 す る
Newton力 学 で は解 明 で き な い 「
電 子 と光 子 の相 互 作 用 ・
振 舞 い 」,厂
原 子 内 部 の ミク ロ の 世 界 の 法 則 」
を記 述 す る こ とを 目的 と して い た 。
マ ル チ メ デ ィ ア と して の 計 算 機 か ら知 能 メ デ ィア の 中核 と して の 計 算 機 に 進 展 し た現 在 に至 っ
て も、"計 算 と い う働 き はチ ュ ー リ ング機 械 で 実 行 され る操 作 で あ る"と
い う"計 算 機 科 学 上 の仮
説"に
疑 い を抱 く もの は稀 で あ る。 しか しな が ら、 チ ュ ー リ ン グ機 械 は物 理 的 に実 現 可 能機 械 に
よ っ て 実 現 可 能 な 計 算 の働 き を説 明 して い な い 。 近 頃研 究 が 盛 ん に な っ て い る"量 子(力 学 原 理 を
体 現 し実 際 に存 在 可 能 な)コ ン ピ ュ ー一タ[A7],[A11],[A15],[A17],[A27]"は
そ うで は な く
て 、実 装 に よ って 計 算 時 間 ・
記 憶 容 量 の両 面 で 現 在 の計 算 機 で は 事 実 上 不 可 能 と され て い る"計 算"
を可 能 にす る も の と期 待 され て い る。 通 信 の 働 きに つ い て も量 子 力 学 原 理 に従 っ た い わ ゆ る"量
子 通 信[A19]"へ
の研 究 が 盛 ん に な っ て い る 。
単 な る計 算 の 働 き よ り も、 通 常 複 雑 な手 続 き と思 わ れ る"認
識 の 働 き"へ 量 子 力 学 原 理 を 応 用
す る こ と が で き るで あ ろ う か?
パ タ ー ン認 識 とは 、パ タ ー ン を 或 る カ テ ゴ リ(類 概 念)に 帰 属 す る と推 断 す る働 きで あ る。
パ タ ー ン を多 段 階 で は な く、 簡 単 に単 段 階 で 認 識 す る に は、 次 の よ う にす れ ば よい:
axiom1を
満 た す 対[Φ,T]を
考 え よ う。 こ こ に 、 Φ は処 理 の 対 象 とす る 問 題 の パ ター ン ψ の 集
合 で あ り、Tは
そ の 出 力Tψ
∈ Φ が ψ∈ Φ に対 応 す るパ タ ー ン モ デ ル と解 釈 で き る よ うな モ デ ル
構 成 作 用 素 と呼 ばれ る写 像 で あ る 。prob{◎i/Tψ}をTψ
が 第i∈J番
目の カ テ ゴ リ(Σiに帰 属 す る事
後確 率 と し、 カ テ ゴ リ帰 属 確 率 分 布
{prob{(葦i/T(;ρ
日i∈J}・(1.1)
或 い は、 類 似 度 分 布
{SM(Tψ,Tωi)li∈
」}(1.2)
を導 入 す る。SM(Tψ,Tωi)はTψ
が 第i∈J番
目の カ テ ゴ リ(葦iの代 表 パ ター ンωi∈Ω ⊆ Φ の モ デ
ルTωi∈TΩ
⊆TΦ と似 て い る程 度 と解 釈 で き る類 似 度 で あ る。 ここ に、処 理 の対 象 とす る 問題 の パ
ター ン ψ を今1つ の パ ター ン(内 部 表 現 と して確 保 さ れ る パ タ ー ン)Tψ へ と変 換 す る パ タ ー ン変 換
T:Φ
→ Φ
、(1.3)
は 、
Tψ を見 た り聞 い た り し た な らば 原 パ タ ー ン ψ と
同 じ よ う に見 え た り聞 こ え た りす る よ うな 同 一知 覚
原 理 を満 た す パ タ ー ンモ デ ルTψ
を生 成 す る 写 像(1.4)
で あ る。 そ の 後 、
prob{(臥/T∼o}、 あ る い は、SM(T∼o,Tωj),i∈Jの
内 、
最 大 値 を与 え る最 も若 い カ テ ゴ リ番 号j∈J(1.5)
を 見 つ け 、
∼
ρbelongstothejthcategory(Σ
」(1.6)
と、 原 パ タ ー ン ψ を認 識 す る。
□
認 識 の働 き を量 子 力 学 原 理 に従 っ て 設 け る に は簡 単 に は 、 次 の3つ の方 法 ① ∼③ が あ る:
① 原 パ タ ー ン ψ か らの特 徴 抽 出 の 働 き を量 子 力 学 的 観 測 の 原 理(確 率 論 的物 理 解 釈[B6])に
従
っ て 設 定 し[B7]、
ψ に 対 応 す る パ タ ー ン モ デ ルTψ
を構 成 す る 方 法[B1]
,[B3]∼[B6],
[B14],[B20],[B27]
② カ テ ゴ リ帰 属 確 率prob{◎i/Tψ}を
量 子 力 学 的 観 測 の 原 理 に従 っ て 設 定 す る 方 法(部 分 空 間 法
に基 づ く カ テ ゴ リ決 定 法)[B3],[B4]
③ パ タ ー ン問 の類 似 度SM(g,ω
∂ を量 子 力 学 的 観 測 の 原 理 に 従 っ て設 定 す る方 法(部 分 空 間 法
[B3],[A32]に
基 づ く類 似 度 構 成 認 識 法)
④ 以 上 の①,②
を併 用 す る方 法
⑤ 以 上 の①,③
を併 用 す る方 法
□
本 論 文 は、 主 と して 、 ②,③
に つ い て、 これ ま で のs.suzuki研 究[B1],[B5],[B12],[B13],
[B14]を
発 展 させ た もの で あ る(新 規 性)。
s.Suzukiは そ の 修 士 論 文[B7]で"処
理 の 対 象 とす る 問 題 の パ タ ー ン"か
らの 特 徴 抽 出 の 働 き
を パ タ ー ン認 識 分 野 で は初 め て量 子 力 学 原 理[B9]で
構 成 し、 そ の 後 、 通 信 に関 して も、 そ の 適
用 可 能 性 を論 じた[B8]。
更 に、 場 の 量 子 論(第2量 子 化)に ヒ ン トを得 、 パ ター ン認 識 場 面 に お け
る 認 識 主 体 の心 理 状 態 をFock空 間 で 表 現 し、 心 理 状 態 に よ っ て 認 識 対 象 が 異 な っ て 見 え る こ と を
数 理 的 に明 らか に した[B10]。
こ れ らの研 究 成 果 を基 盤 と して 、 認 識 の 量 子 論[B1],情
報 の量
子 論[B12]も
提 案 さ れ た 。 画 像(視 覚 を も た らす パ タ ー ン)に 関 す る"形 状 の 複 雑 さ"を 認 識 の量
子 論 に従 っ て 計 量 化 す る こ と に も成 功 して い る[B13]。
特 に注 意 す べ き こ とは 、 原 パ タ ー ン ψ に対 応 して 認 識 シ ス テ ムRECOGNITRON[B3]JB4]
内 に確 保 され るパ タ ー ンモ デ ルTψ
が ψ か ら抽 出 さ れ る 特 徴 量(量 子 力 学 的 期 待 値)の 組 を備 え て
い る よ う に構 成 され た こ と で あ る[B5],[B6],[B14]。
因 み に 、 文 献[5]はs
.suzukiの 博 士 論 文
の1部 で あ り、axiom1∼4に
基 づ い てSS理 論 で の不 動 点 多 段 階 想 起 形 認 識[B3],[B4]を
備 え た
万 能 性 認 識 シス テ ムがRECOGNITRONで
あ る。 量 子 力 学 的 同一 期 待 値 を再 現 す る波 動 関 数(パ タ
ー ン)の 構 成 に関 す る 手 法 が モ デ ルTψ
を見 た り聞 い た り した な らば 原 パ タ ー ン ψ と 同 じ よ う に見
え た り聞 こ え た りす る"パ
タ ー ンモ デ ル 構 成 原 理EB3],[B4]",つ
ま りaxiom1[B3],[B4]が
確 立 され る原 動 力 と な っ た の で あ る。
量 子 ・
統 計 力 学 で 登 場 す る 統 計 作 用 素(statisticaloperator)[A5]は
パ ター ン情 報 処 理 に お け る
"パ ター ン入 力が引 き金 となって
、 記 憶 内 容 か らパ タ ー ン を呼 び起 こす 機 能 を持 つ パ ター ン想 起 作
用 素"と
解 釈 で きる とい う こ と に焦 点 を絞 って 、 各 カ テ ゴ リ領 域(そ の カ テ ゴ リ に一 意 的 に帰 属 す
るパ タ ー ンの 集 合)を 値 域 に持 つ 射 影 作 用 素(カ テ ゴ リ表 現 作 用 素)を 導 入 し、 パ タ ー ン モ デ ルTψ
の 第i∈ 」番 目の カ テ ゴ リ帰 属 確 率prob{◎ilTψ}を
式(4.69)の 位 相 不 変 量 で 設 定 す る 方 法 で 部 分
空 間 法 的 認 識 法 の1種 と しの 量 子 認 識 法 を先 ず 、 単 段 階 で 処 理 す る 形 式 で 研 究 す る(4章)。
量 子 論 で ヒ トの 心 を表 現 で きる か ど うか は 現 在 の 懸 案 事 項 で あ る が[A10],[A17]、
単 段 階 量
子 認 識 シ ス テ ム を構 築 後 、そ の 後 、認 識 シ ス テ ム に式(6.27)の 形 式 で心 理状 態 η∈ Φ を設 け る形 で 、
入 力 パ タ ー ンの モ デ ル を あ る カ テ ゴ リ の 代 表 パ タ ー ン の モ デ ル へ と、 カ テ ゴ リ帰 属 確 率prob
{(Σi/Tψ}をaxiom2を
満 た す 類 似 度 関 数SM(Tψ,ωi)へ
と定 理7.1を 適 用 し変換 しな が ら、 多 段 階
に わ た り、パ タ ー ン想 起 的 に 変 換 す る 多 段 階 量 子 認 識 法 を研 究 す る(7章)。
本 研 究 の有 効 性 ・
信 頼 性 の1部 は、s.suzukiの2論 文[B5],[B6]の
情 報 処 理 原 理 を採 用 した こ と
で保 証 さ れ て い る。
尚 、 こ れ まで の 文 献Bで のs.suzuki諸 研 究 に 関 連 して 、3付 録A∼cが
設 け られ て い る 。
付 録Aで は 、 典 型 的 な モ デル 構 成 作 用 素Tを2例
構 成 し、 そ の 後 、代 表 パ ター ン集 合 Ω の 諸 性
質 が 反 映 さ れ た形 で 、 完 全 正 規 直 交 系 ψk,k=1,2,…
か ら そ の 部 分 系{ψ
。}。
∈Nを選 定 す る手 法 が
研 究 さ れ て い る 。
付 録Bで
は 、 主 と して 、 統 計 作 用 素 に関 す る諸 話 題 が 研 究 さ れ る。 特 に 、最 大 事 後 確 率 認 識 法
が シ ャ ノ ン流 の 平 均 相 互 情 報 量 を個 々 の 入 力 パ タ ー ン に つ き最 大 な ら しめ る 働 きで あ る と説 明 さ
れ る(B5章)。
付 録Cで は 、 特 徴 抽 出 にお け る 不 確 定 性 原 理 が研 究 され る 。
2.処 理 の 対 象 と す る問 題 のパ タ ー ン集 合 と、パ タ ー ンモ デル
本 章 で は 、axiom1を
満 た す 対[Φ,T]の
構 成 法 が が 説 明 さ れ 、 パ ター ン と判 明 して い る 集合
(基本 領 域)ΦBが
与 え ら れ る と、 処 理 の対 象 とす る パ タ ー ン ψ の 集 合 Φ が モ デ ル 構 成 作 用 素Tを
使 って 表 示 され る こ とが指 摘 さ れ る(定 理2。1)。
2.1可 分 な ヒ ル ベ ル ト空 間 夢 SS理 論[B1]∼[B6]で は 、 パ タ ー ン ψ は 可 分 な(separable)一 般 抽 象 ヒ ル ベ ル ト空 間(Hilbert space)夢 の 元 とす る 。 内 積 は@,η)と 表 さ れ 、 ノ ル ム はllψll≡ 癬)で 表 さ れ る 。 こ こ に 、 夢 が 可 分 と は 、 稠 密 な(dense)可 算 部 分 集 合 が 夢 に 存 在 す る こ と を 指 す 。 ψ,η ∈ 夢 問 の ノ ル ム 距 離IIψ 一 η1=∼ 砺)に 注 意 し て お こ う 。 理 解 の た め に は 、 例 え ば 、 特 別 な 場 合 と し て 、 内 積(∼ρ,η)を 、 (∼o,η)=∫Mdm(x)ψ(x)・ 万(x)(2.1) こ こ に 、 万 は プ の 複 素 共 役(acomplexco可ugateofη)で あ り 、 M:q次 元 ユ ー ク リ ツ ド空 間Rqの 可 測 部 分 集 合(2.2) dm(x):正 値Lebesgue-Stiel句es式 測 度(2.3) x=〈x1,x2,…,xq>∈M(⊆Rq)『(2.4) とす る 可 分 な ヒ ル ベ ル ト空 間 夢=L2(M;dm)で 考 え て お け ば よ い[B1]。 2.2処 理 の 対 象 と す る パ タ ー ン ψ の 集 合 Φ と モ デ ル 構 成 作 用 素Tの 対[Φ,T】 の 構 成 Tψ を 見 た り 聞 い た り し た な ら ば 、 ψ と 同 じ よ う に 見 え た り 聞 こ え た り す る よ う な"パ タ ー ン ψ ∈ Φ に 対 応 す る パ タ ー ン モ デ ル(同 一 知 覚 原 理 を 満 た す パ タ ー モ デ ル)Tψ ∈ Φ を 出 力 す る 『"モ デ ル 構 成 作 用 素" T:Φ → Φ(2.5) を 考 え よ う 。 こ こ に 、 Φ は 処 理 の 対 象 と す る 問 題 の パ タ ー ン Φ の 集 合 で あ り 、 次 の 定 理2.1の 式 (2.6)で 与 え ら れ る 。 実 は 、 対[Φ,T]が 次 のaxiom1を 満 た す よ う に 構 成 さ れ る と き、 式(2.1)の 写 像Tは モ デ ル 構 成 作 用 素(model-constructionoperator)と 呼 ば れ る[B3],[B4]: Axiom1(パ タ ー ン 集 合 Φ と モ デ ル 構 成 作 用 素Tと の 対 【Φ,T】 の 満 た す べ き 公 理)(i)(零 元 のT一不 動 点 性;Hxed-pointpropertyofzeroelementundermappingT)0∈ Φ 〈TO=0.
(ii)(錐 性,正 定 数 倍 吸 収 性;coneproper y)
foranypositiverealnumbera. (iii)(ベ キ 等 性,埋 込 性;idempotency,embeddedness) ∀ ψ ∈ Φ,Tψ ∈ Φ 〈'T(Tψ)==Tψ. (iv)(写 像Tの 非 零 写 像 性;n・n-zeromapPingPr・pe鴬y・fT)ヨ ψ ∈ Φ,Tψ ≠0.[コ 上 述 のaxiom1を 満 た す 対[Φ,T]の 構 成 が 可 能 で あ る こ と は 、 次 の 定 理2.1[B3],[B4]で 指 摘 さ れ る 。 [定 理2.1](パ タ ー ン 集 合 Φ と モ デ ル 構 成 作 用 素Tと の 対[Φ,T]の 基 本 構 成 定 理) 写 像Tがaxiom1の(i),(ii),(iii)の3後 半,並 び に 、(iv)を 満 た す と し よ う 。 そ し て 、 パ タ ー ン と 判 明 し て い る ψ の 集 合 ΦBが 与 え られ た と し よ う 。 な ら ば 、 処 理 の 対 象 と す る 問 題 の パ タ ー ン ψ の 集 合 Φ を Φ=R++・(ΦBUT・ ΦB) ≡{r++ψiψ ∈ ΦB,r++∈R++} ∪{r++T(;ρ1ψ ∈ ΦB,r++∈R++} whereR++isasetofpositiverealnumbers(2.6) の 如 く 設 定 す れ ば 、 Φ ⊃{oi〈[a・ Φ=Φforanya∈R++]〈 [T・ Φ=T・ ΦB⊂ Φ](2.7) が 成 立 し 、axiom1の(i),(ii),(iii)の3前 半 を Φ は 満 た し 、 結 局 、 対[Φ,T]はaxiom1を 満 た す 。 □
3.射 影 作 用 素Pの
値 域 と しての 閉 部分 空 間CSB
本 章 で は 、 どん な 部 分 空 間 につ い て も、 こ の 部 分 空 間 を値 域 とす る射 影 作 用 素 が 存 在 す る こ と
を示 し(定 理3.1)、 更 に 、2つ の 射 影作 用 素 の 値 域 と して 表 現 さ れ る2つ の 閉 部 分 空 間 が 直 交 す る こ
と と こ の2つ の 閉 部 分 空 間 に対 応 す る2つ の 射 影 作 用 素 の 積 は0で
あ る こ と とが 同 値 で あ る こ と
(定 理3.2)を 明 らか に し、 そ の後 、 射 影 作 用 素 の 集 合 上 に 半 順 序 関係 、 同値 関 係 を導 入 可 能 な こ と
を指 摘 す る(2定 理3.3,3.4)。
3.1閉 部 分 空 間 を 表 現 す る 射 影 作 用 素 ψ ∈ ④,η ∈ ∼9な ら ば 、 任 意 の 複 素 定 数a,bに つ い て a・ψ+b・ η∈ ∼め が 成 立 す る(3.1) と き、 ⑲ を 夢 の 部 分 空 間(subspace)で あ る と い う 。 あ る η 「∈ 夢 が 存 在 し て 、llψ 、一 ηll→0な る 任 意 の 点 列 ゆ 。∈ ⑲}曽、 に つ い て 、 η ∈ ∼Dで あ る と き 、 部 分 集 合 ④(⊆ 命)は 閉 集 合(closedSet) で あ る と い う 。 (ψ,η)=0が 成 立 す る と き 、 ψ ∈ 夢 は η ∈ 夢 に 直 交 す る と い い 、 ψ ⊥ η と書 く。 ψ ⊥ η な ら ば η ⊥ ψ で あ る こ と が わ か る 。 夢 の 部 分 集 合 ④ に対 し 、 簿 ・≡ ゆ ∈ 夢1(∼ ρ,η)一 〇 飴ranyη ∈ ④}・(3.2) は 夢 の 閉(集 合 と し て の)部 分 空 間 で あ り、 ⑲ の 直 交 補 空 間 と い わ れ る 。 夢 の 部 分 空 間 ⑲ の 各 元 ψ に ヒ ル ベ ル ト空 間 夢 の 元Aψ を 対 応 させ る 写 像Aが任 意 の ψ,η ∈ ④ と任 意 の 複 素 定 数a,bと に 対 し 、
A(a・ ∼ρ十b・ η)=a・A9♪ 十b・Aη ∈ 夢(3.3)
を 満 足 す る と き、Aを 加 法 的 作 用 素(ad(htiveoperator),或 い は 、 線 形 作 用 素(linearoperator)で あ る
と い う 。 特 に 、 ④=夢 の 場 合 、 こ の 線 形 作 用 素Aは 有 界 な 線 形 作 用 素(boundedlinearoperator)で
あ る ・と い う ◎
一 般 に、 写 像Aの 定 義 域Domain(A),値 域Range(A)と は 、
Domain(A)… ≡{ψ ∈ 夢lIlAψ1<OQ} Range(A)≡{η ∈ ξ)1ヨ ∼ρ ∈Domain(A),η=Aψ} と 定 義 さ れ る 。 2性 質 ∀ ψ ∈ 夢,P・Pg=Pψ(羃 等 性)(3.4) ∀ ψ ∈ 夢,∀ η ∈ 夢,(Pψ,η)=(ψ,Pη)(対 称 性)(3.5) を 満 た す 有 界 な 線 形 作 用 素Pは 射 影 作 用 素(pr(麺ector)で あ る と い う 。 次 の 定 理3.1は 、 閉 部 分 空 間 が 或 る 射 影 作 用 素 の 値 域 と し て 表 現 で き る こ と を 明 ら か に し て い る 。 [定 理3.1](閉 部 分 空 間CSBの 、 射 影 作 用 素Pに よ る 表 現 定 理) 閉 部 分 空 間CSBに つ い て 、 表 現 CSB(P)≡CSB」Range(ヱ)≡{Pψ1ψ ∈ ξ)i(3.6) を 許 す 射 影 作 用 素Pが 唯1つ 、 存 在 す る 。 (証 明)ヒ ル ベ ル ト空 間 夢 は ∀ ∼ρ∈ 夢,∼o=g♪1十 ∼ρ2,(;ρ豆∈SB,《;ρ2∈SB⊥(3.7) つ ま り 、 夢=CSB+CSB⊥(3 .8) と 一 意 的 に 分 解 で き る 。 こ こ に 、CSB⊥ はSBの 直 交 補 空 間 で あ り 、 CSB⊥ ≡{η ∈ 夢1(η,(;ρ)=Ofbranyψ ∈CSB}(3.9) と 定 義 さ れ て い る も の で あ る 。 (イ)Pψ1=∼01〈Pφ2=0〈P・P==P 〈[∀ ψ ∈ ξ),∀ η ∈ ξ),(Pψ,η)=(ψ,Pη)](3.10) (ロ)Q∼o1=0〈Qψ2=ψ2〈Q・Q=Q 〈[∀ ψ ∈ 夢,∀ η ∈ ξ),(Qψ,η)=(ψ,Qη)](3.11) を 満 た す2つ の 線 形 作 用 素P,Qが 求 め る も の で あ り、 表 現 ∀ ψ ∈ 夢,∼o=P∼o+Qψ(3.12) を 許 すP,Qは 共 に 、 射 影 作 用 素 で あ り 、 P+Q=1(恒 等 作 用 素)(3.13) が 成 り立 つ 。 □ 次 の 定 理3.2は 、 射 影 作 用 素 の 値 域 と し て の2つ の 閉 部 分 空 間 が 直 交 す る こ と は 、 こ の2つ の 閉 部 分 空 間 に 対 応 す る2つ の 射 影 作 用 素 の 積 が0で あ る こ と と 同 値 で あ る こ と を 明 ら か に し て い る 。 [定 理3.2](閉 部 分 空 間 同 士 の 直 交 性 と射 影 作 用 素 の 零 積 と の 同 値 定 理) P,Qが 共 に 、 射 影 作 用 素 と す れ ば 、 Range(P)⊥Range(Q)(3.14) ⇔P・Q=0(3ユ5) ⇒Range(P)∩Range(Q)={0}.(3.16)
(証 明)P・Q=0 ⇔ ∀ ψ ∈ 夢,∀ η ∈ ξ),(P・Q(ρ,η)=0 ⇔ ∀ ψ ∈ ・夐,∀ η ∈ ξ),(Qψ,Pη)=0 ● .'射 影 作 用 素 の 対 称 性 ⇔Range(P)⊥Range(Q)'.● 定 理3 .1 ⇒Range(P)∩Range(Q)={0} 。
(3.16)
(3.17)
□
3.2射 影 作 用 素 の 集 合 上 の 半 順 序 関 係 ≦ 、 同 値 関 係= 2つ の 閉 部 分 空 間CSBI,CSB2に つ い て 、 表 現 CSB豆={Plψ1ψ ∈ 夢}(3 .18) CSB2={P2ψ1ψ ∈ 夢}(3 .19) を 許 す に つ い て 、2つ の 射 影 作 用 素Pl,P2が 存 在 す る か ら(定 理3 。1)、 CSBI⊆CSB2.(3 .20) の と き 、 Pi≦P2.'・-・(3 .21) と 書 く こ と に し よ う 。2つ の 射 影 作 用 素Pl,P2に つ い て の 等 号 関 係=は 半 順 序 関 係 ≦ を 用 い て 、 Pl=P2(∀ ψ ∈ 夢,Plψ=P2∼o)(3 .22) ⇔p1≦P2〈P2≦Pl・(3 .23) と 分 解 で き る が 、 ⇔CSBI⊆CSB2〈CSB2⊆CSBI(3 .24) ⇔CSBI=CSB2 、(3.25) と言 う 具 合 に 、 こ の 射 影 作 用 素 の 値 域 と し て 表 現 さ れ る 部 分 空 間 が 同 一 で あ る こ と と 同 値 で あ る 。 次 の 定 理3.3は 、 射 影 作 用 素 の 集 合 上 に 導 入 可 能 な 半 順 序 関 係 の1つ が ≦ で あ る こ と を 指 摘 し て い る 。 [定 理3。3](射 影 作 用 素 の 集 合 上 の 半 順 序 関 係) .2項 関 係 ≦ に つ い て 、3性 質 (i)(反 射 律;renexivelaw)P≦;P(3.26) (ii)(反 対 称 律;antisy㎜e丗claw) P≦Qか つQ≦Pな ら ば 、P=Q.(3 。27) (iii)(推 移 律;tranSitiVelaw) P≦Qか つQ≦Rな ら ば 、P≦R.(3 .28) が 成 り立 ち 、 ≦ は 夢 か ら 夢 へ の の 射 影 作 用 素 の 集 合 上 の 半 順 序 関 係(pa鴬ialordering)で あ る 。 (証 明)定 理3。1を 随 時 、 適 用 す る 。 CSB(P)⊆CSB(P)か ら(i)の 成 立 は 明 ら か 。 CSB(P)⊆CSB(Q)〈CSB(Q)⊆CSB(P)か らCSB(P)=CSB(Q)が い え 、(ii)の 成 立 は 明 ら か 。 csB(P)⊆csB(Q)〈csB(Q)⊆csB(R)⇒csB(P)⊆csB(R)がv・ え 、(iii)の 成 立 は 明 ら か 。 □ 4式(3.22)∼(3.25)に 注 目 し よ う 。 次 の 定 理3.4は 、 射 影 作 用 素 の 集 合 上 に 導 入 可 能 な 同 値 関 係 (equivalenverelation)の1つ が2項 関 係=で あ る こ と を 指 摘 し て い る 。 [定 理3.4]一(射 影 作 用 素 の 集 合 上 の 同 値 関 係)2項 関 係=に つ い て 、3性 質 (i)(反 射 律;renexivelaw)P=P. (ii)(対 称 律;SymmetriClaw) P=Qな ら ば 、Q=P. (iii)(推 移 律;tranSitiVelaW) P=Qか つQ=Rな ら ば 、P=R. が 成 り立 ち 、 ≦ は 夢 か ら 夢 へ の の 射 影 作 用 素 の 集 合 上 の 同 値 関 係 で あ る 。 (証 明)明 ら か で あ る 。
(3.29)
(3.30)
(3.31)
□
4.統 計作 用 素Q(Tψ)に
基 づ く単 段 階 量 子 認 識
本 章 で は、 処 理 の 対 象 とす る問 題 の パ タ ー ン ψ を そ の対 応 す るパ タ ー ン モ デ ルTψ
へ と、
ψ→Tψ(単 段 階 パ タ ー ン変 換 過 程)1(4.1)
と変 換 す る だ け の 場 合 、 統 計 作 用 素Q(Tψ)を
用 い た 最 大 事 後 確 率 認 識 法 の1種 と して 、 量 子(力
学 原 理 を採 用 した)認 識 シス テ ム(量 子 認 識 系)で の部 分 空 間法[B3]が
あ る こ とが 説 明 さ れ る 。 第
i∈1番 目の カ テ ゴ リ ◎ に帰 属 す る パ タ ー ンが 帰 属 す る 閉 部 分 空 間(第i∈J番
目の カ テ ゴ リ(Σ、の 表
現 空 間)が あ る 射 影 作 用 素Piの 値 域Range(Pi)で
あ る と判 明 して い る場 合 、 量 子 認 識 系 で は、 パ タ
ー ン モ デ ルTψ
の
、 第i∈J番 目の カ テ ゴ リ(動 へ の 帰 属 確 率prob{◎/rψ}が
射 影作 用 素Piと 統 計
作 用 素Q(Tψ)と
の積pi・Q(Tψ)の
シュ プ ー ル(ヒ ルベ ル ト空 間 夢 で の 位 相 不 変 量)Spur[P、・Q(Tψ)]
で あ る と設 定 す れ ば都 合 が よ い こ とが 指 摘 され る。
4.1最 大 事 後 確 率 認 識 法 の 一 種 と して の 部 分 空 間 法 に 基 づ く認 識 は原 理 的 に は 、 量 子 認 識 に な り 得 る axiom1を 満 た す パ タ ー ン 集 合 Φ と 、 モ デ ル 構 成 作 用 素Tと の 対[Φ ,T]を 導 入 す る(定 理2.1)。 処 理 の 対 象 と す る 問 題 の パ タ ー ン ψ の 集 合 Φ は 夢 の あ る 部 分 集 合 で あ り、 式(2.6)の 如 く表 さ れ て い るQ 同 一 知 覚 原 理 を 満 た す モ デ ルTψ が 確 保 さ れ た 条 件 の 下 で 、 確 率 条 件 ∀ ψ ∈ Φ,[∀i∈J,0≦prob{(Σ π ψ}≦1](4 .2) 〈[ .Σ1)rob{(芭 ノT(;ρ}=lI∈」](4.3) を 満 た す"第i∈J番 目 の カ テ ゴ リ ◎ が 出 現 す る 条 件 つ き 確 率 分 布" prob{(芭i!r∼o},i∈J(4.4) を 計 算 し た 後 、 prob{(Σi/rψ},i∈ 」 の 内 、 最 大 値 を 与 え る 最 も 若 い カ テ ゴ リ番 号 j=argmaxi∈Jprob{(ΣiITψ}∈J(4.5) を 見 つ け 、 ￠)belongstothejthcategory(Σj(4.6) と 、 処 理 の 対 象 と す る 問 題 の 原 パ タ ー ン ψ を 認 識 す る 方 法 が 最 大 事 後 確 率(に よ る)認 識 法 で あ る 。 最 大 事 後 確 率 認 識 法 は 平 均 正 解 率 を 最 大 な ら しめ る 方 略 で あ る こ と が 知 ら れ て い る 。 こ の と き 、 第i∈J番 目 の カ テ ゴ リ ◎ が 確 保 さ れ た 条 件 の 下 で 、 確 率 条 件∀i∈J,[∀gク ∈ Φ,0≦prob{T(多)/(Sli}≦1](4.7) 〈[Σprob{T9:)/(葦i}=1](4.8) ゼ を 満 た す よ う な"モ デ ルTq∈ Φ が 出 現 す る 条 件 つ き 確 率 分 布" prob{Tψ/(芭i},i∈J(4.9) と 、 確 率 条 件 [∀ ψ ∈ Φ,∀i∈J,0≦prob{(ISIi,Tψ}≦1]』(4.10) 〈[Σ Σprobl(芭i,Tψ}『==1](4.11) i∈J ψ ∈ Φ を 満 た す よ う な"(is]iとTqと が 同 時 に 出 現 す る 同 時 確 率 分 布" prob{(Svi,Tψ1,i∈J,Tq∈ Φ=R++・(ΦBUT・ ΦB)(4.12) と を 導 入 す れ ば 、 ベ イ ズ の 定 理 を 適 用 し て 、 probl(Σ,1Tgp} =prob{(葦i ,TSP}/prob{Tq} ∵ 条 件 付 確 率 の 定 義(4 .13) =prob{(is]i}・probIT(;ρ1(S vi} 1Σprob{(Svk}・prob{T(;ρ/(芭k},i∈J(4.14) と 分 解 で き 、 確 率 条 件 [∀i∈J,0≦P・ ・b{(S]、≦1]'(4.15) 〈[Σprob{(Eli}=1](4.16) じ を 満 た す よ う な 、 カ テ ゴ リ 集 合 旦 ≡{(Σili∈ 」}(4.17) の 事 前 出 現 確 率 分 布 probl(芭i},i∈J(4.18) は 、 条 件 付 き事 後 確 率 分 布 prob{(Sli/Tq},i∈ 」(4.20) へ と 、 prob{(iS]il→prob{(Σ,/Tψ},i∈J(4.21) と い う 具 合 に 、 認 識 シ ス テ ム(recognizier)が 、 処 理 の 対 象 と す る 問 題 の パ タ ー ン 集 合 ψ ∈ Φ に 対 応 し て 、 そ の パ タ ー ン モ デ ルTq∈ Φ ・・R++・(ΦBUT・ ΦB)(∵ 式(2.7))を 確 保 す る 事 態 に 伴 い 変 化 し て い る こ と に 注 意 す る 。 各 条 件 付 き事 後 確 率prob{Gi/'Tq}(i∈J)をTgPが 或 る 部 分 空 間 に 帰 属 す る 程 度 を も っ て 構 成 す る の が 部 分 空 間 法 に 基 づ くパ タ ー ン 認 識 法 で あ る 。 Schwarzの 不 等 式 ∀ ∼iiP∈夢,∀ η∈ ξ),1(∼ ρ,η)1≦llgll・ll711(4.22) こ こ に 、 等 号=は 、 llψll・llη 既=0幽(4.23) 〉[ヨa∈Z(複 素 数 全 体 の 集 合)一{O},q==a・ η]・(4.24) の と き に 限 る を 適 用 し て 得 ら れ る1よ り大 き く な い 非 負 量
(0≦)[(ψll(多)II『1,η1ηll-1)12(≦1)(425)
は 、 ψ ∈ 夢 が η∈ 夢 の状 態 に部 分 的 にあ る こ との確 率 で あ る(4.26)
と い う確 率 論 的物 理 解 釈 を採 用 して 、物 理 量 に対 応 す る 自 己共 役 作 用 素Hの
固有 値 に属 す る 固 有
部 分 空 間 にそ の物 理 状 態 に対 応 す る波 動 関 数 が 帰 属 す る確 率 を構 成 す る(こ の 確 率 が 量 子 力 学 にお
い て"そ の 物 理 量 が 観 測 さ れ る確 率"で
あ る)。 よ っ て 、
式(4.26)の 確 率 論 的 物 理 解 釈 を採 用 し、 式(4.4)の
各 事 後 確 率 分 布prob{(∫ilTψ}(i∈J)を
構 成 して
得 られ る部 分 空 間 法 を採 用 して い る認 識 系(4.27)
は量 子(力 学 原 理 を採 用 した)認 識 系(quant㎜recognizier)の
一種 で あ る 。
4.2完 全 正 規 直 交 系{Ψk,}k∈Lを 用 い た 正 値 自 己 共 役 作 用 素 と し て の 統 計 作 用 素Q(ψ) 線 形 作 用 素Aの 定 義 域 Domain(A)≡{∼ ρ ∈ 夢 目lAψll<∞}(4.28) を 導 入 す る 。 線 形 作 用 素Aは 、 [Domain(A)にDomain(A)の 点 列 の 集 積 点 を す べ て つ け 加 え て 得 ら れ る 閉 集 合]=夢(4.29) と 、 対 称 条 件 ∀ ψ ∈Dolnain(A),∀ η∈Domain(A), (Aep,η)=((iip,Aη)≧0 を 満 た す と き 、 自 己 共 役 作 用 素(self・a(ljointoperator)で あ る と い わ れ る 。 処 理 の 対 象 とす る 問 題 の パ タ ー ン ψ ∈ Φ に 依 存 し た 自 己 共 役 な 線 形 作 用 素 Q(ψ)=Σqk(ψ)・Rk し を 考 え る 。 こ こ に 、 各Rk(k∈K)は 射 影 作 用 素 で あ る 。 線 形 作 用 素Aは 、 非 負 条 件 ∀ ψ ∈Domain(A),(Aψ,ψ)≧0 を 満 た す と き 、 正 値 作 用 素(positiveoperator)で あ る と い わ れ る 。(4.30)
(4.31)
(4.32)
各qk(ψ)(k∈K)は 変 数 ψ ∈ Φ の 非 負 実 数 値 関 数 で あ る と 設 定 す る 。各Rk(k∈K)に つ い て 正 値 性 ∀ ψ ∈ 夢,(Rkψ,ψ) =(Rk・Rkψ ,ψ)∵ 式(3.4) =(Rkψ ,Rkψ)∵ 式(3.5) =IIRk《;ρII2≧0(4 .33) が 成 立 し て い る の で 、 ∀ η∈ ξ),(Q(ψ)η,η) 一 、書、q・(ψ)・(R・ η・ η)≧0(4・34) が い え 、 任 意 の パ タ ー ン ψ ∈ Φ に つ い て 、Q(ψ)は 自 己 共 役 な 正 値 作 用 素 で あ る 。 パ タLン ψ ∈ Φ は 式(4.31)の 正 値 自 己 共 役 作 用 素Q(ψ)に 対 応 す る も の と す る 。 各qk(ψ)(k ∈K)に つ い て 、 確 率 条 件 ∀{ア ∈ Φ,[∀k∈L,0≦qk(ψ)≦1](4.35) 〈 Σqk(ψ)∈{0,1}(4.36) k∈Lを 満 た し て い れ ば 、,式(4.31)の 正 値 自 己 共 役 作 用 素Q(ψ)は 、 ノ イ マ ン の い う 統 計 作 用 素[A5] (statisticaloperator)の1種:で あ る 。 本 章 で は 、 射 影 作 用 素Rkは Rkq=(9,ψk)・ ψkfbranyq)∈ 夢 と 定 義 さ れ る も の を 採 用 す る 。 ψk,k∈Lは 選 ば れ 固 定 さ れ た 完 全 正 規 直 交 系 で あ る 。 式(4.31)のQ(ψ)は 処 理 の 対 象 と す る 問 題 の パ タ ー ン(の フ ー エ 式 展 開) 9=ΣRkq し に 対 応 し た 正 値 自 己 共 役 作 用 素 に よ る 表 現 で あ る 。 llψll2=(q,ψ) =(ΣRkq ,ψ)∵ 式(4.38) し =Σ(Rkψ ,φ) し =Σ1(q ,ψk)「2∵ 式(4.37) し も 成 立 し て い る 。 本 研 究 で は 、2式(4。35),(4.36)を 満 た す よ う に 、 qkゆ) ≡(Rkψllψil-1,ψllqll-1) =[@1ψ11-1 ,ψk)12∵ 式(4.37) 、(ψ,ψk)12/ ,E、1@・ ψ ・)12 ∵ 式(4.39) 1(∼P,ψk)12/Σ1((;P,ψ ∂12ifq≠0 2∈L Oif∼p=0 と 設 定 す る 。 こ こ に 、 式(4.37)か ら 、 ①(Rkq,ψ)、(ψ,ψk)12 ②Rkψe=:(ψ4,ψk)・ ψk= ψkifk=4 0ifk≠4 =δek● ψk が 成 立 し て い る こ と が わ か る 。
(4.37)
(4.38)
(4.39)
(4.40)
(4.41)
(4.42)
(4.43)
(4.44)
(4.45)
4.3パ
タ ー ン モデ ルTψ
に対 応 す る統 計 作 用 素Q(Tψ)
モ デ ルTψ
は 同∵ 知 覚 原 理 を満 た す と想 定 して い る か ら、 式(4 .31)の 統 計 作 用 素Q(ψ)は
モ デ ル
Tψ に 依 存 す る 統 計 作 用 素 Q(Tψ)一 、書、q・(Tψ)・R・(4.46) に 置 き 換 え ら れ1(も よ い ・ こ の と き 、 式(4.4)の 条 件 付 き カ テ ゴ リ 出 現 確 率prob{(Σi/Tψ}は prob{(Σi1T(;ρ} = 、書。q・(Tψ)・(P・ψ・・ψ・)(4.47) = 、暑、q・(Tψ)・P・・b{⑤ ・/ψ・}(姻 で 与 え ら れ て よ い こ と を 以 下 に 、 説 明 す る 。線 形 作 用 素Aの 値 域
Rang・(A)≡ ゆ ∈ 釧 ヨ η ∈D・m・in(A),ψ 一Aη}
を 導 入 す る 。 さ て 、 射 影 作 用 素 鳥 の 系 Pj,j∈J を 用 意 し 、 第j∈J・ 番 目 の カ テ ゴ リ(Σjに 帰 属 す る パ タ ー ン ψ ∈ 夢 は ∼ρ ∈ Φ ∩Range(Pi) を 満 た す と約 束 す る 。 こ こ に 、1を 恒 等 作 用 素 とす る と 、1一 鳥 は 射 影 作 用 素 で あ り、 ∀j∈J,∀ ψ ∈ 夢, ll即ll2+ll(1-Pj)ψll2=IIψll2 11即ll2≦1[ψll2 を 満 た し 、 Domain(Pj)=夢 で あ り 、 各 射 影 作 用 素 島 の 値 域Range(B)は R・ng・(Pj)一 ゆ ∈ 釧 ヨ η ◎,ψ 一 鶏 η} と 表 さ れ る こ と に 注 意 し て お く 。 各 値 域Range(Pj)の 直 交 性 j≠k⇒ ∀ ψ ∈R・ng・(Pj),∀ η∈R・ng・(P・),ψ ⊥ η Thatistosay,Range(Pj)⊥Range(Pk) も 要 求 さ れ な い し 、 非 交 差 性 j≠k⇒ Range(Pj)∩Range(pk)={0}(j≠k) は 要 求 さ れ な い 。 つ ま り、 各 射 影 作 用 素 ヒ の 直 交 性 Pl・Pk=o(j≠k) で あ る 必 要 は な い が(定 理3.2)、 完 全 性 」茗Pi=1(恒 等 作 用 素)
で あ る こ と は必 ず 、 要 請 され る。
(4.49)
(4.50)
(4.51)
(4.52)
(4.53)
(454)
(4.55)
(456)
(4.57)
(4.58)
(4.59)
4.4統 計 作 用 素Q(Tψ)に よ る 量 子 認 識 系 で の 、 パ タ ー ン モ デ ルTψ の 、 カ テ ゴ リ ◎iへ の 帰 属 確 率prob{(Σi/Tψ}の 設 定 4.4.1位 相 不 変 量 と し て の シ ュ プ ー ル 線 形 作 用 素 の シ ュ プ ー ルSpur[A]は 、 Sp・・[A]≡ 、書、(Aψ ・・ψ・)(4.60) と 定 義 さ れ 、 選 ば れ て い る 完 全 正 規 直 交 系 ψk,k∈Lに 依 存 し な い こ と が 知 ら れ て い る[B1]。2つの 線 形 作 用 素A,Bに つ い て 、 積A・Bの シ ュ プ ー ルSpur[A・B]は そ の 順 序 に よ ら な い と い う可
換 性
Spur[A・B]=・Spur[B・A](4 .61)
が 成 り立 つ が[B1]、 よ っ て 、 任 意 の ユ ニ タ リ 作 用 素Uに つ い て 、
が 成 立 し 、Spur[A]は 座 標 変 換Uに 依 存 し な い と い う 意 味 で 、 夢 で の 位 相 不 変 量(topological invariants)で あ る 。 因 み に 、 線 形 作 用 素Aが ユ ニ タ リ作 用 素(unitaryoperator)と は 、 ノ ル ム 保 存 性 ∀ ψ ∈ 夢llA∼oll=II9)ll を 満 た す こ と を い い 、 線 形 な 座 標 変 換Aと は 、3条 件 (イ)(任 意 の 元 の ノ ル ム 保 存 性) ∀ ∼ρ∈ ξ)IIAψll=llψIl (ロ)(任 意 の2元 間 の 内 積 保 存 性) ∀ ∼o∈ξ),∀ η∈ 夢,(Aψ,Aη)=(ψ,η) (ハ 〉(任意 の2元 間 の 距 離 保 存 性) ∀ ψ ∈ ξ),∀ η∈ 夢,ilA(ψ 一 η)1=llψ 一 η1 を 満 た す こ と を い う。 つ ま り、 夢 を 線 形 作 用 素Aで 変 換 し て 得 ら れ る 集 合 A・ ξ)≡{η1η=A∼Ofbrany《 ア ∈ 夢}
(4.63)
(4.64)
(4.65)
(4.66>
(4.68)
と も と の 集 合 嶺 とが ヒ ル ベ ル ト空 間 同 士 と し て 位 相 的 同 型 に な る の は 、 線 形 作 用 素Aは ユ ニ タ リ作 用 素 に 限 る こ とが 知 ら れ て お り 、 夢 で の 座 標 変 換 と は 、 ユ ニ タ リ 作 用 素 に 限 る こ と に な る 。 4.4.2シ ュ プ ー ル に よ る"モ デ ルTqの 、 カ テ ゴ リ ◎ へ の 帰 属 確 率"prOb{(E]i/Tgp}の 設 定 同 一 知 覚 原 理 を 要 請 さ れ て い る パ タ ー ン モ デ ルTqが 第i∈J番 目 の カ テ ゴ リ ◎ に 帰 属 す る 式 (4.4)の 条 件 付 き確 率(モ デ ルTqの 、 カ テ ゴ リ(Σiへ の 帰 属 確 率)prob{(Σi/Tψ}を 、 式(4。50)の 第 i∈J番 目 の 射 影 作 用 素(カ テ ゴ リ 表 現 作 用 素)Piと 式(4.46)の 統 計 作 用 素Q(Tψ)と の 積 の シ ュ プ ー ル と し て 、 prob{(svi/Tgol≡Spur[pi・Q(Tq)]'(4.69) と定 義 す る 。 式(4.31)の 統 計 作 用 素Q(ψ)がQ(Tq)に 置 き 換 え ら れ て い る こ と に 注 意 す る 。 式(4.69)の カ テ ゴ リ 帰 属 確 率prob{(Σi/Tψ}を 表 現 し直 し て み よ う。 先 ず 、 ∀ 」∈J,∀k∈L,Spur[Pj・Rk] =濃 L(Pj・Rkψe・ ψ2)∵ 式(4・60) =庭 L(Pj・ δek・ψk・ψ4)∵ 式(4・45) =(Piψk ,ψk)(4.70) で あ る こ と に 注 意 し、 ∀q∈ Φ,∀i∈ 」,Spur[Pi・Q(Tq)] =Σqk(Tψ)・Spur[Pi・Rk] し ∵ 式(4.46) =Σqk(T∼iP)・(Piψk ,ψk)し
∵ 式(4.70)《4.71) が 得 ら れ 、 こ れ が 式(4.47)を 説 明 し て い る 。 明 ら か に 、 確 率 性 質 ∀ ∼ii)∈Φ,Σprob{(芭i1Tψ}∈{0,1}(4.72) ま が 成 立 し て い る こ と は 、 Σprob{(Svi/T9)} ヨ =ΣSpur[pi・Q(Tψ)]∵ 式(4 .69) i∈J=Σ Σqk(T(;P)・(Piψk ,ψk)・ i∈Jk∈L ∵ 式(4.71) =Σqk(Tq,)・(ΣPiψk ,ψk) し オ =Σqk(Tψ)・(ψk ,ψk)∵ 式(4.59) し =Σqk(T(iρ) し ∈{0,1}∵ 式(4.36)(4 .73) と わ か る 。 こ こ に 、 最 後 の ∈IO,1}は 式(2.7)を 考 慮 す れ ば 、 式(4.36)が 成 立 す る こ と か ら 成 立 し て い る 。 こ こ で 、 完 全 正 規 直 交 系 ψk,k∈Lの 各 元 ψkが 第i∈J番 目 の カ テ ゴ リ(E],に 帰 属 し て い る 確 率 prob{(Σi1ψk}を prob{(Svi/sbk} ≡Spur[Pi・Rk] =(Piψk ,ψk)∵ 式(4.70)(4.74) と 定 義 す れ ば よ い 。 よ っ て 、 確 率 性 質 、i、P・・b{G・/ψ ・} = ,書J(Piψk・ ψk)∵ 式(4・74) =( 、P、P・sb・・ ψ ・) =(ψk ,ψk)式(4.59) =1 .. .、(4.75) が 成 立 し て い る こ と が わ か る 。 結 局 、 式(4.74)を 式(4.71)に 代 入 し た も の が 式(4.48)で あ る 。
4.5部
分 空 間 法 に よ る 量 子 認 識 の働 き に お け る 、 カ テ ゴ リ表 現 作 用 素Plの 設 定 法
各 カ テ ゴ リ を表 現 す る式(4.50)の 各 射 影作 用 素Piは:ヵ テ ゴ リ表 現 作 用 素 と も呼 ば れ るが 、 この
Bを 完 全 条 件 式(4.59)を 満 た す よ うに 、 ど う設 定 す るか?を
考 え よ う。
4.5.1多
重 パ タ ー ン設 定 法
多 重 パ タ ー ン 設 定 法 を説 明 しよ う 。
カ テ ゴ リ番 号 集合 」が
J={1,2,…,m}(4.76)
の 場 合 、 内 積(,)と ノ ル ム 旧1を
持 つ ヒル ベ ル ト空 間
夢 ノ
=夢
一
{ψ ∈ 夢1(ψ ・ ψ)=Of-yψ ∈ 、冒、Ψ ・}(477) で 考 え 、 各 射 影 作 用 素B(j∈J)を 鶤 η=識(η
・ψ)●ψ 飴・跚yη
∈ 夢ノ
・
j∈{1,2,…,m}(4.78) と 選 ぶ こ と で あ る 。 互 い に 正 規 直 交 す る パ タ ー ン か ら成 る パ タ ー ン 集 合 Ψ 」は 次 の よ う に 決 定 さ れ る 。先 ず 、 第j∈J番 目 の カ テ ゴ リ(Σjに 帰 属 す る パ タ ー ン ηj,k(k=1,2,…,n(j))の 集 合 Φj≡1Iqj .i,(;Oj.2,…,qj.n(j)}(n(j)≧1) を 用 意 す る 。 但 し 、 パ タ ー ン モ デ ル 系 TgPj,k,k=1,2,…,n(j) は1次 独 立 で あ る と 選 ば れ て い な け れ ば な ら な い 。 グ ラ ム ・シ ュ ミ ッ ト の 直 交 化 法 を 適 用 し て 、 (一)ψj∫ ≡TgPj.1,sbj.i≡ ψj.1'/11ψj.1/ll (二)sbj.k+1ノ rTψ ・・k+1一,≧1(Tq・ ・k+1・ψ ・,∂・ψ・.e ψj.k+1≡ ψj・+1711ψj。+1/H, k=1,2,…,n(j)一1 を 求 め れ ば 、 正 規 直 交 性 (ψj.k,ψj.∂= 1ifk=4 0ifk≠4 が 成 立 す る こ と が 証 明 さ れ る 。 こ の と き 、 集 合 Ψjは Ψj≡{ψj .1,ψj.2,…,sbj.n(j)} と 決 定 す る 。 多 重 パ タ ー ン 法 と 称 さ れ る 設 定 法 の 正 当 性 は 次 の 定 理4.1で 保 証 さ れ る 。
[定 理4.1](互
い に直 交 して い る とは 限 ら な い 各 射 影 作 用 素 の 系Pj,1∈Jの
構 成 定 理)
(4.79)
(4.80)
(4.81)
(4.82)
(4.83)
(4.84)
ヒ ル ベ ル ト空 間 創 で は 、 式(4.78)の 各 葛(j∈J)は 射 影 作 用 素 で あ り、 式(4.59)の 完 全 性 が 成 立 す る 。 (証 明)ヒ ル ベ ル ト空 間 夢 ノ・は 夢 ノ、
、
暑,識
搦(ψ)●幽(ψ)1姙
意 の糠
定 数}(4・85)
で あ る か ら 、 明 ら か に 、 式(4.59)の 完 全 性 が 成 立 す る こ と が わ か る 。 j∈{1,2,…,m}と す る 。 [協 ηll2=(Pjη,Pjη) = ,多 。、 識 、(η ・ ψ)'(η ・ψ')'(ψ ・ ψノ) ∵ 式(4,78) = 、≧。、i(η ・ ψ)i2∵ 式(4・83) ≦ilηII2<oofbranyη ∈ 夢(4.86) を 得 、 各 鳥(j∈J)は 有 界 で あ る 。 各 葛(j∈J)が 線 形 な こ と は 明 ら か で あ る 。 (Pjψ,η) 式(4.78) = ,§ 鵬(ψ ・ ψ)●(ψ ・ η)・ = ,§ Ψ、(ψ ・ ψ ●(ψ ・ η)) = ,Σ 。、ゆ ・(η ・ ψ)● ψ) =ゆ ,璃 η)f・ ・anyψ,η ∈ 夢 を 得 、 対 称 性 が 示 さ れ た 。 最 後 に 、(4.87)
葛 ●Piη
=織
噪
繍)●
ψ
・ψノ).ψ
ノ
= ,義 ψ多。、(η 切'(ψ ・ ψ ノ)●ψ ノ = ψ≧黔(η ・ ψ)● ψ ∵ 式(4・83) =Piηforanyη ∈ 夢 を 得 、 羃 等 性 が 示 さ れ た 。 尚 、 式(4.79)の パ タ ー ン 集 合 Φjに つ い て は 、 ∀j∈ 」,(;ρj.1=ωj と条 件 付 け る の が よ い 。 (4.88) □(4.89)
5.統
計 作 用 素Q(ψ)の
、 類 似 度 関 数SMFに
よ る 一 般 化
本 章 で は 、 先 ず 、axiom2を 満 た す 類 似 度 関 数SMFと 、axiom2!を 満 た す 類 似 度 関 数SMFを 用 い て 、 第2章 の 統 計 作 用 素Q[Tψ;肱}。 一1一..]を 一 般 化 す る 。 得 ら れ た 統 計 作 用 素R[Tψ;{ψ 。}。一 1一・・]はQ[Tψ;{(;ρn}n=1∼ 。。]の 基 本 的2性 質(T一 不 変 性,素 想 起 性)を 保 持 し て い る(2定 理5.1,52)。 5.1axiom2を 満 た す 類 似 度 関 数SM axiom2を 満 た す 類 似 度 関 数SMを 説 明 し よ う 。"正 常 な パ タ ー ン"(well -fo㎜edpa伽m)1ま 、 あ る1つ の カ テ ゴ リ(category)◎j(第j∈J番 目 の 類
概 念)の み に 帰 属 し て い る も の と し 、 こ の よ う な ◎ の 集 ま り(有 限 集 合) 旦 ≡{(Σ 」lj∈J}馳(5.1> を想 定 す る 。 ◎jの 備 え て い る 性 質 を 典 型 的 に 備 え て い る 代 表 パ タ ー ン(proto{ypicalpa鵬m)ωj(≠0) を1つ 選 定 す る 。(Σjは 、典 型(proto卿e)と し て の 代 表 パ タ ー ン ωjを 中 心 と し た 緩 や か な カ テ ゴ リ で あ る こ と を 仮 定 し た こ と に 注 意 し て お く。 こ こ に 、 Ω ≡、 ω」lj∈ 」}⊂ Φ が 式(5.1)の 全 カ テ ゴ リ 集 合 旦 に 対 応 す る 代 表 パ タ ー ン の 集 合 で あ る 。 式(5.2)の 系 Ω は 、 複 素 定 数 角 の 組{副j∈J}に つ い て j:§J馬'ωjニ0⇒ ∀j∈J・a」=0 が 成 立 し て い る とい う意 味 で 、 壌次 独 立(1inearlyindependent)で な け れ ば な ら な い 。
(5.2)
(5.3)
axiom1を 満 た す 式(2.5)の モ デ ル 構 成 作 用 素Tに よ っ て 、 式(5.2)の 代 表 パ タ ー ン 集 合 Ω が 変 換 さ れ て 得 ら れ る 系 T・ Ω …≡{Tω1ω ∈ Ω}={Tωjlj∈J} .(5.4) も1次 独 立 で あ る と 要 請 す る 。 こ の と き 、 類 似 度 関 数(simil毋ity-lneasurefunction) SM:Φ × Ω →{sIO≦s≦1}(5.5) を 導 入 し、 SM(ψ,ωj)=1,0に 従 っ て 、 パ タ ー ン ψ ∈ Φ は 各 々 、 ωjと確 定 的 な 類 似 関 係 、 相 違 関 係 に あ り、ま た 、0<SM(ψ,ωj)<1の 場 合 は 、 曖 昧 な 類 似 ・ 相 違 関 係 に あ る と 、SMを 解 釈 し よ う 。 関 数SMは 次 のaxiom2を 満 た す よ う に 構 成 さ れ ね ば な ら な い 。 Axiom2(類 似 度 関 数SMの 満 た す べ き 公 理) (i)(規 格 化 直 交 性;orthono㎜ality) ∀i,∀j∈J,SM(ωi,ωj)=δo. こ こ に 、 賑 はKronecker(ク ロ ネ ッ カ ー)の デ ル タ記 号 で あ っ て 、 δ」k≡1ifj=k,≡Oifj≠k. (ii)(規 格 化 条 件,正 規 性;probabilitycondition,no㎜ality) ∀ ψ ∈ Φ ・ 、書、SM(ψ ・ω・)=1・ (iii)(写 像Tの 下 で の 不 変 性;invariance㎜dermappingT) ∀ ψ ∈ Φ,∀j∈ 」,SM(Tψ,ωj)=SMゆ,ωj). 第j∈J番 目 の カ テ ゴ リ(Σjの 出 現 確 率p((Σj)を 導 入 し て お くg確 率 性 質 [∀j∈ 恥0<P(◎ ・)<1]〈[、 書、P(◎ ・)、] を 満 た し て い な け れ ば な ら な い 。
(5.6)
囗
(5.7)
5.2axiom2'を 満 た す 類 似 度 関 数SMF axiom2ノ を 満 た す 類 似 度 関 数SMFを 説 明 し よ う 。 先 ず 、axiom2ノ は 次 の 通 り で あ る 。 Axiom2ノ(類 似 度 関 数SMFの 満 た す べ き 公 理) (i)(規 格 化 直 交 性;orthonormality) ∀i,∀j∈{1,2,…},SMF(ψi,qj)=δij. (ii)(規 格 化 条 件,正 規 性;probabilitycondition,normality)∀ ψ ∈ Φ,ΣSMF(ψ,ψn)=1. ロコユ (iii)(写 像Tの 下 で の 不 変 性;invarianceundermappingT) ∀ ∼it'∈Φ,∀j∈{1,2,…}, SMF(Tq,∼p、)=SMF(ψ,ψ,).□ さ て 、Gram-Schmidtの 直 交 化 法 ①qiノ=Tω1, ψi=qi'/11qi'll(5.8) ②qj'=Tωj-jsi(Tωj,qi)・
ニ
ψi 9pj=qj'/Ilqj「ll,j∈{2,3,4,…,IJI}=J-11}『(5.g) を 適 用 す る と 、 ゆj}j∈Jは 正 規 直 交 系 で あ る 。 正 規 直 交 系{qρj}j.Jを 部 分 系 と し て 含 む 、 夢 で の 完 全 正 規 直 交 系{q。}h-1一 ∞(⊇iqj}j。 」)を構 成 す る 。 次 のaxiom2ノ を 満 た す 類 似 度 関 数 SMF:Φ ×Iq、}。 一1_。。→{slO≦s≦1}(5.10) を 構 成 す る 。 例 え ば 、axiom2ノ を 満 た す 類 似 度 関 数SMFと し て 、 基 本 的 に はs次 の3種 類[構 成 例1]∼[構 成
例3]が あ る: [構 成 例1](逆 自 乗 ノ ル ム 距 離 に よ る 構 成) Tq-Tq.間 の ノ ル ム 距 離lT∼ ρ一Tψ 、1を 用 い て 、 SMF(∼ ρ,∼o。)
;・llT(;P-TgPnll-21ΣllTgP-Tq.ll-2 .(5.11) ニ [構 成 例2](包 含 情 報 量 に よ る 構 成) パ タ ー ン モ デ ルTqに 含 ま れ る パ タ ー ン モ デ ルTq、 の 程 度 を 情 報 量(包 含 情 報 量)と し て 表 した 非 負 量 1(TgP,qn) ≡≡一(112)・loge[1-1(TqliTqIl,T(;ρnl1TψnIDI2](5.12) と 、 そ の 総 和 が1に な る 正 実 数 qn= p((Svn)・[1-lJl、]…n∈Jの
場 合 Σ2}m…nSJの 場 合(5.13)lJl-1・2-n! m=lJl+1 と を 導 入 し て 、 SMF(ψ,(iρn)=
に
讐:蹴 絡 蹴
m=1園
[構 成 例3](1次
従 属 係 数 に よ る構 成)
パ タ ー ン モ デ ルTqを パ タ ー ンモ デ ルTq、,n∈{1,2,…}の1次 結 合 Σd、 ・Tψ、で 近 似 す る と き の n==1 誤 差TgP一 Σd、 ・Tq.の 自 乗 ノ ル ムn=l OQ
llTψ 一 Σdn・TgP.ll2』(5.15) コ を 最 小 に し、{Tq。}。 一1一。。へ の1次 従 属 性 の 程 度 を 表 す1次 結 合 係 数(1次 従 属 係 数)d.は 、 連 立1次 方 程 式Σ(T∼iPm,TgPn)・dm=(Tψ,TgDn),
の
コ
n∈{1,2,…}(5.16) を 解 い て 得 ら れ る 。 得 ら れ た 各d.はd、(ψ)と 表 さ れ る 。 第n∈{1,2,…}番 目 の1次 従 属 係 数 d.(q)の 絶 対 値 の 自 乗ld.(ψ)12は 、TqがTq。 と1次 従 属 の 関 係 に あ る 程 度 の 弾 さ を 表 しそ い る か ら 、 SMF(∼ ρ,∼o。)=
idn(ψ)12/Σldm(ψ)12
{謹
m=1飄:二 蹴.・
働
□
5.3axiom2'を 満 た す 類 似 度 関 数SMFに よ る 統 計 作 用 素R[Tψ;{ψ,}.一1∼ 。。]の 構 成 作 用 素R[Tψ;ゆ 。}。_1一。。]の構 造 をR[ψ;∼ ρnド1∼ 。。]
≡ ΣSMF(ψ,(iz)。)・P[ψ 、] .(5.18) ニ と 定 義 す る 。 こ こ に 、 各P[∼ ρ。]は ∀η ∈ 夢,∀n∈{1,2,3,…}, P[qn]η ≡(η,qn)・ ψn(5.19) と定 義 さ れ る 射 影 作 用 素 で あ る 。 こ の 式(5.18)のR[q;{q。}。 一1一。。]は 、axiom2ノ の(ii)よ り、2式(4 .35),(4.36)を 満 た す と い う 意 味 で 、 各 射 影 作 用 素Rkが 式(4.37)で 与 え ら れ る 場 合 の 統 計 作 用 素 と 呼 ば れ る 式(4.31)のQ(ψ) の1種 の 一 般 化 で あ る 。 部 分 系{ψ 。}。∈Jは 記 憶 内 容 の 主 要 な 成 分 で あ る 。 次 の 定 理5.1は 、 想 起 作 用 素R[ψ;lqn}。 、 一。。]のq一 構 造 が 式(2.5)の モ デ ル 構 成 作 用 素Tの 下 で 不 変 で あ る こ と を 指 摘 して い る 。 [定 理5.1](想 起"T一 不 変"定 理) ∀ ψ ∈ Φ, R[Tψ;{qn}n=1∼ 。。]=R[￠);{qn}n_卜 。。].(5 .20) (証 明)式(5.10)のSMFがaxiom2ノ を 満 た す こ と よ り明 ら か 。 □ 確 定 的 に 存 在 し た 記 憶 内 容 の 内 の 第n∈{1,2,…}番 目 の ψ、は 、Tqが 入 力 さ れ る と 、 確 率 SMF(Tq,g。)で 存 在 す る 存 在 に な る と考 え て 、R[Tq;ゆn}。 一1一。。]η は 、 完 全 正 規 直 交 系 と し て の 記 憶 内 容 {9Z7n}n-1∼QQ(5.22)
に 対 す るprObeと し て のkeypattemη ∈ 夢 を 入 力 し て 、 確 率SMF(Tq,〈ii,。)で 存 在 す る 各 記 憶 内 容
q。 か ら呼 び 出 さ れ た 各 内 容P[q。]η の 凸1次 結 合 か ら成 っ て い る 。 こ の と き 、 次 の 定 理5.2が 成 立 し、 各 記 憶 パ タ ー ン(こ れ 以 上 分 解 で き な い と い う 意 味 で 、 極 小 と い わ れ て も よ い 素 記 憶 内 容)艦 は パ タ ー ン(iPk=ψmがkeypattemと し て 、 入 力 さ れ る と.き正 確 に 想 起 さ れ る こ と(素 想 起 特 性)に な る 。 [定 理5.2](素 想 起 定 理) ∀ η∈ Φ,∀m∈{1,2,…}, R[ψ 。;{q。}。 一1一・・]η =P[∼ ρm]η(5.23) =〒(η,ψm)'(iPm(5.24) が 成 立 し 、『よ っ て 、 特 に 、 R[ψm;ゆn}n、 ∼。。]ψk ψkifk=m Oifk≠m(5.25) (証 明)SMF(qm,{iZ)。)=δmn∵axiom2ノ を 式(5.18)に 代 入 しす れ ば 、 式(5.23)が 得 られ る 。 式(5.24)は ノ ル ム 規 格 化 性(正 規 性)llψml=1をP[q.]の 定 義 式(5.19)に 考 慮 す れ ば 明 ら か で あ る 。 式(5.25)は 、 式(5.24)に お い て 、 正 規 直 交 性 (9冫k,∼iρn)=δ㎞,・(5.26) を 考 慮 す れ ば 明 ら か で あ る 。 ・ □
α 想 起 に基 づ く或 る心 理 状 態 で の パ タ ー ン情 報 検 索
あ る2複 素 定 数a,bと 、 あ る ヒ ル ベ ル ト空 間 夢 の あ る2元 ψ,ηが 存 在 し て 、 A(・ ・ψ+b・ η)≠ ・・Aψ+b・Aη .ゴ(6.1) が 成 立 す る と き 、 作 用 素 A:夢 → 命(6 .2) は 非 線 形 で あ る と い う 。 本 章 で は 、"過 去 に 蓄 え ら れ た 記 憶 の 中 か ら 、 入 力 さ れ た パ タ ー ン に 似 て い る パ タ ー ン を あ る 心 理 状 態 で 呼 び 出 す パ タ ー ン 情 報 検 索"に 用 い る こ と の で き る 簡 単 な 非 線 形 な パ タ ー ン想 起 作 用 素 を 統 計 作 用 素 と し て 構 成 し 、 そ の 諸 性 質 を 検 討 す る 。 6.1パ タ ー ン情 報 検 索 内容 と 、 パ タ ー ン 情 報 検 索 確 率(1つ の 射 影 作 用 素 を 想 起 に用 い る 記 憶 内 容 の 場 合) 情 報 検 索(info㎜ationretrieval)と は 、 手 か が り(keyinfomlation,probe)を 基 に 問 題 を 解 決 す る の に 必 要 な 知 識 を そ れ ま で に 蓄 積 し た 知 識 の 集 合 体 の 中 か ら 見 つ け 出 す こ と で あ る 。 手 が か り と し て パ タ ー ン が 与 え ら れ た と き 、 あ る 心 理 状 態 で 該 当 す る パ タ ー ン を 思 い 出 す(想 起;recall)働 き で 情 報 検 索 の 働 き を構 成 し て み よ う 。 こ の パ タ ー ン 想 起 に 用 い ら れ る の が 統 計 作 用 素 で あ り 、 他 の 研 究 者 に よ る 従 来 の パ タ ー ン 想 起 と 決 定 的 に 異 な る の は 統 計 作 用 素 を 用 い た た め 、 情 報 検 索 シ ス テ ム に 心 理 状 態 を 設 定 で き る こ と で あ る 。 本 節 で は 、 パ タ ー ン モ デ ルTψ を 基 に 多 重 記 憶 内 容 か ら検 索 さ れ る パ タ ー ン 内 容 と 、 こ の パ タ ー ン 内 容 が 検 索 さ れ る 確 率 に つ い て 研 究 す る 。 処 理 の 対 象 と す る 問 題 の パ タ ー ン ψ ∈ Φ に つ い て Tψ ∈ Φ を 見 た り聞 い た りす る と、 ψ ∈ Φ と 同 じ よ う に 見 え た り 聞 こ え た りす る(6.3) よ う な パ タ ー ン モ デ ルTψ ∈ Φ を 単 一 記 憶 内 容 と考 え た 場 合 、 こ の パ タ ー ン モ デ ルTψ は 、 ∀ η∈ ξ),P[Tψ]η ≡(η ,T∼ ρllTψlr1)・T∼ ρIITψli-1.(6.4) =[(η ,Tψ)/(T(;ρ,T∼ ρ)]・Tψ(6.5) と 定 義 さ れ る 射 影 作 用 素P[Tψ]に 置 き換 え ら れ る 。 こ の よ う に 、 パ タ ー ン モ デ ルTψ ∈ Φ を 記 憶 内 容 と考 え た 場 合 、 心 理 状 態 η ∈ 夢 で 呼 び 出 さ れ る 内 容(パ タ ー ン 情 報 検 索 内 容)はP[Tψ]η で あ る と 、 解 釈 す る 。線 形 作 用 素Aと パ タ ー ン ψ の 規 定 す るS.Suzuldの 測 度 的 不 変 量(methcalinvariant)は 、 量 子 力 学
抹 態 ψ の 下 で の 恒 作 用 素Aの 量 子 力 学 的 期 待 値(A∼ ρ,∼o)/(ψ,ψ)で あ っ て[B5],[B6]、 式(4.60)
の シ ュ プ ー ルSpurを 用 い 、 (A∼ρ,ψ)!(ψ,ψ)=Spur[P[ψ]・A] forany∼o∈Domain(A)(6 .6) と 表 さ れ る こ と[B1]を 考 慮 し て 、P[Tψ]η が 呼 び 出 さ れ る 確 率(パ タ ー ン 情 報 検 索 確 率;想 起 確 率)prob{T9/η}を 、 prob{Tψ/η} ≡Spur[P[η]・P[T(;ρ]](6 .7) =(P[Tψ]η ,η)/(η,η)(6.8) と 定 義 す る 。P[Tψ]は 式(5.19)のP[ψ 。]と 同 様 に
P[ψ]η ≡(η,ψ ・llψll-1)・ ψ ・1ψil-1 =[(η ,∼ρ>1(ψ,ψ)]・9) foranyη ∈ 拿(6.9) と 定 義 さ れ る 射 影 作 用 素P[ψ]に お い て 、 ψ の 代 り に そ の モ デ ルTψ を 採 用 し た も の で あ る 。 想 起 確 率prob{T∼ ρ/η}は prob{Tψ!η} =(P[T∼ ρ]η1η1-1 ,ηllηll-1)(6.10) =1(η1ηlr1 ,T(Z)IT∼ ρ1i-1)12』(6.11) と も 表 さ れ る 。 式(6.11)に つ い て の 、 量 子 力 学(quantummechanics)[A4]∼[A6]に お け る 確 率 論 的 物 理 解 釈 は 、 つ ま り 1よ り 大 き く な い 非 負 量 1(ηllηll、,TψlT∼oIl、)12 は 状 態 η が 部 分 的 に パ タ ー ン モ デ ル 状 態Tψ に あ る こ と の 確 率 で あ る こ と が 式(4.26)か ら わ か る 。 6.2多 重 記 憶 内 容 と し て の 完 全 正 規 直 交 系 パ タ ー ン モ デ ル のn個 か ら 成 る 集 合 T(;ρk,k=1,2,…,n を 記 憶 す る と 考 え よ う 。 そ の た め に は 、Gram-Sc㎞idtの 直 交 化 法 ① ∼可;Tψ1, ψ1=ψ1/11ψ1'1 ② ψj・=ψ 」一 ∼1@j,ψi)・「1 ψi Lj∈{2,3,4,…,n} ψj=9j'/11ψj を 適 用 し 、 正 規 直 交 系{ψk}k-1-nに 直 し て お く 。 更 に 、2性 質 ①(正 規 直 交 性)(ψm,ψ 。)=δm、 ②(完 全 性) ∀n∈{1,2,…},(η,ψn)=・0⇒llηll==0 を 満 た し 、{ψk}k-1-nを 部 分 系 に 持 つ 完 全 正 規 直 交 系{ψn}。 一1一。。を 構 成 す る 。
(6.12)
(6.13)
(6.14)
(6.15)
(6.16)
(6.17)
(6.18)
6.3呼 び 出 す 確 率 を 係 数 に 持 つ 射 影 作 用 素 の1次 結 合(統 計 作 用 素)を 想 起 に 用 い る 記 憶 内 容 の 場 合 式(5.19)で 定 義 さ れ る 射 影 作 用 素P[ψ 。]の1次 結 合 と し て 、 ∀ η∈ 夢,Q[q;{qnl。==1∼ 。。]η= 。;1(P[T`77]qn・9P・)●?[q・]η 、(6・19) の 如 き 統 計 作 用 素(statisticaloperator) Q[ψ;{ψn}n_1∼ 。。]:・S→ ξ)(6.20) を 考 え よ う 。 確 定 的 に 存 在 し た 第n番 目 の 記 憶 内 容 ψ,は 、keypatternTψ が 入 力 さ れ る と 、 確 率 (呼 び 出 し 確 率;想 起 確 率) prob{Tq);《;Pn}
≡Spur[P[`iL)n]・P[Tψ]]・(6 。21) =(P[Tq]{iZ}。 ,ψ 。)∵ 式(6.6)(6.22) =1(ψ 。,Tψ)121(Tψ,T《p)(6.23)
=1(T(;ρ ,ψn)121Σ1(TgP,(iPm)12(6.24) の ロ で 存 在 す る こ と に な る と 想 定 し て み よ う σ こ こ に 、2式(6.17),(6.18)か ら Tq=Σ(Tq,9Pn)・gn(6 .25) ニ ∴(Tψ,Tq)=Σ1(Tq,ψn)i2(6 .26) コ が 成 立 し て い る こ と に 注 意 し て お く。 こ の 想 定 で は 、 キ ー パ タ ー ン モ デ ルTq∈ Φ を 入 力 し た 場 合 、 心 理 状 態 η ∈ 夢 で の 想 起 出 力(検 索 出 力)想 起 出 力Q[Tq;ゆ 。}。一1一・・]ηは 、 Q[Tq;1(iPn}n-1∼ 。。]η ◎o ≡ Σprob{Top;(;Pn}・P[ψn]η n=1 =Σ 【1(TgP ,ψn)121Σ1(T9冫,ψm)i21・ ニ のコユ (η,9,n)・(iL)n∵2式(6.24),(5.19) で あ る と 設 定 す る 。 確 率 で あ る た め の2性 質 ∀ ψ ∈ Φ,[∀n∈{1,2,…}0≦prOb{Tq;qn}≦1]
〈 Σprob{Tψ;《;Pn}=1 が 成 立 し て い る 。 勿 論 、 式(6.27)は 式(6.22)を 考 慮 す れ ば 、 式(6.19)と 一 致 し て い る 。 一 般 に、 ヒ ル ベ ル ト空 間 夢 の 部 分 集 合 ⑲ は η。∈ ⑲(n=・1,2,…)か つ Σ。P。=1な ら ば Σ 。P。・η。∈S を 満 足 す る と き 、 凸 集 合(convexset)で あ る と い わ れ る 。
(6.27)
(6.28)
(6.29)
(6.30)
(6.31)
従 っ て ・ 心 理 状 態 η ∈ 命 で の 検 索 出 力Q[Tψ;{∼ ρn}n_卜 。。]η は 、 式(6.21)の 各 呼 び 出 し確 率 prOb{Tψ;ψ 。}を係 数 とす る 各 記 憶 内 容 ψ。か ら 呼 び 出 さ れ た 式(5.19)の 各 内 容P[ψ 、]η の 凸(集 合 と し て の)1次 結 合 か ら成 っ て い る 。 6.4前 節 内 容 の 検 討 以 下 に 、 前 節 内 容 を 検 討 し よ う 。 2式(6.17),(6.18)を 満 た す 完 全 正 規 直 交 系lq。}。 一1一。。を 用 い て 、 パ タ ー ン モ デ ルTψ ∈ Φ ⊂ 夢 は 、 式(6.25)の 如 く 、 フ ー リ ェ 式 展 開(直 交 展 開)さ れ 、Tq,は 、 各 記 憶 内 容 ∼p、の 、(Tq,q)。)を 持 つ1次 結 合 か ら な っ て い る こ と が わ か る 。 式(6 .14)の 多 数 の パ タ ー ン モ デ ル を 正 規 直 交 化 し得 ら れ た 完 全 正 規 直 交 系{qk}k_1∼ 。。を 多 重 記 憶 内 容 と し て 採 用 し て い る 。 想 起 ・検 索 に 用 い ら れ て い る 式(6.19)の 統 計 作 用 素QEi1Q[ψ;ゆ 。}。一1一。。]につ い て は 、 ①(対 称 性)∀ ψ ∈ 夢,∀ ψ ∈ 夢, (Qψ,η) = ・芟,(P[Tgo]9P・ ・q'・)'(P[qn]ψ ・ η) 一 、9,(P[Tq]ψ ・・q・)・(ψ ・P[q・]η) =(ψ ,Qη)(6.32)②(正 値 性)∀ η ∈ 夢, (Qη,η)= 。≧1(P[Tq]ψ
・・ψ・)・(P[q・]η ・ η) = 。≧1(P[Tq]9・)・ ・q・)・1(η ・qn)P≧0,(6・33) を 満 た し 、 正 値 自 己 共 役 作 用 素 で あ り 、 呼 び 出 し 確 率prob{Tψ;ψ 。)を 係 数 に 持 つ 射 影 作 用 素 の 1次 結 合 で あ る 。 こ の と き 、 作 用 素 の 変 化' 2式(6.4),(6.5)の よ う に 定 義 さ れ る 統 計 作 用 素 P[Tq] → 式(6 .9)で 定 義 さ れ る 統 計 作 用 素 Q[ψ;∼Onn、 ∼。。]・(6.34) は ＼ 単 一 記 憶 内 容{Tψ}か ら 、 多 重 記 憶 内 容 ゆ 。}。==1一.。の 、Tqが 入 力 さ れ た こ と が 契 機 に な っ て 変 容 す る で あ ろ う 多 重 記 憶 内 容 へ の 移 り 変 わ り を 意 味 し て い る 。 5章 の2定 理5.1,5.2と 同 様 な2定 理6.1,6.2が 次 の よ う に 成 り 立 つ 。 [定 理6.1](心 理 状 態 に 依 存 し た 想 起"T一 不 変"定 理) ∀ η ∈ Φ,∀(ρ ∈ Φ, Q[Tq;{qn}n_1∼ 。。]=Q[ψ;{ψn}n_1∼ 。。].(6.35) (証 明)2.2節 のaxiom1,(iii)の 後 半 よ り 、 ∀ ψ ∈ Φ,P[T(T(iZP)]=P[Tψ]・(6.36) ∴ ∀n∈{1,2,…}, prob{T(Tψ);《;ρn}=prob{TgP;(ii)n}(6.37) が 成 り 立 ち 、Q[ψ;ゆ.}。 一1一。。]の 定 義 式(6.19)よ り 明 ら か 。 ,[コ
あ るe∈{1,2,…}が 存 在 し て η=qeで あ る よ う な η は 素 心 理 状 態(purepSychologicalstate)と い
い 、 そ れ 例 外 は 混 合 心 理 状 態(mixedpsychologicalstate)で あ る と い う 。 [定 理6.2](素 心 理 素 想 起 定 理) ∀ η ∈ Φ, Q[q;lq。}。 一1一・・]η =P[g)k]ηifTgp=ψk(6 .38) =(η ,ψk)・ ψk、(6.39) が 成 立 し 、 よ っ て 、 特 に 、 Q[ψ;∼Onn=1∼ 。。](iPe= qeifT9=qk〈e=k OifTgP=(;Pk〈e≠k ..,..(6.40) (証 明)式(6.24)のprOb{Tψ;〈iZ)。}に つ い て 、Tq=qkな ら ば 、{ψ.}。 一1一。。の 正 規 直 交 性 よ り probITq;(;Pn}= 1ifk=n Oifk≠n(6.41) で あ る か ら 、 こ の 式(6.41)を 式(6.27)に 考 慮 す れ ば 、 式(6.38)が 得 ら れ る 。 式(6.39)はP[qk]の 定 義 式(5.19)よ り 明 ら か で あ る 。 式(6.40)は{〈iL)。}。=。1一 。。の 正 規 直 交 性 か ら 明 ら か で あ る 。 □
尚 ・ 式(6・27)の 想 起 出 力Q[ψ;{ψ 。}。一1一・・]η に お け る 、 心 理 状 態 η の 設 定 と 同 様 な 本 章 で の 手 法 は 、 ① 式(4・31)のQ@)か ら 得 ら れ る 想 起 出 力Q(ψ)η ② 式(4・46)のQ(Tψ)か ら得 ら れ る 想 起 出 力Q(Tψ)η ③ 式(5.18)のR(ψ;{ψ 、}。一1一..)か ら 得 ら れ る 想 起 出 力R(∼ ρ;ψnn_1∼ 。。)η(6 .42) と 適 用 さ れ る こ と に な る 。
Z心
理 状 態 を取 り入 れ た量子 認 識 シ ス テ ムで の 、 多 段 階 認 識 法 で用 い られ る
axiom2を
満 た す 類似 度 関 数SMの1構
成
axiom1∼3を 満 た す ① モ デ ル 構 成 作 用 素T,② 類 似 関 数SM,③ 大 分 類 関 数BSC』(7.1) が 構 成 さ れ る と 、 ④ カ テ ゴ リ選 択 関 数CSF,⑤ 構 造 受 精 作 用 素A(μ),⑥ 構 造 受 精 変 換TA(μ)T(7.2) が 定 義 さ れ 、 多 段 階(に わ た っ て 処 理 の 対 象 と し て の 問 題 の 入 力 パ タ ー ン ψ ∈ Φ の モ デ ルTψ ∈ Φ を あ る カ テ ゴ リ(第j∈J番 目 の 類 概 念)(Σ 」の 代 表 パ タ ー ン ωjの モ デ ルTωjへ と 変 換 し て い く)認 識 の 働 き[B3],[B4]が 得 ら れ る 。 本 章 で は 、 こ の 種 の 多 段 階 認 識 の 働 き を 実 行 す る 認 識 シ ス テ ムRECOGNITRON[B3],[B4] を 確 保 す る た め 、axiom2を 満 た す 類 似 度 関 数SMを 式(4.4)の カ テ ゴ リ帰 属 確 率 分 布prod◎ 、/Tψ} , i∈ 」 を用 い て 構 成 す る 。7.1部
分 空 間 法 的 カ テ ゴ リ帰 属確 率 分 布 に よ る 類似 度 関 数SMの
構 成 』
部 分 空 間 法 的 認 識 法 の 趣 旨 に 従 え ば 、 パ タ ー ン ψ の 、 第i∈J番
目 の カ テ ゴ リ帰 属 確 率prob
{◎i/Tψ}が 式(4.69)の 如 く、 式(4.50)の カ テ ゴ リ表 現 作 用 素Piの
値 域 に帰 属 す る確 率Spur[P、 ・
Q(Tψ)]と
し て統 計 作 用 素Q(Tψ)を
用 い て 表 現 さ れ る 。 よっ て 、 以 下 の よ う に、axiom2を
満 た
す 類 似 度 関 数SMを
次 の定 理7.1の よ う に、 式(4.4)の カ テ ゴ リ帰 属 確 率 分 布 の 関数 で 表 現 す れ ば、
パ タ ー ン想 起 に基 づ く部 分 空 間 法 的多 段 階 量 子 認 識 系 と して のRECOGNITRONが
得 られ 、4章 と
異 な り、 統 計 作 用 素Q(Tψ)に
基 づ く多 段 階 量 子 認 識 の 働 きが 実 現 され る こ と に な る 。
[定 理7.1](多
段 階 量 子 認 識 用 類 似 度 関 数SMの
構 成 定 理)
パ タ ー ン ψ の 、 第i∈J番
目の カテ ゴ リ帰 属 確 率 分 布 を、
pi(ψ)≡≡prob{(Σi/T《
ア},i∈J(7.3)
とお く。
不 等 式 に よ る 代 表 パ タ ー ン 集 合 Ω の 分 離 条 件 ∀i∈J・0≦ 、珊 、,P・(ω・)<P・(ω ・)≦1 の 下 で 、 不 等 式 、珊 、、P・(ω・)≦ ・・(i)<ε1(i) ≦Pi(ωi),i∈J を 満 た す よ う に 、 閾 値 の 系(7.4)
(7.5)
ε0(i),ε1(i),i∈ 」 を 決 め て お く 。 関 数Si(q)を
s,(q)=
OifPi(ψ)≦ εo(i)
[Pi(9L))一 εo(i)]/[ε1(i)一 εo(i)] ifεo(i)<Pi(ψ)〈 ε1(i) 1ifε1(i)≦Pi(ψ) と 定 義 す る 。 SM(ψ,ω 、)t Si(ψ)/ΣSk(ψ)ifΣSk(ψ)>0 robl(iSi,}ifΣSkぐ ∼iZ})=0 と 定 義 さ れ た 式(5.5)の 関 数SMはaxiom2を 満 た す 。 (証 明)axiom2,(ii)の 規 格 条 件 の 成 立 は 式(7.8)の 定 義 か ら 明 ら か で あ る 。 次 に 、 ∀ ψ ∈ Φ,∀ 玉∈J,Pi(Tψ)=Pi(ψ) ∵axiopa1,(iii)の 後 半 .●.Si(Tψ)=Si(ψ) よ り 、axiom2,(iii)のT一 不 変 性 が 成 立 す る 。 最 後 に 、 i≠j .'⇒P・(ω ・)≦ 、珊 、IPi(ω ・)≦ ・・(i) ' .● 式(7.5) よ り 、 Si(ωj)=0∵ 式(7.7) が 成 立 す る 。 ε1(i)≦Pi(ωi)∵ 式(7.5) よ り 、 ・・(ω・)=1∵ 却 ・7) が 成 立 し 、 よ っ て SM(ωi,ωi) =Si(ωi)/[Si(ωi)+ΣSk(ωi)] k∈J-Iil ・=1/[1十 〇]=1 と 、 i≠j ⇒SM(ωj,ωi) =・ ・(ω・)/[・・(ω・)+ 、.駐1j、 ・・(ω ・)] =01[1十 〇]=0 を 得 、axiom2,(i)の 年 規 直 交 性 が 成 立 す る 。
