繰返し水平載荷を受ける多層多スパン平面骨組の塑性崩壊挙動 : その1:多層多スパン平面骨組の対称限界理論

1

論　 文】 　 　 日本 建 築 学 会 構 造 系 論 文 報 告 集 第 435 号

・

1992 年 5 月

Journal　of　Struct

．

　Consしr

．

　Engng

，

　AIJ

，

　No

．

435

，

　May

，

］992

繰 返

し

水 平

載荷

を

受

け

る

_多

_層

_多

ス

パ

ン

平面

骨

組

の

_塑

_{性 崩壊挙動}

その

1



_多層

_多

ス パ ン

_平

_面

_骨

_組

の

_対称

_限

_界

理

論

PLAST

工

C

　

COLLAPSE

　

BEHAVIOR

　

OF

　

MULTISTORY

　

MULTIBAY

　

PLANAR

　　　

FRAMES

　

SUBJECTED

　

TO

　

REPEATED

　

HORIzONTAL

　

LOADING

　　　　

Part

　

I

：

Symmetry

　

limit

　

theory

　

for

　multistory 　multibay 　

planar

　

frames

上

谷 宏

二＊

飾

_ゴ

∫

UETAIVII

　 This　_paper　

deals

　with 　the　symmetry 　

limit

　and 　collapse 　

behavior

　of

．

　multistory 　multibay 　_planar

frames

　subjected 　to　repeated 　horizontal　

forced

　displacement

．

　In　the　present

．

　article

，

　Part　

I ，

the

symmetry 　

limit

　theory

，

　which 　

has

　originally 　

been

　

developed

　for　

bea

皿

一

column 　members 　

by

　the　

pre−

sent 　author 　et　al

．

，

is　extended 　to　the　problems　of　elastic

−

_perfectly　plastic　planar　

frames

　and 　the

theoretical　_prediction　of　symmetry 　

limits

　

is

　made 　

for

　some 　

fishbone

−

shaped 　

prototype

　

frames

　

by

means 　of　the　extended 　theory

．

　

In

　

Part

　U

，

the　numerical 　response 　analysis　will 　

be

　perfomed 　to

verify　the　symmetry 　

limit

　theory　

for

　

frames

　and 　clarify 　the　collapse 　

behavior

　under 　repeated 　

load−

ing　

beyond

　the　symmetry 　

limits

．

　

Keg

ωonls ：

Planarframes

，

　rOPeated 　

loading

，

　spmmetrl ，　

limit

，

　unstable

・

Phenomena

_，

　 　　 　 　 　 μθ5距6 _劭 朋 鷹侃 ， cotlaPse 　

behavior

　 　　 　 　 　平 面 骨 組

，

繰 返し載 荷

，

対称 限界

，

不安定 現 象

，

塑 性変形

，

崩 壊 挙 動

L

序 　文 　 骨 組の臨 界 現 象お よび安 定 限 界を明ら かにす ること は_， 建 築 構 造 物の設 計の基 礎とな る重 要な研 究 課題であ る。 全 体 骨 組の 臨 界 現 象や不 安 定 現 象は

，

い ずれ も

P −A

効 果と呼ば れ る幾 何 学的非線形 効 果や塑性 変形

，

また は そ の両 者の複 合 作 用に よっ て引き 起 こさ れ る

。

静 的 単 調 載 荷の下での これらの _{現 象}につ い て は

，

すで に_多 数の理 論的研 究が な さ れ

，

実 験 結 果との応 対も示さ れて い るV

。

こ れ ら の研 究は_， 主とし て鉛 直 荷重の比例載 荷 による分 岐 点 座 屈に関 する もの2LS ）と

，

鉛 直 荷重の_{作 用} してい る骨 組に

一

方 向 水 平 力が加わ る と き のカ

ー

変形関 係や安 定 限 界を取り扱 っ た もの4）

・

5）_の 2_{種 類に大 別 され} る。

一

方

，

繰返 し載 荷を受け る 骨組につ い て は， 履 歴 挙 動 性 状を 明 ら かにす ることを目的と して

，

鋼 構 造 骨組 実 験61

・

7jや

，

数 値 挙 動 解 析9 ］

・

1°，

_，

単調載 荷 時 挙 動との対 応 関係に関する研 究11）

・

12）_{など が} 行わ れ て い る。 し か し

，

骨 組の繰 返し載 荷 時 挙 動を臨 界 現 象 論ま た は安 定 論の立場 か ら取り扱っ た研 究 論 文は

，

著 者の知る限りこ れ まで発 表さ れて いない。 　こ のよ うな状 況の下で

，

著 者ら は

，

振 幅が連 続 的に増 加 す る

COIDA

と名 付け た完 全 両 振 り曲げ を受け る梁

一

柱 （

beam−

column _）につ い て

，2

種 類の新しい臨界点 を 定義 し

，

これ ら を 予 測 す る た めの理 論 を 設 立 し た

。

これ らの臨 界 点は対 称限 界 （symmetry 　

limi

ヒ_）お よび_{定常 状} 態 限 界 （steady 　state　

limit

） と名 付け られ

_，

対 応す る 予

測理論 を 対 称限界理

get

　13 ］

−

17 ）お よ び定 常 状 態限 界 理 論ls）

・

ls）_{と して} 発 表した

。

こ れ らの限界は_{， 座 屈 現象}と同 じ よ うに

_，

1個の柱 部 材 ばか り で な く

，

繰返 し塑性変形 を 受 け る多くの種 類の構造 物 において現れる と考え ら れ る

。対

称限 界理論に よ れば

，

多層 平 面 骨 組に おい て も

COIDA

型の完 全 両 振り繰 返 し水平 変位の下で対 称限 界 が存 在し

，

限 界 を超え る載 荷 条 件の下で は特 定の逆 対 称 た わ み モ

ー

ドが現れ

，

載 荷が繰 り返さ れ る ご と に成 長す ること が予 想さ れ る。 ま た

，

対称 限 界 後の履 歴 挙 動 を解 析し た幾つ かの例m° ）

・

21｝ か ら

，

多 層 平 面 骨 組の 限 界 後の繰 返 し載 荷 時 挙 動に つ い て も

_，一

方 向 載 荷 時の挙動か ら は 予想で き ないよ う な激しい劣化特性を 示 す可 能 性も あ る と

_考

え ら れ る

。

山田 らは

_，

ユ

0

層

3

スパ ン_{鋼 構}造平 面 骨 組 模 型の

一

定鉛直 荷重下の漸増 振 幅 完 全 両 振 り 水平 変 位 載荷実験を行い

，

水平力を加え た第

7

層床レベル以 下の ‡ _{京 都 大 学工学 部 建 築 学科 　 助 教 授}

・

・

_{工 博} Dept

．

_of D匸

．

Eng

、

Alc卜iしec重ure

，

　Faculty　of　Engineerlng

，

　KyoIo 　Univ

．

，

各 層の_{柱端 部}に塑 性 変 形が生じ て_， 1か ら6層ま で の部 分 が全 体 とし て弓形に湾 曲して は らみ出 す 変 形モ

ー

ドが 発 生 する現 象 を見いだ して いる22〕

_。

　 建 築 構 造 骨 組の設 計で は

，

各 層の梁 端に塑 性ヒ ンジ が 生じる崩 壊 機 構が形 成さ れ る よ うに， す な わ ち梁 降 伏型 の設 計を行えば

，

骨 組は繰 返 し水平力の作用に対して も 安 定し た履 歴 復 元 力 特 性 を示 し

，

良好 な 耐 震 性 能が期 待 できる と

一

般に信 じ られて いる。 ところ が

，

対 称 限 界 理 論によれ ば

，

柱 降 伏 型 骨 組はもちろんの こ と

，

梁 降 伏型 骨 組であっ て も対 称 限 界が存 在し

，

載 荷 条 件が対 称 限 界 を超え た場 合

，

柱が複 数 層に ま た がっ て弓 形に は ら み出 す逆 対 称変形モ

ー

ドが繰返 し載荷の度に

一

方 向に累 積さ れ る現 象が発 生す る と予 測され る_。 　この論 文の 目的は

，

多層多スパ ン平 面 骨 組について， 対称 限界の_存在 を検 証す ると と もに_， 静 的 繰 返し載 荷の 下で の崩 壊挙動の特 性 を解 明する こ と で あ る

。

論 文は 2 部 構 成である

。

その ユ で は

，

多 層 多ス パ ン骨 組の下 層 部 か ら数 層 を取り出し た魚 骨 形 部 分 骨組に対 して対 称 限 界 理論を適用し， 対称 限界お よ び逆対称変形モ

ー

ドの理論 予 測解を求め る

。

その 2で は， その 1の解 析モ デル と同 じ部分骨組に つ い て

，

繰 返し水平変 位に対す る履 歴 挙 動 解 析を行い

，

対_{称 限 界}理論解の_検証を行う と と もに_， 崩 壊に至る ま での_挙動の_特性を詳細に解 明す る

。

2

，

解 析モ デル と基 礎 式 　 Fig

．

1（a_）に示 す よ うに_{水 平 方 向}に_{無 限 均 等}な部材配 置を もつ _{多 層 多}ス パ ン骨 組を考え

，

その_下層部か ら s 層 を 取 り 出 し た

Fig．

1（

b

）に 示 す s 層 魚 骨 形部分 骨 組に_対して_対称限界理論解 析 を行う

。

魚 骨 形 骨 組の頂 点 に

_，

一

定 鉛 直 荷 重p を作 用さ せ

，

片 側 振 幅 夢 が 0か ら 連続的に単調増 加する完 全両振り水 平 変 位

COIDA

を加 え る

。

どの_梁に も中間荷 重は作 用し ない と して い る から，

一

_x

_＝

_H

_−一

_一

_一

_一

_一

x

＝

rs x

＝

「_j

・

1 x

＝

「j ⇒ x

＝

「i

．

匹 x

＝

r匹 x

＝

0

31

幽

　　　 ρ　I 　　 　　　 I 卩 ∫ ＋L ∫

呷

∫ 」←1

一

　

ノ

＋

且 ゴ

一

一

ノ ノ

ー

1

　

∫

・

且

一

1

一

1 →

　　　　　　

（

a

_）



（

b

）

Fig

，

1　A皿a孟ytica［　modei ；〔a〕multistory 　multibay 　p［anar

　 　 　fra皿e

，

｛

b

｝fishbene

−

s卜aped 　unit 　frame　with 　s　sLories

．

一

₆₂

一

部 分 骨 組の各 層につ い て柱 と梁の材 軸 線 交 点お よ び梁の 両 端 点は常に同

一

水 平 線上 にあり

，

し た がっ て これ らの 点の鉛 直変位は等 し い

。

第 1層柱脚に原点を とり

，

鉛直 上 向 きに x 座 標 軸 を

，

水 平 右 向きに

y

座 標 軸 を置く。 頂 点 鉛 直 荷 重だ け を作 用さ せ た状態におい て， 第

j

層 柱 頭C：　x

・

・

　r」の位 置にあり

，

骨 組の 高さは H である

。

梁の長 さ

，

ず なわち多 層 多ス パ ン骨組の ス パ ン長の半 分 は

Z

で ある。 骨 組はヤング係 数

E

の完 全 弾 塑 性 材 料で 構 成さ れ

，

第 ノ層の柱の弾 性曲げ剛 性は EICj

，

全 塑 性 モ

ー

メ ン トは M ぎ，で あり

，

第 ノ層 梁の弾 性 曲げ剛 性は

E1

』」

，

全 塑 性モ

ー

メン トは嵶 丿であ る。 　 対称限界理論では

，

定常状態と その変化 率だ けに着目 し， 定常状態か ら次の定常状態に達する まで の履歴挙動 を追 跡す ること な く対 称 限 界 を予測す る

。

し た がっ て， 問 題の定 式 化 を， 定 常 状 態の状 態 量だけ を用い て行 う

。

さ ら に_， 1個の定 常 状 態は そ の中の 1対の反 転 時 状 態 暈 だ けを用い て記 述 されるtht） 。 　 冰 平 変 位 振 幅 Ψの下で

，

骨 組が

，

正 側 反 転 時 尸 の 変形状態と_負側 反転時 J

一

コ の変 形 状 態が柱の初 期 材 軸 線 に関し て対 称 をな す対 称 定 常 状 態 を 呈し，

ri

およ び

rn

で は

，Fig．

2に示す ように全 層の柱 両 側の _梁端と

，

第 1 層 柱 脚に塑 性ヒ ン ジが形 成さ れ てい る場 合につ い て考え る。 柱は， 第1層 柱 脚 部 を除いて全 域が弾性域に あ る。 定 常 状 態におい て

，

各 塑 性ヒ ン ジは毎サイクル

ー

定の Fig

，

3に示さ れ る よ うな交 番 塑 性の曲 げモ

ー

メ ン ト

ー

回 転 角関係 曲線を描く。 塑 性ヒ ンジの 回 転 剛 性は

，

塑 性 変 形進 行 方 向に は

0，

後退方 向に は無 限 大である

。

　反転 時 釣 合 状 態 1

「

1 に おい て

，

柱 は 次の_{幾 何 学 的 境 界} 条 件と仮 想 仕 事 式 を満たす

。

な お

，

u

，

　v は柱 軸上の点 s 夏

Fig

，

2　Adeformed　configuration 　with 　_p【astic 　hinges　at 　reversal

　 　 　PO且ntr【

．

注 1） どのよ うな 定 常 状 態でも1対の反 転 時 状 態 量 だ けで記 　 　述で き る わ け で は ない が

，

COIDA プロ グラム の下 で定 　 　 常 状 態 限 界に至る まで に生 成 され るすべ て の定 常 状 態 　 　は

，

反転 時状 態量だ けを用い て記述で き る こ と が文 献14｝ 　 　と同 様の方 法によっ て証 明で きる

。

M

　MP 　

’

r

〒一

一

幽

「

　

■

r囗

一

MP

e

鴫

G

驩

_｛

_ン

謬

＆

Fig

．

3　ReLationship　betwσen 　bending　moment 　and

．

　angle 　of 　 　 　rotation of 　_plastichl皿ge

，

の x

，

_y軸 方 向変 位 を

，

σ

，

εは柱 内 部の軸 方 向 垂直_{応 力}

，

垂 直ひずみ をそ れ ぞ れ表す

。

（ 〉∵ （ ）U は

r ’

_，

1THの 状態 量 を表し

，

δ

C

　 ）は変 分 量 を表す

。

幾 何 学 的 境 界 条 件 式 ： 　 　　u’ （O｝

＝

vi（O）

＝

O

，

　vi（H）

＝

Ψ

・

．

……・

・

………・

・

（ユ） 仮 想 仕事式 ：

　　　

x

”

1

・’

fi

・’

dAdx

　　　　　

s 　　 　　十Σコ

i2

　M _；Jδv

_，

x（rJ｝｝十

M

ぎδv

，

エ

（0）十pδu（H）

＝

0 　 　 　 丿

i1

　　 　　 　　　 　　　

・

……・

…………・

………

（

2

） こ こ に

，

　　 　δε【

＝

δu，r 十 v，皇δv，x

−

Yδv，rエ

・

・

…………

　∴

…

　（3）

　　　

δul（o）

＝crvi

〔O）

＝

δv【 （

H

）

＝0・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



−tt・

…



t・

〔4 ） 部分積分 を 用い て式 （2）を変形 し

，

以下の方程 式を得 る

。

（r」

−

1〈x〈 r」

，

j

＝

1

、

2

，

…，

　s十 】；r。

＝

0

，

　 rs＋1＝ H ｝ 　　 　E煽 η毒

エ

ェ

＋_pv

，

をx

＝

0

，

…・

…………・

…・

・

…・

・

（5） （x

＝

0）　　v’ （O｝

＝

0

，

　　EICiひ，撫 （0）

＝M

ぎ1，　

・

1

・

・

・

・

…

_（

6a，



b

） （x

＝

＝

　r」

，

」

；

1

，

2

，

…，

S）

　　　

vl（r厂 0）

；

vl（rJ＋0）

，

　

v

，

髭（rj

−

O）

＝

v

，

を（rJ ＋0）

，

　　 　

EI

』匸，＋1）v

，

｝エ（f

噛

，十 〇）

− Ele

，　v

，

髪エ（rノ

ー

0）

＝

2M ｛

1

”， 　　 　

Ela

川 ρ蔽τ（rj＋

O

）

− EI

。J　V

，

髭エ ェ（r厂 0）

＝

0

，

　　 　　 　　　 　　　

・

・

一・

・

tt・

…

　

t・

t・

・

t・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（7a

−

d

） （x

＝H

_）vi_（

H

_）＝ _Ψ

，

　

Elc

_「s＋1）v

_，

k

．（

H −

0）

＝

0

，

　　 　　 　　　 　　　

…

　

t・

t・

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

t・

t…

　（8a

，

　

b

）

rll

の方 程 式は

，

式 （5 ）

一

（8）か ら

，

式 （5）

〜

（8） の中の vlを v° で置き換え

，

式 （8a）の

V

を

一

Ψ で

，

式 （6b ）の

M

詈， を

一M

：， で

，

式 （7c）の

M

島 を

一MZ

∫で各々置き換えて得ら れ る。

　

反転時状態の塑性 ヒ ンジ分 布が Fig

．

2に示される以 外のパ _タ

ー

ンで あ る定 常 状 態につ いて も

，

同様の方 針に 従っ て基 礎 式 をた て る こと ができる

。

骨 組が

，

正側 反 転 時 1

一

1 の変 形 状 態と負 側 反 転 時尸 の 変 形 状 態が柱の初 期 材 軸 線に関し て対 称をなす対 称 定 常 状 態 を呈し

，

その対 称 定 常 状 態は r の増 加に連れて連 続 的に変 化 する

。

し か し

，一

定 鉛 直 荷 重が ある程 度 大き い場 合

，

Ψ が ある限 界 値に達す る と

，

尸 と F” の変 形 状 態の間の対 称 性が失わ れ

，

定 常 状 態が対 称か ら非 対 称 に移行する か

，

または

．

柱の初 期 材軸 線に関し て逆 対 称な 変 形 成 分が繰 返し載 荷によっ て発 散し て い く と予 想さ れ る

。

こ の ように対 称 定 常 状 態が保 持され な く なる最 初の 臨 界 点 を対 称限界と呼ぶ

。

対 称 限 界 理 論で は

，

以 下の よ 　うな方 針に従っ て対 称 限 界の理 論 予 測 解を導く。 （a _{） 任 意}の頂 点 水 平 変 位 振 幅に対 する対 称 定 常 状 態 解 を導く

。

　（

b

） 対 称 限 界は

，

対 称 定 常 状態 か ら非 対 称 定 常 状態へ の移 行が初め て生じ る か

，

逆 対 称変形 成 分の発散が初め て生じ る とい う条件に よっ て特徴づ

’

け られ る

。

た だ し

，

発散が起き る後 者の対 称 限 界は

_，

同時に定 常 状 態限 界で 　もある

。

こ の_特性条件を定 式 化し て対 称 限界条件式 を導 　 く

。

（c _｝

1

_{対 称 定 常 状 態 解}の中か ら

、

対 称限界 条 件 式を最も 小さ い頂 点 水平変 位 振 幅 値で満 足す る解 を見つ け る

。

こ

1

れ が 対 称 限 界 予 測 解である

。

4．

対称 定 常 状 態 解 　 式 （5）

一

（8 ）で 与え ら れる境 界 値 問 題 を解くことに よっ て

，

r「 の解 vi

＝

f

（x ；Ψ）が得られる。 また

，

　 vU

＝一

_∫（x

_，

　V_{）と置け ば}

，

_{式 （}5_）

一

_（8_）に対 応する Fn の すべ _{て の方 程 式は明ら かに満足 さ れ る} 。 これ ら の解が 表す左右の反転時た わ み 形状は柱の _{初 期材軸 線}に_関 して 対 称であ るか ら， 次 式は対称 定常状態 解である

。

　　 　tノ正

＝−

v皿

＝

丿

「

（コじ ；璽「）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t’

t…

　（9）

　

こ こ で

，

一

例 とし て

Fig．

4に示さ れ るよ う_に高 さ方 向に も均等な骨組につ いて_考え る

。

_{第 1 層柱 脚}は ピン_支 持さ れ てい る

。

すべ _ての層の_梁は同

一

で， その弾 性 曲 げ

3．

対 称 限 界 解 析の基 本 的 考 え方

　

Fig

．

1

（

b

）に示さ れ た 8 層 魚 骨 形 部 分 骨 組 に

，

一

定 鉛 直 荷重の下で振 幅が連 続 的に増 加する完 全両振り頂点水 平 変 位 プログラ ム COIDA が作 用す る と き， 骨組は頂点 水 平 変 位 振 幅 Ψ の増 加に連れ て次の よ う な挙 動を 呈す



Fig

_．

₄

・

る と考え ら れる

。

望 が ある程 度ま で小さい_{領 域}では

，

s 4321

戯

中

s

’

＋1 ∫

劃

」

　

2h

　

2h

　

2h

　

h

　−　

　

一

　

　

幽

　

　

一

y

Prototype　unLform 　fishbone

−

shaped 　frame　with 　hinged

base

．

ξ

n

ρ

踊冂ges4

1

Fig

．

5Three　types　of 　deformed　configuration 　at　r【of　a　single　cruciform 　unit　

frame

；（a｝　in　elastic　range

，

（b）with

　　 　plastic　hinges　at　beam　e皿ds

，

（c）with　plastic　hinges　at 　 column 　 ends

剛 性は

Elg，

全 塑 性モ

ー

メ ン トは M3 である。 柱は

，

全 層に わ たっ て 同

一

の弾性 曲 げ剛 性 Elcと軸 力0の と きの 全 塑 性モ

ー

メ ン トM 窪を有 する理 想 化サン ドウィ ッ チ断 面 を持ち， 柱 長さは

，

最 上 層および最下 層が

h，

他のす べ _{て の層}は 2h である。 こ の均 等 骨 組の 定 常 状 態に対す る支配 式は_，

Fig．

1（

b

）に示し た

一

般 的モデルの支 配 式 （5 _）

〜

〔8 ）に次 式の関 係を代入 する ことに よっ て得ら れ る。 　 　 　rs＋1

＝H ，

　　

M

ぎ：

＝

o

，

　　　

r」； （2j

−

1）h

，

　

　

h

＝

H／（2　s＞

，

　　　M3

，

＝

M 言

，

（ノ

＝

1

，

2

，

…，

　s） 　 　 　研ω

；E1

』9 （ノ

＝1，2，…，

3十

1

）

・

…・

………

（10 ） 各 層はすべ _て同

一

_{の応 力分布と変 形 形 状 を持つ}

。

Fig

．

5 は

，

対 称定常 状態の 反転時状態 rlに お ける均 等 骨 組の たわ み形 状を

，

1層分 だ け 取 り出し て示 し た図である。 対 称 定 常 状態 は次の

3

通 りに分 け ら れる

。

Fig

．

5（a）は 弾 性 域の定 常 状態 を，

Fig．

5（

b

）は梁 端に塑 性ヒ ンジ が 生じる定 常状態を

，Fig．

5

（c_＞は柱 端に塑 性ヒ ン ジ が生 じる定 常状態を示して い る

。

均 等 骨 組の対 称 定 常 状 態 解 は， 以 下の よ うに示さ れ る。 骨組の頂点 水平変 位 振 幅が Ψ （　・＝　

Hdi

）の と きの Fig

．

5に示さ れ た単位骨 組の柱の 反転時 たわ み関 数li （ξ）は

，

　

Fig．

5（a）

〜

（c）の場 合 を 通じ て次 式で表され る。 な お

，

対称定常状態の柱の部材 回転 角 振 幅 をψ （

＝VIH

）

，

　

ri

_状態に お け る柱 断 面に 作用 する水 平力 をql

，

柱の材 端た わ み角 を 媛 とする

。

・・

1

ξ）

一

吉（

峰

）

・・…

一

（

・・

蓄

）

h

・ ・S ・・

　　　

＋ んψ＋

9

’ 〔ん

一

ξ）

……

　 　 　 P

号

一

_響

_・

・一

〜

傷

・

・− 3

譜

…・

・

………・

…一 ・

・

…・

………

_〔11） Ω

一

！

91

’

｝

，・

ti

， ， wh

，

……・

……・

……

_（12） り 属

O

』 日 ぐ

_、

∪ 一 』 ［ 国 囗 〉 臼 窺 く 臼 の 渚

O

り

Py

Pcg

0

　

0TOP

　

DEFLECTION

　

AMPLITUDE

Ψ

Fig

．

6

　Classification　of　symmetric 　steady 　state　sohtions 　on 　 　 　plane　of 艮xiai　ferce　 v

，

　s

．

　top　defLection　 amphtude

．

る反転 時 柱端 た わみ角 qk の表現 を以 下に示す

。

な お

，

Pv は柱の_{降 伏}軸力を表す

。

a_{） 弾 性 領域 解 （}

Fig．5

_（a_＞）： 　0≦

p

く

Pcg

のと き

，0

≦ Ψ 〈嫣σ

．

　

Pcg≦p≦ρy の と き

，0

≦ ψ ＜嫣c

，

・

…一

・

………・

…

（

13

＞ こ こ に

，

　

　

　

P・9

−

（

　　　醐 1

−

　　　M9

）

P…

…・

……・

tt……一 ・

……・

_（14）

　

　　

・yg

−

［

占

・

（

1

制

騾

H ・

・

一 ・

…………

（15）

　

　　

州 毒

・

（

・

一

捌

黌

（

レ

£

）

…・

…・

・

_（16 ） 反 転 時 状 態

Fi

の_柱端た わみ_{角 rpL}は，

　

　　

・

 

＋

轟

．

、ψ

一 ………一 一 一

_（17｝

b

）梁 降 伏 領 域 解 〔

Fig．

5（

b

｝）； 　　 　

0

≦_P＜ρc9， 鵜9≦ψ

・

・

…………・

・

………一

（18） ，、_，

．

，、。）

一

一

、。_、。示、 れ。． 。各。 の_駘 につ 。 。，

　

・・

一

・

一

（

　　

_一

　　

11

）

擬

・

……… ・

・

一 …・

_…

₁₉

_・ 頂 点水平変位 振 幅 Ψ の領 域と

，

（11）， （12）式 中に現れ

　　

c _{） 柱 降伏 領 域 解 （}Fig

．

5_（c_））

一

₆₄

一

　 　 　P。9≦P≦ ρy， 監c≦ 『

…………・

…・

……・

・

…

（20）

　　

　

・さ

一

・

一

（

　　　　

_一

11

）

_篝

（

・

一

£ ）

一 ・

・

………・

・

_（21 ） な お

，

式 （

13

）

，

（

18

）

，

（

20

）で表さ れ る3種 類の領 域 を

，

Fig．6

の （Ψ

，

　_{p ）平}面 上に示し た

。

5．

対称限界 条件式 　頂 点 水 平 変 位 振 幅 Ψの対 称 定常状態に おい て水 平 変 位振 幅の微 小 増分

dV

を作用 さ せ る と， これ に よっ て 定常状態は微 小に_{変 化}す る

。

前節に示し た よ うに

，

対 称 定 常 状態につ い ては 振 幅

V

に 対 して

一

価 かつ連 続 な 解 が存 在す る。 この こ と は， ど の 振幅レベル の対称 定常状 態におい て も

dV

だ け大きい振 幅レ ベ ルの対 称 定 常 状 態に_{移 行}す る定常状態変化率解 が存 在す るこ と を意 味し てい る。 も しこれ だ け が唯

一

の解で あ れば， 微 小 振 幅 増 分

d

Ψ に伴 う定 常 状 態 変 化に お い て対 称 性が維 持され るこ とになる

。一

方

，

通常の対 称限界で は非 対 称 定 常 状 態へ の移 行 が 生じ るか_， または逆 対称 成 分の発 散が生じ る ことに な る。 urの変 化に伴 う 対 称 定 常 状 態の変 化が 構 造 物 内 部の弾

，

塑 性 領 域 間 境 界の移 動まで含め て連続 的である場 合に は

，

前 者の よ うに非 対 称 定 常 状 態へ の移 行が生 じる。 こ の と きの対 称 限 界は

、0

で ない逆 対称成 分 を含む定 常 状 態 変 化 率 解が初め て存 在す る ように な る とい う条 件t3 ）か_， また は_， 定 常 状 態 変 化 率 解が初めて唯

一

_{性 を失 う 条 件噛 こよっ て特 徴づけ られ ることにな り}

_，

対 称 限 界 条 件 式がこ れ ら の 条 件か ら等 式とし て導か れ る

。

他 方， 降 伏や除 荷が有 限 領 域で同 時に生じ る と仮 定 する通 常の有 限 要 素 法や塑 性 ヒ ン ジに よ る骨 組モ デ ル注2 ）で は

，

構 造系の剛 性が不連続に_変化 す る た め定常 状 態 変 化 率 解の_唯一 性 限 界点を不 連 続に_飛び越え てし ま うの で対 称限界 条 件 式は不 等 式で与え ら れ ることにな る

。

　対 称 限 界 条件式 を求め る ために は_， ま ず定 常 状 態 変 化 率の 支 配 式 を 誘 導する必 要がある。 こ こ で は まず

，

Fig．

2に示 すように反 転 時に第1層 柱 脚と すべ て の梁 端 に塑 性ヒ ンジ が形 成さ れ る対 称 定 常 状 態につ い て考え る

。

』

式 （5）

〜

（

8

） を

V

で微 分 することにより

，1

「

1反 転 時の柱た わ み変 化 率

b

［ （＝

dvi

／

dur

_）に関す る_{支 配 方} 程式が以 下の よ うに得ら れ る。 （rj

−

1＜x〈ri

，

　ノ

＝

1

，

2

，

＋

・

・

，

　8十1；ro

二

〇

，

　rs＋1

＝

H ） 　 　 　

Elc

丿の

，

lxxx

十Pの

，

長

エ

＝

O

，…・

…・

…・

・

…・

…7・

…・

（22） （x

＝

0＞　の1（0）

＝

0

，

　Elclわ

，

髭x（0）

＝

0

，

　

・

・

『

・

・

・

・

・

・

・

…

　（23a

，

　b） （x

＝

r」

，

ゴ

≡

1

，

2

，

…，

s） 　　 　

bi

（r厂

0

）

＝b1

（η＋

0

）

，

　 醍 （η

一

〇）＝

b，

｝（r 」＋

0

）

，

注2） 塑 性ヒ ンジは部 材 内部の ある有 限な大き さ をもつ領 域 　 　で生じる塑 性 変 形 を幅のない断 面に集 中させ た理想 化 概 　 　念であ る。 故に

，

塑性ヒ ンジの発生は連続 体モデル の中 　 　で

，

ある有 限の広が りを もつ 領 域が

一

挙に降 伏し た こと 　 　に_{相 当}す る

。

　 　　

Elc

〔丿＋ ，bb

，

｝x（rj十 〇）

−

E五c

、

む

，

｝エ（r厂 O）＝ e

，

　 　　

E

∬，［川

b，

髭xx（　rJ＋

0

）

一

　

EI

。」　

i

　

，

島xx（r」

− O

）；

o，

　 　　　 　　 　　　 　

tt’

t’

ttt

’

ttttttt

”

tt”t’

t’

・

tt・

（

24a−d

） （乙じ

＝H

）　　

b

【〔

H

）

＝1，

　　

b，

主x（

H − 0

）

＝O・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（25a

，

　

b

）

Fn

反 転時の柱た わ み変化率 ガ に関 す る 支 配方程 式 も

・

_{同様に導か れ} ， そ れ ら は式 （

22

＞

一

（

25

＞中の vl を vl1 で置き換え

，

式 （10a ）を 次 式で置き換えて得られ るこ と が わか るQ 　 　　

bE

（

H

）＝

− 1

』

_{…一 ・}

_…・

_{…………・}

_…・

_…・

_…・

_…・

〔

26

） 　

b

’ の方程式 （

22

）

一

（

25

）に は

b

【1 が含ま れず

，

逆も同 様であ る

。

構 造 体の内 部 にシェ イ クダウン領 域 を もつ

一

般の_{対称限 界 解析問}題で は， 定常 状態変化率の支配方程 式に おい て

rI

と

1「

” の反 転 時 状 態 量が 互い に連 成して く るのが

一

つの特 徴で ある

。

ところ が

，

こ こ で扱っ てい る完 全 塑 性 材 料で構 成さ れ た 骨組モデル で は，

Fig．3

に 示され る交 番 塑 性ル

ー

プ を描く塑 性ヒ ン ジですべ て の 塑 性 変 形が生 じ る た め

，

Fiと 1

「

凵 の反 転 時 状 態量 間の 連 成は現れ ない。 こ の意 味で

，

本 報で扱 う 対 称 限 界 問 題は， 通 常の弾 塑 性 分 岐座屈と本 質 的に異な る ところの対 称 限 界理論特 有の性 質が希薄であ る単純な ケ

ー

スと言え る

。

ま た

，

両 反 転 時 状 態 量が連 成 しないとい _{う性 質か ら}

，

_繰 返し載 荷の と き対 称 限 界 後に発 生す る逆 対 称た わ みモ

ー

ドと類 似の モ

ー

ドが

，一

方 向 載 荷の下で も現れ る ことが 容 易に説 明でき る。 　 反 転 時の柱た わ み変 化 率の

，

対 称 成 分と逆 対 称 成 分 を 次 式の ように定 義する。 　 対 称 成 分 　 v「_・＝ （v］

−

_v° ）／2

，

　qf＝ _（qi

−

q”_）／2 　 　　　 　　 　　　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

27a，

　

b

_） 　逆対称成分 vb； （vi_＋ vロ）／2

，

　 qb＝ （ql_＋q”_）／2 　 　　　 　　 　　　 　

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一…

　

一

（28a

，b

） （22＞

一

く25）の各 式につ い て

，b

「 に関する式と， これに 対 応 する

b

” に関 する式の差 をと ることに より

，

対 称 成 分 が に関する支 配 方 程 式が次の よ うに導か れ る

。

（rj

−

1〈x〈 r丿

，

ノ

＝

1

，

2

，

…，

　 s 十1；ro

＝

O

，

　 rs＋ ，

＝

H ＞ 　 　 　 E1』ノ

b，

壬

＝

xx 十

Pb ．

壬x

＝

0ゲ

…・

・

………

（29）

，

（x

＝

0）　 bf（0）

＝

O，　EICi　

b，

壬，（O｝

＝

o

，・

・

_∵

・

一

・

・

・

・

…

_（30　a_，　

b

_） （x

＝

　r」， 丿

＝

1，2，

…

， S） 　 　　 が（rJ

−

0）＝ が（r 丿十 〇）

，

　

b

，壬（r」

−

0）；

b

，壬（rj 十 〇）

，

　 　　

Ele

，川 わ，壬工（7丿＋ω

一

泓 、む，無（r厂 0ト0， 　 　　

E1

』、川

b

，

壬rr（7プ＋ω

一El

，」む

．

S

’

。x（r厂 0）

零0，

　 　 　

’

”『

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

”・

・

（31a

−d

） （x

＝

H ＞　bf（H）

＝

1

，

　

bf，

！x（H

−

O＞

＝

0

・

・

・

・

・

・

…

　（32a

，

　b） （29）

〜

（32＞の_式で構成 さ れ る境 界 値 問題 を解くことに よ り

，

振 幅

V

の 基準対称定常 状態か ら

，V

＋

dV

対 称 定 常 状 態へ の定 常 状 態変化 率 解 が 得 られ る

。

　 次に

_，

_（22）

一

（25）の各 式につ いて_，

b

’ に関 す る式と これ に対 応す る が に関す る式の和 を とることに よ り

，

逆 対 称 成分 が に関 す る支配方 程 式が 次の よ うに導か れ

一 65 一

（

a

_）

飼ctienlessmechnical

皿ges

（

b

）

Fig

．

7　Modified　frarne

，

whose 　buckLing　condition 　is　equivalent 　 　 　to　syrnmetry 　limit　condition 　of　original　prototype　frame

　 　 　 （in　case 　that　plastic　hinges　form　at　bea田ends ｝；

　 　 　〔a）eqnivalen しfrarne

，

〔

b

）anti

・

symrnetric 　

deformation

　 　 　mode

．

る

。

（r」

−

1＜ x 〈 rj，　

j

＝

1，2，

…

，　s十1；ro

＝

0

，

　rs

．

1

＝

H ） 　　 　

Elc

丿

b

，呈rrt 十

Pb

，呈エ　

＝

O，

…・

………・

……・

……

_（33） （x ＝

0

）　

bb

（0）

＝0，

　

EICi

　

b

_，皇x（0）

＝

O

，・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（34　a

，

　

b

） （x＝ rJ

，

_ノ＝ 1

，

2

，

…

， 8） 　　 　

bb

｛r厂

0

）＝

bb

（r 」十 〇〕，　

bS

（r厂

0

）

＝b

，皇（r」十 〇）， 　　 　

EI

． ，

÷

1 ）む

，

呈x（γ，＋0）

− Elc

∫む

g

茎

エ

（rノ

ー0

）＝

0，

　　 　

El

．，＋1】乞ア，呈エェ（rJ十 〇）

− EI

』ib ，呈xx〔rj

−

O＞

＝

0， 　 　 　 　

’

’

’

’

’

”…’

”t’

’

’

’

”鹽

’

’

’

’

’

’

’

”鹽

（35a

−d

） （x ＝ H ）　

bb

（H）＝O

，

　

b，

茎

エ

（H

−

0）

＝

0

・

一・

・

・

・

…

　〔36　a

，

　

b

_） （33）

〜

（36）の方 程 式はすべ て斉 次 式で あり

，

固 有 値 問 題 を 構 成 する。 荷 重 p が離 散 的に存 在す る特 別な値

，

す な わ ち固 有 値 を とると きにだけ

，

方 程 式は自明 解 が to 以 外の解 を持ち得る

。

固 有 値 問題を解い て

，

正の最 小 固有 値PSLを求め る

。

非 対 称 定 常 状 態へ の_{移 行}の_際に 発生す る逆 対 称た わ みモ

ー

ドは

，

最 小 固有 値に対 応 する 固有関数である

。

また_， 式 （33 ）

〜

（36）は

，

柱の逆対 称 た わ み関数 が を基 本釣 合 状 態か らの付 加た わ み関 数 v で置き換え れば

、Fig．

2

に示さ れ たすべ て の塑 性ヒンジ 形 成 位 置

，

すな わち第

1

層柱脚と全層の_梁端に_摩擦 抵 抗 の ない ヒ ンジ を設けて得ら れ る

Fig．

7（a）に示され た骨 組の柱の 座 屈 方 程 式に

一

致するe こ の ように

，

もとの骨 組に対する対 称 限 界 条 件 式 を座 屈 条 件 式と して もつ _{骨 組} を等 価 骨 組と_呼ぶ ことにする。 す な わ ち， PSLはこの等 価 骨 組の

Eule

ζ_{座 屈 荷}重で あ り

，

逆 対 称変形モ

ー

ド は 等 価 骨 組の座屈モ

ー

ドであ る

。

6．

対 称 限 界理論解と対 称限界 曲線

　

Fig

．

4の均 等 骨 組につ い て

，

対称限 界 理論解 を導き

，

対 称 限 界 曲 線を求 める。 均 等 骨 組の柱は全 層に わ たっ て

一

₆₆

一

（

a

）

』ct孟呪｝n■e総 In     lcalhinges

（

b

）

）

Fig

．

8　Modified　Erame

，

whose 　

buckhng

　condi 巨o 旧 s　equiva ［ent 　 　 　to　symmetry 　limit　condition 　of 　original 　_prototype　f「ame

　 　 　（in　case 山 a［_plastichingesformat　column 　ends _）；

　 　 　 （a_）equivalent 　frame

，

_〔b_）anti

−

symmetric 　deformation

　 　 　 mode

．

一

_{様な断面をも}つ の で （33 ）

〜

（

35

）式に おいて

，Ic

丿＝

lc，

（ノ

＝

1

，

2

，

…，

s＋1）と置 く。 式 （33｝

一

（36｝で与え ら れ る固有値問 題を解き

，

最小固有値お よびそ れ に対応す る固 有モ

ー

ドと して

，

対 称 限 界荷重ρSL お よ び柱の逆対 称 たわ みモ

ー

ド 氤 が次 式の よ うに得ら れ る。

　　　

P， 、

＝

π ’

EI，

，／H ！

…一 ・

………

（

37

） 　　 　 b睾L

；

Csin ω 諏

，

ω2

＝

P／（Elc）

・

………・

・

……

（38 ） また

，

対 称 限 界で生 じる逆 対 称 変 形モ

ー

ド

，

すな わ ち等 価 骨 組の 座屈モ

ー

ドの概 略 図を

Fig．

7

（

b

）に示す。 定常 状態変化 率が唯

一

解を持つ た めの十 分 条 件 を 文 献13）_に 従っ て導き， その結果 を適 用すれ ば次の結 論 を得る

。

R1 ，

　

r

］ 反 転 時に Fig

．

2また は Fig

．

5（b）に示 され る 　 　 位 置に塑 性 ヒ ンジ が生 じ る対 称 定 常 状 態か ら は

，

　　

p

〈

PSL

で あ れ ば非 対 称 定 常 状態へ の移 行や 逆対 称 　 　 変 形モ

ー

ドの発 散が起き るこ と は な く

，

PSL≦p の 　 　と きには起 きる可 能 性が あ る。 　っ ぎに_， Fig

．

5（c_）に示されるよ うに均 等 骨 組の すべ て の柱 端に塑 性ヒ ンジが生 成 され る対 称 定 常 状 態におけ る対 称 限 界 条件式につ いて考え る

。

こ の場 合 も， 塑 性ヒ ン ジの_{位 置}が_異なる とい う点 を 除き_， （33）

一

（36 ）式と 同様の誘 導 方 法に従っ て逆 対 称 成 分 を支 配する斉 次 方 程 式の組を導くこと ができ

，

そ れ らの支 配 方 程 式は塑 性ヒ ンジ が形 成され るすべ て の位 置に摩擦抵抗のない ヒン ジ を_設け て_得ら れ る Fig

．

8（a_）の_{等 価}骨 組の座_屈方程式に

一

_{致す る}こと が わ か る

。

こ の等 価 骨 組は不 安 定である か ら

，

座屈荷 重は

0

であ り

，

し た がっ て対 称 限 界 荷 重も0 である

。

また

，

_等価 骨 組の座 屈モ

ー

ド

，

すなわ ら対 称 限 界で竺じ る逆 対 称 変 形モ

ー

ドの 1例 をFig

，

8（

b

＞に_示す。 以 上の検 討か ら， 次の結 論が述べ られ る

。

R2 ．

　

rl

反 転 時に

Fig．

5（c_）示され る位 置に塑 性ヒ ン

　　ジ が生じ る対 称 定 常 状 態か らは

，

0〈 _p で あれ ばい 　　っ で も

，Fig．

8（

b

）に示 され る逆 対 称 変 形モ

ー

ドの 　　発生や発散が起き る可 能 性が ある

。

　式（

13

）

，

（

18

）， （

20

）お よびFig

．

6に示さ れ た対 称 定 常状態のパ タ

ー

ンの移り変わ り と

，

対 称 限 界 条 件の検 討 か ら得られ た_結果 R ユ_， R2 を総 合す れ ば

，

　 Fig

．

4の均 等骨組につ い て対称 限 界 曲 線を描くこと がで き る。 梁 降 伏と柱 降 伏 を 分ける鉛 直 荷 重 値 p。g と

，

梁 端に塑 性ヒ ン ジが形 成さ れ る対 称 定 常 状態に対す る対 称 限 界 荷重値 PSLとの大 小 関 係に よっ て

，

次の 2ケ

ー

ス に場 合 分け さ れ る

。

1｝ ρ、L≦p

。

g の場 合の 対 称 限 界 曲 線 ：Fig

．

9（a）に示 し た太い実 線は

，

この ケ

ー

ス の _{対 称 限 界 頂 点 水 平 変 位 振 幅} を鉛 直 荷 重 値に対し てプロ ッ ト して描いた対 称 限 界曲線 で ある

。

i

） pくPSL な ら ば

，

変 位 振 幅 をいかに増 加 させて も対 称 定 常 状 態か ら非 対 称 定 常 状 態へ の移 行ま た は逆 対 称 変 形成分の発散は生じ な い。

ii

） PSL≦pく_Pc。な ら ば

，

水 平 変 位 振 幅

v

が梁 端に塑 性ヒ ン ジ が初めて_生じ る弾性限界値

Vyg

に達し た と き

，

非 対 称 定 常 状態へ の移 行 や 逆 対 称変形モ

ー

ドの発散が生 じ る可 能 性が あ る。 職 　 国 ∪ 出 O 山

謹

り

一

ト 出 国 ＞ H 茗 く

」

［ の 客 O り へ 国 U 属 O 」 口 〈 Q 一 ト 出 国 〉 旨 寓 く ト の ≧ OU Py Pcg

PSL

0 　0

　TOP 　DEFLECTION 　AMPLITUDE Ψ

　 　 　 （a ） y

PSL

Pcg 0 　

’

o

　

TOP

　

DEFLECTION

　

AMPLITUDE

Ψ

　　　 　　　 　 （

b

）

Fig

．

9　Symmetry　limit　curves ｝（a_）ρsL≦Pc9

，

（b）PsL＞Pc9

．

iii

） p、g≦p な らば

，

水 平 変 位 振 幅

r

が柱 端に塑 性ヒ ンジ が初め て生じ る弾性限界値

V

， ，に達し た と き

，

非 対 称 定 常 状態へ の移 行や 逆対称変形モ

ー

ドの発散が 生 じ る 可 能 性が あ る。

2

） PSL＞p。g の場 合の対 称 限 界曲線 ：

Fig．

9

（

b

）に示 し た太い _実線 が

，

こ のケ

ー

ス の 対 称 限 界 曲 線であ る

。

i

） pくp，g な ら ば

，

変位振 幅をい か に増加さ せて も対 称定常状態か ら非 対 称 定常状 態へ の移行また は逆対称 変 形成分の発散は生 じ ない

。

ii

） p。 。≦p な ら ば， 水 平 変 位 振 幅 Ψ が柱 端に塑 性ヒ ンジが 初め て生じ る弾 性 限 界 値

Vyg

に達し たとき， 非 対 称 定 常 状 態へ の移 行や逆 対 称 変 形モ

ー

ドの発 散が生 じ る 可 能性が ある

。

7．

結 　 語 　完 全塑性材料で_構成された多層多ス パ ン_{平 面骨組}に_対 称限 界理論を適用 し

，

対 称限界の理論予測 解 を導いた

。

こ こ で 展 開 し た対 称限 界 理論は

，

次の点に お いて従 来の 理論 を拡 張する もの である

。

i＞ ひずみ硬 化 材 料で構 成さ れ た梁

一

柱 部 材にっ い て展 開さ れ て い た こ れ まで の対 称 限 界理論を

，

完 全 塑 性 材 料 で構 成さ れ塑 性ヒ ンジ が形 成さ れ る部 材に拡 張し た

。

ii） これ まで単

一

の梁

一

柱部材だ け を対象と して いた対 称 限 界理論を

，

複数部材か ら構成さ れ る平 面剛接 骨 組に も 適 用 す る 方 法 を 示 し た

。

　柱 軸 カ

ー

定の下で完全 両振り頂点 水平変位が作 用す る 魚 骨 型多層 部 分 骨 組につ い て行っ た対 称 限 界 理 論 解 析の 結果 は次の よ うに要 約さ れ る

。

（

1

）

一

定 鉛 直 荷 重がある限 界 値 を超え ない な ら ば

，

頂 点水平変位振幅をい か に増 加さ せ て も対 称 限 界に は至ら ない

。

こ の限界 荷 重 値は_， 塑 性ヒ ンジ が生じ て いる すべ て の位 置に摩 擦 抵 抗の ない ヒ ンジ を設け て得ら れ る等価 骨 組の座 屈 荷 重 値に等し い

。

（2）

一

定 鉛 直荷 重が限 界値を超える 場合， 水平変 位 振 幅が増 大して第

1

層柱脚 と 梁端 部に塑 性ヒン ジ がつ ぎつ ぎ と 形 成 さ れ ることによっ て対称限界に達すると予 測さ れ る。 その後の繰返 し載 荷により， 逆 対 称 変 形モ

ー

_ドが

一

_{方向に累 積し て}い く可 能 性がある

。

そ の逆 対 称 変 形 モ

ー

ドは

，

柱が複 数層にま たが っ て弓形に た わ む モ

ー

ド で あ り

，

等価骨組の_{座 屈}モ

ー

ドに_等し い

。

（

3

）鉛直荷重値が大き く柱 軸 力 が 降 伏 軸 力 値に近い場 合は

_，

水平 変 位振 幅の増加過 程 で柱 端に塑 性ヒンジが生 じてか ら対 称 限 界に達す る

。

参 考 文 献 1） 松井 干秋 ：鉄 骨構造 学詳 論 （丸 善

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M

，

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　Iwanaga：Besendelheitenn　im　Verfor

−

mungsverhalten 　eines　Mehrstockingen

，

　 Mehr‘erdrigen

unter 　

der

　Traglast

，

　Teil　I：Versuch

，

　der　Sta

．

lbau

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（1991年ユ1月 10 日原 稿 受理

，

1992年3月4日採用 決 定 ；

英文要約 （

Summary

）

1

．

　

lntroduction

　On

　the　

behavior

　of　

bu

三lding　frames　subjected 　to　repeated 　

horizontal

　

loading，

no　theoretical　study 　

from

　tlne　view

−

points　of　the　critical　theory　or　stability　theory　

has

　

been

　

developed

，

　wh

．

i【e　a　centain 　number 　of　experimental 　and

computational 　studies 　

have

　

been

　

dDne

　tQ　clarify　the　characteristics 　of　their　

hysteretic

　

behav

正or

．

　

The

　_present　author 　et　al

．

　

have

　

defined

　a　

pair

　of　new 　crltical 　states 　for　the　hysteretic　behavior　of　beam

−

columns

under 　Iepeated 　

loading

　and 　established 　new 　theories　

for

　predicting　them

．

　

These

　critical 　states　

have

　

bee1

ユ named

sp πmetT）J　

timit

　and 　stecidMstate 　

limit

　and　the　critical　theofies

，

　 symmetry 　

hmit

　theoryi3）

”

m　and　steady

−

stそ匚te　

limit

theoryisMg：

，

　respectively

．

　

It

　can　

be

　_predicted　

by

　the　symmetry 　lirnit　theory　that　thele　would 　exist 　a　symmetry

limit

　

in

　a　muhistory 　_planar　

frame

　with 　a　sym 皿etric　configura 旺on　subjected 　to　completely 　feversed 　cyclic 　

lateral

displacement

　and　that　a　_particular　anti

・

symmetric 　

deformation

　mode 　would 　appear 　and 　_grow　

in

　one 　

direction

　at every 　cycle 　when 　the　loading　condition 　is　in　excess 　of　the　symmetry 　

limit

．

　

It

　seems 　also 　pQssible　that　t』

．

e　oyclic

growth　of　the　

defermation

皿 ode 　would 　

induce

　so　sevele 　

deterioration

　in　restori 皿

g

　force　

property

　as　not　t

・

o　

be

　

im−

agined 　

from

　the　

behavior

　under 　olle

−

way 　

loading

．

　

If

　these　predictions　are　trueisome　new 　

desig

皿

formula

　shonld

be

proposed inorder topreventsuch severe

deterioTation

caused

by

repeated

!oading;

'

Thb

_purposes

of the_{present･paper}are toverify the existence of thesymmetry lirnitsolutions on mllltistory

mul-tibay

_planar

rectangular

frames'and

to clar;fy the characteristics of theircollapse

behavior.

In

Part

I,

the sym-metry

limit

theory

for

beam-column

members will

be

extended tothe

frame

_problems and theoretical_prediction of

symmetry limitswill

be

rnade forsome

_prototype

frames.InPaft _a, the numerical response analysis will

be

per-formed

tove[ify thetheoretical-predictions_giveninPartIand claiify the unstable

behavior

under repeated

'

'

ing

beyond

the symmetry

limits.

'

2.

AnalyticalModel･

The

model

frame,

whose syrnmetry

limit

is

to

be

analyzed,

is

the

fishbone-shaped

subframe cut off

from

a

mul-tistory multibay

frarne,

which ismade of elastic-perfectly plastic material, as shown

in

Fig.1(b).

The

model

frame

is

subjected toan

ideaLized

completely reversed toplateral

displacement

program with continuously

in-.creasing

_'

amplitude, referrecl toas

COIDA,

under constant axial compression.

The

characteristics of a _plastic

'

hinge

is

shown in

Fig.3,

'

3.

0utline

ef

Symmetry

Limit

Analysis

Under

the aetion of

COIDA,

the

frame

exhibits a continuous sequence of symmetric steady states,

in

each of

which theright _and left _{reversal-point} configurations denoted by

r'

and

F",

respectively, are symmetric with re-spect to the

initial

column axis,

during

sorne range ofsmaller top

def}ection

amplipude V.

But

when ur reaches a

certain

limit,

transition

from

a symmetric steady state to an asymmetric steady $tate would occur.

$ymmetry

'

limithas been defined as the criticai state,at which this transition occurs

first,and

can

be

_predictedby the

'

lowing

_procedure:

'

'

'

(a)

Solution

to the symmetric steacly state

is

obtained

for

each value of

V.

CSection

4)

_.

(b)

The

symmetry

limit

condition is

derived

from

the condition thattothe _probLem of

finding

_possibterates of steady-state variables with respect to

V,

there exisls a solution involving non-vanishing anti-symmetri.c

'

'

ponent.

(Section

5)

,

'

'

Cc)

A

symmetry

limit

solution

is

found as thesymmetric steady state, at which thecharacterizing condition

is

satisfied at thesmaliest top

deflection

amptitude,

{Section

6)

4.

Symmetric

Steady

State

Solution

Steady

states ¢an

be

represented

by

the variables of reversal-point states only.

The

equations of the

reversal-poin,tcolumn

def!ections

v] and vU are _given

by'(

5

)-(

9

}.

The

deformed

configuration of the frameat Fi ina symmetric steady state can

be

constructed

by

joining

the equally

deformed

single-story unit

frames

shown

in

Fig.5.

The

symmetric steady state solution can

be

derived

as

(11}-(21).

'

5.

SymmetryLimitCondition

,

･

In

order to

derive

the symmetry

limit

condition, the equations

fo[

the

incremental

variation of steady state must

be'formulated.

The

rate equations

for

ri

and

ri

incase of weak'-beam

frames

are _given

by

(22>-(26)

and

transfoimed

into

theequations

(29)-(32)

and

(33)-(36)

in

termsof thesymmetric and anti-symmetric

com-ponents,

defined

as

(27)

and

(28).

The

equations

(33)-(36)

of the anti-symmetric column

deflection

bb

can

have

nen-vaniS.hing solutions only

for

the special values, so-called eigen values, of axial

force

_p.

As

the smallesL

eigen-value and the associated eigen-function, the symmetry

limit

axial

force

_psLand anti-symmetric

deflection

mode

'b,b.(x)

can

be

determined

and _given

by

{37)

and

(38}.

6.

Symmetry

Limit

Solutien

and

Symmetry

Limit

Curves

'

From the results obtained insection 5together with a.proper consideratien on the

basis

of a sufficient

'

tion foruniqueness of the incrementalvariation of steady state'`), the

following

predictions can

be

derived.

'Pl,

When

the axial

force

is

smaller than a certain limit,which

is

identicaLtothe

Euler

buckling

loacl

,

･,

equivalent

frame

modified

fTom

the original

frame

by insertingidealizedmechanical hinges at all the _plastic

hinge

located

sections, no anti-symmetric

deflection

component should appear at any value of

v,

P2.

Under

an axial

force

in

excess of the

limit

level,

transition to an asymmetric steady state or

divergence

of

the anti-symmetric

deformation

component is_possibleto occur,when the top deflectionamplitude reaches the elastic

limit.

The

results of theabove theoretical _predictioncan

be

summarized as the symmetry

limit

curves

in

Fi:gsg(a),

(b).

7.

ConcludingRemarkes

The

symmetry

limit

theory, which

had

first

been

developed

for

a cantilever

beam-column

subjected to cyclic

bending,

has

been

extended te the preblems on planarframes made of elastic-perfectly _plastic mate/riai.

By

means of theextended theory,symmetry

limit

solutions

have

exactly

been

derived

in

closed

form

for

fishbone-shaped unit

frames

subjected to completely reversed cyclic top

deflection

with continuously

increasing

amplitude

under constant colurnn axial compression.

It

has

been

_predicted

from

the theoretical study thatanti-symmetric

de-'formation

component could appear at some

finite

ievel

of top

deflection

amplitude only when the column axial ¢ompression

is

_greaterthan or equal to a certain

limit,