N地 域 間 に お け る購 買 力 平 価 の 比 較 の た め のconsistentな 指 数 づ く り
鵜 沢 ・ 秀1)
1.は じ め に
2つ の状 態 ・4,Bを 比 較 す る と き,ど の よ うな 基 準 で これ を比 較 す るか は 重 要 な こ とで あ る。 採 用 す る評 価 基 準 に 一 般 に は 依 存 して,状 態 五 と状 態Bの 順 序 付 け が き ま る。
次 の よ うな 例 に つ い て 考 え て み る。
状剛 蔀 認 騰 、階50円) 状態β儀 冒 騰 鼎oo円)
い ま,状 態 五 を基 準 に したBの 価 格 指 数 を1鋤 状 態Bを 基 準 に したAの 価 格 指 数 を ん4と す れ ぽ,一 般 に は,1超 ≒11あ4で あ る。 実 際 に,上 の例 に つ いて,・ スパ・ ・ス型 の儲 撒 を計算す る と,玩 器 珈 蓄 とな り, ムβ=1/1幽 とな って い な い。
上 で述 べ た 条 件 は,指 数 論 の 文 献 の 中 で,"時 間 逆 転 テ ス ト"と 呼 ば れ て い る も のに 対 応 す る。
さ らに,3つ 以上 の状 態 を比 較 す る とき,困 難 性 が 本 質 的 に生 じて くる。 例 原稿 受 領 日1982年8月19日
1)こ の論 文 は,倉 林 義 正教 授(一 橋 大 学経 済 研 究 所)の 御 指 導 の も とで始 め られ 充 研 究 に 基 づ くもの で あ る。 また現 実 のデ ー タを用 いた 日本 にお け る所 得五 分 位 階 層 別 の購 買 力 平 価 の比 較 のた め の 計算 方 法 の基 礎 に もな る。交 献 に 関 して 久 次智 雄 教 授 に お世 話 に な った。 記 して 感 謝 す る。 勿 論,あ り うべ き 誤謬 は全 て筆 者 の み の責 任 で あ る。
〔21〕
22
商 学 討 究 第33巻 第2・3号
え ぽ,3つ の 状 態 を 比 較 す る こ と を 考 え る 。 状 態 ・4,B,Cを 順 序 づ け る た め に,2つ の 状 態 の 比 較 を も と に 行 な う こ と は 一 般 に は で き な い 。 即 ち,通 常 の 方 法 で は,1胆=砺 ・玩 を 得 る こ と は 一 般 に は で き な い 。 こ の 条 件 は,指 数 論 の 文 献 の 中 で,"循 環 テ ス ト"と 呼 ば れ て い る も の に 対 応 す る 。
指 数 体 系 がConsistentで あ る,あ る い は,Consistentな 指 数 と は,"時 間 逆 転 テ ス ト"お よ び"循 環 テ ス ト"を 満 足 す る 指 数 が 存 在 す る こ と を い う。 これ はMukherjee・PrasadaRao[1973]に ょ っ て 与 え られ た 定 義 で あ る 。
こ の 論 文 で は,第2節 でConsistentな 指 数 づ く り の 簡 単 な 系 譜 に 触 れ,第 3節 で は,為 替 レ ー ト計 算 の 基 礎 に な る 直 接 効 用 関 数 と 間 接 効 用 関 数 と の 関 係
(双 対 性)に つ い て 言 及 し,第4節,第5節 に お い て,そ れ ぞ れ,相 似 拡 大 的 な 効 用 関 数 と 非 相 似 拡 大 的 な 効 用 関 数 の 若 干 の 型 に つ い て 為 替 レ ー トを 計 算 す る 算 式 を 提 示 す る 。 最 後 に,第6節 で 要 約 と 問 題 点 を 指 摘 す る 。 な お,証 明 は, 付 録1に ま と め て あ る 。 紙 数 の 関 係 で,簡 略 化 し た 点 は,.倉 林 ・鵜 沢[1977]
を 参 照 され た い 。
ま た,付 録2で は,仮 設 的 数 値 例 に つ い て,為 替 レ ー ト,平 均 価 格,購 買 力 平 価 を 計 算 し た 場 合 に つ い て 言 及 し た 。
2.Consistentな 指 数 づ く りの 簡 単 な 系 譜
Consistentな 指 数 づ く りは,国 際 購 買 力 平 価 の 比 較 の た め に,Geary[1958ユ に よ っ て 初 め て 提 示 さ れ た 。 彼 は,1>国,1匠 財 の モ デ ル で,次 の よ うに し て 定 義 さ れ る 乎 均 価 格 と 為 替 レ ー トと の 体 系 を 考 え る2)。
π'
ΣE争1￠
(1)ρ ド'=㌔(♂1,…,!げ) Σ ￠
ゴ=1 ぜ
況 ρ、9ノ (II)Eノ=睾(ゴ=1,…,N)
Σ ρlgl
5壽1
2)記 号 は,Geary[1958]と は 異 な っ て い る 。 こ れ は 以 下 で 用 い る 記 号 法 に よ る 。
N地 域 間 に おけ る購 買力 平 価 の 比 較 のた め のcon$istentな 指 数づ く り23
な
Σ惣1
';1
(ブ=1,…,バ リ
を 用 い て3),Consistentな 指 数 体 系(1),(III)を 提 示 した 。 彼 は,相 対 安 定 性 に 関 す る 定 理 を 援 用 す る こ と に よ っ て,こ の 体 系 に,定 数 倍 を 除 い て 一一意 の 正 値 解 が 存 在 す る こ とを 証 明 し た4)。
な お,3状 態 以 上 を 同 時 に 比 較 す る,い わ ゆ るmultilateralcompafisonの
方 法 と し て は,上 で 述 べ た も の 以 外 に も 次 の よ う な 方 法 が あ る 。 そ れ は,最 近 進 め られ て い る も の で,Caves,ChristensenandDiewert[1982]は,superlative
indexnumbersを 用 い る 試 み を 提 案 し て い る 。 しか し,紙 数 の 関 係 で 別 の 機 会 に 検 討 し た い と 思 う。
Consistentな 指 数 を 用 い た 応 用 例 は,国 連 の 国 際 比 較 プ ロ ジ ェ ク ト(Inter・
こ こ で,
カ1=第 ノ 状 態(例 え ぽ,地 域 ま た は 階 層)に お け る 第 づ 財 の 市 場 価 格, gl=第 ブ 状 態 に お け る 第 盛 財 の 消 費 量,
Eゴ=第 ブ 状 態 に お け る 為 替 ル ー ト,即 ち,購 買 力 平 価 の 逆 数, ρ∫=第 ゴ財 の 平 均 価 格
で あ る。
平 均 価 格 体 系 ρ=(ρ 、,ρ2,…,ρの と 為 替 レ ー ト体 系 ,E=(E1,E2,…,E亙)と' は,互 い に 依 存 し た(ルf十2>)ケ の 連 立 同 次 方 程 式 体 系 に.よ っ て 決 定 さ れ る 。
体 系(1),(II)に 経 済 的 に 意 味 の あ る 解,即 ち,定 数 倍 を 除 い て 一 意 な 正 値 解 を も つ た め の 条 件 お よ・ び そ の 存 在 証 明 は,Khamis[1970],PrasadaRao[1971]
に よ っ て 証 明 さ れ たo
そ の 後,PrasadaRao[1976]は,費 用 最 小 化 行 動 を 陽 表 的 に 考 慮 し た 為 替 レ ー ト体 系
な
M・ ・{Σ ρ,9̀1%ノ(9、,…,
̀胃1)一 ・'@呑 … ・ 娠)}
(III)Eゴ=
3)こ こで%ゴ(⇒ は,第 ノ 状態 に おけ る正 則 な効 用 関 数,動 は,第 ゴ財 の 消費 量 を 示 す 。
4)ブ ラ ウ ワーの 不 動点 定 理 を用 い る と正 値 解 の 存在 は 簡 単 に示 せ る。
24商 学 討 究 第33巻 第2・3号
nationa正ComparisonProject‑ICPと 略 称)に よ る 研 究[1975],[1978]が, 特 に 有 名 で あ る 。 簡 単 な 紹 介 に つ い て は,永 山 ・森 田[1981]を 参 照 さ れ た い 。 そ の 他 に,Mukherjee・PrasadaRao[1973],'Kawakatsu[1970]な ど の 研 究 が あ る 。
3.直 接 効 用 関 数,間 接 効 用 関数 お よ び 為 替 レー ト 直接効用関数%(の を予算制約式
が
Σ ρガ9̀=吻 伽 は 所 得)
5=1
の も と で 最 大 化 す る と き,適 当 な 条 件 の も と で5),需 要 関 数 4戸4」 伽,ρ)
が 得 ら れ る 。 これ を 直 接 効 用 関 数%(の に 代 入 す れ ば, (1)炉%(￠ 、(〃z,ρ),￠2伽,ρ),…,伽(勉,ρ))=%・ 伽,ρ)
が 得 ら れ る 。 関 数%■ 伽,ρ)を 直 接 効 用 関 数 砥 ￠)に 対 応 す る"間 接"効 用 関 数 と い う。 明 らか な よ うに,所 得 翅,価 格 体 系 ρ=(ρ1,ρ2,…,ρ の の と き に 達 成 で き る 最 大 の 効 用 を 示 し て い る 。
い ま,効 用 水 準 σ を 価 格 体 系 ρ の も と で 達 成 す る の に 必 要 な 最 小 支 出 額 (所 得)を 物 と す れ ぽ,
(・)∂%■ 艦 ・ρ)〉 ・,
で あ る か ら,(U,ρ)に 対 し て 一 意 に 吻 の 水 準 が き ま る 。 これ を (3)〃3=(】(乙 ろ ρ)
と 書 く こ とに す る 。 従 っ て,
(4)こ ノ=%1(〃3,メ))=%1(C(Zノ,1)),ρ) と な る 。
消 費 者 選 択 理 論 に お け るRoyの 定 理 に よ り,
(・1鑑 一梱 ρ)
5)こ こで は,次 の こ とを 仮 定 す る。(1)連 統二 階 微 分 可 能,(li)厳 密 な 増加 関 数,(ii三)厳
密 に準 凹 な効 用 関 数 で あ る。
N地 域 間 にお け る購 買 力平 価 の 比較 の た め のcons量stentな 指 数 づ く り
25(・)誹 一・(卿)・ 脚)
で あ る 。 こ こ で,λ(粥,ρ)は,貨 幣(所 得)の 限 界 効 用,￠̀伽,ρ)は,所 得 彿, 価 格 体 系 ρ の と き の 第 ゴ 財 へ の 需 要 量 を 示 す 。
(3),(4)よ り
(・!・ 一霧 錫 (・)・ 一離 譲+激
で あ る か ら,(5),(6),を 考 慮 す る と,
(・)∂響)一 却(読ρ)
(・ ・)∂c瓢 ρ)一・3(α ρ)
と な る 。 こ こ で,20(σ,ρ)藁 λ(C(α ρ),ρ〉,41(ころ ρ)… … ≡gゴ(C(α ρ),ρ)で あ る。
(9)よ り,効 用 の 限 界 費 用 が 所 得 の 限 界 効 用 の 逆 数 に 等 しい こ と が わ か る 。 ま た,(10)よ り,第'財 の 価 格 が のfだ け 増 加 し た と き,効 用 の 費 用 は,σ'の̀
だ け 増 加 す る こ と が わ か る 。 さ らに,(10>の 両 辺 に ρ'1C(α ρ)を 乗 ず れ ば,
(・ ・)∂1綴 釜 ρ)一ω1(α ρ) と な る 。 こ こ で,
ω1(σ,ρ)≡ 響 器)
で あ る。 即 ち,
婿(σ,ρ)は,効 用 水 準 σ と価 格体 系 ρ に お け る第 ぼ 財 の支 出 シエ ア の最 適 値 で あ る。 従 って,(11)よ り,価 格 体 系 ρ に お け る効 用 の 費 用 の 第6財 価 格 に 対 す る価 格 偏 弾 力 性 は,効 用 水 準 σ と価 格 体 系 ρ に お け る 第 づ 財 の最 適 支 出 シエ ア に等 しい こ とが わ か る6)。
さ て,第 ノ 状 態 の間 接 効 用 関 数 を
6)よ り詳 し くは,Then[1975]を 参照せ よ。
26
商 学 討 究 第33巻 第2・3号
(12)%多 伽,ρ)(ノ 詔1,…,M)
と し,第 ノ 状 態 の 現 実 の 所 得,価 格 体 系 を そ れ ぞ れ,〃Zゴ,グ=(ρ1,…,ρ を)と す る 。
現 実 の 効 用 水 準
(13)σ ノ=%{(勿 ￠',ρ5)
と 同 一 の 効 用 水 準 を 価 格 体 系 ρ の も とで 達 成 す る の に 必 要 な 最 小 所 得 粥 ω は 定 義 か ら,
(14)〃z(')=Cノ(σ ノ,ρ) で あ る 。
従 って,為 替 レ ー トは,
(・5)E'葦 謬 一α(髭 委 ρ)
(ブ=1,…,N)で 表 わ さ れ る 。
明 らか な よ うに,為 替 レ ー ト.Eゴ は,一 般 に,指 定 した 現 実 の 効 用 水 準 び に 依 存 し て い る 。 し か し な が ら,間 接 効 用 関 数%1伽,ρ)の ク ラ ス に あ る 制 限 を 加 え る と7),為 替 レ ー トは,価 格 指 数 だ け の 比 と し て 表 現 で き る こ と が 知 ら れ て い る 。 即 ち,次 の 定 理 が 成 立 して い る8)。
定 理9)
為 替 レ ー トEゴ は,間 接 効 用 関 数%{(解,ρ)が 相 似 拡 大 的(homothetic)な と き,お よ び,そ の と き に 限 り10),
(・6)E'一 躍)(ブ ー レ ・ ・N)
と書 くこ とが で き る。 た だ し,価 格 指 数Fノ ⇔ は,一 次 同 次 関 数 であ る 。 こ の定 理 は,
7)双 対 性 に よ り,こ の こ と は,直 接 効 用 関 数 の グ ラ ス に あ る 制 限 を 加 え る こ と と 同 値 で あ る 。 注(10)を も 見 よ。
8)我 々 の 内 容 に 関 し て 記 号 を 書 き 直 した 。
9)証 明 は,例 え ぽ,Shephard[1970】,Samuelson・Swamy[1974]を 参 照 せ よ。
10)間 接 効 用 関 数 喝(粥,ρ)が 相 似 拡 大 的 で あ る こ と と,そ れ に 対 応 す る 直 接 効 用 関 数
%ノ(の が 相 似 拡 大 的 で あ る こ と と は 同 値 で あ る 。 証 明 は,Samuelson[1965]・ を 参 照 せ よ 。
N地 域 間に お ける 購 買 力平 価 の 比較 のた め のconsistentな 指 数づ く り
27間 接 効 用 関 数 嫉 勉,ρ)が,相 似 拡 大 的 な と き,お よ び,そ の と き に 限 っ て, (17)!'(z6{(〃z,ρ))・ 、F'(ρ)=〃z
と 書 け る11),た だ し,・F1(ρ)は 一 次 同 次 関 数,と い う命 題 か ら導 か れ る 。
4..相 似 拡 大 的 な 間 接 効 用 関 数 に よ る 購 買 力 平 価 の 指 数 体 系 に つ い て'
PrasadaRao[1976]が 提 示 したConsistentな 指 数 体 系 は,第2節 で 既 に 述 べ た 。 今,こ こ に 再 述 す れ ば,
Σ 助lgl (1)ρ ∫=ゴ=1亙(∫1,…,M)
Σ σ1・
ゴ=1
(m)ρ 一M血{加 陥 ㌶ ゼー噸 ・ ・媒)}(ノ ー璃N)
Σ ρ1σ ノ
'=1
で あ る 。
し か し な が ら,こ の よ うな 一 般 的 な 形 の ま ま で は,特 にE'の 性 質 に つ い て は,明 ら か で は な い 。 と こ ろ が,前 節 で も展 開 し た よ うに,相 似 拡 大 的 な 効 用 関 数 を 特 定 化 す れ ば,指 数 の 性 質 に 対 す る 見 通 し が つ く こ と が,多 く の 研 究 に よ っ て 明 ら か に さ れ て お り12),特 に,関 数 論 的 接 近 に よ る 指 数 理 論 の 展 開 に お い て 多 く用 い られ て い る 。
以 上 の 理 由 か ら我 々 が 検 討 し よ う とす る 関 数 型 は,本 節 で は,相 似 拡 大 的 な 効 用 関 数 の 中 か ら 良 く知 ら れ て い る ク ラ ス を と り出 し た も の で あ る13)。
検 討 さ れ る 関 数 型 は,(i)Cobb・Douglas,(ii)CES,(iii)分 離 可 能 な も の,(iv) Bergson,(v)M量nkowski・Hδlder,(vi)ACMSU型 の そ れ ぞ れ で あ る 。
11)こ こ で,∫ ノ(喝吻,ρ))≡ 麟 η{酬 θノ(σ)≧ πゴ(勉,ρ)で あ る 。 た だ し,Gは,σ に 関 し て 有 限 な 値 を と り,非 負,上 半 連 続,非 減 少 関 数 で,G(0)=0で あ る 。Shephard [1980]pp.167‑168の 定 理 お よ びpp.301‑304を 参 照 せ よ。
12)例 え ば,Samuelson‑Swalny[1974]を 参 照 せ よ。
13)第5節 で,非 相 似 拡 大 的 な 間 接 効 用 関 数 に つ い て い くつ か 例 を あ げ て 検 討 す る 。
28 .商 学 討 究 第33巻 第2・3号
4‑1.Cobb・Douglas型 の 効 用 関 数 の 場 合 命 題1
Cbb・Douglas型(直 接)効 用 関 数
ぜ な
%(の=π(4∫)α 〜8̀>0,Σ θ̀=1
̀=1̀罵1
に対応す る間接効用 関数 は,
鵬 力)一 鴫 艦)角
で あ る 。
従 っ て,第 ノ 状 態 に お け る 為 替 レ ー トは,
(・ 四E畷 一ゑ(妾)α1(ノ ーレ… 劫
で あ る 。 こ こ で, σ恒 ρ191'
ヨ ぜ り
Σ ρ14∫
8=1
即 ち,第 ブ 状 態 に お け る 第 づ 財 の 支 出 シ ェ ア に 等 し い 。
指 数 体 系(1),(1yσD)は,Consistentな 指 数 で あ る か ら,購 買 力 平 価 の 比 較 に 用 い られ る 助 。
4‑2.CES型 の 効 用 関 数 の 場 合 命 題2
CES型(直 接)効 用 関 数
・(の 一[議の(姻 ナ
け
α」>0,Σ αf=1,β 〉‑1,β ≒Q
∫=1
に 対 応 す る間 接 効用 関 数 は,
鵬 ρ)一吻 ・[躍 Σ(の̀ 昌1)毒(か)舟 亨 噛
14)こ の指 数 体 系 に よる仮 設 数 値 例 が,付 録2に あ る。 そ こで は,指 数 体 系(1),(II)に よ
る場 合 も比較 の ため に 計 算 され てい る。
N地 域 間 に お け る購 買力 平 価 の 比較 の た め のCQnsistentな 指 数 づ く り29
で あ る 。
従 っ て,第 ノ 状 態 に お け る 為 替 レ ー トは,
1+β ∫
一 剃 鍛 馨〕7一 劫
で あ る 。
こ こで 注 意 す べ き 点 は,σ1,β 」は,現 実 の 価 格 体 系 お よ び 数 量 デ ー タ が,σ ∫ か ら計 算 で き る こ とで あ る15)。
指 数 体 系(1),(1y切8)は,Consistentな 指 数 で あ る か ら,購 買 力 平 価 の 比 較 に 用 い られ る 。
4‑3.分 離 可 能 な 効 用 関 数 の あ る ク ラ ス の 場 合16) 命 題3
分 離 可 能 型(直 接)効 用 関 数
%(∬ の=Σ(ὰ)差(￠ 、)・ 一ナ,δ ≒ 軌1
5=1
に 対 応 す る間 接 効 用 関数 は,
、
噛 力〉 一 伽)踊 の(ρ ゴ)1‑6]ま
で あ る 。 .
従 っ て,第 ノ 球 態 に お け る 為 替 レ ー トは,
れ リ エ
(・ 榊 ≡饗 一雪鴛i≡;蔀(臨Nゲ
̀=1
で あ る 。
こ こ で,α1,が は,現 実 の 価 格 体 系 お よ び 数 量 デ ー タ が,￠'か ら計 算 で き る
じ コ
15)Σ 躍1(gl)β3‑1お よ び ・1="1(21)β'が 成 立 す る 。 こ こ で,ω{§(ρlgl)〃(即 ち ∫第
ゴコ ユ
ノ 状 態 に お け る 第'財 の 支 出 シ ェ ア を 示 す).で あ る 。 16)Scarf[1併3],p.65を 参 照 せ よ。
30商 学 討 究 第33巻 第2。3号
こ と を 注 意 し て お く17)。
指 数 体 系(1),(1γ の は,Consistentな 指 数 で あ る か ら,購 買 力 平 価 の 比 較 に 用 い られ る 。
4‑4.Bergson型 の 効 用 関 数 の 場 合 命 題4
Bergson型(直 接)効 用 関 数
/議齢 か 一・脚 の・き)
錫(の=
1痔 ・(1・9・'),毒 ・・ 一 ・(・一・ の と き) に 対 応 す る間 接 効 用 関 数 は,
/伽)・ ・[π ∫ Σ(α∫ 遣1)一 嵩(ρ 痢 『(囲 (∂≒0￠)と き)
獅 「 浄
b ・b,一 かb、 あ(・ 一・のとき)
で あ る 。
従 っ て,第 ブ 状 態 に お け る 為 替 レ ー トは,
ゐノ ユ ノ
… 喉;鵠 軒(一 一 のと き)
診=1
(・y盟 ≡繋 鯛 吃(価 ・ ・N脚 のとき〉
で あ る18)。
こ こ で α1,∂ノ は,現 実 の 価 格 体 系 お よ び 数 量 デ ー タ か ら計 算 で き る19)。
・7)勇(ω ρ西'(9̀)・一・'一・ お よ び ・1‑(・1)・'(,1)・一・・ヵ・成 立 す る 。 こ こ ℃ ・1・(♪1,ly〃
ほニ エ
(即 ち,第 ブ状 態 に お け る第 ゴ財 の支 出 シ ェア を示 す)で あ る。
ぜ
18)(1レ 『)セま(v7(70)に 一 致 し て い る 。 こ れ は,直 接 効 用 関 数 駕(の=μ@)α ゴを 対 数 変 換
ほコ
す る と,Bergson型(δ=0の と き)に な る こ と か ら 明 らか で あ る 。
・9滴 。{(,1)一 ・'一・ お よび ・{一 ・1(,1)一 ・・ が 磁 す る.こ こ で 。1ミ(ρ1,1)伽 ・(賜,
ニ ユ
第 ゴ状 態 に お け る第 ゴ財の 支 出 シ ェアを 示 す)で あ る。
N地 域 間 に お け る購 買力 平 価 の 比較 のた め のconsistentな 指 数 づ くり319
指 数 体 系(1),(∫ レPβ)また は(1),(1γ 召)は,Consistentな 指 数 で あ る か ら, 購 買 力 平 価 の 比 較 に 用 い られ る 。
4‑5.Minkowski・H61der型 の 効 用 関 数 の 場 合 命 題5
Mlnkowski.Hδ 正der型(直 接)効 用 関 数
耐 爵(のア]乳・≒③ ・ 驚
に 対 応 す る 間 接 効 用 関 数 は,
・、吻,ρ)一 吻 。‑1
[葱㈱島r
で あ る 。
従 っ て,第 ブ 状 態 に お け る 為 替 レ ー トは,
αゴー1昌一 喋 鶴]7一
で あ る 。
こ こ で,α'は,現 実 の 価 格 体 系 お よ び 数 量 デ ー タ が,♂ か ら計 算 で き る20)6 指 数 体 系(1),(〃'齪)は,Consistentな 指 数 で あ る か ら,購 買 力 平 価 の 比 較
に 用 い ら れ る 。 、
4‑6.ACMSU型 の 効 用 関 数 の 場 合 命 題6
ACMSU型(直 接)効 用 関 数
ミ
%(4)=π[%(・)(σ(・))]'ε ・ 5=1
こ こ で,
20)てgl)α ノ=媛(錘1,…,ル の が 成 立 す る 。 こ こ で,ω1窪(ρ 弼)伽 ノ(即 ち,第 ノ状 態 に お
け る 第 ゴ財 の支 出 シ ェ アを示 す)で あ る。
書
》
32商 学 耐 究 第33巻 第2.3号
̲■
・(s'(・̀εり 一[濡
、α・(・・)一馬]衡
ロ ど
ὰ>0,ρ 、>0,Σ ρ、=1, ε=1
‑1<β8〈oo ,β ε≒0,
に 対 応 す る間 接 効用 関 数 は,
ぶ 勿￠.π(ρ ε)ρε
駒(卿)=妙 誌 岬
こ こ で,
ユ
・r械 ρ伊'〉 一[Σ(α ぎ
'ε1Vs)町(ρ刑 而 ・ び・ヨf礪
1、 で あ る 。
従 っ て,第 ノ 状 態 に お け る 為 替 レ ー トは,
個 磯 膿;;;げ
で あ る 。
こ こ で,峠 σ1,ρ1は,現 実 の 価 格 体 系 お よ び 数 量 デ ー タ が,σ5か ら計 算 で き る21)。
指 数 体 系(1),(1レ'燗8σ 〉 は,Cons量stentな 指 数 で あ る か ら,購 買 力 平 価 の 比 較 に 用 い ら れ る 。
曝 繭 轍 、論 一 一
嶋 轟 沸 第 ノ状態の魏 一 内におけ・第 ・財の支出シ・アを
示 す)で あ る。
N地 域間における購買力平価の比較 のためのconsistentな 指 数づ くり33 5.非 相 似 拡 大 的 な 間 接 効 用 関 数 に よ る 購 買 力 平 価
の 指 数 体 系 に つ い て
第3節 の定 理 で 明 らか に した よ うに,指 定 した 効 用 水 準 か ら独 立 に,価 格 指 数 の み の比 率 と して 為 替 レー トが計 算 で き る の は,間 接 効 用 関 数 が相 似 拡 大 的
な と き,し か も,そ の と き に限 られ る。
ノ
し か し な が ら,非 相 似 拡 大 的 な 間 接 効 用 関 数 の あ る ク ラ ス は,実 証 的 に も,理 論 的 に も し ぼ しぽ 用 い られ て お り,そ の 重 要 性 は 否 定 で き な い 。 そ こ で,こ の 節 で は,非 相 似 拡 大 的 な 間 接 効 用 関 数 に つ い て 購 買 力 平 価 の 指 数 づ く りを 試 み る 。
検 討 さ れ る 関 数 型 は,(i)Klein・Rubin,(ii)一 般 化 され たKleinRubin型 の そ れ ぞ れ で あ る 。
5‑1.Klein‑Rubin型 の 効 用 関 数 の 場 合 命 題1
Klein・Rubin型(直 接)効 用 関 数 ぜ
%(の=Σ αflo9(95一 γ1), f=1
αf>0,Σ αf=1,
ざ=1
(γ̀は,第 乞 財 のsubsiste蕊elevelに お け る 消 費 量 を 示 す 〉 に 対 応 す る 間 接 効 用 関 数 は
ぜ み
%」 伽,ρ)ニ Σ αflo9α,十lo9[初 一 Σ ρぎγfコー Σ αflo9あ
ゴ=1̀=1ぎ 吊1
で あ る 。
従 っ て,第 ブ 状 態 に お け る為 替 レ ー トは,
(1γ朋)ρ ≡ 耀 一磁(診{・(・‑1がD・ 自 ・1㈲(ノ ー圃
こ こ で, ぜ
Σ ρ1(￠一 γ1)
iφノ1峯 ε=1吻 ゴ
で あ る 。
,ρ ぎ≡ ≡ 雲∫ γぎ
碧 瑠
34 .商 学 討 究 第33巻 第2・3号
α1は,現 実 の 価 格 体 系 お よ び 数 量 デ ー タ が,gゴ か ら計 算 で き る22)。
㈱ 支 出 シ 。 ア 礁 蟹 と,・ ・b…t・n・el・v・1を 繊 る 消 費 支 出 シ 。 ア α1,subsistenceleveRこ お け る 消 費 支 出 シ ェ ア ρ1,お よ び,全 消 費 支 出 額 の う ち,subsistenceleve1を 上 回 る 消 費 支 出 額 の 割 合 を 示 す1φ ノ1と の 問 に は,次 の 関 係 式 が 成 立 す る こ と が 知 られ て い る23)。L
勿{=ゆ 」トαぎ+(1‑}φ ゴ}〉 ・ρ1。
指 数 体 系(1),(lyPκ 丑)は,Consistentな 指 数 で あ る の で,購 買 力 平 価 の 比 較 に 用 い られ る 。
5‑2.一 般 化 さ れ たKlei皿 ・Rubin型 の 効 用 関 数 の 場 合 命 題2
一 般 化 さ れ たKlein・Rubin型(直 接)効 用 関 数 一舌
・(の=[碧 α・(σ・一 γ・)一・]
な
ὰ>0,Σ αF1,β 〉‑1,β キ0
ゴ竃1
に 対 応 す る間 接 効 用 関 数 は,
ぜ 甥 一 Σ ρまγま
%1伽,ρ)=一 同 、+β
[夏 Σ(αゴ8=1)論(ρ 痢 ア で あ る 。
従 っ て,第 ゴ 状 態 に お け る 為 替 レ ー トは,
エ
ー 喋 礁 霧;;謬;≡;/両
・鋤 。1。 響 一γ1)が 成 立 す 、.
Σ ♪{(gl一 γぎ)
のま ユ
23)Thei1[1975],pp,121‑123を 参 照 せ よ 。
N地 域 間 に お け る購 買 力 平価 の比 較 の ため のconsistentな 指 数 づ くり
・(・一[φ・D・期 多)(ノ ー ・・ … ・N)
こ こ で,
み
1グ1≡ 鰯 肇 … ・ 瀞 僻 鵡 素
で あ る 。
α1,βノ は,現 実 の 価 格 体 系 お よ び 数 量 デ ー タ が,4か ら計 算 され る24)。
35
㈱Kl・ ・ ルR・ … 型 剛 ・ 議論 と同 様 ・ ・して,支 出 シ ・ ア ω1≡ 蟹 ・・
subsistencelevelを 越 え る 消 費 支 出 シ ェ ア"1,subsistencelevenこ お け る 消 費 支 出 シ 孫 ア ρ1,お よ び,.全 消 費 支 出 額 の う ち,SubSiStenCeleVelを 上 回 る 消 費 支 出 額 の 割 合 を 示 す1φ η と の 間 に は,次 の 関 係 式 が 成 立 す る。
"1=1φ ゴ樗+(1‑1φ ゴD・ ρ1。
指 数 体 系(1),(lyθK盈)は,Consistentな 指 数 で あ る の で,購 買 力 平 価 の 比 較 に 用 い られ る 。
6.要 約 と 問 題 点
第4節 で は 相 似 拡 大 的 な効 用 関数 の ク ラ ス の 中 か らい くつ か の 関 数 型 に つ い て.盈 の 決 定 とそ の スド シ フ ィケ ー シ ョ ソに つ い て 論 じた 。 第5節 で は,同 様 の こ とを,非 相 似 拡 大 的 な 効 用 関 数 の ク ラ ス の若 干 に つ い て行 な った 。
我 々が 試 み よ う とす る1V地 域 間 に お け る購 買 力 平価 の比 較 の た め のcon・
sistentな 指 数 体 系 は,第4節 と第5節 とで 与 え られ た 。
しか しな が ら,い くつ か の間 題 師 ミ 痴 て い る の で,以 下 そ れ に 触 れ て み た
い0
24)護,1、,1‑,1、 閥 同 と 。1.軽,1、 ・ 臓 立 す 。.こ こ℃ 。1ミ 姜1(・ 嵩 ρ1(9孟 ≒71) , 一ゆ
(即 ち,subsistenceleve1を 越 え る 消 費 支 出 シ ェ ア を 示 す)で あ る 。
36
商 学 言 寸 究 第33巻 第2・3号
(1)価 格 デ ー タ と数 量 デ ー タの入 手 容 易 性 につ い て
価 格 デ ー タは,比 較 的 容 易 に 入 手 可 能 で あ り,日 本 の価 格 デ ー タは,そ の信 頼 性 が 高 い とい わ れ てい る。 これ に 対 して,数 量 デ ー タは,'入 手 が 困 難 で あ る。 一 つ の方 法 と して 採 用 で き そ うな も のは,価 格 デ ー タ,支 出額 デ ー タお よ び支 出 シ ェア の デ ー タを 用 い て間 接 的 に 推 計 す る方 法 で あ る25)・26)。
(2)効 用 関 数 の 選 択 に つ い て
どの効 用 関 数 を選 択 す るの が 最 良 で あ るか 先 験 的 に は決 定 で きな い。 即 ち, ど の タ イ プの 為 替 レー トEノ を 用 いた ら よい か に つ い て我 々は まだ 充 分 な る 知 識 を もっ て い な い 。 した が って,今 後2つ の ア プ ロ ーチ が 考 え られ る。 一 つ は,上 で 考察 した 複 数 の為 替 レー トを 用 い て"購 買 力 平 価'1を 求 め て 比 較 検 討 す る方 法 で あ る 。 他 の一 つ は,あ る基 準 に 最 も適切 な為 替 レー トは,ど の よ う
な もの か を求 め る こ とで あ る。
(3)比 較 対 象 に つ い て
比 較す べ き対 象 に は,状 態 と商 品 との 組 み 合 せ が重 要 な要 素 とな る 。 即 ち, 野 田[1970]も 指 摘 す る よ うに,購 買 力 平 価 は,比 較 す べ き対 象 国 と,そ の 商 品 の組 み 合わ せ に 応 じて定 義 され る もの で あ る。 従 って,ど の よ うな商 品 の組 み 合 わ せ を選 択 す べ きか とい うこ とは 勿 諭,ど こ の地 域(あ るい は 国,階 層 な
ど)を 選 択 す べ きか とい う重 大 な 問 題 が 存 在 す る こ とを 指 摘 して お く27)。
付 録L第4節 お よび 第5節 の 命 題 の導 出
こ こで は,第4節 お よ び 第5節 の 命 題 の 導 出 に 関 して,紙 数 の 制 約 を考 慮 し て,簡 略 に 行 う。
直 接 効 用 関 数 と間 接 効 用 関 数 と の問 の関 係 に つ い ては 第3節 で 述 べ た よ うに 次 の よ うに な っ て い る 。
25)消 費 者 物 価 指 数 な ど で は,こ の 方 法 に 頼 っ て い る 。
26)価 格 デ ー タ を(A,ρ2,…,ρ 初,未 知 の 数 量 デ ー タ を(￠ ユ,g2,…,g幻,支 始 額 デ ー タ を 甥,支 出 シ ェ ア の デ ー タ を(α1,α2,…,α の と す れ ば,定 義 よ り αf=塑(西1,…,」 曜)
で あ る。 従 って,4̀=α 翅 偽 と未 知 の数 量 デ ータ を推 計 で きる。 ただ し,そ のた め に は,支 出 シ ェア が一 定 で あ る ことが 暗 黙 の 繭 提 に な って い る ことに 注 意 し よ う。̀
27)一 つ の 提 案 が永 山 ・稲 橋[1969]に よ って 試 み られ てい る。
N地 域 間 に お け る購 買 力 平価 の比 較 の た め のconsistentな 指 数 づ く り37
ハ
直 接 効 用 関 数%(σ1ジ ・ ●,(〜 翌)を 予 算 制 約 式 Σ ρ融=勉 の も とで 最 大 に す る 需
f=1
要 量 の は,一 般 に,所 得 勉 と価 格 ρ=(ρ、,…,加)と の 関 数 と して表 わ され る。 これ らを 直 接 効 用 関 数 に 代 入 した結 果 は,所 得 吻,価 格 ρ の も とで 達 成 可 能 な 最 大 の効 用 を 表 わ して い 筒。 これ を直 接効 用 関 数%(g)に 対 応 す る間 接 効 用 関 数%」(吻,ρ)と い う。
効 用 最大 化 の一 階 条 件 は,ラ グ ラ ン ジ ェ乗 数 を λ とす れ ば, (・)諾 一 ・ ρ'(・ 勾… ・M)
な
(2)Σ ρ̀4F〃z
f=1
と な る 。(1),(2)か ら の と え に つ い て 解 く こ と が で ぎ れ ば,間 接 効 用 関 数 は 求 め られ る 。
(i)直 接 効 用 関 数 がCobb・Douglas型 の と き (1)嫁,次 の よ うに な る 。
ル
(・ 一・)象 君(・ ・)・ 一・A
従 っ て,ぜ
(・ 一・)φ ・ ・F警 忍(・ ・
これ を(2)に 代 入 して 整 頓 す れ ぽ,
㈹ 概樹1窮
(i1)よ り
鯉)帰 降 縛
(}‑3),(i‑4)よ り
箇)喉 搾
381商 学 討 究 第33巻 第2・3号
マ み
Σ σ、=1に 注 意 して,%(σ)=π(4誰 に 代 入 し,整 頓 す れ ば,命 題1の 主 張 が
ト1ぎ=1
成 立 す る 。
(ii)直 接 効 用 関 数 がCES型 の と き (1)は,次 の よ う に な る 。
(iir1)ὰ((1̀)一(ρ+1)[%((1)=1(β+1)=λ1)̀
こ れ か ら
エ エ ユ
(ii‑2)(1f=z5((1).」 え一南1α ピ函=≡11)歪一陥1
こ れ を(2)に 代 入 し て λ に つ い て 求 め る と,
(・ ・‑3)・(の 油 一駕/{嵩(・ ・)詣㈱ ゐ}
従 っ て,(ii‑2)と(ii‑3)よ り
(・i‑4>・ ・ 一粥・{碗 ρ ・ ジ歯}/{善(碗 碗
・れ構 効騰 姻 急姻 量 に代入して整頓すれ齢 題・の
主 張 が 成 立 す る。
(iii)直 接 効 用 関 数 が 分 離 可 能 型 の と き (1)は,次 の よ うに な る。
(・ ・i‑・)(・ 一 去 〉・・ ナ・・ 『距 ・ρ・
これ か ら
(iii2)・'一 ・一・・の(・ 一 ÷)わ ・ρ評
こ れ を(2)に 代 入 し て λ に つ い て 求 め る 。
(iii‑・)渚 ・(・ 一÷)ゐ一櫨 ・・(酬
(iii‑‑2>,(iii‑3)よ り
(iii‑4)￠F鵬 ρ・‑6/Σ ・・ ㈱ ト う
f=1
N地 域 間 に お け る購 買 力平 価 の 比較 のた め のconsistentな 指 数 づ く り39
な エ
これ を 直 接 効 用 関 数%(の ニ Σ(α')5(σ∂1一 万 を こ代 入 し て 整 頓 す れ ば,命 題3の
'=1
主 張 が 成 立 す るp
(iv)直 接 効 用 関 数 がBergson型 の と き28) (1>は,次 の よ う に な る 。
(iv‑1)α ゴδ(σf)う『1==2ρ ぎ こ れ か ら
ユ ユ エ
(三v‑2)9F2胴 ・・δ一旋 ・・α,一蔚 ψ 戸 ・ こ れ を(2)に 代 入 し て,λ に つ い て 求 め る と,
(・v‑・)・ 嵩 ・・一起 吻/当(・ 、)一 嵩 ㈱ ム
3旨1
(iv‑2)と(iv‑3)か ら
(iv‑4)炉 鵬 一占 ρ庫/当(・ 、)一 嵩 ㈱ ∴.
ガ=1
これ を 直 接 効 用 関 数%(g)=Σ αゴ(g')う に 代 入 す れ ば,命 題4の 主 張 が 成 立 す
∫=1' る 。
(v)直 接 効 用 関 数 がMinkowski・H61der型 の と き (1)は,次 の よ う に な る 。
(v‑1)(9」)α 『1[%(の]1‑』 λρf こ れ か ら
ユ ユ
(v‑2)《7f=λ 肩%(σ)(1),)両
こ れ を(2)に 代 入 し て λ に つ い て 求 め る と,
ル ぴ ロ
(v‑3)λ 面 噸 嘲/Σ ㈱ 肩
3‑1
(v‑2)と(v‑3)か ら
ユ ノ ゆ
(v‑4)9'訓 ρ蛭/Σ ㈱ 荷
8‑1
28)δ=0の と き は,Cobb・Douglas型 に 帰 着 す る の で 省 略 す る 。
40商 学 討9究 第33巻 第2・3号
・瀧 接効欄 ・耐 勲f・ ・代入して整頓すれ齢 駒 主
張 が 成 立 す る 。'
(vi)直 接 効 用 関 数 がACMSU型 の と き (1)は,噛 次 の よ うに し て 求 め られ るo
ど
Jo8%(の=Σ ρ5108%(3)(9(5))
S=1L
だ か ら,
(・・ 一・)あ ・∂ 響 一。。・1毒 。・)・ ∂%(1募 佃') と こ ろ が,
卿 ・ ・(9(3))一 一志 如9[黒 ・・(σ 州 だか ら
砂レ・)み)・ 響)一 継 課}
従 っ て,
禽
一月 ㈲ @ ㈹ % [
=}
噛 の 砥 Σ必
{に 注 意 す れ ば,(vi‑1),(vi‑2)よ り,(1)は,次 の よ う に な る 。
(vi‑3)%(σ)ρs[%(s)(σ(3))]β3α べ(1f)一(1+βs}=λ 」クf
こ れ か ら
ユ ユ タミ ユ ユア
(vi‑4)《1i=λ 一1孤[%(の]f孤 ρs繭[%(5)(4(3))コf孫 ὰ蔽s(ρ̀)一 礪
ここ鍋r毒 ,とお砿
(vi‑4a)σf=λ 一σ3[%(の]σsρsσs[%(5)(9(s))]1一 σsαfσε(ρf)一σs
と な る 。(vi‑4a)を%(3)(σ(5))に 代 入 す る と,
…(…)一[評(の)一 癖
ユ
=認 媚 一㎎(・ ω)瑠5鯉(α 個'))卜 騨 ㈱ 一呼 禽}属
N地 域 間 に お け る購 買力 平 価 の 比 較 のた め のconsistentな 指 数づ く り
〉
一酒[・(のM…(…)抽{黒 ・艀 騨
た だ し,1一 β、σ、=σ,,び 、β,=1一 σ、 と な る こ と に 注 意 せ よ(何 故 な ら ば, σ,≡111+β,だ か ら)。
従 っ て,
⊥ (・i‑5)λ [・(・)]饗 一[・⑮'醐 σs{黒 ・酬 卜 σ 磨 あ る い は,σ 、≡111+β,に 注 意 す れ ば,
̲」 一一
(・1‑5・)・ 塑)一 λ一1[・(9)]禽{黒 ・綱1一 呼1 お
と な る 。(vi‑5a)を%(g)=π[%(s)(g(s))]ρ 亨 存こ 代 入 す る と29), 5=ユ
・(の、ゑ{・一・ に ・剛 温 ・押(ρ・)・ …}嵩}
お
÷ 吻)ゑ も 轟 鉢}毒
従 っ て,
ぶ π ρ5 (vi‑6)λ=85=11
烈 黒 ・浴㈱1一り 薦
他 方,(vi‑5の よ り
(・i‑7)[・ ⑮1(・個')]1 一 λ鱈 一1[・(・)]1一瑠 {贔 ・細 ・)トり 一1
こ れ を(vi‑4a)に 代 入 し,整 頓 す る と,
(・i‑8)σ 戸 λ一1・ ・(咽 穀 望陥)1 }‑1・α押 ㈱ と な る 。
従 っ て,
お
29)Σ ρ8=1に 注 意 せ ぶ。
ε二1
4ヱ
42商 学 討 究 第33巻 第2・3号
黒 ム 炉 λ一1・・(の ・・{、景,α1σs(ρ・)1 }‑1・{謀 ・押 ㈱1一 σ窪
=λ 一1・〃(の ρ。
ぶ
よ っ て,(2)よ り;Σ ρ、=1に 注 意 す れ ば,
5言1
お お
〃Z=Σ]Σ カ̀9̀=λ 一1.zφ(σ)Σ ユρε=λ 一1・z4(￠) 5=1∫̀π ・
.5‑1
即 ち,
(vi‑9)%(9)=〃z。 λ
よ っ て,(vi‑6)ど(vi‑9)よ り,命 題6の 主 張 が 成 立 す る 。 (vii)直 接 効 用 関 数 がKlein‑Rubin型 の と き
(1>は,次 の よ うに な る 。
(・・i‑・)轟,噸
これか ら
(・ii‑2)ρ炉 伽+穿
これ を(1)に 代 入 す れ ば(Σ α'=1に 注 意),
f=1 .
(・ ・i‑・)÷ ・慧 ρ一
(vii‑2),(vii‑3)よ り
だ
6・レ・) '{勉 一Σ 齢8=1ρ'}
こ れ を 直 接 効 用 関 数%〈 σ)=Σ ὰ10g(の 一 γ∂ に 代 入 す れ ぽ,命 題1は 成 立 す
出1るo.・
(v韮i)直 接 効 用 関 数 が 一 般 化 さ れ だKlei蜘Rubin型 の と き (1)は,次 の よ う に な る 。
(。iii‑1)[%@コ ・+β。、(σ,一γ,1‑・・+β・=2ρ,
これ か ら
N地 域 聞に お け る購 買力 平 価 の比 較 の た め のconsisten亡 な指 数 づ く り
エ
(viii‑2)9̀一 γF%(9)α ゴ ・ 帥 λ一獅 βグ 飛 (2)に 代 入 し て 整 頓 して,λ に つ い て 求 め る と,
ム 1〃Z一 Σ ρ妻γ言 (viii‑3)%(σ)λ 一廓=虹13=1β
Σ α画 β(」ウ'〉耳 了β
㌍1
(viii‑2),(viii‑3)か ら
包iiF、)卿一噂 攣{攣 η}
Σ α,師 ㈱ 耶
∫=1
よ っ て,(viii‑4)を 直 接 効 用 関 数
・(・)一[昏(卿 可 云
に 代 入 す れ ぽ,命 題2の 主 張 が 成 立 す る。
付 録2.仮 設 的 数 値 例 に よる 購 買 力 平 価 の 比 較
43
購 買 力 平 価 は,為 替 レー トE」 の逆 数 と して 求 め られ るの で,我 々は 平 均価 格 体 系 の と為 替 レー ト体 系(∬)な い し(∫ γσD)に つ い て 考 察 す る。
指 数 体 系(1)と(∬)と をGearyとKhamisに ち な ん でGK法 と略 称 す る。
また,指 数 体 系(1)と(∫ γσP)と を為 替 レー ト体 系 の 計 算 法 に ちな んで,CO 法 と略 称 す る こ とに す る。
理 論 的 に は,0κ 法 に して もC、0法 に して も連 立 同 次 方 程 式 体 系 を 解 くこ
ロ
と に か わ り は な く,従 っ て,計 算 で こ の 解 を 求 め る こ と は,不 動 点 を 求 め る ア ル ゴ リ ズ ム の 開 発 に か か わ る 。 こ こ で は,近 似 計 算 の 一 つ と し て,く り返 し 法 に よ る も の を 採 用 し た 。
第'回 目 のiterationの 結 果 をEゴ(彦),但 し,E■('〉=1と 基 準 化 す る 。 平 均 価 格 体 系(1)に よ り カ̀② が 求 ま る 。 こ の ρゴ ② を 為 替 レ ー ト体 系(11)ま た は (π σo)に 代 入 す る と,為 替 レー トが 求 ま る 。 こ の 為 替 レ ー トの 体 系 をE」(肝1)
=1と な る よ う に 基 準 化 し た も の を,第(≠+1)回 目 のiteratiOnの 結 果Eノ('+1)
と記 す こ と に す る 。IEゴ α+1)‑E'(釧 が 充 分 小 さ い と き,我 々 は,そ の と き の
44商 学 討 究 第33巻 第2・3号
E娘+1)と ρゴ ￠+1)と を 均 衡 為 替 レ ー ト,均 衡 平 均 価 格 と 呼 ぶ こ と に す る 。 [数 値 例1]
3状 態 仏 」 玩 πZ)・2財(1,2)の モ デ を を 考 え る ・
価 格 デ ー タ 数 量 デ ー タ
謹111・ ・1・ ・1謹 巨1・ ・lIII
.10.15α20,2/314零3 20.20.150.2/32243
価 格 デ ー タ,数 量 デ ー タ は 上 の よ うに な っ て い る と仮 定 す る 。iE砲+1)‑
Eノ(≠)1<10‑8に な っ た と き 解 と し た30)。
(1‑1)GK法 に よ る 結 果 iteratiQns=8
均 衡 一 儘 認
均衡平均畷;:=1:號1
一 力 平 価 翫 犠
従 って,購 買 力 は,均 衡 購 買 力平 価 が 小 さい 値 の方 が 大 きい こ とを 考 慮 す れ ば,状 態 ろ ∬,∬ ∫が 同 一 貨 幣 表 示 で あ れ ぽ,購 買 力 は,状 態 瓦 状 態 皿,状 態1の 順 序 に 高〜・ ・
(1‑2)CD法 に よる 結 果 iterationr=8
均 衡 一 儀 篇
'
30)計 算 は,マ イ ク ロ コ ソ ピ ュ ー タ ーNEC8000シ リ ー ズ で,倍 精 度 で 行 な っ た 。
N地 域 間 に お け る購 買 力 平価 の比 較 の たφ のconsisientな 指 数 づ く り
均衡平均畷1::1:灘
一 力 平 価{籔 撒
45
従 って,購 買 力 は,状 態 ろZ乙 π1が 同一 貨 幣 表 示 で あ れ ば,状 態 瓦 状 態 ろ 状 態,皿 の順 序 に 高 い 。
,な お,参 考 まで に 効 用 水 準%ノ(aり と均 衡 平 均価 格 体 系 の も とで 支 出 額 を 最 小 に す る 需 要 量 劔 を 求 め る と,
z〆(バ9)=3.03143
撫 押
{;1:1:灘 信ll:::lllll
で あ る 。
lafπ=1・361951 a∫・・=3.65477
こ の 数 値 例 は,特 殊 す ぎ る と 思 え る よ うに,0κ 法 とC1)法 と で,購 買 力 の 順 序 が 入 れ か わ る こ と を 示 し て い る 。
[数 値 例2]
3状 態(ろ1ろ ∬1)3財(1,2,3)の モ デ ル を 考 え る 。
価 格 デ ー タ 支 出 シ ェ ア
謹 戸lII
III1 2 3
・5・i・8・
200 350
160 280
200 230 250
爵＼轡lI IIlIII
1 2 3
0.6 0.3 0.1
0.1 0.7 0.2
0.3 0.4 0.4
「
支 出 額 デ ー タ
＼ 華lIIIIl・II
支 出劉 ・ ・・…1・ ・ ・…i・2・ …
価 格 デ ー タ,支 出 シ ェ.ア ・デ ー タ,支 出 額 デ ー タ は,上 の よ うに な っ て い る
46 、 商 学 討 究 第33巻 第 ・・ 謁
と仮 定 す る 。 霞 砲+1)‑E∫(酬 く10‑8に な っ た と き 解 と し た 。 (2‑1)Gκ 法 に よ る 結 果
iteratio1ユs==12
…… 儀 黙 均 衡 一{難ll 一 礪魏
従 っ て,購 買 力 は,状 態1,瓦 π τ が 同 一・ 貨 幣 表 示 で あ れ ば,状 態 瓦 状 態 ろ 状 態111の 順 序 に 高 い 。
(2‑2)CD法 に よ る結 果 iterations=11
均 衡 一 儀 黙 均 衡 一{雛iii
‑ 礪1魏
な お 参 考 ま で に,効 用 水 準 πゴ(aり と 均 衡 平 均 価 格 体 系 の も と で 支 出 額 を 最 小 に す る 需 要 量alを 求 め る と,
%1(ξ 〜 っ=228.905
{
z〆■(a11)=272,473 z〆1∫(a珈)=332408af=
aζF 鰐=
N地 域 間 に お け る購 買力 平 価 の 比較 の た め のCQnsistentな 指 数 づ く り
367.671 160.039 39.0063
afZ=73,2701 aζ 「=446.50 a∫∫=93。279
af"=627.113 a∫1∫=727。916 a∫」∫ニ532.245
47
、 従 って,状 態 ろ 」 鵬 π1が 同,状 態 π,状 態
ろ 状 態 π1の 順 序 で 高 い 。
こ の 数値 例 で は,GK法 で もCD法 で も購 買 力 の順 序 付 け は 同 じで あ る が, 購 買 力 の 大 き さは,状 態 ∬Zで 大 き く異 な っ て い る。
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