三盆大盤物資源紀要 節1号：63…71 昭和63年12月20日
盛土材としての土の1次元圧密方程式について
井 上 宗 胎
三蕊大学生物資源学部
Onedimensionalconsolidationequationofsoilsfor the embankmentmaterial．
SobjiINOUE
FacultyofBioresources，MieUniversity
Summ壬11・y
工n consolidation tests on compacted soils as embanlmlent materials，the curve representing the time versus settlementrclationship hasacharacteristic shape，due partlyto thegreat；1mOuntOfim−
rnediatesettlemerlt．Onthebasisofthisphenomenon，theauthorderivedaconsolidationequationぬr unsaturation using a stress−Strain relation empioying a viscoelastic（Voigt s）mode】．IllOrder to
approximateexperimentalvaluestotheequationforthedegreeofconsolidation，theauthordevelopeda methodfordeterminlngSeVeralparame仁ersofcons（〉l≦dation，Whichgovcrrlthe behaviorofcompacted
soilsco】1SOlodation．
ItwasconcludedtllattheapplicatiollOfthismethodgavesatisねctoryagreemellt払rt王1etimever−
SuS COnSOlidation settlement relationshil）SirlCaSe Ofboth sudden settlementjust after consolidation
loadingaIldwihoutsuchhmediatesett】enlent．
Fortheapplicationofthis method，thecomputed parametersindicatedarcYoung s汀】Odulus，the
COe疏cientofviscosity，thecompressibilityoftheporeLluid，theunsaturatedpenneabilityandsoon，br anexampleconsolidationofpressurep＝6．4kgf／Cm2．Itisnoteworthythatthcvaluesobtainedhere areappropriate．
Keywords：COnSOlidation，COnSOlidationtest，COmPaCtion，Settlement，Viscoelasticity
の他に空気成分が存在する複雑さのゆえにその性状にほ 解明されていない点が多々ある。
不飽和土に対する庄審理論としては古典的なBiot2）の 研究に端を発し，その後数多くの理論が亨を表されている。
中でもBarden3）は飽和皮が0から100％までの各々の場 合について群紺に検討した不飽和圧勝方程式を提示して いる。しかし，いずれの場合についても土中の気泡の存 査を力学的に処理しなければならない難問に遭遇するた め，方程式自体が多くの係数を含んでいたり，非線形に なったりして極めて繁雑な姿になることは避けられない。
工 ま え が き
盛土材料としての土，いわゆる締固め土の圧播あるい は圧縮性状は乱さない飽和した土のそれとは大いに異な
る。飽和土では土粒子と水の二相系材料に対して構築さ れる熱伝導馳の圧密方程式（Terzag最の圧腰理論1））は
・〉・J〉・・次圧密の範囲内である桂皮有用な庄鰍l射伏を知ること ができるのに対して，不飽和な締固め土では土地子と水
‡！綱】i63年7月5日 受至言！
井 上 64
研究成果としては評価できるが，現在の測定技禰をもっ てしても得られる情報には限界があり，厳酢こ讃捜給式に 依拠しようとすればするほど爽用性とほかけ経れるとい
う結果になる。
山般に，庄密沈下特牲は大きく即l時沈下部分，圧勝沈 下部分、二次庄密部分に分けられる勅5）。室内実験でほ このうち即時沈下部分が比較的多くの割合を占めること が締固め土の特徴である6）。現場盛土遇輩を考えれば戦 術應後の即時沈下は無視できる7）かもしれないが実験 データによってほ金沈下駿に対してこの部分の沈下が盈 的に無税できないほどに現れることがある。とくに，横 紙体厚さ2cmの標準圧審紙状では躁著に認められない 場合でも供訳体厚さ10cm程度の大型圧密武倣8）では増 幅された相当大きな沈下螢として測定される。このよう な傾向は締固め土の粘弾挽的悼潤と考えられており，
Terzagiliの圧審理魔でほ対処できない性状である。
以上の問題点に鑑み本論文では比較的簡明な不飽和圧 密方程式を導くために締i司め土の応力〜ひずみ閲係に VoigtModelを採用した。そこから得られる圧密方程式 の解に圧密沈下部分ほもちろんのこと抑舶来下，二次庄 密部分をあてはめ，締固め土の圧衡沈下に関する緒定数
を求める方法を撞案するものである。
庄磯潤一題にVoigtModelを適用する試みは従来からも なされているが，それらは主として圧衡沈下後に生じる 二次圧密部分を説明するために用いられてきたひ）一期暮Ⅲ。
しかし，ここでは二次圧密部分に限らず，不飽和な締固 め土の全沈下蕊を表現することを目的としている。
接＋接＋〜〜雷＝0 ‥（2）
い乳間隙流体の圧縮率をβとし，βを間隙圧〟の 関数と考えると
＝ β・β
すなわち，
・窓＝β・普
…（3）
が成り立つ12）。
（2），（3）式より軸／∂∫の項を消去して（4）式が得られ る。
普＋窓十〃嫁0 ＝ …（4）
仙■方，土政子桝・券構造の変位速度を恥 その密度を 鶴とすると先と同様に連続の式が得られる。
聖呈＋ ∂幸β．ヾ（1−J川
‥・（5）
＝0
∂g
ここで，計算を簡単化するため偽の位階的，時瀾約 変化ほ間隙流体のそれに比べて極めて小さいものとイ反麗
して取扱う。そうすると，（5）式は以下のようになる。
＋＝0 …（6）
土中の水の流れに対してはDarcyの法則を用いる。
ただし，この法則は基本的にほ剛な媒体中の水の運動を 来すものである。土粒子骨格構造の変形と結びつけるた
めには一郎各柵造に対するl矧戦流体の相対的な流れについ て本法則を適用しなければならない。土のI乳隙比を㌫
不飽和透水係数を右 水の単位蕊蕊を‰とすると
Ⅲ圧密方穏式の誘導
師岡め土は土粒子骨格構造と間隙流体で構成され，間 隙流体は水と空気からなるものとする。
位麓に関する座標をg，時間のそれを′で来す。g軸 方向のI瑚l娘流体のみかけの流速沌∵軸 その質蕊をβ，
間隙準を〃とすると，連続の式は
聖十塾㍍＝0 ‥（1）
となり，二次以上の微小項を鯉祝すると（2）式が得ら れる。
滋 ∂〟
て■J】￣【‖7■，ヾ＝￣∴■づ． ）・！▲・∂ご …（7）
で教わされる13）・1 り 。
（4），（6），（7）式より
瑠−〃接＋穏＋β忘 劇適
‥−．∴十
盛土材としての土の1次元メ王密方稗式について
が得られるい上武にが瑚／（1−／J）の関係を与え，
てノ。・∂〆∂gは二次の微′ト項として無視すると上武は次の ようになる。
ここに，ガ，那それぞれ土のヤング率，粘性係数。
α′＝CO11St．（＝函とおく）の下で上式は
亡＝告トexl）ト音′）i …＝）
となるが，ぴ′がconst．でなく時間と共に変化（増加）
するならば（1（汀武の解は
…（12）
亡＝〉汀α′（T，g）expト音…‡dr・
で教わされる柑）。
さて，公庄密沈下を即時沈下，庄衡沈下，二次圧密沈 下に分けて考えると，庄審欄盈ヵの畿対艦後に生じる 即時沈下部分は函が山定状態の下で起るものとみなさ
れる。その時の沈下蔑，ひいてはひずみ蕊は（11）式で教 わされるであろう。次いで、かが徐々に有効応力♂′に 転化していく段】；普が圧密沈下および二次圧衡沈下部分に 相当するとするとそれらは（12）式で教わされることにな
る。
したがって，庄密開始時点から終了までの全圧密状態 に対応する応力〜ひずみ関係は＝1）式と（12）式を濃ね合 わせることによって得られると考え，次式で表す。
￡＝雷（卜expト告∠）‡
1一汀α′（T，g）exl）ト音（′一丁））dr
・‥（13）
（9）式に（13）式を適用することにより以下に紺青；め土 の圧密方枕式を誘導する。
（13）式の両辺を′で微分しで
雷＝萱exl〕ト音∠卜茅J〜柚）
×exl〕ト音（′…r）‡dT十‡勅）
ここで，l矧隙比だとひずみ￡との関係式
△亡＝い−∠k／（1＋董）
を用いて，上式を（9）式に代入すると次のよう になる。
√：−
1・．、・：：
＝（1＋β）孟（意・窓） …（8〉
ゐニCOnSt．と仮嘉し，また上式中の左辺第二項およ び右辺のどをその平均構否にとり線形化すると，いま の場合の基本式として次式が得られる。
窓＋β・穏＝（汁轄豊 …（9）
次に，締固め土の応力〜ひずみ関係としてバネとダッ シコ＿ポットを並列につないだ2質素レオロジーモデル，
すなわち，Voigt（orKelvin）mode】を抹月寸する（Fig．1 参照）。その埋ぬは圧密現象がVoigとmodelと同様なひ ずみ遅延現象であること，Voiがmodelとバネ寮瀦を鮭 列につないだ3安楽モデルもよく使われるが今の場合庄 密支配方程式を誘導する上で差異がない反乱係数が増 える分だけ式形が複雑になることなどである。
土粒子聞に作用する有効応力をβ′，それtこよって生 じるひずみをどとすると両者の闊は周知の次式で教わ される。
グ′＝g・両 …（10）
Fig・．1．Voi離modelわrrespomseofsoilstnlCtUre・
井 上 宗 治
66
＝−￡・（号・慧＋…諾箋衰） …（19）
となる。
この式が盛土材としての土，すなわち経国められた土
‥冊） に対する山次元圧密方根式である0従潔の飽和華妻号簸の式 に比べると係数，項の数が少し増えているが，複雑な締 固め土の圧密特性を現象的にとらえ，．掛純化，簡素化し た結果であるひ
一驚exl）ト音車掌J〜紬）・
exl）ト音…idr−一沖
・・・＿・‥−−
∂g γw ∂g2
＋謹ま
微分公式
意J〜αノ（r，gトex十争一r）‡dr
‡．∴∴・‥・・・・こ・∴・‥「∵・・
を用いて（14）式の両辺を∠で微分すると
ヂex−）ト音よト掌J α′（r，ヱト
exI）ト音（g一丁）iか茅勅卜‡い窓
＋た一・ ‥（15）
となる。
（1d）式の裾引こ＆／ヴを乗じたものと（15）式とを辺々 相加え合わせると，
Ⅲ 基礎式の解法 基礎式（19）において
‥∴・・ミ・＝∴、‥・−1・−−・・∴−＝・ 甲
の記号を使い溶き渡すと次式となる。
＝
ムユ慧＋（刷2・ム穏ど−（櫻＋盈）
…（20）
上武はgとgに関する2階磁音数分プブ程式であるから 適常の変数分離法を用いて容易に解くことができる。し かし，ここでは（20）式の解を求めることはもちろんであ るが腋終的に得られる圧密度に関する式に実験，実測倦 をあてほめ，わl，ム2わさ，rlの定数を定め，それによって 実盛土の圧密沈下特使を予測することむ主眼とする。そ のためにgまず書…を後のぎ夏雲瀾圧分布の式に至る誘導過塞が緒発 散算盤上必黎となるので以下に解法の紫点を記しておく。
Jノ（g，g）＝7Ⅵ）・Z（g）とおき（20）式に代人する。Jと‡
にi関する項を分離してそれらを
− −‥−
−
とおく。ただし，・と，はそれぞれ〜とgに関する
微分を嚢す。
したがって，
／一ノ十1：り・7＝（）
より， Z（g）＝A，，・Sin（んE・疋）＋。‰・COS（ん・g）
が得られる。ただし，月 ，β，≧ほ定数。
また，
∴−′∴・∴ニ・∴・‥
．
Jノ∴−、−・で●． …（16）
が得られる。
土塊全体に作用する応九 すなわち仝応力は有効応力 と聞陽庄との和に等しいという有効応力の概念はここで も成り立つと坂髭する。そうすると，は密荷詭♪は
‥（17〉
♪＝α′十〟
と表わされるから次の関係式が得られる。
∂α′ ∂〟 …（18）
∂￡ ∂ま
（18）式を用い（16〉式を従属範変数〜ノだけで鷹測けると
・一寸・」−
ii
盛土材としての土の1次元庄密方程式について fj7
巌・r＋（み，1−ム2・∂。十琉・rl）7 ＋入Z，萱・r．・∂2・r＝0
に対して，γ＝ビア〜とおき，上武の特性方程式を求め ると，
わ3リ▲2十（ムー＋ム2・ム。＋入2，i・C，）・r十人2乃・rl・み2＝0 となるから
・・・‥∴ −．∴・：ト・・・．・．
‰‰・eXl）ト裾恒】−（登g）
ここに，
ミ●l∴−J・ニ．・−・
こl・・り：・・：・、・
財＝（2〜州）汀，（〝7＝0，1，2，……）
・‥（26）
一妬十ゐ2・み3＋琉・ど．）士1／′万
2ムヨ
7−ニ＝
となる。ここに，
β＝怖十ム2・わJ＋入2ガ・（・】）2一舶2，∫・ぐ】・ム2・払
いま， とおいた0また，Å恥 晦等の添字ほ（21），（23）式で
′7→J7‡としたものである。
（17）式の♪ニαノ＋〟及び（26）式を（13）式に郡、，♪≒
函と考えて注密沈下数5（バを計蘭すると，
・＼・．∴・・・
ニJ21−掛鵬eX−）トム2・用
‥…、∴・・、・‥・：！∴・・．∴
＝Jg】tほけ−eXl）トわ湖＋去
−2♪蓋i嘉 eX】）ト粧メ）
剛盈叩トレm・∠〉isil豚g）
−かx−）トム2・∠）
＋2メ濃（嘉一㍍覧）
×ex−）ト如）・Sin（一芳君）］滋
・帥坤聴卜車両
＋去綱2蓋志‡宕豊前eXl）ト擁・g）
Qブ〜ニ喜（か…円蓋）
尺rt＝入吊2・
・‥（21）
とおくと
ア（葎＝C−・eXP卜拘√J汁ヱ），l・eXp卜坊i・J） ‥・（22）
がえられる。ここに，C，l，∂〜−は定数，
〃，之＝Q，l−納，坊l＝Q−1＋輌…（23）
とおいた。
したがって，（20）式の−十敗研は次式となる。
JJ（g，′）＝（A習・Sinん≧gl−。軌・COS入，箸g）
×1Cれ・eX】）ト擁・け十β，−・eXl）トン，】・用・‥（24）
注解土層の厚さ2Hの両面排水として
J＝0，0≦g≦2Ilで〝軋g）＝♪。 ‥・（25a）
∂ごJJ ‥‥．∵・∴」一 々
0≦J≦∞，之＝0で 〟（〜，0）＝0
0≦g≦∞，Z＝2‖で 〜由，2日）＝0
…（25b）
の条件の下で蘭分定数Arゎ 軋 C花，仇を定めると
紡機（20）式の節ほ次式のようになる。 Ⅵ㌔ ∴∫、・、・・
井 上 完三 治 68
1 ablel．王denti薫cationpropertiesorthesoiltested
・・‥・・：・・‥∴二．．．∴∴
一票誹
となるが上武の右変敢彼の墳は若干の計算ののち，
去＝2蓋意（＝㌫㌔一石窯）
となる練乳∫（よ）は
ぶ（′〉＝211函［か…eX−）トム2・用
＋去…2蓋意（よexl）卜〟m・∠）
Speci爵cGravityGs LiquidL血itW王
Plastic Limit W,
Plasticity‡ndexIl）
0Ⅰ）t・MoistureContentⅥ70暮）【
Max．DryDe11Sityβ血、i、X CoaseSa】1d（2〜0．42mm）
FineSand（0．42〜0．074nlJm）
Silt（0．074〜0．005mml）
Chy（SmallerthenO．005mm）
Unj良〉mityCoe伍cientU。
Uni貞edCiassi鮎ationiれJapan
2．662
34．4％
18．9％
15．5
17．1％
1．763g〝cm3
9．58％
33．01％
37．34％
20．07％
196．O CI,
果と数個計尉ダほFig，2からFig．5に示す。各々の理 絵曲線奔滋ぷ償いた絡鱗数値はぎ緋】コに掲げられている。
また，同じく図中のd。，d…ほそれぞれg＝0，∞の時 の圧密蛍を衣す。
これらは数多くの実験結果のうちの代表例であるが，
全体的な傾向は即時沈下部分があまりほっきりとiま現れ ない吻合（Fig．2からFig．3）と，淑荷砿扱およそ1分 までのⅠ持＝こ急激な即時沈下を起こす場合（Fig，∠iから Fig．5）とに大きく分けられる。したがって，前者には
（29）式が適用され，比較的ゆっくりと始ま嵐圧密職級が あてはめられるのに対し，後者には（28）式が適用され，
即時沈てに続く庄密沈下をあわせてあてはめることにな る。いずれも締Ii！i】め土特有の性状であり，月三舶野蛮♪
が低い時に前私 ♪が増加するにつれて後者の曲線パ ターンとなるようである。この速いは土中に介在する気 泡の排出性卜圧縮煙の度合いに聞達するとともに，判儲 式の誘尊遇準では考慮しなかった負の剛肇‡ミ乱 すなわち，
サクションによる影響が多分に含まれているものと推察 される。
♪の増加に対する曲線形状の変化は漸密約なので場合 によってほ計算曲繍と実験機とが若・干経れることもある
（Fig．3の立ち上がり部分）。しかし，全体的には（28）式 あるいほ（29）式が比較的良好に実験醸を表し稗て←、るこ とがこれらの‡窯‡からわかるであろう。従来の飽和土の一〟〟〟〟＝
次元庄磨理論では理論に従う部分里上・次圧衡相室城だけで，
二次圧密部分はガlま給外とされている。それは飽和士でも 一つの圧密荷灘のもとで得られる咽瀾巨イ日射沈1rう経‡払係 は強い非線形一iてⅠミを示すからに他ならない。そのことを考
w, exl）（−レm・′）i］
と得られる。
上武で
∠→∞のときぶ（∞）＝4日／〉・わ，／ん2 であるのでメ．］三密度U（′）は
U（′）＝2…eXl）卜占2・よ）
−2櫨忘l読㌔exI）（一紆∠〉
…（27）
… Ⅵん eXPトレm
蒜二石 ・∠）I…（2S）
となる。
もし即時沈下部分が鉦著でなく無視できる吻合は上式 で節3墳が支配朗となり庄鮒変は次式で磯わされること となる。
腑ニ1−2噛完㌔叩（−陶・∠）
…〟 ら浩明トレm・司・‥（29）
Ⅳ 数億計算例と考察
実験から得られる時閻〜圧密沈下駿のデ…夕に（28）式 をあてはめ，み−，ム2，ムユ，rlの係数値を定める。
′rabk．1に示した土について，その最大紀燥密度の 90％の密度に締lうーf‡めた供試㈲（紙料名：D90）の私験締
盛土材としての土の1次元庄密方程式について
▲uV 4 ′8 ∧○ ▲1■
︵ 琵〇︻＼︻ ︶ 芸畠霊むS だ￠こ遷ニーOS告U ︵ノ一− ．ム﹁ ′hU i ま l
8．1。山、 1両n lem．．、 1銅。…、 1銅白．1、〔
l illlt・
Fig．2．Correlation of experjmentaiv；llues and cuⅣe飢i11the case of COnSOiidaとimpressurep＝0．1kg批1112
8．1n、．．、 1M，．、 1日＝い、 18軋‖l．、 1錮臥畔、
llilllい
Fig．3．Correはtion or experimentalva】ues and curve飢inとile CaSe Of consolidationpressurel）＝0．2kg批n12
︷ ぬ苗 ︵二＼− ︶ ；嵩む芯S 喜こ名￠望OU 5 −−J 亡﹁︶ ′︼U 7 8 亡J 5 ⊂J ▲U﹁ノ 8 1
β．1n1．r l叶‖．、 18min 188雨n l匂￠8min 1、im t・
Fig．4．CorreIation of experimenta】vaIues and curve飢hltをIe CaSe Of consolidationpressurepニ3・2kg打cm2
井 上 霜 治
︵ 担腐 O H＼− ﹀ ︼正長り；S きこ蔓琵琶U
Fig．5．Correlation of experimenta】values and cuⅣe鮎in tile CaSe Or consolid三まtionpressurep＝6．4kg打cn12
えるとより複雑な性状を有する（不飽和）郷間め土に対 して二次庄密部分をも含めた全沈下盈を本揺案式で好機 に近似できるということは締固め土の庄密特性において 粘弾慄朗層瀾が支配的であることを物言ぎ宣・っていると思わ れる。
敢後に圧鰭に関する各定数を♪ニ6．4kがcm2（Fig．5）
を別にとって求めてみると以下のようである。
供紙体の初期商さほ12．5c汀1，前段階♪＝3．2】くg抽n2 での敢終沈下：鼠は0．874cm。したがって，
圧密荷薮 神貌増分 ひずみ増分l卿鋸ヒ 平均l瑚隙比
のように各定数が算出される。これらは締閲め土に対 する物理是数として妥当なものと判断される1軋17）。
Ⅴ ま と め
盛土材としての締固め土の圧密試験において，その時 閤〜圧鋸沈下戯関係は即時沈下部分が卓越した特輿な形 状を墨する。そのため，本研究では姑弾性モデル（Voiが 1110del）の応力〜ひずみ！関係を用いた不飽和圧衡方程式
（（19）式）を誘き暮した。そして，そこから得られる圧密 度に関する式（（28）式）および，（29）式）に実俄侶をあ てはめ，締固め土の圧密性状を支配する諸滋徽を求める 方法を捷案した。その結果，圧密荷盤載荷艦彼の急激な 即時沈下を含む時間〜圧軒先下蕊関係に対しては（28）式 が，大きな即時沈下を示さないものに対しては（29）式が 良好に測定値を近似することができることを明らかにし た（Fig．2〜Fig．5）。また†月三酬ほ♪＝G．4kg〝cm2の 場合を例にとって算出したヤング係数￡，粘性係数別 間隙流体の圧縮率β，不飽和透水係数ゑなどの倦ほ妥 当なものであることを示した。
一山・般に時問〜圧密沈下畿関係は非線形であるⅠ8）。しか し，ここでほ線形労‡！給の下での圧密方程式から得られた jニ巨密度の式を用い，比較約良好に実測倦を表現すること ができたことは評価に醸すると思われる。ただ1銅価悌 土と一［‖こ宮ってもその力学的性質は多様であり，ここ で使った紙料による終発が普遍的であるとも思えない。
／） J／｝ Jご
k射cn12 kgf／cm2 ％
：う．2
3．2 3，17 6．d
（■ t▲
0．521
0．47∠l
0．d975 となる。これより，
体積圧縮係数′侮＝∠k〟♪＝0．991×Ⅳ2kき財cm2が求 まる。gほグ〃むの逆数に相当するから，
Eニ1／ウ7〜むニ1弧9】くg打cm2
∴ E／りニム2よりり＝ほ38kgf・min／cm2 ムー＝1／け＝7．473×10】2cm2／kgr・mi王l わ1／わ3＝6月41より
ム3＝1．160×10¶2
∴ β＝あ3（1＋さ）／妄＝3．493×10鵬2cm2／柑 さらに，
rノム3＝0．194より
点＝‰・rl＝2．26×10鵬8cm／min
盛土材としての上の1次元圧密方程式について
今後他種の土，統糾失態について本研究で胡麻した手法 を多角的に検証する必要があろう。
なお，紙面の都合上，基磯暦を実験機にあてはめる段 階での数倍計算法の評射附こは触れなかったがこの点につ いては別の機会を得て発嚢したいと考えている。さらに，
盛土の圧鮮性状は叩山次元よりも二次元的取扱いの方が有 効な場合もあ嵐。土中瀾隙流体の異方性を考慮した二次 元性状に関しても別稲で改めて検討したいと考えている 次豹である。
引 用 文 献
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